不等式的实际应用教案
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不等式的实际应用教案
3. 4不等式的实际应用教案一、教材分析：前面学生已经学习了一元二次不等式的解法，本节主要是一元二次不等式的实际应用。
通过本节课的实例教学，让学生体验不等式在解决实际问题的作用，数学与日常及其他学科的联系。
并通过解题过程，抽象出不等式模型，总结出解应用题的思路与步骤。
本节课的内容对于解决线性规划问题提供了很好的解题思路。
同时，应用题中不等式模型也是高考经常经常涉及的问题，其地位也就不言而喻了。
二、三维目标：1、通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤，2、让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
3、通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
三、教学重点和难点：，建点：不等式的实际应用难点：数学建模四、教学方法：通过启发、引导、归纳、总结与探究相结合的方法，组织教学活动，按照由特殊到一般的认知规律，引导学生分析归纳如何抽象不等式模型及解不等式应用题的一般步骤。
五、教具：多媒体六、教学过程：（一）温故知新：1、比较两.实数大小的常用方法2、联系一元二次不等式与相应的方程以及函数之间的关系，填写下表b克糖水中含有a克糖（bXa>0）,若在这些糖水中再添加m （m>0）克糖，则糖水就变甜了，根据此事实提炼一个关系式，师：引例就是不等式.在我们的生活中的实际应用，今天，我们一起来学习不等式的实际应用。
（引出课题）（三）、典例分析：例1、甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一半的时间以速度m 行走，另 一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果 问甲、乙两人谁先到达指定地点？分析：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为口3 t 乙，若要解决此问题，只需比较t 甲, t 乙的大小即可解：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t 甲.t 乙，由题意得-- s(in - 〃)2 2(〃z + n)mn2mn(m + 〃)其中s,m, n 都是正数，且mrn,于是t 甲-t 乙＜0 ,即t 甲Vt 乙 答：甲比乙先到达指定地点。
11.1 生活中的不等式 教案-2022-2023学年七年级数学苏科版下册
11.1 生活中的不等式教案-2022-2023学年七年级数学苏科
版下册
一、教学目标
1.理解不等式及其概念，能够准确地表示不等式。
2.掌握不等式在生活中的应用，能够解决生活中涉及不等式的问题。
3.运用不等式解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
4.培养学生的分析和推理能力，能够运用不等式进行论证。
二、教学重难点
1.不等式的表示和解决问题的能力。
2.培养学生的逻辑思维和推理能力。
三、教学准备
1.教师准备：
–教材《数学苏科版下册》
–教学课件
–示例题和练习题
2.学生准备：
–书本、笔记本等学习用具
–阅读课本相关知识点
四、教学过程
1. 导入新知
通过给学生出示一道有关购物的问题，如：小明在某商场购物，他购买了3件衣服和1双鞋子，总共花费了210元，请问一件衣服和一双鞋子分别的价格不会超过多少元？请学生思考这个问题，并给出解答。
2. 引入不等式的概念
通过学生的解答，引出不等式的概念。
教师可以用简单的语言解释不等式是用来表示两个数之间大小关系的数学表达式，用符号。
不等式的实际应用教案
不等式的实际应用教案一、教学目标1. 理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 能够将实际问题转化为不等式问题，并运用不等式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的定义与基本性质2. 实际问题转化为不等式问题3. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的概念与基本性质，实际问题转化为不等式问题的方法。
2. 教学难点：不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解不等式的定义与基本性质，引导学生理解不等式的概念。
2. 案例分析法：通过实际问题，引导学生将问题转化为不等式问题，并解决实际问题。
3. 小组讨论法：分组讨论不等式在实际问题中的应用，促进学生之间的交流与合作。
五、教学准备1. 教学课件：制作课件，展示不等式的定义与基本性质，实际问题转化为不等式问题的案例。
2. 练习题：准备一些实际问题，供学生在课堂上练习解决。
【章节一：不等式的定义与基本性质】1. 引入不等式的概念，讲解不等式的定义。
2. 讲解不等式的基本性质，如传递性、同向可加性等。
3. 通过示例，让学生理解不等式的表示方法，如“<”、“>”、“≤”、“≥”等。
【章节二：实际问题转化为不等式问题】1. 引入实际问题，如“两个人比赛跑步，A跑得比B快，如何用不等式表示？”2. 引导学生将实际问题转化为不等式问题，如“A跑得比B快”可以表示为“A 的速度> B的速度”。
3. 通过其他案例，让学生练习将实际问题转化为不等式问题。
【章节三：不等式在实际问题中的应用】1. 引入实际问题，如“一个班级有男生和女生，男生人数多于女生人数，如何用不等式表示？”2. 引导学生将实际问题转化为不等式问题，如“男生人数多于女生人数”可以表示为“男生人数> 女生人数”。
3. 通过其他案例，让学生练习将实际问题转化为不等式问题，并解决实际问题。
【章节四：不等式的解集与图像】1. 讲解不等式的解集的概念，如“解不等式2x + 3 > 7的解集是什么？”2. 引导学生通过图像法或代数法求解不等式的解集。
不等式的实际应用教案
不等式的实际应用教案教学设计4不等式的实际应用整体设计教学分析生活中的许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解.不等式有着丰富的实际背景.本节通过具体问题的分析，总结归纳解实际问题的一般程序：设未知数，分析数量关系，列方程和不等式，最后求解.注意培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.本节练习、习题都很基础，要求A组全做，B做选做.通过本节学习，让学生进一步理解数学在实际中的应用，理解一些数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野. 不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述刻画问题的一种数学模型.三维目标.通过具体问题的探究，了解不等式产生的实际背景，掌握解决实际问题的一般程序和一些典型实际问题的解法..通过具体问题的分析解决，提高学生分析问题和解决问题的能力.认识不等式的优化思想..通过对生活中熟悉的实际问题的解决，激发学生学习的热情.培养学生严肃认真的科学态度，同时感受数学的应用性.重点难点教学重点：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.掌握一些典型实际问题的解法.教学难点：用不等式表示实际问题中的数量关系.课时安排课时教学过程导入新思路1.许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解.本节我们将用不等式的知识来探究一些实际问题.思路2.章头插图的人造卫星，高低不一的雄伟大楼的壮观画面，它将我们带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同” 的大自然中.使学生在具体情境中感受到不等关系的大量存在.那么我们怎样用不等式的知识表示实际问题呢？由此进入新课.推进新新知探究提出问题1 冋忆本章节所学，怎样利用不等式表示不等关系？2解决实际问题的一般腔序是什么？3我们都学习了不等式的哪些性质？活动：教师利用多媒体演示章头图的画面.引导学生回忆前面所学，对现实世界中普遍存在的不等关系，怎样用数学式子表示出来，并从理性的角度去思考、去分析.我们在考察事物之间的数量关系时，经常要对数量的大小进行比较，如每个家庭食品消费额的年平均增长率至多至少问题，容器的容积最大问题，商品的最高最低定价问题等.这些问题的解决都需用不等式的知识.接着教师引导学生回忆前面学过的不等式的性质，以及如何用数学知识解决实际问题.讨论结果：略.解决实际问题的一般程序是：设出未知数，分析数量间的关系，列出方程或不等式，解决这个数学问题.其中的关键是建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量之间的不应用示例例1活动：教师引导学生将题目中的窗户面积和占地面积用字母a、b表示出来，再用字母表示出窗户和占地所增加的面积.这样只要比较增加前和增加后窗户的总面积与占地面积的比值的大小，即可作出正确的判断.点评：由本例可得出一般结论：设a>0, b>0,且a vb,> 0，贝» a+ b +> ab.变式训练某种商品原来定价为每件p元，每月将卖出n件.假若定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，而售货金额变成原来的z倍.若y = 23x,求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.解：依题意涨价后的售货金额为npz = p?n?.由售货金额比原来有所增加，贝U np>np.•/ n>0, p>0, y = 23x,二> 1.整理得x2 —5x v0,解这个一元二次不等式，得0v x v 5.又••• 0v x< 10 ,A 0v x v 5.故x的取值范围是{x|0 v x v 5}.例2活动：教师引导学生理清问题的情境，并尝试着用数学语言将其表示出来.这是所有实际问题使学生感到困惑的地方.如本例中教师引导学生分析：若桶的容积为x升，那么次倒出8升纯农药后再用水加满，这时桶内纯农药药液占容积的x —8x.同样第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药药液为4?x —8x，此时桶内还有纯农药药液[—4 x —8 x] 升.这样，问题就很自然地转化为一个数学不等式问题.点评：学生或许熟悉解决实际问题的一般步骤或者一般程序，但解决问题的重点应放在怎样选用合适的字母表示出题中给出的不等量关系，进而列出关于未知数的不等式.注意文字语言和符号语言的转换.变式训练一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x与创造的价值y之间有如下的关系：y = —2x2 + 220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？活动：本例设在一星期内大约应该生产x辆摩托车，则可得一元二次不等式x2 —110x + 3000 V 0，解这个一元二次不等式即可.解：设在一星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意，能得到—2x2 + 220x > 6000.移项、整理，得x2 —110x + 3000 V0.因为△ = 100>0,所以方程x2 —110x + 3000= 0有两个实数根x1 = 50, x2 = 60,然后，画出二次函数y = x2 —110x + 3000，由图象得不等式的解集为{x|50 V x V 60}.因为x只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益.活动：根据上例，教师引导学生将这个实际问题转化为数学问题：设出食品消费额的年平均增长率为x，到XX年的食品消费额为0.62，消费支出总额为1 + 2X 0.3 = 1.6 .这样根据恩格尔系数n的计算公式n =食品消费额消费支出总额x 100%就很容易列出不等式了.点评：本题采用了“化整为零”的办法，即逐条分析转化.对此类问题的解决，应注意将一个大问题化成若干个小问题的思维习惯，不要被问题的表面形式所迷惑变式训练国家计划以2400元/t的价格收购某种农产品t ,按规定，农民向国家纳税为每收入100元纳税8元，为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.活动：本例是一道实际应用题，其关键是把文字语言转化为数学语言：“税率降低x个百分点”，即调低后税率为% “收购量能增加2x个百分点”，这时总收购价为2400元；“总收入不低于原计划的78%，即税率调低后，“税收总收入”》2400 X 8%X 78%.解：设税率调低后的“税收总收入”为y元.根据题意，得y =2400%=—1225.••• y > 2400 X 8%^ 78%即—1225 > 2400 X 8%X 78%.x2 + 42x —88 W 0.解这个一元二次不等式，得—44 W x W 2.又I 0 v x< 8,••• 0 v x W 2.知能训练某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s和汽车车速x/h 有如下关系：s = 120x + 1180x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 , 那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x/h ,根据题意，得120x + 1180x2 > 39.5 ,移项、整理，得x2 + 9x —7110 > 0.因为厶〉。
初中数学第二册不等式基本性质教案在实际生活中的应用和作用
初中数学第二册不等式基本性质教案在实际生活中的应用和作用作为数学中的一项关键内容，不等式基本性质广泛应用于各个领域。
尤其是在现代生活中，不等式的运用更加普遍和常见。
在学习初中数学第二册不等式基本性质教案后，我们不仅可以学会相关的基本概念和定理，而且可以进一步掌握其在实际生活中的应用和作用。
本文将就此进行详细阐述。
一、不等式基本性质在消费领域的应用在日常生活中，人们经常需要进行比较和衡量，如物价、收入水平等。
如何运用数学知识评估消费情况是很重要的。
此时，不等式基本性质就可以发挥很大作用。
典型案例：购买物品的选择假设有两种物品A和B，他们的价格分别为400元和500元。
我们想评估我们的购买决策是否划算，可以通过使用不等式基本性质计算其性价比。
性价比是指用相同的钱购买的物品呈现的性能和价值的比例。
其计算公式为：性价比 = 性能/价格通过此公式，我们可以计算出两种物品的性价比分别为：物品A的性价比：400/80=5物品B的性价比：500/100=5我们可以看出，两种物品的性价比是相同的。
这意味着，在购买这两种物品时，我们理论上可以选择任何一个，因为对我们的财务状况没有实质性影响。
二、不等式基本性质在工作领域的应用在工作场景中，人们经常面临各种决策问题。
如何通过数学运算解决这些问题是很重要的。
如何评估自己的能力和优劣势，如何管理时间，如何制定目标等，不等式基本性质都可以提供有效的解决方案。
典型案例：时间管理时间是最宝贵的资源之一。
学会管理时间对于我们的工作生涯至关重要。
不等式基本性质可以帮助我们合理规划时间，提高工作效率。
例如，我们可以将要完成的任务量设定为x，我们的时间为y。
我们可以通过使用不等式基本性质来计算我们每天必须要完成多少个任务。
假设我们有5个小时可用，通过不等式基本性质，我们可以列出如下等式：y/5 ≥ x这意味着，我们在5个小时内至少要完成x个任务。
如果我们要比这更有效率，我们可以提高y的值，同时降低x的值，从而使得不等式还成立。
初中数学教案解不等式的方法与应用
初中数学教案解不等式的方法与应用初中数学教案：解不等式的方法与应用在初中数学中，解不等式是一个重要的内容。
掌握解不等式的方法与应用，能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。
本教案将详细介绍解不等式的几种常用方法以及其在实际问题中的应用。
一、一元一次不等式的解法1. 利用图像法解一元一次不等式。
通过绘制一元一次不等式的图像，可以直观地找到其解集。
2. 利用运算法解一元一次不等式。
通过对不等式进行逐步变形，可以得到不等式的解集。
二、一元一次不等式的应用1. 解决实际问题。
一元一次不等式可以应用到实际问题中，如寻找一元一次不等式的解，解决关于长度、时间等问题。
2. 解决优化问题。
通过设置不等式条件，可以找到使某个目标函数最大或最小的解。
三、一元二次不等式的解法1. 利用图像法解一元二次不等式。
通过绘制一元二次不等式的图像，可以直观地找到其解集。
2. 利用因式分解法解一元二次不等式。
通过将一元二次不等式进行因式分解，可以将其转化为一元一次不等式来求解。
四、一元二次不等式的应用1. 解决实际问题。
一元二次不等式可以应用到实际问题中，如求解最值、求解区间等。
2. 解决优化问题。
通过设置不等式条件，可以找到使某个目标函数最大或最小的解。
五、多元一次不等式的解法与应用1. 利用图像法解多元一次不等式。
通过绘制多元一次不等式的图像，可以直观地找到其解集。
2. 利用线性规划法解多元一次不等式。
通过线性规划方法，可以解决多元一次不等式的最值问题。
六、不等式的思维拓展1. 通过不等式进行推理。
在解决一些复杂问题时，可以通过不等式的性质进行推理，得到更深入的解析结果。
2. 探索不等式与其他数学知识的联系。
不等式与代数、几何、概率等数学知识之间有着密切的联系，在学习不等式时可以与其他数学知识进行结合，提升综合应用能力。
通过以上内容的学习，学生将能够掌握解不等式的常用方法与应用，培养数学思维和解决实际问题的能力。
同时，教师可以根据学生的实际情况，设计多种不同形式的习题和应用题，帮助学生巩固知识，提高应用能力。
人教版中职数学基础模块上册《不等式的应用》教案 (一)
人教版中职数学基础模块上册《不等式的应
用》教案 (一)
本教案是针对中职数学基础模块上册《不等式的应用》设计的，主要包括以下几个部分：教学目标、教学重点、教学难点、教学步骤和教学评价，旨在帮助教师更好地开展教学工作。
一、教学目标
1.了解不等式的概念，掌握不等式的基本性质和运算法则。
2.学会应用不等式解决实际问题，如舍入误差的控制等。
3.培养学生解决实际问题的思维能力和创新能力。
二、教学重点
1.不等式的概念及性质。
2.不等式的应用及解决实际问题。
三、教学难点
1.不等式的应用和解决实际问题的方法。
2.舍入误差的控制。
四、教学步骤
1.引入：通过生活实例为学生引入本课的学习内容。
2.讲授：首先讲授不等式的概念及基本性质，然后介绍不等式的应用，如舍入误差的控制等。
3.练习：让学生通过习题集，应用所学知识解决实际问题，并分组讨
论解题思路。
4.归纳：对本课学习内容进行总结，强化学生所掌握的知识点。
五、教学评价
1.参与度及合作能力：包括课堂参与度、小组讨论合作能力等。
2.知识掌握和应用能力：考察学生是否掌握了不等式的概念和基本性质，以及应用不等式解决实际问题的能力。
3.思维能力和创新能力：通过练习题考察学生是否具备分析问题、解
决问题的思维能力和创新能力。
六、总结
通过本教案的设计，学生不仅可以掌握不等式的概念及基本性质，更
可以应用所学知识解决实际问题，锻炼学生思维能力和创新能力，旨
在提高学生综合素质，实现与社会的紧密联系和有效融合。
基本不等式应用教案
基本不等式应用教案教案标题：基本不等式应用教案教案目标：1. 学生能够理解基本不等式的概念和性质。
2. 学生能够应用基本不等式解决实际问题。
3. 学生能够运用基本不等式进行数学推理和证明。
教学资源：1. 教科书和课本。
2. 各种练习题和实际问题。
3. 黑板、白板或投影仪。
教学活动：1. 导入（5分钟）- 引入基本不等式的概念，让学生回顾等式和不等式的区别。
- 提问学生对不等式的理解和应用。
2. 知识讲解（15分钟）- 解释基本不等式的定义和性质，包括大于号、小于号、大于等于号、小于等于号的含义。
- 介绍如何解决基本不等式，包括加减法、乘除法等运算法则。
- 给出一些例子，让学生通过计算和推理来解决不等式。
3. 练习和应用（20分钟）- 分发练习题，让学生独立或合作完成。
- 引导学生应用基本不等式解决实际问题，如长度、面积、体积等相关的计算和比较。
- 鼓励学生分享解题思路和答案，进行讨论和交流。
4. 拓展（10分钟）- 提供一些挑战性的问题，让学生运用基本不等式进行推理和证明。
- 引导学生思考不等式在数学中的重要性和应用领域。
5. 总结（5分钟）- 总结基本不等式的概念和性质。
- 强调学生在解决实际问题时，要善于运用基本不等式进行推理和计算。
教学评估：1. 在练习和应用环节中观察学生的解题过程和答案，给予及时的指导和反馈。
2. 在拓展环节中观察学生的推理和证明能力，评估其对基本不等式的理解和应用程度。
3. 可以布置作业，让学生继续巩固和拓展基本不等式的应用。
教学延伸：1. 学生可以进一步学习复合不等式和绝对值不等式的概念和应用。
2. 学生可以通过解决更复杂的实际问题来提高基本不等式的应用能力。
3. 学生可以学习不等式的证明方法和技巧，拓展数学推理和证明的能力。
不等式应用举例教学设计和方法手段
不等式应用举例教学设计和方法手段不等式应用举例教学设计：一、教学目标：1. 学生能够理解不等式的概念和意义。
2. 学生能够运用不等式解决实际问题。
3. 学生能够灵活运用不等式的性质和方法。
4. 学生能够发散思维，创造性地解决问题。
二、教学方法：1. 情景引入法：通过一个生动的例子，引出不等式的概念和意义。
2. 讲解示范法：讲解不等式的性质和解题方法，并通过示范解题演示给学生。
3. 合作探究法：让学生分组合作，通过实际问题探究不等式的应用。
4. 案例分析法：通过分析实际生活中的案例，让学生理解不等式的实际意义和应用。
5. 提问互动法：通过提问、讨论等方式，激发学生的思维，促进他们的学习和理解。
三、教学内容：1. 不等式的概念和意义：通过一个情景引入，比如蛋糕要平均分给几个人，但是每个人拿的份量应该不少于多少，引出不等式的概念，并解释不等式的意义。
2. 不等式的性质和解题方法：讲解不等式的基本性质，比如不等式的性质与大小关系、不等式的运算规则等，然后通过示范解题演示给学生具体的解题方法。
3. 不等式的应用：通过实际问题引导学生运用不等式解决实际问题，比如购物打折问题、体重指数问题等。
四、教学步骤：1. 情景引入：通过一个具体的例子引出不等式的概念和意义，让学生明白不等式的推广和应用。
2. 讲解示范：讲解不等式的性质和解题方法，并通过示范解题演示给学生具体的解题思路和方法。
3. 合作探究：学生分组合作，通过实际问题探究不等式的应用，让学生灵活运用不等式解决问题。
4. 案例分析：通过分析实际生活中的案例，让学生理解不等式的实际意义和应用，激发他们的思维，创造性地解决问题。
5. 总结归纳：对本节课的内容进行总结并归纳，梳理学生的知识结构，加深他们的理解。
五、教学评价：1. 设计合适的评价方式，如评价学生在解题过程中的思维逻辑、解题方法的灵活性、解题结果的正确性等。
2. 通过课堂教学和作业考查评价学生的学习情况，并及时给予反馈和指导。
中职数学不等式备课教案
中职数学不等式备课教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本概念和性质，理解不等式与等式的区别。
2. 培养学生解决实际问题时运用不等式的意识，提高分析问题和解决问题的能力。
3. 引导学生通过观察、思考、交流、实践等活动，探索不等式的解法，培养学生的逻辑思维能力和创新精神。
二、教学内容1. 不等式的定义与性质2. 不等式的解法3. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本概念、性质和解法。
2. 教学难点：不等式的解法和不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究不等式的性质和解法。
2. 运用案例教学法，让学生通过解决实际问题，掌握不等式的应用。
3. 采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习等式的概念，引出不等式的定义。
3. 学习不等式的解法：讲解解不等式的方法，如加减法、乘除法、换元法等。
4. 应用不等式解决实际问题：选取典型案例，让学生运用不等式解决问题。
6. 布置作业：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况评价：检查学生作业的完成质量，评估学生对不等式知识的掌握程度。
3. 小组合作评价：评估学生在小组合作中的表现，包括沟通能力、团队协作能力等。
4. 课后访谈：与学生进行课后交流，了解他们对不等式知识的理解和应用情况。
七、教学拓展1. 不等式的进一步应用：引导学生将不等式应用于实际生活中的问题，提高学生解决实际问题的能力。
2. 开展数学竞赛：组织不等式相关的数学竞赛，激发学生的学习兴趣和竞争意识。
3. 数学阅读材料：推荐关于不等式的数学阅读材料，拓宽学生的知识视野。
八、教学资源1. 教材：选用适合中职学生的数学教材，如《中等数学》等。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助教学。
3. 案例素材：收集与不等式相关的实际问题素材，用于教学实践。
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不等式的实际应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN3.4 不等式的实际应用1．解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案．2．在实际应用问题中，若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则．“一正”即必须满足“各项为正数”；“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值”，求积的最大值必须使其和为“定值”；“三相等 ”就是必须验证等号是否成立．3．对于形如y ＝x ＋k x (k >0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑利用函数的单调性进行求解．(1)当x >0时，f (x )＝x ＋k x ≥2k (k >0)，当x ＝k 时取“＝”．另外，我们还可以证明f (x )在区间(0，k ]上为减函数，在区间[k ，＋∞)上为增函数，据此单调性来求函数的值域．(2)当x <0时，∵f (x )＝x ＋k x (k >0)(x ≠0)为奇函数．∴f (x )在(－∞，－k ]上为增函数，在[－k ，0)上为减函数．一、构建一元二次不等式模型解决实际问题方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义．例1 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系：y ＝－2x 2＋220x .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车解 设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，得－2x 2＋220x >6 000.移项整理，得x 2－110x ＋3 000<0，解得50<x <60.因为x 只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益．二、利用均值不等式解决实际问题方法链接：均值不等式：ab ≤a ＋b 2(a ，b 是正实数)在求最值问题中有着广泛的应用．应用时一定要注意“一正、二定、三相等”的要领．例2如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000 m 2，鱼塘前面要留4 m 宽的运料通道，其余各边为2 m 宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少时占地面积最少解 设每个鱼塘的宽为x m ，则x >0，且AB ＝3x ＋8，AD ＝10 000x ＋6，总面积y ＝AB ·AD ＝(3x ＋8)⎝ ⎛⎭⎪⎫10 000x ＋6 ＝30 048＋80 000x ＋18x≥30 048＋280 000x ·18x ＝32 448， 当且仅当18x ＝80 000x ，即x ＝2003时，等号成立，此时10 000x ＝150.答 鱼塘的长为150 m ，宽为2003 m 时，占地面积最少．三、利用函数单调性求最值问题方法链接：对于形如y ＝x ＋a 2x 的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解．例3 某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是： ①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用为a 4元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为a 2元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14；问如何利用旧墙，即x 为多少米时，建造费用最省(1)、(2)两种方案哪个更好分析 以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题． 解 设利用旧墙的一面矩形边长为x 米，则矩形的另一面边长为126x 米．(1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x ·a 4元．将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x )·a 2元，其余建新墙的费用为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×126x －14a 元． 故总费用为y ＝x ·a 4＋14－x 2·a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋252x －14a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫74x ＋252x －7＝7a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋36x －1 (0<x <14) ≥7a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4·36x －1＝35a ， 当且仅当x 4＝36x ，即x ＝12时，y min ＝35a 元．(2)若利用旧墙的一面矩形边长x ≥14，则修旧墙的费用为a 4·14＝72a 元．建新墙的费用为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋252x －14a ， 故总费用为y ＝72a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋252x －14a ＝72a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋126x －7 (x ≥14)． 设14≤x 1<x 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋126x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋126x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－126x 1x 2. ∵14≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1·x 2>196.从而1－126x 1x 2>0，所以函数y 在[14，＋∞)上为增函数． 故当x ＝14时，y min ＝72a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋12614－7 ＝35.5a >35a .综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a 元．四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用方法链接：不等式的知识，尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查．一般是先建立函数模型或数列模型，再利用不等式的知识求某些量的范围或最值．例4 2009年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f (n )，求f (n )的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)解 (1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n 年的维修总费用为n [0＋0.2(n －1)]2＝0.1n 2－0.1n (万元) 所以f (n )＝14.4＋0.7n ＋(0.1n 2－0.1n )＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4(万元)(2)该辆轿车使用n 年的年平均费用为 f (n )n ＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4n＝0.1n ＋0.6＋14.4n ≥20.1n ·14.4n ＋0.6＝3(万元)．当且仅当0.1n ＝14.4n 时取等号，此时n ＝12.答 这种汽车使用12年报废最合算． 五、均值不等式在物理学科中的应用方法链接：均值不等式在物理学科中的电学、力学部分中经常用到，应用时也要注意验证等号是否取到．例5如图所示，电路中电源的电动势为ε，内阻为r ，R 1为固定电阻，求可变电阻R 2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少分析 依据物理知识，建立数量关系，借助二元均值不等式求出最大值．解 由电学公式，电功率P ＝UI ，有P 2＝U 2I 2＝U 2(ε－U 2)r ＋R 1. ∵U 2(ε－U 2)≤⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤U 2＋(ε－U 2)22＝ε24(定值)， ∴仅当U 2＝ε－U 2，即2U 2＝ε时，P 2达到最大值，最大值为ε24(r ＋R 1).在ε＝2U 2的两端除以I (＝I 1＝I 2)， 得2R 2＝r ＋R 2＋R 1.∴R 2＝r ＋R 1.∴可变电阻R 2调至r ＋R 1时，所消耗的电功率最大，最大电功率是ε24(r ＋R 1).利用均值不等式时忽略等号成立条件而致错例 甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过每小时c km ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．(1)将全程运输成本y (元)表示为速度v 的函数，并指出该函数的定义域；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶[错解] (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，因此全程运输成本为y ＝(a ＋b v 2)·s v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v s ， ∵a >0，b >0，s >0，v >0，∴定义域为(0，c ]．(2)由(1)知：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v s ≥2a v ·b v ·s ＝2s ab . 当a v ＝b v ，即v 2＝a b ，v ＝a b 时，取“＝”．所以，汽车以 a b km/h 的速度行驶时，全程运输成本最少．[点拨] 本题中的a ，b ，c 均为字母常量，且为正实数，v 是全程运输成本函数中的自变量，v ∈(0，c ]，但是 a b 与c 的大小不确定，上述解答中的最小值2s ab 不一定能取到，应当按 a b 与c 的大小分类讨论．[正解] (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s v ，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋b v 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v ，故所求函数及其定义域为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v ，v ∈(0，c ]． (2)∵s ，a ，b ，v 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v s ≥2s ab (当且仅当a v ＝b v ，即v ＝ab 时取“＝”)∴①若 a b ≤c ，则v ＝a b 时全程运输成本最少．②若 a b >c ，函数y ＝a v ＋b v 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数， 证明如下：设0<v 1<v 2≤ a b ，y 1－y 2＝a v 1＋b v 1－a v 2－b v 2＝a v 2－a v 1v 1v 2＋b (v 1－v 2)＝(v 1－v 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a v 1v 2 ＝(v 1－v 2)b v 1v 2－a v 1v 2＝b (v 1－v 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫v 1v 2－a b v 1v 2∵v 1<v 2，∴v 1－v 2<0.又∵v 1< ab ，v 2<ab ∴v 1v 2<a b ，∴v 1v 2－a b <0，∴y 1－y 2>0，即y 1>y 2，∴函数y ＝a v ＋b v 在⎝⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数． 又∵c < a b ，∴函数在(0，c ]上也是减函数．∴v ＝c 时，全程运输成本最小．综上可知：当 a b ≤c 时，v ＝a b 时全程运输成本最少；当ab >c 时，v ＝c 时全程运输成本最少．例如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)解 方法一 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝k ab ，其中k >0为比例系数，依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，得b ＝30－a 2＋a(0<a <30)．① 于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a＝k －a ＋32－64a ＋2＝k 34－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋2＋64a ＋2≥k34－2(a ＋2)·64a ＋2＝k 18. 当且仅当a ＋2＝64a ＋2时取等号，y 取得最小值. 这时a ＝6或a ＝－10(舍去)，将a ＝6代入①式得b ＝3，故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．方法二 依题意，即所求的a 、b 值使ab 最大．由题设知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)． ∵a ＋2b ≥22ab ，∴22·ab ＋ab ≤30.当且仅当a ＝2b 时，上式取等号．由a >0，b >0，解得0<ab ≤18，即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18.∴2b 2＝18.解得b ＝3，a ＝6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解 (1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x >2)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x 时，等号成立．即当x ＝24 m ，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．赏析 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．。