高中数学《椭圆》教案1 苏教版选修2-1

江苏省泰兴中学高二数学讲义（7）椭圆及其标准方程[目标要求]1、掌握椭圆的定义及椭圆标准方程的推导.2、会求椭圆的标准方程.[重点难点]1、重点：求椭圆的标准方程2、难点：理解椭圆的定义、轨迹方程的求法[典例剖析]例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点的坐标分别是(3,0),(3,0)-，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10.（2）已知椭圆上任一点到两焦点距离之和为10，且焦距为8.（3）经过点)3,2(),0,4(.（4）化简方程8)3()3(2222=-++++y x y x例2、已知1162422=++-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围.变题：若表示焦点在y 轴上的椭圆, 求k 的取值范围.例3、已知圆A ：25)2(22=++y x 与圆B ：22(2)1x y -+=，动圆C 与圆A 内切,且与圆B 外切，试求动圆圆心C 的轨迹方程.[学习反思]1．求椭圆标准方程的基本方法是（1）定义法（2）待定系数法2．求椭圆的标准方程时，要先“定位”，再“定量”3．方程 122=+ny m x 表示椭圆的充要条件是：n m n m ≠>>且0,0. [巩固练习]1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）,1,4==b a 焦点在x 轴上____________________；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上____________________；（3）52,10==+c b a ________________________2．椭圆192522=+y x 的焦点坐标是 3．若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 4．若方程125222=+y ax )5(>a ，21F F 为椭圆焦点，12F F =8，弦AB 过1F ，则三角形2ABF 的周长为5．已知)4,0(),4,0(C B -，且三角形ABC 的周长等于18，则顶点A 的轨迹方程江苏省泰兴中学高二数学课后作业（7）班级: 姓名: 学号：【A 组题】1．椭圆1422=+y m x 的焦距是2，则m 的值为 2．已知椭圆的标准方程为1162522=+y x ，M 为椭圆上的点，则点(4,2.4)M 与焦点的距 离分别是________,，_________；3．三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长度成等差数列，且AB AC >，B 、C 坐标分别为)0,1(),0,1(-.则顶点A 的轨迹方程为4．经过两点)3,54(),4,53(--Q P 的椭圆的标准方程是____________________. 5．AB 是过椭圆左焦点F 的一弦，C 是椭圆的右焦点，已知4,90AB AC BAC ==∠=︒，则椭圆的标准方程为____________________.6.已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -，P 为椭圆上一点，且21F F 是21PF PF 和 的等差中项，求椭圆的方程7．已知P 为椭圆14522=+y x 上一点，以点P 及焦点21F F 为顶点的三角形面积等于1，求P 的坐标.【B 组题】1．)2,0(πα∈，方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为2．已知椭圆的两个焦点12,F F 在x 轴上，以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点为（3， 4），求椭圆的标准方程3．已知12,F F 是椭圆22194x y +=的焦点，P 为椭圆上的一点.若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF ，求12PF PF 的值.。

2．2.2椭圆的几何性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握椭圆基本量的几何意义以及其相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．2．过程与方法利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次应用，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．3．情感、态度与价值观通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．●重点难点重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程．(教师用书独具)●教学建议本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度．使用实物投影及多媒体辅助教学．借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次，●教学流程通过复习和预习，知道由对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？⇒由范围、对称性、顶点及离心率等研究椭圆的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．⇒采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由椭圆方程求其几何性质的方法，首先将方程化为标准方程，由方程得出基本量a，b，c，再写出相应的几何性质．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其方程的方法，由几何性质得出基本量a，b，c，从而求出其标准方程．注意焦点位置的两种情形．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握椭圆离心率或其范围的求解方法，求椭圆的离心率，即找基本量a，b，c的等式关系；求椭圆的离心率的取值范围，即找基本量a，b，c的不等式关系．⇒通过例4及变式训练，使学生掌握直线与椭圆位置关系的研究方法，会讨论公共点个数，会求弦长，弦中点等问题．体会方程思想的应用．⇒通过易错易误辨析，体会椭圆范围的应用，注意椭圆上点的坐标不是在整个实数范围内，解题时应作为一个隐含条件考虑，否则将会导致错误．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力．图中椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．1．椭圆具有对称性吗？【提示】有，椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．2．可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？【提示】可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a，0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．3．椭圆方程中x，y的取值范围是什么？【提示】x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．4．当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？【提示】b越小，椭圆越扁．1．椭圆的简单几何性质当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆.求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【思路探究】化为标准方程→求a，b→求几何性质【自主解答】把已知方程化成标准方程x281＋y29＝1，于是a＝9，b＝3，c＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝ca ＝223，焦点为F1(－62，0)，F2(62，0)，顶点为A1(－9，0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．将方程变形为y＝±1381－x2，根据y＝1381－x2算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：1．由椭圆方程求其几何性质，首先应将方程化为标准形式．2．画椭圆时，应充分利用椭圆的对称性，可简化作图过程，增强准确度．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【解】 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2，故半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；离心率e ＝c a ＝53，两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为 y ＝±239－x 2(－3≤x ≤3)．由y ＝239－x 2(0≤x ≤3)，可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x ，y )，列表如下：称性画出整个椭圆，如图所示．求符合下列条件的椭圆标准方程：(1)焦距为8，离心率为0.8；(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为10－5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直； (3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)． 【思路探究】由几何性质→寻求a ，b ，c 关系→求a ，b →得方程 【自主解答】 (1)由题意：∵2c ＝8，∴c ＝4. 又∵ca＝0.8，∴a ＝5，∴b 2＝9，焦点在x 轴上时椭圆标准方程为：x 225＋y 29＝1；焦点在y 轴上时椭圆标准方程为：y 225＋x 29＝1.(2)由题意：a －c ＝10－5，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2， ∴解得a 2＝10，b 2＝5，焦点在x 轴上时椭圆标准方程为：x 210＋y 25＝1；焦点在y 轴上时椭圆标准方程为：y 210＋x 25＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1.又过点(2，－6)，因此有22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1. 由已知a ＝2b ，得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13.故所求的方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.1．利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法．其步骤是：首先确定焦点的位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．2．当椭圆焦点位置不完全确定时，其标准方程有两种形式，不要漏掉焦点在y 轴上的情形．求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 【解】 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0)，∴4a 2＝1，a ＝2，∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0)，∴02a 2＋4b2＝1，∴b ＝2,2a ＝2·2b ，∴a ＝4，∴方程y 216＋x 24＝1.综上所述，椭圆方程为x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2c a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23c ＝3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.(1)(2012·江西高考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为________．(2)已知F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值．【思路探究】(1)用a，c表示出AF1，F1B，依据AF1，F1F2，F1B成等比数列，建立a，c间的关系式．(2)法一，利用勾股定理及基本不等式寻求基本量a，c间的不等关系；法二，利用短轴端点对两焦点张角为椭圆上任一点对两焦点张角最大值；法三，利用圆半径c≥b求解．【自主解答】(1)椭圆的顶点为A(－a,0)，B(a,0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以AF1＝a－c，F1B＝a＋c，F1F2＝2c.因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以有4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，即5c2＝a2，所以a＝5c，所以离心率为e＝ca ＝55.【答案】5 5(2)法一设PF1＝m，PF2＝n，∴m2＋n2＝4c2，又2a＝m＋n，∴4a2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)＝8c2.即：a2≤2c2，∴e＝ca≥22.∴e min＝22.法二 设椭圆与y 轴上方交点为B .∵∠F 1BF 2≥90°，∴cos ∠F 1BF 2＝a 2＋a 2－4c 22a 2≤0，即：a 2≤2c 2.∴e ＝c a ≥22，∴e min ＝22. 法三 以F 1F 2为直径的圆的方程为：x 2＋y 2＝c 2， 由题意c ≥b ，∴c 2≥a 2－c 2，∴2c 2≥a 2，∴c a ≥22，∴e ＝c a ≥22，∴e min ＝22.1．求椭圆的离心率，就是由题意求基本量a ，b ，c 的等式关系．2．求椭圆离心率的取值范围，就是求基本量a ，b ，c 间的不等关系，然后利用定义或列出关于e 的不等式进行求解，应注意e 还应受到0<e <1的限制．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【解析】 在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝ca ＝57. 【答案】 57已知椭圆x 24＋y 2＝1，(1)当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆有两个不同的交点？(2)当m ＝2时，求直线被椭圆截得的线段长． 【思路探究】联立，消y 得一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长【自主解答】 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝x ＋m 消去y 得，5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0(Ⅰ)．∵Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0， ∴－5<m <5，∴当－5<m <5时直线与椭圆有两个不同交点． (2)当m ＝2时，方程(Ⅰ)化为：5x 2＋16x ＋12＝0， 设线段端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得 x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝125，又k ＝1，∴AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝452.1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由Δ判别式进行判别． 2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2进行求解，也可利用AB ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2· (y 1＋y 2)2－4y 1y 2进行求解．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程． 【解】 设x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1y ＝3x －2， ∴(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0， ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， ∴a 2＝3b 2，② 此时Δ>0，由①②得：a 2＝75，b 2＝25， ∴x 225＋y 275＝1.忽略椭圆的范围导致错误设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到椭圆的最远距离是7，求椭圆的标准方程． 【错解】 依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝34，所以b 2a 2＝14，即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.所以当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 也有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2，由此解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.【错因分析】 错解中“当y ＝－12时，d 2有最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y 的取值范围．事实上，由于点(x ，y )在椭圆上，所以有－b ≤y ≤b ，因此在求d 2的最大值时，应分类讨论．【防范措施】 涉及到椭圆上点的坐标时，应注意坐标的范围，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]；对于椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，x ∈[－b ，b ]，y ∈[－a ，a ]．【正解】 同错解得到d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.若b <12，则当y ＝－b 时，d 2有最大值，从而d 有最大值，于是(7)2＝(b ＋32)2，从而解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．所以必有b ≥12，此时当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2，解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.1．椭圆的性质可分为两类，一类是与坐标无关的本身固有的性质，如长轴长，短轴长，焦距，离心率；另一类是与坐标有关的性质，如顶点坐标，焦点坐标．2．椭圆的标准方程和椭圆的几何性质密不可分，由椭圆的方程可以得出椭圆的几何性质，由其几何性质可以得出椭圆的方程．3．求椭圆的离心率或其取值范围，是高考的重点内容，其实质就是找出基本量a ，b ，c 的相等或不等关系，从而得出关于e 的方程或不等式．4．直线与椭圆的位置关系，公共点个数利用Δ判别式，弦长问题利用弦长公式和韦达定理，解题主要是利用了转化思想和方程思想.1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是________． 【解析】∵x 2＋y 26＝1，∴焦点在y 轴上，∴长轴端点坐标为(0，±6)． 【答案】 (0，±6)2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e ＝________. 【解析】 如图，△F 1B 2F 2为等边三角形， ∴∠B 2F 2O ＝60°， ∴e ＝c a ＝OF 2B 2F 2＝cos 60°＝12.【答案】 123．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于________．【解析】 ∵1－m 2＝14或1－2m ＝14，∴m ＝32或83.【答案】 32或834．椭圆经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率e ＝12，求椭圆的标准方程．【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.一、填空题1．(2013·厦门高二检测)椭圆x 24＋y 29＝1的离心率是________．【解析】 e ＝1－b 2a2＝1－49＝53. 【答案】532．(2012·上海高考)已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则下列说法正确的是________．①C 1与C 2顶点相同； ②C 1与C 2长轴长相同； ③C 1与C 2短轴长相同； ④C 1与C 2焦距相等．【解析】 由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.只有④正确．【答案】 ④3．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的方程为________．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2a 32a ＝18a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝81b 2＝72，因为焦点在x 轴上，所以所求椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.【答案】 x 281＋y 272＝14．若椭圆的焦点在y 轴上，长轴长为4，离心率为e ＝32，则其标准方程为________． 【解析】 依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1. 【答案】 y 24＋x 2＝15．(2013·无锡高二检测)若椭圆x 29＋y 2m ＝1(0<m <9)的焦距为23，则m ＝________.【解析】 ∵0<m <9，∴9－m ＝(3)2，∴m ＝6. 【答案】 66．(2012·课标全国卷改编)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．【解析】 ∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形， ∴∠PF 2A ＝60°，PF 2＝F 1F 2＝2c ，∴AF 2＝c ， ∴2c ＝32a ，∴e ＝34.【答案】 347．(2013·哈师大附中高二检测)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．【解析】 ∵|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，∴|PF 1→|·|PF 2→|≤(|PF 1→|＋|PF 2→|2)2＝a 2，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴13≤e 2≤12， ∴33≤e ≤22. 【答案】 [33，22]图2－2－38．“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 2； ④c 1a 1＜c 2a 2. 其中正确式子的序号是________．【解析】 由题图知a 1＋c 1>a 2＋c 2，故①错误．又a 1－c 1＝PF ，a 2－c 2＝PF ，故a 1－c 1＝a 2－c 2，即②正确． 由题图知椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，则e 1>e 2，即c 1a 1>c 2a 2.又a 1，a 2均大于0，故c 1a 2>a 1c 2，故③正确． 显然④错误，故②③正确． 【答案】 ②③ 二、解答题9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程．【解】 椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23，∴点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， ∴OF ＝c ，OA ＝b . AF ＝OA 2＋OF 2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.10．已知椭圆C 的中心O 在原点，长轴在x 轴上，焦距为6，短轴长为8. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(－5,0)作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求△ABO 的面积．【解】 (1)设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得c ＝3，b ＝4，a ＝5，所以椭圆C 方程为x 225＋y 216＝1.(2)不妨设A (－5,0)，直线AB 方程为：y ＝x ＋5，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5x 225＋y 216＝1得⎩⎨⎧x ＝－4541y ＝16041.所以S △OAB ＝12OA ·|y B |＝12×5×16041＝40041.11．(2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．【解】 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.(教师用书独具)已知椭圆4x 2＋5y 2＝20的一个焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，求弦长AB .【思路探究】 求出焦点F 的坐标→求出直线l 的斜率→设直线l 的方程→联立方程→利用根与系数的关系设而不解→由弦长公式求解【自主解答】 椭圆方程为x 25＋y 24＝1，a ＝5，b ＝2，c ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1(不失一般性，设l 过左焦点)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，4x 2＋5y 2＝20，消去y ，得9x 2＋10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－109，x 1·x 2＝－53，AB ＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·(－109)2－4·(－53)＝2·8109＝1659.1．解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解． 2．利用弦长公式求弦长时，没必要验证方程的Δ>0.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果AB ＝154，求椭圆C 的方程．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1<0，y 2>0)， (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －c )x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x 得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2， y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2，因为AF →＝2FB →， 所以－y 1＝2y 2，即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2，得离心率e ＝c a ＝23. (2)因为AB ＝1＋13|y 2－y 1|， 所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a .所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5. 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。

椭圆的几何性质设计一．教学目标设置：一知识与技能：1能运用方程来研究椭圆的简单几何性质；2掌握椭圆的简单几何性质；3了解离心率对椭圆扁平程度的影响，以及根本量的相互关系；二过程与方法：感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；三情感态度与价值观：在运用方程探究椭圆的几何性质过程中，让学生知道解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

二．学生学情分析：学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生接触过由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比拟抽象，直接引入比拟突兀，给学生明确的问题，结适宜当的点拨与演示，是非常必要的。

三．重难点：重点：1用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2椭圆的简单几何性质。

难点：1用方程研究椭圆的范围和对称性；2离心率的引入四．教学策略分析：1问题串引导学生探究式法，活动和探究相结合，问题作引导，引发积极思考；2在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重难点；3几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响，加深学生对离心率的认识。

五．教学过程：一课前准备活动创设：运用所学的知识，在平面直角坐标系中画出方程所对应的曲线C1？〔方案一：利用椭圆的定义画图；方案二：根据所学先判断其为椭圆，求与轴轴的交点再连结；方案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比拟精确地画出第一象限的局部；方案四：学生可能会联系函数描点法画图〔对学生方程与函数理解要求较高〕〕【设计意图】：让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点〔与对称轴的交点〕，即椭圆的顶点。

二探究新知：师：研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置。

探究一：问题1：该椭圆上点横坐标的范围是什么？纵坐标呢？〔预案：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观〕〔师：在解析几何中，如果说由曲线的条件去求曲线的方程是解析几何的手段的话，那么有曲线的方程去研究曲线的性质那么是解析几何的目的。

2.2椭圆的标准方程教学目标：（1）知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标．（2）过程与方法：让学生经历随圆标准方程的推导过程，进一瞠掌握求曲线方程的一般方法，体会数形合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题．（3）情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究随圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度．教学重点：椭圆的标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学方法：引导启发、自主探究 教学手段：多媒体 教学过程：一、问题情境：师：生活是一个五彩缤纷的万花筒，而在这个万花筒中存在着很多美丽的图形和轮廓，比如餐桌的桌面、汽车贮油罐的横截面的外轮廓线，同学们怎样称呼它们？生：椭圆师：很多，这就是我们今天要研究的一个很优美的图形．这样一个优美的图形椭手能描绘它吗？这里我有一个画椭圆的工具：将绳子的两端用图钉固定，使绳子长大于两定点之间的位置，用粉笔拉紧绳子并在黑板上慢慢移动，就可以勾勒出一个椭圆，哪位同学愿意试一试？生：（尝试画椭圆）师：在这个过程中，同学们可以发现椭圆上的点都有什么共同特点？ 生：到两定点的距离等于定长．师：好的．所以我们将在平面内到两定点1F ，2F 距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两定点称为椭圆的焦点，两定点之间的距离叫做焦距，通常用2c 来表示．（板书：12122(2)PF PF a a >F F +=，焦点：1F ，2F ，焦距：122F F c =）师：对于椭圆这样一个优美的图形，其中也蕴涵了许多性质，那如何研究这些性质呢？生：（思考）师：在解析几何中，我们学过的图形有哪些？ 生：直线和圆．师：不错．那以圆为例，在解析几何中我们通过什么研究圆的性质呢？ 生：圆的方程．师：大家还记得圆的方程是怎样建立的吗？（个别提问） 生：（回答问题，教师加以引导）得出圆的标准方程的基本步骤：建坐标系、设点、列等式、代坐标、化简．师：那么大家觉得这样方程是否适用于椭圆呢？ 生：可以．师：那么请大家来研究一下椭圆的方程是什么？ 生：（研究探索椭圆的方程，教师适时加以引导） 二、建构数学（1）如何建立适当的坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； （一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴．） ①建立适当的直角坐标系：以直线12F F 为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示坐标系．②设点：设()P x y ，是椭圆上的任意一点，122F F c =Q ，1(0)F c ∴-，，1(0)F c ，； ③根据条件112PF PF a +=2a =（1） ④化简：（移项，两边平方）22222222()()a c x a y a a c -+=-， 师：能否美化结论的形象？0a c >>Q ，220a c ∴->，令222a c b -=，则：222222b x a x a b +=．师：由直线方程的截距式是否可以得到启发？∴椭圆方程为：22221x y a b+=．（a ，b 即为椭圆在x ，y 轴上的截距）师：怎样推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？（用小黑板做演示）生：交换x ，y 就可以得到．师：（板书两种方程和图形）师：椭圆标准方程的特点是什么？生：x ，y 轴分别为椭圆的两个对称轴，焦点在坐标轴上，焦点的中心是原点． 师：焦点位于x ，y 轴上时的焦点坐标分别是什么？ 生：（回答，教师板书）师：a b c ，，之间存在一个什么关系？ 生：222a b c =+三、数学运用例1、将下列椭圆方程转化成标准方程 （1）22431x y += （2）22561x y +=思考：上述两个方程的焦点位于哪根坐标轴上？ 师：如何判断椭圆的焦点的位置？ 生：在分母较大的对应轴上．练习：若P 为椭圆22194x y +=上一个动点，则P 到两个焦点1F ，2F 之间的距离是____．若P 到其中一个焦点1F 的距离是4，则P 到另外一个焦点2F 的距离是________．其中a =________，b =________，焦点位于________轴上，焦点坐标为________． 例2、求椭圆的方程为22167112x y +=的焦点坐标．例3、若动点P 到两定点1(40)F -，，2(40)F ，的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ）Ａ．椭圆Ｂ．线段12F FＣ．直线12F FＤ．不存在师：若绳长12F F =，则轨迹是什么？ 生：线段12F F师：若绳子12F F <，则轨迹是什么？ 生：不存在．例4、求适合下列条件的椭圆方程． （1）4a =，1b =，焦点在x 轴上； （2）4a =，1c =，焦点在y 轴上； （3）1b =，c =，焦点在坐标轴上．师：由第三题可知：求椭圆方程的第一种方法是直接法，先定位再定量．例5、若一椭圆两焦点的坐标分别是椭圆229436x y +=的两焦点，并且经过点(23)A -，，求该椭圆的标准方程．（由学生板书） 师：这是我们学到的又一种求曲线方程的方法：待定系数法．四、课堂小结：这节课我们学习了椭圆的标准方程，掌握了求焦点在x 轴上和在y 轴上的标准方程，求标准方程常用的方法：直接法、待定系数法．0)五、作业布置1．教材P28页习题2.2（1）第2，3，4题 2．推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．。

2.2.2椭圆的几何性质----江苏省江阴长泾中学沈书龙【教学目标】〔1〕通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形．〔2〕让学生感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．〔3〕学生能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．【教学重点】探究椭圆的几何性质；理解椭圆根本量的几何意义．【教学难点】理解椭圆离心率的几何意义．【教学过程】一、问题情境热爱生活的同学会发现生活中有很多椭圆形的物件，它们都给我们以美的感觉，但是图形有大小之分，也有扁圆之别，那么“想画出这些椭圆的图形吗？〞是随便画一下，还是有章可循？二、学生活动探究〔一〕问题1、比方：给你一个方程，你能否根据这个方程画出它对应的图形，而且大小适合，具有美感？提示：①怎么画？②大小怎么确定？③怎样表达图形的美感。

问题2、怎么样取点？取，对应，取，不好算，对应两个值，取，也如此，取，对应，取？说明方程中有范围，怎么从方程中得到？研究方程得到范围获得结论：椭圆应该限制在这样四条直线之间，也就是椭圆应该在这个矩形框内由四个点，加上范围，我们在要求不太精确的前提下，可以画出椭圆图形探究〔二〕问题1、由上述我们画的椭圆，请同学们观测一下，椭圆图形的美吗？美在哪里？得到：椭圆关于轴对称的，除了轴对称外，还有其他的对称吗？怎么从方程的角度加以说明呢？当在椭圆上时，它关于轴的对称点，也在椭圆上，即在椭圆方程中把改成，方程并不改变，即得到椭圆是关于轴对称的获得结论：椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

轴和轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心，对称中心也叫椭圆的中心---刚刚我们通过对椭圆的方程的研究得到椭圆的范围，对称性，这些称为椭圆的几何性质，对于一般的椭圆方程，又具有怎么样的几何性质呢？这个就是我们今天要研究的椭圆的几何性质----揭示课题我们把中的换成，首先它的范围怎么样？，，另外，对称性有没有变？还是关于，轴，原点对称获得结论：1、范围：椭圆位于这样四条直线所围成的矩形内2、对称性：椭圆是关于坐标轴、原点对称的探究〔三〕问题1、刚刚在画椭圆的图形中取到四个特殊的点，即令，得，，得，分别是，，，，这些是椭圆与两坐标轴的交点，而这两个坐标轴正好是对称轴，所以它们也是椭圆与对称轴的四个交点。

椭圆基础知识整合1．椭圆的概念在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做□0102焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．椭圆．这两定点叫做椭圆的□集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若□04a>c，则集合P表示椭圆；(2)若□05a＝c，则集合P表示线段；(3)若□06a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质续表椭圆的常用性质(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，P 点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 为斜边，a 2＝b 2＋c 2.(3)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为2b2a.(5)椭圆离心率e ＝1－b 2a2.1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.2．(2018·广西模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.24答案 C解析 因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22，故选C.3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于13，则椭圆C 的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 29＋y 28＝1 答案 D解析 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝13，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2＝8.故椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.4．(2019·西安模拟)已知点P (x 1，y 1)是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是其左、右焦点，当∠F 1PF 2最大时，△PF 1F 2的面积是( )A.1633B ．12C ．16(2＋3)D ．16(2－3)答案 B解析 ∵椭圆的方程为x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝25－16＝3，∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P 与短轴端点重合时，∠F 1PF 2最大，此时△PF 1F 2的面积S ＝12×2×3×4＝12，故选B.5．椭圆3x 2＋ky 2＝3的一个焦点是(0，2)，则k ＝________. 答案 1解析 方程3x 2＋ky 2＝3可化为x 2＋y 23k＝1.a 2＝3k >1＝b 2，c 2＝a 2－b 2＝3k－1＝2，解得k＝1.6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析 设|PF 2|＝x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2x ，|F 1F 2|＝3x .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3x,2c ＝3x ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 核心考向突破考向一 椭圆定义的应用例1 (1)(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513.故选B. (2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.则|AF 2|＝________.答案 5解析 由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3.∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4.则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5.触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|，通过整体代入可求其面积等.即时训练 1.(2019·甘肃联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析 由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C.2．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于椭圆C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于椭圆C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.考向二 椭圆的标准方程例2 (1)(2019·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A.(2)已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.触类旁通求椭圆方程的常用方法(1)定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝m >0，n >0，m ≠n ，再用待定系数法求出m ，n 的值即可.即时训练 3.(2019·青岛模拟)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 C解析 如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义，得|AF 1|＝2a －32. ①在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22. ②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.4．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________．答案x 29＋y 26＝1 解析 l 经过F 1垂直于x 轴，得y A ＝b 2a ，在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°，得b 2a ＝33×2c ，12×2c ×2b 2a ＝43，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3.所求的椭圆方程为x 29＋y 26＝1.考向三 椭圆的几何性质例3 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案 C解析 根据题意，可知c ＝2，因为b 2＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝8，即a ＝22，所以椭圆C 的离心率为e ＝222＝22.故选C. (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac <0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 ∵c 2－b 2＋ac <0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac <0，即2c 2－a 2＋ac <0，∴2c 2a 2－1＋ca<0，即2e 2＋e －1<0，解得－1<e <12.又∵0<e <1，∴0<e <12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．即时训练 5.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D.3－1答案 D解析 在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，设|PF 2|＝m ，则2c ＝|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，又由椭圆定义可知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)m ，则离心率e ＝c a ＝2c 2a＝2m 3＋m＝3－1.故选D.6．(2019·江苏模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A 为左顶点，B 为上顶点，F 为右焦点且AB ⊥BF ，则这个椭圆的离心率等于________．答案5－12解析 由题意得A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，∵AB ⊥BF ，∴AB →·BF →＝0，∴(a ，b )·(c ，－b )＝ac －b 2＝ac －a 2＋c 2＝0，∴e －1＋e 2＝0，解得e ＝5－12. 考向四 直线与椭圆的位置关系角度1 弦的中点问题例4 (2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F P →＋F A →＋F B →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得m <⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×3＝32，且m >0，即0<m <32，故k <－12. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|F P →|＝32. 于是|F A →|＝x 1－2＋y 21＝ x 1－2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|F B →|＝2－x 22. 所以|F A →|＋|F B →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|F P →|＝|F A →|＋|F B →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.角度2 弦长的问题例5 (2019·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14× x 1＋x 22－4x 1x 2＝－m2.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m|5×－m2＝m2－m2≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m＝±2时取得最大值． 触类旁通解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.(3)直线与椭圆相交时常见问题的处理方法即时训练 7.(2019·广西联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >1)的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为4π3，过椭圆C 的右焦点作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，0，求k 的值．解 (1)由题易得，过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 43. 设椭圆的右焦点的坐标为(c,0)， 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b －432＋c 2＝43.又因为b >1，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意，过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将其代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k3＋4k 2.因为P 为线段AB 的中点，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又因为直线PD 的斜率为－1k，所以直线PD 的方程为 y －－3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 令y ＝0，得x ＝k 23＋4k2，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 23＋4k 2，0， 则k 23＋4k 2＝17，解得k ＝±1. 8．(2019·云南昆明模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)． 当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22， 此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k · －4k 21＋2k 2＋2k ＝2k1＋2k2，y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝4k2＋2k22＋4k 21＋2k 2＝43， 所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.1．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2答案 C解析 解法一：设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，所以PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，所以|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.因为点P 在椭圆上，所以0≤y 20≤1，所以当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.解法二：由PF 1→＋PF 2→＝PO →＋OF 1→＋PO →＋OF 2→＝2PO →求解．故选C.2．已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，求|PA |＋|PF |的最大值和最小值．解 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2,0)．设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.3．在椭圆x 218＋y 28＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．解 设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ， 由点到直线的距离公式得 d ＝|62cos θ－62sin θ＋15|22＋－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513，当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，此时A 点坐标为(－3,2)．答题启示椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．对点训练1．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2答案 D解析 解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，则圆心(0，6)到点Q 的距离d ＝x 2＋y －2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52， P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.解法二：易知圆心坐标为M (0,6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)， 则|MQ |＝10cos 2θ＋θ－2＝－9sin 2θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，当sin θ＝－23时，|MQ |max ＝52，所以|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D.2．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案 4解析 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.。

课题：椭圆的几何性质授课教师：何晓勤教材：苏教版高中数学选修2-1第二章第2节（2.2.2）【教学目标】1给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；在图形中，能清晰解释椭圆标准方程中a,b,c,e的几何意义及其相互关系2通过方程研究椭圆的几何性质，让学生感受到解析几何的目的——代数法研究几何问题；对椭圆的几何性质从数和形两个角度进行分析，让学生进一步体会数形结合思想的应用；通过设置思考探究问题和填表，让学生体会类比法的应用3合作讨论突破难点，培养学生合作意识；通过对椭圆对称性及离心率对椭圆形状影响的研究，让学生感受到数学美；培养学生用数学家的眼光看数学、学数学的数学思维【教学重点、难点】1重点：椭圆的几何性质；用方程研究椭圆上点的横、纵坐标范围及对称性2难点：用方程研究椭圆的范围和对称性及离心率的引入【教学方法与教学手段】1思考问题引导学生探究式法，活动和探究相结合，引发积极思考2利用现代教学手段，关注教学内容与现代教育手段的合理整合利用几何画板软件感受动态过程，利用实物投影仪投影学生的作图情况，提高课堂效率3在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重、难点【教学过程】一问题情境问题1：前面学习了椭圆的哪些知识？接下来要研究什么？【设计意图】从数学的内部提出问题，引导学生回顾椭圆的定义和方程，并引出今天的研究任务——椭圆的几何性质问题2：如何研究椭圆的几何性质呢？研究椭圆的哪些性质呢？【设计意图】学生可能会说“画图→观察→猜想→证明”，给予肯定突出本节课的研究方法为解析法，即通过方程来研究椭圆的性质明确研究的目标，从椭圆的范围和形状出发进行研究二构建数学1椭圆的范围思考1：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的范围是指什么？如何通过方程研究其范围？预案一：利用022≥a x 和022≥b y 的特点，即：设P ,是椭圆上任意一点，由22221x y a b 可得22x a=1﹣22y b≤1，即-a ≤≤≤≤b 预案二：与函数定义域和值域联系，222211ax b y a x b y --=-=和预案三：观察方程的形式，由22()()1x ya b联系到22sin cos 1θθ）学生活动：画出不等式组⎩⎨⎧≤≤-≤≤-by b ax a 表示的平面区域，通过形体验椭圆的范围由此可见，椭圆位于直线=±a 和=±b 所围成的矩形区域（含边界）内研究了范围给我们带来了好处，如：该椭圆在该矩形框内，方便于画图【设计意图】学生观察方程形式特点，利用方程去说明范围，能体会到方程研究性质的应用，同时通过作图加以体验2椭圆的对称性问：椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 还有什么特点呢？思考2：在椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 中，把换成-方程是否改变？这说明什么？指明图形对称的本质是点的对称，在学生回答过程中，强调“任意取一点”，并引导学生从方程角度判断曲线的对称性椭圆的对称中心叫做椭圆的中心【设计意图】用代数法判断对称性具有相当难度，老师适当引导，突出“任意取一点”，让学生感知如何通过方程来研究椭圆的对称性，并让学生体会到用方程判断曲线对称性的好处3椭圆的顶点思考3：从方程角度来看，你能否得到椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一些特殊点？它们的坐标是什么？指出x 轴和y 轴为该椭圆的对称轴，这四个交点为椭圆的顶点；指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长由于坐标轴为椭圆的)0(12222>>=+b a by a x 对称轴，我们把椭圆与其对称轴的交点成为椭圆的顶点【设计意图】让学生明确椭圆方程中,a b 的几何意义；让学生明白求两曲线的交点坐标即为求两曲线方程构成的方程组的解学生活动：利用描点法作出椭圆221259x y【设计意图】通过实际具体的椭圆，运用几何性质作图，进一步体会数形结合思想 4椭圆的离心率思考4：所有的圆都是相似的，那椭圆呢？（椭圆有的比较“圆”，有的比较“扁”）从方程角度看，用什么量来刻画椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的“扁”的程度呢？学生探究同学说用a b 的大小衡量椭圆的圆扁程度，给予肯定）为什么采用ac来刻画椭圆的扁平程度？a 和c 是椭圆定义中的原始量，另外也为了后边研究圆锥曲线的统一定义的方便椭圆的离心率的定义：焦距与长轴长的比值，即e =22c a =ca∈0,1 思考5：离心率e 的大小如何影响椭圆 “扁”的程度呢？ 先独立思考，再小组合作探究学生猜测：离心率越小，椭圆越接近于圆；离心率越大，椭圆越扁 实验：用几何画板验证上述猜想的正确性思考6：已知长轴A 1A 2和短轴B 1B 2，怎样确定椭圆的焦点？ 【设计意图】让学生熟知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为长半轴长 学生活动：填下表：图形标准方程 ）（012222>>=+b a b y a x)0(12222>>=+b a b x a y范围 对称性 顶点长轴短轴离心率【设计意图】通过填表，一方面让学生巩固刚学椭圆12222=+by a x 的性质；另一方面让学生类比已有的知识，研究椭圆12222=+bx a y 的性质三数学应用例题 求下列椭圆的长轴长,短轴长，离心率，焦点坐标和顶点坐标：122132y x ；222416x y【设计意图】巩固学生对研究椭圆几何性质的方法的掌握；学会研究椭圆的几何性质；学会先通过方程研究曲线的几何性质四回顾反思 本节课有何收获？ 1知识椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率 对椭圆知识的学习过程：定义→方程→几何性质 2方法数形结合思想华罗庚：数缺形时少直观，形少数时难入微 五分层作业1必做部分：课本P37习题2 第1，2，3，4，5，8题2选做部分：收集有关笛卡尔与解析几何，费马与解析几何的资料，了解与本节课有关的数学史知识，撰写数学小论文【教学设计说明】用代数方法研究几何问题是解析几何的核心思想，本课的设计始终围绕这条主线出发，椭圆的所有几何性质都是通过椭圆的方程研究出来的，研究过程中充分体现了椭圆的几何性质在“数”和“形”上的本质联系，并通过学生作图加以体验，让学生进一步体会数形结合思想用方程研究椭圆的范围时，通过引导学生观察方程的形式特征，学生独立思考和小组合作相结合，此时学生发现了多种方法，特别函数法的出现，更加激起了学生用方程研究性质的兴趣同时，结合图形加以说明研究对称性时，用代数法说明具有相当的难度，所以设计思考问题“在椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 中，把换成-方程是否改变？这说明什么？”一方面引导学生从代数上研究椭圆的对称性，另一方面让学生明白“图形对称的本质是构成图形的点的对称性”，让学生理解关键是椭圆上“任意取一点”轴对称之后，启发学生用类似的方法自主推导出椭圆的其它对称性并揭示对称性在作图中的应用研究顶点时，设计问题“从方程上看，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上有没有一些比较特殊的点？它们的坐标是什么？”这样做使学生理解得更自然和深刻并引出长轴、短轴的概念，理解椭圆方程中的a ,b 的几何意义，并在图形中加以说明探究离心率时，提出“所有的圆都是相似的，椭圆呢？”，进而提出思考“用什么量可以刻画椭圆的‘扁’的程度？如何影响的？”同时，通过几何画板验证学生猜想的结论，培养学生严谨的学习态度通过学生活动和例题巩固学生对研究椭圆几何性质的方法的掌握，让学生学会先通过方程研究曲线的几何性质，再运用几何性质解决有关问题（如作图等），进一步体会数形结合思想在课堂小结时，注意让学生总结研究的方法，并强调这是解析几何问题的一般方法，在后面的学习中还会继续用作业设计方面做到分层，特别是布置搜集笛卡尔、费马与解析几何有关的数学史料，并撰写小论文，让学生体会数学文化的魅力。

第一课时椭圆的标准方程一、教学目标1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2．根据条件确定椭圆的标准方程；3．熟练运用这两个公式解决问题二、教学重点、难点重点：椭圆的标准方程的应用；难点：椭圆标准方程的推导；三、教学过程1．复习回顾上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

注：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？(1)平面内；若把“平面内”去掉，则轨迹是什么？(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞F1F2思考：（1）2a= F1F2，则轨迹是什么？ (线段F1F2)（2）2a< F1F2,则轨迹是什么？ (无轨迹)2．椭圆的标准方程的推导问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么？（建系、设点、列式、化简）问题2：本题中可以怎样建立直角坐标系？设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1、F2的距离的和为2a ( 2a > 2c )．方案1：如图，焦点落在x轴上⑴建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．⑵设点：设点P（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为()()120,0F c F c- ,、．⑶列式：依据椭圆的定义式PF1 + PF2 = 2a列方程，并将其坐标化为()()22222x c y x c y a+++-+=．这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？⑷化简：通过移项、两次平方后得,()()22222222a c x a y a a c-+=-，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令222b a c=-，可的椭圆的标准方程为()222210x ya ba b+= >>．总结含有根式的化简步骤：（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方．方案2：类似地，如图，焦点落在y轴上试想：推断此时椭圆的标准方程又是什么？焦点()()120,0,F c F c - 、，焦距为2c ，椭圆的方程为()222210x y a b b a+= >>根据所学知识让同学们完成下表 注：①是0a b >>；②是222a b c =+（要区别与习惯思维下的勾股定理222c a b =+）；③是定方程“型”与曲线“形”．3．典型例题：例1． 化简（1）2222(3)(3)10x y x y ++++-=化简（2）2222(3)(3)6x y x y ++++-=例2．（1）已知5a =,3c =，求焦点分别在x 、y 轴上的椭圆的标准方程（2）已知椭圆的焦点坐标是()14,0F -，()24,0F ，椭圆上的任意一点到1F 、2F 的距离之和是10，求椭圆的标准方程． 例3．（1）平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。

2．2 椭圆一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)掌握椭圆的标准方程以及a、b、c间的关系；(2)能熟练地利用待定系数法、定义法或转移代入法求椭圆方程；(3)掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；(4)了解直线与椭圆的位置关系的处理方法；(5)体会数形结合、分类讨论等思想方法．2．预习提纲(1)回顾必修2中直线与圆的相关知识，回答下列问题：①直线的点斜式方程是如何建立的?②圆的标准方程是如何建立的?③你能根据直线及圆的方程的建立过程，总结出建立曲线方程的一般步骤吗?(2)阅读课本第28－33页，回答下列问题：①建立适当的坐标系可以使方程的形式简单，你认为要推导椭圆的方程怎样建系比较合适?②焦点在x轴上的椭圆的标准方程为_________________，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为____________________，其中a，b，c的关系为________________；③椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)上的点中，横坐标x的范围是，纵坐标y的范围是；④椭圆关于____________都是对称的，椭圆的对称中心叫做；之间的关⑤椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的四个顶点是A1(______)、A2(______)、B1(______)、B2(______)，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的；⑥椭圆的焦距与长轴长的比e=ca，叫做椭圆的．(3)课本第29页例1求椭圆的标准方程，这是同学们熟悉的实际模型，采用的方法是__________；第29页例2求椭圆的标准方程，采用的方法是_____________，例2运用方程证实猜想：椭圆可用圆通过压缩变换得到，它揭示了椭圆与圆的内在关系，这种内在联系有利于进行类比探索，请同学们思考课本第35页探究拓展第12题；第32页例1，先由方程研究椭圆的几何性质，再运用几何性质解决有关问题(如作图等)，请同学们体会数形结合的思想方法；第33页例2希望同学们进一步感受圆锥曲线的实际背景，思考为什么长轴端点分别是近地点和远地点?3．典型例题(1)椭圆的标准方程①待定系数法：已知焦点、焦距或椭圆上一点求椭圆的标准方程：先确定方程的形式，再根据条件求a、b．例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，a：b=2：1，c=6；(2)焦点在y轴上，a2+b2=5，且过点(－2，0)；(3)焦距为6，a－b=1．分析：求椭圆的标准方程首先需确定焦点的位置，然后利用条件通过解方程或方程组解得a、b，从而得出椭圆方程．解：(1)由题意设椭圆方程为：22221x ya b+=(a>b>0)，则a：b=2：1，c=6．又a2－b2=c2=6，由226,2,a ba b⎧-=⎨=⎩得：228,2.ab⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆方程为：221 82x y+=；(2)由题意设椭圆方程为：22221y xa b+=(a>b>0)，则 椭圆过点(，0)，∴b2=2．又 a2+b2=5，∴a2=3．故椭圆方程为： 22132y x +=；(3)若焦点在x 轴上，则设椭圆方程为：22221x y a b+=(a >b >0)，焦距为6，∴a 2－b 2=9．又a －b =1，∴ a 2=25，b 2=16即椭圆方程为：2212516x y +=；若焦点在y 轴上，则可设椭圆方程为： 22221y x a b += (a >b >0)，同上可得：a 2=25，b 2=16，即方程为：2212516y x +=．故椭圆方程为：2212516x y +=或2212516y x +=．点评：求符合条件的椭圆方程常用待定系数法，在计算a 、b 的过程中注意准确运用a 2=b 2+c2这一条件．对焦点位置不确定的椭圆方程除了分类讨论以外，也可以设为mx 2+ny 2=1(m >0，n >0且m ≠n )的形式．例2 已知方程(2－k )x 2+ky 2=2k －k 2表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围． 分析： 二元方程表示椭圆可先将二元方程化成标准式．解： 由(2－k )x 2+ky 2=2k －k 2得：当2k －k 2≠0时有：2212x y k k+=-． ∵ 方程表示焦点在x 轴上的椭圆，∴ k ＞2－ k ＞0 ，即：1＜k ＜2．点评：二元方程221x y m n+=表示焦点在x 轴或y 轴上的椭圆首先是要求0,0m n m n >>≠且，其次若m n >，则焦点在x 轴上；若m n <，则焦点在y 轴上．②定义法：正确理解椭圆的定义是熟练运用定义的前提，准确运用定义的关键是注意定义中的限制条件“2a >F 1F 2”及对题设条件的正确转化．例3 在圆C ：22(1)25x y ++=内有一点A (1，0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C 、Q 的连线的交点为M ，求M 点的轨迹方程．分析：定义法求轨迹方程关键是找到动点满足的条件，本题中M 在CQ 上，且有：MA =MQ ． 解：由题意M 在线段CQ 上，从而有C Q=MQ +MC ．又M在AQ的垂直平分线上，∴MA=MQ．即：MA+MC=CQ=5．A(1，0)、C(－1，0)，∴点M的轨迹是以A(1，0)、C(－1，0)为焦点，a=52的椭圆．故M点的轨迹方程为：221 252144x y+=．点评：本题在解答过程巧妙地利用点M是AQ垂直平分线上的点，将条件转化为：MA=MQ，再利用M是CQ上的点，结合A、C是定点得出点M满足的条件：MA+MC=5，从而避免了烦琐的解题过程，这在解析几何中会经常遇到，因此在解题过程中应充分挖掘隐含的条件，以达到简化之目的．③坐标转移法：若一动点(x，y)随着另一动点(x0，y0)变化，且x0，y0的关系已知，则将x0，y0用x、y 表示代入已知关系式即可．例4 将圆x2+y2=9上任意一点P的横坐标不变，纵坐标变为原来的13得到点M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．分析：利用条件得出点M(x，y)的坐标与P(x0，y0)的坐标间的关系，将x0，y0用x，y表示代入方程x2+y2=9即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则由题意的：x0= x，y0=3 y． 点P(x0，y0)在圆x2+y2=9上，∴x02+y02=9，∴x2+9y2=9，即点M的轨迹方程为：221 9xy+=．故点M的轨迹为：以(－22，0)、(22，0)为焦点，a=3的椭圆．点评：此例的解题步骤是先写出P点与M点的坐标之间的关系，然后用M点的坐标表示P 点坐标并代入P点的坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程．转移代入法的基本步骤是：先求出相关的动点间的坐标关系，并且用从动点的坐标表示主动点的坐标，然后代入主动点的坐标所满足的方程并整理即得所求方程．(2)椭圆的几何性质①已知椭圆方程得椭圆的几何性质：化方程为标准形式．例5 已知椭圆25x2+16y2=400，写出其长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率．分析：将椭圆方程化为椭圆的标准方程．解：由25x2+16y2=400得：221 1625x y+=，则a＝5，b＝4，故c＝3．故椭圆的长轴长为10，短轴长为8，焦点坐标为(0，3)、(0，－3)，四个顶点坐标为(0，5)、(0，－5)、(4，0)、(－4，0)，离心率e=35．点评：由椭圆方程求描述椭圆几何性质的量时，应首先将方程化为标准式并判断焦点所在的坐标轴，写出a 、b 、c 三个基本量，再写其他的特征量．②已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程；一是定型，二是定a 、b ． 例6 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两轴之和为20，焦距为45 ； (2)长轴长是短轴长的3倍，且过点(0，3)； (3)与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦距，且离心率为55． 分析：涉及到椭圆标准方程问题必须先考虑焦点位置，然后用待定系数法．解：(1)由题意：a ＋b ＝10， a 2－b 2=20，解方程组2210,20,a b a b +=⎧⎨-=⎩得：a ＝6，b ＝4．若焦点在x 轴上，则椭圆方程为：2213616x y +=； 若焦点在y 轴上，则椭圆方程为：2213616y x +=． 故椭圆方程为：2213616x y +=或2213616y x +=． (2)由题意得：a ＝3b ，若焦点在x 轴上，则设椭圆方程为： 222219x y b b+= ，∵ 椭圆过点(0，3)，∴ b 2=9，即：椭圆方程为：221819x y +=．若焦点在y 轴上，则设椭圆方程为： 222219y x b b+=，∵ 椭圆过点(0，3)，∴ b 2=1，即：椭圆方程为：2219y x +=．故椭圆的标准方程为：221819x y +=或2219y x +=． (3)由题意得：c ＝5．又e =c a =55 ，∴ a ＝5，∴ b 2= a 2－c 2=20，若焦点在x 轴上，则椭圆方程为：2212520x y +=，若焦点在y 轴上，则设椭圆方程为：2212520y x +=，故椭圆的标准方程为：2212520x y +=或2212520y x +=．(3)直线与椭圆的位置关系直线与椭圆位置关系的讨论类似于直线与圆的位置关系的讨论，但由于圆的几何特性，它既可以利用代数法(即联立方程，利用判别式)，也可以利用几何法(即圆心到直线的距离与半径的关系)来处理．直线与椭圆位置关系常联立两曲线方程，消元转化为关于x 或y 的方程，利用判别式结合韦达定理来解决．中点弦问题可用点差法来处理．例7 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x +y =1相交于A 、B 两点，且AB =22，连结AB 的中点与原点的直线的斜率为22，求此椭圆方程． 分析：焦点所在坐标轴无法确定时，设椭圆方程为：ax 2+by 2=1(a ，b ＞0)．解：设椭圆方程为：ax 2+by 2=1(a ，b ＞0)，A (x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，AB 的中点P (x 0，y 0)由221,1x y ax by +=⎧⎨+=⎩得：(a +b )x 2－2bx +b －1=0∵ 直线与椭圆交于A 、B 两点，∴ △=4(a +b －ab )＞0且121221,b b x x x x a b a b-+==++12|x x -==∴ a +b －ab =(a +b )2又12000,12x x b a x y x a b a b+===-=++，且AB 中点与原点连结的斜率为22故2a b =，即b =2a解方程组2(),a b ab a b b ⎧+-=+⎪⎨=⎪⎩得：1,33a b ==检验知：1,33a b ==故椭圆方程为：22133x +=点评：涉及到弦长、弦的中点问题时，常设出弦的端点坐标． 例8 已知椭圆13422=+y x ，直线m x y l +=4:，若椭圆上存在两个不同的点关于该直线对称，求m 的取值范围．分析：若存在21,P P 关于直线l 成轴对称，则直线l 是线段21P P 的垂直平分线．要根据这几个条件，寻求它们与所求之间的联系，设计自己的解题方案，然后再实施解题方案． 解：法一 假设存在),(),,(222111y x P y x P 关于直线m x y +=4对称l P P ⊥21 ，4121-=∴P P k ，b x y l P P +-=41:21设可，代入13422=+y x 化简得：0481681322=-+-b bx x 4130)1239(6422<⇒>-=∴b b ∆设21P P 的中点为M ，则131241,134221bb x y b x x x M M M =+-==+= 将M 坐标代入直线m x y +=4得：m b 413-=1313213132134413)413(2222<<-⇒<⇒<=⇒m m m b 法二 假设存在),(),,(222111y x P y x P 关于直线m x y +=4对称，它们的中点为),(00y x M则：)2(1243)1(124322222121--=+--=+y x y xm y m x m x y x y y x x x y y k 3,4,34143)2()1(000000002121-=-=⇒+==⇒-=-=--=-又得：)(413:)3,(21m x m y l m m M P P +-=+⇒--∴，代入椭圆方程得：048169261322=-++m mx x ，令13402<>∆m 得： 1313213132<<-⇒m 法三 ……，(,3)M m m --在椭圆内 131321313213)3(4)(22<<-⇒<-+-⇒m m m 点评：法一先利用0>∆求出b 的范围，再找到m b 与的关系，从而求出m 的取值范围． 法二法三点差法是通过设弦的端点坐标代入曲线方程，然后将两式作差得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率间的关系，在处理中点弦时较为简便，但在求弦中点轨迹时无法确定取值范围，需按几何意义确定． 4． 自我检测(1)若动点P 到点F 1(－3，0)、F 2(3，0)的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是___________． (2)若动点P 到点F 1(0，－2)、F 2(0，2)的距离之和为12，则动点P 的轨迹方程是____________．(3)已知方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ________． (4)若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，则该椭圆的离心率为_________．(5)已知椭圆2214x y m+=的离心率为12，则m 的值为_________________． 三、课后巩固练习A 组1．有下列命题：①平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆；②平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数(大于F 1 F 2)的点的轨迹是椭圆；③方程222221x y c a c +=-(a ＞c ＞0)表示焦点在x 轴上的椭圆；④方程22221y x a b +=(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的椭圆．其中真命题的序号为_________________．2．椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 ．3．椭圆9x 2+4y 2=1的焦点坐标为 ，焦距为 ．4．已知椭圆的两个焦点为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，并且点M (0，2)在该椭圆上，则其方程为 ______ ．510=，化简的结果是_______________．6．设F 1、F 2为椭圆16x 2+25y 2=400的焦点，P 为椭圆与y 轴的一个交点，则P 到F 1、F 2的距离和为 ．7．已知F 1、F 2是椭圆221916x y +=的两个焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为__________．8．若椭圆经过两点(2，0)、(0，1)，则椭圆的标准方程为 ．9．两个焦点的距离为8，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于是10，则椭圆的标准方程为 ．10．∆ABC 的两个顶点坐标A (－4，0)、B (4，0)，∆ABC 的周长是18，顶点C 的轨迹方程为 ．11．将圆x 2+y 2=4上任意一点P 的纵坐标不变，横坐标变为原来的23得到点Q ，则动点Q 的轨迹方程是_______________．12．已知圆x 2+y 2=4，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP’，则线段PP’的中点M 的轨迹方程是_______________．13．若椭圆有两个焦点F 1 (－4，0)、F 2 (4，0)，过F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点．当∆ABF 2的周长为20时椭圆方程为_________ __．14．椭圆6x 2+y 2=6的长轴的端点坐标是_______________．15．椭圆22231x y +=的长轴长为 ，短轴长为 ．16．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则长轴长是短轴的__________倍．17．与椭圆x 2+ky 2=2(0＜k ＜1)， k 越接近 ，椭圆越扁，k 越接近 ，椭圆越接近圆．18．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为_________________． 19．椭圆的一个焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为___________．20．设21,F F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，以1F 为圆心、且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若直线M F 2与圆1F 相切，则该椭圆的离心率为___________．21．椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是_____________．22．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是_______________．23．椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离是5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是_______________．24．已知F 1、F 2为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B的周长为16，椭圆离心率e =_______________．25．经过椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．26．求出符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a =6，b =1焦点在x 轴上； (2)a +c =10， a －c =4；(3)焦距为4，过P (3，－26)，焦点在x 轴上．27．已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且F 1 F 2是PF 1和PF 2的等差中项．试求椭圆的标准方程．28．求以椭圆9x 2+5y 2=45的焦点为焦点，且经过点M 的椭圆的标准方程．29．已知椭圆过点M (4、N 3)，求椭圆的标准方程． 30．∆ABC 中，已知顶点B (－2，0)、C (2，0)，顶点A 满足：sin B +sin C =A sin 23． (1)求∆ABC 的周长； (2)求点A 的轨迹方程．31．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点为(±2，0)，过M (0，2)； (2)过点(0，－22)，(5，0)． 32．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为8，离心率为0．8；(2)焦点与长轴较近端点距离为510-，焦点与短轴两端点的连线互相垂直． 33．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA ＝32，求椭圆方程． B 组34．椭圆ax 2+by 2+ab =0 (a <b <0)的焦点坐标为_______________．35．方程22173x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为 ．36．已知)2,0(πα∈，方程22sin cos 1x y αα+=，表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为_______________．37．椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值等于_______________．38．已知椭圆2215x y m +=的离心率e =m 的值为_______________．39．若椭圆2kx 2+ky 2=1的一个焦点是(0，－4)，则k 的值为______________．40．过点F 1(0，2)且与圆x 2+(y +2)2=36内切的动圆圆心的轨迹方程为___________．41．我国发射的“神舟”五号载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为m 千米，远地点距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为_______________．42．设椭圆22143x y +=的长轴两端点为M 、N ，异于M 、N 的点P 在椭圆上，则PM 、PN 的斜率之积为_______________． 43．已知椭圆2214x y +=的左右顶点分别为M 、,N P 为椭圆上任意一点，且直线PM 的斜率的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则直线PN 的斜率的取值范围是 ．44．∆ABC 中，A 、B 坐标分别为(－6，0)、(6，0)，边AC 、BC 所在直线斜率之积为49-，求顶点C 的轨迹方程．45．若焦点是(0，25±)的椭圆截直线3x －y －2=0所得的弦的中点的横坐标为21，则该椭圆方程为_______________．46．直线y =2x +m 与椭圆22194x y +=有两个公共点，则实数m 的取值范围是______________． 47．过椭圆x 2+2y 2=4的左焦点F 且倾斜角为3π的直线l 被椭圆截得的弦长为________． 48．直线y =x +1被椭圆x 2+2y 2=4截得的弦的中点坐标为____________．49．椭圆x 2+2y 2=1中斜率为2的平行弦的中点轨迹方程为_________________．50．过点P (1，1)作椭圆22142x y +=的弦AB ，则弦AB 的中点的轨迹方程为_____________． 51．椭圆的两个焦点F 1、F 2在x 轴上，以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点为(3，4)，求椭圆标准方程．52．点P 是椭圆221259x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于8．求点P 的坐标．53．已知x 轴上的一定点A (1，0)，Q 为椭圆2214x y +=上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程．54．已知定圆C 1：x 2+y 2+4x =0，圆C 2 ： x 2+y 2－4x －60=0，动圆M 和定圆C 1外切和圆C 2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．55．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P ，F 1、F 2为椭圆的焦点，若12F PF θ∠=，求12F PF ∆的面积．56．过点P (1，1)作椭圆22142x y +=的弦，并使P 为弦的中点，求这弦所在直线方程，并求弦长．57．过椭圆2219x y +=的左焦点1F 作直线l 和椭圆相交于A 、B 两点，若弦长恰好等于短轴长，求直线l 的方程．C 组58．已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率． (1)求椭圆2C 的方程；(2)设O 为坐标原点，点A 、B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程．59．如图，已知椭圆C：2221(2x y a a +=>的左右焦点分别为F 1、F 2，点B 为椭圆与y 轴的正半轴的交点，点P 在第一象限内且在椭圆上，且PF 2与x 轴垂直，1O 5.F P P ⋅= (1)求椭圆C 的方程；(2)设点B 关于直线:y x m =-+的对称点E （异于点B ）在椭圆C 上，求m 的值。

椭圆的几何性质1课题第 1 课时计划上课日期：教学目标知识与技能1．掌握椭圆的基本几何性质：X围、对称性、顶点、长轴、短轴．2．感受如何运用方程研究曲线的几何性质过程与方法情感态度与价值观教学重难点椭圆的几何性质——X围、对称性、顶点教学流程\内容\板书关键点拨加工润色一、问题情境1．情境：复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中a，b，c的关系．2．问题：在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？二、学生活动（1）探究椭圆的几何性质．阅读课本第34页至第35页例1上方，回答下列问题：问题1 椭圆的X围是指椭圆的标准方程22221(0)x ya ba b+=>>中x，y的X围，可以用哪些方法推导？问题2借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性，能否借助标准方程用代数方法推导？问题3椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？三、建构数学1．X围．由方程22221x ya b+=可知，椭圆上点的坐标都适合不等式222211x ya b=-≤，即22x a ≤，所以 x a ≤，同理可得y b ≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内．2．对称性：从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称． 从方程22221x y a b+=上看： （1）把x 换成x -方程不变，说明当点(,)P x y 在椭圆上时，点P 关于y 轴的对称点(,)P x y '-也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y 轴对称；（2）把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于y 轴对称；（3）把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称． 综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．3．顶点：在方程22221x y a b+=中，令0x =，得y b =±，说明点1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点．（1）顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点；（2）长轴、短轴：线段12A A 、线段12B B 分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ；（3）a ，b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长．四、数学运用1．例题：例1 求椭圆221259x y +=的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．例2 求符合下列条件的椭圆标准方程（焦点在x 轴上）：（1）焦点与长轴较接近的端点的距离为105-，焦点与短轴两端点的连线互相垂直．。

高二年级数学预学教学案
怎样判断其焦点的位置？。

，则点P到另一个焦点的距离。

高二年级数学预学教学案
椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点，若已知椭圆的标准方
三、例题讲解
类型一：求椭圆的几何性质
．已知椭圆的方程为369422=+y x ，
，离心率为
高二年级数学预学教学案
是椭圆的一点，当点M移动到何位
为椭圆上的动点，求PF长的最大值和最小值，。

椭圆的几何性质苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-1【教学内容解析】1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型，其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用.3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用.4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点.【教学目标设置】1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质；能解释椭圆标准方程中,,a b c的几何意义；2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型；3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵.4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】（1）学生已有的认知基础本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.（3）教学难点与突破策略基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是：1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁；2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化；突破难点的相应策略如下：1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验；2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立ba与椭圆圆扁程度的对应关系，再利用ba与ca的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示，丰富学生的直观感悟与经历；3.发动学生通过问题串进行交流、汇报，展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】1.精心设置问题系列自然驱动从明确解析几何的基本任务入手，精心设置问题串，引导学生操作、观察、比较、猜想、推理，解构教材，学习知识，形成能力，发展认识.2.充分开展学生活动自主探究站在学生的角度，从学生已有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自我领悟的空间，让学生在动手操作、观察比较、类比辨析、交流合作中理解知识，掌握研究方法.3.适时提炼思想方法自觉升华在利用方程探究几何性质的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用.【教学过程分析】引言：美国数学教育家莫里斯·克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法，即通过坐标系，把几何问题代数化.而建立曲线方程，便是代数化的手段之一.前面两节课，利用椭圆的定义（是什么？），我们画出了椭圆的形状，推导出了椭圆的标准方程（是什么？）.【学生活动】回忆、思考、口答.【设计意图】通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识；通过对解析几何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容.一、情境引入，明确方向问题1除了利用定义，你能根据椭圆方程2212516x y+=画出它的简图吗？【学生活动】学生在坐标纸上尝试画出椭圆，展台展示学生的作品，引导学生欣赏，点评，交流.【设计意图】中学数学教育的首要任务是培养数学直观.通过画图辨图，与学生已有的椭圆印象对比，让学生发现问题，进而关注椭圆的一些重要特性，从而明确研究椭圆几何性质的主要内容；通过“为什么”的追问，自然引导学生从方程本身的角度去考虑，从而明确研究的主要方法. 二、问题驱动 合作探究问题2 一般地，以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例，你准备研究它的哪些性质？如何研究？【学生活动】学生自主探究，感知“几何性质”研究的方向和方法，得出结论，说明理由.探究1：我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢？ 方法提炼：通过观察方程形式特点，由方程构造不等式，体现了研究几何问题的“代数”方法，其实质是：已知22221(0)x y a b a b+=>>，求y x ,的取值范围.探究2：椭圆具有怎样的对称性？能否用代数法说明？ 方法提炼： 图形对称的本质是点的对称：对于曲线上任意一点(,) (,)y P x y P x y '−−−→-轴也在曲线上⇒图形关于y 轴对称. 探究3：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得该椭圆上会有哪些关键点？方法提炼：分析四点的特性，形成顶点的概念.顶点是曲线与对称轴的交点，而不是曲线与坐标轴的交点.类比迁移二次函数图像的顶点.二次函数2(2)1y x =--【设计意图】自主思考，相互交流，探究结论.教师适当点拨引导，深化认识.范围和对称性的探究，经历了由直观（图形）、推理（数量）、抽象（性质）的思维过程；顶点概念的建立，则是先直观、后类比、再建模，体现了研究问题的方法论思想.例1：椭圆221259x y+=的长轴长为_______，短轴长为_________，顶点坐标是__________，_________.【学生活动】准确计算，熟练回答.【设计意图】由方程得性质，体现了本节课重要知识点和研究方法的基本应用，以及练习的反馈和诊断功能.探究4请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆221 259x y+=.【学生活动】列表描点，结合性质，精画椭圆.【设计意图】再画椭圆，让学生体验利用性质画图的必要性和有效性，另一方面也是离心率概念形成的自然过渡.问题3 观察所画椭圆2212516x y+=和221259x y+=，它们在形状上有什么显著不同？问题3.1 这两个椭圆的圆扁不同是由方程中的哪个量的变化引起的？问题3.2 你能说出两个比221259x y+=更“扁”的椭圆吗？问题3.3 是不是方程中的,a b都改变，椭圆的圆扁程度一定发生变化？问题3.4 你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的“圆”和“扁”？问题3.5 利用基本量,,a b c之间的关系，还有其他类似的关系式来刻画吗？借助几何画板演示一系列动态变化的椭圆，提供直观支持.【学生活动】直观观察，小组讨论，合作交流，形成结论：离心率的定义、范围、大小对圆扁程度的影响.经历了形状变化（观察）、原因剖析（推理）、数学刻画（对应）、建立模型（抽象）的思维活动过程.并在探究过程中阐明以下事实：（Ⅰ）可行性：用比值ca和ba都可以刻画椭圆“圆扁”程度；离心率形同的椭圆均相似.（Ⅱ）一致性：c a =； （Ⅲ）选择性：与椭圆定义相对应；后面研究圆锥曲线统一定义的背景. 【设计意图】明确开放的问题，使学生体会到引入离心率的目的；由b a 到ca符合学生的认知特点；教师利用几何画板动态演示，使学生对离心率刻画椭圆的圆扁程度的理解更为形象直观.整个探究过程体现了实物直观、数学抽象、建立模型、形成概念的核心素养. 三、引导建构 完善认知问题4 请你写出焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，并完成下列表格.【学生活动】类比研究椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的方向、方法，自主归纳出了焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，并体会到椭圆图形本身的性质与坐标系的选择无关.【设计意图】通过填表，一方面让学生有条理地梳理、巩固刚学过得椭圆的几何性质，将离散的知识系统化，便于对比理解；另一方面，通过类比已有知识和方法，归纳得出焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，发展了学生的思维能力. 四、典例剖析，深化理解例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； （2）长轴长为4，离心率为2；【学生活动】学生口答（1），教师板演，强调书写的逻辑性和规范性；学生板演（2），加深对椭圆几何性质的应用和理解.【设计意图】由性质求方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系，“形”与“数”的关系．五、总结提升 形成体系结合所学知识和知识的探究过程谈谈本节课你有什么收获？ （1）知识：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率； （2（3）思想：数形结合、特殊到一般、类比归纳等. （4）经验：研究圆锥曲线性质的一般方法经验. 六、目标检测 及时反馈1. 椭圆22132y x +=的范围是_______________，顶点坐标为______________， 离心率为___________.2. 已知椭圆的长轴长为，焦距为，则该椭圆的标准方程为___________.3. 椭圆2212x y +=与22143x y +=哪一个更“扁”一些？ 4. 试判断曲线2222=+-y xy x 的对称性.课后作业：1．阅读课本，完整体验利用椭圆方程研究几何性质的思想方法； 2．必做题：课本P37 习题2.2（2）1,2,4,5,8；3．选做题：已知)0(12222>>=+b a by a x ，求22y x +的最大值，并解释该结论的几何意义.。

椭圆的标准方程1
教学目标：
1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．
2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
一．探索新知：
1 平面内到两个定点F1、F2的等于常数〔大于〕的点的轨迹叫做椭圆。

叫做椭圆的焦点，两焦点间的叫做椭圆的焦距。

2求曲线方程的根本步骤：
3．椭圆的标准：
二．定义运用：
练习1以下说法中不正确的选项是________．
①F1－4,0，F24,0，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；
②F1－4,0，F24,0，到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；
③到F1－4,0，F24,0两点的距离之和等于点M5,3到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；
④到F1－4,0，F24,0距离相等的点的轨迹是椭圆．
练习2．以下方程中哪些是椭圆的标准方程？假设是，指出焦点在哪个坐标轴上
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕
练习3 求适合以下条件的椭圆的标准方程
〔1〕a=4，b=3，焦点在轴上〔2〕焦点为F10，-1，F2021，且b=1〔3〕c=，b=1，焦点在轴上〔4〕焦点为F13，0，F2-3，0，且过点〔0,2〕例1、一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为，外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3米，求这个椭圆的标准方程
例2、将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线
三、稳固练习
1、假设方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围
2、将椭圆上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。

椭圆 椭圆的简单几何性质◆ 知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．◆ 过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P 48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii ）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ac e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ． （iii ）例题讲解与引申、扩展例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为5e =求m 的值．解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===253m =⇒=． 例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y a b+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．例6如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数c e a =()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-． ◆ 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习：第52页1、2、3、4、5、6、7作业：第53页4、5。