天津市河北区2020届高三总复习质量检测(二)数学试题

河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ） 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ） 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1234}U =,,,，集合{13}A =,，{4}B =，则()U A B =I ð（ ）A. {2}B. {4}C. {24},D. {134},,【答案】B 【解析】 【分析】先根据补集的定义求出U C A ，再根据交集的定义求出()U A B I ð即可. 【详解】解：因为{1234}U =,,,，{13}A =,， 所以{}2,4U C A =，又因为{4}B =，所以{}()4U A B =I ð. 故选：B.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集的运算，考查学生的计算能力，属于基础题. 2.命题“000,1x x R ex ∃∈>+”的否定是（ ）A. ,1x x R e x ∀∈<+B. 0001x x R e x ∃∈<+, C. ,1x x R e x ∀∈≤+ D. 0001x x R ex ∃∈≤+,【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解. 【详解】因为命题“000,1x x R e x ∃∈>+是特称命题，所以其否定全称命题，即为命题：,1xx R e x ∀∈≤+.故选：C【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3.若复数()122aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A. 1B. 1-C. 16D. 16-【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a 的值．【详解】∵复数()()()()12212221422255ai i ai a ai i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴221455a a -+=，解得a 16=． 故选C ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是（ ）A. 35 B.45 C. 720D. 1320【答案】D 【解析】 【分析】从6个球中取三个球可能的情况三类，一类恰有一种颜色，二类恰有两种颜色，三种恰有三种颜色，即可求得恰有两种颜色的概率.【详解】由题可得，从中任取三个球一共有3620C =种可能的情况，恰有一种颜色的情况有1种，即三个全是蓝球， 恰有三种颜色的情况有1236⨯⨯=种，所以恰有两种颜色的情况共13种情况，所以其概率为1320. 故选：D【点睛】此题考查求古典概型，当正面分类计算比较麻烦的情况可以考虑利用对立事件求解概率. 5.某班同学进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p ，a 的值分别为（ ）A. 0.79，20B. 0.195，40C. 0.65，60D. 0.975，80【答案】C 【解析】 【分析】根据表格求出第一组人数，结合频率分布直方图求出总人数，分别求解每组人数即可得解. 【详解】第一组人数1200.6=200÷人，由频率分布直方图可得第一组频率为50.4=0.2⨯，所以20010000.2n ==， 所以第三组200人，第四组50.031000150⨯⨯=人，第五组100人，第六组50人， 所以第二组300人，1950.65,1500.460300p a ===⨯=. 故选：C【点睛】此题考查频率分布直方图和频率与频数的关系，关键在于熟练掌握频率分布直方图的性质准确计算求解，属于中档题.6.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>和直线153x y +=，若过C 的左焦点和点(0,)b -的直线与l 平行，则双曲线C 的离心率为 A.54B.53C.43D. 5【答案】A 【解析】 【分析】利用两条直线平行的判定定理，可得到,b c 之间的关系，化简整理为,a c 的关系，即可求出离心率. 【详解】过C 的左焦点和点()0,b -的直线可写为：:1x y l c b+-'=-，即0bx cy bc ++= l '与l 平行 11053c b ⇒-= 35b c ⇒=又222b c a =- 222925c c a ⇒=- 221625a c ⇒=54c e a ∴=== 本题正确选项：A【点睛】本题考查直线平行的判定定理以及双曲线离心率的求解，关键在于通过直线平行12210A B A B -=得到,a c 的关系.7.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，直线()2py k x =-交抛物线于A ，B 两点，过点A作准线l 的垂线，垂足为E ，若等边三角形AFE 的面积为，则BEF ∆的面积为（ ）A. B. C. 16D. 【答案】B【解析】 【分析】由AFE ∆为等边三角形，得k =AFE ∆边长为2p ，结合条件中的面积可得p ，进而由直线与抛物线联立可得交点坐标，利用面积公式求解即可.【详解】因为AFE ∆为等边三角形，所以60,EFO AFE AFx k ∠=∠=∠=︒=，AFE ∆边长为2p ，由1222p p ⨯⨯=，得6p =，抛物线方程为212y x =，联立)2312y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=，所以91A B x x =⎧⎨=⎩， 所以4BF =，12AF =.故14122BEF S ∆=⨯⨯=故选B【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，利用了抛物线的定义研究抛物线上的点到焦点的距离，考查了数形结合和计算能力，属于中档题.8.已知函数2()cos cos f x x x x =+，则（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 的图象关于点(,0)12π-对称C. ()f x 的最大值为2D. ()f x 的图象关于直线6x π=对称【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：2111()cos cos sin 2cos 2sin(2)22262f x x x x x x x π=+=++=++ 对于A 选项，因为22T ππ==，故A 不正确； 对于B 选项，因为111()sin 2sin 0012126222f πππ⎛⎫⎛⎫-=⨯-++=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确； 对于C 选项，因为当sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 13122f x =+=，故C 不正确；对于D 选项，因为113()sin 2sin 6662222f ππππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，是()f x 的最大值， 所以()f x 的图象关于直线6x π=对称，故D 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.9.已知函数()ln ()f x x x m m =-+∈R ，若()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，下列选项中不正确的是（ ） A. 1m <-B. 1212x x x ex -=C. 101x <<D. 122x x +≤【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出函数()f x 的导函数()'fx ,判断出函数()f x 的单调性，进而求出函数()f x 的最值,根据函数零点的概念作出函数()f x 的图象,逐个判断每个选项的结论正确与否即可. 【详解】因为函数()ln ()f x x x m m =-+∈R , 所以11()1x f x x x'-=-=,其定义域为()0,∞+, 令()0f x '=，解得1x =， 所以当01x <<时,()'0fx <；当1x >时,()'0f x >;故()f x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 因为函数()f x 有两个零点1x ，()212x x x <,所以函数()f x 的图象如图所示：故min ()(1)10f x f m ==+<，即1m <-，并且101x <<，故选项A 、C 正确；由于12x x ⋅为()f x 的零点，故有1122ln 0ln 0x x m x x m -+=⎧⎨-+=⎩，两式相减得1122lnx x x x -=，即1212x x x ex -=，故选项B 正确； 因为1m <-,所以当2ln2m ≤-+时，22x ≥， 所以122x x +>，故选项D 不正确. 故选: D【点睛】本题考查利用函数的导数判断函数的单调性和最值,根据函数的零点求参数的范围;函数()f x 单调性的正确判断和最值的正确求解及零点概念的应用是求解本题的关键;属于难度大型、综合型试题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.10.6x ⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为________．【答案】15 【解析】试题分析：展开式的通项公式为()362161r rrr T C x-+=-，令36042r r -=∴=，常数项为()446115C -= 考点：二项式定理11.圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为______________.【答案】22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++= 【解析】 【分析】设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，根据圆心在直线30x y -=，得到3b a =，再根据圆与x 轴相切，得出圆的方程为222()(3)9x a y a a -+-=，结合圆的弦长公式，求得a 的值，即可求得圆的方程. 【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，可得圆心坐标为(,)a b ，半径为()0r r >， 由圆心在直线30x y -=，可得30a b -=，即3b a =， 又由圆与x 轴相切，可得3r b a ==， 所以圆的方程为222()(3)9x a y a a -+-=，则圆心到直线的距离为d ==，根据圆的弦长公式，可得222(92a +=， 化简得21a =，解得1a =±，所以所求圆的方程为22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=. 故答案为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中设出圆的标准方程，数练应用圆的弦长公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12.曲线1xy e x=-在点(1,(1))f 处的切线的斜率为_______，在该点处的切线方程为______. 【答案】 (1). 1e + (2). (1)2y e x =+- 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入1x =，得到切线的斜率，1x =代入函数解析式可得切点，点斜式即可得出结果．【详解】曲线1xy e x =-，可得x21e y x'=+， 所以曲线1xy e x=-在点()()1,f 1处的切线的斜率为：(1)1f e '=+． 因为(1)1f e =-，即切点为()1e ，-1，所以在切点处的切线方程为：()()()111y e e x --=+-，即(1)2y e x =+-故答案为：1e +；(1)2y e x =+-．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法及切点处的切线方程，考查计算能力，属于基础题．13.已知0,0a b >>，且33+122a b =++，则2+a b 的最小值为______________.【答案】3 【解析】 【分析】先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案. 【详解】由题意，设26(2)2(2)z a b a b =++=+++，又由()32336(2)[(2)2(2)]()9992222a b a b a b a b +++++⋅+=++≥++++++当且仅当()326(2)=22a b a b ++++时，即22)a b +=+时等号成立，即z 的最小值为9+2+a b 的最小值是3.故答案为3.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.14.在平行四边形ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r ，则AE AF ⋅=u u u r u u u r_______.【答案】52【解析】【分析】设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r，则2,1a b ==r r ，得到12AE b a =+u u u r r r ，2133AF a b =+u u u r r r ，利用向量的数量积的运算，即可求解．【详解】由题意，如图所示，设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r，则2,1a b ==r r ， 又由CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点，则12AE b a =+u u u r r r ，221()333AF b a b a b =+-=+u u u r r r r r r ，所以22121151()()233363AE AF a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+u u u r u u u r r r r r r r r r221515212cos6013632=⨯+⨯⨯+⨯=o ． 故答案为：52【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．15.已知函数21,1()242,1xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+->⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围是_______. 【答案】102a <<或12a ≤< 【解析】 【分析】根据解析式作出图象，将关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有两个互异的实数解，转化为()y f x =与()a R y a ∈=的图象有两个不同的交点，由临界点位置即可得出结果.的【详解】作出21,1()242,1xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+->⎩和()()f x a a R =∈的图象如图， 因为关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有两个互异的实数解，所以()y f x =与()a R y a ∈=的图象有两个不同的交点，由图象可知102a <<或12a ≤<. 故答案为：102a <<或12a ≤<,【点睛】本题考查在函数与方程的数学思想在解决函数图象的交点问题中的应用，考查数形结合的思想，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足222(cos cos )b c a c a C c A +-=+.（1）求角A 的大小； （2）若cos B =sin(2)B A +的值； （3）若ABC V，3a =，求ABC V 的周长. 【答案】（1）3π；（2；（3）8 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，将题中条件进行转化，化简得到222b c a bc +-=，进一步应用余弦定理得到1cos 2A =，结合三角形内角的取值范围，得到角A 的大小； （2）利用同角三角函数关系式，得到3sinB =，之后应用余弦倍角公式和正弦和角公式求得结果；（3）利用三角形面积公式得到163bc =，结合余弦定理求得5b c +=，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）∵222(cos cos )b c a c a C c A +-=+，由余弦定理得，222222222()22a b cb c ab c a c acabbc+-+-+-=+.化简得，222b c a bc +-=.∴2221cos 22b c a A bc +-==. 又0A π<<， ∴3A π=.（2）由已知得，sin B =.∴sin 22sin cos B B B =， 21cos 22cos 13B B =-=-.∴sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 333B A B B B πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭（3）∵11sin 22S bc A bc ===∴163bc =. 由余弦定理得，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A . 即2169()33b c =+-⨯， 解得5b c +=.∴ABC ∆的周长为8a b c ++=.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换，属于简单题目.17.如图，直三棱柱111-ABC A B C 的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.（1）求证：AE ⊥平面1A BD ；（2）求直线AB 与平面1A BD 所成角的正弦值； （3）求二面角11B A D B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2；（3 【解析】 【分析】（1）取11A C 的中点G ，连接DG ，以D 为坐标原点，以DG ，DA ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得1AE DA DB u u r u u u r u u u r,，，证得1AE DA ⊥，AE DB ⊥，即可求解；（2）由（1）得到(1,2,0)n =-r，即为平面1A BD 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；（3）求得平面11A B D 的法向量m u r，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）如图所示，取11A C 的中点G ，连接DG ，由直三棱柱111-ABC A B C 的所有棱长都是2，D 是AC 中点，BD AC ⊥，又平面ACB ⊥平面11ACC A ，平面ACB I 平面11ACC A AC =，BD ⊂平面ABC ， 所以BD ⊥平面11ACC A ，由,D G 分别为11,AC A C 的中点，可得DG AC ⊥,可得DG ，DA ，DB 两两垂直.以D 为坐标原点，以DG ，DA ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(0,1,0)A ，1(2,1,0)A ，(1,1,0)E -，B ，1(20B ,，可得1(120),(210)AE DA =-=u u r u u u r,,,,，DB =u u u r，∵10AE DA ⋅=u u u r u u u u r ，0AE DB ⋅=u u u r u u u r ，∴1AE DA ⊥，AE DB ⊥，又1DA DB D =I ，∴AE ⊥平面1A BD .（2）由（1）可得AE ⊥平面1A BD ，则(1,2,0)n AE ==-r u u u r，即为平面1A BD 的一个法向量，又由(0,AB =-u u u r，设直线AB 与平面1A BD 所成的角为α，可得sin cos ,AB n αAB n AB n ⋅====⋅u u u r r u u u r r u u u r r 所以直线AB 与平面1A BD. （3）设平面11A B D 的法向量(,,)m x y z =u r，因为11(2,1,0),DA DB ==u u u r u u u r ，可得1100m DA m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v，即2020x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，不妨取x2)m =--u r.设二面角11B A D B --的平面角为θ，由cos cos ,m n θm n m n⋅====⋅u r r u r r u r r 所以二面角11B A D B --.【点睛】本题考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及利用空间向量求解线面角与二面角，着重考查了推理与运算能力.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2347n n S a n =+-.（1）证明：数列{2}n a -为等比数列； （2）若()()1211n n n n a b a a +-=--，求数列{}n b 的前n 项和nT .【答案】（1（详见解析（2（114232n n nT =-⨯+ 【解析】 【分析】（1）由2347n n S a n =+-可得1123411?2n n S a n n --=+-≥（）（两式作差整理即可得到()1232n n a a --=-，从而可得数列{}2n a -为等比数列；（2）先由（1（写出132n n a -=+（从而可得()()()()11112311111231313131n n n n nn n n n a b a a ---+-⎛⎫===- ⎪--++++⎝⎭，进而可直接求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】解：（1）当1n =时，11233a a =-，则13a =.当2n ≥时，因为2347n n S a n =+-，所以1123411n n S a n --=+-（ 则()1234n n n a a a -=-+，即134n n a a -=-.从而()1232n n a a --=-，即1232n n a a --=-. 因为13a =，所以121a -=.所以数列{}2n a -是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）可得123n n a --=，即132n n a -=+.因为()()1211n n n n a b a a +-=--，所以()()1113111231313131n n n nn n b ---⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭. 则011221111111111123131313131313131n n n n n T ---⎛⎫=⨯-+-+⋯+-+- ⎪++++++++⎝⎭（ 故0111111112313122314232n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⨯+⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题第一问主要考查等比数列的证明，只需数列的第n 项与第n -1项之比为非零常数即可;第二问主要考查裂项相消的方法求数列的前n 项和;属于基础试题.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率为13．（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设椭圆C 的左，右焦点分别为1F ，2F 左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N ，为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若12320k k +=，求直线1F M 的方程.【答案】（1）22198x y +=（2）0y -+=【解析】 【分析】（1）由题意可得：2b ＝，c 1a 3=，a 2＝b 2+c 2．联立解出即可得出椭圆C 的标准方程．（2）A （﹣3，0），B （3，0），F 1（﹣1，0），F 2（1，0），设F 1M 的方程为：x ＝my ﹣1，M （11x ,y ），（1y ＞0），直线F 1M 与椭圆的另一个交点为M ′（22x ,y ）．由12F M //F N 根据对称性可得：()22N x ,y --.直线方程与椭圆方程联立化为：（8m 2+9）y 2﹣16my ﹣64＝0，根据根与系数的关系及其123k 2k 0+=，得12123y 2y my 2my 2+=++0，联立解得m ．【详解】（1）由题意，得2b =c 1a 3=. 又222a c b -=，∴a 3=，b =，c 1=.∴椭圆C 的标准方程为22x y 198+=（2）由（1），可知()A 3,0-，()B 3,0，()1F 1,0-. 据题意，直线1F M 的方程为x my 1=-记直线1F M 与椭圆的另一交点为M '，设()()111M x ,y y 0>，()22M x ,y '. ∵12F M //F N ，根据对称性，得()22N x ,y --.联立228x 9y 721x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()228m 9y 16my 640+--=，其判别式Δ0>， ∴12216m y y 8m 9+=+，12264y y 8m 9=-+.① 由123k 2k 0+=，得12123y 2y 0my 2my 2+=++，即12125my y 6y 4y 0++=.②由①②，解得12128m y 8m 9=+，22112my 8m 9-=+ ∵1y 0>，∴m 0>. ∴()()12222128m?112m 64y y 8m 98m 9--==++.∴m =. ∴直线1F M的方程为x 1=-，即y 0-+=. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20.已知函数1ln ()12x f x ax a x=-+-，其中a R ∈. （1）若()f x 为单调递减函数，求a 的取值范围； （2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）(2,)+∞ 【解析】 【分析】（1）求出导函数211ln ()2x f x a x '-=-，使()0f x '≤，分离参数可得222ln x a x -≤，设222ln ()x g x x-=，利用导数求出()g x 的最小值即可求解.（2）21(1)ln 2()ax a x xf x x---=，设21()(1)ln 2h x ax a x x =---，函数()f x 有两个不同的零点等价于函数()h x 有两个不同的零点，求出(1)(1)()x x h x xα'+-=，分类讨论当0a ≥、1a =-、10a -<<或1a <-时，利用导数判断函数的单调性即可得出函数的零点个数，进而确定a 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ∵1ln ()12xf x ax a x=-+-，∴211ln ()2xf x a x '-=-. 若函数()f x 为单调递减函数，则()0f x '≤∴222ln xa x -≤ 对(0,)x ∈+∞恒成立. 设222ln ()xg x x -=. 令34ln 6()0x g x x '-==， 解得3ln 2x =.∴32x e =.令34ln 6()0x g x x '-=>，解得32x e >， 令34ln 6()0x g x x'-=<，解得320x e <<， ∴函数()g x 在320,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴函数()g x 的最小值为3231g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴31a e ≤-，即a 的取值范围是31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.（2）由已知，21(1)ln 2()ax a x xf x x---=. 设21()(1)ln 2h x ax a x x =---，则函数()f x 有两个不同的零点等价于函数()h x 有两个不同的零点.∵21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x x h x ax a x x xα'---+-=---==， ∴1o 当0a ≥时，函数()h x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增. 若函数()h x 有两个不同的零点， 则1(1)102h a =-+<，即2a >. .当2a >时，当(1,)x ∈+∞时，(2)22(1)ln 22ln 20h a a =---=->. 当(0,1)x ∈时，()21()2ln 2h x a x x x x =-+-， ∵2120x x -<-<， ∴1()ln 2h x a x x >-+-. ∴111122221ln 02a a a a h e a e e e ----⎛⎫>-+-=> ⎪⎝⎭.∴函数()h x 在(0,1)，(1,)+∞上各有一个零点. 故2a >符合题意.2o 当1a =-时，∵函数()h x 在(0,)+∞单调递减， ∴函数()h x 至多有一个零点，不符合题意.3o 当10a -<<时，∵函数()h x 在(0,1)单调递减，在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减， ∴函数()h x 的极小值为1(1)102h a =-+>. ∴函数()h x 至多有一个零点，不符合题意.4o 当1a <-时，∵函数()h x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在(1,)+∞单调递减， ∴函数()h x 的极小值为111ln()02h a a a ⎛⎫-=-+-> ⎪⎝⎭. ∴函数()h x 至多有一个零点，不符合题意. 综上，a 的取值范围是(2,)+∞.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点个数，考查了分类讨论的思想，属于难题.。

一、单选题1. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是A．B．C．D．3.设均为实数，且，，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知,,,则,,的大小关系为（ ）A．B．C．D．5. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，将地球看作一个球，卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆盖的范围即为一个球冠，称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积．球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得较短的一段叫做球冠的高．设球面半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的表面积为．已知一颗地球静止同步通信卫星距地球表面的最近距离与地球半径之比为5，则它的信号覆盖面积与地球表面积之比为（）A．B．C．D．6.已知集合，，则集合子集的个数为（ ）A．B．C．D．7. 下列判断错误的是（ ）A ．若随机变量服从正态分布，则B ．若组数据的散点都在上，则相关系数C ．若随机变量服从二项分布：，则D ．am ＞bm 是a ＞b 的充分不必要条件8. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.则估计全市居民月均用水量的中位数是（ ）天津市河北区2022届高三下学期总复习质量检测(二)数学试题天津市河北区2022届高三下学期总复习质量检测(二)数学试题二、多选题A ．2.25吨B ．2.24吨C ．2.06吨D ．2.04吨9. 如图，已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，点P 在椭圆C 上，则下列条件中能使C 的离心率为的是（）A．B．C ．轴，且D．四边形的内切圆过焦点，10. 已知函数，且，若函数向右平移个单位长度后为偶函数，则（ ）A．B ．函数在区间上单调递增C ．的最小值为D ．的最小值为11. 约翰逊多面体是指除了正多面体､半正多面体（包括13种阿基米德多面体､无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱､无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔､平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三､四､五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（）A ．共有15条棱B．表面积为C．高为D．外接球的体积为12.如图，在直三棱柱中，，，，点M 在线段上，且，N 为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）三、填空题四、解答题A ．当N为的中点时，直线与平面所成角的正切值为B．当时，平面C．的周长的最小值为D ．存在点N ，使得三棱锥的体积为13. 某游乐场中的摩天轮做匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．14. 小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择_______上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”)参考数据：若则，，15.已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则____________.16.在某班组织的一次篮球定点投篮比赛中，规定：每人最多投三次，在处每投中一球得分，在处每投中一球得分，如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.某同学在处投中的概率为，在处投中的概率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投.用表示该同学投篮比赛结束后所得的总分，其分布列为（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望.17. 某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，下表是该商场连续五天的日销售情况：温度温度变量12345销售量（万份）0.30.30.50.91其中，温度变量对应的销售量为.(1)建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在，（）区间时的该饮品的日销售量；（附：）(2)为了了解消费群体中男女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了2×2列联表为：喜欢一般合计女9020110男7040110合计16060220依据的独立性检验，能否认为喜欢程度与性别有关联？附：，.0.150.10.050.0250.010.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63510.828(3)超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：百份）五组，并绘制了如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量.18. 已知函数．(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个零点，求证：．19. 已知三角形的三个顶点，，.（1）求边所在直线方程；（2）求边上中线所在直线方程.20. 如图，几何体ABCDEF中，矩形CDEF所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，，，，H为AB的中点.(1)证明：平面平面CFH；(2)若几何体ABCDEF的体积为4，求CF.21. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？。

河北区2016－2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )· 如果事件A ，B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )g P (B )· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343Rπ其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{x ∈R | x ≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为（A ）{1，2，3} （B ）{3，4，5} （C ）{1，2}（D ）{4，5}（2）若x 、y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且 z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为（A ）2（B ）－2（C ）12（D ）－12（3）在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积为3，则AC 的长为（A ）3 （B ）13（C ）21 （D ）57 （4）执行如图所示的程序框图．如果输入 n ＝5， 则输出的S 值为（A ）49 （B ）89（C ）511 （D ）1011（5）已知条件 p ：|x ＋1|＞2，条件 q ：x ＞a ，且 ¬p 是 ¬q 的充分不必要条件， 则 a 的取值范围是（A ）a ≤1 （B ）a ≥1 （C ）a ≥－1 （D ）a ≤－3（6）已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的 斜率为 （A ）－2（B ）－43（C ）－34（D ）－12（7）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足 (OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 则△ABC 的形状为 （A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等边三角形（8）对任意的x ＞0，总有 ()|lg |f x a x x =--≤0，则a 的取值范围是 （A ）(－∞，lge －lg(lge)] （B ）(－∞，1]（C ）[1，lge －lg(lge)]（D ）[lge －lg(lge)，＋∞)河北区2016－2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

天津市河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（二）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{30}A x x x x =-<∈R ，，集合{2}B x x x =>∈R ，，则A B =（A ）(20)-， （B ）(23)-， （C ）(23)， （D ）(02)， （2）若复数i1ia z =--是纯虚数 (i 是虚数单位)，则实数a 的值为 （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D 2（3）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）16+2π（B ）16+π（C ）8+2π（D ）8+π（4）设a b ∈R ，，则“222a b a b ++=”是“2a b +≥”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与圆22430x y y +-+=相 切，则此双曲线的离心率为（A ）12（B（C（D ）2（6）若实数x ，y 满足条件02+0x y x x +y k ⎧⎪⎨⎪⎩≥，，，≤≤（k 为常数），且3z x +y =的最大值为12，则 实数k 的值为（A ）0（B ）24- （C ）2-1 （D ）9-（7）已知函数=()y f x 是R 上的偶函数，当12(0+)x x ∈∞，，时，都有 1212()[()()]<0x x f x f x --成立，若21=ln =(ln π)=πa b c ，，（A ）()>()>()f a f b f c （B ）()>()>()f c f a f b （C ）()>()>()f b f a f c （D ）()>()>()f c f b f a（8）若至少存在一个(0)x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取 值范围是开始输出S 0,1S n == 15?S ≥ 1n n =+2n S S n =++是结束否（A ）[45]-， （B ）[55]-， （C ）[45]， （D ）[54]-，河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ） 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ） 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1234}U =,,,，集合{13}A =,，{4}B =，则()U A B =I ð（ ）A. {2}B. {4}C. {24},D. {134},,2.命题“000,1x x R ex ∃∈>+”否定是（ ）A. ,1xx R e x ∀∈<+ B. 0001x x R e x ∃∈<+, C. ,1xx R e x ∀∈≤+D. 0001x x R ex ∃∈≤+,3.若复数()122aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A. 1B. 1-C. 16D. 16-4.袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是（ ）A. 35 B.45 C. 720D. 13205.某班同学进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p ，a 的值分别为（ ）A. 0.79，20B. 0.195，40C. 0.65，60D. 0.975，806.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>和直线153x y +=，若过C左焦点和点(0,)b -的直线与l 平行，则双曲线C 的离心率为 A54B.53C.43D. 57.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，直线()2py k x =-交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若等边三角形AFE的面积为，则BEF ∆的面积为（ ） A.B. C. 16D. 8.已知函数2()cos cos f x x x x =+，则（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 的图象关于点(,0)12π-对称C. ()f x 的最大值为2D. ()f x 的图象关于直线6x π=对称9.已知函数()ln ()f x x x m m =-+∈R ，若()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，下列选项中不正确的是（ ）的.A. 1m <-B. 1212x x x ex -= C. 101x << D. 122x x +≤第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.10.6x ⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为________．11.圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得弦长为的圆的方程为______________. 12.曲线1xy e x=-在点(1,(1))f 处的切线的斜率为_______，在该点处的切线方程为______. 13.已知0,0a b >>，且33+122a b =++，则2+a b 的最小值为______________.14.在平行四边形ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =u u u ru u u r ，2DF FB =u u u ru u u r ，则AE AF ⋅=u u u r u u u r_______.15.已知函数21,1()242,1xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+->⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围是_______.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足222(cos cos )b c a c a C c A +-=+.（1）求角A 的大小； （2）若cos 3B =，求sin(2)B A +的值； （3）若ABC V，3a =，求ABC V 的周长. 17.如图，直三棱柱111-ABC A B C 的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.的（1）求证：AE ⊥平面1A BD ；（2）求直线AB 与平面1A BD 所成角的正弦值； （3）求二面角11B A D B --的余弦值.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2347n n S a n =+-. （1）证明：数列{2}n a -为等比数列； （2）若()()1211n n n n a b a a +-=--，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率为13．（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设椭圆C 的左，右焦点分别为1F ，2F 左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N ，为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若12320k k +=，求直线1F M 的方程.20.已知函数1ln ()12xf x ax a x=-+-，其中a R ∈. （1）若()f x 为单调递减函数，求a取值范围；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.。

天津市河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（二）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么 P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ） · 如果事件A ，B 相互独立，那么 P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ） · 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{30}A x x x x =-<∈R ，，集合{2}B x x x =>∈R ，，则A B =I（A ）(20)-， （B ）(23)-， （C ）(23)， （D ）(02)， （2）若复数i1ia z =--是纯虚数 (i 是虚数单位)，则实数a 的值为 （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 （3）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）16+2π（B ）16+π（C ）8+2π（D ）8+π（4）设a b ∈R ，，则“222a b a b ++=”是“2a b +≥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与圆22430x y y +-+=相 切，则此双曲线的离心率为（A ）12（B ）2（C ）3 （D ）2（6）若实数x ，y 满足条件02+0x y x x +y k ⎧⎪⎨⎪⎩≥，，，≤≤（k 为常数），且3z x +y =的最大值为12，则 实数k 的值为（A ）0（B ）24- （C ）2-1 （D ）9-（7）已知函数=()y f x 是R 上的偶函数，当12(0+)x x ∈∞，，时，都有 1212()[()()]<0x x f x f x -- 成立，若21=ln =(ln π)=ln ππa b c ，，，则（A ）()>()>()f a f b f c （B ）()>()>()f c f a f b （C ）()>()>()f b f a f c （D ）()>()>()f c f b f a（8）若至少存在一个(0)x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取 值范围是（A ）[45]-， （B ）[55]-， （C ）[45]， （D ）[54]-，河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期教学检测选择题部分（共40分）一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B..平均数 C .中位数 D .标准差 3.已知i 是虚数单位，若i 1zi3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i 4．设l 是直线，a ，β是两个不同的平面,A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β,l ∥a ，则l ⊥β5． 函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为 A 32+ B .4 C . 3 D .32-6．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A.2x y =B.2x y = C .28x y = D .216x y = 8．已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f . 其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是______.10. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线 方程是 ．11. 曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 . 12. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则_____;a 5= 13. 已知平面向量(2,4)a=，．2),1(b -=若()c a a b b =-⋅，则||c=_____________．14. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距 离，则实数a=_______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且。

河北区2023-2024学年度第一学期期末高三年级质量检测数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}36M x x =-<<，集合{}2,0,2,4,6N =-，则M N ⋂=（）A.{}0,2,4 B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4,6 D.{}2,42.设x ∈R ，则“220x x -<”是“11x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数|2|()lncos x f x x π=-的部分图像大致为（）A. B.C. D.4.若0.521,log 0.3,2b a b c a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b <<5.底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（）A.32,243B.32,63C.32，24D.32，66.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为0T ，环境温度为1T ，经过一段时间t （单位：分钟）后物体的温度是T ，满足()10112atT T T T ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.将85℃的热水放到21℃的房间中，如果热水降到37℃需要16分钟，那么从37℃降到29℃还需要多少分钟？（）A.2B.4C.6D.87.函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象，则下列命题中不正确．．．的是A.函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π；B.函数()y g x =图象关于1112π=x 对称；C.函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称；D.函数()y g x =在5(0,)12π内为单调减函数.8.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2.抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线交双曲线于A B 、两点.若ABF △为等边三角形，则双曲线C 的焦距为（）A .2B.4C. D.9.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若2,45AB AD BAD ==∠=︒，则AF BE ⋅等于（）A.32-B.2-C.12-D.1-第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将案写在答题纸上）10.i 是虚数单位，则复数12i1i-+的共轭复数为______.11.已知0a >，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含4x 项的系数为40，则=a ______.12.将直线0x y c -+=向右平移一个单位后，被圆225x y +=截得的弦长为23，则c =______.13.甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是12，乙命中的概率是23，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______.14.已知0t >，则3321t t t +++的最小值为______.15.若函数()2413f x x a x =--+恰有两个不同的零点12x x 、，且12x x <，则2x 的取值范围为______.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)35a b c =+，sin 5sin A B =.（1）求cos C 的值；（2）求sin A 的值；（3）求πsin 24C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17.如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，//AB CD ，,222,,AB BC AB CD BC EA EB O ⊥===⊥为AB 的中点.（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上有一点F ，满足13EF EA =，求证：//EC 平面FBD .18.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴的两个端点为,A B ，且四边形12F AF B是边长为2的正方形.,C D 分别是椭圆的左右顶点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆E 于点P .（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：OM OP ⋅为定值.19.已知{}n a 是等差数列，其公差d 不等于0，其前n 项和为{},n n S b 是等比数列，且11223131,,2a b a b S a b ===-=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；（3）记1222n n n n a c a a ++=，求{}n c 的前n 项和n P .20.已知函数()241ex ax x f x +-=.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间；（3）在（2）的条件下，当[]1,3x ∈时，()112f x ≤≤，求实数a 的取值范围.河北区2023-2024学年度第一学期期末高三年级质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}36M x x =-<<，集合{}2,0,2,4,6N =-，则M N ⋂=（）A.{}0,2,4 B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4,6 D.{}2,4【答案】B 【解析】【分析】根据集合的交集运算，直接求交集即可.【详解】由{}|36M x x =-<<，{}2,0,2,4,6N =-，可得M N ⋂={}2,0,2,4-.故选：B.2.设x ∈R ，则“220x x -<”是“11x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】分别求出两个命题，得到递推关系，最后得到充分性和必要性即可.【详解】由220x x -<，解得02x <<，由11x -<，解得02x <<，所以“220x x -<”是“11x -<”的充要条件，故选：C 3.函数|2|()lncos x f x x π=-的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除两个答案，再根据2x =时，函数值的正负可得正确答案.【详解】因为|2()|()ln cos()()x f x x f x π--=--=，所以()f x 为偶函数，排除A,D ；当2x =时，(2)ln co 4s 20f π=->，故排除C ；故选B.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应函数图象，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用函数的性质和特殊点寻找解题的突破口.4.若0.521,log 0.3,2b a b c a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数单调性，判断出,,a b c 的范围，从而可得答案．【详解】因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，所以0.511010122a ⎛⎫⎛⎫<<=⇒<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log lo 0g 100.3b =⇒<<，因为x y a =是单调递减函数，011b a a c >⇒>=，综上，b a c <<，故选：A ．5.底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（）A.32,243B.32,63C.32，24D.32，6【答案】A 【解析】【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高，根据体积、侧面积公式求结果.【详解】由正四棱锥底面为正方形，且底面中心为顶点在底面上射影，结合题设，底面对角线长为44==，所以正四棱锥的体积为132433⨯⨯=，侧面积为1242⨯=.故选：A.6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为0T ，环境温度为1T ，经过一段时间t （单位：分钟）后物体的温度是T ，满足()10112atT T T T ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.将85℃的热水放到21℃的房间中，如果热水降到37℃需要16分钟，那么从37℃降到29℃还需要多少分钟？（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】由题设，将0185,37,16T T t ===代入并应用指数运算求得18a =，再将0137,21T T ==代入公式求从37℃降到29℃需要的时间.【详解】由题设()161372185212a⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，可得18a =，所以()810112t T T T T ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()81292137212t ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，可得8t =.故选：D7.函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象，则下列命题中不正确．．．的是A.函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π；B.函数()y g x =图象关于1112π=x 对称；C.函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称；D.函数()y g x =在5(0,)12π内为单调减函数.【答案】C 【解析】【分析】本题首先可通过函数()f x 的解析式得出函数()g x 的解析式，再通过函数()g x 的解析式得出函数()g x 的对称中心横坐标，即可得出答案．【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位后得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()g x 的对称中心横坐标为262x k πππ+=+，即()62k x k Z ππ=+∈，C 选项错误，故选C．【点睛】一般地，我们研究函数()cos y A x ωϕ=+的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们可以先确定u x ωϕ=+的单调性，再通过函数的单调性确定外函数cos y u =的单调区间后求出x 的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由cos y u =的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心．8.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2.抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线交双曲线于A B 、两点.若ABF △为等边三角形，则双曲线C 的焦距为（）A.2B.4C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题可得A ⎛- ⎝，代入双曲线222213x y a a -=，即可得解.【详解】抛物线的准线交双曲线于A B 、两点.设()()0001,1,,0A y B y y --->，，22222222:1(0,0),213x y c x y C a b a b a a a-=>>=∴-= ，,F 到准线距离为2,ABF 为等边三角形,002222AB y y ∴==∴=，代入双曲线222213x y a a-=,可得2241331a a -=⨯，解得2222054,,23993a c a c c ∴==∴===，，故选:D ．9.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若2,45AB AD BAD ==∠=︒，则AF BE ⋅等于（）A.32-B.2-C.12-D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到:::1:3DF BA DE BE EF AE ===，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，将向量用AD ，AB表示，计算即可得到结果．【详解】平行四边形ABCD ，2AB =，AD =，45BAD ∠=︒，//DF AB ，可得DEF BEA ∽，E 是线段OD 的中点，可得:::1:3DF BA DE BE EF AE ===，441211()()332322AF AE AO AD AB AD AD ==⨯+=++ 2131()3223AB AD AB AD =+=+；33()44BE BD AD AB ==- ，则31()43AF BE AD AB AB AD ⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪⎝⎭ 2212()3433AD AB AB AD =--⋅ 12(24)43233=⨯-⨯-⨯321432⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将案写在答题纸上）10.i 是虚数单位，则复数12i1i-+的共轭复数为______.【答案】13i 22-+【解析】【分析】根据复数除法运算和共轭复数概念即可.【详解】()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222-----===--++-，则其共轭复数为13i 22-+，故答案为：13i 22-+.11.已知0a >，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含4x 项的系数为40，则=a ______.【答案】2【解析】【分析】求出展开式的通项公式，然后令x 的指数为4，由此建立方程即可求解【详解】展开式的通项公式为2(5)103155C ()C r r r r r rr a T x a x x--+=⋅=，令1034r -=，解得2r =，所以4x 项的系数为2225C 1040a a ==，解得2a =±,又0a >，所以2a =故答案为：212.将直线0x y c -+=向右平移一个单位后，被圆225x y +=截得的弦长为，则c =______.【答案】3或1-【解析】【分析】求出平移后直线的方程，再根据平移后的直线被圆截得的弦长，列式计算，即可得答案.【详解】由题意将直线0x y c -+=向右平移一个单位后，得到的直线的方程为10x y c --+=，圆225x y +=的圆心(00),到该直线的距离为d =，由于直线10x y c --+=被圆225x y +=截得的弦长为故=3c =或1c =-，故答案为：3或1-13.甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是12，乙命中的概率是23，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______.【答案】①.16②.37【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答案.根再根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为111224⨯=，则甲乙二人全部命中的概率为121436⨯=，两人至少命中两次为事件A ,甲恰好命中两次为事件B,()()111111112711222322322312P A P A =-=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=，()111112322322312P AB =⨯⨯+⨯⨯=，所以()()()33127712P AB P B A P A ===∣.故答案为：16,37.14.已知0t >，则3321t t t +++的最小值为______.【答案】1+##1+【解析】【分析】先将式子3321t t t +++化简消去分子的t ，进而利用基本不等式即可求解.【详解】因为0t >，所以()()()33212133221212221231t t t t t t t t +++++=+=+++++11≥+=+，当且仅当()()2321221t t +=+，即312t -=时，等号成立.所以3321tt t +++1.1+.15.若函数()2413f x x a x =--+恰有两个不同的零点12x x 、，且12x x <，则2x 的取值范围为______.【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】题意转化为方程2413x a x +=-恰有两个不同的根，即21y x =+与43y a x =-恰有两个不同的交点，数形结合可求得结果.【详解】由题意函数()f x 恰有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，即方程2413x a x +=-恰有两个不同的根1x ，2x ，且显然0a >，即21y x =+与43y a x =-恰有两个不同的交点，设43y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与21y x =+相切，则2413x k x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有两个等根，由Δ0=即244103k k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得23k =-或6.所以当23a =时，2433y x =-与21y x =+的图象如图所示，当6a =时，463y x =-与21y x =+的图象如图所示，所以当263a <<时，21y x =+与43y a x =-恰有两个不同的交点，即方程2413x a x +=-恰有两个不同的根,当23a =时，对应的直线2433y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭与21y x =+相切，解得切点横坐标为13-，当6a =时，对应的直线463y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭与21y x =+相交，解得两交点横坐标为7-和1，又12x x <，所以函数21y x =+与43y a x =-恰有两个不同的交点，则2113x -<<.所以2x 的取值范围为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：函数()2413f x x a x =--+恰有两个不同的零点1x ，2x ，即转化为函数21y x =+与43y a x =-恰有两个不同的交点，数形结合找到相切时的临界情况运算得解.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)3a b c =+，sin A B =.（1）求cos C 的值；（2）求sin A 的值；（3）求πsin 24C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）5（2）1（3）10【解析】【分析】（1）先根据正弦定理求得,a b 的关系，然后结合已知条件求得,b c 的关系，最后根据余弦定理求解出cos C 的值；（2）先求解出sin C ，然后根据正弦定理求解出sin A ；（3）先根据二倍角公式求解出sin 2,cos 2C C 的值，然后根据两角和的正弦公式求解出结果.【小问1详解】sin A B =，由正弦定理可得a =，)3,2a b c c b =+∴= .由余弦定理可得2222225cos 25a b c C ab +-===.【小问2详解】()0,π,sin 5C C ∈== ，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin 5sin 12a C A c b⋅⋅===，sin 1A ∴=.【小问3详解】243sin22sin cos ,cos22cos 155C C C C C ===-=-，πππ43sin 2sin2cos cos2sin 444525210C C C ⎛⎫∴+=+=⨯⨯ ⎪⎝⎭.17.如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，//AB CD ，,222,,AB BC AB CD BC EA EB O ⊥===⊥为AB 的中点.（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上有一点F ，满足13EF EA =，求证：//EC 平面FBD .【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设知AB EO ⊥、AB OD ⊥，再由线面垂直的判定、性质证结论；（2）由面面垂直的性质得EO OD ⊥，构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角；（3）根据（2）坐标系，向量法证明线面平行即可.【小问1详解】由,EA EB O =为AB 的中点，得AB EO ⊥.四边形ABCD 为直角梯形，且22,AB CD BC AB BC ==⊥，所以四边形OBCD 为正方形，则AB OD ⊥，又EO OD O = ，,EO OD ⊂面EOD ，所以AB ⊥平面EOD ，DE ⊂平面EOD ，则AB DE ⊥.【小问2详解】面ABE ⊥面ABCD ，且AB EO ⊥，面ABE ⋂面ABCD AB =，EO ⊂面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，则EO OD ⊥，故,,OB OD OE 两两垂直，以O 为原点，分别以,,OB OD OE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.三角形ABE 为等腰直角三角形，且1OA OB OD OE ====，则()()()()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1O A B C D E -，故()1,1,1EC =- .平面ABE 的一个法向量为()0,1,0OD = ，设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,3EC OD EC OD EC OD θ⋅=== ，即直线EC 与面ABE所成角正弦值为3.【小问3详解】由（2）知()1,0,1EA =-- ，而111,0,333EF EA ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ ，得12,0,33F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故42,0,33FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，且()1,1,0BD =- ，设面FBD 的法向量为(),,m x y z = ，则042033m BD x y m FB x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得()1,1,2m = .所以()()1,1,11,1,20EC m ⋅=-⋅= ，且EC ⊄平面FBD ，故//EC 平面FBD .18.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴的两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形.,C D 分别是椭圆的左右顶点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆E 于点P .（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：OM OP ⋅ 为定值.【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题设得1||2,F A a b c ===，结合椭圆参数关系即可得方程；（2）设直线CM 的方程为()2y k x =+，联立椭圆并应用韦达定理求P 坐标，根据已知确定M 坐标，再由向量数量积的坐标表示求OM OP ⋅ ，即可证.【小问1详解】由题设1||2,F A a b c ===，222a b c =+，得222,4b a ==，椭圆的方程为22142x y +=.【小问2详解】由（1）知()()2,0,2,0C D -，由题意知，直线CM 的斜率存在且不为0，设直线CM 的方程为()2y k x =+，联立()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2222128840k x k x k +++-=，其中C 是直线与椭圆一个交点，所以2284212P k x k --=+，则222412P k x k -=+，代入直线得2412P k y k =+，故222244,1212k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又MD CD ⊥，将2x =代入()2y k x =+，得4M y k =，则()2,4M k .所以2222222444816244121212k k k k OM OP k k k k--+⋅=⋅+⋅==+++ ，为定值.19.已知{}n a 是等差数列，其公差d 不等于0，其前n 项和为{},n n S b 是等比数列，且11223131,,2a b a b S a b ===-=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；（3）记1222n n n n a c a a ++=，求{}n c 的前n 项和n P .【答案】（1）n a n =，12n n b -=（2）()121nn T n =-⋅+（3）()()22511164142n n --++【解析】【分析】（1）根据条件列出关于,d q 的方程组，由此求解出,d q 的值，则{}n a 和{}n b 的通项公式可求；（2）利用错位相减法求解出n T ；（3）先将{}n c 的通项公式裂项为()2211142n n ⎛⎫ ⎪- ⎪+⎝⎭，然后采用裂项相消法求和.【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，11223131,,2a b a b S a b ===-= ，∴223132a b S a b =⎧⎨-=⎩，即2113d q d q +=⎧⎨+=⎩，整理得20d d -=，0d ≠ ，1,2d q ∴==，1111,122n n n n a n n b --∴=+-==⋅=.【小问2详解】12n n n a b n -=⋅ ，设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，则12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，将以上两式相减得：231122222n n n T n --=++++⋅⋅⋅+-⋅()()112212112n n n n n ⋅-=-⋅=---，()121n n T n ∴=-⋅+.【小问3详解】()()122222*********n n n n a n c a a n n n n ++⎛⎫+ ⎪===- ⎪++⎝⎭，()2222221111111413242n P n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎣⎦()()()()22222111151114216124142n n n n ⎡⎤=+--=--⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦.20.已知函数()241ex ax x f x +-=.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间；（3）在（2）的条件下，当[]1,3x ∈时，()112f x ≤≤，求实数a 的取值范围.【答案】（1）21y x =-（2）单调递减区间是()1,,2,4a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,24a ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）2e e 1,816⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）当1a =时，分别求出()()0,0f f '的值即可得解.（2）对函数()f x 求导，令()()()4120e x ax x f x +-=-='，得2x =或14x a =-，且满足1024a -<<，进一步即可得解.（3）由题意只需()()min max 1,12f x f x ≤≤，即()()()234116136211,21,3e 2e e 2a a a f f f ++=≥=≤=≥，解不等式即可得解.【小问1详解】1a =时，()()()()220414721,,02,01e e ex x x x x x f x f x f f +--++-===='=-'，()120y x ∴+=-，整理得21y x =-.∴曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =-.【小问2详解】()241e xax x f x +-=，()()()()2248124128141e e e x x xax a x ax x ax ax x f x '---+-+--+==-=-，令()0f x '=，0a > ，解得2x =或14x a =-，且满足1024a-<<.当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：x 1,4a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14-a 1,24a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ∴函数()y f x =单调递减区间是()1,,2,4a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,24a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问3详解】由（2）可知，函数()y f x =在区间[)1,2单调递增，在区间(]2,3单调递减，()()()234116136211,21,3e 2e e 2a a a f f f ++∴=≥=≤=≥，解得23e 8e 116e 472a a a ⎧≥⎪⎪-⎪≤⎨⎪⎪-≥⎪⎩，()2333e e 9e 4e e 49e e 9e 0728727272------=<=< ，∴实数a 的取值范围为2e e 1,816⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：第二问的关键是将极值点先求出来，然后根据导数与单调性的关系即可得解，第三问的关键是由()()min max 1,12f x f x ≤≤，列出相应的不等式，从而即可顺利得解.。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，,A B A A B =⊆,所以满足2a ≥，所以答案选择D.知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：22．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限解析：22=(12i)14434z i i i +=++=-+，所以复数对应的点（-3,4）点在第二象限。

知识点;推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方 难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A（B）2（C（D）2解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线 难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈ （C ） 2A ∈，且A （DAA的正方形，高为4的正四棱锥，所以每=D 。

知识点：立体几何-------空间几何体----------空间几何体的三视图和直观图 难度系数：25．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：平面向量a ，b ，c 均为非零向量，()0⋅-=a b c ，可以得出=b c 或者()⊥-a b c ；所以为必要不充分条件。

天津市部分区2020年高三质量调查试卷（二）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．221916x y -= 11．2- 12． 13．2 14．2；10 15．920-三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取2人、2人、3人． ……………………………………………………………3分 （2）（ⅰ）依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4．………………4分所以，45247()(2,3,4)k kC C P X k k C -⋅===．…………………………………………5分 因此，所求随机变量X 的分布列为………………………………………………10分故随机变量X 的数学期望为1020520()2343535357E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………11分 （ⅱ）依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”.则有M B C =U ，且B 与C 互斥. 由①知，()(2),()(3)P B P X P C P X ====，所以6()()(2)(3).7P M P B C P X P X ===+==U ………………………13分 故事件M 发生的概率为67． ……………………………………………………14分 17.（1）证明：因为()2=31n n S a -（n ∈N *）， ①所以，当2n ≥时，有()-1-12=31n n S a -， ② ……………………………1分 ①-②得()()112=3n n n n S S a a ----， 即12=33n n n a a a --，所以1=3n n a a -（n ∈N *，2n ≥）．………………………3分 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． …………………………………………4分 又由①得()112=31S a -，所以13a =． …………………………………………5分所以111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………7分（2）解：由题意及（1）得()()21213=-=-n n n b n a n ． ………………………8分 所以()121333213=⨯+⨯++-⋅L n n T n ， ③所以()()23131333233213+=⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ， ④ …………10分 ③-④，得()1231213232323213+-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L n n n T n………………12分()()11231323333213+=-+++++--⋅L n n n()()()1133132213621331++-=-+⨯--⋅=----n n n n n ， …………14分故()1313n n T n +=+-． …………………………………………………………15分18.（1）证明：因为AB //CD ，90∠=oBAD ，所以90ADC ∠=o.又因为1==AD CD ，所以ACD ∆是等腰直角三角形,所以AC =45CAD ∠=o ． …………………………………………………2分又因为90∠=oBAD ，45ABC ∠=o，所以90ACB ∠=o，即AC BC ⊥． ………………………………………………3分 因为⊥PC 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥.又PC AC C =I ,所以BC ⊥平面PAC ． ………………………………………6分 （2）解：在Rt ∆ABC 中, 45ABC ∠=o，AC =BC =由（1）知，BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠是直线PB 与平面PAC所成的角，则sin BPC ∠=． ………7分 在Rt ∆PBC 中, sin 3BC PB BPC ===∠所以2PC ==． ……………………………………………………8分【方法一】以点C 为原点，分别以,,AC CB CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． …………………………9分 则()()()()0,0,0,0,0,2,,C P A B . 因为E 为PB的中点，所以0,12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(),0,2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．…………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2y z ⎧=+=⎩ 令2y =，得0,x z ==(0,2,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()0,1,0n =r为平面PAC 的一个法向量． ……………13分所以cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --…………………………………15分 【方法二】以点C 为原点，分别以,,CB CA CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． ………………………9分 则()()())0,0,0,0,0,2,,C P A B.因为E 为PB的中点，所以012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以(),2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． …………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2x z =+=⎩ 令2x =，得0,y z ==．所以(2,0,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()1,0,0n =r为平面PAC 的一个法向量.………………13分所以cos ,3m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --……………………………………15分 19.（1）解：设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c （0c >），则26c =，所以3c =． ……………………………………………………………1分因为直线AB 过C 的焦点1F ，且2ABF ∆的周长是， 所以()()()2112224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =． ……………………………………………………………………2分 所以2221899b a c =-=-=． …………………………………………………3分所以，椭圆C 的方程是221189x y +=． ……………………………………………4分（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线OP ：1y k x =，直线OQ ：2y k x =. 因为直线,OP OQ 与圆M 相切，=,化简，得22210010(6)260x k x y k y --+-=； 同理，得222020020(6)260x k x y k y --+-=．……………………………………6分所以12,k k 是一元二次方程2220000(6)260x k x y k y --+-=的两实数根，则有20122066y k k x -⋅=-．………………………………………………………………7分又因为点00(,)M x y 在C 上，所以22001189x y +=，即2200192y x =-， 所以()22001222001136122662x x k k x x --===---（定值）． ……………………………9分 （ⅱ）解：22OP OQ +是定值，且定值为27． ……………………………10分 理由如下：【方法一】设),(,),(2211y x Q y x P .由（1）、（2）联立方程组122,1,189y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得212122112118,1218.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ …………11分 所以2221112118(1)12k x y k ++=+． …………………………………………………12分同理，得2222222218(1)12k x y k ++=+． ……………………………………………13分 由（2）知1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221218(1)18(1)1212k k k k ++=+++ 22112211118(1())18(1)211212()2k k k k +-+=+++-2121275412k k +=+27=， 所以22=27OP OQ +（定值）．……………………………………………15分 【方法二】设),(,),(2211y x Q y x P , 由（2）知1212k k =-，所以2222121214y y x x =． ………………………………11分 因为),(,),(2211y x Q y x P 在C 上，所以221122221,1891,189x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 2211222219,219.2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………………………………12分 所以22221212111(9)(9)224x x x x --=，整理得221218x x +=， 所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………14分 故有22=27OP OQ +（定值）.………………………………………………15分 20.解：（1）由题意,得()()()()sin cos 4cos sin 2sin 4x x x f x e x x e x x e x '=-+++=+，………1分所以()04f '=．因为()03f =，所以()340y x -=-，即所求曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线方程为430x y -+=． ………3分 （2）易知，函数()h x 的定义域为R ，()2sin '=+g x x ， 且有()()''=-h x f x ()'ag x()()()()2sin 4sin 22sin 2=+-+=-+x x e x a x e a x ．……………5分由于sin 20+>x 在∈x R 上恒成立，所以①当0≤a 时，20->xe a 在∈x R 上恒成立，此时()0'>h x ，所以，()h x 在区间(),-∞+∞上单调递增． ……………………………………7分 ②当0>a 时，由()0'>h x ，即20->xe a ，解得ln2>ax ； 由()0'<h x ，即20-<xe a ，解得ln2<a x . 所以，()h x 在区间,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 上单调递减； 在区间ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增． ………………………………………9分 （3）易知，cos 0+-≤xx mx e等价于cos 0--≤x e x x m .设()cos ϕ=--x x e x x m （50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ）．…………………………………10分 由题意，对50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，不等式cos 0+-≤x x m x e 恒成立， 只需()max 0ϕ≤x ． ………………………………………………………………11分 易得()()cos sin 1'ϕ=--x x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . 令()()cos sin 1=--x t x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ， 所以()()2sin '=-x t x e x ． ……………………………………………………13分 显然，当50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0'≤t x 恒成立. 所以函数()t x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减，所以()()00≤=t x t ， 即()0'ϕ≤x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 恒成立．……………………………………………14分 所以，函数()ϕx 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减. 所以有()()max 010ϕ=ϕ=-≤x m ， …………………………………………15分 所以1≥m .故所求实数m 的取值范围是[)1,+∞． …………………………………………16分。

绝密★启用前2020届天津市河北区高考二模数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案：正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集{1234}U =,,,，集合{13}A =,，{4}B =，则()U A B =I ð（）A ．{2}B ．{4}C ．{24},D ．{134},,答案：B先根据补集的定义求出U C A ，再根据交集的定义求出()U A B I ð即可. 解：解：因为{1234}U =,,,，{13}A =,， 所以{}2,4U C A =，又因为{4}B =， 所以{}()4U A B =I ð. 故选：B. 点评：本题主要考查集合的交集和补集的运算，考查学生的计算能力，属于基础题. 2．命题“000,1x x R ex ∃∈>+”的否定是（）A ．,1xx R e x ∀∈<+ B ．0001x x R e x ∃∈<+, C ．,1x x R e x ∀∈≤+ D ．0001x x R ex ∃∈≤+,答案：C根据特称命题的否定是全称命题求解. 解：因为命题“000,1x x R ex ∃∈>+是特称命题，所以其否定为全称命题，即为命题：,1xx R e x ∀∈≤+. 故选：C 点评：本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3．若复数()122aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1- C ．16 D ．16-答案：C直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a 的值． 解：∵复数()()()()12212221422255ai i ai a ai i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴221455a a -+=，解得a 16=． 故选C ． 点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是（）A ．35B ．45 C ．720D ．1320答案：D从6个球中取三个球可能的情况三类，一类恰有一种颜色，二类恰有两种颜色，三种恰有三种颜色，即可求得恰有两种颜色的概率. 解：由题可得，从中任取三个球一共有3620C =种可能的情况，恰有一种颜色的情况有1种，即三个全是蓝球， 恰有三种颜色的情况有1236⨯⨯=种，所以恰有两种颜色的情况共13种情况，所以其概率为1320. 故选：D 点评：此题考查求古典概型，当正面分类计算比较麻烦的情况可以考虑利用对立事件求解概率.5．某班同学进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p ，a 的值分别为（）A ．0.79，20B ．0.195，40C ．0.65，60D ．0.975，80答案：C根据表格求出第一组人数，结合频率分布直方图求出总人数，分别求解每组人数即可得解. 解：第一组人数为1200.6=200÷人，由频率分布直方图可得第一组频率为50.4=0.2⨯， 所以20010000.2n ==， 所以第三组200人，第四组50.031000150⨯⨯=人，第五组100人，第六组50人， 所以第二组300人，1950.65,1500.460300p a ===⨯=. 故选：C 点评：此题考查频率分布直方图和频率与频数的关系，关键在于熟练掌握频率分布直方图的性质准确计算求解，属于中档题.6．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>和直线153x y +=，若过C 的左焦点和点(0,)b -的直线与l 平行，则双曲线C 的离心率为 A ．54B ．53C ．43D ．5答案：A利用两条直线平行的判定定理，可得到,b c 之间的关系，化简整理为,a c 的关系，即可求出离心率. 解：过C 的左焦点和点()0,b -的直线可写为：:1x y l c b+-'=-，即0bx cy bc ++=l'与l平行1153c b⇒-=35bc⇒=又222b c a=-222925c c a⇒=-221625a c⇒=255164cea∴===本题正确选项：A点评：本题考查直线平行的判定定理以及双曲线离心率的求解，关键在于通过直线平行1221A B A B-=得到,a c的关系.7．已知抛物线22(0)y px p=>的焦点为F，准线为l，直线()2py k x=-交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，若等边三角形AFE的面积为363，则BEF∆的面积为（）A．63B．123C．16 D．243答案：B由AFE∆为等边三角形，得3k=，AFE∆边长为2p，结合条件中的面积可得p，进而由直线与抛物线联立可得交点坐标，利用面积公式求解即可.解：因为AFE∆为等边三角形，所以60,3EFO AFE AFx k∠=∠=∠=︒=AFE∆边长为2p，由132232p p⨯⨯=，得6p=，抛物线方程为212y x=，联立)23312y xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x-+=，所以91ABxx=⎧⎨=⎩，所以4BF =，12AF =.故141222BEF S ∆=⨯⨯⨯=. 故选：B 点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，利用了抛物线的定义研究抛物线上的点到焦点的距离，考查了数形结合和计算能力，属于中档题.8．已知函数2()cos cos f x x x x =+，则（） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 的图象关于直线6x π=对称答案：D利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论. 解：解：2111()cos cos 2cos 2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++ 对于A 选项，因为22T ππ==，故A 不正确； 对于B 选项，因为111()sin 2sin 0012126222f πππ⎛⎫⎛⎫-=⨯-++=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确；对于C 选项，因为当sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 13122f x =+=，故C 不正确； 对于D 选项，因为113()sin 2sin 6662222f ππππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，是()f x 的最大值， 所以()f x 的图象关于直线6x π=对称，故D 正确.故选：D. 点评：本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.9．已知函数()ln ()f x x x m m =-+∈R ，若()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，下列选项中不正确的是（）A ．1m <-B ．1212xx x ex -= C ．101x << D ．122x x +≤答案：D由题意求出函数()f x 的导函数()'fx ,判断出函数()f x 的单调性，进而求出函数()f x 的最值,根据函数零点的概念作出函数()f x 的图象,逐个判断每个选项的结论正确与否即可. 解：因为函数()ln ()f x x x m m =-+∈R , 所以11()1x f x x x'-=-=,其定义域为()0,∞+, 令()0f x '=，解得1x =， 所以当01x <<时,()'0fx <；当1x >时,()'0f x >;故()f x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 因为函数()f x 有两个零点1x ，()212x x x <, 所以函数()f x 的图象如图所示：故min ()(1)10f x f m ==+<，即1m <-，并且101x <<，故选项A 、C 正确；由于12x x ⋅为()f x 的零点，故有1122ln 0ln 0x x m x x m -+=⎧⎨-+=⎩，两式相减得1122lnx x x x -=，即1212x x x ex -=，故选项B 正确； 因为1m <-,所以当2ln2m ≤-+时，22x ≥，。

天津市河北区2023-2024学年高三总复习质量检测（二）数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4A =，集合{|23}B x x =≤≤，则()R A B ⋂=ð（ ） A ．{}3,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}1,2,3,42．设x ∈R ，则“12x <<”是“21x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若0.520.53log 3,03,.a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．c<a<b D ．b<c<a4．函数()1tan tan f x x x=+，则()y f x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．在数列{}n a 中，若对任意的N n +∈都满足211n n n na a d a a +++-=（其中d 为常数），则称数列{}n a 为等差比数列. 已知等差比数列{}n a 中，12313a a a ===，，则5a 等于（ ） A ．5B ．9C ．15D ．1056．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y 与年份代码x 的关系可以用模型21e c xy c =（其中e 为自然对数的底数）拟合，设ln z y =，得到数据统计表如下：由上表可得经验回归方程0.52ˆz x a =+，则2026年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为（ ）（参考公式：ˆˆa z bx=-） A ． 5.08eB ． 5.6eC ． 6.12eD ． 6.5e7．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为（ ）A ．4π3B ．32π3C ．25π4D ．125π488．函数()1f x x x =+被称为“对勾函数”，它可以由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>旋转得到，已知直线0x =和直线y x =是函数()f x 的渐近线，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．)1y x =±C ．(2y x =±D ．y x =±9．ABC V 是等腰直角三角形，其中,1AB AC AB ⊥=u u u r∣∣，P 是ABC V 所在平面内的一点，若CP CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r （0,0λμ≥≥且22λμ+=），则CA u u u r 在CP u u ur 上的投影向量的长度的取值范围是（ ） A．⎛ ⎝⎦B．2⎤⎢⎥⎣⎦C．⎡⎣ D．⎤⎦二、填空题10．i 是虚数单位，化简1i1i+-的结果为. 11．91x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项是.12．已知抛物线28y x =上有一点A ，且点A 在第一象限，以A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为.13．学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为，第三天不玩手机的概率为.14．已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若()f T ，π9x =时函数()f x 取得最大值，则ϕ=，ω的最小值为.15．已知函数2()|2|4f x x x a a a =-+-，若函数()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则123111x x x ++的取值范围是．三、解答题16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4,3c b ==. (1)若1cos 4C =-，求a 的值和ABC V 的面积；(2)在（1）的条件下，求πcos 23C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(3)若2A B =，求a 的值.17．如图，四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥平面ABCD ，点E 是PC 的中点，底面ABCD 是直角梯形，//12AB DC AD DC AB AD PD CD ⊥====，，，.(1)求证：//BE 平面PAD ；(2)求异面直线PB 和AC 所成角的余弦值；(3)点Q 在线段PC 上，平面BDQ 和平面PBD 的夹角为45o ，求PQ PC的值.18．设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>经过点，长轴长是短轴长的2倍，上顶点为B .(1)求椭圆E 的方程；(2)过点B 且斜率为()0k k >的直线与椭圆交于另一点P ，过点B 作与BP 垂直的直线，交直线x a =于点Q ，过点B 作直线x a =的垂线，垂足为M ，若BQP BQM ∠∠=，求k 的值. 19．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为{}n n S b ，是等比数列，已知1316a S ==，，128b a a =，是4a 和4b 的等比中项. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；(3)记111n n n b c b +-=-，求证：1211111222242++=-+<<-+∑ni n n i n n c .20．已知0a >，函数()()ln ln 1f x a x x =-+.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当01a <<时.（ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（ⅱ）设()f x 的极大值为()g a ，求()g a 的最小值； (3)设N n +∈，且2n ≥，求证：2231212312n n n n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .。

河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．第Ⅰ卷（选择题 共45分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3． 本卷共9小题，每小题5分，共45分。

参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{1234}U =，，，，集合{13}A =，，{4}B =，则()U A B =I ð（A ）{2} （B ）{4}（C ）{24}， （D ）{134}，，（2）命题“000e 1x x x ∃∈>+R ，”的否定是（A ）e 1x x x ∀∈<+R ，（B ）000e1x x x ∃∈<+R ，（C ）e 1x x x ∀∈+R ，≤ （D ）000e 1xx x ∃∈+R ，≤（3）若复数12i2ia +-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a 的值为 （A ）16（B ）16-（C ）1 （D ）1-（4）袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是（A ）35（B ）45（C ）720（D ）1320（5）某班同学进行社会实践，对[2555]，岁的人群随机抽取n 人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p ，a 的值分别为（A ）0.79，20 （B ）0.195，40（C ）0.65，60 （D ）0.975，80（6）已知双曲线2222:1(00)x y C a b ab-=>>，和直线:153x y l +=，若过双曲线C 的左焦点和点(0)b -，的直线与直线l 平行，则双曲线C 的离心率为（A ）54（B ）53（C ）43（D ）5（7）已知抛物线22(0)y px p >=的焦点为F ，准线为l ，直线()2p y k x =-交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若等边AEF ∆的面积为363，则BEF ∆的面积为（A ）3 （B ）123 （C ）16 （D ）243（8）已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（A ）()f x 的最小正周期为2π （B ）()f x 的图象关于点π(0)12-，对称 （C ）()f x 的最大值为2 （D ）()f x 的图象关于直线π6x =对称（9）已知函数()ln ()f x x x m m =-+∈R ，若()f x 有两个零点1212()x x x x <，，则下列选项中不正确．．．的是 （A ）1m <- （B ）122x x +≤（C ）101x << （D ）1212ex x x x -=河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

河北区高三年级总复习质量检测（二）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）g P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{x ∈R |x ≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为（A ）{1，2，3} （B ）{3，4，5}（C ）{1，2}（D ）{4，5}（2）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为80秒．若一名 行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待30秒才出现绿灯的概率为 （A ）38（B ）58（C ）14（D ）35（3）为得到函数 y ＝sin(2x ＋π6) 的图象，只需将函数 y ＝sin2x 的图象（A ）向左平移 π3 个长度单位（B ）向左平移 π6个长度单位（C ）向左平移 π12个长度单位（D ）向右平移π12个长度单位（4）在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积为3，则AC 的长为（A ）3（B ）13（C ）21 （D ）57（5）执行如图所示的程序框图．如果输入n ＝3，则输出的S 值为 （A ）25（B ）45（C ）37（D ）67（6）已知条件p：|x＋1|＞2，条件q：x＞a，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（A）a≥1 （B）a≤1（C）a≥－1 （D）a≤－3（7）已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－0.5，则（A）x＜y＜z（B）x＜z＜y（C）z＜y＜x（D）y＜z＜x（8）对任意的x＞0，总有()|lg|=--≤0，则a 的取值范围是f x a x x（A）(－∞，lge－lg(lge)] （B）(－∞，1]（C）[1，lge－lg(lge)] （D）[lge－lg(lge)，＋∞)河北区度高三年级总复习质量检测（二）数 学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

天津市河北区2020届高三下学期数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}2,1--D ．{}2,1,0-- 2．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，20010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤3．已知双曲线221(0)4x y m m-=>0y ±=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC ．3D ．24．用数字2、3、4、5、6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ） A ．120 B ．72 C ．60 D ．485．已知抛物线24y x =与()220x py p =>的焦点间的距离为2，则p 的值为（ ）A ．B ．4C ．6D ．126．已知函数()32cos f x x x =+，若a f =，(2)b f =，2(log 7)c f =,则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a << 7．某人通过普通话二级测试的概率是14，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有1次通过的概率是A ．164B ．116C ．2764D ．348．将()cos()||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移6π个单位长度，所得函数图象关于2x π=对称，则ϕ=（ ）A ．512π-B ．3π-C ．3πD ．512π 9．已知函数32,0(),0x x x f x lnx x ⎧-=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2)B ．[0，1)C ．(-∞，2]D ．(-∞，1]二、填空题10．i 是虚数单位，则1i i +的值为_______.11．6⎛ ⎝的展开式中，1x 项的系数为____.12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>焦距为则椭圆的方程为____.13．某重要路段限速70km /h ，现对通过该路段的n 辆汽车的车速进行检测，统计并绘成频率分布直方图（如图）若速度在60km /h ～70km /h 之间的车辆为150辆，则这n 辆汽车中车速高于限速的汽车有_____辆.14．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 15．已知0a >，0b >，且111a b +=，则1411a b +--的最小值为___. 16．已知矩形ABCD 的对角线长为4，若3AP PC =，则PB PD ⋅的值为___.17．已知函数()()ln ,f x ax x bx a b R =-∈在点()(),e f e 处的切线方程为3y x e =-，则a 、b 的值分别为____.三、双空题18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()22n S n n n N *=+∈，则数列{}na 的通项公式n a = ____.设()2111n n n n n a b a a ++=-⋅，则数列{}n b 的前n 项和n T =____.四、解答题 19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .（I ）若3a c =，b =2cos 3B =，求边c 的值； （II ）若2sin cos b A a B =，求sin 23B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，3BC AD =，//AD BC ，90BCD ∠=，M 为线段PB 上一点.（I ）若13PM PB =，求证：//AM 平面PCD ； （II ）若2PA =，1AD =，异面直线PA 与CD 成90角，二面角B PC D --的余弦值为10-，求CD 的长及直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值.参考答案1．D【分析】先利用定义域的求法，求得集合B 的范围，然后求两个集合的交集.【详解】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0AB =-- .故选D.【点睛】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力，属于基础题.2．C【分析】利用含有一个量词的否定的定义可得答案．【详解】命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，20010x x -+<” 故选：C3．A【分析】易得b a =e =即可求解． 【详解】解：双曲线221(0)4x y m m-=>0y ±=b a ==则双曲线的离心率为2e ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了双曲线的渐近线、离心率，属于基础题．4．B【分析】根据题意知，个位数必为偶数，其它数位没有限制，利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】由于五位数为偶数，则个位数必为偶数，可在2、4、6种任选一个数，有13C 种选择，其它数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为143432472C A =⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查数字的排列问题，涉及分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 5．A【分析】求出两抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可求出正数p 的值.【详解】抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，抛物线()220x py p =>的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2=，0p >，解得p =故选：A.【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，涉及两点间距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6．D【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得()f x 在R 上为增函数，又由222log 4log 73=<<<【详解】解：根据题意，函数()32cos f x x x =+，其导数函数()32sin f x x '=-，则有()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立，则()f x 在R 上为增函数；又由222log 4log 73=<<<则b c a <<；故选：D ．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题． 7．C【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生一次的概率计算公式求解．【详解】 解：∵某人通过普通话二级测试的概率是14，他连线测试3次， ∴其中恰有1次通过的概率是： p 1231127(1)4464C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 故选C ．【点睛】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件A 恰好发生一次的概率计算公式的合理运用．8．B【分析】函数()()cos <2f x x πφφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象经过放缩变换与平移变换后可得1cos 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由1226k ππϕπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得结果. 【详解】函数()()cos <2f x x πφφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 再向左平移6π后得到1cos 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为1cos 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象关于于2x π=对称， 1226k ππϕπ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，解得3k πϕπ=-， 当0k =时，3πϕ=-，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9．A【分析】本道题先绘制()f x 图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a 的范围，即可．【详解】绘制出()f x 的图像，()f x x a =+有3个零点，令()h x x a =+与()f x 有三个交点，则()h x 介于1号和2号之间，2号过原点，则0a =，1号与()f x 相切，则()2'321,1f x x x =-==-，1y =，代入()h x 中，计算出2a =，所以a 的范围为[)0,2，故选A ．【点睛】本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等．10【分析】 利用复数的除法运算将复数1i i+化为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出1i i +的值. 【详解】()()()1111111222i i i i i i i i -+===+++-，因此，12i i ==+.故答案为：2. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题. 11．60【分析】求出展开式的通项1r T +，令x 的指数为1-，求出r 的值，然后代入通项即可求得1x项的系数.【详解】 6⎛ ⎝的展开式通项为(()66316612rr r r r r r r T C C x ---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令31r -=-，得4r =，因此，展开式中1x项的系数为()44261260C ⋅-⋅=. 故答案为：60.【点睛】 本题考查二项展开式中指定项系数的求解，考查二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.12．2214x y +=【分析】根据题意求出a 、b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【详解】设椭圆C 的半焦距为()0c c >，则2c c ==椭圆C 的离心率为c e a ===，可得2a =，1b ∴=， 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=. 故答案为：2214x y +=. 【点睛】本题考查根据椭圆的几何性质求椭圆的方程，一般要结合题意求出a 、b 、c 的值，考查计算能力，属于基础题.13．190【分析】根据频率之和为1列方程，解方程求得x 的值，进而求得n 的值，求得车速高于限速的汽车的频率，由此求得这n 辆汽车中车速高于限速的汽车数.【详解】依题意()0.0080.010.0240.028101x ++++⨯=，解得0.03x =，所以1505000.0310n ==⨯，车速高于限速的汽车的频率为()0.010.028100.38+⨯=，所以这n 辆汽车中车速高于限速的汽车数为5000.38190⨯=辆.故答案为：190【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查利用频率分布直方图进行估计，属于基础题. 14．8π.【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径22BD R ===所以球的表面积为248S ππ==.故答案为8π 【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型. 15．4 【分析】 由等式111a b +=可得出1a >，1b >以及1a b a =-，代入1411a b +--可得出()14141111a ab a +=+----，利用基本不等式可求得结果. 【详解】0a >，0b >，且111a b +=，得1a >，1b >以及1a b a =-， ()14141414111111a a ab a a a ∴+=+=+-≥=------， 当且仅当32a =时，等号成立， 因此，1411a b +--的最小值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题时注意对定值条件进行化简变形，考查计算能力，属于中等题. 16．3- 【分析】 作出图形，设ACBD O =，可知P 为OC 的中点，利用AC 和BD 表示向量PB 和PD ，利用平面向量数量积的运算律即可计算出结果. 【详解】 如下图所示：设AC BD O =，3AP PC =，则P 为OC 的中点，且O 为AC 、BD 的中点，1142PB PO OB AC BD =+=--，同理可得1142PD AC BD =-+，由已知条件得4AC BD ==，因此，221111111434242164PB PD AC BD AC BD AC BD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题. 17．1a =，1b =- 【分析】将点()(),e f e 代入切线方程得出()2f e e =，由()()23f e ef e '⎧=⎪⎨=⎪⎩可得出关于a 、b 的的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【详解】将点()(),e f e 代入直线3y x e =-的方程得()32f e e e e =-=，()ln f x ax x bx =-，则()ln f x a x a b '=+-，由题意得()()()223f e a b e ef e a b ⎧=-=⎪⎨=-='⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩. 故答案为：1a =，1b =-. 【点睛】本题考查利用函数的切线方程求参数，一般要注意两点：一是切点为函数图象与切线的公共点，二是函数在切点处的导数值等于切线的斜率，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18．n ()111nn --++【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出数列{}n a 的通项公式，再由()()()21111111nn n n b n n n n +⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭，利用裂项求和法可求出n T .【详解】当1n =时，2111112a S +===；当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=. 11a =适合n a n =，所以，对任意的n *∈N ，n a n =.()()()()211211111111n n n n nn n n n a a n b a n n +++⎛⎫-=-+ ⎪++⎝=-=⋅⎭，因此，()()11111111122311nnn T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+-+=-+⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：n ；()111nn --++.【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题. 19．（I）c =（II）sin 23B π⎛⎫+=⎪⎝⎭【分析】（I ）利用余弦定理可得出关于c 的方程，即可解出边c 的值；（II ）由正弦定理边角互化思想结合同角三角函数的基本关系可得出sin B 、cos B 的方程组，解出这两个量的值，然后利用二倍角的正、余弦公式，结合两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】（I ）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即22102323c c c -⨯⨯⨯=，即262c =，解得3c =； （II ）2sin cos b A a B =，由正弦定理得2sin sin sin cos A B A B =，0A π<<，sin 0A ∴>，同理知sin 0B >，cos 2sin B B ∴=.所以22cos 2sin cos sin 1sin 0B B B B B =⎧⎪+=⎨⎪>⎩，解得sin 5cos 5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由二倍角公式得4sin 22sin cos 5B B B ==，223cos 2cos sin 5B B B =-=，因此，413sin 2sin 2cos cos 2sin 333525B B B πππ⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式和两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.20．（I ）证明见解析；（II ）2CD =，直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为23. 【分析】（I ）过点M 作//MN BC ，交PC 于点N ，连接DN ，通过证明四边形ADNM 为平行四边形得出//AM DN ，然后利用线面平行的判定定理可得出结论；（II ）证明出PA ⊥平面ABCD ，过点A 作//AE CD 交BC 于点E ，并以点A 为坐标原点，AE 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设CD a =，利用空间向量法结合二面角B PC D --的余弦值为求出a 的值，再利用空间向量法可求出直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值. 【详解】（I ）过点M 作//MN BC ，交PC 于点N ，连接DN ，//MN BC ，PMN PBC ∴∆∆，13MN PM BC PB ∴==，13MN BC AD ∴==， //AD BC ，//AD MN ∴，所以，四边形ADNM 为平行四边形，则//AM DN ， AM ⊄平面PCD ，DN ⊂平面PCD ，//AM ∴平面PCD ；（II ）异面直线PA 与CD 成90角，即PA CD ⊥，PA AD ⊥，CD AD D =，PA ∴⊥平面ABCD ，90BCD ∠=，过点A 作//AE CD 交BC 于点E ，以点A 为坐标原点，AE 、AD 、AP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设CD a =，则(),2,0B a -、(),1,0C a 、()0,1,0D 、()0,0,2P ，()0,3,0BC =，(),1,2PC a =-，(),0,0DC a =，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则3020m BC y m PC ax y z ⎧⋅==⎨⋅=+-=⎩，取2x =，则0y =，z a =，则()2,0,m a =， 同理可得平面PCD 的一个法向量为()0,2,1n =，由于二面角B PC D --的余弦值为1010-，则2cos ,m n m n m na ⋅===⋅+2a =， 所以，()2,1,2PC =-，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1u =， 设直线PC 与平面ABCD 所成角为θ，则22sin cos ,133u PC u PC u PCθ⋅====⨯⋅， 因此，直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为23. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用二面角求其它量、以及利用空间向量法求线面角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。

天津市2020届高三数学上学期第二次质量检测试题理 （无答案）新人教A 版一、选择题（共10个小题）1.集合运算1.已知集合M }{0,1,2,3,4=，N {1,3,5}，P=M ⋂N ，则P 的子集有 A ． 2个 B ． 4个 C ． 6个 D ．8个2.若命题P ：则,1cos ,≤∈∀R xA ．1cos ,:00>∈∃⌝x R x P ；B ． 1cos ,:>∈∀⌝x R x PC ．1cos ,:00≥∈∃⌝x R x PD ．1cos ,:≥∈∀⌝x R x P3.设集合2}1-x \ {x M <=，0}3)-\ x(x {x N <=，那么“M a ∈”是“N a ∈”的 A ． 必要不充分条件 B ． 充分不必要条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件4.的取值范围是，则的解集是的一元二次不等式若关于k R x kx x 01-22<+ A ．1-<k B ．0<k C ． 01-<<k D ．1>k 5.的定义域为函数3)-(4x log 131=yA ．），（143B ．），（∞+43C ．），（∞+1 D ． ），（），（∞+⋃1143 6已知cos31m ︒=，则sin 239tan149︒⋅︒=.A 21m m - .B .C 21m m- .D7.则若,10<<<y xA ．xy33< B ．3log 3log y x < C ．y x 44log log < D ．y )41(41<x）（8.的零点所在区间是函数x x f x32)(+=A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2） 9.已知函数y ＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如下图所示，则 A ．ω＝1，φ＝6π B ．ω＝1，φ＝6-πC ．ω＝2，φ＝6πD ．ω＝2，φ＝6-π10. 若不等式2log a x x -≤0在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，则a 的取值范围是.A 116≤1a < .B 1116a << .C 0a <≤116 .D 1016a << 二．填空题（共6个小题） 1. 3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,()3sin 5αβ+=-,12sin 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2. 曲线C 的参数方程)(.cos21y ,cos x 为参数θθθ⎩⎨⎧+==，则曲线C 的一般方程为 3.已知函数{0,log 0,23)(>≤=x x x x x f ，则=))91((f f4.，则如下结论正确的是的图象为函数C x x f )3-2(sin 3)(π= （填序号）①对称；关于直线图象1211π=x C ②）对称；关于点（图象0,32πC ③）内是增函数；，在区间（函数12512-)(ππx f④；个单位可以得到由图象的图象向右平移C x y 32sin 3π= 5. 设集合A 、B 是非空集合，定义{|}A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂且，2{|20}A x x x =--< {|22,}t t B x x t R -==+∈，则A B ⊗=_____________6.定义域为R 的函数2212-)(1++=+x xx f ，若对任意的 t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，则k 的取值范围是_______________；三．解答题（共5个题） 1.2sin50sin80(13tan10)1cos10︒+︒+︒+︒2.x x x f ln 2-3x )2+=（已知函数 （1）求函数的单调区间；（2）求函数的最小值。