北师大版数学必修五：《基本不等式的实际应用》导学案(含答案)

《基本不等式》导学案学习目标学习难点1探索并了解基本不等式的形成过程； 2掌握用基本不等式求一些实际的应用问题． 3能初步运用求一些函数的最值。

1基本不等式形成过程 2基本不等式的求最值的使用要点自主预习 合作探究 启发引导二、学习过程（一）趣味情景导学（见ppt ）（二）探究“重要不等式”与“基本不等式” 1.自主学习“重要不等式”（1）代数解释：由完全平方差公式0)(2≥=-b a ；得≥+22b a 。

其中a ，b ∈R ；当且仅当a b 时，等号成立。

（2）几何解释：效果检测1：下面是“重要不等式”的两个变式，请同学们说出其成立条件和取等条件。

（1）222c d cd +≥ （2）212x x +≥ 2.小组合作探究“基本不等式”（1）代数解释：（i ）对于“重要不等式”：特别的，当a>0,b>0时.用a 替换a ；用 替换b 可得。

（ii ）或者可以 由0)(2≥=-b a ；移项得ab b a 2≥+，即： ，当且仅当a b 时，等号成立。

（2）几何解释：如右图，直角三角形两直角边分别是a ，b 。

则： 大正方形的面积是______， 4个直角三角形的面积之和是____； 大正方形的面积 （填“大于”或“小于”）4个直角三角形的面积之和； 即有： 。

；（a ，b ∈R ） 当且仅当a=b 时，等号成立。

重要不等式 ab b a 222≥+观察右图：当 时，大正方形的面积等于4个直角三角形的面积之和；即：当且仅当a b 时，等号成立。

ab b a 222>+ ab b a基本不等式2b a ab +≤；（a>0,b>0） 当且仅当a b 时,等号成立。

）（0,02>>+≤b a b a ab（3）对基本不等式的理解效果检测2：下面是“基本不等式”的两个变式，请同学们说出其成立条件和取等条件。

（1）12x x+≥ （2）1)2(≤-⋅x x（三）例题讲解例：（联系生活，解决问题）：例题呈现解题过程小结（1）张先生打算在平地上用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时篱笆最省，最短的篱笆是多少？ 解：（2）张先生打算在平地上用36米长篱笆围成一个矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大，最大面积是多少？解：基本不等式求最值使用要点：一 、二 、三 。

§3 基本不等式第1课时 基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件. 学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b 都是非负数，那么2ba +≥ab ,当且仅当a=b 时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中2ba +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，取"＝"）.证明：a 2+b 2-2ab =(a-b ) 2,当a ≠b 时，（a-b ）2>0；当a=b 时，（a-b ）2＝0.所以（a-b ）2≥0,即a 2+b 2≥2ab .3.基本不等式的几何解释： 基本不等式一种几何解释如下：以a+b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连结AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ,则CD ２=CA ·CB ,即CD =ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即2ba +≥ab ， 其中，当且仅当点C 与圆心重合，即a=b 时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式ab ≤2ba +（a ≥0,b ≥0）. 其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.4.关于a 2+b 2≥2ab 和2ba +≥ab （a,b >0） （1）两个不等式：a 2+b 2≥2ab 与2b a +≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a,b 都是实数，后者则要求a,b 都是正数.如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的，而()()243-+-≥()()43-⨯-是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件.(2)两个不等式：a 2+b 2≥2ab ，2ba +≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b 时取‘＝’”这句话的含义是“a=b ”时，a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 中只有等号成立，反之，若a 2+b2≥2ab , 2ba +≥ab 中的等号成立时,必有“a=b ”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值利用基本不等式2ba +≥ab ，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地： x,y 都为正数时，（1）若x+y=S （和为定值），则当x=y 时，积xy 取得最大值42S ;（2）若xy=p （积为定值），则当x=y 时，和x+y 取得最小值2p .证明：∵x,y 都为正数， ∴2yx +≥xy (1)和式为定值S 时，有xy ≤2S ，∴ xy ≤41S 2.上式当“x=y ”时取“＝”号，因式当x=y 时，积xy 有最大值41S 2； (2)积式xy 为定值p 时，有2yx +≥p ,∴x+y ≥2p .上式当“x=y ”时取“＝”，因此，当x=y 时，和x+y 有最小值2p .注意：（1）在应用均值不等式ab ≤2ba +求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时"＝"号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否则"＝"将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b 都是非负数，那么 ，当且仅当 时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中 称为a,b 的算术平均数， 称为a,b 的几何平均数.2.利用基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值时，它们的积有 ，即若a >0,b >0,且a+b=M,M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a=b 时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有 ，即若a >0,b >0,且ab=P,P 为定值，则a+b ≥ ,等号当且仅当a=b 时成立. ［答案］ 1.2b a +≥ab a=b 2ba + ab2.(1)最大值 42M (2)最小值 2p思路方法技巧命题方向 利用基本不等式比较代数式的大小［例1］ 已知0＜a ＜1,0<b <1,则a+b ,2ab ,a 2+b 2,2ab 中哪一个最大？［分析］ 由已知a,b 均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来加以解决.［解析］ 方法一：∵a >0,b >0,∴a+b ≥2ab ,a 2+b 2≥2ab ,∴四个数中最大数应为a+b 或a 2+b 2. 又∵0＜a ＜1,0<b <1,∴a 2+b 2-(a+b )=a 2-a+b 2-b =a (a -1)+b (b -1)<0,∴a 2+b 2<a+b ,∴a+b 最大．方法二：令a=b =21, 则a+b =1,2ab =1,a 2+b 2=21,2ab =2×21×21=21,再令a =21,b =81,a+b =21+81=85,2ab =28121⨯＝21， ∴a+b 最大.［说明］ 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性. 变式应用1已知m=a +21-a (a >2),n =22-b2(b ≠0),则m 、n 的大小关系是（ ）A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定 ［答案］ A∵a >2,∴a -2>0,又∵m=a +21-a =(a -2)+ 21-a +2≥２()212-⋅-a a +2=4,当且仅当a -2=21-a ,即（a -2）2=1,又a -2>0，∴a -2=1,即a =3时取等号.∴m ≥4. ∵b ≠0,∴b 2≠0,∴2-b 2<2,∴22-b2<4,即n <4， ∴m>n .命题方向 利用基本不等式求最值［例2］ （1）若x >0，求函数f (x )=x12+3x 的最小值；（2）若x <0，求函数f (x )=x12+3x 的最大值. ［分析］ 利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立.三个条件缺一不可.对（1），由x >0,可得x12>0,3x >0.又因为 x 12·3x =36为定值，且x12=3x (x >0)时，x =2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x <0，得x 12<0,3x <0,所以-x 12>0,-3x >0,所以对 (-x12)+(-3x )可利用基本不等式求最值.［解析］ （1）因为x >0，所以x12>0,3x >0, 所以f (x )=x12+3x ≥2x x 312⋅=236=12.当且仅当x12=3x ,即x =2时，等号成立. 所以当x =2时，f (x )取得最小值12. （2）因为x <0,所以-x >0, 所以-f (x )= (-x 12)+(-3x )≥2()x x 312-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=12,所以f (x )≤-12 . 当且仅当-x12=-3x ,即x =-2时，等号成立. 所以当x =-2时，f (x )取得最大值-12.［说明］ 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解. 变式应用2设x >0，求y =2-x -x4的最大值. ［解析］ ∵x >0,∴x +x 4≥2x x 4⋅=4,∴y =2- (x +x 4)≤2-4=-2.当且仅当x =x4，即x =2时等号成立，y 取最大值-2.［例3］ （1）已知x <45，求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（2）已知0<x <31,求函数y=x (1-3x )的最大值. ［分析］ 此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值. ［解析］ （1）因为x <45，所以4x -5<0,即5-4x >0, 所以y =4x -2+541-x =- (5-4x +x 451-)+3.因为5-4x +x451-≥2()xx 45145-⋅-=2,所以y ≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时等号成立，所以当x =1时，函数y 取得最大值1.（2）因为0<x <31，所以1-3x >0,所以y=x (1-3x )= 31·3x (1-3x )≤31 [()2313x x -+]2=121.当且仅当3x =1-3x ,即x =61时等号成立，所以当x =61时，函数y 取得最大值121.［说明］ 解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x -2拼凑成4x -5.(2)中将x 拼凑成3x ,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值.变式应用3求函数y =31-x +x (x >3)的最小值. ［解析］ y =31-x +x =31-x +(x -3)+3,∵x >3,∴x -3>0, ∴31-x +(x-3)≥2()331--x x =2, 当且仅当31-x =x -3,即x -3=1, x =4时，等号成立.∴当x =4时，函数y =31-x +x (x >3)取最小值2+3=5. 命题方向 利用基本不等式解决有关实际应用问题［例4］ 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80）时，每天销售的件数为p =()254010-x ,若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？ ［分析］ 首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×（销售价格-进货价格）.再应用基本不等式解决最值问题.［解析］ 解法一：由题意知利润S =（x -50）·()254010-x =(x -50)·()()1005020501025+-+-x x=()()205010050105+-+-x x .x -50≥0，∴（x -50）+()50105-x ≥20.∴S ≤2020105+＝2500，当且仅当（x -50）＝()5010-x ，即x =60或x =40（不合题意舍去）时取=. 解法二：由题意知利润S =（x -50）·()254010-x令x －50＝t ，x =t +50（t >0），则S =()251010+t t =100201025++t t t =20100105++tt ≤2020105+＝2500.当且仅当t =t100，即t =10时取等号，此时x =60. 答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多.［说明］ 1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题）；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值；（4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值. 变式应用4某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为Q ＝xx 23- (x >0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150％”与“年广告费的50％”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润P （万元）表示为年广告费x (万元)的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ ［解析］ （1）P =(32Q +3)·150％＋x ·50%-(32Q +3)-x =-2x -x32+49.5(x >0)；（2）P ＝- (2x ＋x 32)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当21x =x32时，即x =8时，P 有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答［例5］ 已知a >0,b >0,且a 1+b9=1,求a+b 的最小值.∵a >0,b >0∴a 1+b9≥2ab 9=6ab 1,∴6ab1≤1， ∴ab 1≤361， ∴ab ≥36.∴a+b ≥2ab ≥12.∴a+b 的最小值为12.［辨析］ 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为a 1+b9,即b =9a ,第二次等号成立的条件为a=b ，故a+b 取不到最小值12.［正解］ ∵a >0,b >0，a 1+b9＝1， ∴a+b =(a 1+b9)(a+b )=1+9+baa b 9+≥10+2b a a b 9⋅=10+2×3＝16. 当且仅当ba ab 9=，即b 2=9a 2时等号成立.解得a =4,b =12.故当a =4,b =12时，a+b 取最小值16.课堂巩固训练一、选择题 1.已知ab >0，则baa b +的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.［2，+∞)C.(4，+∞)D.［4，+∞)［答案］ B ［解析］ ∵ab >0,∴a b >0,b a>0,∴b a a b +≥2baa b ⋅=2. 当且仅当baa b =，即a=b 时，等号成立.2.不等式a 2+4≥4a 中等号成立的条件是（ ）A.a =±2B.a =2C.a =-2D.a =4［答案］ B［解析］ 因为a 2-4a +4=(a -2) 2≥0, 当且仅当a =2时取“＝”，所以a =2. 3.如果a,b 满足0<a<b ,a+b =1,则21,b ,2ab ,a 2+b 2中值最大的是（ ）A.21B.aC.2abD.a 2+b 2［答案］ D［解析］ 解法一：∵0<a<b ,∴1=a+b >2a ,a <21,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab ,又a 2+b 2=(a+b ) 2-2ab =1-2ab ,∵1=a+b >2ab ,∴ab <41,∴1-2ab >1-21=21,即a 2+b 2>21. 解法二：特值检验法：取a =31,b =32,则2ab =94,a 2+b 2=95,∵95>21>94>31,∴a 2+b 2最大. 二、填空题4.若x >0,则x +x2的最小值为 . ［答案］ 22［解析］ ∵x >0,∴x +x2≥2x x 2⋅=22,当且仅当x =x2,即x =2时，等号成立.5.x,y ∈R ,x+y =5,则3x+3y的最小值是 . ［答案］ 183［解析］ 3x>0,3y>0.∴3x+3y≥2y x 33⋅=2yx +3=2·（3）5＝183,当且仅当x=y =25时等号成立.课后强化作业一、选择题1.下列函数中，最小值为2的是（ ）A.y=x +x 1 B.y =sin x +x sin 1,x ∈ (0,2π)C.y =2322++x x D.y =x +x1［答案］ D［解析］ A 中，不满足正数这一条件；B 中，∵x ∈ (0,2π),∴sin x ∈(0,1),∴等号不成立； C 中，y =2322++x x =21222+++x x =22+x +212+x ,当22+x =212+x 时，x 2+2=1,x 2=-1(不成立)；D 中x >0,y =x +x1≥2,当且仅当x =x1,即x =1时，取最小值2.2.a,b ∈R +，则2b a +,ab ，ba ab+2三个数的大小顺序是（ ） A. 2b a +≤ab ≤ba ab +2B. ab ≤2b a +≤ba ab+2C. b a ab +2≤ab ≤2b a +D. ab ≤b a ab +2≤2ba +［答案］ C［解析］ 解法一：取a =2,b =8,则2b a +=5，ab =4，ba ab+2=3.2,∴选C.解法二：已知2ba +≥ab ， 又ab -ba ab +2=()b a ab b a ab +-+2=()2ba ba ab+-≥0∴ab ≥ba ab+2.也可作商比较abb a ba ab ab 22+=+≥1. 3.(2011·上海理，15)若a,b ∈R ，且ab >0,则下列不等式中，恒成立的是（ ）A.a 2+b 2>2ab B.a+b ≥2ab C.b a 11+ >ab2 D.b a a b +≥2 ［答案］D［解析］ 本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断.用排除法：A:a=b 时不满足；B:a<0,b <0时不满足；C:a <0,b <0时不满足； D:a b >0,b a >0, a b +ba ≥2b a a b ⋅=2. 4.设x +3y =2,则函数z =3x +27y 的最小值是（ ） A.32 B.22 C.3D.6［答案］D［解析］ ∵x +3y =2,∴x =2-3y .∴z =3x +27y =32-3y +27y ＝y 279+27y ≥2y y 27279⋅＝6，当且仅当y 279=27y , 即27y =3,∴33y=3,∴3y =1, ∴y =31. 即x =1,y =31时，z =3x +27y 取最小值6. 5.某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为a , 第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则（ ）A.x =2b a + B.x ≤2b a + C.x ＞2b a + D.x ≥2b a + ［答案］B［解析］ ∵这两年的平均增长率为x ，∴A (1+x ) 2=A (1+a )(1+b )，∴(1+x ) 2=(1+a )(1+b ),由题设a ＞0,b ＞0.∴1+x =()()b a ++11≤()()211b a ++ =1+2b a +，∴x ≤2b a +. 等号在1+a =1+b 即a=b 时成立. 6.若x >4，则函数y=x +41-x （ ）A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2［答案］ B［解析］ ∵x >4,∴x -4>0,∴y=x -4+41-x +4≥2()414-⋅-x x +4＝6. 当且仅当x -4=41-x ，即x -4=1，x =5时，取等号. 7.若a>b >1,P =b a lg lg ⋅,Q =21 (lg a +lg b ),R =lg (2b a +),则（ ） A.R<P<Q B.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q［答案］ B ［解析］ 由a ＞b ＞1,得lg a ＞lg b ＞0，Q =21 (lg a +lg b )＞b a lg lg ⋅=P ， R=lg(2b a +)＞lg ab =21 (lg a +lg b )=Q ， ∴R ＞Q ＞P .8.设正数x,y 满足x +4y =40,则lg x +lg y 的最大值是（ ）A.40B.10C.4D.2［答案］ B［解析］ ∵x +4y ≥2y x 4⋅＝4xy , ∴xy ≤44y x + =440=10, 当且仅当x =4y 即x =20,y =5时取“＝”，∴xy ≤100,即（xy ）max =100,∴lg x +lg y =lg(xy )的最大值为lg100=2.二、填空题9.周长为l 的矩形对角线长的最小值为 .［答案］ 42 l［解析］ 设矩形长为a ,宽为b ,则a+b =21,∵(a+b ) 2=a 2+b 2+2ab ≤2a 2+2b 2，∴a 2+b 2≥()22b a +，∴对角线长22b a +≥()22b a + =42l . 当且仅当a=b 时，取"＝".10.若a >0,b>0,a+b =2，则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）.①ab ≤1； ②b a +≤2;③a 2+b 2≥2; ④a 3+b 3≥3; ⑤ba 11+≥2. ［答案］ ①③⑤ ［解析］ ①ab ≤(2b a +)2=(22)2=1,成立.②欲证b a +≤2,即证a+b +2ab ≤2，即2ab ≤0,显然不成立.③欲证a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ≥2,即证4-2ab ≥2,即ab ≤1,由①知成立.④a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2)≥3⇔a 2-ab+b 2≥23⇔ (a+b ) 2-3ab ≥23⇔4-23≥3ab ⇔ab ≤65,由①知，ab ≤65不恒成立.⑤欲证a 1+b 1≥2,即证ab b a +≥2, 即证ab ≤1,由①知成立.11.(2010·山东·文)已知x ，y ∈R +，且满足43y x +=1，则xy 的最大值为 .［答案］ 3［解析］ ∵x >0,y >0,且1=43y x +≥212xy , ∴xy ≤3,当且仅当43y x =,即x =23,y =2时，等号成立. 12.(2011·浙江文，16)若实数x,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x+y 的最大值是［答案］ 332［解析］ 题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力.由x 2+y 2+xy =1可得，（x+y ）2=xy +1而由均值不等式得xy ≤（2y x +）2 ∴（x+y ）2≤（2y x +）2+1整理得，43（x+y ）2≤1∴x+y ∈［-332，332］ ∴x+y 的最大值为332. 三、解答题13.设实数a 使a 2+a -2>0成立，t >0，比较21log a t 与log a 21+t 的大小. ［解析］ ∵a 2+a -2＞0,∴a ＜-2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1,∴a ＞1， ∵t ＞0,∴21+t ≥t ,∴log a 21+t ≥log a t =21log a t , ∴21log a t ≤log a 21+t . 14.已知a >0,b >0,a,b 的等差中项是21,且α=a +a 1，β=b +b1,求α+β的最小值. ［解析］ 因为a,b 的等差中项是21, 所以a+b =1,α+β= (a +a 1)+ (b +b 1)=(a+b )+ (a 1+b1) =1+ab b a +=1+ab1, ∵ab ≤ (2b a +)2=41,∴ab1≥4,α+β≥5 (当且仅当a=b =21时取等号)，故α+β的最小值为5.15.已知x >0,y >0,lg x +lg y =1,求x 2+y5的最小值. ［解析］ 方法一：由已知条件lg x +lg y =1可得：x >0,y >0,且xy =10.则x 2+y 5=1052x y +≥10102xy =2，所以 (x 2+y5)min =2,方法二：由已知条件lg x +lg y =1可得：x >0,y >0,且xy =10, x 2+y5≥2y x 52⋅=21010=216.(2012·济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？［分析］ 本题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.［解析］ 设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,则ab =9000. ①广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b ≥18500+2b a 4025⋅ =18500+2ab 1000=24500.当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =85a, 代入①式得a =120,从而b =75,即当a =120,b =75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm,宽为175cm 时，可使广告的面积最小.。

3.3.1 基本不等式 本节教材分析 教材首先给出不等式,222xy y x ≥+分析其等号成立的条件，在此基础上得到基本不等式（均值不等式），将均值不等式分别用文字语言、符号语言来表示，然后给出了基本不等式的几何解释，帮助学生认识和理解基本不等式.例1是基本不等式基础上的拓展，目的是让学生认识到：（1）利用基本不等式可推出他的不等式；（2）利用图形中各种不等关系可以发现新的不等式，尽管写出的不等式形式复杂，但很明了.三维目标1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤的证明过程；教学难点: 2a b +≤等号成立条件 教学建议：xy y x ≥+2222a b +≤成立的条件是不同的.前者中的x,y 可以是全体实数，而后者中的a,b 只能是非负数.授课时要强调等号成立的条件；然后给学生教会如何用均值不等式解题.新课导入设计导入一:[直接导入] 在代数中，有许多有趣的不等式，例如对任意实数x,y,0)(2≥-y x 总是成立的，即,0222≥+-y xy x 所以xy y x ≥+222，当且仅当y x =时，等号成立，并进(0,0),2a b a b +≤>> 这是一个非常重要的一个不等式.本节我们对其作进一步的探究，由此展开新课.导入二：[情景导入]教师自制风车，让学生把教师自制风车转起来，这是学生小时候的得意玩具；手持风车把手，来一个360度的旋转，不但风车转的漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情景引入达到高潮，此时教师提问，展开新课.。

基本不等式复习学案（详案）山东省新泰市第二中学 赵建新 271212教师寄语 缺乏意志的人，一切都感到困难；没有头脑的人，一切都感到简单.试试并非受罪，问问并不吃亏.善于发问的人，知识丰富.复习目标：1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3.通过具体题目进一步掌握分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、换元思想、整体思想等重要的数学思想.重点难点：重点：应用基本不等式求函数的最值.难点：通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设应用基本不等式的情境.一、基础回顾如果a,b 是正实数 ，那么2a b +≤，当且仅当 a=b 时取“=”号. 二、公式运用：和定积最大, 积定和最小利用基本不等式求最大（小）值问题时要抓住“一正、二定、三相等”.“一正”就是要求a,b 都为正数；“二定”就是要求和a+b 或积ab 必须是定值；“三相等”就是看等号能否成立.三个条件缺一不可.三、例题精讲例1、 已知函数9()4(0).f x x x x=+≠ （1）当x>0时，求函数的最小值；（2）当x<0时，求函数的最大值；（3）求函数的值域.()10()12,x f x >≥=解：时，934,=2x x x ==当且仅当即时“”成立.12所以当x>0时，函数的最小值为.()920()=12,x f x x x <≤-=-时，-[(-4)+(-)]94,x x -=-当且仅当3=2x =-即时“”成立.-12所以当x<0时，函数的最大值为. ()()()312,12][12,).∞-⋃+∞由、知，函数的值域为(-另解 993|()||4|4||12,||==.||2f x x x x x x =+=+≥当且仅当时“”成立 要点归纳：利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.变式练习1、求函数4()3lg lg f x x x=++（0,x >且1x ≠）的最值.解 1lg 0,()37x x f x >>≥+=当时，，当且仅当4100=lg x x=lgx=时，即时“”成立.41lg 0,()3[(lg )()]31lg x x f x x x <<=--+-≤-=-当0<时，，当且仅当2410=lg x x -=-lgx=-时，即时“”成立. 综上可得函数的值域为,1][7,).∞-⋃+∞(-另解 44|lg ||lg |4,|lg |=2=lg |lg |x x x x x +=+≥当且仅当时“”成立. 例2、 已知1,x >求11x x +-的最小值以及取得最小值时x 的值.1,10,x x >∴->解：由于11(1)111x x x x ∴+=-++--1 3.≥= 1(1)==20.1x x x x -==-当且仅当时“”成立，于是或（舍去） 3 2.x 所以最小值为，取得最小值时的值为要点归纳：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.变式练习2、已知5,4x <求1245x x -+-y=4的最大值. 54x x <∴解：由于,5-4>0. 114554x x x x∴+≤--y=4-2+=-(5-4)+3-2+3=1. 15-41=54x x x=-当且仅当=,即时“”成立. =11x 所以当时y 取得最大值为.例3、 判断下列推理是否正确：求222sin sin y x x=+的最小值.错误解法 22sin 0,sin 0,x x ≠∴>由于2y ∴≥=所以y 的最小值为正确解法 2s i n ,01t x t =≤令则<，(0,1]y t ∈易知在上为减函数，13t y ∴=时取得最小值， 3.y 所以的值小值为要点归纳：由此看来在应用基本不等式求最值时“=”是否成立很关键！变式练习3、求函数2的最小值.2=解： t ≥令则1)y t t t =+∈+∞易知在上为增函数，t y ∴=x=0时2y 所以的值小值为 例4、 已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值.1916,x y =+≥≥错解：12,12.x y x y ∴+≥≥∴+的最小值为 解法1（整体代换法）199)()1010616,y x x y x y x y++=++≥+=x+y=( 9=y x x y 当且仅当=时“”成立,19116x y x y x y+=又，所以=4,=12时+取得最小值. 解法2（变量代换函数法）1991,0,0,1,1x y x y x x y x +==>>∴>-由得又 999911061016.111x x y x x x x x x ∴+=+=++=-++≥+=---当且仅当911x x -=-，即x=4时“=”号成立.所以x y +的最小值为16.解法3（三角换元法）由题意设2219sin ,cos ,x yαα==（02πα<<）即2219,sin cos x y αα==，所以2222222219sin cos 9sin 9cos sin cos sin cos x y αααααααα+++=+=+=10+2222cos 9sin sin cos αααα+16,≥当且仅当2222cos 9sin sin cos αααα=时“=”成立，即21sin 4α=，23cos 4α=时x y +取得最小值16. 要点归纳：当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能使等号成立，并且要保证取等号的条件的一致性，否则就会出错！变式练习4、已知0,0,a b >>且22,a b +=求11t a b =+的最小值.。

基本不等式教学设计（第一课时）教材分析与学情分析本节是北师大版高中数学必修5中第三章第3节基本不等式（第一课时）的内容。

它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用、研究最值问题是基本不等式必不可少的，在知识体系中它起到承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以应重点研究。

基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

教学目标1、知识与能力了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，初步掌握基本不等式的简单应用。

2、过程与方法通过引导能从“赵爽弦图”中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解，经历基本不等式几何解释的探究过程体会数形结合思想的直观性和重要性，进一步树立数形结合的意识。

3、情感、态度与价值观培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，激活学生的思维，培养学生的探索精神，提高其探究能力。

教学重点、难点重点：经历基本不等式几何解释的探究过程体会数形结合思想的直观性和重要性，初步掌握用基本不等式解决简单的问题。

难点：理解基本不等式的几何意义教学设计思路：（1）教法指导：本节课是通过7个教学环节，强调教学过程，在教师的引导下启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，理解其几何背景。

课堂教学以学生为主体、基本不等式为主线、数形结合为主导，在学生原有的认知基础上充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。

（2）学法指导：定理的证明要留给学生充分的思考空间，引导学生自主探索，小组讨论与集体交流相结合，通过类比得到答案，体会合作学习的必要性和高效性。

通过对基本不等式几何解释的探究提高学生观察与交流，分析与解决问题的能力，渗透数学思想、培养合作意识。

基本不等式应用教学目标（一）知识与技能：进一步掌握基本不等式ab ba ≥+2，会应用此不等式求某些函数的最值。

（二）过程与方法：，进而归纳总结出一般方法通过学生自己观察、分析最值问题的探究，让、发现解题规律培养学生分析问题、解决问题及归纳能力。

（三）情感态度与价值观：激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度。

（四）数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算 教学重点利用基本不等式求最值的基本方法和技巧 教学难点构造基本不等式的形式的方法，及不等式成立的条件 教学过程 一．知识梳理1.重要不等式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2.基本不等式(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.常见结构（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（2）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．二．典例探究最值问题 例1（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值 （2） 当时，求(82)y x x =-的最大值解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

3．1 基本不等式学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直AB 于Q ，连接AP ，PB .如何用a ，b 表示PO ，PQ 的长度？梳理 如果a ，b 都是非负数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2称为a ，b 的________平均数，ab 称为a ，b 的________平均数．两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点二 基本不等式及其常见推论 思考 如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)?梳理ab ≤a ＋b 2(a >0，b >0)．当对正数a ，b 赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．类型一 常见推论的证明 引申探究 证明不等式(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是a ，b ∈R ，与基本不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 类型二 用基本不等式证明不等式 例2 已知x ，y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.反思与感悟 在(1)的证明中把y x ，x y分别看作基本不等式中的a ，b 从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 类型三 用基本不等式比大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，a ，b ，x 均大于零，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2反思与感悟 基本不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b2，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．52．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >a D ．b >a >a ＋b2>ab3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 4．设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________．(填序号)1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．答案精析问题导学 知识点一思考 PO ＝AB 2＝a ＋b 2.易证Rt△APQ ∽Rt△PBQ ，那么PQ 2＝AQ ·QB ，即PQ ＝ab ，显然，a ＋b 2≥ab .梳理 算术 几何 知识点二思考 ∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 题型探究例1 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab . 引申探究证明 由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ， 两边同除以4，即得(a ＋b2)2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号．跟踪训练1 证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 例2 证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴xy >0，y x>0，∴y x ＋x y ≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2，当且仅当x ＝y 时，等号成立．(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3， 即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．跟踪训练2 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc . 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．例3 B [第二年的产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )， 第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )． 若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2.依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a ＋1＋b 22，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2.]跟踪训练3 B [∵a ＞b ＞1， ∴lg a ＞lg b ＞0， ∴lg a ＋lg b2＞lg a ·lg b ， 即Q ＞P .① 又a ＋b2＞ab ，∴lga ＋b2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )， 即R ＞Q .②综合①②，有P＜Q＜R.] 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.①②③。

第2课时 基本不等式及其应用【学习目标】1． 理解均值定理及均值不等式的证明过程2． 能应用均值不等式解决最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题3． 在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式。

4． 通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。

【学习重点】应用数形结合的思想理解基本不等式【学习难点】应用基本不等式求最大值和最小值[自主学习]1．基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++若a>b>0,m>0,则 b b m a a m+<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。

ab b a R b a 2,,22≥+∈则2．均值不等式: 两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭等。

3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值 （2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,22Sxy 积有最大值（） 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

[课前热身]1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 . 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时； ③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为[典型例析]例1（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. （2）求函数1422++=x x y 的最小值求22242y x x =--+的最大值.变式训练（1）已知x 、y 为正实数，且121+=x y，求x+y 的最小值。

3.1 基本不等式（第一课时）一、教学目标1.知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算术平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2.过程与方法目标：启动观察、分析、归纳、总结等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3.情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

二、教学重点和难点重点：理解基本不等式，探索基本不等式的证明过程，并用不等式解决简单的最值问题． 难点：由重要不等式特殊化得到基本不等式，并理解证明基本不等式．三、教学过程：1．情景引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。

探究：这张“弦图”中的面积相等关系和不等关系？4个直角三角形的面积之和ab S 21=，正方形的面积222b a S +=．由图可知12S S >，即ab b a 222>+．特别地，当a>0,b>0时，在不等式abb a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．带着问题进入课堂。

2．新课探究问题1：不等式成立的条件（推广到一切实数）形的角度 数的角度重要不等式：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）设计意图：利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。

（新教材）北师大版精品数学资料第5课时基本不等式1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.2.能够利用基本不等式求最大(小)值.3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为.问题1:上述情境中,正方形的面积为,4个直角三角形的面积的和,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有当且仅当时,等号成立.我们也可以通过作差法来证明:-=(a-b)2≥0,所以,当且仅当a=b时取等号.问题2:基本不等式若a,b∈(0,+∞),则,当且仅当时,等号成立.问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.(1)基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的斜边上.在圆中,半径不小于半弦长.(2)如果把看作正数a、b的,看作正数a、b的,那么该定理可以叙述为:两个正数的不小于它们的.(3)在数学中,我们称为a、b的,称为a、b的.因此,两个正数的不小于它们的.问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:(1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最值,当且仅当x=y时,取“=”.(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最值,当且仅当x=y时,取“=”.即“积为常数,;和为常数,”.概括为:一正二定三相等四最值.1.在下列不等式的证明过程中,正确的是().A.若a,b∈R,则+≥2=2B.若a,b∈R+,则lg a+lg b≥2C.若x为负实数,则x+≥-2=-2D.若x为负实数,则3x+3-x≥2=22.下列不等式一定成立的是().A.lg(x2+)>lg x(x>0)B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.>(b>a>0)D.>1(x∈R)3.已知x>0,y>0,4x+9y=1,则+的最小值为.4.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:+≥4.基本不等式求最值(1)已知x>,求函数y=4x-2+的最小值.(2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.利用基本不等式证明不等式已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.单调性与基本不等式设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,求函数f(x)的最小值.(1)设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值.(2)若-4<x<1,求的最值.设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.求函数y=的值域.1.下列不等式中恒成立的是().A.≥B.x+≥2C.≥3D.2-3x-≥22.当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值为().A.3B.5C.1D.73.已知0<x<,则x(1-3x)取得最大值时,x的值是.4.已知a、b、c是不全相等的正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.(2011年·重庆卷)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于().A.1+B.1+C.3D.4考题变式(我来改编):第5课时等差数列的应用知识体系梳理问题1:(1)a m+a n=a p+a q a m+a n=2a p(2)kd(3)cd1d1pd1+qd2问题2:(1)最大最小(2)m2d(3)nd a n+1问题3:(1)a n-a n-1(2)a n+a n-2(3)pn+q(4)an2+bn(a,b为常数)问题4:(2)y=x2+(a1-)x(3)基础学习交流1.B因为2a4=a3+a5,所以3a4=12,即a4=4,所以a1+a2+…+a6+a7=7a4=28.2.B∵2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a10=24,∴a4+a10=4,∴S13===26.3.130设公差为d,则a1+(a1+8d)+(a1+10d)=30,整理得a1+6d=10,所以S13=13a1+d=13(a1+6d)=130.4.解:由已知得,{a n}是首项为正,公差为负的递减等差数列.由<-1得a10+a11<0且a10>0,a11<0,∴S20===10(a10+a11)<0.而S19=19a10>0,∴S n取最小正值时n=19.重点难点探究探究一:【解析】(法一)设所求的通项公式为a n=a1+(n-1)d,则即把①代入②得(a1+2d)(a1+12d)=7,③∵a1=4-7d,代入③,∴(4-5d)(4+5d)=7,即16-25d2=7,解得d=±.当d=时,a1=-,a n=-+(n-1)·=n-;当d=-时,a1=,a n=+(n-1)·(-)=-n+.(法二)∵a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12,故知a8=4,代入已知得解得或由a3=1,a13=7得d===.∴a n=a3+(n-3)·=n-.由a3=7,a13=1,同理可得:a n=-n+.【小结】注意到等差数列中,若m,n,p,q∈N+且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q,而a3,a8,a13中的下标3,8,13间的关系:3+13=8+8,从而得到a3+a13=a8+a8=2a8.探究二:【解析】由数列{a n}为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∵S3=9,S6=36,S6-S3=27,∴a7+a8+a9=S9-S6=45.【小结】数列{a n}是等差数列,前n项和是S n,那么S m,S2m-S m,…,S(k+1)m-S km,…(k∈N+)是等差数列.探究三:【解析】(1)依题意有:解之得公差d的取值范围为-<d<-3.(2)(法一)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此,在S1,S2,…,S12中S k为最大值的条件为:a k≥0且a k+1<0,即∵a3=12,∴∵d<0,∴2-<k≤3-.∵-<d<-3,∴<-<4,得5.5<k<7.∵k是正整数,∴k=6,即在S1,S2,…,S12中,S6最大.(法二)由d<0得a1>a2>…>a12>a13,因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得a k≥0,且a k+1<0,则S k是S1,S2,…,S12中的最大值.又∵2a7=a1+a13=S13<0,∴a7<0,a7+a6=a1+a12=S12>0,∴a6>-a7>0,故在S1,S2,…,S12中S6最大.(法三)依题意得:S n=na1+(n-1)d=n(12-2d)+(n2-n)=[n-(5-)]2-(5-)2,∵d<0,∴[n-(5-)]2最小时,S n最大;∵-<d<-3,∴6<(5-)<6.5.从而,在正整数中,当n=6时,[n-(5-)]2最小,∴S6最大.【小结】熟练应用前n项和公式及其函数意义解题.思维拓展应用应用一:∵a1+a2+a3=12,∴a2=4.∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2,∴a n=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.应用二:∵===,∴====.应用三:(1)设等差数列的公差为d,则由a5+a7=4,a6+a8=-2,得解得所以数列{a n}的通项公式为a n=20-3n.(2)由解得≤n≤.因为n∈N+,所以n=6,故前n项和S n的最大值为S6=6×17+×(-3)=57.基础智能检测1.D由++2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,∵a n<0,∴a3+a8=-3,∴S10==5(a3+a8)=5×(-3)=-15.2.A由题意,得:-a m<a1<-a m+1⇔易得S m=·m>0,S m+1=·(m+1)<0.3.2n+3由题意得=n+4,即S n=n2+4n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+4n-[(n-1)2+4(n-1)]=2n+3,当n=1时,a1=S1=5符合上式,∴a n=2n+3.4.解:∵a n=2n+1,∴a1=3,∴S n==n2+2n,∴=n+2,∴{}是公差为1,首项为3的等差数列,∴前10项和为T10=3×10+×1=75.全新视角拓展A根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.思维导图构建2a n=a n-1+a n+1等差m2d。

第7课时基本不等式的实际应用1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题.3.能利用基本不等式解决实际问题.今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2.问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为 dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(+2)-72=8+2(x+)≥8+2×2= .当且仅当时,取得最小值.问题2:用基本不等式解实际应用问题的步骤(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把定为函数;(2)建立相应的,把实际问题抽象为问题;(3)在定义域内,求出函数的;(4)正确写出答案.问题3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+≥2=2,因为当x∈(0,π)时无法满足sin x=.问题4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性.1.在下列不等式的证明过程中,正确的是().A.若a,b∈R,则+≥2=2B.若a,b都为正数,则lg a+lg b≥2C.若x<0,则x+≥-2=-2D.若x≤0,则3x+3-x≥2=22.已知x<,则函数y=4x-2+的最大值为().A.5B.1C.3D.43.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= 吨.4.已知a,b,c都为正数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.利用基本不等式求函数的最值求函数y=(x>1)的最小值.利用基本不等式解实际应用问题某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?把实际问题转化成数学模型如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间有一条隔开污水处理池的壁,其建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.(1)已知x>0且x≠1,求lg x+log x10的取值范围.(2)已知x≥,求f(x)=的最大值.某公司一年需要一种计算机元件8000个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分n次进货,每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元,已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为x个,每个元件的库存费为每年2元,如果不计其他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).(1)该厂从第几年开始盈利?(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?1.设0<x<1,则x(3-3x)取最大值时x的值为().A. B. C.3 D.12.设x>0,则y=3-3x-的最大值为().A.3B.3-3C.3-2D.-13.已知正数x,y满足+=1,则x+2y的最小值为.4.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800立方米,深为3米,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?(2013年·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).考题变式(我来改编):第7课时等比数列的前n项和知识体系梳理问题1:na1问题2:问题3:a1-a1q n na1问题4:基础学习交流1.B设数列{a n}的公比为q,则q3==,∴q=,∴数列{a n}的前10项和为=2-.2.C==q4,所以q=±2.3.由a n+2+a n+1=6a n,得q n+1+q n=6q n-1,即q2+q-6=0,解得q=2或-3(舍去),又a2=1,所以a1=,S4==.4.解:∵公比为q=2a,当q=1,即a=时,S n=n;当q≠1,即a≠时,则S n=.∴S n=重点难点探究探究一:【解析】当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;当q≠1时,=3a1q2,因为a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),即1+q+q2=3q2,解得q=-.综上所述,公比q的值为1或-.【小结】对于等比数列来讲,必须要考虑q=1和q≠1两种情况.探究二:【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,则a n=a1q n-1,由已知得a1+a2=2(+)=,∴a1a2=2,由a1+a2=8(+)==,∴a3a4=8q2,又∵a1>0,q>0,∴解得∴a n=2n-1.(2)由(1)知b n=+log2a n=4n-1+(n-1),∴T n=(1+4+42+…+4n-1)+(0+1+2+3+…+n-1)=+=+.【小结】求和时要注意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用.探究三:【解析】(1)根据已知条件整理得解得3S2=2S3=6,即(2)∵q≠1,则可解得q=-,a1=4,∴S n==-(-)n.【小结】要熟记等比数列的前n项和公式.思维拓展应用应用一:∵S6≠2S3,∴q≠1,∴由②÷①得1+q3=9,∴q=2,代入①得a1=,∴a n=a1q n-1=2n-2.应用二:由题意可知,该数列的通项公式为a n=n+,∴S n=(1+)+(2+)+…+(n+)=(1+2+3+…+n)+(+++…+)=+1-.应用三:(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+3d),解得a1=d或d=0(舍去),所以数列{a n}的通项是a n=nd.因为数列a 1,a3,,,…,,…成等比数列,即数列d,3d,k1d,k2d,…,k n d,…成等比数列,所以公比q==3,k1d=32d,即k1=9,所以数列{k n}是以k1=9为首项,3为公比的等比数列,故k n=9×3n-1=3n+1.(2)S n=+++…+,①S n=+++…+,②由①-②,并整理得S n=(1-)-=-.基础智能检测1.D由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,∴q=-2,则==-11.2.C由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,得q2+q-6=0,∴q=2(负根舍去).∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.3.S2设等比数列的公比为q,若S2计算正确,则有q=2,但此时S3≠38,S4≠65与题设不符,故算错的就是S2,此时,由S3=38可得q=或q=-;当q=时,S4=65也正确;当q=-时,S4不正确,舍去.所以q=.4.解:由a4=a1q3=q3=-4,可得q=-2,因此,数列{|a n|}是首项为,公比为2的等比数列,所以|a1|+|a2|+…+|a n|==2n-1-.全新视角拓展C由已知得=-,则数列{a n}为公比是-的等比数列,∵a2=-,∴a1=4,则数列{a n}前10项的和S10==3(1-3-10).思维导图构建三个两个。

第四节 基本不等式导学案（第1课时）【学习目标】1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．3．学生积极主动，享受到学数学的乐趣，体验成功的快乐。

要点精讲：1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一．预习案认真完成《金版教程》P92练习题二．探究、合作、展示1．认真完成《金版教程》P92例题1。

我的疑惑：（把你在自学或小组探究中碰到的问题写在这里）三．当堂检测案1．函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x≥2， 当且仅当x ＝1时取等号．答案 C2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1. 答案 B3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12. 答案 A4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2我的收获：（总结规律及方法，构建自己的知识体系）第四节 基本不等式导学案（第2课时）【学习目标】1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用2．利用基本不等式求最值3．学生积极主动，享受到学数学的乐趣，体验成功的快乐。

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

3.42a b+≤（2） 一、学习目标1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题3. 初步掌握不等式证明的方法二、学习重点会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题三、学习难点理解并掌握重要的基本不等式使用时注意的条件四、学习过程（一）、基础知识回顾：1、基本不等式的理解、证明及几何意义？2.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题？（二）、应用练习（1）试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a 2+b 2( ) （2）2ba + （ ） （3）ab ＋b a （ ） （4）x ＋x 1(x>0)（5）x ＋x1(x<0) （6）ab ≤ （ ）（2）⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)= x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－3x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。

（三）、例题讲解例1：已知x 、y 都是正数，求证：（1）222a b c ab bc ac ++≥++． （2）已知(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证：2x y a ba b x y--+≥--.说明：在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.（四）、随堂练习1. 已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9． 2.（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc例1：(1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>>变式训练：已知x>0，y>0，且+x 1y9＝1，求x ＋y 的最小值。

第2课时 基本不等式与最大（小）值知能目标解读1.进一步巩固基本不等式求最值时成立的条件.2.能够运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的意识与能力.重点难点点拨重点：应用基本不等式进行不等式的证明与求最值. 难点：1.不等式的综合应用. 2.逆向不等式的运用. 学习方法指导1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形式”,还要注意“反向”不等式2b a +≤222ba +.在解题中的灵活运用.2.注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解.3.重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件，达到化归目的.知能自主梳理常见的不等式：1.a 2+b 2≥ (a 、b ∈R ).2.ab ≤（ ）2≤222ba + (a 、b ∈R ).3.若0<a<b ,m >0,mb + b［答案］ 1.2ab 2.2b a + 3.>思路方法技巧命题方向 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法［例1］ 已知a 、b 、c 是正实数求证：abc +bac +cab ≥a+b+c .［分析］ 由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式.［证明］ ∵a 、b 、c 是正实数，∴bac a bc +≥2b ac a bc ⋅=2c (当且仅当a bc ＝bac,即a=b 时，取等号);bac +cab ≥2c ab b ac ⋅=2a (当且仅当b ac =cab ,即b=c 时，取等号)；cab +abc ≥2a bc c ab ⋅=2b (当且仅当a bc =cab,即a=c 时，取等号).上面3个不等式相加得2·a bc +2·b ac +2·cab ≥2a +2b +2c (当且仅当a=b=c 时，取等号).∴abc +bac +cab ≥a+b+c .［说明］ 1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加（乘）得结论. 变式应用1已知a,b,c 为两两不相等的实数，求证：a 2+b 2+c 2>ab+bc+ca .［解析］ ∵a 2+b 2>2ab ，b 2+c 2>2bc ，c 2+a 2>2ca ，以上三式相加得：2(a 2+b 2+c 2)>2ab +2bc +2ca ，∴a 2+b 2+c 2>ab+bc+ca .命题方向 利用均值不等式证明不等式［例2］ 已知a >0,b >0,c >0,且a+b+c =1.求证：cb a111++≥9.［解析］ 解法一：∵a >0,b >0,c >0, ∴cb a 111++=ccb a bcb a a cb a ++++++++=3+cb ca b c ba ac ab +++++=3+(ba ab +)+(ca ac +)+(cb bc +)≥3+2+2+2＝9. 即c b a 111++≥9（当且仅当a=b=c 时取等号）.解法二：∵a >0,b >0,c >0, ∴cb a 111++＝（a+b+c ）(cba 111++)=1+11+++++++c b c a b c b a ac ab=3+(b a a b +)+(c a a c +)+(cb bc +)≥3+2+2+2＝9.∴cba111++≥9（当且仅当a=b=c 时取等号）.［说明］ 含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a+b+c =1”下，1的代换一般有上面两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到. 变式应用2已知a 、b 、c 为正数，求证:aac b -+ +bba c -++ccb a -+≥3.左边＝111-++-++-+cb ca ba bc ac ab=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+c b b c c a a c b a ab －３.∵a,b,c 为正数， ∴ba ab +≥2（当且仅当a=b 时取“＝”）；c a a c +≥2（当且仅当a=c 时取“＝”）； c b b c +≥2（当且仅当b=c 时取“＝”）.从而(ba ab +)+(ca ac +)+(cb bc +)≥6（当且仅当 a=b ＝c 时取等号）.∴⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+c b b c c a a c b a ab -3≥3.即aac b -+ +bba c -++ccb a -+≥3.探索延拓创新命题方向 利用基本不等式求范围［例3］ 当x >0时，求f (x )=122+x x 的值域.［分析］ 此题从形式上看，不能使用算术平均值与几何平均值定理，但通过变形之后，f (x )=xx 12+在分母上可以使用基本不等式.［解析］ ∵x >0,∴f (x )=122+x x =xx 12+.∵x +x1≥2,∴0<xx 11+≤21.∴0<f (x )≤1.当且仅当x =1时取“=”号.所以函数f (x )＝122+x x 的值域为(0,1］.［说明］ 本题中若没有x >0的限制，仅有x ∈R ，那么应如下求解. 当x >0时，同上.当x <0时，x +x1≤-2，∴-21≤xx 11+<0.∴-1≤f (x )<0.当x =0时，f (x )=0.∴-1≤f (x )≤1.∴函数f (x )的值域为［-1，1］. 变式应用3设a ＞b ＞c ,且cb ba -+-11≥ca m -恒成立，求m 的取值范围.［解析］ 由a ＞b ＞c 知：a-b ＞0,b-c ＞0,a-c ＞0.因此，不等式等价于cb c a ba c a --+--≥m,要使原不等式恒成立，只需cb c a ba c a --+--的最小值不小于m 即可.∵cb c a ba c a --+--=()()()()cb c b b a ba cb b a --+-+--+-=2+cb b a ba cb --+--≥2+2cb ba b a c b --⋅--=4.当且仅当cb b a ba cb --=--，即2b=a+c 时，等号成立.∴m ≤4,即m ∈(-∞,4］.名师辨误做答［例4］ 已知0<x <1,求函数f (x )=3+lg x +xlg 4的最值.f (x )=3+lg x +xlg 4≥3+2xx lg 4lg ⋅＝3+2×2＝7，∴f (x ) min =7.∵0<x <1,∴lg x <0,xlg 4<0,不满足“各项必须全为正数”这一前提条件，不能直接应用基本不等式.∵0<x <1,∴lg x <0,xlg 4<0,∴-lg x >0,- xlg 4>0,∴(-lg x )+(-xlg 4)2()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-x x lg 4lg ＝4，当且仅当-lg x =-xlg 4,即lg x =-2,x =1001时，取等号.∴lg x +xlg 4≤-4.∴f (x )=3+lg x +xlg 4≤3+（-4）＝－1.∴f (x )有最大值-1.课堂巩固训练一、选择题1.若b>a >0,则下列不等式中一定成立的是（ ）A.a >2b a +>ab >bB.b >ab >2b a +>aC.b >2b a +>ab >a D.b>a >2b a +>ab［答案］ C［解析］ ∵b>a >0,显然有b >2b a +,ab >a ,由均值不等式有2b a +>ab ,故选C.2.已知a ≥0，b ≥0，且a+b =2,则（ ） A.ab ≤21 B.ab ≥21C.a 2+b 2≥2 D.a 2+b 2≤2［答案］ C［解析］ 由a+b =2,得ab ≤（2b a +）2=1,排除A 、B ；又222ba +≥（2b a +）2,∴a 2+b 2≥2.故选C.3.用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）A.3米B.4米C.6米D.12米［答案］ A［解析］ 解法一：设隔墙的长度为x m,则矩形的宽为x m,2424x-=（12-2x ）m,矩形的面积为S =（12-2x ）x =-2x 2+12x =-2(x -3) 2+18, ∴当x =3时，S 取最大值,故选A.解法二：(接解法一)S ＝（12-2x ）·x =2(6-x )·x ≤2·226⎪⎭⎫⎝⎛+-x x =18当且仅当6-x=x 即x =3时取“＝”.故选A.二、填空题4.若x >0，则3＋3x +x3的最小值为 .［答案］ 9［解析］ ∵x >0, ∴3+3x +x3≥3+2xx 33⋅=3+2×3＝9.当且仅当x =1时，取等号.5.设x,y ∈R ，且x+y =3，则2x +2y的最小值为. ［答案］ 42［解析］ ∵x+y =3,∴y =3-x , ∴2x+2y=2x+23-x=2x+x28≥2xx282⋅=42,当且仅当2x=x28,即2x=22,∴x =23,y =23时，等号成立.三、解答题 6.设a ≥0，b ≥0，a 2+22b=1,求a 21b +的最大值.［解析］ ∵a 2+22b=1,∴a 2+212b +=23,a 21b +=2·a ·212b +≤2·423223222122=⋅=++b a.∴当a 2+22b=1且a =212b +,即a =22,b =36时，a 21b +的最大值为423.课后强化作业一、选择题1.设a ＞0,b ＞0，若3是3a与3b的等比中项，则ba11+的最小值为（ ）A.8B.4C.1D.41［答案］ B［解析］ 由已知，得3a ·3b =3,∴3a+b=3,∴a+b ＝1. ∵a >0,b >0,∴ba 11+=(ba11+)(a+b )=2+ba ab +≥2+baa b ⋅＝4，当且仅当a=b =21时，等号成立.2.若x ＞0,y ＞0,且x+y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（ ）A.yx +1≤41 B.x1 +y1≥1C.xy ≥2D.xy1≥1［答案］ B［解析］ 取x =1,y =2满足x+y ≤4排除A 、C 、D 选B. 具体比较如下：∵0<x+y ≤4,∴yx +1≥41故A 不对；∵4≥x+y ≥2xy ，∴xy ≤2,∴C 不对; 又0＜xy ≤4,∴yx +1≥41∴D 不对;x1 +y1=xy y x +≥xyxy xy 22=，∵xy1≥21，∴x1 +y1≥1.3.设函数f （x ）=2x +x1-1（x <0），则f （x ）（ ）A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数 ［答案］ A ［解析］ 令2x =x1，由x <0得x =-22，∴在x =-22两侧，函数f （x ）的单调性不同，排除C 、D.f （x ）=2x +x1-1=-（-2x -x1）-1≤-2()⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-x x 12-1=-22-1，等号在x =-22时成立，排除B.4.(2011·重庆文，7)若函数f (x )=x +21-x (x >2)在x=a 处取最小值,则a =（ ）A.1+2B.1+3C.3D.4［答案］ C［解析］ 该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题.f (x )=x +21-x (x >2)= x -2+21-x +2≥2()212-⋅-x x +2=4.当且仅当x -2=21-x即(x -2) 2=1,∵x >2,∴x -2>0, ∴x -2=1,即a =3.5.设x >0,y >0,且xy -(x+y )=1,则（ ）A.x+y ≥2(2+1）B.xy ≤2+1C.x+y ≤(2+1）2D.xy ≥2(2+1）［答案］ A［解析］ ∵x >0,y >0, ∴xy=x+y +1≤（2y x +）2,∴(x+y ) 2-4(x+y )-4≥0， ∴x+y ≥2+22.故选A.6.若x ∈R ，则下列不等式成立的是（ ）A.lg(x 2+1)≥lg2xB.x 2+1>2x C.112+x <1 D.2x ≤()212+x［答案］ D［解析］ A 中，x ≤0时，不等式不成立； B 中x =1时，不等式不成立； C 中x =0时，不等式不成立，故选D.7.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N +)为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运 年，其营运的年利润最大.A.3B.4C.5D.6［答案］ C［解析］ 由图像知，y =-(x -6) 2+11, ∴年平均利润为y ＝()xx 1162+--=12-(x +x25)≤12-10＝2.x =x25，即x =5时取等号.∴每辆客车营运5年，其营运的年利润最大.8.已知x >0,y >0,x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是（ ）A.0B.1C.2D.4 ［答案］ D［解析］ 因为x,a,b ，y 成等差数列，所以a+b=x+y .因为x,c,d,y 成等比数列，所以cd=xy ,所以()cdb a 2+=xyy x 22+=xyxyy x 222++=xyy x 22++2.因为x >0,y >0, 所以xyy x 22++2≥xyxy 2+2=4,当且仅当x=y 时，等号成立.二、填空题9.(2011·天津文，12)已知log 2a +log 2b ≥1,则3a +9b的最小值为 . ［答案］ 18［解析］ 本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值.∵log 2a +log 2b ≥1 ∴log 2ab ≥1,ab ≥2.∴a ·2b ≥4,∴a +2b ≥2b a 2⋅≥4（当且仅当a =2b =2时取“=”） 3a+9b=3a+32b≥2ba233⋅=2ba 23+≥243=18.（当且仅当a =2b =2时取 “=”）10.函数y =log a (x +3)-1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny +1=0上，其中mn >0,则m1+n2的最小值为 .［答案］ 8 ［解析］ 函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图像恒过点A (-2,-1),则有2m+n -1=0,即2m+n =1.又∵mn >0,∴m1+n2= (m1+n2)·（2m+n ）=4+ (nm mn 4+)≥4+4=8,当且仅当2m=n 时等号成立.11.已知a 、b 为实常数，函数y =(x-a ) 2+(x-b ) 2的最小值为 . ［答案］21 (a-b ) 2［解析］ 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方求其最小值（留给读者完成）.但若注意到（x-a ）+(b-x )为定值，则用变形不等式222ba +≥(2b a +)2更简捷.∴y =(x-a ) 2+(x-b ) 2≥2［()()2x b a x -+-］2=()22b a -.当且仅当x-a=b-x ,即x =2b a +时，上式等号成立.∴当x =2b a +,y min =()22b a -.12.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是 . ①6.5m ②6.8m ③7m ④7.2m ［答案］ ③［解析］ 设两直角边分别为a,b ，直角三角形的框架的周长为l,则21ab =2,∴ab =4,l =a+b +22b a +≥2ab +ab 2 =4+22≈6.828(m).∵够用且浪费最少，∴应选择③. 三、解答题13.已知a >0,b >0,c >0,d >0,求证：ac ad bc bdbc ad +++≥4.［解析］acad bc bdbc ad +++=cd ab dc ba +++＝⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+c d d c a b ba ≥2+2＝4（当且仅当a=b 且c=d 时，取“＝”）.14.已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a+b =10，yb x a +=1,x+y 的最小值为18，求a,b 的值.［解析］ x+y =(x+y )·1=(x+y )·(yb x a +)=a+b +y bxx ay+≥a+b +2ab =(b a +)2，等号在y bxx ay=即a bx y =时成立，∴x+y 的最小值为（b a +）2=18，又a+b =10,∴ab =16.∴a,b 是方程x 2-10x +16=0的两根，∴a =2,b =8或a =8,b =2.15.已知a>b >0,求a 2+()b a b -16的最小值.［解析］ ∵a>b >0,∴a-b >0.∴b (a-b )≤ (2bb a +-)2=42a , 当且仅当a-b =b ,即a =2b 时，等号成立.∴y=a 2+()b a b -16≥a 2+264a ≥22264a a ⋅=16, 当且仅当a 2=264a ,即a =22时，等号成立.故当a =22,b =2时，a 2+()b a b -16有最小值16.16.(2012·郑州模拟)某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ （2）问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？［分析］ 设出变量→列函数关系式→利用函数求最大值→求平均利润→利用均值不等式求值→结论［解析］（1）设船捕捞n 年后的总盈利y 万元.则y =50n -98-［12×n +()21-n n ×4］＝－2n 2+40n -98=-2(n -10) 2+102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.(2)年平均利润为n y =-2 (n +n 49-20)≤-2 (22049-⋅nn )=12 当且仅当n =n 49,即n =7时上式取等号.所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元.。

第04讲： 基本不等式高考《考试大纲》的要求：① 了解基本不等式的证明过程② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题（一）基础知识回顾：1.定理1. 如果a,b R ∈,那么2ab ____b a 22+，（当且仅当_______时，等号成立）.2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.称_______为a,b 的算术平均数，_____为a,b 的几何平均数。

基本不等式又称为________.3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________. 如图4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）即: （1）和、积中的每一个数都必须是正数；（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；简记为：和定积最_____，积定和最______. （3）只有等号能够成立时，才有最值。

（二）例题分析：例1．（2006陕西文）设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4y )的最小值为（ ） A ．15 B ．12C ．9D ．6例2．函数)1(,14)(>-+=x x x x f 的值域是_________________________.例3（2001江西、陕西、天津文,全国文、理） 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为)1(<λλ，画面的上、下各有8cm 空白，左、右各有5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？（三）基础训练：1.设,a b R ∈、且,2,a b a b ≠+=则必有( )(A)2b a ab 122+≤≤ (B)2212a b ab +<<(C)2212a b ab +<< (D)2212a b ab +<<2.（2004湖南理）设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是（ ） （A ）)11)((b a b a ++≥4 （B ）33b a +≥22ab（C ）222++b a ≥b a 22+ （D ）b a -≥b a -3.（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）若b a ,为实数，且2=+b a ，则ba33+的最小值是（ ）（A ）18 （B ）6 （C ）32 （D ）4324. 已知a,b R ∈,下列不等式中不正确的是（ ） （A ）2ab b a 22≥+ （B ）ab 2ba ≥+ （C ）4a 4a 2≥+ （D ）4b b422≥+5．（2005福建文）下列结论正确的是（ ） A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 B ．21,0≥+>xx x 时当C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值6. 已知两个正实数x y 、满足关系式440x y +=, 则lg lg x y +的最大值是_____________.7.若01,01,a b <<<<且,a b ≠则,a b +22,a b +2ab 中最小的一个是__________.8.（2005北京春招文、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：)0(160039202>++=υυυυy 。