数学教学的三种水平.喻平

数学课堂的三重境界探幽凡事都有境界之分,为人、为事、为学问均不例外. 著名学者冯友兰曾经将人生划分为四种境界,即自然境界、功利境界、道德境界、天地境界. 近代学者王国维认为:“古今之成大事业、大学问者,必经三种境界. ”并以三句诗加以形容:“昨夜西风凋敝树,独上高楼,望尽天涯路”,此为第一境界;“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴”,此为第二境界;“众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”,此为最终境界. 依此观照,境界倒确乎为华夏文化的精髓之一了. 其主张对宇宙、对人生、对事物须入乎其内,出乎其外,所见、所思、所为应达到超越,必然走向自由的地步.凭三尺讲台、一方空间的数学课堂,能否区分境界的高低呢?能的,只不过划分的标准会见仁见智. 笔者不揣浅陋,尝试做一番探讨.其一为“效率境界”. 我们常常会用“扎实”“实在”“高效”等词来评判这类课堂教学. 追求效率的数学课堂教学在我国有其历史渊源. “文化大革命”结束后,国家急需培养出大量又红又专的人才. 教育系统拨乱反正,对中小学数学的教学内容和教学方法都进行了深刻的反思. 1978年国家颁布的教学大纲明确提出要加强“双基”(即基础知识和基本技能)的训练. 从那时起,“双基”在中国教师的头脑里就打上了深深的烙印. 通过一代一代人教学经验的传递,其教学方法、教学流程、教学手段都得到延续. 其教学的主要特征是:强调教师的讲授要准、要细,重视学生对知识的正确理解,加强解题技巧训练,训练学生解题的熟练程度. 显然,这是一种效率至上的教学,关注的是课堂中“投入与产出的效益比”. 所以,其教学方法的设计,往往将材料划分成一系列连续的小单元,采用小步子教学,一步一回头,不断地强化学生正确的行为,修正错误的理解和认识,整个系列由浅入深、由简到繁. 这种小步骤进行呈现明显的及时反馈、自定学习步调的教学方式,显然与行为主义心理学家斯金纳“程序教学法”的四个要素是相一致的. “效率境界”的课堂,表现为快节奏、大容量,带有浓厚的功利主义倾向,在这样的课堂里,学生习得的是“枯燥的”“专深的”数学知识,但学生的主体未得到解放,学生的数学素养不能得到全面的、和谐的提升.其二为“质量境界”. 这类课堂我们往往会用“精致”“巧妙”“行云流水”等词来形容. 若从技术层面上分析,这一境界的数学课堂教学,则更多显现为认知心理学的研究成果对数学教学实践的影响. 一是强调学习过程中学生主体能动作用的发挥. 认知心理学认为:学习活动的有效性,不仅依赖于主体对所学材料的识别、加工和理解,同样依赖于主体对自身学习活动的自我意识、自我评价和自我调控,更包括了主体对于自身结构的改善和重组. 学生的数学学习是学生经历“同化”或“顺应”后,自身心理结构发生变化的过程,故而学习主体在这一过程中发挥着至关重要的作用. 二是重视迁移. 所谓迁移,是指—种学习对后—种学习的影响. 奥苏伯尔在有意义的学习研究中,强调认知结构是知识学习发生迁移的主要媒体. 为此,他认为,教学时要设计适当的“先行组织者”,它要比学习任务本身具有较高的抽象、概括和综合水平,并能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习内容相关联,使之在学习者已知的与需要知道的两者之间架设一座桥梁,促使其更有效地学习新材料. 与之相呼应,在国内数学界,“为迁移而教”的口号一度被广大教师奉为圭臬,显然是把“迁移”在数学教学中的作用推向了极至. 三是突出学习的过程性,倡导让学生成为积极的探究者;强调利用发现活动激发学生的好奇心;诱导直觉思维,鼓励创新. 布鲁纳认为,编码系统不仅能够接受信息和组织信息,而且能够超越一定的信息,即产生创造性的行为. 这样便把创新性思想观念的产生与学习者已有的知识、观念和知识的结构形式关联起来. 四是受奥苏伯尔关于成就动机内驱力说的影响,加强了对学习兴趣的培养,关注学习者的“心向”;受加涅的认知策略理论的影响,注重学习方法的指导等等. 由于加强了对学习心理的研究,“质量境界”的数学课堂在教学设计上表现出的明显特征是“精雕细刻”,巧妙的迁移、精到的讲解、精致的练习设计、对教学流程细腻地加工和处理,都使这一境界的课堂教学愈加趋于科学化、精致化、审美化. “质量境界”的课堂,虽呈现出局部设计的细腻与精致,但缺乏整体观照的大气;虽然可以顺利达成一节课的认知与能力培养目标,但难以顾及“全人发展”这一更长远的教学目标. 特别是,教师越是追求教学精致的同时,也越是消解了学生对于真实问题模糊性的忍受力.其三我们不妨称之为“生态境界”. 我们会用“像呼吸一样自然”、“像拉家常一样轻松”等语句来描述对这类课堂教学的感受. 这样的课堂教学,它超越了对某一节课具体内容短期目标的设定,而是着眼于学生长期发展和可持续发展. 生态境界的课堂首先意味着是“生命的课堂”,尊重生命自主性、多样性和差异性,使得每一个学生在课堂中都是可以自由呼吸的. 这种自由体现在他们有权知道为什么要学习这些知识,他们有权发表对知识理解的任何看法,他们有权对教师的教学和自己的学习作出评价. 学生在这样的课堂里所体验到的,就是佐藤学说的“润泽的课堂”,就是叶澜说的“焕发出生命活力”的课堂. 生态境界的课堂还意味着是“和谐的课堂”,这不仅表现为课堂内人际关系的和谐,还意味着科学、文化、审美协调发展的和谐;“思维场”、“情感场”、“交往场”平衡的和谐;知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观相统一的和谐;教学方法、教学手段与教学内容相匹配的和谐;课堂生态空间环境与课堂教学环境的和谐等等. 和谐超越了以往强调某个单一指标的局限,实现了元素分析向各元素间整合的跨越,这无疑开辟了一条数学课堂研究的新视角. 再者,生态境界的课堂还是“发展的课堂”,可持续发展思想是人们对“人类中心主义”的思维方式和传统的依赖大量消耗资源、牺牲环境为代价换取经济增长方式进行反思的结果. 在数学课堂教学中,学生的可持续发展依赖于学生数学兴趣的培养和学生基本数学素养的形成,倡导以更多的机会来发展学生自我学习的态度和能力,让个体获得可持续发展的能力,即终生学习的能力,从而大大提高个体对外界环境的适应能力.“生态境界”的课堂显然已超越了我们当下对数学课堂的一般认知,由于教育体制、文化传承、师资素质等多方面的因素的制约,真正意义上的数学生态课堂的创建,无疑还需我们付出长期而艰巨的努力. 笔者所以提出以上的三重境界,就是希望我们能在心中点亮一盏明灯,才不会在前进的道路上迷失方向,因为,时代呼唤着我们,奔赴“生态境界”的数学课堂应尽早启程!。

第24卷第1期 数 学 教 育 学 报Vol.24, No.12015年2月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONFeb., 2015收稿日期：2014–09–04基金项目：江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题——初中数学实验的理论与实践研究（B-a/2013/02/083）；教育部人文社会科学研究一般项目——中小学教师认识信念取向及其对教学行为的影响研究（12YJA880153）作者简介：喻平（1956—），男，重庆人，教授，博士生导师，主要从事数学教育研究．数学实验教学：静态数学观与动态数学观的融通喻 平1，董林伟2，魏玉华1（1．南京师范大学 课程与教学研究所，江苏 南京 210097；2．江苏省中小学教学研究室，江苏 南京 210013） 摘要：数学观经历了由静态到动态的演变过程．静态数学观下的传统的数学教学偏重于结果、思维、论证与证实，动态数学观则是把数学看作处于动态发展过程中的知识，从而一定包含错误、尝试、改正和改进的过程．数学实验教学充分体现了过程与结果、操作与思维、实验与论证、证伪与证实的有机融合，实现了静态数学观与动态数学观的融通．关键词：静态数学观，动态数学观；数学实验；数学教学中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2015）01–0026–03 数学观根植于数学哲学，是人们对数学本体和数学发展的认识．数学观的演变经历了由关注知识本身到关注实际教学活动，即由静态的、绝对主义数学观到动态的、可误主义数学观的发展过程．所谓动态的数学观，是把数学看作处于动态发展过程中的知识，从而一定包含错误、尝试、改正和改进的过程．动态的数学观强调知识的不确定性和知识的发展性，关注人类创造知识的环境和数学的发展历程．动态的数学观有以下4个特征：一是过程性．动态的数学观将数学看成是由问题、语言、方法和命题组成的一个逻辑链．数学产生于问题，而问题的提出离不开语言的描述，问题的解决又需要建立数学模型（方法），最后才能形成结论（命题），数学教学需要展示这个完整的过程．二是问题性．数学源于问题，问题是数学产生的逻辑起点，因此数学教学应围绕着数学问题来展开研究，而不是告诉学生已经抽象、概括了的结论．三是发展性．数学的发展是证伪与证实相互交织、螺旋前进的过程，而不是绝对真理的静态堆积．四是方法性．数学结论的发现存在多种途径，如观察、实验、猜测、计算、推理、验证等，数学教学应让学生掌握研究问题的不同方法．数学实验是指通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，是学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动．因此，数学实验着力于学生的学，鼓励学生以类似科学实验的方式进行主动探索，强调“从做中学”、“从实验中学”，通过学生主动的“做”或“实验”等探究过程，掌握数学知识，积累基本的活动经验，培养创新精神、动手能力和解决问题的能力．数学实验教学将过程与结果、操作与思维、实验与论证、证伪与证实有机融合，实现了静态数学观与动态数学观的融通，使得数学教学变得完整而有活力．1 数学实验教学体现了过程与结果的统一“重视过程，还是重视结果”是数学教学中经常讨论的问题．现代认知心理学将知识分为陈述性知识和程序性知识，这两种知识本质都是结果性知识，前者是事实性知识，后者是规则性知识．研究者把由过程性体验形成的经验性知识称为过程性知识，这是对知识分类的一种补充[1]．所谓过程性知识是指伴随数学活动过程的体验性知识，体验分为4个阶段：（1）对知识产生的体验．体会知识产生的缘由，明晰新旧知识之间的关联和因果关系．（2）对知识发展的体验．体悟知识发展的动因，包括数学学科的内部因素和促进知识发展的外部因素，习得探究数学问题的方法（逻辑的和非逻辑的）和策略．（3）对知识结果的体验．领会蕴涵在知识中的数学思想方法，感受数学结构的美．（4）对知识应用的体验．体会数学应用的广泛性，积累解决问题的认知策略和元认知知识，形成自我监控的意识和习惯．将知识分为结果性知识和过程性知识，对应到数学教学来看就应当有结果性知识的教学和过程性知识的教学．结果性知识的教学注重让学生理解数学基础知识，掌握数学基本技能，即理解基本结论并能用这些结论去解答数学问题．过程性知识的教学则关心学生对知识产生和发展的体验，这种体验不仅能明晰知识发生发展的来龙去脉，而且会形成经验，所谓“数学活动经验”的形成和发展主要来自于过程性知识的习得．因此，完整的数学教学应当是结果性知识教学与过程性知识教学的结合，是结果与过程的融通，单纯偏重过程取向的教学或结果取向的教学都存在一定的片面性．数学实验教学是将抽象理论变为直观化、可视化的一种教学方式，其过程是学生在教师的引导下，亲身经历一个概念、规则的形成过程，通过动作思维和逻辑思维感悟知识发生过程、理解知识结果．数学实验教学将知识背后的发现和探索过程以合理的方式展现出来，充分体现了动态数学观的过程性特征；另一方面，对学生而言通过探究经历获得的知识会更加稳固地贮存于自己的认知结构中，强化了知识的静态特征．例如在“探究多边形外角和”一节中，通过对三角形、四边形、五边形度量、拼图、转笔等一系列的探究活动，让学生在过程探究中获得基本活动经验，并获得“多边形的外角和为 360”的结论[2]．因此，数学实验教学本质上是以数学问题为出发点，以获得数学结果为目标，充分展示探究过程的实践活动，是过程与结果的完美结合和辩证统一．第1期喻平等：数学实验教学：静态数学观与动态数学观的融通272数学实验教学体现了操作与思维的统一传统的观念认为，数学是一门纯粹的演绎科学，数学活动也仅是单纯的思维活动．其实，数学从它诞生之日起，就与人们的生产实践息息相关，许多数学理论的产生往往源于生活．回顾数学的发展历程，实验活动占有非常重要的地位．在传统的数学教学中，教师注重知识的系统性和逻辑的严谨性，学生主要是记住数学结论，然后进行题海式的训练，对于学生的动手操作能力则关注较少．此外，教师对学生思维能力的培养也仅限于逻辑思维和抽象思维，而对形象思维，直观思维、创新思维、发散思维等也重视不够．动态的数学观强调思维方式的多样性，有效的数学教学不能单纯地依靠模仿和记忆，也不能完全靠抽象的思维去推理，动手操作、直观感知也是获得知识的重要手段．《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）提出：“数学教学要培养学生的基本活动经验”，“动手实践也是学习数学的重要方式”[3]．此外，知识再现的“金字塔规律”显示：讲授、阅读、视听结合、演示、全组讨论、实验操作、快速应用并向他人讲授这7种学习方式中，知识复现效果依次递增，即讲授法的知识再现效果最差，而实验操作和快速应用并向他人讲授的效果最好．数学实验教学将动手操作和动脑思考有机结合在一起，实践性和操作性是它的外部特征，通过实验活动促进学生思维的发展则是数学实验的核心和最终归宿．抽象概括能力、推理能力、判断能力、探索能力都是数学思维能力的要素，在一个数学实验中，观察与分析交织，抽象思维与形象思维并存，从实验前的猜想，实验中的思考，以及实验后的总结，都是发展学生思维的优良环境，同时也为培养学生创造思维力提供了空间．学生从可视化的数学内容入手，通过动手操作、动脑思考，逐步对直观的知识进行抽象，挖掘和感悟实验背后所蕴含的数学原理、数学方法，最后获得数学结论，做到了将操作与思维的完美结合．例如，在“探索三角形三边关系”的实验中，让学生尝试用不同长度的木棒搭三角形，在一系列的操作中，学生必然面临“搭成”和“搭不成”两种情况，进而引发学生思考：为什么有的能“搭成”而有的“搭不成”？实验体现了操作引领思维、思维修正操作的协同过程，这一过程，使学生的探索能力、推理能力、判断能力、抽象概括能力都得到了训练和提高．3数学实验教学体现了实验与论证的统一从数学认识论的角度来分析，实验的思想来源于数学经验主义，论证的思想来源于数学逻辑主义．现代数学经验主义把经验理解为自然科学的实验，因为自然科学的实验已超出感性直观限定的范围，包含了一定的理性成分，因此有学者将其称为“理性经验”．显然，经验主义强调感觉、观察、实验在数学发展中的作用．逻辑主义学派十分注重逻辑在数学理论中的作用，甚至把数学与逻辑等同起来，罗素认为：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年与壮年没有截然的分界线，故数学与逻辑证明亦然．”[4]经验主义和逻辑主义分别从不同视角审视数学，都有描述数学本质的积极因素，但也有各自的片面性．数学理论的形成，最初源于人们对现实原型的性质的分析和探索，从中积累经验，即使是从数学自身体系中提炼问题，也需要人们的经验作为支撑，这是一种理性的经验．而逻辑是检验数学真理的间接标准，是数学论证的工具，是数学知识理论化和系统化的手段，可以说，离开了逻辑，数学就不能发展．受静态数学观的影响，传统的数学教学多倾向于是论证．认为数学的研究对象是形式化的思想材料，整个数学是一个形式化的逻辑体系．数学是概念、公式、定理、法则等“绝对真理”的总和，数学学习就是套用公式去计算，或者对运用定理对命题进行严格的逻辑论证．这种论证取向的数学教学无疑压缩了学生数学学习的过程．动态的数学观则认为数学结论的发现存在多种途径，很多结论就是来源于实验的发现．波利亚指出：数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看数学是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门实验性的归纳科学．欧拉说得更为直接“数学这门科学需要观察，也需要实验”．实验与论证应是数学教学不可缺少的两个环节，通过实验得到猜想，再通过论证去证实或证伪猜想，这样才是完整的数学教学．数学实验教学可以让学生在“做数学”的过程中体会知识的来源，以及知识发生、发展的过程．将课本上完美无缺的结论，还原成它原本的形态，让学生在做数学的过程中感受探索、发现的乐趣．但一个好的数学实验不会仅停留在动手操作层面，它必然是实验与论证的统一．即先让学生通过动手操作，获得直观感知，再将数学内容进行抽象，获得数学猜想，最后再通过严谨的方式对猜想进行论证．例如：在“探索三角形的内角和”一节，教师可以提供剪刀，量角器等实验工具，放手让学生去探究，学生很容易通过测量或者拼图的方法得到结论，这样的实验过程是必须的，让学生在动手操作中感受探究的乐趣，获得成功的体验．但接下来，教师应使学生明白无论是测量还是拼图，都是存在误差的，此时再抛出问题：如何进行严格的论证？这样便将实验与论证结合在一起了．4数学实验教学体现了证伪与证实的统一证实就是证明一个问题的真实性．证伪思想则来源于波普尔的证伪主义．他认为能被经验所证实的仅是个别的结论，但命题是可以用经验来证伪的，因为任何反例的得出都是对结论的否定．自古以来，人类就对真、善、美有着执着的追求，这种执着延伸到教育领域，就形成了对课程和教学证实的追求，由此就形成了教育研究者、一线教师、以及学生不健全的认识信念：认为数学教学就是不断地证实过程．从课程的角度来看，证实是教材编写的指导思想，教材中的数学知识编织成一个庞大的、严密的逻辑体系，在这个体系下，概念、命题、定理、公式、法则等都以准确无误的结论的形式出现．从教学的角度来看，教师往往依据教材，想方设法地将教材中的确定性知识传递给学生，让他们相信知识是正确的，是不容置疑的真理，因此教学方法也多采用论证的方式，即通过28数学教育学报第24卷严密的推理，得到最终的结论．而这里所谓的推理过程也是预先设计好的，学生的工作就是沿着既定的路线走完而已，之后便进入到知识的应用环节．由于我们的教学总是能够对一个又一个命题给予无懈可击的解释，对事物美的标准进行完美无瑕的刻画，对真理的绝对性做出严格缜密的证实，因而在学习者心中树立了一种知识至上、迷信追随的信念：由一代又一代人创造和传承的知识其正确性无可非议，科学知识的真理性不容置疑，学习的任务就是虔诚地接受知识、领会知识和应用知识．长此以往，学习者会形成二元论色彩浓烈的绝对主义知识观，把知识作为结果的、静态的成品看待[5]．客观地说，证实只是部分地解决了“是什么”和“为什么”两个问题，因为在解决“为什么”这个问题时，方法是单一的论证．不提及问题产生的缘由，探寻和解决问题的过程、数学文化等要素．这种单一的教学方式，必然导致教学目标的偏失和某些教学功能的缺失，导致学生思维定势，发现精神、怀疑精神也会慢慢消磨殆尽，最后学生们变得没有问题意识，形成一种真理至上，绝对主义的数学观．显然这样的教学是不完整的，这样的数学观也不全面．动态的数学观则认为，数学不是绝对真理的堆积，数学是在证伪与证实的交替中，螺旋向前发展的．数学教学应是由不确定知识到确定知识的渐进过程．在探寻结论的过程中，证伪起着非常重要的作用，在确定结论的时候，证实又发挥着不可替代的作用．因此，如何兼顾到证实与证伪是研究者应当慎重思考的问题．首先，课程的设计理念需要改革，虽然这不是一朝一夕可以完成的．除此之外，教师可以稍微转变自己的教学理念和教学方式，在传统证实模式的课堂中适当渗透证伪的思想和方法，让学生体会学习数学的方法不全是证实，也可以通过证伪进而去证实．数学实验教学有助于实现证伪与证实相结合这一目标，例如：七年级下册第十二章中，有这样一个数学实验：图1(a)是一张8×8的正方形纸片，把它剪成四块，按图1(b)重新拼合，这4块纸片能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？（a）（b）图1正方形纸片剪拼实验要回答这个问题，教师可以通过猜想—证伪—证实3个环节来实施教学．教师可以引导学生先对图1(a)、图1(b)进行观察，学生一般会得出“可以拼成”的猜想，接着让学生用动手操作的方式，将图1(a)中正方形按如图所示的虚线分割，再按图1(b)的方式拼合，看是否能够得到图1(b)，此时学生会惊奇地发现无法拼成，这是证伪．接着让学生思考，为什么不能拼成图1(b)？经过思考，学生会发现图1(a)中正方形的面积是64，图1(b)中长方形的面积为65，面积不相等，因此不能拼成图1(b)，这就用逻辑的方式证实了拼图的结果，这是证实．5结语数学实验是数学发展的必然产物，与此对应，数学实验教学是数学教学方法中必不可少的元素．基于动态数学观和静态数学观相互融通的数学实验教学，实现了过程与结果的统一、操作与思维的统一、实验与论证的统一、证伪与证实的统一，修补了数学教学过程的残缺环节，在一定程度上消解了教学中的几对基本矛盾[6]，使数学教学变得完整而富有生机，回归到教学的本源，体现出教学的辩证性特征．［参考文献］[1] 黄燕玲，喻平．对数学理解的再认识[J]．数学教育学报，2002，11（3）：40-43．[2] 董林伟．数学实验手册[M]．南京：江苏科技出版社，2013．[3] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．[4] 莫绍揆．数理逻辑初步[M]．上海：上海教育出版社，1980．[5] 喻平．教学的应然追求：求是与去伪的融合[J]．教育学报，2012，（4）：28-33．[6] 喻平．教学中几对矛盾的对峙与融通[J]．教育理论与探索，2008，（4）：48-51．Laboratory Teaching in Mathematics: the Combination of Static Mathematical Concept and DynamicMathematical ConceptYU Ping1, DONG Lin-wei2, WEI Yu-hua1(1. Research Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China;2. Teaching Research Office Jiangsu Provincial Department of Education, Jiangsu Nanjing 210013, China) Abstract: The mathematical concept has experienced from the static to the dynamic evolution process. Under the static mathematical concept of the traditional mathematics teaching focus on results, thinking, reasoning and proof, while the dynamic mathematical concept regards mathematics as the knowledge in the process of dynamic development, thus must contain errors, try,the process of correction and the process of improving. Mathematics experiment teaching embodies the process and results, operation and thinking, experiment and demonstration, falsified and confirmed, so Mathematics experiment teaching implements the combination of static mathematical view and dynamic mathematical view.Key words: static mathematical concept; dynamic mathematical concept; mathematics experiment; mathematics teaching[责任编校：周学智]。

对小学数学课堂教学目标“三个维度”的评价构想[摘要]课堂教学目标一般分为“掌握知识”、“发展能力”，以及在此过程中的“情感与态度”的培养。

这三维教学目标是一个有机整体，发展能力，情感与态度是在掌握知识的过程中进行的。

本文从课堂的三维目标方面在课堂上的具体表现对课堂教学进行评价。

[关键词]小学数学课堂教学“三个维度”在课堂教学评价中，如何围绕“掌握知识，发展能力，情感态度”三个维度的目标要求，总结出评价课堂教学的具体的可操作的评价内容和标准，从而发挥课堂教学评价的导向功能，切实提高课堂教学效率。

一、对“掌握知识”层面的评价新课标中对知识掌握的要求，并不是要改变知识及其应用在课堂教学中的核心地位，也没有降低小学数学课堂教学的质量要求。

相反，它对掌握知识的内容提出了更高、更加广泛的要求。

要求我们在教学中应该把知识的形成过程放在教学的首位，努力创设情境，使学生体会知识来源于生活，让学生经历知识的形成过程，从而获得有用的知识和相对完整的可迁移的知识结构。

1.对“感知·理解新知”的评价对学生在“感知·理解新知”这一阶段的评价，应从如下几个方面去操作：（1）为导入新知所提供的感知材料是否充分。

传统的课堂教学新知的导入目标直接指向于习题、例题的解决，在这一部分较为弱化，而按新课标理念，在导入新知时，应从新知的产生和学生生活的联系等不同的角度，提供具有丰富内涵的、现实的、有意义的感知材料和现实问题，激发学生的求知欲和学习兴趣；（2）选取的感知材料是否包涵了新知的本质属性。

教师在备课时，应分析新知的本质特征，并选取适当感知材料作为载体，恰当地承载新知的本质特征，从而为高效率的课堂打下基础；（3）在过渡过程中的诱导是否抓住新、旧知识的交接点，是否利于激发学生的认知冲突，展开积极的求知探索，从而顺利实现学生认知的正迁移，完成认知的“同化”或“顺应”；（4）教学辅助手段的使用，是否恰当，是否起到常规教学手段所不能达到的教学效果。

立足数学核心素养分析中考压轴题作者：***来源：《中学数学杂志(初中版)》2022年第01期【摘要】本文用核心素养的三个水平分析压轴题，建议数学试题命制中可融入核心素养制作多维细目表，用核心素养三个水平来调控试题的难度，也可评定结构不良试题的得分.启发教师在教学中应培养学生数学正迁移能力，精准把握学情，来逐层落实数学核心素养.【关键词】核心素养;三个水平;正迁移;逐层《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出发展学生的六个数学核心素养，切实提升思维品质和关键能力.中考数学最后一题，又称为压轴题，有区分选拔功能.笔者立足这六个数学核心素养来分析2018—2020这三年的陕西省数学中考最后一题（第25题），揭示命题特点，给出命题建议和教学建议.1 相关概念知识喻平教授[1]分析了布鲁姆评价模型、PISA数学素养评价框架、SOLO分类评价理论，提出将数学核心素养划分为三个水平，从低到高依次是知识理解、知识迁移和知识创新.同时，参考李先东老师和吴增生老师[2]对初中数学核心素养的三个水平的划分标准，对各试题进行素养观察.数学抽象A、逻辑推理R、数学建模M、数学运算C、直观想象I、数据分析D，A1，A2，A3分别对应数学抽象的三个水平，其他素养类似.2 对近三年陕西省数学中考第25题评析2.1 2018年第25题试题呈现及分析问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值為;（2分）问题探究（2）如图2，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM 的最大值;（3分）问题解决（3）如图3，AB，AC，BC是某新区的三条规划路，其中，AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB，AC 路边分别建物资分站点E，F.也就是，分别在BC、线段AB和AC上选取点P，E，F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE，EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE，EF，FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值.（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）（7分）核心素养水平分析：（1）如图4，能画出外接圆，则达到直观想象素养水平1的要求;三步演绎推理出结果，标定为逻辑推理素养水平1.分值标定为I1-1，R1-1.（2）如图5，能发现当射线MO与⊙O相交时，PM最大，则达到直观想象素养水平2的要求;能严谨地论证为什么此时MN最大，则达到逻辑推理素养水平2的要求.分值标定为I2-2，R2-1.（3）如图6，若能在陌生情境中跨学科联想到物理中的“光行最短”原理，将边AB和AC 看作平面镜，点光源P发出的光线经过两次反射回到点P，进而在BC上找一点P，构造将军饮马模型，且发现当连接AO时AP最小，如图7，此时线段MN最小，则达到直观想象素养水平3和数学建模素养水平3的要求，其中也考查了数学抽象素养水平3;能严谨地证明为什么线段MN是PE+EF+PF的最小值，和证明为什么当连接AO时AP最小，则达到逻辑推理素养水平3的要求;能在较复杂的情境中选择合适的运算方法，并体会代数推理，则达到数学运算素养水平3的要求.分值标定为I3-2，A3-1，R3-1，M3-1，C3-2.2.2 2019年第25题试题呈现及分析问题提出（1）如图8，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形;（2分）问题探究（2）如图9，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离;（5分）问题解决（3）如图10，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE.根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积;若不可以，请说明理由.（塔A的占地面积忽略不计）（5分）核心素养水平分析：（1）能在熟悉的情境中画出平行四边形，则达到直观想象素养水平1的要求.分值标定I1-2.（2）如图11，能构造出以边BC为直径的圆，则达到直观想象素养水平2的要求;如果能用准确的数学语言演绎推理出所有满足条件的点P，且论证在OB>AB的条件下，⊙O一定与AD相交于点P，则达到逻辑推理素养水平2的要求.分值标定为I2-3，R2-2.（3）能由平行四边形的性质推理出∠BE′D=60°，且严谨地论证EF≤E′A，标定为逻辑推理素养水平2;构造出⊙O，如图12，发现当E′为中点时，面积最大，标定为直观想象素养水平3;计算得到结果，则达到数学运算素养水平2的要求.分值标定为R2-1，C2-2，I3-2.2.3 2020年第25题试题呈现及分析问题提出（1）如图13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是;（3分）问题探究（2）如图14，AB是半圆O的直径，AB=8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长;（4分）问题解决（4）如图15，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB=70m，点C 在⊙O上，且CA=CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P 分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y （m2）.①求y与x之间的函数关系式;②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP=30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.（5分）核心素养水平分析：（1）能在熟悉的几何情境中写出证明过程，则达到逻辑推理素养水平1的要求.分值标定R1-3.（2）如图16，能根据求解需要，由PB=2PA想到连接OP，则达到直观想象素养水平2的要求;能将（1）结论迁移，推理出其他元素的关系，标定为逻辑推理素养水平2;在较复杂的图形中，能结合元素间关系和数据选择合适的运算方法，则达到数学运算素养水平2的要求.分值標定为I2-2，R2-1，C2-1.（3）如图17，能在复杂的情境中，用图形旋转转化阴影面积，标定为直观想象素养水平3;能严谨论证阴影面积转化前后不变，探索并用准确的语言推理图形间的数量关系，标定为逻辑推理素养水平2;能在较复杂的几何图形中建立二次函数模型，标定为数学建模素养水平3;其中蕴含了数学运算，为水平2.分值标定为I3-1，R2-1，M3-1，C2-2.2.4 总体评析（1）指向核心素养由表1得：①这三年的直观想象、逻辑推理和数学运算三个素养的权重较大，原因是第25题主要是“图形与几何”内容，在几何直观和空间想象的基础上进行有逻辑地思考，涉及部分代数推理，兼有数学运算素养.2019年数学运算权重增加，平衡代数和几何的比例.②数学抽象和数学建模考查较少.仅2018年问题（3）从跨学科的视角考查了数学抽象.三个试题第（3）问虽都以现实问题为背景，但给出了对应的几何图形，免去了从实际问题抽象出几何图形的过程，可能由于脱离几何图形来描述现实情境容易产生歧义.2020年问题（3），若题目中不给定变量x和y，直接让求阴影面积的最大值，则要求考生在体会图形的形成过程中，来找到决定阴影面积的关键量是线段AP的长度，自己引入变量来列关系式，这样会考查到数学抽象素养.（2）关注内在迁移这三道压轴题的五个核心素养水平2的总权重为50%，考查知识迁移最多.2018年问题（1）中顶角为120°的等腰三角形的线段和角之间的数量关系是解决（3）要用到的.问题（2）中圆内部一点到圆上的距离，什么时候最短或最长：该点和圆心的连线与圆的交点就是最短位置或最长位置，点在圆外也是一样的，这样（2）的活动经验可以来解决（3）.2019年问题（1）中根据平行四边形的性质画图，（2）中寻找并求出△BCP面积最大值的数学活动经验，可以迁移解决（3）.2020年问题（2）、（3）均用到了（1）的图形和结论，（2）中圆周角定理的推论也是求解（3）要用到的.每个试题的三问之间考查了学生的数学迁移能力.试题的三问从易到难，层层递进，是一个有机的整体.考查考生是否能识别三问之间的共同要素逐步求解问题（3）.在设计各小问时，如果后一问用到前一问的结论，考查较简单;若后一问用到前一问的解题思路和活动经验，相对提升了难度，整个图形的元素关系发生较大改变，相应的核心素养水平要求更高.3 命题建议3.1 融入核心素养制作多维细目表这三个试题主要载体是特殊四边形和三角形内容，蕴含数形结合思想，指向直观想象和逻辑推理;2020年增加了函数，指向数学建模和数学运算.可见，“四基”影响着核心素养的内容（即考查哪个核心素养）.由于核心素养的三个水平分别对应知识理解、知识迁移和知识创新三种不同的能力，可以用三个水平来调控试题的难度和区分度.一般地，同一个知识内容，核心素养水平级越高，考查的素养类别越多，试题难度就越大.如2018年的第25题第（3）问是这三个试题中难度最大的，考查了五个素养，且均为水平3.基于以上分析，可以制定表2，保证压轴题的综合性和区分度.3.2 用“三个水平”评价结构不良试题可命制结构不良试题[3]，如当试题的问题部分的内容缺失或冗余时，让考生通过补充问题或删减多余的问题内容，来提出新问题并解答;或让考生改变题目条件，写出能产生的新结论.对于结构不良试题的评分，可分析所提出的新问题或新结论是对应核心素养的哪个水平，水平越高赋分越高.4 教学启示4.1 “逐层”落实数学核心素养初中数学分为“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”和“综合与实践”四个领域，具体地，“数与代数”领域主要指向数学抽象、数学建模、代数推理和数学运算;“图形与几何”内容主要指向直观想象和逻辑推理;“概率与统计”主要指向数据分析.而数学核心素养被划分为知识理解、知识迁移和知识创新三个水平层次，教师应针对每个领域知识，系统地分析教材内容，依托数学内容环环相扣的特点来循序渐进地逐层发展学生的数学核心素养.教师在备课中应分析学生已有的与该章节内容有关的数学核心素养水平级情况，再结合每节教学内容，进一步思考应设置怎样的学习驱动任务，让学生达到相应的核心素养的哪个层级，最终提高数学核心素养水平.4.2 培养数学正迁移能力[4]一方面，当学习A和学习B有共同要素时，迁移就能发生.学习者能否识别概括出共同要素很关键，故可通过提高学习者的概括能力来培养数学正迁移能力.另一方面，当学习者大脑中有一个稳定清晰的数学认知结构时，面对新任务，就能唤醒已有的数学知识和经验来解决问题.如2018年第25题，对于最短路径，初中阶段数学相关依据是“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，物理中有“光行最短”原理，在“将军饮马”模型的构造中关联着等腰三角形的性质.考生若能将以上知识及其关系清晰地有逻辑性地存储在大脑中，形成自己的认知结构，题目便能求解.教师应挖掘知识间的内在逻辑关系，把知识点放在知识结构中去认识，基于单元整体乃至整个初中学段的课程的角度设计教学案例，来完善学生的认知结构.参考文献[1]喻平.学科关键能力的生成与评价[J].教育学报，2018，14（2）：34-40.[2]李先东，吴增生.核心素养视角下对数学测评的研究[J].数学教育学报，2017，26（5）：36-43.[3]任子朝，赵轩.数学考试中的结构不良问题研究[J].数学通报，2020，59（2）：1-3.[4]喻平.数学教学心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2018：108-111.作者简介成鸣娟（1988—），女，陕西渭南人，中教一级，硕士;参与完成两项西安市教育规划课题，主持完成一项陕西省教育规划课题“初中生数学迁移能力的培养研究”，多次被评为“希望杯”全国数学竞赛优秀辅导员;发表多篇论文.。

水平划分视域下初中生几何直观能力的培养策略王焕然(福建省厦门市槟榔中学ꎬ福建厦门３６１０１０)摘㊀要:在新课程标准下ꎬ随着课程目标从知识本位转向素养本位ꎬ明确数学课程要培养学生的核心素养.几何直观是初中数学核心素养之一ꎬ发展学生的几何直观能力有助于其更好地理解概念的本质及探索规律ꎬ将抽象的数学对象直观化㊁显性化.几何直观能力的培养有助于思维能力及创新能力的发展.文章基于几何直观能力的水平划分ꎬ给出了相应的教学策略.关键词:初中数学ꎻ水平划分ꎻ几何直观ꎻ培养策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－００３５－０３收稿日期:２０２３－１０－１５作者简介:王焕然(１９９６.１－)ꎬ男ꎬ研究生ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.基金项目:本文系福建省厦门市思明区教育科学 十四五 规划２０２２年度课题 初中生几何直观能力培养的策略研究 的阶段性研究成果(课题编号:Ｗ２０２２Ｚ００３１)㊀㊀在初中数学教学中ꎬ学生能力的培养离不开几何直观.几何直观能力不仅在 图形与几何 领域的学习中发挥着重要作用ꎬ而且也可以在 数与代数 领域借助图象的直观来研究函数的有关性质ꎻ在 统计与概率 领域可以借助统计图的可视化来解决实际问题ꎻ在 综合与实践 领域也可以通过数学化抽象出几何模型解决地理㊁经济中的跨学科问题.１几何直观的内涵及其形成的载体«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»新增了增加代数推理ꎬ加强几何直观 的要求[１]ꎬ由此可以看出几何直观的重要性.几何直观是由 几何 和 直观 两部分组成ꎬ而 几何 最早在古希腊时期实际所指的就是 土地 与 测量 [２]ꎬ显然ꎬ几何直观与实际问题是息息相关㊁不可分割的.由此可见ꎬ培养学生几何直观能力ꎬ对于学生解决一些实际问题是有帮助的.反之ꎬ学生在实际问题的解决中也会进一步加深对几何直观的理解.例如ꎬ在学习 数与代数 时ꎬ学生可以借助数轴的方向性直观地理解正负数所代表的含义 具有相反意义的量ꎻ在学习 实数 时ꎬ学生可以利用数轴直观证实２ꎬπ等非有理数是真实存在的ꎻ在学习 方程㊁方程组 时ꎬ可以借助画图让学生直观地感受二元一次方程中两个变量之间的关系ꎬ两个一次函数图象的交点坐标就是其对应的二元一次方程组的唯一解ꎻ在学习 不等式(组) 时ꎬ学生可以利用数轴直观地表示不等式(组)解集ꎻ在学习 函数 时ꎬ学生可以结合函数图象研究函数的性质.在 形 中猜想ꎬ在 数 中证明ꎬ使函数的学习更加完备ꎻ在学习 统计与概率 时ꎬ数据收集㊁数据分类㊁数据整理与数据表达的有关内容主要借助统计图直观描述数据ꎬ使学生更加清晰地分析问题和解决问题ꎻ而在解决抽样与数据分析㊁随机现象发生的可能性㊁随机事件的概率等问题时ꎬ可以利用散点图㊁树状图等直观地分析可能性.由此ꎬ可以利用几何图形分析实际情境ꎬ解决数学问题ꎬ促进学生几何直观的５３形成与发展ꎻ在学习 综合与实践 时ꎬ在解决有关科学㊁技术㊁金融问题的过程中ꎬ可以建立相关的数学模型ꎬ通过对模型的分析得出相应的结论.２基于水平划分几何直观培养策略«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»对每个核心素养的表现作了精确的界定.分别对其从 内涵 和 表现 两个方面作出描述.表现又分为关键能力㊁必备品格㊁价值观念三个方面.学者喻平认为ꎬ对于关键能力表述可以把数学核心素养划分为三级水平:知识理解(水平１)㊁知识迁移(水平２)㊁知识创新(水平３)ꎬ得到了下表具体描述[３].表１㊀何直观能力的水平描述核心素养知识理解(水平１)知识迁移(水平２)知识创新(水平３)几何直观能够感知各种几何图形及其组成元素ꎬ依据图形的特征进行分类能够根据语言描述画出相应的图形ꎬ分析图形的性质ꎬ建立形与数的联系ꎬ构建数学问题的直观模型能够利用图形㊁图表分析实际情境与数学问题ꎬ探索解题思路并解决问题㊀㊀基于以上划分ꎬ结合教学实践ꎬ可以提炼以下教学策略.２.１ 看图 索骥ꎬ明确组成要素例１㊀如图１ꎬ四边形ＯＡＣＢ的四个顶点的坐标分别为(０ꎬ０)ꎬ(０ꎬ６)ꎬ(４ꎬ６)ꎬ(４ꎬ０)ꎬ对角线ＯＣ与ＡＢ交点Ｄꎬ则Ｄ的坐标为.图１㊀例１题图本题考查目标属于知识理解(水平１)层面ꎬ主要考查学生能否抓住关键条件解决问题ꎬ即在解决问题时要从四边形ＯＡＣＢ的边入手.通过调查发现ꎬ学生缺乏这种问题解决意识ꎬ对坐标的意义理解不足ꎬ无法把坐标之间的数量关系转化为点之间位置关系.两者之间的转化ꎬ可以帮助学生在空间中更直观地理解和刻画点之间的相对位置.在初中数学教学中ꎬ教师要注重培养学生系统性思维的习惯ꎬ引导学生能够将问题和信息放入一个整体框架中进行思考ꎬ关注问题之间的相互关系和影响ꎬ能够从整体和细节两个层面来分析问题.对于图形的初步认识ꎬ就是要先看到图形的基本组成元素ꎬ即要判断给定的图形是平面图形还是立体图形ꎬ是直线形还是曲线形.若为直线形ꎬ有几条边ꎬ有几个角.在教学中ꎬ教师要引导学生从整体和局部等不同角度去观察图形的特征㊁性质以及组成要素等ꎬ明确元素之间的位置关系㊁大小关系ꎬ用发现的眼光看图形ꎬ加强学生的观察能力和判断能力的锻炼.最后ꎬ根据图形特征对图形进行系统分类ꎬ有助于学生对图形的认识和理解.２.２ 画图 分析ꎬ建立数形关系例２㊀已知点Ｐ(ｂꎬ１２－ｂ)在第一象限内ꎬ且到ｘ轴与ｙ轴的距离相等ꎬ点Ｂ在ｙ轴正半轴上ꎬ连接ＢＰꎬ过点Ｐ作ＢＰʅＡＰ交ｘ轴正半轴于点Ａꎬ则ＯＡ＋ＯＢ＝㊀㊀.本题考查目标为知识迁移(水平２)层面ꎬ解决本题时需根据已知条件画出符合要求的图形ꎬ由 数 到 形 ꎬ根据已知条件求出点Ｐ的坐标ꎬ然后利用全等三角形性质进行线段的转化与计算ꎬ最终求出ＯＡ＋ＯＢ的长度.画图是几何直观形成过程中必不可少的步骤之一.在解决数学问题时ꎬ通过画图ꎬ可以有效提取题干中的数学信息ꎬ进而将文字信息加工成图形信息ꎬ然后借助图形处理㊁解决问题ꎬ这是培养学生几何直观的重要途径.正确画图是学生薄弱技能ꎬ在初中数学教学中ꎬ教师要引导学生仔细阅读题目ꎬ确保对已知条件中的相关信息有清晰的认识ꎬ然后根据已知条件绘制基本图形ꎬ添加细节ꎬ要引导学生细致㊁准确地绘制每个要素.最后进行校验和调整ꎬ把错误或不符合要求的地方ꎬ及时进行调整和修正ꎬ以确保绘制的图形与描述相符.例３㊀已知әＡＢＣ内接于☉ＯꎬＡＢ＝ＡＣꎬøＡＢＣ ６３＝６７.５ʎꎬ弧ＢＣ的长为２２π.点Ｐ是射线ＢＣ上的动点ꎬＢＰ＝ｍ(ｍȡ２).射线ＯＰ绕点Ｏ逆时针旋转４５ʎ得到射线ＯＤꎬ如图２所示.点Ｑ是射线ＯＤ上的点ꎬ点Ｑ与点Ｏ不重合ꎬ连接ＰＱꎬＰＱ＝ｎ. (１)求☉Ｏ的半径ꎻ(２)当ｎ２＝ｍ２－２ｍ＋２时ꎬ在点Ｐ运动的过程中ꎬ点Ｑ的位置会随之变化ꎬ记Ｑ１ꎬＱ２是其中任意两个位置ꎬ探究直线Ｑ１Ｑ２与☉Ｏ的位置关系.图２㊀例３题图本题主要考查知识迁移(水平２)层面ꎬ在问题(２)中探究点Ｑ位置变化规律的思维过程有如下环节:①发现 垂径结构 ꎬ从而得到等腰直角三角形әＯＥＣ的边㊁角信息ꎻ②基于对等式ｎ２＝ｍ２－２ｍ＋２结构特征的观察ꎬ变形为ｎ２＝(ｍ－１)２＋１ꎬ再结合图形中的线段数量ꎬ联想勾股定理ꎬ找到ＲｔәＯＥＰꎬ从而发现ＯＰ＝ｎ＝ＰＱꎻ③发现 一线三直角模型 ꎬ并得到模型的性质ꎻ④观察与点Ｑ有联系的线段长度或角度ꎬ发现ＱＦ＝ＣＦꎬ从而发现点Ｑ在定直线上.上述环节中ꎬ②④是探究过程的关键点ꎬ也是难点.同时也充分反映了 数 与 形 之间的联系:观察代数结构特征ꎬ解释几何关系.２.３ 用图 解题ꎬ运用图形分离例４㊀探究活动(１)知识回顾.如图３ꎬ王芳把一块三角形的玻璃打成三块碎片ꎬ现要配出与原来一样的玻璃ꎬ则应携带的玻璃碎片编号是㊀㊀.图３㊀三角形碎片示意图㊀图４㊀四边形碎㊀图５㊀全等四边片示意图形示意图(２)直观感知.如图４ꎬ李明把一块四边形的玻璃打成四块碎片ꎬ现要配出与原来一样的玻璃ꎬ则应携带的玻璃碎片编号是㊀㊀㊀.(３)问题探究.在平面几何里ꎬ能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.类似的ꎬ我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形.也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等.已知:如图５ꎬ在四边形ＡＢＣＤ与四边形ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄ中ꎬＡＢ＝ＡᶄＢᶄꎬＢＣ＝ＢᶄＣᶄꎬＣＤ＝ＣᶄＤᶄꎬＤＡ＝ＤᶄＡᶄꎬøＡＢＣ＝øＡᶄＢᶄＣᶄ.求证:四边形ＡＢＣＤ与四边形ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄ是全等四边形.本题考查目标属于知识创新(水平３)层面.首先ꎬ需深入了解实际情境ꎬ对问题的需求和限制要有清晰的认识ꎻ其次ꎬ分析图形ꎬ建立数学模型ꎬ对于四边形全等的问题ꎬ需利用类比思想方法将陌生问题转化为熟悉的数学问题ꎻ最后ꎬ验证和解释结果ꎬ建立实际情境和数学模型之间的关系.在图形之间相互转化的过程中ꎬ要通过分析已知条件ꎬ重新绘制几何图形ꎬ感受图形由单一的几何图形到多个图形形成的组合图形的生成过程ꎬ从而发现复杂图形中的基本图形ꎬ进而找到组合图形中单一图形的性质与规律.３结束语几何直观能力的培养对于学生的认知发展㊁问题解决和创新能力的培养都具有重要的意义.水平划分为教师提供了一个新的模式ꎬ对学生的学业成就进行具体刻画ꎬ也为单元作业设计㊁考试命题提供了可行性的方法.但是ꎬ在教学中要与具体教学内容建立联系ꎬ引导学生通过 看图 索骥㊁ 画图 分析㊁ 用图 解题等具有可操作性过程体会几何直观.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(２０２２年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２.[２]蔡宏圣.几何直观:小学数学教学的视角[Ｊ].课程 教材 教法ꎬ２０１３(５):１０９－１１５. [３]喻平.«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»学业质量解读及教学思考[Ｊ].课程 教材 教法ꎬ２０２３(０１):１２３－１３０.[责任编辑:李㊀璟]７３。

2022年版课标对学业质量的描述是：“数学课程学业质量标准主要从以下三个方面来评估学生核心素养达成及发展情况。

（1）以结构化数学知识主题为载体，在形成与发展‘四基’的过程中所形成的抽象能力、推理能力、运算能力、几何直观和空间观念等。

（2）从学生熟悉的生活与社会情境，以及符合学生认知发展规律的数学与科技情境中，在经历‘用数学的眼光发现和提出问题，用数学的思维与数学的语言分析和解决问题’的过程中所形成的模型观念、数据观念、应用意识和创新意识等。

（3）学生经历数学的学习运用、实践探索活动的经验积累，逐步产生对数学的好奇心、求知欲，以及对数学学习的兴趣和自信心，初步养成独立思考、探究质疑、合作交流等学习习惯，初步形成自我反思的意识。

”由此可以看到，一是通过形成“四基”“四能”来发展学生的数学核心素养，即学业质量评价的第一个指向是核心素养的11个表现，其实，这11个表现也就是11个数学关键能力（下面的讨论将核心素养表现作为关键能力看待）；二是通过数学学习，发展学生的必备品格和正确价值观，即学业质量评价的第二个指向是品格与价值观。

因此，学业质量评价已经从偏重学生知识学习的结果转向知识与素养并重的理念。

2022年版课标在对学业质量评价内涵界定的基础上，依据上述三个方面对各学段学业质量标准作了具体描述。

同时，在评价建议中提出了命题原则、命题规划。

然而，这些要求、规定、原则、规划与教学实践中评价的具体操作之间还存在一个中间地带，例如，2022年版课标指出“科学制订多维细目表”，但这个表的具体样态并不知道。

因此，需要开辟课标与实践之间的评价路径。

下面建立一个学业质量评价的框架，如表1，包括评价内容、评价类别、评价方式、评价工具、具体操作。

◇喻平小学数学学业质量评价：评价内容关键能力评价品格与价值观评价评价类别终结性评价过程性评价评价方式纸笔测验成长记录评价工具测验题目评价量表具体操作（1）对数学核心素养表现作水平划分（2）设计命题的三维细目表（3）命题编制（4）实践验证题目的科学性（1）提出评价指标体系（2）通过思辨与实证结合，建构品格与价值观评价指标（3）实践验证指标的合理性表1小学数学学业质量评价框架框架与方法2024.2下半月·数学（1）为什么要对核心素养表现作水平划分？从学理层面看。

我国数学教育应当研究的若干问题喻　平（南京师范大学课程与教学研究所　２１００９７） 我们从数学课程与教材、数学教学、数学教育心理、数学教育哲学等四个方面，对１９７８年以来我国数学教育研究的基本情况作了比较系统的梳理和分析［１］［２］［３］［４］，并对一些重要的研究成绩作了评述，对３０年来研究的不足作了分析和反思［５］．本文在这个基础上，并结合国外的相关研究，从数学教育哲学、数学课程、数学教学、数学教学心理、数学教师专业发展等方面，提出我国数学教育应当研究的若干问题．１　数学教育哲学与数学课程设计哲学的作用就是为教育与课程理论提供思辨的前提，课程思想是哲学家的哲学观点在教育领域的延伸［６］．课程设计必然受到哲学思想的影响．从课程的本体论基础看，唯心主义的本体论上强调先天理性和自由意志，偏爱文雅教育排斥经验与科学的重要性；唯实主义强调环境对心灵的影响，重视科学教育；实用主义主张心物交互作用，坚信活动课程的价值；存在主义强调经验的意义，主张培养学生完善人格，达到自我实现的课程观．那么就我国的课程设计来说，应当思考：我国数学课程设计应当是什么样的本体论基础，并对这种基础的合理性和可行性进行分析．从课程的认识论基础看，主要反映在对知识性质的不同理解上．对知识本质的不同认识会导致课程设计时对内容选择、内容编排的不同倾向性，就我国的课程改革而言，应当思考：选择什么数学认识论作为课程设计的基础是合适的；数学课程设计是基于一种数学认识论观点还是基于多种数学认识论观点．从课程的价值论基础看，数学课程目标直接反映数学教育的价值［７］．对教育目的的认识涉及不同的价值判断：个人主义与社会主义、理性主义与功利主义、科学主义与人文主义、精英主义与平等主义、现时主义与未来主义等［８］．结合我国国情，在课程编制中应当思考：数学课程目标的价值追求，实现这种价值追求的可能性和可行性．２　数学教育哲学引领下的数学教学Ｅｒｎｅｓｔ基于数学哲学把数学教育观念分为５种类型：严格误导派、技术实用主义、旧人文主义、进步教育派、大众教育派［９］，并分析了这些观念对数学教育产生的实质性影响．教师的教育观念制约自身的教学观念和教学行为，这是一个基本的共识．应当研究：我国数学教师的基本教育观念是什么；西方数学教育观对我国数学教学观产生了多大影响；实现教学目标的合理性教学观念体系建构；基于不同教学观的课堂教学结构分析；与不同教学内容适配的教学观念定位分析．３　数学文化在数学课程与教学中的渗透张维忠对数学、文化、课程三者的关系作了比较深入的研究，从数学文化角度考察其对数学课程发展的影响［１０］．需要进一步研究的问题：数学文化视野下的课程设计；数学文化视野下的教学范式；数学文化视野下的学习范式；数学文化视野下的教学评价等等．４　数学课程设计的教育理论基础课程改革必须考虑新课程设计的理论基础，新一轮课程改革的理论基础混乱是推行课程实施步履维艰的原因之一［１１］．在课程标准的修订和新一轮课程改革时要对如下问题进行深入研究：课程与教学理论的发展对数学课程设计的启示；数学课程设计的哲学基础、心理学基础、教学论基础、社会学基础研究；数学课程设计中理论基础的和谐性与协同性．５　化解课程实施中的教学基本矛盾课程的变革必然带来教学的变革，原来课程与教学中平衡的矛盾关系被打破，形成一些无法回避的新的矛盾［１２］［１３］，直接结果是给一线教师带来教学层面的操作性困难．需要研究：如何正确处理数学教学中的基本矛盾，包括文化教育与科学教育的矛盾、过程与结果的矛盾、实验与论证的矛盾、归纳与演绎的矛盾、理论与应用的矛盾、证实与证伪的矛盾等；平衡或消解数学教学基本矛盾的教学策略．６　课程实施的效果评价如果在课程目标的设置时没有充分考虑学习结果应当如何评价，即在课程目标设计时没有考虑到用怎样的方式去评价教学实际结果与课程目标的达成程度，评价手段、技术、工具能否真正反映课程目标的实现与否，那么这种课程设计会产生致命缺陷，因为学习结果评价反而会控制课程目标，形成新的教学目标而偏离原来的目标．在课程与教材设计时要做到课程目标设计与学习结果评价工具的研制同步，需要研究：课程目标变化之后评价理论的适应性；课程目标与评价工具的匹配性；数学考试命题的实质性改革等问题．７　隐性数学课程资源的开发隐性数学课程资源指不以文本形式显性表述的，而是潜藏于显性知识深层的隐性知识，如数学知识的文化元素、数学知识的过程元素、数学知识的逻辑元素、数学知识的背景元素等［１４］．开发和利用隐性数学课程资源对于充分体现数学教育的功能有着十分重要的作用，需要研究：隐性数学课程资源的内容与范畴；隐性数学课程资源开发的策略与途径；隐性数学课程资源的课堂教学设计等．８　数学课程的深层次国际比较这些年关于数学课程的国际比较研究的文献比较多，包括课程标准的比较与教材的比较．综观这些成果可以感觉到多数研究都是针对教学理念、教学目标、教学内容、知识体系、习题数量与难度等内容展开的，缺少深层面的解析．数学课程的国际比较应当作一些深层面的工作，如：不同国家数学课程设计的理论基础（教育理论基础、心理学理论基础、社会学理论基础、数学教育哲学基础）比较；不同国家数学教材设计的文化因素分析；不同国家数学教材设计的隐性课程资源分析等等．９　数学教材编制的科学性数学教材编制的科学性，要以理论和实践两种途径作为检验标准．研究的问题有：知识展示逻辑顺序的合理性研究；知识展示的过程与结果如何处理；例题的选择与数量界定；习题的数量、质量的确定；不同学段教学内容的衔接等等．此外，需要研究数学教材编制与课程标准的一致性问题，这要研究一套评价工具．１０　数学课程改革的实验研究数学课程改革的成功与否，是以教学实施效果为依据的．一方面要检验课程实施效果与课程标准的吻合程度；另一方面要验证课程实施的可行性问题，两方面的研究都需要进行实验研究．涉及的问题：课程实施过程中教师的教学观念、知识结构、教学模式的适应性；课程实施中学生的学习方式、课业负担、评价方式的适应性；有多少学生达到了课程标准规定的目标要求；课程实施中出现了哪些需要修订课程标准的问题等等．１１　教学基本理论对数学教学影响教学理论在不断创新，从行为主义创立到现在的１００余年中，出现不同的教学理论几十种，应当梳理，这些教学理论对我国数学教学产生了什么样的影响；中国数学教学是受到儒家教学思想大还是受到西方教学思想的影响大．另一方面，建国以来我国数学教育是否形成了自己的理论．对这些问题需要做出深层次分析，对一些做法、经验加以提炼．１２　合作学习的实证研究合作学习是以建构主义和情境认知理论为基础的，需要思考：合作学习是否适合数学学习；数学合作学习的前提条件是什么；数学合作学习人数应为多少才能使教学效果最佳；哪些内容利于合作学习哪些内容不利于合作学习；合作学习适合哪类学生学习．对于这些问题，应当结合实证而不是纯粹思辨的方法进行研究．１３　有效教学的实证研究理论思考的问题：数学有效教学的标准是什么，数学有效教学的特殊性体现在哪里．实证研究的问题：同课异构的教学有效性比较；“讲学稿”教学模式的有效性；“翻转课堂”教学模式的有效性；练习效应与教学的有效性；变式教学的有效性；样例学习的教学有效性等等．１４　教育技术与课堂教学整合与优化教育技术的产生源于行为主义，如何对这种理论基础进行改造是应当研究的问题．需要思考：利用教育技术进行教学设计的理论基础分析；教育技术在代数课堂教学中的应用与影响；教育技术在几何课堂教学中的应用与影响；教育技术在概率统计课堂教学中的应用与影响；教育技术在微积分课堂教学中的应用与影响［１５］等等．１５　课堂观察维度与指标体系建构课堂观察是一种目前比较受追捧的研究方法，这是基于个案的实证研究．我们提出一个框架：从教师的数学观层面观察课堂及观察指标建构，从教学目的设计与实施层面观察课堂及观察指标建构，从教学内容的组织层面观察课堂及观察指标建构，从课程资源开发层面观察课堂及观察指标建构，从课堂操作层面观察课堂及观察指标建构，从教学效果层面观察课堂及观察指标建构．１６　陈述性知识与程序性知识的教学策略设计与实验认知心理学把知识分为陈述性知识和程序性知识，这种知识的分类主要是为了研究知识的表征和知识习得的心理差异．因此，在教学层面就应当思考：陈述性知识的教学策略设计；程序性知识的教学策略设计；促进陈述性知识向程序性知识转化的教学策略．并且应当对这些设计进行验证性实验．１７　概念图在数学教学中的应用概念图用于教学，国外的研究比较多，而且主要集中在科学（物理、化学、生物、地理）教学领域［１６］，在数学教学中的相关概念图应用研究很少，这是一个值得思考的问题，同时也是一个值得研究的问题．如概念图不同评价方式的比较［１７］；概念图作为评价工具在数学教学中的应用；概念图作为教学设计工具在教学中的应用；概念图作为学习工具在数学学习中的应用；使用概念图促进学生数学理解；使用概念图提高学生的解决问题能力；使用概念图促进学生的知识迁移等等．１８　中国数学教学经验提升和理论总结国内出现了较多的数学教育实验，如自学辅导、尝试指导－效果回授、问题－情境、ＧＸ、ＭＭ等，依据这些实验产生若干教学模式．在教学一线，许多教师也创建了数量众多的数学教学模式，但是，这些模式的国际影响并未显现，主要是我们的理论提升不够，模式的理论高度不够，普适性也有待验证．如何从教学实践中归纳和总结经验，打造我国数学教育的基本理论并将其推向国外，是我们必须研究的问题．１９　数学教学中的直观化与数学学习直观化与数学教学的关系研究是国外研究的一个热点［１５］．如下问题值得研究：直观化与问题解决：数学问题直观化程度的高低与问题解决成绩之间的相关性；空间问题复杂性程度对不同解题策略的选择的影响；问题的呈现方式（语言、阅读、图表）与学生解题策略选择之间的联系；样例的直观化对学习时间、认知负荷及解决迁移靶题成绩的影响．直观化与知识理解：教学中使用直观手段对不同年级学生知识理解的作用和差异；代数问题直观化对学生知识理解的作用；概率与统计问题直观化对学生知识理解的作用；如何使用教育技术进行体现直观性的有效教学设计．直观化与个体差异：不同学业水平学生在使用直观策略方面的差异；直观教学对不同学业水平学生学习的影响；男生与女生使用直观策略的差异；不同年龄阶段学生使用直观策略的差异；不同民族学生使用直观策略的差异．直观化与数学能力：直观化教学能够促进某些数学能力（逻辑思维能力、归纳思维能力、空间想象能力）的发展还是阻碍某些数学能力的发展；直观化教学与个体数学活动经验形成的内在联系；直观化教学与创新思维能力发展的内在联系．２０　数学推理的心理研究推理的心理学研究主要集中在演绎推理方面［１８］，数学推理是数学学习的主要内容，但是关于数学推理的心理学研究太少．下面是一些尚待研究的内容：认知结构与数学推理的关系（完善的认知结构是否有助于数学推理，完善的认知结构是有助于演绎推理还是有助于类比推理）；陈述性知识与程序性知识对数学推理的影响（在陈述性知识和程序性知识中，哪一类知识对数学推理的影响更大），数学学习文本的不同展示方式对数学推理的影响（增强文本直观性对数学推理是否有促进作用，增加文本中的多余干扰信息是否会对数学推理产生不利影响）；数学演绎推理与归纳推理的关系（个体演绎推理与归纳推理的相关性，演绎推理的增长对归纳推理产生促进作用）；个体元认知水平对数学推理的影响（有高自我监控能力的学生是否就有高水平的推理能力，反思与推理之间是什么关系）；数学理解水平与推理水平的关系（理解水平是否与推理水平存在线性关系）；数学焦虑与数学推理的关系（数学焦虑在何种水平最利于数学推理）．中学生数学推理的发展研究（中学生数学推理发展的关键期，男女生数学推理的发展是同步性，数学推理能力发展与知识的增长的关系）；几何推理与代数推理的关系（几何推理的特征，代数推理的特征，几何推理与代数推理之间的关系）；推理教学与推理学习的关系（是否有必要专门讲授形式逻辑的相关知识，教师的推理能力对学生数学推理能力增长产生影响，在几何教学中采用什么样的教学设计最利于发展学生的推理能力）．２１　数学学习与迁移关于数学学习的迁移，国内以莫雷教授团队做的工作最好［１９］．但更多的问题需在思考和研究．样例学习与迁移：样例变式形式、难度、信息不全、信息多余等对学习的不同影响；源题与靶题的相似程度、靶题的变异程度对问题解决有何影响；如何分解问题的子目标更利于学生学习；在样例中设计穿插了一系列反省问题，引发学习者自我解释，不同的反省问题是否会产生不同学习效果；多重样例的数量变化、形式变化对学习会产生的影响，什么呈现方式最利于学生学习；不同年级学生是否应当采用不同的样例呈现方式会更利于学习．迁移现象的多因素分析：其一．过去关于学习迁移的研究，几乎都是围绕学习材料等外部因素展开的，应当重点考虑学习者内部因素对迁移的影响．其二，迁移不可能局限于单一因素的影响，要研究多因素对迁移的影响，这方面需要做大量的工作．２２　学生认识信念对数学学习的影响个体认识信念的研究主要有三种取向：个体认识论的发展研究、个体认识的信念系统研究和个体认识的元认知过程研究［２０］．关于学生认识信念的研究，应当围绕下面问题展开：认识信念的测量［２１］；认识信念与学习态度的关系；认识信念与学习自我效能感的关系；认识信念与学习动机的关系；认识信念与认知因素的关系，具体地说，认识信念影响哪些认知因素的发展；影响学生认识信念发展的因素分析．２３　非认知因素对数学学习的影响以往的研究多是聚焦于单个非认知因素与学习的关系，采用的方法以测量为主，表现出研究方法的单一性．应当关注：非认识因素中几个要素的交互作用对数学学习的影响；非认知因素的课堂观察研究；学生非认知因素发展规律研究．２４　学生数学认知水平的发展林崇德等做了系统的研究，包括对中小学生数学思维品质、归纳推理、演绎推理、概括能力、运算能力、空间能力的测量和实验研究，得到一些有意义的结论［２２］．但是，整个研究方法是建立在测量基础之上的，认知水平的划分有一定时代性局限．随着时代的进步，我们需要建立一套完整的量表，作出准确的认知水平划分，系统研究从学龄前儿童到高中毕业学生的数学认知发展水平，摸清学生数学认知发展的规律、认知发展的关键期与转折期．２５　高级数学思维从过程概念向定义性概念的过渡，就是初级数学思维向高级数学思维的转变．高级数学思维有两个特征：概念有准确严谨的数学定义，建立在此基础上的定理的逻辑演绎［２３］．高级数学思维是国外学者提出的一个概念，对它的界定不是十分清晰．对这个问题的研究应当思考如下一些问题：高级数学思维的内涵是什么；高级数学思维的特征是什么，它是否只具备形式定义和演绎论证两个特征；是否常量数学对应的是初级数学思维，变量数学对应的是高级数学思维；学生高级数学思维的形成和发展有什么规律；从初级数学思维向高级数学思维转变，学生会出现什么思维障碍，如何消除这些障碍；高级数学思维是否存在不同的水平，如何界定这些水平；高级数学思维的心理机制是怎样的；测量高级数学思维的量表编制；高级数学思维的培养策略等等．２６　学生学习心理的多因素之间关系研究以往的研究主要是讨论两个心理因素之间的关系，作为推广应当考虑：多种认知因素的交互作用对数学学习的影响；多种非认知因素的交互作用对数学学习的影响；认知因素与非认知因素的交互作用对数学学习的影响；认知因素之间的相互影响、认知因素与非认知因素之间的相互影响、非认知因素之间的相互影响等等问题．２７　数学概念与命题认知的相关问题概念学习的研究问题：概念形成与概念同化的教学效果差异比较；概念域（系）［２４］形成的基本规律；概念理解的水平界定；概念应用的水平划分；概念学习对命题学习的影响；从逻辑思维角度分析概念理解的心理障碍；从概括水平角度分析概念理解的心理障碍；从归纳思维角度分析概念理解的心理障碍等等．命题学习的研究问题：下位学习与上位学习的命题教学效果差异比较；命题域（系）［２４］形成的基本规律；命题理解的水平界定；命题应用的水平划分；命题证明的学习心理分析；命题的变式应用；从逻辑思维角度分析命题应用的心理障碍；从概括水平角度分析命题应用的心理障碍；从归纳思维角度分析命题应用的心理障碍等等．２８　数学解题认知的相关问题解决问题的心理研究：解决应用问题的心理表征；影响模式识别的外部条件分析；影响模式识别的心理因素分析；自我监控对解决问题其他心理因素的影响；个体ＣＰＦＳ结构对解决问题的影响；共通任务能力（数学阅读能力、数学概括能力、数学变换能力、逻辑思维能力、空间思维能力）对解决数学问题的影响．２９　数学阅读的相关问题数学阅读研究的兴起较晚，许多东西还未搞清楚．需要研究：数学阅读能力与知识理解的关系；数学阅读与问题解决的关系；不同文本展示对数学阅读的理解；数学阅读水平的发展；影响数学阅读的心理因素分析；数学阅读能力与其他数学能力的关系研究．３０　数学教师的知识结构教师的知识研究主要分为三个领域：教师知识的要素与结构，教师知识结构对教学的影响，教师知识结构的发展．虽然有了许多研究结果，但主要是国外学者研究的结论，在国内应当对其进行更深入地探讨，如数学教师知识的组成要素、知识结构的形态、知识结构的发展；专家型教师与新手教师的知识结构差异；教师知识结构中影响教学的主要因素分析；数学教师的知识结构与教学设计的关系；数学教师的知识结构与教师自我监控能力的关系；数学教师的知识结构与教师自我意识的关系；数学教师知识结构与教学效能感的关系等等．３１　数学教师的ＰＣＫ（ＰＣＡ）关于教师学科教学知识（ＰＣＫ）的研究成为这几年学界讨论的热点，综观研究概况，可以看出这方面的议论性研究比较多，实证研究太少．教学ＰＣＫ的研究必须走进课堂，主要采用课堂观察的方法或实验干预方法来做，深入研究如下问题：数学教师的ＰＣＫ形成机制；从ＰＣＫ到学科教学能力（ＰＣＡ）［２５］的理论思考；ＰＣＡ的基本构成要素；数学教师ＰＣＡ的外部表现形式；数学教师ＰＣＡ（ＰＣＫ）对课堂教学的影响；数学教师ＰＣＡ（ＰＣＫ）对学生学习的影响等等．３２　教师数学教学认识信念研究的问题：教师数学教学认识信念的结构分析［２６］；教师数学教学认识信念对教学行为的影响；教师数学教学认识信念对学生学习信念的影响；教师数学教学认识信念对课堂教学效果的影响；教师数学教学认识信念与教学风格的关系；教师数学教学认识信念与实现教学目标的偏差；教师数学教学认识信念与教学评价观的内在联系．３３　数学教师培训这些年，在“国家级教学培养计划”的引领下，出现了不同层次的教师培养活动，于是也就出现许多值得研究的问题：调查不同层次教师培训的效果；不同层次、不同类型数学教师培训的模式探析；不同层次不同类型数学教师培训的有效策略；数学教师培训的内容分析；各地数学教师培训（培训目标、培训内容、培训方式、培训者的素质、培训条件、培训效果）的比较；国外教师培训对国内教师培训的启示等等．３４　师范院校课程与教学改革中小学的课程改革持续推进，高等师范院校的课程则几十年一贯制，两者的不协调性已经变得十分突出．要思考师范院校的数学课程改革问题：与中小学课程改革相协调的师范院校课程体系建构；与中小学课程改革的师范院校教学模式创新；与中小学课程改革相适应的师范院校学生能力提升；与中小学课程改革相适应的师范院校教师观念转变等等．（下转第２３页）。