最新沪教版-初二数学几何证明举例

主题几何证明综合（二）教学内容1．掌握直角三角形判定定理，熟练运用直角三角形的判定定理进行几何证明；2．认识等腰直角三角形，熟练运用等腰直角三角形性质解决综合问题。

（以提问的形式回顾）等腰直角三角形具有哪些性质？请尽可能多的列举。

两个底角相等均为45°；两腰相等；斜边上的中线等于斜边的一半；“三线合一”：顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合；练习：1.如图，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是．（填一个条件）2.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是．3.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是．答案：∠D=∠A或∠E=∠ACB或DE=AC或BD=AB；1；45°第2题图ABCDE第1题图第3题图（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1：我们知道在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，其证明全等的条件是“边边角”，那么符合“边边角”条件的两个三角形，是否可以全等呢？ 为了解决案例1，我们先看看问题1；问题1：△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ,且∠B 与∠E 均为锐角，是否有△ABC ≌△DEF 成立呢？若成立，说明理由；若不成立，请画出反例图形。

问题2：△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ,且∠B 与∠E 均为钝角，是否有△ABC ≌△DEF 成立呢？若成立，说明理由；若不成立，请画出反例图形。

通过以上两个问题，概括出例1的结论。

答案：问题1：不成立；如下图所示问题2：成立；证明如下；分别过点A 、D 作AG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ，DH ⊥FE 交FE 的延长线于点H . ∵∠ABC=∠DEF ∴∠ABG=∠DEH 而∠G=∠H=90°，AB=DE∴△ABG ≌△DEH （AAS ） ∴AG=DH ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ）∴∠C=∠F∴△ABC ≌△DEF （SAS ）例1：当“边边角”中所给的相等角为直角或钝角时，可以证明两三角形全等； 当“边边角”中所给的相等角为锐角时，不可以证明两三角形全等例2：如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，O 为BC 中点，联结OA ； 问题1：如图1，OA=OB=OC 成立吗？请说明理由；问题2：如图2，如果点M 、N 分别在边AB 、AC 上移动，且保持AN=BM ；请判断△OMN 的形状，并说明理DE FH AB C DE FAB CG由；问题3：如图3，若点M，N分别在线段BA、AC的延长线上移动，仍保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并说明理由。

沪教版数学⼋年级上第⼗九章⼏何证明19.2证明举例练习⼀和参考答案数学⼋年级上第⼗九章⼏何证明19.2证明举例（1）⼀、选择题1．如图，AC=AD，CE=ED，则图中全等三⾓形有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对第1题第3题2．⼀个⾓的两边与另⼀个⾓的两边分别平⾏，则这两个⾓的位置关系是（）A．相等 B．互补 C．相等或互补; D．互余3．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列⼀个条件后，仍然⽆法判断△ABE≌△ACD 的是（）A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC4．等腰三⾓形的⼀个⾓是80°，那么另外两个⾓分别是（）A．80°、20° B．50°、50° C．80°、80° D．80°、20°或50°、50°5．下列图形中，两个三⾓形全等的是（）A. 边长为15cm的两个等边三⾓形B.含60°⾓的两个锐⾓三⾓形C. 腰长对应相等的两个等腰三⾓形D. 有⼀个钝⾓对应相等的两个等腰三⾓形6. 在下列命题中，为假命题的是（）A. 两边及其夹⾓对应相等的两个三⾓形全等B. 两⾓及其夹边对应相等的两个三⾓形全等C. 两边及⼀边的对⾓对应相等的两个三⾓形全等D. 三边对应相等的两个三⾓形全等⼆、填空题7. 过⼀点有且直线与已知直线垂直。

8. 等腰三⾓形顶⾓的、底边上的、互相重合。

9. 在⼏何证明过程中，为了化繁为简，常常要利⽤来实现。

10. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠B=38°，则∠ACD= 。

11. 若等腰三⾓形⼀个内⾓为70°，则它⼀腰上的⾼与底边所夹的⾓等于。

12. 如图，BC=AD，只需添加⼀个条件，则△ABC≌△CDA。

第12题第13题第14题第15题13. 如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC，要证CB=CD，需添置辅助线是。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯课题：证明举例（5）教学目标：1、继续学习几何证明过程的分析方法，进一步学习证明角相等、线段相等的常用方法。

2、初步学会添加一条辅助线来进行几何证明。

3、继续引导学生正确、规范地书写证明过程。

4、掌握几何证明的推理步骤和推理过程、以及几何证明中有关演绎推理的思想方法。

5、培养学生一题多解的灵活的解题思路，在自主学习、小组讨论和交流中提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点：重点：通过添加辅助线构造有效的基本图形，证明角度或线段相等。

难点：辅助线怎么添，添在哪里教学过程：一、问题引入：你知道的证明角度相等或线段相等的方法有哪些？其中用得较多的有哪些？二、新课：（一）问题：如图，AB=AC，DB=DC。

求证∠B=∠C，1、前面所回忆的方法在此似乎都用不上，如何解决这样的问题？①添加辅助线的必要性②如何添？添在哪里呢？为什么这样添线？③如果这样添加的话，用的是什么方法证明角度相等？这里投影出整个过程，尤其辅助线的叙述要引导学生说准确。

2、能否换一种思路添加辅助线？如何添？那样添加的话，又是利用什么解决问题？小结：为什么会产生这样不同的添线的方法？不同的方法形成不同的证明思路，C A BCA 学会比较，尽量选择更为直接、简便的方法。

（二）1、例8已知 ：如图 AD 与BC 相交于O ，AB=CD ，AD=BC求证： ∠A = ∠C这里学生比较容易先想到△ABO 和△CDO 全等，通过分析发现AD=BC 这个条件用不上，如何构造全等三角形？①连接BD ②连接AC 两种办法均一起书写论证过程，进行比较，选择更好的解决办法，体会好在哪里？2、例9的引入：已知，如下图，点D 、E 在BC 上，BD=EC ，AD=AE 。

则图中相等的线段还有哪些？对前面学过的例题进行复习例9 已知：如上图，点D 、E 在BC 上， AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=EC学生首先想到的多数还是全等，利用全等可以怎么证明？哪些三角形能证得全等？等腰三角形的性质除了两个底角相等之外，还有什么？三线合一的用法复习：如图AB=AC ，AH ⊥BC能得到什么？证明：∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH （或AH 平分∠BAC ）（等腰三角形三线合一）回到例9，还可以如何证明？如何添加辅助线？证明：过A 作AH ⊥BC ，垂足为H∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH（等腰三角形三线合一）同理DH=EH∴BH-DH=CH-EH（等式性质）即BD=CE比较全等和利用等腰三角形三线合一的证明方法，显然后者证明更为巧妙些。

第十九章 几何证明知识整理一、知识梳理: 1、有关概念:命题、公理、定理(1)命题:判断一件事情得句子叫做命题。

命题得形式:如果…(题设),那么…(结论)。

命题中,结论正确得就是真命题,结论错误得就是假命题。

(2)公理:人们从长期得实践中总结出来得真命题叫做公理。

(3)定理:用推理得方法证明为真命题,且可作为判断其她命题真假得依据得真命题叫做定理。

(4)逆命题与逆定理在两个命题中,如果第一个命题得题设就是第二个命题得结论,而第一个命题得结论又就是第二个命题得题设,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个就叫做它得逆命题。

如果两个定理就是互逆命题,那称它们为互逆定理,其中一个叫做另一个得逆定理。

2、重要定理:★线段得垂直平分线定理:线段垂直平分线上得任意一点到这条线段两个端点得距离相等。

如图: ∵MN 垂直平分线段AB∴PA=PB逆定理:与一条线段两个端点距离相等得点,在这条线段得垂直平分线上。

如图: ∵PA=PB∴点P 在线段AB 得垂直平分线上 ★角平分线定理:在角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。

如图: ∵OP 平分∠AOB PD ⊥OA,PE ⊥OB∴PD=PE逆定理:在一个角得内部(包括顶点)且到角得两边距离相等得点,在这个角得平分线上。

如图: ∵PD=PE PD ⊥OA,PE ⊥OB∴OP 平分∠AOB★直角三角形得全等判定直角三角形得全等:如果两个直角三角形得斜边与一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等。

(H 、L)(注意:必须先证明两个三角形都就是RT ⊿,才能应用本判定定理;以前所学得ASA 、AAS 、SAS 、SSS 这四条判定定理对于直角三角形全等得判定仍然适用。

) ★直角三角形得性质及判定定理1:直角三角形得两个锐角互余。

如图: ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90°定理2:直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半。

(直角、中点→想一半)如图: ∵∠ACB=90°, 且点D 就是AB 得中点∴AB CD 21=推论1:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对得直角边等于斜边得一半。

几何证明题运用全等三角形的知识来证明边的关系和角的关系重难点：几何题中辅助线的添加1.已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。

证明：过点C作CG⊥CA交AF延长线于G∴∠G+∠GAC=90°…………①又∵AE⊥BD∴∠BDA+∠GAC=90°…………②综合①②，∠G=∠BDA在△BDA与△AGC中，∵∠G=∠BDA∠BAD=∠ACG=90°BA=CA∴△BDA≌△AGC∴DA=GC∵D是AC中点，∴DA=CD∴GC=CD由∠1=45°，∠ACG=90°，故∠2=45°=∠1在△GCF与△DCF中，∵GC=CD∠2=45°=∠1CF=CF∴△GCF≌△DCF∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA∴∠ADB=∠FDC2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：AD=DE．证明：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC．∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．连接BD．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又BD是公共边，∴△BAD≌△BED．∴AD=DE．1.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．求证：BG=FG；证明:∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE∴AB=AF．连接AG，∵AG=AG，AB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG．∴BG=FG2.已知：如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE；说明：AD+BC=AB．解：如图，在AB上截取AF=AD，∴AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠FAE，∵AF=AD，AE=AE，∴△DAE≌△FAE，∴∠D=∠AFE，∠DEA=∠FEA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE⊥BE，∴∠BAE+∠ABE=90°，∴∠DAE+∠CBE=90°，∴∠ABE=∠CBE，同理，∠FEB=∠CEB，∵BE=BE，∴△BEF≌△BEC，∴BF=BC，∴AB=AF+FB=AD+BC．1、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。

（3）证明举例（二）【知识要点】知识点1 添辅助线由于证明的需要,可以在原来的图形上添画一些线,即添加辅助线来完成一些几何证明.辅助线通常画成虚线.【学习目标】1.掌握证明的步骤以及理论依据;2.会将复杂的问题转化为较为熟悉的或已掌握的基本图形问题,借助添加辅助线来实现转化.【典型例题】【例1】 如图1,已知ABC ∆为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,使AE BD =,连接CE 、DE .求证：CE DE =. 【分析】在应用全等三角形的性质和判定来证明线段或角相等时,如果图形不全,就需要运用辅助线构造出所需的全等三角形,达到证明的目的. 【解答】 延长CD 到F ,使CF AE =,连接EF .ABC ∆是等边三角形∴,60AB BC B =∠=︒∴AB AE BC CF +=+（等式性质） E 即BE BF = 又60B ∠=︒∴BEF ∆为等边三角形.∴,60BE EF B F =∠=∠=︒,AE BD CF AE == B C D F ∴BD CF = 图1 ∴BD CD CF CD -=- 即BC DF =在EBC ∆和EFD ∆中 EB EF = B F ∠=∠ BC FD =∴EBC ∆≅EFD ∆S.A.S)( ∴CE DE =A【例2】 如图2,已知在ABC ∆中,AD 是中线,BE 交AD 于点F ,AE EF =.求证：AC BF =.【分析】本例通过添加辅助线,把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.【解答】 延长AD 到点G ,使DG AD =,连接BG .在ACD ∆和GBD ∆中AD GD =（已知）ADC GDB ∠=∠（对顶角相等） A CD BD =（已知）∴ACD GBD ∆≅∆(S.A.S) F∴,AC GB DAC G =∠=∠ B（全等三角形的对应边、对应角）相等）.AE EF =（已知）∴DAC AFE ∠=∠（等边对等角） 又AFE BFG ∠=∠（对顶角相等）∴BFG G ∠=∠（等量代换） G ∴BG BF =（等角对等边） 图2 ∴AC BF =（等量代换）【例3】 如图3,已知ABC ∆中,AD 是BAC ∠的角平分线,2B C ∠=∠.求证：AB BD AC +=. 【分析】证明一条线段等于另两条线段之和,常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段,再证明延长部分与另一段相等即可,或者在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下部分等于另一条短线段.【解答】 延长AB 至E ,使AE AC =,连接DE .AC AE = A EAD CAD ∠=∠AD AD =∴ACD AED ∆≅∆(S.A.S)∴C E ∠=∠（全等三角形对应角相等） B D C,2ABD E BDE ABD C ∠=∠+∠∠=∠∴2ABD E ∠=∠ 图3 ∴E BDE ∠=∠∴BD BE =（等角对等边） ∴AC AB BD =+（等量代换）EED C【例4】如图4,在四边形ABCD 中,60,30,,DAB DCB AD AB ∠=∠==试证明线段CD BC AC 、、能构成直角三角形.【分析】 本题的关键是要将CD BC AC 、、三条线段放到一个三角形中,然后才能判断其形状,其中的60°角又是构造等边三角形的必不可少的条件,因此,通过旋转60°,既保证了图形的不变性,又构造了等边三角形.【解答】如图5,由于60,,DAB AD AB ∠==因此可将ABC ∆绕A 点逆时针方向旋转 60°到ADE ∆处,且B 落在D 处, 则ABC ∆≌ADE ∆. 所以 ,EAD CAB ∠=∠,EDA B ∠=∠.DE BC =因为60,DAB ∠= 所以60.EAC ∠=所以EAC ∆为等边三角形. 所以.EC AC AE ==所以EDC ∆为线段CD BC AC 、、构成的三角形. 因为360,DAB B BCD CDA ∠+∠+∠+∠=360,,60,30,90.EDA CDA CDE EDA B DAB DCB CDE ∠+∠+∠=∠=∠∠=∠=∠=所以所以线段CD BC AC 、、能构成直角三角形.图4DCBA【基础训练】1． 如图,等边ABC ∆中,,BD CE = AD 与BE 相交于点P ,那么APE ∠=度.2． 如图,在ABC ∆中,34,B ∠= 104,ACB ∠=AD 平分,BAC AE ∠为BC 边上的高,则.DAE ∠=3． 如图,ABC ∆中,,AB AC =,D E F BC AC AB 、、分别是、、上的点,BF CD BD CE ==且EDF A ∠∠那么等于（用的代数式表示）.4. 如图,已知,,AB AD B D =∠=∠在求证BC DC =的过程中,正确添加辅助线的方法是： 联结 .5.在ABC ∆中,高AD 与高BE 相交于点H ,且,BH AC =那么ABC ∠的度数等于 度数等于 .E图5CBA第1题图CD BA第2题图AE B【能力提高】1. 如图,,,BD CD B C =∠=∠求证：.AC AB =第3题图DCBA第4题图DCBA第1题图CBA2. 证明：两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.(请画出图形,将命题写成“已知”、“求证”的形式后再证明)3. 如图,在ABC ∆中,AB AC =,108A ∠=,BD 平分,ABC ∠求证：.BC AB CD =+4. 在ABC ∆中,90A ∠=,AB AC =,D 为斜边BC 的中点,点E F 、分别在AB AC 、上,且BE AF =.（1） 以D 为对称中心,画出BDE ∆的中心对称图形CDG ∆; （2） 联结FG ,CFG ∆是什么三角形？试说明理由; （3） EF 与FG 相等吗？试说明理由.、第3题图CBA第4题图D CBA5. 如图点O 是等边ABC ∆内一点,110,135,AOB BOC ∠=∠=问（1） 以OA OB OC 、、为边能否构成一个三角形？若能,试求出该三角形各内角的度数;若不能,说明其理由;（2） 如果AOB ∠的大小保持不变,那么当BOC ∠等于多少度时,以OA OB OC 、、为边的三角形是直角三角形？第5题图CBA。

证明举例内容分析几何证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．知识结构模块一：演绎证明知识精讲1、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．0/ 241 / 24【例1】 填空：（1）如图，因为1=60∠︒（已知），2=60∠︒(已知)，所以__________//__________（______________________________）． （2）如图，因为//AB CD （已知），所以A D ∠+∠=__________ (______________________________)， 因为//AD BC （已知），所以A ∠+__________=__________ (______________________________)， 所以∠__________=∠__________ (______________________________)．（图1）（图2）【难度】★【答案】（1）a ，b ，内错角相等，两直线平行；（2）180︒，两直线平行，同旁内角互补；B ∠，两直线平行，同旁内角互补；D ，B ，同角的补角相等．【解析】略【总结】考查有关平行线的性质和判定定理的掌握．例题解析ACDB ab 1 2【例2】 已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是外角∠CAE 的平分线．求证：AD // BC ． 【难度】★ 【答案】略 【解析】证明：AB AC =，B C ∴∠=∠ CAE ∠是的外角， CAE B C ∴∠=∠+∠12B C CAE ∴∠=∠=∠AD 是CAE ∠的角平分线，12DAE CAD CAE ∴∠=∠=∠DAE B ∴∠=∠ //AD BC ∴【总结】考查平行线的性质和判定，先判定平行再应用平行线的性质．【例3】 已知：如图，AD BC ⊥于D ，EF BC ⊥于F ，交EF BC ⊥AB 于G ，交CA 延长线于12E ∠∠，=．求证：AD 平分BAC ∠，填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD 平分BAC ∠，只要证明__________＝__________，而已知12∠∠＝，所以应联想这两个角分别和12∠∠＝的关系，由已知BC 的两条垂线可推出__________//__________，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论． 证明：∵ AD BC EF BC ⊥⊥，（已知）∴__________//__________（______________________________）， ∴__________＝__________（两直线平行，内错角相等）， __________＝__________（两直线平行，同位角相等）， ∵__________（已知），∴__________即AD 平分BAC ∠（______________________________）． 【难度】★★【答案】BAD ∠，CAD ∠，EF ，AD ；EF ，AD ，垂直于同一直线的两直线平行；BAD ∠，1∠，CAD ∠，2∠；12∠=∠，BAD CAD ∠=∠，角平分线的定义．【解析】略【总结】分析过程考查证明题的逆推法思想，证明过程利用相关平行线的性质和判定，先判定再应用相关性质．AF CE DB12 GABCD E3 / 241、命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．2、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．【例4】 判断下列语句是不是命题？ （1） 画AOB 的角平分线； （2） 两条直线相交，有几个交点？ （3） 直角大于锐角； （4） 直角大于钝角； （5） 今天可能要下雨； （6） 几何多有乐趣啊！ 【难度】★【答案】（1）（2）（5）（6）不是命题；（3）（4）是命题【解析】命题是对某一件事情做出判断的句子，由此可知只有（3）（4）是可以判断正误的句子，即命题．【总结】考查命题的定义，能判断一个句子是否是命题．例题解析知识精讲模块二：命题、公理、定理【例5】判断下列命题的真假．（1）平行于同一条直线的两直线平行；（2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）同角的余角相等；（4）异号的两数相加得负数；（5）乘积为1的两个数互为倒数．【难度】★【答案】（1）（2）（3）（5）是真命题；（2）（4）是假命题【解析】判断为正确的命题叫做真命题，判断为错误的命题叫做假命题，正确的是（1）（3）（5），由此可知即为真命题，（2）（4）为假命题，注意（2）需直线在同一平面内方可成立．【总结】考查真假命题的判定，根据常见的公理定理以及定义性质等进行判断，正确的命题即为真命题．【例6】下列描述不属于定义的是（）．A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B．正三角形是特殊的三角形；C．在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形；D．含有未知数的等式叫做方程．【难度】★★【答案】B【解析】能界定某个对象含义的句子叫做定义，ACD都可判定，只有B不能判定正三角形是何种特殊类型的三角形．【总结】考查定义的含义，并能判定一个句子是否是定义．【例7】把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：（1）直角三角形的两个锐角互余；如果____________________，那么______________________________； （2）角平分线上点到角两边的距离相等；如果____________________，那么______________________________； （3）线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等；如果____________________，那么______________________________．【难度】★★【答案】（1）一个三角形是直角三角形，这个三角形两个锐角互余；（2）一条射线是一个角的角平分线，这条射线上的点到角两边的距离相等； （3）一条直线是一条线段的垂直平分线，这条直线上的点到线段两端点的距离相等． 【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【例8】 举出下列假命题的反例： （1）两个角是锐角的三角形是锐角三角形； （2）相等的角是对顶角； （3）一个角的补角大于这个角； （4）若22a b >，则a b >；（5）若已知直线a 、b 、c ，若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥．【难度】★★【答案】答案不唯一，以下是几个例子【解析】（1）任意三角形中至少有两个角为锐角，取三角形两内角分别为30︒，40︒，则第三个内角为110︒，该三角形是钝角三角形；（2）对顶角必有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，两直线平行，此时取一对同位角，可知这对同位角相等，不为对顶角；（3）取一角大小为110︒，则这个角补角180********︒-︒=︒<︒； （4）取1a =-，2b =-，此时22a b <； （5）同一平面内，a b ⊥，b c ⊥，则有//a c ．【总结】假命题的反例，需对命题所涉知识点进行分析，找准题目考查的知识内容，结合知识点的理解，即可进行举例．【例9】下列说法中，正确的是（）．A．命题一定是正确的；B．不正确的判断就不是命题；C．公理都是真命题；D．真命题都是定理．【难度】★★【答案】C【解析】根据命题的定义，命题是对某一件事情做出判断的句子，判断正确的是真命题，判断错误的是假命题，由此可知AB错误，公理是人们从长期实践中总结出来的真命题，可知C正确，真命题且可用来推导其它命题正确与否的命题是定理，可知D错误．【总结】考查命题、公理、定理的定义和相互关系，公理和定理一定是真命题，但真命题不一定是定理或公理．【例10】下列命题是假命题的是（）．A．有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；B．有两角及其中一角的对边上的高对应相等的两个三角形全等；C．有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；D．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等．【难度】★★【答案】C【解析】三角形中，两角确定，第三个角大小也可确定，即三角形形状固定，加上一条边上的高或角平分线可确定三角形，可知AB正确；“倍长中线法”可证明D选项图形唯一确定，对于C选项，三角形形状有锐角三角形和钝角三角形的差别，可作出不止一种图形，可知C错误．【总结】考查全等三角形判定的拓展延伸，只要根据三角形的边角关系对应确定即可．模块三：证明举例6/ 247 / 24【例11】已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点E 在AC 上，CE BC =，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB FC =． 【难度】★ 【答案】略【解析】证明：EF AC CD AB ⊥⊥，9090F FCE A FCE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，A F ∴∠=∠90ACB CEF CE BC ∠=∠=︒=， ABC FCE ∴∆≅∆ AB FC ∴=【总结】垂直较多的图形中，根据同角（或等角）的余角相等易得到相等角，进而可证全等．【例12】如图，已知Rt ABC 中，90ACB CD AB ∠=︒⊥，于D AE ，为A ∠的角平分线，交CD 于E ，过E 作BC 的平行线，交AB 于点F ． 求证：AF AC =． 【难度】★ 【答案】略【解析】证明：90ACB ∠=︒，CD AB ⊥90ACD BCD ∴∠+∠=︒，90B BCD ∠+∠=︒ ACD B ∴∠=∠ //EF BCDFE B ∴∠=∠ ACD DFE ∴∠=∠AE 是A ∠的角平分线，CAE DAE ∴∠=∠ AE AE = CAE FAE ∴∆≅∆ AF AC ∴=【总结】考查等角的余角相等知识点，结合相关平行线的性质证角相等证全等即可．例题解析AC EBFDC ABFDE【例13】已知：如图，AB CD AD BC AE CF ===，，．求证：=E F ∠∠． 【难度】★ 【答案】略【解析】证明：连结AC ，AB CD AD BC AC AC ===，， ABC CDA ∴∆≅∆B D ∴∠=∠AB CD AE CF ==，AB AE CD CF ∴+=+，即BE DF = AD BC = BCE DAF ∴∆≅∆E F ∴∠=∠【总结】考查全等三角形的判定条件，在合适的知识体系条件下进行应用，不能应用平行四边形知识证明．【例14】如图，四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，交AB 于点E ， BGC GBC ∠=∠，BG 平行ED 交AD 延长线于点P ．求证：//AD BC ．【难度】★ 【答案】略【解析】证明：DE 平分ADC ∠，2ADC EDC ∴∠=∠ //BG ED EDC BGC ∴∠=∠ BGC GBC ∠=∠，2ADC BGC BGC GBC ∴∠=∠=∠+∠ 180BGC GBC C ∠+∠+∠=︒ 180ADC C ∴∠+∠=︒ //AD BC ∴【总结】考查平行线的性质和判定，经常可以跟三角形的内角和180︒结合起来．BACEDBF【例15】如图，已知ABC 中，D 是边BC 的中点，E F 、分别在边AB AC ，上，且//EF BC ，ED FD =．求证：AEF AFE ∠=∠．【难度】★ 【答案】略 【解析】证明：ED FD =，FED EFD ∴∠=∠ //EF BCFED EDB EFD FDC ∴∠=∠∠=∠， AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， EDB FDC ∴∠=∠ ED FD BD DC ==， EDB FDC ∴∆≅∆ B C ∴∠=∠∴AEF AFE ∠=∠【总结】考查平行线的性质，结合全等三角形可以进行相互关联得到相关边角关系．【例16】如图，点C 是AB 上的一点，在AB 的同旁做等边ACD 和等边BCE AE ，与CD 交于点M BD ，与CE 相交于点N ．求证：CM CN =． 【难度】★ 【答案】略【解析】证明：ACD ∆和BCE ∆是等边三角形，60AC CD BC CE ACD BCE ∴==∠=∠=︒，，60120DCE ACE DCB ∴∠=︒∠=∠=︒， ACE DCB ∴∆≅∆ CAE CDB ∴∠=∠结合60ACM DCE ∠=∠=︒，AD CD =ACM DCN ∴∆≅∆ CM CN ∴=【总结】考查等边三角形中的旋转平移，会产生全等三角形，先判定再应用相关性质．ACDBFEABCDNEM【例17】如图，已知在ABC 中，AD 平分//BAC BE AD ∠，，交CA 延长线于点E F，是BE 的中点．求证：AF BE ⊥．【难度】★ 【答案】略 【解析】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠ //BE ADBAD FBA CAD E ∴∠=∠∠=∠，FBA E ∴∠=∠ AE AB ∴= F 是BE 的中点， AF BE ∴⊥【总结】考查平行线和角平分线一起会产生等腰三角形的基本图形，注意对基本图形的分离和等腰三角形性质的应用．【例18】如图，已知BE CF 、是ABC 的高，且．.求证：AP AQ ⊥． 【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：BE CF 、是ABC 的高，90AFC AEB ∴∠==︒9090FAC ACF FAC ABE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，ACF ABE ∴∠=∠BP AC CQ AB ==， AQC PAB ∴∆≅∆ BAP Q ∴∠=∠ 90QAF Q ∠+∠=︒90QAF BAP ∴∠+∠=︒，即90QAP ∠=︒，得证AP AQ ⊥．【总结】考查同角的余角相等的知识点，即“子母三角形”基本图形．C【例19】已知：如图所示，90AB AC A AE CF BD DC ∠=︒==＝，，，．求证：FD ED ⊥． 【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：连结AD ，90AB AC BAC =∠=︒， 45B C ∴∠=∠=︒ BD CD =AD BC ∴⊥，即90ADC ∠=︒1452BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠=︒CD AD ∴= AE CF = AED CFD ∴∆≅∆ ADE CDF ∴∠=∠90ADE ADF ADF CDF ∴∠+∠=∠+∠=︒ 即FD ED ⊥【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合相关条件可分割成全等的两个部分．【例20】如图，已知D E 、两点分别在AB AC 、上，AD AE BD CE BE CD ==，，、交于点F ． 求证：FB FC =． 【难度】★★ 【答案】略 【解析】证明：AD AE BD CE ==，，AD DB AE CE ∴+=+，即AB AC = AD AE A A =∠=∠， ABE ACD ∴∆≅∆ B C ∴∠=∠ACE DFACEDFBBD CE DFB EFC =∠=∠， DFB EFC ∴∆≅∆ FB FC ∴=【总结】考查全等三角形的判定和性质，结合题意，发现题目中的全等三角形往往不止一对．【例21】等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，B ∠做垂线，并与BD 延长线交于点E ． 求证：2BD CE =． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明：延长CE 与BA 的延长线交于点F ，90BAC DEC ∠=∠=︒，ADB EDC ∠=∠ BAD DCE ∴∠=∠90ABD CBD AE AE BEC BEF ∠=∠=∠=∠=︒，，BEC BEF ∴∆≅∆ CE EF ∴=90AB AC BAC CAF =∠=∠=︒， BAD CAF ∴∆≅∆2BD CF CE EF CE ∴==+=【总结】考查一些常见辅助线的作法，角平分线与高线在一起会产生等腰三角形，构造等腰三角形即可． 【例22】如图，已知：90BAC AB AC M ∠=︒=，，是AC 的中点，AD BM ⊥于E ，交BC 于D ．求证：AMB DMC ∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明：过点C 作//CF AB 交AD 延长线于F ，90BAC AD BM ∠=︒⊥， ABM CAF ∴∠=∠90ACF BAC AB AC ∠=∠=︒=， ABM CAF ∴∆≅∆CABCCF AM CM AMB F ∴==∠=∠， //AB CF AB AC =，45DCF ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒ DC DC =DCM DCF ∴∆≅∆ DMC F AMB ∴∠=∠=∠【总结】考虑相关条件的应用，构造全等三角形把所证角转移到一对全等三角形中．【例23】如图所示，已知ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使=AE BD ，连结CE DE 、．求证：=EC ED ． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明：延长BD 到F ，使得DF BC =，连结EF ，ABC ∆是等边三角形， 60BC AB B ∴=∠=︒，AE BD =AE AB BD BC BD DE ∴+=+=+即BE BF =BEF ∴∆是等边三角形 60BE EF F B ∴=∠=∠=︒， BEC FED ∴∆≅∆ EC ED ∴=【总结】考虑等边三角形的特殊性质，利用不在一个图形中的线段的相等关系进行相应的构造和转化构造全等三角形即可证明解题． 【例24】如图，已知：AC 平分BAD BC CD AD AB ∠=>，，．求证：180B D ∠+∠=︒． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明：在AD 上截取线段AE ，使AE AB =，连结CE ，AC 平分BCD ∠，BAC DAC ∴∠=∠ AC AC = ABC AEC ∴∆≅∆ BC EC B AEC ∴=∠=∠，EBC CD = CE CD ∴=， CED D ∴∠=∠180B D AEC CED ∴∠+∠=∠+∠=︒【总结】根据角平分线即可构造全等，把两个角转化为邻补角即可．【例25】已知：如图所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，45EAF ∠=︒．求证：EF BE DF =+． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明：延长CB 到G ，使BG DF =四边形ABCD 是正方形，90D BAD ABC AD AB ∴∠=∠=∠=︒=， DAF BAG ∴∆≅∆BAG DAF AG AF ∴∠=∠=， 45EAF ∠=︒45BAG BAE DAF BAE ∴∠+∠=∠+∠=︒即45EAG EAF ∠=∠=︒AE AE = GAE FAE ∴∆≅∆EF GE BE BG BE DF ∴==+=+【总结】考查利用正方形的性质，可进行三角形的旋转构造全等三角形，“截长补短法”可证明线段之间的等量关系．【例26】 如图所示，在ABC 中，2AB AC =， D 是AB 的中点，E 是AD 的中点．求证：2BC CE =．【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：延长EF 到F ，使EF CF =，连结DF ，AE DE AEC DEF =∠=∠， AEC DEF ∴∆≅∆ A FDE AC DF ∴∠=∠=， 2AB AC AD DB ==， BD AD AC DF ∴===∴∠=∠ADC ACD∴∠=∠+∠=∠+∠=∠BDC A ACD FDE ADC FDC=CD CD∴==BC FC CE∴∆≅∆2CFD CBD【总结】“倍长中线法”构造全等三角形可将线段或角转移到全等或一个图形中．随堂检测【习题1】命题“互余的两个角一定是锐角”是_________命题（填“真”或“假”）．【难度】★【答案】真【解析】根据互余的定义，两个角和为90︒即为互余，且角都为正值，可判断出两个角大小都在0︒到90︒之间，即为锐角．【总结】定义均为真命题，本题考查互余的定义．【习题2】下列命题中，是真命题的有（）．A．两锐角之和是锐角B．钝角减去锐角得锐角C．钝角大于它的补角D．锐角小于它的余角【难度】★【答案】C【解析】根据补角的定义，可知钝角的补角是锐角，由此可知钝角大于它的补角，C正确，为真命题，ABD选取合适的角度均可找到反例，都为假命题．【总结】考查关于角的互余和互补的相关概念，抓住概念，即可得出相关命题真假，若有反例则为假命题．【习题3】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）同角的余角相等；（2）直角都相等；（3）对顶角相等；（4）在一个三角形中，等角对等边．15/ 24【答案】（1）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； （2）如果有一些角是直角，那么它们都相等； （3）如果两个角互为对顶角，那么它们相等；（4）在一个三角形中，如果有两个相等的角，那么这两个角所对的边相等． 【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【习题4】 已知：四边形ABCD 中，AD BC ，E 是线段DC 的中点，AE 是BAD ∠的平分线．求证：BE 是ABC ∠的平分线．【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：延长AE 与BC 的延长线交于点F ，//AD BCDAE F ∴∠=∠DE CE AED CEF =∠=∠， ADE FCE ∴∆≅∆AE EF ∴=AE 是BAD ∠的角平分线， BAE DAE F ∴∠=∠=∠ AB BF ∴= AE EF =BE ∴是ABC ∠的角平分线．【总结】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可以证明一系列的结论．【习题5】 如图，已知：在ABC 中，AD 平分BAC BD CD ∠=，．求证： AB AC =． 【难度】★★AEDCBFACDB【解析】证明：延长AD 到E ，使DE AD =，连结CE ，BD CD ADB CDE =∠=∠， ABD ECD ∴∆≅∆ BAD E AB CE ∴∠=∠=，AD 平分BAC ∠ CAD BAD E ∴∠=∠=∠ AC CE ∴= AB AC ∴=【总结】注意，边边角不能用来证明全等，在这个题目里面根据中点“倍长中线”构造全等三角形即可．【习题6】 如图，已知，AD 是ABC 的角平分线，2C B ∠=∠， 将ABC 沿直线AD 翻折，点C 落在AB 的E 处．试判断EBD 的形状，并加以证明． 【难度】★★【答案】EBD 等腰三角形【解析】证明：AED ∆是ACD ∆翻折形成，即得ACD AED ∆≅∆AED C ∴∠=∠2C B ∠=∠，2AED B EDB B ∴∠=∠=∠+∠ B EDB ∴∠=∠ BE DE ∴=即证EBD 是等腰三角形．【总结】翻折问题，翻折前后两个三角形始终保持全等不变．【习题7】 如图，已知CA AB ⊥，E 为AB 上一点，CE 平分ACD ∠，DE 平分CDB ∠，90CED ∠=︒．求证：AB DB ⊥．AECACEDB【答案】略【解析】证明：90CED ∠=︒，90ECD EDC ∴∠+∠=︒CE 平分ACD ∠，DE 平分CDB ∠， 22180ACD CDB ECD EDC ∴∠+∠=∠+∠=︒ //AC BD ∴ CA AB ⊥AB DB ∴⊥【总结】反推思想证明题可知证上下底边平行即可，根据角平分线即可快速得出结论．【习题8】 已知：如图，ABC ∆中， 90C AC BC AD DB AE CF ∠=︒===，，，．求证：DE DF =． 【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：连结CD ，90AC BC BCA =∠=︒， 45A B ∴∠=∠=︒AD DB = CD AB ∴⊥1452ACD BCD BCA ∴∠=∠=∠=︒CD AD ∴= AE CF = AED CFD ∴∆≅∆DE DF ∴=【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合相关条件可分割成全等的两个部分．【习题9】 如图，已知: 2AC AB =,D 是AC 中点，ACEDBFABCFDEE是AD中点，点F在BE延长线上，且BE EF=．求证：2，．=∠=∠BC EF F C【难度】★★★【答案】略【解析】证明：AE DE AEB DEF，，=∠=∠BE EF=∴∆≅∆AEB DEF，A FDE AB DF∴∠=∠=，==2AC AB AD DC∴===CD AD AB DF∴∠=∠ADB ABD∴∠=∠+∠=∠+∠=∠BDC A ABD FDE ADB FDB=BD BD∴∆≅∆FBD CBD，∴==∠=∠BC BF EF F C2【总结】“倍长中线法”构造全等三角形可将线段或角转移到全等或一个图形中．课后作业【作业1】下列语句中，正确的是（）．A．相等的角是对顶角；B．三角形的两锐角互余；C．判定两个三角形全等，至少需要一对边相等；D．面积相等的两个三角形全等．【难度】★【答案】C【解析】对顶角必须是有公共顶点且角的两边互为反向延长线的角，A错误；互余是两角相加和为90 ，只有直角三角形两锐角互余，B错误；全等判定定理中，都至少包含一条边，C正确；面积相等，底和高可能都不相等，不一定全等，D错误．【总结】考查三角形中一些基本知识和相关定理的认识．【作业2】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论．（1）对顶角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同角的余角相等．【难度】★【答案】（1）如果两个角互为对顶角，那么它们相等；（2）一条直线截另两条直线形成一对同位角，如果这都同位角相等，那么被截的两条直线平行；（3）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．20/ 24【作业3】 如图，已知：△ABC 中，∠B = 2∠C ，BC = 2AB ．求证：∠A = 90°． 【难度】★ 【答案】略【解析】证明：作ABC ∠的角平分线BD 交AC于点D ，作DE BC ⊥交BC 于E ，22ABC DBE C ∠=∠=∠ DBE C ∴∠=∠ BD DC ∴=12BE CE BC ∴==2BC AB =AB BE ∴=ABD EBD BD BD ∠=∠=，ABD EBD ∴∆≅∆ 90A BED ∴∠=∠=︒【总结】考查306090︒︒︒，，角的直角三角形问题，注意本题中不能通过取BC 中点证明．【作业4】 已知：如图，∠1=∠2，AB ＞AC ．求证：BD ＞DC ． 【难度】★ 【答案】略【解析】证明：在AB 上截取AF AC =，连结DF ，12AD AD ∠=∠=， ADF ADC ∴∆≅∆ADC ADF DF DC ∴∠=∠=， 1ADC B ∠=∠+∠121BFD ADF B ∠=∠+∠=∠+∠ BFD B ∴∠>∠ BD DF DC ∴>=【总结】本题应用“大角对大边”知识点，或通过延长AD 作AB 平行线也可证，但会应用A CDACB到相似三角形知识点．【作业5】 已知：10812AB AC A =∠=︒∠=∠，，．求证：BC AB CD =+．【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：在BC 上截取BE AB =，连结DE ，12BD BD ∠=∠=，ABD EBD ∴∆≅∆108AB BE BED A ∴=∠=∠=︒， 108A AB AC ∠=︒=， 36ABC C ∴∠=∠=︒由108BED ∠=︒，可得108EDC ∠=︒，故72EDC ∠=︒CE CD ∴=BC BE CE AB CD ∴=+=+【总结】考查“倍角三角形”中的角平分线分三角形为等腰三角形，由此可得线段之间的等量关系．【作业6】 已知：如图所示在中三角形ABC 中， 90C ∠=︒，D 是AB 上一点，DE CD⊥于D ，交BC 于E ，且有AC AD CE ==．求证：12DE CD =．【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明：作AF CD ⊥交CD 于点F ，AC AD =12CF DF CD ∴==90ACB DE CD ∠=︒⊥，9090ACD DCE CED DCE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒， ACF CED ∴∠=∠90CFD CDE AC CE ∠=∠=︒=，BBCACF CED ∴∆≅∆12DE CF CD ∴==【总结】图形中有一些等腰三角形，两倍关系即可以根据等腰三角形的特殊性质求解证明．【作业7】 如图，已知C 是AB 的中点，点E 在CD 上，且AE BD =．求证： 1 2∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明：延长EC 到F ，使CF EC =，连结FB ，AC CB ACE BCF =∠=∠， ACE BCF ∴∆≅∆ 1AE BF F ∴=∠=∠，AE BD = BD BF ∴= 2F ∴∠=∠ 12∴∠=∠【总结】有等量关系的图形不能证明全等，只能通过“倍长中线法”构造全等三角形证明等腰即可得证．BA。

证明举例——常见辅助线的作法由于证明的需要，可以在原来的图形上添画一些线，即添加辅助线来完成一些几何证明。

辅助线通常画虚线。

以下来介绍一些常用的添辅助线的方法： 1． 添线构造基本图形有了基本图形就会有一系列的熟悉的结论因此可以更好的帮助解题例1、已知线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB DC 、，E 为OB 的中点，F 为OC 的 中点，联结EF （如图所示）．（1）添加条件A D ∠=∠，OEF OFE ∠=∠， 求证：AB DC =．（2）分别将“A D ∠=∠”记为①，“OEF OFE ∠=∠”记为②，“AB DC =”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2． 命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格），并证明你的结论。

2． 根据定理使用的要求添线一些几何定理的使用需要特定图形的支持，所以添加这样的图形就可以使用定理了。

(1) 平行线的相关结论是在三线八角的图形中得出的，因此要使用这些结论就必须有三线八角的图形。

例2、已知直线a // b ，先填空，再证明图①和图②，并归纳出图④中各角的和。

图①中，∠A +∠B +∠C =____________；图②中，∠A +∠B +∠C +∠D =____________；图③中，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =____________； 图④中，∠A +∠B +∠C + …… + ∠P =____________； （2） 全等三角形可以很好提供边角相等的证明，因此证明边角相等时可以构造全等三角形。

OD C AB EF例3、如图，已知△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE = BD ，联结CE 、DE求证：CE = DE ．1、 按照题目的要求添线一些特定的条件或结论是需要特定的图形才能得以解决的，所以遇到这样的式子就需要添加特定的图形从而得以使用该式子 “倍长中线”法例4、如图，已知在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于点F ，AE = EF 求证：AC = BF ．练习1、已知：如图，在△ABC 和△DEF 中，AM 、DN 是边BC EF 、的中线且AB ＝DE ，AC ＝DF ，AM ＝DN.求证：△ABC ≌△DEF.（有两边及第三边上中线对应相等的两个三角形全等）EADCBEFBDA MC BAN EFD“截长补短”法例5、如图，已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，∠B = 2∠C求证：AB +BD =AC ．练习1、如图，已知在ΔABC 中，，AB AC =，AD 平分，求证：BC AB CD =+．旋转添线：例6、如图，已知在正方形ABCD 中，E 在BC 上，F 在DC 上，BE+DF=EF ． 求证：45EAF ∠=︒．DCB A108A ∠=ABC ∠CBADECAFDB练习1、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，D 为AC 中点，AB 的延长线上任意一点E ，FD ⊥DE 交BC 延长线于F ，求证：DE=DF.基础知识巩固练习1．把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是 这个命题是 （填“真”或“假”）命题。

第 1 页 几何证明〔一〕1．如图，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ， 求证：〔1〕BE=DC 〔2〕BE ⊥DC 。

2．，如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD求证：BC=AB ＋DC 。

3．如图，D 为等边△ABC 内一点，且AD=BD ，BP=AB 4．：正方形ABCD ， 45=∠EAF ，EF AH ⊥ 5．：等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°；AC=BC 求证：BE=AD 。

6．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE 求证：BD 平分∠ABC 。

7．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD=BD ，∠1=∠2 8．：AD 是ABC ∆的中线，AE=EF ．求证：AC=BF ．9．：△ABC ，△BDE 为等边三角形，C 、B 、D 求证：〔1〕AD=EC ；〔2〕BP=BQ ；〔3〕△BPQ 10.：如下图，在ABC ∆中，BA=BC ，︒=∠45ABC ED=CD ，连结EC ．求证：EA=EC ． 1.如图，AB=CD ，E 为BC 的中点，∠BAC=∠BCA 2.如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE3.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 求证：∠ADC+∠B=180º4.如下图，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE E 点，求证：BD CE 21=． 5.如下图，ABC ∆中，︒=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ．6.：如下图，AB=CD ，CDE ABE S S ∆∆=．求证：DOE BOE ∠=∠． 7.：如下图，AD 平分BAC ∠，M 是BC 的中点，MF//AD ，12第 2 页 分别交CA 延长线，AB 于F 、E ．求证：BE=CF ．8.：如下图，在ABC ∆中，BA=BC ，︒=∠45ABC ，AD 是BC 边上的高，E 是AD 上一点，ED=CD ，连结EC ．求证：EA=EC ． 9.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AC 、ABM 、N 分别是CE 、BD 上的点，假设MA ⊥CE ，AN ⊥BD ，10.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，M 是AB 中点，〔1〕在AE 、EF 、FB 〔2〕AE 、EF 、FB 11.如图，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，︒=∠60A 的面积． 12.：如下图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为EF AF ⊥． B A BE CD。

上海教材八年级第十九章 几何证明知识整理一、知识梳理：重要定理：★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

如图： ∵MN 垂直平分线段AB ∴PA=PB 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图： ∵PA=PB∴点P 在线段AB 的垂直平分线上★角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

如图： ∵OP 平分∠AOBP D ⊥OA ，P E ⊥OB∴PD=PE逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

如图： ∵PD=PEP D ⊥OA ，P E ⊥OB∴OP 平分∠AOB★基本轨迹轨迹1：和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。

轨迹2：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。

轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆。

★直角三角形的全等判定 直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（H.L ）★直角三角形的性质及判定定理1：直角三角形的两个锐角互余。

如图： ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

如图： ∵∠ACB=90°，且点D 是AB 的中点∴AB CD 21（CD=AD=BD ，或AB=2CD ） M NBAPAB ODEPB B推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

如图： ∵∠C=90°，∠A=30°∴AB BC 21=推论2：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角等于30°。

如图： ∵∠C=90°，AB BC 21=∴∠A=30°★勾股定理及逆定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。