正多边形的概念及正多边形与圆的关系

专题11 正多边形和圆概念规律重在理解一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

二、正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性。

正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2.正多边形的中心对称性。

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3.正多边形的画法。

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

三、正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360n四、正多边形的有关计算(1)正n边形的中心角怎么计算？(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？特别重要：圆内接正多边形的辅助线(1)连半径，得中心角；(2)作边心距，构造直角三角形.典例解析掌握方法【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°【答案】A【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则【例题2】（2021南京）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【解析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270=︒．180【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数，利用弦切角定理∠PAB．连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．23，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为多少？【答案】18【解析】过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．各种题型强化训练一、选择题1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN 周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，则A′A＝＝2，则△AMN的周长的最小值为3+1＝8．2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【答案】A【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2，==π，故选D ．4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=， 所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=-． 二、填空题1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm ），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm ．【答案】50．【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．如图，设圆心为O，连接AO，CO∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．2．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．【答案】10．【解析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数103．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【答案】2．【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°，∴BF＝2BT＝2，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF•EF•BF224．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是．【答案】7π．【解析】利用弧长公式计算即可解决问题．的长，的长，的长，的长，的长，的长，∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度7π，5．（2020•贵阳）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．【答案】120．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解析】连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴2120224360rππ⨯⨯=，2224,3rππ∴=236,r∴=解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：6.7．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．【答案】48．【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°。

初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。

正多边形和圆知识点学习要求：了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行正三角形、正方形、正六边形有关的计算.内容分析：1．正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2．正多边形与圆的有关定理把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。

注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形；②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1.从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。

想一想，在此基础上如何证明⊙O的圆心O点也是其内切圆的圆心呢？3. 正多边形的其它性质(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

(2)边数相同的正多边形相似。

4. 正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。

正n边形的有关计算公式(1)(2)(3)注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比。

初中数学——正多边形
考点一、正多边形和圆
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

考点二、与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

考点三、正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。

一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

考点四、弧长和扇形面积
1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180
r
n l π=2、扇形面积公式
lR R n S 2
13602==π扇其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积
rl r l S ππ=∙=22
1其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

中考数学复习指导《正多边形与圆》知识点归纳一、正多边形的定义正多边形是指所有边相等，所有角相等的多边形。

我们以正n边形来进行讨论，其中n表示边的个数。

二、正多边形的性质1.角的个数：正n边形有n个内角和n个外角。

2.外角和：正n边形的外角和为360°。

3.内角和：正n边形的内角和为(2n-4)×90°。

4.中心角和：正n边形的中心角和为360°。

5. 半径和边长之间的关系：正n边形的边长为a，半径为R，则有R=a/(2×sin(π/n))。

三、正多边形的对称性正n边形有n条对称轴，每条对称轴都把正多边形分成两个对称的部分。

四、圆的性质1.圆心角：圆心角是圆的半径所对应的圆弧所夹的角。

圆心角的大小等于其对应的圆弧的度数。

2.弧长：圆心角对应的圆弧的长度称为弧长。

如果圆的半径为R，圆心角的大小为θ，那么圆弧的长度S=R×θ。

3.弦长：弦是圆上的两点之间的线段，弦长可以通过两角的正弦来计算。

4.弦割定理：圆上的一弦分割出的弧长等于该圆的半径与该弦分割出的小弧的两圆心角的和。

即S=S1+S2=R×θ1+R×θ25.弧度制：弧度制是一种角度的度量方式，将角度定义为弧长与半径的比值：角度=弧长/半径。

单位为弧度。

6.周长和面积：圆的周长等于2πR，面积等于πR²。

五、圆与正多边形的关系1.正多边形逼近圆：正多边形的边数越多，逼近的程度越高，其内接圆越接近于外接圆。

2.正多边形的周长与圆的周长：正n边形的周长与内接圆的周长之比约为n/2π。

3. 正多边形的面积与圆的面积：正n边形的面积与内接圆的面积之比约为(1/2•n•sin(2π/n))/π）。

以上就是《正多边形与圆》的一些重要知识点的归纳。

在复习时，可以通过理论学习、练习习题以及解决实际问题的应用题来巩固和提升自己的理解能力。

加油！。

《正多边形和圆》重点、难点
1.正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。

2.正多边形与圆的关系
（1）把圆分成n （n ≥3）等份，有如下结论：
其一：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这圆是正n 边形的外接圆。

其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形，这圆是正n 边形的内切圆。

（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

3.有关的概念
（1）正多边形的中心
（2）正多边形的半径
（3）正多边形的边心距
（4）正多边形的中心角
4.正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。

这里我们设：正n 边形的中心角为α，半径为R ，边心距为r ，边长为a n ，周长为P n ，面积为S n ，则有
（）；（）；（）；（）；（）；（）；1360221803180414561212222α=︒=⋅︒=⋅︒=⋅=⋅=⋅⋅=⋅n
a R n r R n R r a P n a S n r a r P n n n n n n n sin cos
（）正多边形的每一个内角，内角和721802180=-⋅︒=-⋅︒()().n n n
5.每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。

6.重点和难点：
（1）重点是正多边形的计算问题，计算通常是通过解直角三角形来解决的，所以在解这类题时，要尽量创造直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去，尤其是含30°、60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。

（2）难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。

专题11 与圆有关的计算一、正多边形和圆1. 正多边形的定义：各条边 ，并且各个 也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴ 正多边形的中心：正多边形的 的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵ 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 ．⑶ 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角．⑷ 正多边形的边心距： 到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3. 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个 的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形 的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是 图形，也是轴对称图形，其 就是对称中心.【例 1】⑴求正三角形的边心距、半径和高的比。

⑵若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为3r ，4r ，6r ，求346::r r r 。

边心距二、与圆有关的计算 1、弧长的计算如果弧长为 l ，圆心角度数为 n ，圆的半径为 r ，那么，弧长 l ＝ 。

【推导】：【例 2】⑴将下表补充完整。

⑵【易错】若弦AB 将圆的周长分为1:5的两部分，则弦AB 所对的圆周角为 。

⑶图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）A. 甲先到B 点B. 乙先到B 点C. 甲、乙同时到B 点D. 无法确定⑷如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针A 3A 2A 1GFE D CBAB DOA2、扇形面积计算方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积S=。

【推导】：方法二：如果已知扇形弧长为l ，半径为r，那么扇形面积S=。

【推导】【例 3】将下表补充完整。

5.7 正多边形与圆学习目标1.了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形。

2.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形。

3.能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形。

知识详解1. 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

我们可以借助一个量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（1）当n＝3时，上述两个条件只满足一个条件就可以。

（2）当n>3时，多边形必须同时满足上述条件的每一个条件，才能判定是正多边形。

2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。

（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。

（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360n︒的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6. 正n边形的每个内角都等于()2180nn︒-，每个外角为360n︒，等于中心角。

【典型例题】例1. 若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 cm．（铁丝粗细忽略不计）【答案】【解析】在直角△ABD 中，AB=40cm ，∠BAD=30°，则AD=AB •cos30°=40例2. 如图，正六边形内接于圆O ，圆O 的半径为10，则图中阴影部分的面积为【答案】100π【解析】过点O 作OC ⊥AB 于C ，连接OA 、OB ，∵OA=OB=AB=10，AOB S 6S =△正六边形=6×12O S S S =-⊙阴影正六边形 =100π例3. 如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC 、AD ，则∠CAD 的度数是 度．【答案】36°【解析】根据正五边形的性质，△ABC ≌△AED ，∴∠CAB=∠DAE=12（180°-108°）=36°，∴∠CAD=108°-36°-36°=36°．【误区警示】易错点1：正方形的边长1. 将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 ．（结果保留根号）【答案】【解析】∵△BDE 是等腰直角三角形，BE=1．∴BD=BE •2=2．∴正方形的边长等于易错点2：内接正方形的面积2. 如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O 的内接正方形的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】A【解析】连接BO 并延长交圆于点E ，连接AE ，根据三角函数可求得BE 的长；再根据圆内接正方形的性质求得其边长，从而可得到其面积．【综合提升】针对训练1. 如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF 绕点F 顺时针旋转后到达A B C D E F ''''''的位置，所转过的度数是（ ）A ．60°B ．72°C ．108°D ．120°2. 判断图中正六边形ABCDEF 与正三角形FCG 的面积比为何（ ）A ．2：1B ．4：3C ．3：1D ．3：23. 如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH ，若△ADE 的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为何（ ）A ．40B ．50C ．60D ．801.【答案】A【解析】由六边形ABCDEF 是正六边形，即可求得∠AFE 的度数，又由邻补角的定义，求得∠E FE '的度数，由将正六边形ABCDEF 绕点F 顺时针旋转后到达A B C D E F ''''''的位置，可得∠EFE '是旋转角，继而求得答案．2.【答案】D【解析】如图：作EH ∥CG 交CF 于H ，连接DH ，∴GED DEG FCG ABCDEF S 4S S 6S ==△△正三角形正六边形∴正六边形ABCDEF 与正三角形FCG 的面积的比为：3：23.【答案】A【解析】过C 作CL ⊥AD 于L ，连接HE ，设正八边形的边长为a ，AD=h ；先根据△ADE 的面积求出矩形ADEH 的面积，再根据正多边形内角和定理求出各内角的度数，判断出△CDL 的形状，求出边长；进一步可求出梯形ABCD 的面积，根据ABCDEFGH ABCD ABCD ADEH S S S S =++正八边形梯形梯形矩形即可解答．课外拓展解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。

正多边形和圆导言在几何学中，正多边形和圆是两个常见的几何形状。

本文将介绍正多边形和圆的定义、性质以及它们之间的关系。

正多边形定义正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形。

其中，边数必须大于或等于3。

性质•正多边形的内角和等于$(n-2) \\times 180˚$，其中n为边数。

•正多边形的每个内角都等于$\\frac{(n-2) \\times 180˚}{n}$。

•正多边形可以被分解为n个等边等角的小三角形。

•正多边形的外角等于$\\frac{360˚}{n}$。

•正多边形的对边平行且长度相等。

示例一个常见的例子是正三角形，也就是我们通常所说的等边三角形。

它的每个内角都等于60˚，外角为120˚。

圆定义圆由一个平面上到一个定点的距离恒定的点集构成。

这个定点称为圆心，距离称为半径。

性质•圆的内角和为360˚。

•圆的任意两点到圆心的距离相等。

•圆的半径是圆上的任意线段，长度为半径的两倍称为直径。

•圆的直径是其内接正多边形的边长，且直径与边的关系为：直径等于$\\frac{\\text{边数}}{2 \\times \\sin \\left( \\frac{180˚}{\\text{边数}} \\right)}$。

•圆的周长等于$2 \\pi r$，其中r为半径。

•圆的面积等于$\\pi r^2$，其中r为半径。

示例一个常见的例子是半径为1的单位圆。

它的直径为2，周长为$2 \\pi$，面积为$\\pi$。

正多边形与圆的关系正多边形可以与圆相互转化。

正多边形转圆正多边形可以通过逐渐增加边数，逼近于一个圆。

当边数趋于无穷大时，正多边形的内角和无限接近于圆的内角和360˚。

圆转正多边形圆可以通过绘制其内接正多边形来近似表示。

当内接正多边形的边数增加时，其形状越来越接近于一个圆。

结论正多边形和圆是几何学中的两个重要概念。

正多边形是具有相等边长和内角的多边形，而圆是由一组到圆心距离相等的点组成。

正多边形和圆之间存在着密切的联系，可以相互转换和逼近。

正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；②定义中两个条件缺一不可．我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为αn，则它们有如下关系：；正n边形的中心角；正n边形的周长P n=na n；正n边形的面积．4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；②只有正偶边形才是中心对称图形；③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合．典例讲解例1、填空题1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A. B. C. D.答案：D2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）A. B. C. D.答案：C3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A. B. C. D.答案：B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（）A.1∶2∶3B.C. D.答案：A例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.解：正六边形ABCDEF中DC=DE，,∴，同理可证：∠2=，∴∠BGC=∠1＋∠2=．例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．思路点拨：过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H．例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：由题意知PD＝PE＝FQ设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴，∴正八边形的边长为4－2x=cm，面积为.。

正多边形与圆的关系正多边形和圆是几何学中常见的两种图形，它们之间存在着一些特殊的关系。

在本文中，我们将探讨正多边形与圆的关系，并介绍其中的几个重要概念和性质。

一、正多边形的定义和性质正多边形是指所有边相等、所有角度相等的多边形。

以正n边形为例，它共有n条边和n个顶点，每个内角都是360°/n。

由于每个内角相等，所以每个外角也相等，每个外角都是360°/n。

正多边形具有一些重要的性质。

首先，正多边形的内角和外角之和分别为180°和360°。

其次，正多边形可以通过将圆分成若干等分扇形得到。

每个扇形对应正多边形上的一个顶点，而圆心则对应于正多边形的中心。

二、正多边形与圆的内切关系正多边形可以与一个圆内切，即正多边形的每个顶点都在圆上。

以正六边形为例，将其内接于一个圆，使得每个顶点都与圆的周边相切。

这样，正六边形的外接圆和内接圆就是同一个圆。

在正多边形内切圆的情况下，我们可以推导出一些有趣的数学关系。

首先，正多边形的内接圆的半径等于正多边形的边长的一半。

其次，正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长与正多边形的内接圆的半径之和。

三、正多边形与圆的外接关系正多边形还可以与一个圆外接，即正多边形的每条边都与圆相切。

这种情况下，正多边形的外接圆和内接圆不再是同一个圆。

在正多边形外接圆的情况下，我们可以得到与内接圆类似的数学关系。

首先，正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半。

其次，正多边形的内接圆的半径等于正多边形的边长与正多边形的外接圆的半径之和。

四、正多边形与圆的面积关系正多边形的面积可以通过将其划分成若干等边三角形求和得到。

以正n边形为例，其面积可以表示为S=0.5*n*r*l，其中r为内接圆的半径，l为正多边形的边长。

而圆的面积可以表示为S=π*r^2，其中r为圆的半径。

通过比较正多边形的面积公式和圆的面积公式，我们可以发现一个有趣的关系：当n无限增大时，正多边形的面积逐渐接近于圆的面积。

正多边形与圆的性质正多边形是指所有边和角都相等的多边形。

而圆是一个平面上所有点距离中心点相等的集合。

正多边形和圆都有一些独特的性质，下面将逐一探讨它们。

一、正多边形的性质1. 全等性质：正多边形的所有边和角都相等，因此它们可以互相重合，即具有全等性质。

2. 对称性质：正多边形具有多个对称轴。

以正三角形为例，它具有三个对称轴，分别连接顶点和中点。

对称轴可将正多边形分为几个全等的部分。

3. 外接圆性质：正多边形的顶点都位于一个外接圆上，且外接圆的圆心即为正多边形的重心。

4. 内角和外角和关系：以正五边形为例，可以发现它的内角和为540度，而外角和为360度。

一般情况下，正多边形的内角和为(n-2)×180度，外角和为360度，其中n为正多边形的边数。

二、圆的性质1. 圆周率：圆周率π是一个无理数，近似值为3.14159。

圆的周长可以通过周长公式C=2πr计算得出，其中r为圆的半径。

2. 面积计算：圆的面积可以通过面积公式A=πr^2计算得出。

半径越大，圆的面积越大。

3. 弧长和扇形面积：圆的一部分被称为弧，其长度可以通过角度和半径计算得出。

扇形是圆的一部分，由圆心与两个弧之间的线段围成。

扇形的面积可以通过扇形面积公式A=(θ/360°)×πr^2计算得出，其中θ为扇形的角度。

4. 切线和切线定理：切线是与圆只有一个交点的直线。

根据切线定理，切线与半径的交点处的角是直角。

三、正多边形与圆的关系1. 正多边形内切圆：正多边形的内角均为锐角，因此正多边形可以内切于一个圆。

内切圆的半径等于正多边形的所有边的长度之差的一半。

2. 正多边形外接圆：正多边形的顶点都位于一个外接圆上，且外接圆的半径等于正多边形每条边的长度。

通过以上讨论可知，正多边形和圆具有许多有趣的性质和规律，它们在数学和几何学中有着广泛的应用和重要的地位。

当我们深入研究它们的性质时，会对我们的数学思维和几何直觉有所帮助。

九年级上册数学正多边形和圆正多边形和圆（人教版九年级上册）一、正多边形的概念。

1. 定义。

- 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

例如，等边三角形是正三角形，正方形是正四边形。

2. 正多边形与圆的关系。

- 把一个圆分成n(n≥slant3)等份：- 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。

- 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

二、正多边形的有关计算。

1. 正多边形的中心、半径、边心距、中心角。

- 中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。

- 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径，通常用R表示。

- 边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距，通常用r表示。

- 中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的中心角α=frac{360^∘}{n}。

2. 正多边形的有关计算。

- 设正n边形的边长为a_n，半径为R，边心距为r。

- 在由半径R、边心距r和边长的一半frac{a_n}{2}所构成的直角三角形中，根据勾股定理有R^2=r^2+(frac{a_n}{2})^2。

- 正n边形的周长C = n× a_n，面积S=(1)/(2)C× r=(1)/(2)n× a_n× r。

三、正多边形的画法。

1. 用量角器等分圆。

- 先用量角器画一个等于frac{360^∘}{n}的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的(1)/(n)，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就可以得到圆的n等分点，从而画出正n边形。

2. 用尺规等分圆（特殊正多边形）- 正六边形：- 由于正六边形的中心角为60^∘，所以在圆中，以半径为弦长，在圆上依次截取六段相等的弧，就可以得到正六边形。

- 正四边形（正方形）：- 先作圆的两条互相垂直的直径，再连接直径与圆的四个交点，就得到正方形。