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o
1
2
3
4
x
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1 1
n
1 1 1 dx 1 (1 p1 ) 1 p p1 n p1 x
即sn有界, 则P 级数收敛.
即可得
1 当p 1时, 收 敛 P 级 数 p 发散 n 1 n 当p 1时,
注：重要参考级数 几何级数, P-级数, 调和级数.
un vn ( n 1,2,). 若级数 v n 收敛， 则级数
u 收敛；若级数 u 发散，则级数 v 也发散。
n 1 n
n 1 n
n 1
n 1
n
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证明
(1) 设 vn
n 1
un vn ,
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
二、交错级数及其审敛法
交错级数 交错级数是指这样的级数，它的各项是正负交错 的，从而可以写成的形式： u1 u2 u3 u4 或 u u u u 其中 u1 , u2 , 都是正数。
1 2 3 4
定理7（莱布尼茨定理，交错级数审敛法）
如果交错级数 ( 1) un 满足条件： n 1 (1) un un1 (n 1 , 2 ,);
根据比值审敛法可知所给级数发散。
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定理5（根值审敛法，柯西判别法）
设 un为正项级数，如果 limn un ， n
n 1
（或 limn un ） 则当 1 时级数收敛； 1 n
时级数发散； 1 时级数可能收敛也可能发散。
u
n 1
n
发散。
p (2)如果 p 1 ,而 lim n un l (0 l ) 收敛。 n
u
n 1
n
收敛。
证明
1 (1) 在极限形式的比较审敛法中,取 vn , n 1 由调和级数 发散,知结论成立 n 1 n 1 (2) 在极限形式的比较审敛法中,取vn p , 当 p 1 n 1 p 级数 p 收敛,故结论成立 时 n 1 n
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例9 解
判定级数
sinn 的收敛性。 n2 n 1
因为 sinn 1 , n2 n2
sinn n2
1 而级数 2 收敛，所以级数 n 1 n
n 1
sinn 也收敛，由定理8知，级数 收敛。 2 n n 1
*定理9 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，
满足条件
(1) u n
及
1 1 u n 1 n n 1
1 0 n
( n 1,2, )
( 2) lim u n lim
n n
1 所以该级数是收敛的,且 rn n 1
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三、绝对收敛与条件收敛
概念 设 un 为常数项级数，如果它的各项的绝对值所构成的
n 1 n
如果 lim n
lim
un1 则当 1 时级数收敛；当 1 或 un
un1 时级数发散； 1 时级数可能收敛也可能发散。 当 n u n
证明 当为有限数时, 对 0,
un1 N , 当n N时, 有 , un
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件, rn un1 .
定理证毕.
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例如,交错级数
1 1 1 n 1 1 (1) 2 3 4 n
un (1)如果 lim l (0 l )，且级数 n v n
n 1
n 1
v 收敛,
n 1 n
则级数 un 收敛； n 1 u un lim n 且级数 (2)如果 lim l 0 或 n v n v n n 发散,则级数 un 发散。
2. 当 1 时比值审敛法无法判别;
1 例 级 数 发 散 n 1 n
1 级 数 2 收 敛 n 1 n
( 1)
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例4 证明级数
1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3(n 1)
n 1
正项级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；如果级 n 1 n 1
数 un 收敛，而级数 un 发散，则称级数 un 条件收敛 n 1
n 1
n 1
定理8 如果级数 un绝对收敛，则级数 n 1
u 必定收敛。
n 1 n
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m 1
,
m 1
uN 1 ,
uN m
uu收敛, n N 1
收敛
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un , lim un 0.
n
发散
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注：1. 比值审敛法的优点是不需要参考级数
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1 例 2 证明级数 是发散的. n 1 n( n 1) 1 1 1 而级数 发散, 证明 , n 1 n 1 n( n 1) n 1
级数
n 1
1 发散. n( n 1)
定理3（比较审敛法的极限形式）设 un 和 v n 都是正项级数，
即部分和数列有界 由定理1得
u 收 敛.
n 1 n
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn ( n )
不是有界数列
vn发散. n 1
定理证毕.
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例1 讨论 p 级数 1
1 1 1 p p 的收敛性，其中常数 p 0 2p 3 n
是收敛的，并估计此级数的部分和 sn 近似代替和 产生的误差。 证明
s所
un1 (n 1)! 1 lim lim lim 0 n u n n n n! n
所以级数收敛
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此级数的部分和
sn 近似代替和 s 所产生的误差。
1 1 1 rn n! (n 1)! (n 2)! 1 1 1 (1 ) n! n 1 (n 1)(n 2) 1 1 1 1 1 1 (1 2 ) n! n n n! 1 1 (n 1)(n 1)! n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
un1 即 un
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(n N )
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当 1时, 取 1 ,
使r 1,
uN 2 ruN 1 ,
uN m r
m 1
uN 3 ruN 2 r 2 uN 1 ,
而级数 r m 1uN 1收敛,
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例5 判定级数
1 1 2 1 2 3 n! 2 n 3 10 10 10 10
的收敛性。 解 因为
un1 (n 1)! 10n n 1 , n 1 un 10 n! 10
un1 n1 lim lim . n u n 10 n
且与原级数有相同的和。
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四、小结
1 .定义 正项级数、交错级数、 任意项级数、
条件收敛、绝对收敛
2. 判别法
8个定理:
(1) 定理1—定理6仅适用于正项级数 (2) 定理7适用于交错级数 (3) 定理8适用于任意项级数
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n 1
v
n 1
n
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例3 解
1 判定级数 sin 的收敛性。 n n 1
因为
1 sin lim n 1 0, n 1 n
1 而级数 n 发散，根据定理3知此级数是发散的。 n 1
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定理4 （比值审敛法，达朗贝尔判别法） 设 u 为正项级数 ，
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
u1
n
数列 s2n是有界的 ,
lim s2 n s u1 .
lim u2 n1 0,
n
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lim s2 n1 lim( s2 n u2 n1 ) s,
例6 解
2 (1)n 判定级数 的收敛性。 2n n 1
因为
limn un lim
n
1n 1 2 ( 1)n n 2 2
所以，根据根植审敛法知所给级数收敛。
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定理6（极限审敛法） 设 u 为正项级数，
n 1 n
(1)如果 limnun l 0, limnun , n n
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