§6.1不等式的概念与性质一、要点回顾 （一）主要知识：1. 不等式的性质：①对称性②传递性③加法性质④乘法性质⑤乘方性质⑥开方性质 2．比较两数大小的一般方法 （二）主要方法：1．根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立． 2.利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较． 3．判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件． 二．典例讲练 （一）基础题1．命题（1）,n n a b ac bc n N *>⇒>∈，（2）22a b a b c c >⇒>，（3）11a b a b>⇒<，（4）0,0a b c d ac bd <<<<⇒>，（5()a b n N *>>∈（6）a b a c b d c d<⎧+<+⇔⎨<⎩，（7）220a b a ab b <<⇒>>其中真命题的是 ⑵⑷⑸⑺ ．2．若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）．A ． 有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ． 有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ． 对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x) 分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用． 原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立． 其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立．答 选D ．点评 本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决． 值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性． 题型灵活多变． 3. 设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b->-”成立的 （ C ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列不等式：（1）232()x x x R +≥∈， （2）553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈， （3）222(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为 （ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35. 如果0m b a <<<，则 （ A ） A ．coscos cos b m b b m a m a a m +-<<+- B ．cos cos cos b b m b ma a m a m-+<<-+C ．coscos cos b m b b m a m a a m -+<<-+ D ．cos cos cos b m b m ba m a m a+-<<+- （二）能力题6． 已知c b a >>，且,0=++c b a 求ac的取值范围 12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．比较1+log x 3与2log x 2（x ＞0且x ≠1）的大小.剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.解：（1+log x 3）－2log x 2=log x 43x .当⎪⎩⎪⎨⎧<<<<143010x x ，或⎪⎩⎪⎨⎧>>，，1431x x 即0＜x ＜1或x ＞34时， 有log x 43x ＞0，1+log x 3＞2log x 2.当⎪⎩⎪⎨⎧><<，，14310x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧<<>14301x x ，②时，log x 43x ＜0. 解①得无解，解②得1＜x ＜34，即当1＜x ＜34时，有log x 43x ＜0，1+log x 3＜2log x 2.当43x =1，即x =34时，有log x 43x =0.∴1+log x 3=2log x 2. 综上所述，当0＜x ＜1或x ＞34时，1+log x 3＞2log x 2；当1＜x ＜34时，1+log x 3＜2log x 2； 当x =34时，1+log x 3=2log x 2. 评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏. 8．已知函数()b ax x x f ++=2，1=+q p ，试比较()()y qf x pf +与()qy px f +的大小． 解：作差()()y qf x pf +—()qy px f +=()()b ay y q b ax x p +++++22()2qy px +-()b qy px a -+-()()pqxy y q q x p p 21122--+-=()()()221y x p p y x pq --=-=()1∴当y x =时，()()012=--y x p p 得()()y qf x pf +=()qy px f +．（2）当y x ≠时，()02>-y x ∴①当0,1==o r pp 时，()()012=--y x p p 得()()y qf x pf +=()qy px f +．②当10<<p 时，()()012>--y x p p 得()()y qf x pf +>()qy px f +．③当01<>orp p 时，()()012<--y x p p 得()()y qf x pf +<()qy px f +．综上所述：当y x =或0,1==orp p 时()()y qf x pf +=()qy px f +．当y x ≠且10<<p 时()()y qf x pf +>()qy px f +．当y x ≠且01<>orp p 时()()y qf x pf +<()qy px f +． [思维点拔]两数或两式的大小只有大于，小于或等于三者之一．（三）备用题9． 设21≈a ，令12111a a ++= （1）证明：2介于21,a a 之间 （2）求21,a a 中哪一个更接近于2（3）你能设计一个比2a 更接近于2的一个3a 吗？说明理由 （1）证明：（2－a 1）（2－a 2）=（2－a 1）· （2－1－111a +）=1211221a a +--））（（＜0.∴2介于a 1、a 2之间. （2）解：|2－a 2|=|2－1－111a +|=|111221a a +--））（（|=1112a +-|2－a 1|＜|2－a 1|. ∴a 2比a 1更接近于2. （3）解：令a 3=1+211a +，则a 3比a 2更接近于2. 由（2）知|2－a 3|=2112a +-|2－a 2|＜|2－a 2|. 10. 已知f （x ）=|log 2（x +1）|，m ＜n ，f （m ）=f （n ）.（1）比较m +n 与0的大小；（2）比较f （n m n m -+）与f （mn nm -+）的大小. 剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号. 解：（1）∵f （m ）=f （n ），∴|log 2（m +1）|=|log 2（n +1）|.∴log 22（m +1）=log 22（n +1）. ∴［log 2（m +1）+log 2（n +1）］［log 2（m +1）－log 2（n +1）］=0，log 2（m +1）（n +1）·log 211++n m =0.∵m ＜n ，∴11++n m ≠1.∴log 2（m +1）（n +1）=0.∴mn +m +n +1=1.∴mn +m +n =0.当m 、n ∈（－1，0］或m 、n ∈［0，+∞）时，由函数y =f （x ）的单调性知x ∈（－1，0］时，f （x ）为减函数，x ∈［0，+∞）时，f （x ）为增函数，f （m ）≠f （n ）.∴－1＜m ＜0，n ＞0.∴m ·n ＜0.∴m +n =－mn ＞0. （2）f （n m n m -+）=|log 2n m m -2|=－log 2n m m -2=log 2m n m 2-，f （m n nm -+）=|log 2m n n -2|=log 2mn n -2. m n m 2-－m n n -2=）（）（m n m mn n m ----242=－）（）（m n m n m -+22＞0.∴f （n m n m -+）＞f （mn nm -+）.一、选择题（第题6分，共30分）1. 已知01x y a <<<<，则 （ B ） A ．log ()0a xy < B ．0log ()1a xy << C ．1log ()2a xy << D ．log ()2a xy >．2. a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（ B ）A ． 恒正B ． 恒负C ． 与a 、b 大小有关D ． 与k 是奇数或偶数有关 3. （2004年福建，3）命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；命题q ：函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则A.“p 或q ”为假B.“p 且q ”为真C. p 真q 假D. p 假q 真 剖析：只需弄清命题p 、q 的真假即可.解：∵|a +b |≤|a |+|b |，若|a |+|b |＞1不能推出|a +b |＞1，而|a +b |＞1一定有|a |+|b |＞1，故命题p 为假.又函数y =2|1|--x 的定义域为|x －1|－2≥0，∴|x －1|≥2.∴x ≤－1或x ≥3.∴q 为真.答案：D4. （2004年辽宁，2）对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a （1+a ）＜log a （1+a1）；②log a （1+a ）＞log a （1+a 1）；③a 1+a ＜a 1a11+；④a1+a＞aa11+.其中成立的是 A.①③B.①④C.②③D.②④解析：∵0＜a ＜1，∴a ＜a 1，从而1+a ＜1+a 1.∴log a （1+a ）＞log a （1+a1）. 又∵0＜a ＜1，∴a 1+a＞a a11+.故②与④成立.答案：D5. 若p =a +21-a （a ＞2），q =2242-+-a a ，则 A.p ＞q B.p ＜q C.p ≥qD.p ≤q解析：p =a －2+21-a +2≥4，而－a 2+4a －2=－（a －2）2+2＜2，∴q ＜4.∴p ＞q .答案：A 二、填空题（每题5分，共20分） 6. 已知三个不等式：0>ab ，bda c -<-，ad bc >，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成______三______个正确的命题7.已知13,0,5≤-=+=++x y x z y x 且，则z y x ,,中最大值为______52x =8. 给出下列条件①1a b <<；②01a b <<<；③01a b <<<．其中，能推出11log log log ba ab b b<<成立的条件的序号是 ② （填所有可能的条件的序号）． 9．函数()y f x =是(0,2)上的减函数，且关于x 的函数(2)y f x =+是偶函数，则15(),(),(3)22f f f 的大小关系是 f(21) ＞f(3)＞f(25) ． 三、解答题（20+20+10，共50分）10. 已知－1＜a +b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a +3b 的取值范围.剖析：∵a +b ，a －b 的范围已知，∴要求2a +3b 的取值范围，只需将2a +3b 用已知量a +b ，a －b 表示出来.可设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），用待定系数法求出x 、y . 解：设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），∴⎩⎨⎧=-=+.32y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x ，∴－25＜25（a +b ）＜215，－2＜－21（a －b ）＜－1.∴－29＜25（a +b ）－21（a －b ）＜213， 即－29＜2a +3b ＜213. 评述：解此题常见错误是：－1＜a +b ＜3， ① 2＜a －b ＜4. ②①+②得1＜2a ＜7. ③ 由②得－4＜b －a ＜－2. ④①+④得－5＜2b ＜1，∴－215＜3b ＜23. ⑤ ③+⑤得－213＜2a +3b ＜217. 11. 设A =x n +x －n ，B =x n －1+x 1－n ，当x ∈R +，n ∈N 时，求证：A ≥B.证明：A －B =（x n +x －n ）－（x n －1+x 1－n ）=x －n （x 2n +1－x 2n －1－x ）=x －n ［x （x 2n －1－1）－（x 2n －1－1）］=x －n （x －1）（x 2n －1－1）.由x ∈R +，x －n ＞0，得当x ≥1时，x －1≥0，x 2n －1－1≥0；当x ＜1时，x －1＜0，x 2n －1＜0，即x －1与x 2n －1－1同号.∴A －B ≥0.∴A ≥B .12. 设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠31，试比较|log 3a （1－x ）3|与|log 3a （1+x ）3|的大小.解：∵0＜x ＜1，∴①当3a ＞1，即a ＞31时，|log 3a （1－x ）3|－|log 3a （1+x ）3|=|3log 3a （1－x ）|－|3log 3a （1+x ）|=3［－log 3a （1－x ）－log 3a （1+x ）］=－3log 3a （1－x 2）. ∵0＜1－x 2＜1，∴－3log 3a （1－x 2）＞0.②当0＜3a ＜1，即0＜a ＜31时，|log 3a （1－x ）3|－|log 3a （1+x ）3|=3［log 3a （1－x ）+log 3a （1+x ）］=3log 3a （1－x 2）＞0. 综上所述，|log 3a （1－x ）3|＞|log 3a （1+x ）3|.§6.2算术平均数与几何平均数一、要点回顾 （一）主要知识：1. 算术平均数：如果+∈R b a ,，那么2ba +叫做这两个正数的算术平均数． 2．几何平均数：如果+∈Rb a ,，那么ab 叫做这两个正数的几何平均数．3．定理：如果+∈R b a ,，那么ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号）4．推论：如果+∈R b a ,，那么ab ba ≥+2（当且仅当a=b 时取“=”号） 5．基本不等式：若+∈R b a ,，则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取“=”号 （二）主要方法：1．利用基本不等式比较大小 2．利用基本不等式证明不等式 3．利用基本不等式求最值 4．基本不等式的综合应用 二．典例讲练 （一）基础题1．设1)(,0,0=+->>y x xy y x 且，则（ B ）A ．222+≤+y xB ．222+≥+y xC ．2)12(+≤+y xD ．2)12(+≥+y x 2. 下列函数中，y 的最小值为4的是（ C ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．sin (0)sin y x x x π=+<< 3．若0,0a b >>，且21a b +=，则224s a b =-的最大值是 （ A ）A ．212- B ．12- C ．212+ D ．12+ 4. 下列不等式的证明过程正确的是（ B ）A ．若a,b ∈R,则a b +b a ≥2ba ab ∙=2 B. 若a ∈-R ,则22a a -+≥222aa-∙=2C. 若a ∈+R ,则lg a +lg b ≥2b a lg lg D. 若a ∈-R , 则a+a 4≥－xx 4⋅=－4 5. 已知xx f )21()(=，a 、b ∈R +，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2b a f A ，)(ab f G =，⎪⎭⎫⎝⎛+=b a ab f H 2， 则A 、G 、H 的大小关系是（ A ）A ． A ≤G ≤HB ． A ≤H ≤GC ． G ≤H ≤AD ． H ≤G ≤A （二）能力题6．设a>0 b>0 则下列不等式中不成立的是（）A ．a+b+ab1≥22 B. (a+b)( a 1+b 1)≥4C.abb a22+≥a+b D.ba ab+2≥ab分析1：由于-是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各选项中的不等式，易判断ba ab +2≥ab 不成立．分析2：可逐项使用均值不等式判断 A ．a+b+ab1≥2ab +ab1≥2abab 12⋅=22，不等式成立．B ．∵a+b ≥2ab >0,a 1+b 1≥2ab1>0,相乘得: (a+b)( a 1+b 1)≥4成立. C. ∵a 2+b 2=(a+b)2－2ab ≥(a+b)2－2(2b a +)2=(2b a +)2又ab ≤2b a +⇒ab 1≥ba +2∴ab ba 22+≥a+b 成立 D. ∵a+b ≥2ab ⇒b a +1≤ab21∴b a ab +2≤ab ab 22=ab ,即ba ab +2≥ab 不成立.故选D 7．若正数a ，b 满足ab=a+b+3，求证ab ≥9 分析一 把等式利用重要不等式化成不等式．解法一 由a 、b ∈R +，由重要不等式得a+b ≥2ab ，则ab=a+b+3≥2ab +3， 即32--ab ab ≥)1)(3(0+-⇒ab ab ≥ab ⇒0≥3，∴ ab ≥9 ． 解法二 a 、b 为正数，∴ ab=a+b+3≥333ab >0， 两边立方得 a 3b 3≥34ab ⇒a 2b 2≥34，∵ab>0，∴ab ≥9 ． 解法三 原条件式变为ab-3=a+b ， ①∵ a 、b 均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得a 2b 2-6ab+9=a 2+b 2+2ab ，∵ a 2+b 2≥2ab ，∴ a 2b 2-6ab+9≥4ab ，即a 2b 2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，由①式可知ab>3，∴ ab ≥9 ． 分析二 利用方程思想求解．解法四 把a 、b ∈R +看作一元二次方程的两个根，此方程为x 2+(3-ab)x+ab=0， 则△=(3-ab)2-4ab ≥0，即 (ab)2-10ab+9≥0，∴ (ab-9)(ab-1)≥0，∵ab-1=a+b+2>0成立， ∴ ab ≥9 ．分析三 利用函数思想，要求ab 的取值范围可以把ab 看成某个变量的函数，求出这个函数的值域就可以了．解法五 由已知得a(b-1)=b+3，显然a>1，∴ 13-+=b b a ，514114)1(5)1(132+-+-=-+-+-=-+⋅=b b b b b b b b ab ≥9542=+，即ab ≥9 ．点评 本题易出现下列错误解法：因a 、b 是正数，所以a+b>0，∴ab=a+b+3>3，故ab 的取值范围是(3，)∞+． 其主要原因是审题不认真，受等式ab=a+b+3中ab 的干扰所致． 解本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法．变题 已知一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l 的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值． 解 设直线l 的方程1=+b y a x （a>0，b>0），则121++=b a ab ，∵a+b>2ab ， ∴ab 21≥12+ab ，即24)(2--ab ab ≥0，解得ab ≥62+， ∴ab 21≥2)62(21+，当a=b=2+6时，三角形面积的最小值为5+26．8．求下列各式的最值：（1）已知x>y>0且xy=1，求yx y x -+22的最小值及此时x 、y 的值；（2）已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．分析 这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现，对于（1），由积xy=1，应联想和(x-y)2的转化，以便利用已知；对于（2），应将lgx+lgy 转化成lgxy ，进而引发类似（1）的方法．解 （1）∵ x>y>0，∴ x-y>0，∵ xy=1．（定值）∴ y x y x y x xy y x y x y x -+-=-+-=-+2)(2)(222≥22． 解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=>>y x y x xy y x 210 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x ∴ 当226+=x ，226-=y 时， yx y x -+22取得最小值22 ．（2）∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴ y x xy 43121⋅⋅=≤32431212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，∴lgx+lgy=lgxy ≤lg3 ．由⎪⎩⎪⎨⎧==+>>y x y x y x 4312430,0 解得⎪⎩⎪⎨⎧==232y x ∴当x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ． 点评 由重要不等式（平均值定理）求最值可分为三步． 第一步，全正（即求平均值的各个量都是正数）；第二步，凑定值． 这步技巧性强，充分体现解题人利用均值不等式求最值的水平，应侧重训练，当凑出和为定值时，对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时，其对应各量的和有最小值；第三步，“取等号”，即对应各个量能取得等号时，有最值存在，否则，没有最值存在，以上三步可简化为：一正，二定，三相等． 三步缺一不可．利用均值不等式求最值是高考求最值最常考的方法之一．（三）备用题9．今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论解:不对设左、右臂长分别是12,l l ,物体放在左、右托盘称得重量分别为,a b 真实重量为为G ，则由杠杆平衡原理有： 12l G l a ⋅=⋅，21l G l b ⋅=⋅ ①×②得G 2=ab , ∴G=ab 由于12l l ≠，故a b ≠ ,由平均值不等式2ba + > ab 知说法不对真实重量是两次称量结果的几何平均值点评:本小题平均值不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题10. 已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v 0v ≤)，若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？ 分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视．解：设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k(k>0)，则21kv y =当v=12时，y 1=720212720⋅=∴k 得k=5设全程燃料费为y ，依题意有3200016864810008648100081000820021≥⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-=-⋅=v v v v v v v y y 当8648-=-v v ，即v=16时取等号 8<v 0v ≤所以当16≥ v 时，v=16时全程燃料费最省 当16< v 时，令8648-+-=v v t 任取0218v v v ≤<<则80,88021<<<-<v v ()()08864121<---∴v v()()()088641212121>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-∴v v v v t t即8648-+-=v v t 在(] v ,8上为减函数，当v=v 0时，y 取最小值810002- v v综合得：当16≥ v 时，v=16km/h ，全程燃料费最省，32000为元，当16< v 时，当v=v 0时，全程燃料费最省，为810002- v v 元．另解：当16< v 时，令8648-+-=v v t ()2'8641--+=v t 1680<≤<v v ()6480,8802<-<<-<∴v v ()086412'<--+=∴v t[]0,88648v v v t 在-+-=∴上为减函数，以下相同 小结：注意基本不等式应用条件和分类讨论，判断函数单调性用导数是很有效的方法一、选择题（第题6分，共30分）1. 若x , y ∈R +, 且x ＋y =s , xy =p , 则下列命题中正确的是（ ）A 当且仅当x =y 时，s 有最小值2pB 当且仅当x =y 时，p 有最大值42sC 当且仅当p 为定值时，s 有最小值2pD 若s 为定值，则当且仅当x =y 时，p 有最大值42s答案：D2 若x , y ∈R +, x ＋y ≤4,则下列不等式中成立的是（ ）Ay x +141B x 1＋y1≥ 2 D xy 1≥1答案：B 提示：x 1＋y 1≥2xy 1≥22)2(1y x +≥13 下列说法中不正确的是（ ）A 由a 、b ∈R ，可得a 2＋b 2≥2ab ≥－(a 2＋b 2)B 对于命题“a 、b ∈R +⇒2ba +≥ab ”,把条件改为a 、b 均为非负数后依然成立 C 若a >b >0, n ∈Z , n >1,则a >b ⇔ n n b a >D 若a 、b 、c ∈R +，则33331cb a abc ++≤ 答案：D 提示：3333c b a ++≤333333cb a ⋅=abc 1 4 下列不等式中恒成立的是（ ）A ctg θ＋tg θ≥2B x ＋x2－1≥2 2 D xyz ≤271(x ＋y ＋z =1) 答案：B5 x 、y >0, x ＋y =1, 且 y x +≤a 恒成立, 则a 的最小值为（ ）/2 B 22 C 2 D 答案：D 提示：y x +≤22yx +=2 二、填空题（每题5分，共20分）6. 若a >1, b >1, c >1, ab =10，则log a c ＋log b c 4lg c （并指出什么时候等号成立）答案：a =b =10时等号成立 提示：a >1, b >1, c >1, ab =10, log a c ＋log b c =lgc ·ba b a lg lg lg lg +≥lg c ·2)2lg lg (1b a +=4lgc , 当lg a =lg b 时,即a =b =10时等号成立7. 已知+∈R c b a ,,且1=++c b a ，则满足不等式k c b a <+++++141414的最小整数k ________5_______8. 已知a>2，b>2，f(x)=lgx ，则)2(b a f +，)(21b a f +，)]()([21b f a f +的大小顺序是 _．)2(b a f +≥)]()([21b f a f +＞)(21b a f +9. 关于x 的方程9(4)340x x a +++=有解，则实数a 的取值范围是 ． a ≤-8三、解答题（20+20+10，共50分） 10. 设x ≥0, y ≥0, x 2+22y=1,求x y21+的最大值．分析: ∵x 2+22y是常数, ∴x 2与22y的积可能有最大值∴可把x 放到根号)1(2y x +里面去考虑,注意到x2与1+y 2的积,应处理成2 x 2·212y+解法1: ∵x ≥0, y ≥0, x 2+22y=1 ∴x y21+=)1(22y x +=21222yx+≤222122yx++=2221222++yx=423当且仅当x=23,y=22(即x 2= 212y +)时, x y21+取得最大值423 解法2: 令{θθcos sin 2==x y (0≤θ≤2π) 则x y21+=cos θθ2sin 21+=21)sin 21(cos 222⋅+θθ ≤]2cos 2)sin 21([22212θθ++=423 当θ2cos 2=θ2sin 21+,即θ=6π时,x=23,y=22时x y21+取得最大值423 11. 若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+x 1)(1+y1)≥9分析: x+y 常数,xy 可有最大值 证法1: (1+x 1)(1+y 1)=1+x 1+y 1+xy 1=1+xy y x ++xy 1=1+xy2≥1+2)2(2y x +=9 (当且仅当x=y=21时取“=”号) 证法2： 令x=θ2cos y=θ2sin , 0<θ<2π (1+x 1)(1+y 1)=(1+θ2cos 1)(1+θ2sin 1)=1+θ2sin 1+θ2cos 1+θ2cos 1·θ2sin 1=1+θθ22cos sin 2⋅=1+θ2sin 82≥1+8=9， 0<2θ<π θ=4π时，x=y=21时取等号 证法3：∵x+y=1∴(1+x 1)(1+y 1)=(1+x y x +)(1+y y x +)=(2+x y )(2+y x )=5+2(x y +y x )≥5+4=9 (当且仅当x=y=21时取“=”号)12. 若a >0, b >0，且ba 11+=1, 求证：(I) a ＋b ≥4; (II) 对于一切n ∈N , (a ＋b )n －a n －b n≥22n －2n＋1成立提示：(I )b a 11+=1, a ＋b =(ba 11+)(a ＋b )=1＋a b ＋b a＋1≥4, (II ) 当n =1时, 左式＝0，右式＝0，∴n =1时成立，假设n =k 时成立，即(a ＋b )k－a k－b k≥22k－2k ＋1, 则当n =k ＋1时，(a ＋b )k ＋1－a k ＋1－b k ＋1=(a ＋b ) (a ＋b )k －a k ＋1－b k ＋1≥(a ＋b )(a k ＋b k ＋22k －2k ＋1) －a k ＋1－b k ＋1=ab k ＋ba k ＋(a ＋b )(22k －2k ＋1)≥2·2k ＋1＋4·22k －4·2k ＋1=22k ＋2－2k ＋2, ∴n =k ＋1时命题成立§6.3.1不等式的证明（一）一、要点回顾 （一）主要知识：1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法．比较法的两种形式： ①比差法：要证a>b ，只须证a-b>0．②比商法：要证a>b 且b>0，只须证>ba0． 说明：①作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法．2．综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法．证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件． 基本不等式：(1)若,0,0>>b a 则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取等号．(2)时取等号当且仅当b a abb a R b a =≥+∈2,,22(3)a,b 同号,时取等号当且仅当b a ab b a =≥+23.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立．这种证明方法叫做分析法．要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程 （二）主要方法：1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证1)0,0(,>>>>ba b a b a 可证2. 用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法3．分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是： 正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式二．典例讲练（一）基础题1．已知0>>b a ，则下列各式中成立的是（ D ）A ．b a b a b a =++22 B ．b a b a b a >++22 C ．a b b a b a =++22 D ．bab a b a <++222．设+∈R c b a ,,，则三个数b a 1+，cb 1+，ac 1+的值（ D ）A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2 3．设1>x ，12,1-++=++=x x N x x M ，则（ A ）A ．N M <B ．N M ≥C ．N M ≤D ．N M > 4．设c b a ,,不全为0，且0=++c b a ，则（ B ）A ．0>++ca bc abB ．bc a ac b ab c >>>222,,C ．ca bc ab ,,均为负数D ．0<abc5. 设α、β均为第一象限角，且α>β, 则下列各式中一定成立的是（D ）．A ．βαsin sin >1B ．βαcos cos >1C ．tg αtg β>1D ．sin 2αsin 2β<21（二）能力题6．已知a , b ∈R ＋,且a ＋b ＝1, 求证：3a ＋3b <4. 解：由a ＋b ＝1可知 3a ＋3b <4⇐3a ＋31－a<4⇐aa a 333432+⋅-<0⇐(3a －1)(3a －3)<0⇐1<3a <3⇐0<a <1, 由于a , b ∈R ＋,且a ＋b ＝1, ∴ 0<a <1一定成立，故3a ＋3b <4.7．已知a,b,c 为正数n,是正整数,且f(n)=lg 3nn n c b a ++,求证2f(n)≤f(2n)证明：2f(n)=29222lg )3lg(3lg 2222nn n n n n n n n n n n n n n c a c b b a c b a c b a c b a +++++=++=++f(2n)= lg 3222nn n c b a ++,由基本不等式知,n n n n n n n n n nnnc a c a b c b c b ab a 2222222,2,2+≤+≤+≤三式相加得[思维点拔] 利用某些已经证明过的不等式作为基础,分析求证式子间的特点证明 8．已知a ，b 为正数，求证：ab ba +≥b a +．分析 本题证明的方法较多，各有特点． 证法一 （作差比较法）abab b a b b a a b a ab ba --+=+-+)(abb a b a ))((--=abb a b a )()(2+-=．∵ a>0，b>0，∴0>+b a ，0>ab ，2)(b a -≥0，∴)(b a ab ba +-+≥0，∴ab ba +≥b a +．点评 作差比较法的一般步骤为“作差，变形，判断符号”，其中变形是关键步骤，变形的根本目的是为了便于判断符号，如前所述，因式分解、配方是常见手段． 证法二 （作商比较法）)(b a ab b b a a ba abb a++=++)()()(33b a ab b a ++=)())((b a ab ab b a b a +-++=ababb a -+=1-+=ab b a ≥11212=-=-abab ．∵ a>0，b>0，∴ 0>+b a ，∴ab b a +≥b a +．点评 作商比较法一般在要比较的两式均大于0时才考虑使用，步骤一般为“作商，变形，判断商与数1的大小关系”． 证法三 （综合法） ∵ a>0，b>0，∴b ba +≥ab ba 22=⋅，a ab +≥b a ab 22=⋅，两式相加，得a ab b ba +++≥b a 22+，∴ab ba +≥b a +．点评 综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形，如本题也可这样证：a b b b a a b a b a a b ba +++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)(≥ab b a 2++2)(b a +=． ∴ab ba +≥b a +．点评 巧用综合法，相当简洁． 本题用分析法，亦自然流畅 ． ∵ a>0，b>0，∴0>⋅b a ，∴ 欲证ab ba +≥b a +，即证ba bb a a +≥b a +，只要证 b b a a +≥a b b a +，只要证 2)(b b a a +≥2)(a b b a +，即证 ab ab b a 233++≥222ab ab ab b a ++，只要证 a 3+b 3≥ab(a+b)， 只要证 a 2+b 2-ab ≥ab ，即证 (a-b)2≥0．∵ (a-b)2≥0成立，∴ 原不等式成立 ． 点评 当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．“分析法”与“综合法”是自然科学中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用． 这两种数学方法同比较法一样，是高考考查的重要数学思维方法． （三）备用题9．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，求证：||111122b a b a -<+-+． 分析 原不等式等价于||)1)(1(||2222b a b a b a -<++-，即等价于 )1)(1(||22++<+b a b a ． 证法一 )()1)(1(22b a b a +-++0])1()1(2[21222222>-+-+++=b a b a b a ∴ b a b a +>++)1)(1(22．同理 )()1)(1(22b a b a ++++0])1()1(2[21222222>++++++=b a b a b a ∴ ||)1)(1(22b a b a +>++．从而原不等式成立． 证法二 先用比较法后用放缩法：||||)1)(1(22b a b a --++021)21|(|21||2222>+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b a b a ．从而 ||b a +≤)1)(1(||||22++<+b a b a ．下略． 证法三 三角代换法令a=tan α，b=tan β，则|cos cos ||)sin(|||βαβα+=+b a ，βα2222cos cos 1)1)(1(=++b a ． 即证1|cos cos ||)sin(|<⋅+βαβα，显然成立．点评 在这个不等式的证明中，值得大家体会的是：等价转换的思想方法．如果两个不等式A 和B 是等价的，那么欲证A 可以去证B ；在已知a<b 的情况下，欲证a<c ，可以去证b<c ．这些逻辑关系，使得我们可以用变换的手法找到一个比原不等式更易于入手的不等式． 对于不等式的外形比较生疏，或是较为复杂时，常常使用这个方法． 10. 有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？解：设第一、二、三次的粮食价格分别为1a 元/千克、2a 元/千克、3a 元/千克，+∈R a a a 321,,，则甲三次购粮的平均价格为33000)(10000321321a a a a a a ++=++，乙三次购粮的平均价格为321321111310000100001000030000a a a a a a ++=++，因为3133111332133213321321a a a a a a a a a <=<++所以乙购的粮食价格低说明“各次的粮食价格不同”，必须用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换一、选择题（第题6分，共30分）1. 已知b>a>0且a+b=1，则有 （ B ） A ． a ab b a b >>>+>21222B ． a ab b a b >>>+>22122 C ． ab a b b a 22122>>>>+ D ． a 2＋b 2＞b ＞a ＞12＞2ab 2. 已知a ，b ∈R +，33b a A -=与3b a B -=的大小关系是（ D ） A ． A>B B ．A ≥B C ． A ≤B D ． 与a ，b 之间的大小关系有关 3. 已知θtg a >θtg b >1，a , b ∈R ＋且不等于1, θ∈(23π, 2π)，则下列各式中成立的是（C ）． A ．b >a >1 B ．a >b >1 C ．0<a <b <1 D ．0<b <a <14. 若A=a 2+3ab ，B=4ab-b 2，则A 、B 的大小关系是（ B ）A ． A ≤B B ． A ≥BC ． A<B 或A>BD ． A>B5. 设μμ则且,10)(4,4,0,022++-⋅==+≥≥y x y x y x y x 的最值情况是 （ A ） A ．有最大值2，最小值2)22(2- B ．有最大值2，最小值0 C ．有最大值10，最小值2)22(2- D ．最值不存在 二、填空题（每题5分，共20分）6. 若f (n )＝12+n －n , g (n )＝n －12-n , φ(n )＝n21, n ∈N ，则f (n ), g (n ),φ(n )的大小关系是 f (n )<φ(n )<g (n ) .7．已知不等边三角形的三边长成等比数列，最短边之长为a ，那么它的周长的取值范围是))53(,3(a a +.8. 若a>b>c ，则使不等式c b b a -+-11≥ca n-成立的n 的最大值为______ ．4 9. 已知a>0且111>-a b ，则a +1与b-11之间的大小关系为________ ．a +1＞b-11三、解答题（20+20+10，共50分）10. 若f (x )＝21x +, a ≠b , 证明：|f (a )－f (b )|<|a －b |. 证明：|f (a )－f (b )|<|a －b | ⇐ |21a +－21b +|<|a －b | ⇐ 1＋a 2－2)1)(1(22b a ++＋1＋b 2<a 2－2ab ＋b 2 ⇐ )1)(1(22b a ++>1＋ab当1＋ab ≤0时,)1)(1(22b a ++>1＋ab 显然成立；当1＋ab >0时, 只要证(1＋a 2)(1＋b 2)>(1＋ab )2即可,∵ (1＋a 2)(1＋b 2)＝1＋a 2＋b 2＋a 2b 2>1＋2ab ＋a 2b 2＝(1＋ab )2, ∴)1)(1(22b a ++>1＋ab 成立. ∴ 原不等式成立.11. 设实数x ，y 满足y+x 2=0，0<a<1求证：812log )(log +≤+a yx a a a证明：（分析法）要证812log )(log +≤+a yxa a a ，10<<a ，只要证：812a a a yx ≥+， 又222y x yx y x aa a a a +=+≥+ ，∴只需证：41a ayx ≥+∴只需证41≤+y x ， 即证0412≥+-x x ，此式显然成立∴原不等式成立 12. 设m 等于a ，b 和1中最大的一个，当m x >时，求证：2<+xbx a 分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m 等于a ，b 和1中最大的一个”翻译为符号语言“a m ≥，b m ≥，1≥m ”，从而知m x ≥>证明：（综合法）a m x ≥> ，,1x m b x m >≥>≥22222 1.2a b x x a b a bx x x x x x x x∴+≤+=+<+=。
