中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解

《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题]1、设函数，则f(x)=（）A、x(x+1)B、x(x-1)C、(x+1)(x-2)D、(x-1)(x+2)【正确答案】B【答案解析】本题考察函数解析式求解.，故[单选题]2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）.A、[1，3]B、[-1，5]C、[-1，3]D、[1，5]【正确答案】A【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题]3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）.A、[0，2]B、[0，16]C、[-16，16]D、[-2，2]【正确答案】D【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足：[单选题]4、函数的定义域为（）.A、[-1,1]B、[-1,3]C、(-1,1)D、(-1,3)【正确答案】B【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即[单选题]写出函数的定义域及函数值（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）.[单选题]6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】本题考察三角函数公式。

.[单选题]7、设则=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】令则，故[单选题]8、则（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]9、在R上，下列函数中为有界函数的是（）.xA、eB、1＋sin xC、ln x【正确答案】B【答案解析】由函数图像不难看出在R上e x,lnx,tanx都是无界的，只有1+sinx可能有界，由于|sinx|≤1,|1+sinx|≤1+|sinx|≤2所以有界.[单选题]10、不等式的解集为（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]11、（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据二角和公式，[单选题]12、函数的反函数是（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】由所以，故.[单选题]13、已知则（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】[单选题]14、已知为等差数列，，则（）.A、-2B、1C、3D、7【正确答案】A因为同理可得：故d=a4－a3=－2.[单选题]15、计算（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据偶次根式函数的意义，可知，故[单选题]16、计算（）.A、0B、1C、2D、4【正确答案】C【答案解析】原式=[单选题]将函数|表示为分段函数时，=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】由条件[单选题]18、函数f(x)=是（）.A、奇函数B、偶函数C、有界函数D、周期函数【正确答案】C【答案解析】易知不是周期函数，,即不等于，也不等于，故为非奇、非偶函数.，故为有界函数.[单选题]19、函数,则的定义域为（）.A、[1,5]C、(1,5]D、[1,5)【正确答案】A【答案解析】由反正切函数的定义域知：，故定义域为[1,5].[单选题]20、下列等式成立的是()A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】A中(e x)2=，C中，D中[单选题]21、下列函数为偶函数的是()A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)【正确答案】A【答案解析】sinx是奇函数，cosx是偶函数。

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容（1.1、1.2）函数邻域(){}δδ<-=axxaU,（即(){},U a x a x aδδδ=-<<+）(){}0,0U a x x aδδ=<-<（(){}0,,0U a x a x a xδδδ=-<<+≠）函数两个要素：对应法则f以及函数的定义域D由此，两函数相等⇔两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合DX⊂，若存在正数M，使对所有Xx∈，恒有()Mxf<，称函数()xf在X上有界，或()xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）Xx∈，使得()Mxf>局部单调性区间DI⊂，对区间上任意两点21xx，当21xx<时，恒有：()()21xfxf<，称函数在区间I上是单调增加函数；反之，若()()21xfxf>，则称函数在区间I上是单调减小函数；奇偶性设函数()xf的定义域D关于原点对称；若Dx∈∀，恒有()()xfxf=-，则称()xf是偶函数；若Dx∈∀，恒有()()xfxf-=-，则称()x f是奇函数；周期性若存在非零常数T，使得对Dx∈∀，有()DTx∈±，且()()x fTxf=+，则称()x f是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① alog□,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥④ arcsin（[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ； （2）31121121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，xx g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数； 思路：注意自变量的不同范围；解：216sin )6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

高数第一章-Microsoft-Word- 文档1.解:⑴相等.因为两函数的定义域相同，都是实数集R;由X2x知两函数的对应法则也相同；所以两函数相(2)相等.因为两函数的定义域相同，都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同，所以两函数相等.(3)不相等.因为函数f(x)的定义域是{XX R,X 1},而函数g(x) 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同，所以两函数不相等.2.解:(1)要使函数有意义，必须4x0x 0所以函数的定义域是((2)要使函数有意义x 3 0lg(1 x) 0x 4 即x 0 ,0) U(0,4]■必须即所以函数的定义域是［-3,0) U (0,1).(3)要使函数有意义x2 1 0 即x1所以函数的定义域是((4)要使函数有意义1 x 0,1)U( 1,1)U(1,必须1 s i n x1 2si nx 1即 2n5 n7 n 2k n x 2k n2k n x2k n6或66必须 ,(k 为整数).所以函数的定义域是［i k n,6kn, k 为整数.3.解:由已知显然有函数的定义域为(-s ,+x),i. i又当x 0时,X 可以是不为零的任意实数,此时,sinx 可以取遍［-1,1］上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].为反函数.1 Xx1__y8.解:(1)由y 「解得 1 y,1 x 1 x所以函数y「的反函数为yc(x 1).(2)由 y ln(x 2) 1得 x e y 12,所以函数y ln(x 2) 1的反函数为y e x12(x R).也即nk n x n k n 6 6(k 为整数). 4.解:1 f(0) -1 01 0f( x)1 ( x) 1 ( x)1,1 x 1 0 5.解: f(x 1)(x 1) 1, 0x 126.解: f (g(x))2g(x) ?xl nx1丄 X x 1Flg(f(x))f(f(x)) g(g(x))g(x)ln g(x) xlnxln(xln x).7.证:由y2x 31解得x故函数f(x) 2x 3g(x)G 1是同一个函数,所以f(x) 1的反函数是x 1 2(x R),这与2x 31和g(x)1 x'1, 0 x 1 x, 1 x 3f(x)ln f(x) 2x ln2x (xln 2) 2x, 2f(x) ?2xy 1y1 (3)由y 32x5解得x 2(log3y 5)2x 2x 2x 2x 2xe sin( x) e e sin x (e e 函数y e 2xe 2xsinx 是奇函数.10.解：⑴函数的定义域为(-8，+ 8 ),当x 0X 0X x 1时，有1X 2，当X 0时，有1X22x 2,1X故X (,),有y2 .即函数yC 有上界.X 又因为函数yr 为奇函数，所以函数的图形关 于原点对称，由对称性及函数有上界知，函数必有X下界，因而函数yr 有界.X ,X 2(x-i x 2)(1 X 1X 2)又由 “ y 21 X 121 X ；时,y1 y2,而 当 X 1 X 2且 X 1X 21 时，y 1 y2X故函数yc 在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+8), Q M 0, x 10 且 x-i M ; x 2 eM0 ^使 ln x 2M1贰5的反函数为y 严3%5) (xy 1 cos 3x 得 cosx 寻 y 1 又 x所以屈数y(4少x arccos ~1又由 1即0 y 2 以,函数 y 1 cos 3x,x [0, n 的3in (0 x 2)■解：(1)Q f( x) J ( x) X1 ( x) f(x) 是偶函数. y arccos 9. 0) [0, n,故cosx 1得 0 1 cos 3x 2,,故可得反函数的定义域为反函数为[0,2],所.1 x . 1 x f(x)⑵Q f( x) e2xsin x) f (x) (1 x2)(1 xf)知,当 X1x且 X 1X21^取 x 0max{x 1, x 2}贝x 0ln x 0x 1ln x22M M所以函数y xlnx 在定义域内是无界的. 一又当0捲X 2时寸~有捲X 20,ln 捲In X 20 ^故 y iy 2(x-ilnxj (x 2 ln x 2) (x 1 x 2) (ln 人 l nx 2) 0 即当Ox 」时恒有 单调递增.1 1解：(1)y (1X 2)4是由 yuju 1si n 2(1 2x)是由 y u 2,u si nv,v 1 1(1 10 x 5)2是由 y u 2,u 1 v,v11 arcsin2 x^是由y u 1,u1 v,X-|x 2y 1 y 2所以函数y x lnx 在(0,呐11. (2) y (3) y(4) y成.x 2复合而成.1 2x 复合而成.10W ,w x 5复合而成.arcsin w, w 2x合12证：(1)设 F(x) f (x) f( 有 F( x) f( x) f(x) F(x) 故f(x) f( X)为偶函数.(2)设 G(x) f(x) f( x),贝 y x 有 G( x) f( x) f( x) [ f (x)故f (x) f( x)为奇函数. 13.解:设年销售批数为x,则准备费为103x;106106X),则(, f( x)]) JG(x)又每批有产品x 件，库存数为2x件,库存费为 泄0.05 — 2x 兀. 1060.05x ---------2x设总费用为，则y 10 14.解：当x 能被20整除，即[20]20时,邮资xx0.80当x 不能被20整除时，即杓 x刃时，由题意知 x邮资y % 1 0.80x 25,综上所述有 其中 20 20整数.15.证:(1)由得y sinh x 2000且X X20 20 2000且X X2020 X X20,120的最大f X 2 ye 1 0分别表示不超过0 xxxe eh 得 e 2xx1 0.80, 0 x 20解方程e 2x2ye x因为e x 0,所以 所ln( y .. 1y 2) sinh xy arcs inhx ln(x y tanh x ⑵由'1 y又由1y得1y 1所以函数ye 2x).y1y ,得2xlnj1 y16.解:S o tanhx的反函数为1 , 1 xIn 2 1 x1 -h(2hcot2y arcta n hx】h(AD BC) 2x 1). BC BC) h(BC hcot ) 从而BCS c hhcotAB BC h2 sin CD (ABhBC 2—— sinCD)hcoth由 h 0，BCShhcotS ° 2 cosS ° h h sin h 2 cos40° , -hsin 40得定义域为(0,Atan40)17.解：⑴X n百,当n时,X n1(2) x n n cos当n 无限增大时，有三种变化趋势：趋向于 趋向于0,趋向于•n2n 1()X n()277，当 n 无限增大时,变化趁势有两 种分别趋于1,-1.18.解：⑴animx ",,要使X n 0品马nn1 N — 只须.取 ，则当n N时,必有人.当 0.001 时,N1 0.001 1000或大于1000的整数.(2) a lim x n nJJ要 X n 0 J n 2 v n i2 2 1J n 2 V n 2麻 V n只要乔 1一即 1飞即可.丄［则当nN0.0001时,19.证:(1),要使，则当n>N 时，恒有3n 13(2),要使5,则当n>N 时恒有 希丄1(3) 0,要使2n 12 2(2 n 1) 4n,只要n1lim 2.故nn55；,只要 3n 1 3 2n 12「 3n 1 3 lim.故n2n 1 22 2aa_n(、n 2a 2n) n?,只要10或大于108的整数.a2n__取-2 2 lim —— 1 n n ，则当n>N时，恒有(4)因为对于所有的正整数n,有6 7个80.99L 9 1 筝7个80.999L 9，从而1,故0,不防设1,要使ln110n 6 7个8 0.99L 9 1N ln10 '则当n N时恒有20.证：Q n imX n 0,由极限的定义知，时恒有而ln ,只要n 1M0,取6 7个8,故]im0.99L9 1,X n a0, N 0,当n N 时，丿由极限的定义知n im x但这个结论的逆不成立.如X n 存在. (1)n,limnX n 1但n im X n不21.解:k(1)Q0 (n 1) nn k (11(1 ) 1n而n im0 0,当k 1 时,n imlim[(n 1)k n k] 0n⑵记 a max{a1, a2,L , a m}则有n n n n n nn a a2L a m m aaa；n .a2 Lnam1m n alim a a,n1lim m nna a,lim na；nn . na2 L a mlim na ： a ； L a1(3)Q (3n )n(1max{a「a 2，L ,a m}12n3nf 1(3 3nf3 (12nlim 3n3, lim(1n2n1 n 13导 3—n 1lim3 — 3n13n )731lim1 0, lim(1 -) 1 n nn lim」1丄1n, n■2,不妨设X k2,则.2、、r~2 2■ 故对所有正整数n 有X n2,即数列X 有上界. 又 Xn 1 X n、2X n X n ,人（.2 X .）显然有只0,又由召2得戈2 ,从而紀& 0即X n 1 X n 即数列x.是单调递增的• 由极限的单调有界准则知，数列X "有极限. 设nimx a,则a 云,于是 去）l nim X n222.证:(1) Q为 X k 1a 22a 2,a 0（不合题意，舍（2）因为 所以 x n 1 11 0 且 n11 X n 0 X n2,即数列有界 4 X X n 1 X n 1-1 X n0,1 X n 1 0知 Xn 1 X n与 XnX 11人11 Xm (1 X n )(1 X n 1)同号，Xn Xn 1从而可推得X n1 X n与X2治同号，1,X2 1 X i 1?,X2 x i 0 2 2而故X n 1 X n 0 即X n 1 X.所以数列｛X"｝单调递增，由单调有界准则知，｛X"｝的极限存在•设n imx n a解得舍去）. aa，_ _1 5 1 5丁,& 丁（不合题意，所以23.证:lim n (1) 0,要使sin只须sinx故⑵只须1 、521，则当x X时，必有0x■0,要使13X2 413 |x|2，则当x X时，必有3K J|i 3x 2 13lim 2 3 故x x 4.(3) o,要使,要使lim 故x1 4x 2.1xsi nx.1 xsin — x1llm xsin 0 x 0xx 2 3肌 x 23只要取 ，则故ximx 242(4)x 2 4时，必有 x 2 4(4)1 4x 2----- 2 2x 1|2x 1| 2 1x —2只须1x一2，取, 则114x 2时，必有 2x(5),要使 只要取，则 时，必有xsi n1x(1)lim飞 3x 3x 1 lim x 21x 324. 解:mx 22123X Xd i(4)limx3x xx 43x 2li mxlim 1 xx 3 ~2 x0.X 1(5)Qxim厂limx1x 1匚 x2 1 lim 2 X xx lim 1丄 xx由无穷大与无穷小的关系知， 1 2n⑹ lim (n 1)(n 2)(n 3)n5n 3him 5n〕lim 5n 1 1 n1 1n lim 1li mxx 21 2x 1⑺因为匚 x 2 11ax(1 a)x 2 (a b)x的次数相同解得1,b25解:(1)li mnn(1lim nb) 12知，分式的分子与分母1项的系数之比为2 (a b) 11 2ax亠4讪冲n2n2n 2,于是1 lim 1 n2⑵ lim 1n11lim n2.2X (3)lim1—x1 X2X ⑷叽丁-X 4 X116X 85X 42x (X 1)2X 1lim(x 2)(X 4)X 4 (X 1)(X 4)01 lim(X1) 0.3 (5) lim X2X..X 2limX 4X 14 x3_____ lim2 . X3 2 X2.23 .'1 23X , Xx2(6)lim ——------X 01 ；1 x2V X逅⑺ lim5X 5 .X -5lim X2(1 1 x2)X 0lim(1 、1 X2) 2.X 0> x23X3 5 ?X"3 5X3 25 X . 5lim _ _ _ _ —X 5、x .5. 5 3 x2(X 5)、、x J535x 3 25(8)陀4(9)[im(1limX(1limXlimX 5(X 5) 3 x2 35X3 25.X .5 2、一 5叽3 x2 3 5X3 25 33 25 1 cot3X 1 cot3Xcotxx)(1X)(1n 11 X2 1 Xcot3Xx2)L (123^5 .lim 3X n(1 cot X) (1 cot X)2(1 cot X)(1 cot X cot X)lim 2—X n(1 cot X)(1 1 cot X cot X)limX n 24X )21 cotx cot X 32cot X cot X 4(x 1)x)(1 X2)L (1(10)lim (1 "(1^L (1 n x)(1 x)n1(1 x)n1limx 1(1 x)n 1(17x)(1 VxVx^)(1仮仮2Vx^)L (1 Vx阪2L xn 1)1依 Vx 2lim ——x 1(1 .x)(1?x3x 2)(1 1 _____ L n 3 1 x 32 3 41 (11)lim 1 -— x 11 x1n!d)L (1 n x n£ L ：歼)lim 』x 1 (1 x)(1 x(12)Qlim 1(2"1^1 x 1x x 11)(x 2)lim x 1 (1 x)(1 x ..(x 2) 2 - lim x 2) x 1 1 xl x m 1( x 1)2lim( x 2x 1) lim x 1 (1 2X 2 x 2x)(1 x x 2) x 21.2x x 1 lim 2 x 1(x 1)2l0g a (1 x)(13)Q - log a (1 x1x)‘1X)'e .log a e1 ln alimlog a(1 x)x 0x(14)令u -X1ln a 1,则log a (1 u),当 x时，ux 所以 题的结果）.x..a 1 limlimu 0lOg a (1u) limlog a(1 u)u 0ln a(利用(13)(15)lim(1 x 02x)sinx3 ln(1 lim esinxx 0 2x)6xln(1lim e2xsinxx2x)xlim 6 ln(1 e * 0 sinx6 1e12x)2xx6 lim limln(1x 0sinx x 012x)2xlnesin x(16)令uV ,26.解:li mx 02x 3 x 2xlimln 所以x 02lim BA 0 x 0 2 x・••当x0时，X2 X3是比2x X2高阶的无穷小量.27.解:小. 小.1 X(1)Q2X 1 1 X・••当limX111 X1时X是与1X2同阶的无穷所以⑵Q壮・••当X 1时，X2)Xlim -X 11i(1X是与2\X)等价的无穷28.解：(1)因为当X 0 时，sinmx~ mx,sinnx〜nx,sin mx mx mlim lim .⑵ ^xcotx lim」X0sinxCOSX limX (COSX0sin Xlimcos x 以1...sinxlimx 0x(3)l i m0L^s2Xx 0xsinx(4)因为当2si n2xlim x 0xsinx2lim sinXx 02.X 0时，ln(1x 2 x 2 'e sin x) ~ e sin x, ,1X21〜Jx2ln(1 e X s in2x)lim ------x 0 1 xx・2,・ e sin xlimx 0lim 2e x limx 0 x 02sin x 2.(5)因为当0时，x 0 xarctan3 x ~ 3x, 以lim 3XX(6) lim 2n sin n limnxsin飞2n xlimn2n(7)因为当arcsin(1 2x) ~ 1 2x 以4x 1 lim x 1 arcsi n(1 2x) lim.x 4x 11 1 2x 2lim(2x 1)(2x 1)x122xli叫2 x 1) 2.x2sin —— 2(8)因为当(9)因为当 (10)时，arctanx 2 2 . X X~ x ,sin 〜 ,arcsin x 〜x, ^所以arcta nx 2lim x 0xsin arcs in x 2li m x 2x 0xx 20 时，sintanx sinx limx 0. 3 sin x —x,sin ------ x 2 2moH x,1 cosx 〜丄x 2,sin23x所以sin x(1 cosx). 3sin x 1 lim x 02cosx为cosx12.当xlimx 03x cosx厂x，所以lns2m oz<2 lim ——x 0(11)因为当xsi n x 2 2_2x xx2 22x 2). arcsinx~ x山仆 x) ~ V 1°x 21 x2x ，所__ x_lim — x 0ln(1 x)arcsl n (12)因为当x 0时，1 cos4xlim x 02sin x xtan x*2sin x ~ x,sin 2x ~ 2x, ^所以2sin 22x2 2二xsec2(2x)lim x 0x (2 xsec x) lim x 0 sin 2x(2x)lim 8 — x 02 xsec xlim(2 xsec x)x 0(13)因^为 ln cosax ln[1 (cosax 1)],ln cosbx ln[1 (cosbx1)],而当x 0时， cos ax 1 0,cos bx 1 故 ，又当xf 0进，1cos ax ~ !a 2x 2,1 2 cosbx ~ 1b 222 x,所以In cosax cosaxlim lim x 0In cosbx x 0 cosbx 11 cosax lim x 01 cosbxlim xsin 2x(14)因为当x时，2c x 0, 2x e 12 2 a x2-b 22x 2 故 所以ln 1 sin 2x sin 2x ,ln2x-2xe2x 2x ， elim 冒/% x 0 ln(x 2 e 2) 2xlim^ x 0In(x 2x—2x、e )X\e )lnlne2x ln lim一xlnmoI Ke- X e叫z <. 2sin x x叫IK .2sin x xe2 x2xe1.29.解:(1)limx limx limxe 2e.(2)limx2xlimx2x10limx10limxlimxe 10 1510e .2、cot 2 x3tan x)(1 13ta n 2x)3ta『xlim(1 x 013tan 2x)3^ln[1 (cos ax 1)] ~ cosax 1,ln[1 (cosbx 1)] ~ cosbx 1,(4)Iim(cos2x)32In cos2x lim e xx 03In cos 2 x 21 (cos2x 1)lim e x 0 '1cos 2x 1 3(cos2 x 1) 2lim e x x 0 In1 cos 2x 1 1 (cos2x 1) (5) lim x[ln(2xx) 1XImotcos2x 1 ...3lim 2 lim Inx 0 x 2x e x 1cos 2 x 1 1 (cos2 x 1) 3li m x 1e2Sin 2 xIn lim 竺x 0lim 1 (cos2 x x "1) 1cos2 x 1 2In e12Inx] Iim 2x2Iim InxI LI n lim 2lnxI n Ii mximo^-1 ILmm。

大学第四版高等数学教材答案【前言】在大学学习的过程中，高等数学是一门非常重要的课程。

为了更好地帮助同学们进行学习，提供一个参考，下面是大学第四版高等数学教材的答案。

【第一章微分学】1.1 导数与微分练习题答案：1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x的导数。

答：f'(x) = 6x - 2.2. 计算函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1在x = 2处的导数。

答：f'(2) = 6.1.2 函数的凹凸性和拐点练习题答案：1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的凹凸性和拐点。

答：f''(x) = 6x - 6，令f''(x) = 0，解得x = 1。

当x小于1时，f''(x)小于0，函数凹；当x大于1时，f''(x)大于0，函数凸。

所以在x = 1处有拐点。

2. 设函数f(x) = x^4 - 8x^2 + 12x，求其在[-2, 4]上的最大值和最小值。

答：首先求f'(x) = 4x^3 - 16x + 12，求解得到导数的零点x = -2, 1, 2。

然后求解f''(x) = 12x^2 - 16，代入得到f''(-2) = 20, f''(1) = -4, f''(2) = 20。

通过计算得知，在x = -2处为极小值，x = 1处为极大值。

所以最小值为f(-2) = 20，最大值为f(1) = 5。

【第二章积分学】2.1 不定积分练习题答案：1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的不定积分。

答：∫(3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C，其中C为常数。

2. 计算不定积分∫(4x^3 - 6x^2 + 2x + 5)dx。

答：∫(4x^3 - 6x^2 + 2x + 5)dx = x^4 - 2x^3 + x^2 + 5x + C，其中C为常数。

高等数学课后习题及参考答案（第一章）习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解 由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解 由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y . 解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1||e 1|| )]([101)(x e x x e e xfg x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin h DC AB ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-= 40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nn x 21=; 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn . (4)11+-=n n x n ; 解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ;分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析 因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0, ∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim2230++-→; 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x . (8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00.(2)xx x 3tan lim 0→;解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x .(3)xx x 5sin 2sin lim 0→;解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x .(5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→;解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xx x nn n n nn =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 1)1(lim -→; 解 11)(1)1()(101})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解 2221221010])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数).解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim .3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明 仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε 同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.证明 仅对x →x 0的情形加以证明. 因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0,所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ;证明 因为n n 11111+<+<,而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n ,由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn .(2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ;证明 因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2222222)1 211(n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n .(3)数列2,22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221, 而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明 当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)1]1[lim 0=+→xx x .证明 因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-xx x .又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim limlim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ. 习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解 只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x , 0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解 函数⎩⎨⎧∉∈-=QQx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim 0-+→;(5)145lim 1---→x x x x ;(6)a x a x a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点4π=x 有定义, 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点6π=x 有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim 1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x .。

习题1.11. 求下列函数的定义域. （1） 234y x x=- （2）2ln3x y x-=-（3） y = （4）1arcsin3x y -=解：（1）只要分母不为零即可，即0x ≠且4x ≠.定义域为(,0)(0,4)(4,)-∞+∞ （2）只要203x x->-即可，故定义域为(2,3)（3）只要240x -≥即可，故定义域为(,2][2,)-∞-+∞ （4）只要30x ->并且1113x --≤≤即可，易解得定义域为[2,3)-2. 下列各对函数是否相同？为什么？ （1）(),()1x f x g x x==；（2）()()f x g x ==.解：（1）不同，因为定义域不同，()f x 的定义域为{|0,}x x x ≠∈ ，而()g x 的定义域为全体实数.（2）相同，因为定义域相同，均为全体实数，对应法则也相同. 3. 求下列函数的反函数，并指出其定义域.（1）(0)y x =≥ （2）31xy =-解：（1）由y =222y x =+，故222x y =-，由于0x ≥，所以x =原函数的反函数为y =x ≥（2）由31x y =-可得13xy +=，所以3l o g (1)x y =+，故原函数的反函数为3log (1)y x =+，定义域为1x >-4. 判断下列函数的奇偶性（1）sin ()cos x x f x x x -=（2）())f x x =（3）1()ln 1x f x x-=+ （4）()2xxa af x -+=解：（1）由于sin()sin sin ()()cos()cos cos x x x x x x f x f x x x x xx x----+--====---，所以()f x 为偶函数.（注：其中用到了sin()sin ,cos()cos x x x x -=--=）（2）())))f x x x x -====-()f x =-，所以()f x 为奇函数.（3）11()lnln()11x x f x f x xx+--==-=--+，所以()f x 为奇函数.（4）()()2xxaa f x f x -+-==，所以()f x 为偶函数.5.下列函数在指定区间内是否有界？ （1）21,(,1],(1,0)y x=-∞-- （2）2,(1,2),(2,)1y x =+∞-解：（1）在(,1]-∞-上，2101x<≤，故有界；而在(1,0)-上，函数无上界，故无界.（2）在(1,2)上，函数无上界，故无界；而在(2,)+∞上，2021x <<-，故有界.6. 将下列复合函数进行分解（1）3sin (32)y x =+ （2）ln ln ln y x = （3）y =（4）2tan xy e=解：（1）3,sin ,32y u u t t x ===+ （2）ln ,ln ,ln y u u t t x === （3）y u x ==+（4）2,,tan uy e u t t x ===7. 已知2(1)3f x x x +=-，求(),(1)f x f x -解：令1x t +=，则1x t =-， 22(1)()(1)3(1)54f x f t t t t t +==---=-+，由于函数与变量符号的选择无关，故2()54f x x x =-+22(1)(1)5(1)4710f x x x x x -=---+=-+8. 设1,||1,()0,||1,()1,||1xx f x x g x e x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求[()],[()]f g x g f x解：当0x <时，0()1x g x e <=<，故[()]1f g x =，当0x =时，()1g x =，故[()]0f g x =，当0x >时，()1x g x e =>，故 [()]1f g x =-.当||1x <时，()1f x =，故[()]g f x e =，当||1x =时，()0f x =，故[()]1g f x =， 当||1x >时，()1f x =-，故1[()]g f x e=.综上，1,0,[()]0,0,1,0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩1,||1,[()]1,||1,,||1ee x gf x x x <⎧⎪==⎨⎪>⎩9. 两个单调增加的函数的复合函数是否一定单调增加？它们的乘积又如何？ 答：两个单调增加的函数的复合函数一定单调增加.但是乘积不一定设()y f u =与()u g x =能够复合，并且都是单调增的函数，即对任意的12x x <，都有12()()g x g x <；对任意的12u u <，都有12()()f u f u <.特别对11()u g x =，22()u g x =，显然有12u u <，故12(())(())f g x f g x <，即证复合函数仍为单调增.下面看乘积，例如()()f x g x x ==，显然在(,)-∞+∞都是单调增的，但是2()()f x g x x = 在(,)-∞+∞并不是单调增的，而()()x f x g x e ==，显然在(,)-∞+∞都是单调增的，2()()xf xg x e= 仍在(,)-∞+∞上单调增.10. 设()f x 是周期为π的奇函数，当(0,]2x π∈时，()sin cos 2f x x x =-+；当(,]2x ππ∈ 时，求()f x 的表达式.解：由于()f x 是周期为π的函数，所以()(0)f f π=，又()f x 是奇函数，可知(0)0f =. 当(,0)2x π∈-时，(0,)2x π-∈，由()f x 是奇函数可得()()(sin()cos()2)sin cos 2f x f x x x x x =--=----+=+-当(,)2x ππ∈时，(,0)2x ππ-∈-，由s i n ()s i n ,c o s ()c o s x x x x ππ-=--=-以及()f x周期为π，可知()()sin()cos()2sin cos 2f x f x x x x x πππ=-=-+--=--- 综上可得sin cos 2,(,)()20,x x x f x x πππ⎧---∈⎪=⎨⎪=⎩11. 设1()2y f t x x=-，且21|52x ty t ==-+，求()f x解：由题即知211|(1)522x ty f t t ==-=-+，故2(1)210f t t t -=-+.令1t x -=，则1t x =+，22(1)()(1)2(1)109f t f x x x x -==+-++=+.所以2()9f x x =+12. 设(sin)1cos 2x f x =+，求(cos)2x f 解：利用二倍角公式22cos 12sin 2cos 122x x x =-=-.2(sin)1cos 22sin22x x f x =+=-，令sin2x t =，则2()22f t t =-.从而2(cos )22cos1cos 22x x f x =-=-.习题1.21. 从图象上观察并写出下列极限（1）0lim 2,lim 2,lim 2,lim 2x x x xx x x x →→∞→-∞→+∞（2）13lim ln ,lim ln ,lim ln ,lim ln x x x x x x x x +→→+∞→→（3）02lim cos ,lim cos ,lim cos ,lim cos x x x x x x x x π→→+∞→-∞→（4）1lim arctan ,lim arctan ,lim arctan ,lim arctan x x x x x x x x →→+∞→-∞→∞解：图略.（1）0lim 21xx →=，lim 2xx →∞不存在，lim 20xx →-∞=，lim 2xx →+∞=+∞（也是不存在）（2）1lim ln 0x x →=，0lim ln x x +→=-∞（不存在），lim ln x x →+∞=+∞（不存在），3lim ln ln 3x x →=（3）0lim cos 1x x →=，lim cos x x →+∞不存在，lim cos x x →-∞不存在，2lim cos 0x x π→=（4）1lim arctan 4x x π→=，lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-，lim arctan x x →∞不存在.2. 设函数21,0,()0,0,1,0x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩求当0x →时，函数的左、右极限，并说明当0x →时函数的极限是否存在.解：左极限0lim ()lim (1)1x x f x x --→→=-=，右极限200lim ()lim (1)1x x f x x ++→→=-=-，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x →时函数的极限不存在. 3. 求函数||()x f x x=当0x →时的左、右极限，并说明当0x →时函数的极限是否存在.解：左极限0||lim ()limlim 1x x x x x f x x x---→→→-===-，右极限0||lim ()lim lim 1x x x x x f x xx+++→→→===，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x →时函数的极限不存在. 4. 设函数1,1,()0,1,1,1x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩求013lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→解：当0x →时，只关心离0很近的那些点，所以可以认为1x <，故0lim ()lim (1)1x x f x x →→=+=当1x →时，11lim ()lim (1)2x x f x x --→→=+=，11lim ()lim (1)0x x f x x ++→→=-=，左右极限都存在但是不相等，所以1lim ()x f x →不存在.当3x →时，只关心离3很近的那些点，所以可以认为1x >，故33lim ()lim (1)2x x f x x →→=-=.5. 设2||lim arctan 3||2x ax x x bx x π→∞+=--①，求,a b 的值.解：（1）当x →+∞时，可以认为0x >，故||x x =，故=-++∞→xbx x ax x 32lim 3232lim-+=-++∞→b a xbx x ax x ，从而2.32arctan 32limπ-+=-++∞→b a x xbx x ax x ， 所以由①式，可知22.32ππ-=-+b a ，即213a b +=--； ② （2）当x →-∞时，可以认为0x <，故||x x =-，故3232lim+-=+--∞→b a xbx x ax x ，从而⎪⎭⎫⎝⎛-+-=+--∞→2.32arctan 32limπb a x xbx x ax x ， 所以由①式，可知213a b -=+.综上，可得方程组2323a b a b +=-⎧⎨-=+⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩.（注：lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-）6. 设2||()43||x x f x x x +=-.求：（1）lim ()x f x →+∞；（2）lim ()x f x →-∞；（3）0lim ()x f x +→；（4）0lim ()x f x -→；（5）0lim ()x f x →.解：由于23,0,2||43()2143||,0.437x xx x x x xf x x xx x x x x +⎧=>⎪+⎪-==⎨--⎪=<⎪+⎩故易得（1）lim ()3x f x →+∞= （2）1lim ()7x f x →-∞=（3）0lim ()3x f x +→= （4）01lim ()7x f x -→=（5）0lim ()x f x →不存在（左右极限都存在但是不相等）.习题1.31. 下列函数在自变量怎样的变化过程中为无穷小量？在怎样的变化过程中为无穷大量？ （1）242x y x -=-； （2）311y x =+； （3）21xy =-； （4）1x y e =解：（1）2422x y x x -==+-在2x =处无定义.由22lim lim (2)0x x y x →-→-=+=，可知此函数在2x →-时为无穷小量；由lim lim (2)x x y x →∞→∞=+=∞，可知此函数在x →∞时为无穷大量.（2）311y x =+在1x =-处无定义.由31lim lim01x x y x →∞→∞==+，可知此函数在x →∞时为无穷小量；由3111lim lim1x x y x →-→-==∞+，可知此函数在1x →-时为无穷大量.（3）由0lim lim (21)0xx x y →→=-=，可知此函数在0x →时为无穷小量；由lim lim (21)xx x y →+∞→+∞=-=+∞，可知此函数在x →+∞时为无穷大量.（4）1x y e =在0x =处无定义.由1lim lim 0x x x y e --→→==，可知此函数在0x -→时为无穷小量；由1lim lim x x x y e ++→→==+∞，可知此函数在0x +→时为无穷大量. 2. 两个无穷小量的商是否为无穷小量？请举例说明.答：不一定，比如说当0x →时，2x 与2(2)x 都是无穷小量，221lim0(2)4x xx →=≠，故不是无穷小量，又2x 与x 都是无穷小量，2lim lim 0x x xx x→→==，是无穷小量.3. 求下列极限. （1）sin limx x x→∞； （2）2arctan limx x x→∞； （3）3113lim ()11x x x →---； （4）2211lim23x x x x →-+-（5）322lim ()2121x xxx x →∞-+-； （6）321lim34x x x x →∞--+； （7）342lim1x x x x →∞+-+；（8）33221lim423x x x x →∞++-； （9）11lim()1nx x n x +→-∈-Z ； （10）0()lim()nnx a x an x+→+-∈Z解：（1）由于|sin |1x ≤，可知sin x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，10x→，为无穷小量，有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，故sin 1lim lim (sin )0x x x x xx→∞→∞== （2）由于|arctan |2x π<，可知arctan x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，210x→，为无穷小量，故22arctan 1limlim (arctan )0x x x x xx→∞→∞==（3）2332111131323lim ()lim ()lim ()111113x x x x x x x x x x x →→→++-+-====---++ （通分，消元）（4）22111121limlim23342x x x x x x x →→-+===+-+（5）3232222(21)(21)lim ()lim2121(21)(21)x x xxx x x x x x x x →∞→∞--+-=+-+-3232lim4221x x xx x x →∞--=-+-23111lim1114422x xxxx→∞--==--+-（6）322211limlim1134134x x x x xx x xx →∞→∞--==∞-+-+（7）3344411122limlim 0111x x x x xxxx x→∞→∞+-+-==++（8）33323122121limlim1142342423x x x xx x x x→∞→∞++===+-+-（注：5，6，7，8类型相同，当x →∞时，多项式的商的极限主要看分子分母的次数，分子次数大于分母次数，则极限为∞；分子次数小于分母次数，则极限为0；分子次数等于分母次数，极限为最高次项系数的商.做法见上） （9）12121111(1)(1)limlimlim (1)11nn n n n x x x x x xxxxn x x ----→→→--+++==+++=--（10） 12220()lim limn n n n nn nn x x a nax C ax x aa x axx--→→++++-+-=12221lim (())n n n n n x naC ax x na----→=++=4. 设21lim31x x ax b x→++=-，求,a b 的值.解：由于1lim (1)0x x →-=，故21lim()0x x ax b →++=，从而2x ax b ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x ax b x x c ++=-+，则1,a cbc =-=-.由极限211limlim ()1x x x ax b x c x→→++=-+-13c =--=可知4c =-.故5,4a b =-=5. 设322()2ax bx cx df x x x +++=+-，满足：（1）lim ()1x f x →∞=；（2）1lim ()0x f x →=，求,a b ，,c d 的值.解：由lim ()1x f x →∞=可知分子次数等于分母次数，且此时极限为b ，故有0,1a b ==.由1lim ()0x f x →=，可知21lim ()0x x cx d →++=，从而2x cx d ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x cx d x x e ++=-+，则1,c e d e =-=-.由极限2211limlim22x x x cx d x e x x x →→+++=+-+1012e +==+可知1e =-.故2,1c d =-=.6. 设()g x 在0x =的某邻域内有界，且(),0,()0,0.xg x x f x x ≠⎧=⎨=⎩求0lim ()x f x →.解：()g x 在0x =的某邻域内有界，而当0x →时x 为无穷小量，从而可知0lim ()0x f x →=.7. 设1lim ()x f x →存在，且21()23lim ()x f x x x f x →=+，求().f x解：由题可知，只需求出1lim ()x f x →即可，在21()23lim ()x f x x x f x →=+两边同时求当1x →时的极限.21111lim ()lim (23lim ())23lim ()x x x x f x x x f x f x →→→→=+=+，易解得1lim ()1x f x →=-，从而2()23f x x x =-.习题1.41. 利用数列极限存在的准则Ⅰ，求下列极限. （1）222111lim ()(1)()n nn n n →∞+++++ （2）1lim n n n →∞（3）22212lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ （4）limn →∞解：（1）设222111(1)()n a nn n n =+++++ ，显然有2222222211111111()()()()n n n a n n n n n n n n nnnn++=+++<<+++=++++ ，而2211limlim0()n n n n n n n→∞→∞++==+，由两边夹原理可知222111lim ()0(1)()n nn n n →∞+++=++ .（2）当1n >时，11nn >，令11n n n a -=，则显然0n a >.且由二项式公式有2(1)(1)12nnn n n n n n n a na a a -=+=++++ ，故2(1)2n n n n a ->，从而0n a <<而lim0n →∞=，不等式左边常数也是0，由两边夹原理可知lim 0n n a →∞=，从而1lim 1n n n →∞=.（3）设222122n n a n n n n πππ=++++++ ，显然有22222222(1)1212(1)2()2()n n n n n n n a n n n n n n n n n n n n ππππππππ++=+++<<+++=++++++++ 而22(1)(1)1limlim2()2()2n n n n n n n n n ππ→∞→∞++==++，由两边夹原理可知222121lim ()22n nn n n n πππ→∞+++=+++ .（4<<limlim3n n →∞→∞==，由两边夹原理可知lim 3n →∞=.2. 利用数列极限存在的准则Ⅱ，求下列数列的极限 （1； （2）1103,n x x +<<=（3）111,(),(,0)2n n nb x a x x a b x +==+>.解：（1）显然数列为单调增的，设12a=<，22a=<=，依次得32a=<=，归纳可得2na<.即数列有上界，由单调有界原理可知此数列有极限，不妨设为a.对1na+=a=2a=或者1a=-（显然不可能）.故数列极限为2.（2）（i）当132x=时，232x==，依次可得32nx=，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为32.（ii）当132x≠时，利用几何算术平均值不等式可知1123322x xx+-=<=，依次可得32nx<<（1n>）.而11nnxx+=>=（1n>），故此数列除了1x以外，均为单调增加的，且有界.由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为a.对1nx+=a=32a=或者0a=（显然不可能）.故数列极限为32.综合（i）（ii）可知数列极限为32.（3）（i）当1x a==2111()2bx xx=+=nx=（ii）当1x≠时，利用几何算术平均值不等式可知2111()2bx xx=+>=，依次可得nx>1n>）.而11()02n n nnbx x xx+-=-<（1n>），故此数列除了1x以外，由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为A.对11()2n nnbx xx+=+两端同时取极限，可得1()2bA AA=+，解得A=或者A=..综合（i）（ii）可知数列极限为3. 若lim n n x a →∞=，证明：lim ||||n n x a →∞=.证明：由lim n n x a →∞=，可知对0ε∀>，都0N ∃>，当n N >时，就有||n x a ε-<.从而当n N >时，||||||n n x a x a ε-≤-<，由定义可知lim ||||n n x a →∞=.（注：此结论对函数极限也同样成立，即“若lim ()x f x A →∙=，则lim |()|||x f x A →∙=”.反过来不对.但是有“若lim |()|0x f x →∙=，则lim ()0x f x →∙=”，对数列也成立.）4. 对于数列{}n x ，若212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==，证明：lim n n x a →∞=.证明：第一种证法，用几何意义来说（不严格）.由212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==可知，对0ε∀>，数列21{}k x -中落在区间(,)a a εε-+外的只有有限多项，数列2{}k x 中落在区间(,)a a εε-+外的也只有有限多项.而对于数列{}n x 来说，其中的项不在数列21{}k x -之中就在数列2{}k x 之中，从而落在区间(,)a a εε-+外的也只有有限多项.由几何意义即知lim n n x a →∞=.第二种证法：用极限定义.由21lim k k x a -→∞=，可知对0ε∀>，都10K ∃>，当1k K >时，就有21||k x a ε--<.由2lim k k x a →∞=，可知对上述的0ε>，都20K ∃>，当2k K >时，就有2||k x a ε-<.令12m ax{,}K K K =，2N K =，则当n N >时，有||n x a ε-<.由定义可知lim n n x a →∞=.习题1.51. 求下列各极限. （1）0sin 5limx x x → （2）0sin lim(0)sin x ax b bx→≠ （3）3tan sin limx x xx→- （4）1lim sinx x x→∞（5）lim (1)m xx k x →∞-（6）22lim ()1xx x x →∞++ (7) cot 0lim (13tan )xx x →- (8) 111lim (32)xx x -→-（9）2sin 0lim (1)x x x →+ （10）lim tan n x n n→∞（11）11lim (sin cos)x x xx→∞+ （12）2sec 2lim (1cos )xx x π→-解：（1）0sin 5sin 5limlim (5)55x x x x xx→→==（2）0sin sin limlim ()sin sin x x ax ax bx ax a bxax bx bx b→→== （3）23200022sintan sin sin 1cos sin 112lim lim ()lim ()cos cos 24()2x x x xx x x x x x x x x x x x →→→--=== （4）1sin 1lim sinlim11x x x x xx→∞→∞== （当x →∞时，10t x =→） （5）令x t k=-，则m x m kt =-，且当x →∞时，t →∞，所以11lim (1)lim (1)lim[(1)]m xm kt t m k m kx t t k ex t t---→∞→∞→∞-=+=+= （6）2221lim ()lim (1)11x xx x x x x →∞→∞+=+++，令1t x =+，则1x t =-，且当x →∞时，t →∞，所以22(1)2222111lim ()lim (1)lim[(1)](1)1xt t x t t x e x t t t--→∞→∞→∞+=+=++=+（7）令3tan t x =-，则3cot x t=-，且当0x →时，0t →.所以31cot 3300lim (13tan )lim (1)lim[(1)]xtt x t t x t t e---→→→-=+=+=（8）111111lim (32)lim[13(1)]x x x x x x --→→-=+-，令3(1)t x =-，则当1x →时，0t →，所以1313311lim (32)lim (1)lim[(1)]xtt x t t x t t e----→→→-=+=+=（9）2122sin sin 0lim (1)lim[(1)]xx x x x x x x e →→+=+=（10）因为0tan sin 1limlim1cos x x x x xxx→→== ，由数列极限与函数极限的关系可知1tan1limlim tan 11n n n n n n→∞→∞==，从而当0x ≠时，tan lim tan limn n x x n n x x x n n→∞→∞==当0x =时，lim tan 0n x n n →∞=.综合可知lim tan n xn x n →∞=.（11）1111lim (sin cos )lim [1(sin cos 1)]x xx x x x x x →∞→∞+=++-11(sincos1)111sin cos 111lim [1(sin cos 1)]x x x x xx x x +-+-→∞⎧⎫⎪⎪=++-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，令11sincos1t xx=+-，则当x →∞时，0t →，又1111lim (sincos1)lim sinlim (cos1)x x x x x x xxxx→∞→∞→∞+-=+-2111sin cos12()2limlim1lim1111x x x x x x xxx→∞→∞→∞--=+=+=，故11lim (sincos)xx e xx→∞+=.（12）令cos t x =-，则22sec x t=-，且当2x π→时，0t →，所以212sec 222lim (1cos )lim (1)lim[(1)]xtt t t x x t t e π---→→→-=+=+=.2. 求下列各极限. （1）0limx x→ （2）lim x →+∞（3）0limx →（4）0lim(,0)x m n →> （5）01lim []x x x +→ （6）limx →+∞（7）lim (ln(1)ln )x x x x →+∞+- （8）0lim x +→解：（1）000limlimlim1x x x x→→→===（2）lim limlim0x x x →+∞→+∞→+∞===（3）0sin 41)limlimlimx x x x x→→→==s i n 4l i m11)84x x x→=+= （4）22limlim2x x n n mm→→===（分子分母同时有理化）（5）讨论0x +→时函数的极限时，我们只关心那些离0很近的正数，不妨设01x <<，有11x >，故1111[]x x x-<≤，不等式三边同时乘以x ，不改变不等号的方向，故有111(1)[]1x x x x x x -<≤=，而001lim (1)lim (1)1x x x x x++→→-=-=，不等式右边为常数1，由两边夹原理可知01lim []1x x x+→=.（622211ln(cos 2sin )ln(1sin )x x x xxee++==，其中20ln(1sin )ln 2x ≤+≤，2ln(1sin )x +为有界函数，而当x →+∞时，10x→，为无穷小量，故21limln(1sin )0x x x→+∞+=.从而可得0lim1x e →+∞==（7）111lim (ln(1)ln )lim lnlim ln(1)lim ln[(1)]ln 1xx x x x x x x x x x e xxx→+∞→+∞→+∞→+∞++-==+=+==（8）11limlim (coslim [1(cos1)]xx x x x +++→→→==+1l i m {[1(s }x +→=+-，而222sin2sin cos112lim lim lim 22x x x xx +++→→→--===-，故12limx e+-→=.习题1.61. 比较下列无穷小的阶.（1） 当0x →时，323x x +与sin x （2） 当1x →-时，1x +与31x +（3） 当0x →时，3tan x x x +与(1cos )x x +（4） 当0x →1与1-解：（1）由于32322033lim limlim (3)0sin x x x x x x xx x xx→→→++==+=，故323x x +是sin x 的高阶无穷小. （2）由于3211111limlim113x x x xx x →-→-+==+-+，故1x +是31x +的同阶无穷小.（3）由于33tan tan limlimlim0(1cos )(1cos )(1cos )x x x x x xx x xx x x x x x →→→+=+=+++，故3tan x x x +是(1cos )x x +的高阶无穷小.（4）由于21(1lim lim1x x x →→+==1与1-是等价无穷小.2. 证明：当0x →时， （1）x x 21~1+； （2）322(tan )x x o x +=证明：（1）由于01lim 1)lim02x x x →→-==，从而要证x x 21~1+只需计算极限即可.0limlim111)22x x xxx →→==，由定义即知x x 21~1+.（2）由于32lim (2)lim tan 0x x x x x →→+==，从而要证322(tan )x x o x +=只需计算极限即可.32322022limlimlim (2)0tan x x x x x x xx x xx→→→++==+=，由定义即知322(tan )x x o x +=.3. 利用极限的运算法则和无穷小的有关性质求下列极限. （1）21limcos 1xx ex →-- （2）21limsin1x xx x→∞+ （3）0limtan x x→（4）sin 01limln(13)xx ex →-+ （5）21limx x→-（6）0lim1x e →-（7）1limx → （8）213sin coslim(1cos )tan x x x x x x→++ （9）0limx +→（10）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x xx →∞+-+.解：（1）2221limlim21cos 12xx x ex x x→→-==--- （2）222211limsinlimlim111x x x xxxx xx xx x→∞→∞→∞===+++ （x →∞时，10x→，所以11sinxx）（3）0limlimlimlimtan tan tan tan x x x x xxxx→→→→==-（由()x x αα~1+）001111532lim lim236x x x x xx→→-=-=+=（4）sin 01sin 1limlimln(13)33xx x ex x x→→-==+（5）22201()1limlimlim 4x x x kx kx→→→-===（6）0limlim1xx x e →→=-lim1x →==，其中第一步用到了有理化.（7）111limlimlimx x x →→→===（8）222001113sin cos3sin cos cos3sin limlimlimlim(1cos )tan (1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx x→→→→++==+++++1cos33lim2(1cos )2x x x x →=+=+，其中第二项中，01lim cos 0x x x →= （无穷小乘以有界函数仍为无穷小） （9）01limlim 2x x ++→→==（10）3131lim [sin ln(1)sin ln(1)]lim sin ln(1)lim sin ln (1)x x x x x x xxxx→∞→∞→∞+-+=+-+3131lim ln(1)lim ln(1)lim lim 312x x x x x x xxxxxx→∞→∞→∞→∞=+-+=-=-=习题1.71. 讨论函数2,01,()2,1 2.x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩ 在1x =处的连续性.解：由于211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→===，故()f x 在1x =处左连续，又11lim ()lim (2)1(1)x x f x x f ++→→=-==，故()f x 在1x =处右连续，因此()f x 在1x =处连续.2. 求函数23()6x f x x x +=+-的连续区间，并求极限2lim ()x f x →、3lim ()x f x →-、0lim ()x f x →.解：由于()f x 为初等函数，所以()f x 在(,3)-∞-、(3,2)-和(2,)+∞上都连续.2lim ()x f x →=∞，2333311lim ()limlim625x x x x f x x x x →-→-→-+===-+--，031lim ()62x f x →==--3. 讨论下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）21()2f x x x =+- （2）sin xy x=（3）21()cos f x x= （4）112xy =解：（1）由于()f x 为初等函数，故只有两个间断点，1x =和2x =-，而221211limlim 22x x x x x x →→-==∞+-+-，所以这两个都是第二类间断点.（2）由于sin xy x=为初等函数，故只在sin 0x =处间断，从而间断点为x k π=（k ∈Z ）.当0k =时，0lim 1sin x x x →=，故0x =为可去间断点；当0k ≠时，lim sin x k xx π→=∞，故x k π=（0k ≠）为第二类间断点.（3）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而当0x →时()f x 的左右极限都不存在，故0x =为第二类间断点.（4）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而11lim2x x-→=∞（当0x -→时，1x→-∞，120x →），故0x =为第二类间断点 4.已知函数0,(),0,2,0x f x a x x b x <==⎨⎪+>⎪⎩在0x =处连续，求a 与b 的值.解：由于()f x 在0x =处连续，故()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，从而0lim ()lim 2lim ()lim (2)x x x x f x a f x x b b --++→→→→=====+=，即得2a b ==.5. 证明：方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根.证明：令5()31f x x x =--，显然()f x 在[1,2]上连续.又(1)13130f =--=-<，5(2)23213261250f =--=--=> ，由零点定理可知(1,2)ξ∃∈，使得()0f ξ=.即方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根. 6. 证明：方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根.证明：令()3sin f x x x =-，显然()f x 在[,]2ππ上连续.又()3sin302222f ππππ=-=->，()3sin 0f ππππ=-=-<，由零点定理可知(,)2πξπ∃∈，使得()0f ξ=.即方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根.7. 确定,a b 的值，使下式成立.（1）21lim ()01x x ax b x →+∞+--=+（2）lim )0x ax b →-∞-=.解：（1）由221(1)()1lim ()lim011x x x a x a b x bax b x x →+∞→+∞+--++---==++可知分子次数小于分母次数，从而10a -=，0a b +=.故1a =，1b =-. （2）由222lim )limx x ax b →-∞→-∞-=221(1)(12)(1)lim0x a x ab b →-∞--++-==可知21a =（若21a ≠，则极限为∞）且1a ≠（若1a =，则极限不能确定），因此1a =-.并且120ab +=，故12b =.8. 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，且()a f x b ≤≤，证明：必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =.证明：令()()F x f x x =-，显然()F x 在区间[],a b 上连续，()()0F a f a a =-≥，()()0F b f b b =-≤.（i ） 若()0F a =，取c a =即得. （ii ） 若()0F b =，取c b =即得.（iii ）若()F a 与()F b 都不等于0，则有()()0F a F b < ，由零点定理可知(,)c a b ∃∈，使得()0F c =，即()f c c =.综合（i ）（ii ）（iii ）可得必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =.复习题11. 已知2()x f x e =，[()]1f x x ϕ=-，且()0x ϕ≥，求()x ϕ并写出它的定义域.解：2()[()]1x f x e x ϕϕ==-，故2()ln(1)x x ϕ=-，而()0x ϕ≥，所以()x ϕ=，其定义域为(,0]-∞.2. 设函数1,0,()1,0.x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 2,0,()1,0.x x g x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 求[()]f g x ，[()]g f x .解：当0x ≥时，2()0g x x =≥ ，所以[()]1f g x =；当0x <时，()10g x x =->，所以[()]1f g x =.因此[()]1f g x ≡.当0x ≥时，()10f x =≥ ，所以2[()]11g f x ==；当0x <时，()10f x =-<，所以[()]1(1)2g f x =--=.因此1,0,[()]2,0.x g f x x ≥⎧=⎨<⎩.3. （1）设()f x 定义在区间(,)l l -内，判断函数1()[()()]2F x f x f x =+-与1()[()()]2G x f x f x =--的奇偶性；（2）证明：定义在区间(,)l l -内的任何函数()f x 都可以表示为一个偶函数与一个奇函 数之和.解：（1）由11()[()(())][()()]()22F x f x f x f x f x F x -=-+--=-+=可知()F x 为偶函数；由1()[()()]()2G x f x f x G x -=--=-，可知()G x 为奇函数.（2）显然()()()f x F x G x =+，故得证.4. 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，()g x 是()f x 的反函数，求()2xy f =及(21)y f x =+的反函数.解：由()2x y f =可得()2xg y =，故2()x g y =，所以()2xy f =的反函数为2()y g x =；由(21)y f x =+可得21()x g y +=，故()12g y x -=，所以(21)y f x =+的反函数为()12g x y -=.5. 求下列极限.（1）21111lim ()3153541n n →∞++++- ；（2）()()()nx x x n 22111lim +++∞→ ，（||1x <）； （3）2lim coscoscos222nn x x x →∞； （4）limn →∞； （5）142sin lim ()||1xx xe x x e →+++；（6）20lim (cot )sin xx ex x→-； （7）0lim (cosxx π+→； （8）1lim ()xx x x e →+.解：（1）2111111111111(1)31535412335572121n n n ++++=-+-+-++---+11(1)221n =-+，故21111111lim ()lim (1)31535412212n n n n →∞→∞++++=-=-+ . （2）()()()1111lim 22<+++∞→x xx x nn因()()()()()()()[]xxxx x x x x x x n nn--=-+++-=++++111111.1111122222 ，故()()()xxxxx x n nn n -=--=++++∞→∞→1111lim 111lim 1222.（注意到当||1x <时，12lim 0n n x+→∞=）（3）当0x ≠时，nnx x x x 2sin2cos2cos 2cos 2nn nnnx x x x x 2sin22sin2cos 2cos2cos 22=nnx x 2s i n2s i n =故=∞→nnn x x x x 2sin2cos2cos2coslim 2nnn x x 2sin 2sin lim∞→xx x x nnn sin 2.2sin lim==∞→；当0x =时，12sin 2cos2cos2coslim 2=∞→nnn x x x x .综合可知⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∞→.0,1,0,sin 2sin2cos2cos2coslim 2x x xxx x x x nnn （4≤≤，以及limlim1n n →∞→∞==，由两边夹原理可知lim1n →∞=.（5）1141302sin 21sin lim ()lim lim 1||1xxx x x xxxe x e x x xeee+++-→→→-+++=+=++，（1l i m x x e +→=∞）11442sin 2sin lim ()lim lim 211||11x xx x x xxe x e x x xee---→→→+++=+=-=-++（1lim 0x x e -→=）左右极限都存在并且相等，所以142sin lim ()1||1xx xe x x e →++=+.（6）2220cos (cos 1)(1)lim (cot )limlimsin sin xxxx x x ex e x ex x x x→→→-----==2201cos 1122limlimlimlim2xx x x x xx ex xxxx→→→→---=-=-=-.（7）0limlim lim x xxxx x eeπππ+→++→→==，而2112lim ln(coslim lim lim 2x x x x xxxxπππ++++→→→→-====-从而2lim xx e ππ+-→=（8）0111ln()limln()lim ()lim xxx x e x e xxxxx x x e ee→++→→+==，而1ln[1(1)]11limln()limlimlimlim2xxxxx x x x x x e x e x e x e xxxxx→→→→→++-+--+===+=，从而12lim ()x x x x e e →+=.6. （1）如果数列{}n x ，{}n y 都发散，问数列{}n n x y +是否发散？ （2）如果数列{}n x 收敛，{}n y 发散，问数列{}n n x y 是否一定发散？答：（1）不一定，比如{}{}{}n n x n y ==都发散，{}{2}n n x y n +=也发散.又{}{}n x n =与{}{}n y n =-都发散，但是{}{0}n n x y +=为常数列显然收敛.（2）也不一定.比如1{}{}n x n=收敛，{}{}n y n =发散，{}{1}n n x y =为常数列显然收敛；。

第一章多项式一、习题及参考解答1 .用g(x)除了(x),求商g(x)与余式r(x)：1 ) f (x) = x3 - 3x2 - x -1, g(x) = 3x2 - 2x +1;2 ) f(x) = x4 -2x + 5,g(x) = x2 - x + 2。

解1)由带余除法,可得q(x) =L-Z,“x) =-竺x-2 ；2)同理可得g(x) = / +x-l,r(x) = -5x + 7。

2. 〃?,PM适合什么条件时，有1 ) X2 +/?1¥-1 I X3 + px + c/ 92) x2 + nix + 11 x4 + px2 +q。

解1 )由假设,所得余式为0,即(〃 + l + 〃?2)x + (q-〃?) = O,所以当 1 + 。

时有 /+〃a-11 X* + px +g 0q _ in = 0 .2)类似可得= 于是当〃? = 0时，代入(2)可得〃=夕+ 1;q + 1 —〃一" = 0而当2- 〃 -J = 0时，代入(2)可得4 = 1 04 = ] _, 时，皆有 / + + 1 I X，+ px2 + 9。

综上所诉，当p + nr = 23 .求g(x)除f(x)的商q(x)与余式:1 ) /(x) = 2«?-5x3-8x,g(x) = x + 3 ;2) f(x) = x3-x2 - xg(x) = x-l + 2i o解[)q(x) = 2x4 - 6x3 +13x2 - 39A+ 109 ,r(x) = -327 '2)= x2 -2LV-(5+2/)r(x) = -9 + 8/ °4 .把/1(X)表示成x-%的方幕和，即表成c()+ G(X —“0)+。

2(X — X。

)~ + …+ C n(X — X。

)” + …的形式：1)/(x) = x',x()= 1 ；2) /(X)= X4-2X2+3,X0 =-2 ;3) f (x) = x4 + 2汉3 -(1 + i)x2 -3x + 7 + i,x0 =-i o解 1 ) 由综合除法，可得f(x) = l + 5(x-l) + 10(x-l)2 + 10(x-1)3+5(X-1)4 + (x-1)5 ;2 ) 由综合除法，可得X4-2X2+3=11-24(X + 2) + 22* + 2)2 -8(.r + 2)3 + (x + 2)，;3）由综合除法，可得『+2立3_（1 +82_3工+ （7 +，）= (7 + 5i)-5(x + i) + (-l-i)(x + i)2 -2i(x + i)3 + (x + i),。