数学：不等式的实际应用教案新人教B版必修

人教版高中必修5(B版)3.4不等式的实际应用教学设计一、教学目标1.理解不等式在现实生活中的应用场景；2.掌握不等式的实际应用方法；3.学会将实际问题转化为数学问题，并利用不等式对其进行解答。

二、教学内容1.飞行器和升力的关系（P136-题目19）；2.瓶子的容积和重量的关系（P136-题目20）；3.调整物品流水线的长短（P137-题目25）。

三、教学过程1. 飞行器和升力的关系课前准备老师提醒学生飞机起飞时为什么会产生升力？学生活动学生请在家中或自习室观察一次飞机起飞时的情况，收集数据后登录电脑，在Excel表格中记录所有数据，并对数据进行分析。

最后，将数据输入数学模型中，解决问题。

解答问题老师引导学生通过数据分析，解决问题，为学生提供帮助。

学生可以使用手算或计算机，找到一个最小的升力可能。

2. 瓶子的容积和重量的关系课前准备老师提醒学生塑料瓶厚度和瓶子容积的关系。

学生活动学生要做一个塑料瓶的实验，测试不同厚度的瓶子重量和容积。

学生需要测量每个厚度的瓶子的重量和容积，并记录下来。

然后，学生需要将数据输入到Excel表格中，通过数据分析找出数据中的规律，并解决问题。

解答问题根据学生在课前准备中所做的实验和数据分析，学生可以将结果用公式表示并使用不等式进行计算。

最后，学生需要回答问题，例如什么样的塑料瓶重量和容积比较合适？3. 调整物品流水线的长短课前准备老师提醒学生作业中的知识点。

学生活动学生根据题目描述绘制物品流水线的示意图，并将其投影到一个横面的平面上。

根据问题中的条件，学生需要确定物品流水线的长度和宽度。

学生需要将数据录入Excel表格中，通过数据分析找出数据中的规律，并将其用公式表示并使用不等式进行计算。

解答问题通过数据分析，学生可以找到流水线的最佳长度和宽度。

最后，学生需要回答问题，例如多少长度可以完成多达不可能？四、教学评价1.参与度：学生是否参与活动，是否预备教材？2.学习效果：学生是否理解了课程内容？学生是否在以后的学习中运用了这些技能？3.作业效果：学生完成的作业质量如何？。

3.4 不等式的实际应用1.能根据实际情景建立不等式模型.(难点)2.掌握运用不等式知识，解决实际问题的方法、步骤.(重点)[基础·初探]教材整理 不等式的实际应用 阅读教材P 81～P 83，完成下列问题.1.实际问题中，有许多不等式模型，必须首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设未知数，将量与量间的关系变成不等式或不等式组.2.实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注意定义域的变化.3.解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题.1.有如图3­4­1所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a ，b 的不等式表示出来为________.图3­4­1【解析】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S 1，则S 1＝a 22＋b 22，图(2)面积为S 2，则S 2＝ab ，∴12a 2＋12b 2＞ab .【答案】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积12a 2＋12b 2>ab 2.一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________.【解析】 原来每天行驶x km ， 现在每天行驶(x ＋19) km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”， 写成不等式为8(x ＋19)>2 200. 若每天行驶(x －12) km ，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为8xx －12>9. 【答案】 8(x ＋19)>2 2008xx －12>9[小组合作型]种降价方案：方案(1)先降价a %，再降价b %； 方案(2)先降价b %，再降价a %； 方案(3)先降价a ＋b2%，再降价a ＋b2%；方案(4)一次性降价(a ＋b )%.其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，上述四种方案中，降价幅度最小的是( ) A.方案(1) B.方案(2) C.方案(3)D.方案(4)(2)甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg 大米，而乙每次用去100元钱.购买方式更合算的是________老板.【精彩点拨】 首先用代数式表示出要比较的两个量，然后用比差法比较这两个量的大小.【自主解答】 设原价为1，则四种方案中，降价后的价格分别为： (1)(1－a %)(1－b %)；(2)(1－b %)(1－a %)； (3)⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2；(4)1－(a ＋b )%. 由于(1－a %)(1－b %)＝(1－b %)·(1－a %)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b %＋1－a %22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，且(1－a %)(1－b %)＞1－(a ＋b )%， 所以方案(3)降价后价格最高.(2)设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a 、b ＞0，a ≠b )，则甲两次购买大米的平均价格是a ＋b200＝a ＋b2元/千克；乙两次购买大米的平均价格是200100a ＋100b ＝21a ＋1b＝2aba ＋b 元/千克.∵a ＋b 2－2aba ＋b ＝a ＋b 2－4aba ＋b ＝a －b 2a ＋b＞0， ∴a ＋b2＞2aba ＋b. ∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算. 【答案】 (1)C (2)乙比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.[再练一题]1.如图3­4­2(2)，一圆柱的底面半径为5 dm ，高为5 dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线.小明设计了两条路线：试说明哪条路线最短？路线1：侧面展开图中的线段AC .如图(1)所示： 路线2：高线AB ＋底面直径BC .如图(2)所示：(1) (2)图3­4­2【解】 设路线1的长度为l 1，则l 21＝AC 2＝AB 2＋BC 2＝52＋(5π)2＝25＋25π2. 设路线2的长度为l 2，则l 22＝(AB ＋BC )2＝(5＋10)2＝225.∵l 21－l 22＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)>0，∴l 21>l 22，∴l 1>l 2.所以选择路线2较短.为10个百分点)，计划可收购 a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点.(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围. 【精彩点拨】 认真阅读题意，理解各个量之间的关系，构建函数关系或不等式解决问题.【自主解答】 (1)降低税率后为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %).依题意：y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10). (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元). 依题意得：150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得，x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是(0,2].不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.[再练一题]2.某市新建一处公园，要对园内一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.【导学号：18082048】【解】 设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x－600)(x －100)≥0，所以0<x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去.故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.[探究共研型]钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.若设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，那么x ，y 间有何关系？你能建立仓库底面积S 与x 、y 间的关系吗？【提示】 x 与y 间关系为40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200，S 与x 、y 间的关系为S ＝xy . 探究2 在探究1中若要求S 的最大值能用只含一个自变量的函数求最值吗？若不能，如何求S 的最大值？【提示】 在S ＝xy 中含两个变量x ，y ，而x ，y 满足40x ＋90y ＋20xy ≤3 200，利用该关系不能将S 表示为关于x 或只关于y 的函数，故不能用求函数求最值的方法求解，可用均值不等式进行如下求解.解：设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200.由均值不等式，得 3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0.∵S ＋16＞0，∴S －10≤0，∴S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.【精彩点拨】 平均每天所支付的总费用＝x 天支付的总费用天数x，根据题意列出函数式，利用均值不等式求解.【自主解答】 (1)设该厂应每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝3×x x ＋2＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y 1元，则Y 1＝9xx ＋＋900x ＋1 800×6＝9x ＋900x＋10 809 ≥29x ·900x＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号.该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少.(2)设该厂利用此优惠条件后，每x 天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每2106＝35天购买一次面粉，即x ≥35.设平均每天支付的总费用为Y 2元，则Y 2＝9xx ＋＋900x ＋1 800×6×910＝9x ＋900x＋9 729(x ≥35)， 记f (x )＝x ＋100x，x ∈[35，＋∞)，设x 1，x 2∈[35，＋∞)，取x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫100x 1－100x 2＝x 1－x 2x 1x 2－10x 1x 2，∵35≤x 1<x 2，x 1x 2>100， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2－100>0， ∴x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2<0，f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )＝x ＋100x在[35，＋∞)上是增函数， ∴当x ≥35时，f (x )min ＝f (35).所以，当x ＝35时，Y 2有最小值，此时Y 2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件.求实际问题中最值的一般思路：先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式. 把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.正确写出答案.[再练一题]3.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元).(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【解】 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋).(2)∵x >0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元). 答：当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元.1.若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.{x |－1≤x <0} B.{x |0<x ≤1} C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}. 【答案】 B2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，故选C.【答案】 C3.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.【解析】 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，所以x 2＋50x －30 000≥0，得x ≤－200(舍去)或x ≥150， 又因为0<x <240，x ∈N ，所以150≤x <240，x ∈N . 【答案】 1504.用一根长为100 m 的绳子，围成一个一边长为x 米，面积大于600 m 2的矩形，则x 的取值范围为________.【导学号：18082049】【解析】 设围成的矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x ) m ，且0<x <50. 由题意，得围成矩形的面积S ＝x (50－x )>600， 即x 2－50x ＋600<0， 解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形. 【答案】 (20,30)5.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式.(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内. 【解】 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0＜x ＜1). 整理得，y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0＜x ＜1). (2)要使本年度的年利润比上年有所增加，必须有：⎩⎪⎨⎪⎧y －－＞0，0＜x ＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x ＞0，0＜x ＜1.∴0＜x ＜13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内.。

高中数学第三章不等式３.４不等式的实际应用学案新人教Ｂ版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学第三章不等式３．4 不等式的实际应用学案新人教B版必修5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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３.４不等式的实际应用1.能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)．2.了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系,培养良好的数学意识和情感态度.1.例题中的结论若ｂ>ａ>0，m>0,则错误!____错误!.另外，若ａ>b>０，m>0时,则有错误!＜__＿___成立．【做一做】已知a,b是正数,试比较＼f(2，1a＋＼f（1，b）)与错误!的大小.２．不等式解决实际问题的步骤(1）＿＿_＿＿_＿＿:用字母表示题中的未知数．(2）_＿＿__＿＿＿＿_:找出题中的不等量关系,列出关于未知数的不等式(组).(3)＿＿_＿＿____＿_＿__：运用不等式知识求解不等式，同时要注意_____＿___＿_＿＿__＿＿＿____________．（4）答:规范地写出答案．在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据,从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型,再利用不等式求解，即解实际应用题的思路为：一、解应用题的流程剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点,但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述,所以，对文字的理解就显得非常重要,要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手：(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信息量比较大．这就需要快速浏览一遍,理解题目的大意：题目叙述的是什么事,是什么问题（比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等）．条件是什么,求解的是什么,涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．（2）细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在,将其辨析出来是实现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系.（３)精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之,大脑要有灵活的转化思维.二、常见的不等式实际应用类型剖析:常见的不等式实际应用问题有以下几种:(１）作差法解决实际问题作差法的依据是a-b>0⇔a＞b，其基本步骤是:①理解题意,准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来.②作差，分析差的符号．③将作差后的结论转化为实际问题的结论.(２)应用均值不等式解决实际问题①均值不等式:a,b∈Ｒ+,a+b2≥错误!(当且仅当a=b时,等号成立).当ab＝P(定值),那么当a＝b时，a+b有最小值2错误!；当ａ＋b=S(定值),那么当a＝ｂ时,aｂ有最大值14S2.②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等".为了创造利用均值不等式的条件,常用技巧有配凑因子、拆项或平方.（3)应用一元二次不等式解决实际问题用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为:①理解题意,搞清量与量之间的关系;②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题;③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解．在建立不等关系时,一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用.题型一一元二次不等式的实际应用【例1】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：s ＝＼f（１，２0）ｘ+错误!x2。

《人教B版必修5》
3.4 不等式的实际应用
(说课稿）
一、教材分析
1.教材的地位和作用:
本节内容是在学生学习了不等式的性质、均值不等式以及一元二次不等式解法的基础上学习的.主要学习将实际问题转化为求解不等式,它是对不等式性质和一元二次不等式内容的实际应用,是本章不等式知识的第二次应用,也为下一节利用不等式求最优解的建模打下了基础.
2.教学重点与难点:
本节的重点是不等式的实际应用,难点是建模思想的建立.
二.教学目标:
知识目标使学生掌握解应用题的一般思路
能力目标培养学生的数学建模和分析问题解决问题的能力,培养学生辨证的思想,以变化的观点看问题.
情感目标激励学生的求知欲望,培养学生认真分析、刻苦钻研的治学精神,让学生充分感受数学源于生活,又用于生活,拓展学生的视野.
三、教法学法及学法指导
主要采取教师启发引导、学生探究学习的教学方法, 层层设问,通过提问,板演讨论等多种形式,让学生直接参与课堂活动.在学习过程中,让学生寻找知识的生长点,变被动学习为主动学习,不仅使学生学会,而且会学,提高学生的应用意识以及建模能力
四、教学过程
五.设计说明.
本节课的特点是在教学过程中,充分发挥学生的主体作用,在学生主动发现问题,提出问题比较薄弱的情况下,先帮助学生提出问题,引导学生思维,适当展开学习过程,使学生的学习更生动,更富探索性,教给学生如何由:”学会”到”会学”,提高学生的数学应用意识,发展学生独立思考的能力,渗透数学的建模思想.。

人教版高中必修5(B版)3.4 不等式的实际应用课程设计一、设计背景不等式是数学中的一个重要概念，在高中数学中占有非常重要的地位。

掌握不等式的解法和实际应用，可以帮助学生更好地了解数学的本质，提高数学分析和解决实际问题的能力。

本课程设计旨在帮助学生深入理解不等式的实际应用，提高学生的数学分析和解决实际问题的能力。

本文所设计的课程适用于人教版高中必修5(B版)中第3章不等式的实际应用。

二、教学目标通过本课程的学习和实践，学生应该能够掌握以下知识和技能：1.理解不等式的概念，掌握不等式的解法；2.掌握不等式在实际中的应用，能够灵活运用不等式解决实际问题；3.能够培养学生的数学思维和分析问题的能力；4.发展学生的团队合作和交流能力。

三、教学内容1.不等式的基本概念；2.不等式的解法；3.不等式在实际中的应用；4.分析和解决实际问题。

四、教学方法1.课堂讲授：通过讲授和演示，帮助学生掌握不等式的基本概念和解法；2.分组讨论：将学生分成小组，让他们合作解决实际问题，培养团队合作和交流能力；3.实践演练：让学生进行实践演练，巩固所学知识。

五、教学过程第一步：引入师生沟通交流，让学生了解本节课的主题和目标，明确学习的重点和难点。

第二步：讲授不等式的基本概念和解法1.不等式的基本概念：介绍不等式的定义和符号表示；2.不等式的解法：介绍不等式的加减法、乘除法等解法，通过例题演示不等式的解法。

第三步：讲授不等式在实际中的应用1.利用不等式求解实际问题：分析实际问题，引导学生运用不等式解决实际问题；2.实际问题的模型建立：通过实际问题建立数学模型，引导学生运用不等式解决实际问题。

第四步：分组讨论实际问题将学生分成小组，让他们合作解决实际问题，培养团队合作和交流能力。

第五步：巩固知识点让学生进行实践演练，巩固所学知识。

第六步：总结让学生总结所学知识和技能，明确掌握情况和不足之处，以便进行下一步的学习和进一步提高。

六、教学评价1.学生思考提出问题的能力；2.学生运用不等式解决实际问题的能力；3.学生的团队合作和交流能力；4.学生对数学的理解和分析问题的能力。

人教版高中必修5(B版)3.4不等式的实际应用课程设计一、课程目标本课程设计旨在让学生通过学习不等式的实际应用问题，掌握不等式求解的基本方法，提高解决实际问题的数学能力。

二、教学内容1.不等式的实际应用问题2.不等式的解法和思路3.实际问题的数学建模和求解三、教学重难点教学重点：让学生掌握不等式的解法和实际问题的数学建模方法。

教学难点：让学生学会将实际问题转化为数学问题，以及解决复杂问题的能力。

四、教学方法本课程以教师讲解和学生自主探究相结合的方式进行。

教师将通过例题和实际问题的分析，让学生了解不等式求解的基本思路和方法。

然后将学生分组进行自主探究，通过分析实际问题，设计数学模型，并求解问题。

五、教学过程1. 导入环节教师通过举例引入不等式的实际应用问题，让学生了解不等式求解的重要性和应用价值。

2. 理论授课2.1 不等式的解法和思路教师通过例题，讲解不等式的解法和思路，包括不等式的化简、移项和配方法等。

2.2 实际问题的数学建模和求解教师通过分析实际问题，讲解如何将实际问题转化为数学问题，并设计数学模型和求解问题的方法。

3. 自主探究学生分组进行自主探究，选择一个实际问题，进行数学建模，并求解问题。

教师在学生探究的过程中，给予适当的指导和帮助。

4. 总结归纳学生根据自己的探究结果，进行总结和归纳，让学生了解如何将数学知识应用到实际问题中。

5. 课后作业学生需要根据老师的安排，进行实际问题的解答和报告。

六、板书设计不等式的解法和思路1.化简2.移项3.配方法实际问题的数学建模和求解1.将实际问题转化为数学问题2.设计数学模型3.求解问题七、教学评估1. 学生评估教师可通过作业和报告，来评估学生对于不等式的实际应用问题解决能力。

2. 教师评估教师可通过课堂表现、自主探究的情况、作业和报告，来评估学生的综合能力。

八、教学资源本课程需要的教学资源包括黑板、粉笔、教科书以及实际应用问题的材料等。

九、拓展延伸本课程可以延伸至其他数学应用问题的解决方法，如代数方程求解、函数图像分析等，能够在一定程度上提高学生的数学综合能力。

教学设计3.4 不等式的实际应用整体设计教学分析生活中的许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解．不等式有着丰富的实际背景．本节通过具体问题的分析，总结归纳解实际问题的一般程序：设未知数，分析数量关系，列方程和不等式，最后求解．注意培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．本节练习、习题都很基础，要求A组全做，B做选做．通过本节学习，让学生进一步理解数学在实际中的应用，理解一些数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野．把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述刻画问题的一种数学模型．三维目标1．通过具体问题的探究，了解不等式(组)产生的实际背景，掌握解决实际问题的一般程序和一些典型实际问题的解法．2．通过具体问题的分析解决，提高学生分析问题和解决问题的能力．认识不等式的优化思想．3．通过对生活中熟悉的实际问题的解决，激发学生学习的热情．培养学生严肃认真的科学态度，同时感受数学的应用性．重点难点教学重点：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．掌握一些典型实际问题的解法．教学难点：用不等式(组)表示实际问题中的数量关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解．本节我们将用不等式的知识来探究一些实际问题．思路2.(章头图引入)章头插图的人造卫星，高低不一的雄伟大楼的壮观画面，它将我们带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然中．使学生在具体情境中感受到不等关系的大量存在．那么我们怎样用不等式的知识表示实际问题呢？由此进入新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆本章第一节所学，怎样利用不等式表示不等关系？(2)解决实际问题的一般程序是什么？(3)我们都学习了不等式的哪些性质？活动：教师利用多媒体演示章头图的画面．引导学生回忆前面所学，对现实世界中普遍存在的不等关系，怎样用数学式子表示出来，并从理性的角度去思考、去分析．我们在考察事物之间的数量关系时，经常要对数量的大小进行比较，如每个家庭食品消费额的年平均增长率至多至少问题，容器的容积最大问题，商品的最高最低定价问题等．这些问题的解决都需用不等式的知识．接着教师引导学生回忆前面学过的不等式的性质，以及如何用数学知识解决实际问题．讨论结果：(1)(3)略．(2)解决实际问题的一般程序是：设出未知数，分析数量间的关系，列出方程或不等式，解决这个数学问题．其中的关键是建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量之间的不等关系． 应用示例例1(教材本节例1)活动：教师引导学生将题目中的窗户面积和占地面积用字母a 、b 表示出来，再用字母m 表示出窗户和占地所增加的面积．这样只要比较增加前和增加后窗户的总面积与占地面积的比值的大小，即可作出正确的判断．点评：由本例可得出一般结论：设a ＞0，b ＞0，且a ＜b ，m ＞0，则a ＋m b ＋m ＞a b.例2(教材本节例2)活动：教师引导学生理清问题的情境，并尝试着用数学语言将其表示出来．这是所有实际问题使学生感到困惑的地方．如本例中教师引导学生分析：若桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药后再用水加满，这时桶内纯农药药液占容积的x －8x.同样第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药药液为4·x －8x ，此时桶内还有纯农药药液[(x －8)－4(x －8)x]升．这样，问题就很自然地转化为一个数学不等式问题．点评：学生或许熟悉解决实际问题的一般步骤或者一般程序，但解决问题的重点应放在怎样选用合适的字母表示出题中给出的不等量关系，进而列出关于未知数的不等式(组)．注意文字语言和符号语言的转换.例3(教材本节例3)活动：根据上例，教师引导学生将这个实际问题转化为数学问题：(1)设出食品消费额的年平均增长率为x(x＞0)，(2)到2005年的食品消费额为0.6(1＋x)2(万元)，(3)消费支出总额为1＋2×0.3＝1.6(万元)．这样根据恩格尔系数η的计算公式η＝食品消费额消费支出总额×100%，就很容易列出不等式了．点评：本题采用了“化整为零”的办法，即逐条分析转化．对此类问题的解决，应注意将一个大问题化成若干个小问题的思维习惯，不要被问题的表面形式所迷惑.知能训练某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝120x＋1 180x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h)解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h，根据题意，得120x＋1180x2＞39.5，移项、整理，得x2＋9x－7 110＞0.因为Δ＞0，方程x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94.然后，画出二次函数y＝x2＋9x－7 110，由图象得不等式的解集为{x|x＜－88.94或x＞79.94}．在这个实际问题中x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.课堂小结1．由学生自己理顺整合本节所学知识方法，归纳总结利用不等式解决实际问题的方法步骤，感悟突破难点的探究过程．2．教师进一步强调，解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数．再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．然后解所列的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案．作业习题3—4A组1～4；习题3—4B组1.设计感想1．本节设计重视了不等式与其他内容的交汇．应用不等式知识可以解决许多实际问题，在解决这些问题时，关键是把实际问题转化为不等式问题．2．对于实际应用问题，要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物本身的主要特征与关系，建立起能够反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决问题．3．许多实际问题可用不等式解决，这类问题涉及的范围极为广泛，本节没有纵向拓展，让学生在今后的学习中注意归纳整合．(设计者：郑吉星)。

3.4不等式的实际应用学案【预习达标】1•实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设__________ ，将量与量间的关系变成___________ 或不等式组.2•实际问题中的每一个量—- ___________ ,必须充分注意定义域的变化.3.由例1可以知道：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变 _____ 。

若一个假分数呢？试证明之。

【典例解析】例1某工厂有一面14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126n i的厂房。

工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为a元；③用拆去1m旧墙4a所得的材料建1m新墙的费用为元。

现在有两种建设方案：(I)利用旧墙的一段Xm(x<14)2为矩形厂房的一个边长；(H)利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x> 14)。

问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？(I) (n)两个方案哪个更好？例2.有纯农药一桶，倒出8升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的2 8% •问桶的容积最大为多少？分析：若桶的容积为x,倒前纯农药为x升”第一次x — 8 :倒出纯农药8升，纯农药还剩(x-8 )升，桶内溶液浓度x第二次x — 8 :倒出溶液4升，纯农药还剩［(x-8 )—( ) 4Lx中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的2 8%解答：学生完成。

例3.某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万1元，以后每年投入将比上一年减少-，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后51的旅游业收入每年会比上年增加一.(1)设n年内(本年度万第一年)总投入万a n万元，4旅游业总收入万b n万元，写出a n、b n的表达式。

(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【双基达标】- •选择题：1•某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{a n} , n=1, 2, 3, 4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率万P i,第三年比第二年增长的百分率万P2,第四年比第三年增长2 2 112的百分率为P3，且P i+ P2+ P3= 1。

3.4 不等式的实际应用1．能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)．2．了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数学意识和情感态度．1．例题中的结论若b ＞a ＞0，m ＞0，则a ＋m b ＋m ____a b. 另外，若a ＞b ＞0，m ＞0时，则有a ＋mb ＋m ＜______成立． 【做一做】已知a ，b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小． 2．不等式解决实际问题的步骤(1)________：用字母表示题中的未知数．(2)__________：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．(3)______________：运用不等式知识求解不等式，同时要注意______________________________．(4)答：规范地写出答案．在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据，从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型，再利用不等式求解，即解实际应用题的思路为：一、解应用题的流程剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得非常重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手：(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大．这就需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等)．条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．(2)细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点．因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系．(3)精读巧转换．领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，大脑要有灵活的转化思维．二、常见的不等式实际应用类型剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种：(1)作差法解决实际问题作差法的依据是a －b ＞0⇔a ＞b ，其基本步骤是：①理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来．②作差，分析差的符号．③将作差后的结论转化为实际问题的结论．(2)应用均值不等式解决实际问题①均值不等式：a ，b ∈R ＋，a ＋b 2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．当ab ＝P (定值)，那么当a ＝b 时，a ＋b 有最小值2P ；当a ＋b ＝S (定值)，那么当a ＝b 时，ab 有最大值14S 2. ②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创造利用均值不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方．(3)应用一元二次不等式解决实际问题用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：①理解题意，搞清量与量之间的关系；②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解．在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用．题型一 一元二次不等式的实际应用【例1】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝120x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到0.01 km/h)?分析：由刹车距离直接代入关系式就会得到一个关于x 的一元二次不等式，解此不等式即可求出x 的范围，即汽车刹车前的车速范围．反思：解答不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型．防止在解答此题时不考虑实际意义而忘记舍去x ＜－88.94这一情况．题型二 利用均值不等式解应用题【例2】某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维修费逐年递增，构成一个等差数列，只需求出x 年的总费用(包括购车费)除以x 年，即为平均费用y .列出函数关系式，再求解．反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案．题型三 易错辨析【例3】甲、乙两地水路相距s km ，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常量p km/h ，船在静水中的最大速度为q km/h(q ＞p )．已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中的速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为k .(1)把全程燃料费用y (元)表示为船在静水中的速度v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应是多少？错解：(1)依题意，船由甲地到乙地所用的时间为sv －p h ，则y ＝k ·v 2·sv －p ＝ks ·v 2v －p . 故所求函数为y ＝ks ·v 2v －p，其定义域为v ∈(p ，q ]． (2)依题意，k ，s ，v ，p ，q 均为正数，且v －p ＞0，故有ks ·v 2v －p ＝ks ·v 2－p 2＋p 2v －p＝ks (v －p ＋p 2v －p ＋2p )≥ks (2p ＋2p )＝4ksp ，当且仅当v －p ＝p 2v －p ，即v ＝2p 时等号成立．所以当船的实际前进速度为p km/h 时，全程燃料费用最少．错因分析：错解中船在静水中的速度v ＝2p km/h 应不超过q km/h ，事实上2p 与q 的大小关系并不明确，因此需分2p ≤q 和2p ＞q 两种情况进行讨论．1某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费，那么他家的建筑面积最多不超过( )．A ．70平方米B ．80平方米C ．90平方米D ．100平方米2一元二次不等式ax 2＋2x －1有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )．A ．{a |a ＞1}B ．{a |a ＜1且a ≠0}C ．{a |a ＜－1}D ．{a |a ＞－1且a ≠0}3某企业生产一种产品x (百件)的成本为(3x －3)万元，销售总收入为(2x 2－5)万元，如果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品为______(百件)．4用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长(较长的边)和宽应选用的金属材料价格每1 m 分别为3元和5元，且长和宽必须是整数，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是______．5某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x 台(x ∈N ＋)，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费用总计43 600元，现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用．请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．答案：基础知识·梳理1．＞ a b【做一做】解：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ≥21ab＞0. ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab . 即21a ＋1b≤ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． 2．(1)设未知数 (2)列不等式(组) (3)解不等式(组) 未知数在实际问题中的取值范围典型例题·领悟【例1】解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h. 根据题意，有120x ＋1180x 2＞39.5. 移项整理，得x 2＋9x －7 110＞0.显然Δ＞0，方程x 2＋9x －7 110＝0有两个实数根，即x 1≈－88.94，x 2≈79.94.然后，画出二次函数y ＝x 2＋9x －7 110的图象．由图象得不等式的解集为{x |x ＜－88.94或x ＞79.94}．在这个实际问题中，x ＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.【例2】解：设汽车使用的年数为x .由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列． 因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x 2x 万元． 设汽车的年平均费用为y 万元，则有y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x 2x x ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x 10≥1＋210x ·x 10＝3. 当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时，等号成立，即y 取最小值． 答：汽车使用10年时年平均费用最少．【例3】正解：(1)同错解(1)．(2)解题过程同错解(2)．若2p ≤q ，则当v ＝2p 时，y 取最小值，这时船的实际前进速度为p km/h.若2p ＞q ，当v ∈(p ，q ]时， ks ·v 2v －p －ks ·q 2q －p ＝ks ·(q －v )(pq ＋pv －qv )(v －p )(q －p ). ∵v －p ＞0，q －p ＞0，q －v ≥0，pq ＋pv －qv ≥pv ＋pv －qv ＝(2p －q )v ＞0，∴ks ·v 2v －p ≥ks ·q 2q －p. 当且仅当v ＝q 时等号成立，即当v ＝q 时，y 取得最小值．此时船的实际前进速度为(q －p ) km/h.随堂练习·巩固1．B 根据使用面积应该缴纳的费用为60×4＝240元，设建筑面积为x 平方米，则根据他所选择的方案，知3x －240≤0，所以x ≤80，即建筑面积不超过80平方米．2．D 一元二次不等式有两个不相等的实数根，其判别式Δ＝4＋4a ＞0，即a ＞－1，且二次项系数不能为0，即a ≠0.所以a 的取值范围是{a |a ＞－1且a ≠0}．3．2 要不亏本只需收入不小于成本，即2x 2－5－(3x －3)≥0，即2x 2－3x －2≥0，解得x ≤－12或x ≥2，而产品件数不能是负数，所以x 的最小值为2. 4．40 m 2 设长为x m ，宽为y m ，则根据条件知6x ＋10y ≤100，即3x ＋5y ≤50，且x ≥y ，再根据x ，y 都是整数的条件求xy 的最大值，而xy ＝115·3x ·5y ≤115(3x ＋5y 2)2，并且检验，知当x ＝8，y ＝5时，面积xy 最大为40 m 2.5．解：设总费用为y 元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k (k ＞0)，每批购入x 台，则y ＝3 600x×400＋k ·(2 000·x )． 当x ＝400时，y ＝43 600，解得k ＝5%.∴y ＝3 600×400x＋100x ≥2 3 600×400x·100x ＝24 000(元)． 当且仅当3 600×400x＝100x ，即x ＝120时，等号成立，因此只需每批购入120台，便可使资金够用．。

含参不等式恒成立问题教学目标:1. 通过对不同问题的解题探讨归纳该类问题的一般解法2. 培养学生的分析问题和灵活应用知识解决问题的能力3. 培养学生的数形结合能力重难点:分析解决问题的能力,数形结合思想方法的应用教学方法:指导练习法教学过程:一、复习回顾引例：已知二次函数满足(1)()2f x f x x +-=且(0)1f =．（1）求的解析式；（2）求在区间[]1,1-上的最大值和最小值。

（3）当[1,1]x ∈-时，不等式：()2f x x m >+恒成立，求的范围。

二、归纳：（恒成立问题的基本类型）类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或，],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf ab a b f a b或或类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。

类型4：恒成立。

的图象的上方或的图象在恒成立对一切)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>三、例题讲评例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求的范围。

第2课时 不等式的实际应用[课程目标] 1.能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题；2.能从实际情景中抽象出不等式模型，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小、确定范围、求最值)；3.进一步了解如何从实际情景中建立数学模型，逐步体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数学意识和情感态度．知识点一 作差法解决实际问题[填一填](1)作差法的依据是a －b >0⇔a >b ； (2)若a >b >0，m >0，则a ＋m b ＋m <ab ；(3)若0<a <b ，m >0，则a ＋m b ＋m >ab.[答一答]1．作差法解决实际问题的基本步骤是怎样的？提示：(1)理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来； (2)作差、变形； (3)分析差的符号；(4)得出结论，解决实际问题．知识点二 利用均值不等式解决实际问题[填一填](1)设a ，b 是两个正数，则2aba ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22. (2)已知x ，y 是正数，如果xy 是常数p ，则x ＋y 有最小值，且这个值是2p ；如果x ＋y是常数s ，则xy 有最大值，且这个值是14s 2.[答一答]2．应用均值不等式解决实际问题的步骤是怎样的？ 提示：(1)理解题意，设出变量；(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题； (3)对建立起来的关系式进行整理、变形，使之能应用均值不等式求最值； (4)回扣实际问题，写出准确答案．知识点三 利用一元二次不等式解决实际问题[答一答]3．应用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是怎样的？ 提示：(1)理解题意，弄清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．类型一 作差法解决实际问题[例1] 甲、乙两人同时到一家米店买米两次，两次米的价格不同，甲每次购买m 千克，乙每次购买n 元钱的，则甲、乙两人谁的买法更便宜些？[解] 设第一次米店的米价为a 元/千克，第二次为b 元/千克，则甲共买了2m 千克，花了(ma ＋mb )元，两次的平均价格为ma ＋mb 2m ＝a ＋b2(元/千克)．乙共买了2n 元钱的，买米(n a ＋nb )千克，两次的平均价格为2n n a ＋n b＝2aba ＋b (元/千克)．a ＋b 2－2ab a ＋b ＝(a ＋b )2－4ab 2(a ＋b )＝a 2＋b 2－2ab 2(a ＋b )＝(a －b )22(a ＋b ). ∵两次米价不同，∴a ≠b ，∴a －b ≠0，(a －b )2>0. 又a >0，b >0，∴2(a ＋b )>0， ∴(a －b )22(a ＋b )>0，即a ＋b 2>2ab a ＋b .∴甲两次买米的平均价格高于乙的平均价格， ∴乙买的米更便宜些．涉及两者大小比较的问题，解题时常用作差法比较，结合不等式的性质得到正确结论.解决此类问题的关键在于准确把需要比较大小的两个对象表示出来.[变式训练1]现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面积均为a2，高分别为a 和b，C、D的底面积均为b2，高分别为a和b(其中a≠b)．现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜，则先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？解：依题意可知A、B、C、D四个容器的容积分别为a3，a2b，ab2，b3.按照游戏规则，四个容器只有三种不同的分法：①若先取A、B，则后取者只能取C、D.∵(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a－b)(a＋b)2，(a＋b)2>0，但a与b的大小不确定，∴(a－b)(a＋b)2的正负不能确定．②若先取A、C，则后取者只能取B、D.∵(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a－b)(a2＋b2)，∴类似于①的分析知，这种取法也无必胜的把握．③若先取A、D，则后取者只能取B、C.∵(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2，又a≠b，a>0，b>0，∴(a＋b)(a－b)2>0，∴a3＋b3>a2b＋ab2.故先取A、D是唯一必胜的方案．类型二利用一元二次不等式解决实际问题[例2]据市场调查：某杂志价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多，现有该杂志，若每本定价2元，则可以发行10万本，若每本价格提高0.2元，发行量就减少5 000本，要使总收入不低于22.4万元，则杂志的定价应是多少元？每本价格是多少时，可使总收入最多？[解]设每本价格提高0.2x(0≤x≤20)元，则发行量减少5 000x本，提价后的单价为(2＋0.2x)元，发行量为(100 000－5 000x)本．由题意得(2＋0.2x)(100 000－5 000x)≥224 000，即x2－10x＋24≤0，解得4≤x≤6.最高定价：x＝6时，2＋0.2x＝3.2(元)．最低定价：x＝4时，2＋0.2x＝2.8(元)．故每本杂志的定价应在2.8元到3.2元之间(包括2.8元和3.2元)．令总收入为y元，则y＝(2＋0.2x)(100 000－5 000x)＝－1 000(x2－10x)＋200 000∴当x ＝5，即每本价格为3元时，总收入最高．(1)本题也可设每本提高x 元，或设每本定价x 元求解，但都不如设每本提高0.2x 元简单.,(2)解答实际应用题时，要特别注意单位的统一.[变式训练2] 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对后同时刹车，但还是撞了．事发后，现场测量甲车的刹车距离超过12 m ，但不超过15 m ；乙车的刹车距离超过10 m ，但不超过12 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x甲＋0.01x 2甲，s 乙＝0.05x 乙＋0.005x 2乙，问谁应负主要责任？解：由题意得下列不等式： 12<0.1x 甲＋0.01x 2甲≤15， ① 10<0.05x 乙＋0.005x 2乙≤12， ② ①化为1 200<10x 甲＋x 2甲≤1 500，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2甲＋10x 甲－1 200>0， ③x 2甲＋10x 甲－1 500≤0. ④由③得x 甲>30或x 甲<－40(舍去)． 由④得－5－561≤x 甲≤－5＋561， 由③④得30<x 甲≤－5＋561<35. 同理，解②得40<x 乙≤－5＋597<45.这表明乙车的车速超过40 km/h ，超过规定限速，故乙车应负主要责任． 类型三 利用均值不等式解决实际问题[例3] 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m 2的三级污水处理池，平面图如图所示，水池的深度为1 m ．如果水池四周墙的建造费用为400元/m 2，中间两道隔墙的建造费用为248元/m 2，池底建造费用为80元/m 2，水池的所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．[解] 设污水处理池的宽为x (x >0) m ，则长为162x m ，则总造价y ＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x )＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时，等号成立．故当长为16.2 m ，宽为10 m 时，总造价最低，为38 880元．(1)在运用均值不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足均值不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为一定值)、“等”(等号取得的条件).(2)对于形如y ＝的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的性质进行求解.[变式训练3] 某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x (万件)与年促销费用m (万元)(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2018年该产品的利润y (万元)表示为年促销费用m (万元)的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k 0＋1，即k ＝2.∴x ＝3－2m ＋1.∵每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ×1.5×8＋16xx －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8×(3－2m ＋1)－m ＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1 即m ＝3时，y max ＝21.∴该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．1．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，则下列选项中能反映x 、y 、z 关系的是( C )A ．x ＋y ＋z ＝65B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >z ，y >zC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >z >0，y >z >0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x <65，y <65，z <65解析：A 、B 、D 中x 、y 、z 都有可能为负数．2．买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是( A )A ．前者贵B ．后者贵C ．一样D ．不能确定解析：设郁金香为x 元/枝，丁香为y 元/枝，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y <22，6x ＋3y >24，∴由不等式的性质，得x >3，y <2，∴2x >6,3y <6，故前者贵．3．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为1_760元．解析：设池底的长为x m ，因为容积为8 m 3，深为2 m ，所以池底的宽为4x m ，则水池的总造价为y ＝120x ·4x ＋80⎝⎛⎭⎫2x ×2＋2×4x ×2＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320×4＝1 760.所以，最低总造价为1 760元．4．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60 m 2.如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过80_m 2.解析：根据使用面积应该缴纳的费用为60×4＝240元，设建筑面积为x m 2，则根据他所选择的方案知3x －240≤0，所以x ≤80，即建筑面积不超过80 m 2.。

３．４不等式的应用教学目标：掌握建立不等式模型解决实际问题.教学重点：掌握建立不等式模型解决实际问题教学过程１、某座水库，设计的最大库容量是２6．２万方，库区的森林覆盖率为60%，除林地外其余为裸露地，森林和裸露地分别有１0%和8５%的雨水量变成地表水流流入水库。

预测连续降雨，且单位面积降雨量相同，库区在x 天内降鱼总量y （单位：万方）与天数x 之间的函数为y=)75.18(+x x （x 30,<∈x N ）.水库原有水量２0万方，在降雨的第２天就开闸泄洪，每天泄洪量为0．２万方，问连续降雨几天后，该水库会发生险情？（水库水量超过设计的最大库容量就有危险，库区水面上的降雨量忽略不计）解：连续降雨x 天后，水库水量f （x ）=２0+y •60%•１0%+y •４0%•8５%—0．２（x —１）=２0．２+51[２)75.18(+x x —x]>２6．２, 即x 2+５x —３00>0,所以x>１５或x<—２0（舍），即连续降雨１6天水库便会发生危险。

２、某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需各种费用１２万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加４万元，该船每年捕捞的总的收入为５0万元。

（1） 该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）？（2） 该船捕捞若干年后，处理方案有两种：１当年平均盈利达到最大值时，以２6万元的价格卖出。

２当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出。

问哪一种方案较为合算，请说明理由。

解：（１）设捕捞年n 后开始盈利，盈利为y 元，则：y=５0n —[１２n+9840298]42)1(2-+-=-⨯-n n n n 由y>0得n 2—２0n+４9<0所以１0—51<n<１0+51（n *N ∈）所以３17≤≤n 即捕捞３年后，开始盈利。

（２）１平均盈利为1240982240982=+•-≤+-=n n n n n y 当且仅当２n=n 98即n=7时年平均利润最大。

高二数学必修五NO 17使用时间：班级：组别：课题：不等式的实质应用教案学习目标1、经过实质问题的情形，让学生掌握不等式的实质应用，掌握解决这种问题的一般步骤，2、让学生经历从实质情形中抽象出不等式模型的过程。

3、经过实例，让学生体验数学与平时生活的联系，感觉数学的适用价值，加强学生的应意图识，提升他们的实践能力。

自主学习1、比较两实数大小的常用方法2、联系一元二次不等式与相应的方程以及函数之间的关系，填写下表△ =b2-4ac△ >0△ =0△ <0 2Y=ax +bx+c象ax2+bx+c=0（a>0 ）的根ax2+bx+>0（a>0 ）的解集ax2+bx+c<0（a>0 ）的解集合作研究b 克糖水中含有 a 克糖（ b>a>0），若在这些糖水中再增添m（ m>0）克糖，则糖水就变甜了，依据此事实提炼一个关系式，师：引例就是不等式在我们的生活中的实质应用，今日，我们一同来学习不等式的实质应用。

例⒈ 一般状况下，建筑民用住所时，民用住所窗户的总面积应小于该住所的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住所的采光条件越好。

同时增添相等的窗户面积和占地面积，住所的采光条件是变好了仍是变差了？例 2．有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，而后倒出 4 升再用水补满，此时桶中的纯农药不超出容积的２８％ . 问桶的容积最大为多少？剖析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为 x 升第一次：倒出纯农药 8 升，纯农药还剩（x-8 ）升，桶内溶液浓度x 8 x第二次：倒出溶液 4 升，纯农药还剩［（x-8 ）—（x 8） 4］，x中此题的不等关系是：桶中的农药不超出容积的２８％解答：学生达成。

例 3． 解在章头语中提出的相关恩格尔系数的应用问题：依据某乡镇家庭抽样检查的统计，2003 年每户家庭年均匀花费支出总数为1 万元， 此中食品花费额为0.6 万元。