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专题一：通径分析

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第13章 通径分析

第13章 通径分析

通径分析
Statistical Analysis System
间接通径系数：





对于x2变量 x2通过x1的间接效应为r21*Py1= 0.49034= -0.071830 x2通过x3的间接效应为r23*Py3= 0.78602= -0.123665 对于x3变量 x3通过x1的间接效应为r31*Py1= 0.49034= -0.068363 x3通过x2的间接效应为r32*Py2= 0.70914= -0.111569
通径分析（Path Analysis）可以深入 讨论变量间的因果关系，把自变量 与依变量的相关系数分解为：
自变量对依变量的直接作用； 自变量通过其他自变量对依变量的间 接作用。

概述
Statistical Analysis System
设依变量y受两个彼此独立的自变量 x1、x2的影响，则其关系可图解为： x1 两条带箭头的连线 y 叫通径（path）。
通径分析
Statistical Analysis System
直接通径系数：





P=自变量的回归系数×自变量的标准差/依 变量的标准差 Py1= 1.03684 × 0.74656 / 1.57863 = 0.49034 Py2= 0.28499 × 3.92809 / 1.57863 = 0.70914 Py3= 0.34812 × 3.56439 / 1.57863 = 0.78602 由于回归系数t检验均达显著水平，所以通
-0.14649 × -0.15733 ×
-0.13942 ×
-0.15733 ×
通径分析
Statistical Analysis SystemLeabharlann 对相关系数阵求直接通径系数：

通径分析及其简单实现

通径分析及其简单实现

通径分析及其简单实现搜集变量资料是农业科学研究经常采用的方法，如：搜集作物的产量与其构成因素穗数、粒数、粒重等资料，研究这些变量的目的想知道这些变量之间的关系，许多人往往采用简单回归和相关或多元回归分析。

但是，多元回归分析虽然在一定程度上能反映各个变量的真实关系，然而多元回归在分析偏回归系数时带有单位，使自变量对依变量的效应不能直接进行比较，从而不能比较各自变量的相对重要性。

要解决这个问题，进行通径分析(即为通径系数的分析)是一个比较好的选择。

然而令人感到棘手的是，面对繁杂的计算公式往往感到无从下手，下面从通径系数的概念入手，引出通径系数的求算方法，并利用SAS完成通径分析全过程。

1. 通径和通径系数的概念1.1 通径设依变量y和两个自变量x1、x2之间有如下关系：x1yx2图1 通径图在图1 中“→”中表示变量间存在因果关系，箭头方向是原因到结果，称为通径。

“”表示变量间存在相关关系，称为相关线，x1→y,x2→y为直接通径，由于x1,x2存在相关关系，又产生了两条间接通径，一条是x1是通过x2而作用于Y的通径，记作x1→x2→Y,一条是x2是通过x1而作用于y的通径，记作x2→x1→y。

这种情况可以推广到i个自变量，并记直接通径为i→y（i=1,2,3····m）,间接通径为i→j→y(i=1,2,3····m，i≠j ) ，但也可统一记作i→j→y，当i=j时为直接通径，i≠j时为间接通径。

1.2 通径系数表示各条通径对于改变依变量的相对重要性的统计数就叫通径系数, 记作P i→j→Y 或简写为P ijY。

通径系数的定义可以由偏回归系数导出。

例如水稻单株产量y（kg）与x1（穗数）、x2（单穗粒数）、x3（粒重）间存在着线性回归关系。

其回归关系为：y=b0+b1x1+b2x2+b3x3，此式中b0为常数，b1、b2、b3分别表示y对x1,y对x2, y对x3的偏回归系数，偏回归系数是带有单位的，如b1、b2的单位分别为：kg/穗，kg/粒。

典型相关分析和通径分析

典型相关分析和通径分析
u2 2 x v2 2 y
在约束条件： Var(u2 ) 2 112 1
Var(v2 ) 2222 1
cov(u1,u2 ) cov(1x,2 x) 1112 0 cov(v1,v2 ) cov(1y, 2 y) 1112 0 求使 cov(u2,v2 ) 2122 达到最大的 2 和 2 。
1)
2
(
1221
1)
(1)
的极大值，其中和是 Lagrange乘数。
1
121
111
0
1
211
221
0
(2)
121 111 0 211 221 0
(3)
将上面的3式分别左乘1 和 1
1121 1111 0 1 21 1 1221 0
11122111
1111 1221
则： 1121，且是u1和v1之间的相关系数
q
(xi ,v j )
b
k 1
kj
xi , yk
/ xi
cov(yi ,u j ) cov(yi , a1 j x1 a2 j x2 apj xp )
cov(yi , a1 j x1) cov(yi , a2 j x2 ) cov(yi , apj xp )
p
a k 1
kj
yi ,xk
X2
0.80 1.00 0.33 0.59 0.34
y1
0.26 0.33 1.00 0.37 0.21
y2
0.67 0.59 0.37 1.00 0.35
y3
0.34 0.34 0.21 0.35 1.00
Vu11
a11x1 b11 y1
a21x2 b21 y2
b31 y3

通径分析

通径分析
r32 p2 y = 0.176717 × 0.666606 = 0.117801
（四）通径系数影响力大小的判断 将直接通径系数和间接通径系数制成通径系数分析表
列于表 6.2.2。 （P.115）
1、 xi 对 y 的影响力分析
xi 与 y 的单相关系数可分解为该自变量对 y 的直接通径
系数和间接通径系数，即
r23 p3y = 0.176717 × 0.154500 = 0.027303 3、千粒重（ x3）各间接通径系数的计算
（1）千粒重（ x3 ）通过株高（ x1）对产量（ y ）的间接通 径系数
r31 p1y = −0.144536 × 0.059493 = −0.008599 （2）千粒重（ x3 ）通过穗长（ x2 ）对产量（ y ）的间接通 径系数
法为：
di = pi2y
x1
d1 = p12y = 0.0594932 = 0.003539
x2
d2
=
p
2 2y
=
0.666606 2
=
0.444364
x3
d3 = p32y = 0.1545002 = 0.023870
（2）计算两自变量 xi 、 x j 对 y 的决定系数
两自变量对 y 的决定系数以 dij 表示，计算式及计算方法为： dij = 2rij piy p jy
图中：“ ← ”表示变量间的因果关系，箭头方向是原因到结果， 称为“通径”。“ ↔ ”表示变量间存在相关关系，称为相关线， 相当于两条尾端相连的通径。
第二节 通径分析的原理和步骤 一、通径分析的原理和方法
通径分析是将自变量 x 与依变量 y 的单相关系数 riy 加以 分解，分解出自变量 x 对依变量 y 的直接影响力和间接影响 力。

通径分析

通径分析
Ly =1 2 Ly =2 0 Ly =1 8 4, 2 6, y 7 1
29 1 .4 3 .8 2 7 L= 27 55 1 .4 2 .2
− 1
,
L = 8 5 .6 6 776 3
0 062 0 070 12 .0 6 7 7 − .0 2 6 4 4 L = , B= 6 2 − .0 2 6 4 .0 3 4 8 0 070 0 004 0
0 14 .6 2 1 r = , 0 14 1 .6 2
*
q .6 2 q .6 7 1 +0 1 4 2 =0 8 3 0 1 4 1 2 .8 0 .6 2 q +q =0 5 1
20122012-5-18
12.1
x1 12.1.1 通径图 y x2
图12.1a x1与x2独立时 2.1a
x1 y x2
图12.1b x1与x2不独立时 2.1b
符号： [ 符号： 直接通径: 直接通径: x1 间接通径: 间接通径: x1
]表示通径线 ]表示通径线
y,
x2
y,
y
x2
x2
x1
y
*
(i=1,2…p) i=1,2…p)
间接通径系数可以用下面式子表示： 间接通径系数可以用下面式子表示： qi qj
20122012-5-18
j i
y y
= rij qj = r ji q i
(xi 通过 xj 对 y 产生的影响) 产生的影响) ( xj 通过 xi 对 y 产生的影响) 产生的影响)
Ry = y
1 0 14 .6 2
0 14 .6 2 1
, Ry = 1
0 14 .6 2

通径分析(PathAnalysis)--简介

通径分析(PathAnalysis)--简介
• 1、可以直接计算相关系数r＝0.003
• 2、我们认为年龄不仅直接影响收入，还跟 教育有关，而教育也影响收入，于是我们 考虑有变量关系：
结构方程： 上学＝p21年龄 收入＝p31年龄＋p32上学
年龄 p21
p31 上学
收入 p32
对结构方程求解（spss） 上学＝-0.295年龄 收入＝0.053年龄＋0.196上学
即由模型中没有注明
它的变化是由什么因
素造成的
z1
2、另一类是内生变
量，即由模型中另外
一些变量所影响的那
些变量 z2 z3 此外，我们可以将通
径模型内不影响其他
变量的内生变量称为
最终结果变量 z3
第三节 通径模型的分类
递归模型：因果关系结构中全部为单向 链条关系、无反馈作用的模型
通径模型— 递归 与 非递归
8.613 0.045income
Coefficientsa
(C o nstant)
B 8.614
INC O ME
.045
a. Dependent Var iable: CDR
两种方式的优缺点
标准化系数
优点： 1、通径方程简单； 2、有可比性。
但是，标准化系数有特定样本（sample specific）的性质，不能用于不同 情况或不同总体之间的比较。因为，标准化系数所反映的不仅是自变量对 因变量的影响强度，而且还反映了模型中各变量的方差以及它们之间的协 方差，以及寓于误差项之内的未包括在模型中的那些变量的方差。
e3 e2
模型2
e1
z1 p31 z3
z2 p32 e3
e2
模型3
e1
z1 p31 z3
z2 p32 e3

通径分析精讲


分解简单相关系数的通径分析
标准化数据中,通径图中任何两变量之间可以求模型的相关系数:在一 个构造合适的通径图中,任何两个变量间的相关系数就是连结这两 点之间的所有复合链上的数值(相关系数及通径系数) 的乘积之和 。
如图1. 3 : A 1 到B3 的模型相关系数为 ^rA1B3= ad + rc+rbd——？ B1 到B3 的模型相关系数为 ^r B1 B3= bd + c
（correlation line），一条相关线相当于两条 尾端相联的通径。将包含两条或两条以上通径、 也可以包含一条相关线的链称为间接通径。如图 中，x1 →y 为通径或直接通径，x1 x2 y 为间接通径。这种用来表示相关变量间因果关系
与平行关系的箭形图称为通径图（path chart ）。
图1. 1 中, A 是父亲的智商( IQ) ,B 是母亲的智商( IQ) ,C 是子 女的智商( IQ) , X 是与A 及B 不相关的另外原因变量, A 、B 、 C 间的关系如图1。
三、递归通径模型与非递归通径模 型
1、递归通径模型 因果关系结构中全部为单向链条关系，无反馈作用的模型，称为递归模型。
2、非递归模型 （1）模型中任何两个变量之间存在双向因果关系、即有直接反馈作用； （2）某个变量存在自身反馈； （3）存在间接反馈； （4）内生变量的误差项与其它项目相关；
递归通径分析的假设条件
图1. 3 是表示有时间性的通径图,其中A 、B 表示两个变量,X、Y 是残差,足标1 、2 、3 分别表示在时间1 、时间2 、时间3 。
变量的分类
按可否直接测量到该变量,变量可分为“表型变量”(Manifest Variable ,也 称显变量,它总是用一个方框去识别它) 、及隐型变量(Latent Variable ,它 总是用一个圆形框去识别它) 。

专题一：通径分析


x1
“→”中表示变量间存在
Y
因果关系，箭头方向是原 因到结果，称为通径。
x2
“ ”表示变量间存在
相关关系，称为相关线，
图1
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1
4
x1
Y
图1
x2
x1→y,x2→y为直接通径，由于x1,x2存在相关关系，又 产生了两条间接通径，一条是x1是通过x2而作用于Y的通 径，记作x1→x2→Y,一条是x2是通过x1而作用于y的通径， 记作x2→x1→y。
17
4.1 直接通径系数的求法 在sas的程序窗口中输入以下程序：
DM "log;clear;output;clear;"; ods rtf file='D:\sas2003\tongjing.rtf'; PROC IMPORT OUT = tongjing
DATAFILE = "D:\sas2003\tongjing.xls" DBMS = EXCEL2000 REPLACE; SHEET = "Sheet1$"; GETNAMES = YES; RUN;
即：P1y= b1∙(Sx1/Sy)，P2y= b2∙(Sx2/Sy), ··, Pky= bk∙(Sxk/S
y)，简言之，通径系数是变量标准化的各偏回归系 数，用以表示相关变量因果关系的一个统计量。
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1
10
2 通径系数的类型
通径系数包括直接通径系数和间接通径系数两种类型。 2.1 直接通径系数
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1
11
2.2 间接通径系数 由许多自变量影响着依变量，但是它们的重要性是不同
的，其中一个自变量可能通过其它自变量对依变量起作用，

第六章 通径分析

2 2 L22 = ∑ x 2 − (∑ x 2 ) N 2 2 L33 = ∑ x3 − (∑ x3 ) N 2
L yy = ∑ y 2 − (∑ y ) N
2
L12 = ∑ x1 x 2 − (∑ x1 )(∑ x 2 ) N L13 = ∑ x1 x3 − (∑ x1 )(∑ x3 ) N L23 = ∑ x 2 x3 − (∑ x 2 )(∑ x3 ) N L1 y = ∑ x1 y − (∑ x1 )(∑ y ) N L2 y = ∑ x 2 y − (∑ x 2 )(∑ y ) N L3 y = ∑ x3 y − (∑ x3 )(∑ y ) N
两自变量对 y 的决定系数以 d ij 表示，计算式及计算方法为：
d ij = 2rij piy p jy
x1 x 2
d12 = 2r12 p1 y p 2 y = 2 × 0.704694 × 0.059493 × 0.666606 = 0.05589
d13 = 2r13 p1 y p3 y = 2 × 0.144536 × 0.059493 × 0.154500 = 0.00266
1、 xi 对 y 的影响力分析
xi 与 y 的单相关系数可分解为该自变量对 y 的直接通径
系数和间接通径系数，即
riy = p iy + ∑ riy p iy
（1） x1 对 y 的影响力分解 0.506915 = 0.059493 + 0.469753 – 0.022331 r1y = p1y + r12 p2y + r13 p3y
表示变量间的因果关系， 箭头方向是原因到结果， 图中： “←” 称为“通径” 。 “ ↔ ”表示变量间存在相关关系，称为相关线， 相当于两条尾端相连的通径。

通径分析方法简介

通径分析方法简介近年来，通径分析方法一直是研究复杂系统的有效工具之一。

它可以帮助研究者深入研究特定系统、模型和现象的细节，以更好地了解其内在运行机制和外部联系。

本文旨在介绍通径分析方法的基本原理以及如何将其应用于实际问题的例子。

通径分析方法是一种方法，它利用多元统计分析和系统生态学的基本原理来描述系统或结构之间的不同关系，以及它们之间的联系。

借助这种方法，研究者可以得出有关特定系统和其他系统之间联系和相互作用的重要信息。

通径分析的主要优点是，它可以深入揭示系统之间的潜在变化、强度和持久性，从而更好地揭示其内在运行机制。

通径分析主要包括数据收集、数据分析和结果可视化三个主要步骤。

其中，数据收集可以通过调查、实验和监测等方式实现。

数据分析步骤可以通过使用多元统计方法，如回归分析、群集分析、因子分析等，来揭示关系的有意义可视化。

结果可视化可以利用不同的图表，如柱状图、相关图、时间序列图等，显示出数据，或者进一步使用网状图来可视化宏观关系。

通径分析方法可以用于研究诸如社会、经济、环境、医学等个领域。

比如，研究人员可以利用通径分析来研究特定环境因素对湿地植被品种或者对大气环境的影响；或者通过通径分析，分析不同种族、性别和社会经济地位之间的社会影响；还有，可以利用通径分析来研究疾病及其病因。

总而言之，通径分析方法是一种有效的分析工具，它可以帮助研究者从观测数据中揭示系统的细微差别，并更好地了解其内在运行机制和外部联系。

通径分析是一种获取有用信息的有效途径，它可以帮助研究人员快速确定影响系统运行机制或现象产生的要素，从而更好地理解其内在规律。

与传统的单变量统计分析方法相比，多元统计方法可以精准地描述多种因素之间的相互作用，从而更便捷地诊断复杂系统中存在的情况和隐藏的相关性。

此外，通径分析还具有许多优势，比如结果可视化、易于分享和快速部署。

首先，通径分析可以使用自定义的图表样式，将分析的结果可视化，从而更易于理解和解释，并且可以持续跟踪整个系统的变化趋势。

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通径系数的定义可以由偏回归系数导出。 例如水稻单株产量y（kg）与x1（穗数）、x2（单穗粒 数）、x3（粒重）间存在着线性回归关系。其回归关系为： y=b0+b1x1+b2x2+b3x3，此式中b0为常数，b1、b2、b3分别表 示y对x1、y对x2、y对x3的偏回归系数，偏回归系数是带有 单位的，如b1，b2的单位分别为：kg/穗，kg/粒。所以不便 于偏回归系数进行直接比较。所以常常将其标准化之后以 便于消去单位，进行直接比较。下面进行回归方程的标准 化：
Variable Intercept X1
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Parameter Estimate -8.06429 2.39762
Standard Error
3.11354 0.32711
对于回归方程y= b0+b1x1+b2x2+b3x3+…+bkxk，则有x1对y 的直接通径系数为P1y=b1*Sx1/Sy, x2对y的直接通径系数为 P2y=b1*Sx2/Sy，xk对y的直接通径系数为Pky=b1*Sxk/Sy，其 中Sx1、Sx2、Sy分别为x1 、x2、 xk的样本标准差。
X2 X2 16 20.6389250 5.3106915 1.2227993 24.0000000
X3 X3 16 3.3300297 0.8577880 0.1804756 3.9000000
y y 16 13.8274649 4.7609829 4.1394387 22.5000000
2021/2/4
proc reg corr data = tongjing; /*进行回归分析和相关分析*/ model y=x1-x3/selection=stepwise sls=.05 sle=.05 STB; /*表示选用逐步 回归法进行分析，sls=和sle=定义选入和剔除自变量的限制 水平（0.05），STB给出直接通径系数*/
X1 10 9 10 13 10 10 8 10 10 10 10 8 6 8 9
2021/2/4
X2
X3
23
3.6
20
3.6
22
3.7
21
3.7
22
3.6
23
3.5
23
3.3
24
3.4
20
பைடு நூலகம்3.4
21
3.4
23
3.9
21
3.5
23
3.2
21
3.7
22
3.6
1
Y 15.7 14.5 17.5 22.5 15.5 16.9 8.6 17.0 13.7 13.4 20.3 10.2 7.4 11.6 12.3
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y=
b0+b1x1+b1x2+b1x3 ··················································( 1) 由（1）对y求平均数得：
y′=b0+b1x1′+b1x2′ +b1x3′ ····································(2) 用（1）式减（2）得：
这种情况可以推广到i个自变量，并记 直接通径为i→y（i=1,2,3····m）; 间接通径为i→j→y(i=1,2,3····m，i≠j ) ， 但也可统一记作i→j→y，当i=j时为直接通径，i≠j时为 间接通径。
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1.2 通径系数
表示各条通径对于改变依变量的相对重要性的统计数就 叫通径系数（path coefficient）, 记作Pi→j→Y 或简写为PijY。
y- y′= b1(x1- x1′)+ b2(x2- x2′)+ b3(x3- x3′) ············(3)
由（3）式除Sy得：
(y- y′)/ S y = b1(x1- x1′)/ S y + b2(x2- x2′) / S y+ b3(x3-x3′)/
S2021/2/4
1
7
将(4)式做相应得恒等变换:
即：P1y= b1∙(Sx1/Sy)，P2y= b2∙(Sx2/Sy), ··, Pky= bk∙(Sxk/S
y)，简言之，通径系数是变量标准化的各偏回归系 数，用以表示相关变量因果关系的一个统计量。
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1
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2 通径系数的类型
通径系数包括直接通径系数和间接通径系数两种类型。 2.1 直接通径系数
专题一：通径分析
搜集变量资料是农业科学研究经常采用的方法， 如：搜集作物的产量与其构成因素穗数、粒数、粒
重等资料，研究这些变量的目的是想知道这些变 量之间的关系，许多人往往采用简单回归和相 关或多元回归分析。
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但是，多元回归分析虽然在一定程度上能反映各 个变量的真实关系，然而多元回归在分析偏回归系 数时带有单位，使自变量对依变量的效应不能直接 进行比较，从而不能比较各自变量的相对重要性。
y 0.8973 0.0462 0.6890 1.0000
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The REG Procedure Model: MODEL1
Dependent Variable: y y Stepwise Selection: Step 1
Variable X1 Entered: R-Square = 0.8052 and C(p) = 15.9479
run;quit;
ods rtf close;
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D:\sas2003\tongjing.xls D:\sas2003\通径分析程序 D:\sas2003\tongjing.rtf
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1
19
MEANS 过程
变标 量 签N
均值
标准偏差 最小值
最大值
X1 X1 16 8.9093246 2.4682378 1.5491933 13.0000000
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4、应用SAS进行通径分析的具体过程
SAS是美国使用的最为广泛的三大著名统计分析软件 （SAS, SPSS和SYSTAT）之一，是目前国际上最为流行的 一种大型的统计分析系统，被誉为统计分析的标准软件。
对于通径系数，如采用其它常规的统计方法，往往颇费周
折。如采用SAS软件，往往比较简单，较快的完成分析过 程。下面通过一个实例，介绍应用SAS进行通径分析的基 本作法。
∆y=(y-y′)/Sy， ∆x1= (x1- x1′)/S x1， ∆x2 = (x2- x2′)/Sx2， ∆x3 = (x3- x3′)/Sx3 ， ∆y、∆x1、∆x2、∆x3即为变量y、x1、x2、x3的标准化，
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1
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将(5)式改写成下式： ∆y＝b1(Sx1/Sy)∙ ∆x1+ b2(Sx2/Sy) ∙ ∆x2 + b3(Sx3/Sy) ∙ ∆x3 则b1∙(Sx1/Sy)，b2∙(Sx2/Sy)，b3∙(Sx3/ Sy)为变量标准化后的 偏回归系数，它是不带单位的相对数，这样就可以用以估计 ∆x1，∆x2，∆x3对∆y直接影响效应的大小，并比较其重要性。
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12
2.3 直接、间接通径系数和相关系数的关系 依据回归系数和通径系数的定义以及最小二乘法原理可
得到：
rij = Piy + ∑rijPjy(i≠j，i、j=1,2,3….K)
即：一个自变量对因变量的直接通径系数和间接通径系数的 总和等于这个自变量与因变量之间的相关系数。
例如：对多元回归方程y=bo+b1x1+b2x2+b3x3, 有： r1y=P1y+r12P2y+r13P3y r2y=P2y+r21P1y+r23P3y r3y=P3y+r31P1y+r32P2y 并可以得到表1：
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表1 直接通径系数和间接通径系数表
变量 X1
X2
X3
Y
X1 r11P1y r12P2y r13P3y r1y X2 r21P1y r22P2y r23P3y r2y X3 r31P1y r32P2y r33P3y r3y
注：蓝色部分为直接通径系数，其它为间接通径系数。
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x1
“→”中表示变量间存在
Y
因果关系，箭头方向是原 因到结果，称为通径。
x2
“ ”表示变量间存在
相关关系，称为相关线，
图1
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x1
Y
图1
x2
x1→y,x2→y为直接通径，由于x1,x2存在相关关系，又 产生了两条间接通径，一条是x1是通过x2而作用于Y的通 径，记作x1→x2→Y,一条是x2是通过x1而作用于y的通径， 记作x2→x1→y。
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3、通径系数的性质
通径系数有以下几个性质： 1）一个具有k个自变量的反应系统，共有m个直接通径 系数和m(m-1)个间接通径系数。 2）进行通径分析的基础是Y和Xi都具有线性关系，而且 Y可以被线性分解。 3）通径系数是具有向量的。如：Xi和Y不可以互换，即： Piy≠Pyi。它的取值在实数范围内可以大于1或小于-1。 4）通径系数是变量标准化的偏回归系数，它能够表示 变量间的因果关系，故具有回归系数性质。 5）通径系数不带具体单位，因而又具有相关系数的性 质，表示原因与结果的相关关系。所以通径系数是介于回 归系数和相关系数之间的一种统计量。 6）通径系数可以表示某个自变量的相对重要性。
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