§3 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义设A 为n 阶方阵，p 是某个n 维非零列向量. 一般来说，n 维列向量Ap 未必与p 线性相关，也就是说向量Ap 未必正好是向量p 的倍数. 如果对于取定的n 阶方阵A ，存在某个n 维非零列向量p ，使得Ap 正好是p 的倍数，即存在某个数λ使得λAp =p ，这样的向量就是A 的相应的特征向量.下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义.定义3.1 设()ij n na ⨯=A 为n 阶实方阵. 若存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 使λAp =p ，则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于特征值λ的一个特征向量. 为了求出A 特征值和特征向量，我们把λAp =p 改写成()λ-=nEA p 0. 再把λ看成待定参数，那么p 就是齐次线性方程组()λ-=nEA x 0的任意一个非零解. 显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：0λ-=n E A .定义3.2 带参数λ的n 阶方阵λ-n E A 称为A 的特征方阵，它的行列式λ-n E A 称为A 的特征多项式. 称0λ-=n E A 为A 的特征方程. 根据行列式的定义可知有以下等式111212122212n nn n n na a a a a a a a a λλλλ-------=---n EA()()()1122n na a a λλλ=---+, (1)在省略的各项中不含λ的方次高于2n -的项, 所以n 阶方阵A 的特征多项式一定是λ的n 次多项式. A 的特征方程的n 个根（复根，包括实根或虚根, r 重根按r 个计算）就是A 的n 个特征值. 在复数范围内, n 阶方阵一定有n 个特征值.综上所述, 对于给定的n 阶实方阵()i j a =A , 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的n 个根. 对于任意取定的一个特征值0λ，A 的属于这个特征值0λ的特征向量，就是对应的齐次线性方程组0()λ-=n E A x 0的所有的非零解. 注意: 虽然零向量也是0()λ-=n E A x 0的解，但0不是A 的特征向量!二、关于特征值和特征向量的若干结论定理3.1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵TA 必有相同的特征值. 证 由矩阵转置的定义得到矩阵等式()TT λλ-=-n n E A E A . 再由行列式性质1知道()TT λλλ-=-=-n n n E A E A E A .这说明A 和TA 必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值. 证毕 定理3.2 设12,,,n λλλ的n 阶方阵()i j a =A 的全体特征值，则必有()111,nn ni i iii i i atr λλ======∑∑∏A A .这里，()tr A 为()i j a =A 中的n 个对角元之和，称为A 的迹（trace ）.A 为A 的行列式. 证 在关于变量λ的恒等式()()()()112111nn nnn n i ii i λλλλλλλλλλλ-==⎛⎫-=---=-++- ⎪⎝⎭∑∏n E A中取0λ=即得 ()()111nnnii λ=-=-=-∏A A ，所以必有1nii λ==∏A .再据行列式定义可得()()()1122n na a a λλλλ-=---+n E A ｛()!1n -个不含nλ和1n λ-的项｝11n nn i i i a λλ-=⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∑｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝比较λ-n E A 的上述两个等式两边的1n λ-项的系数, 即得11nni i ii i aλ===∑∑. 证毕定理3.3 设A 为n 阶方阵.()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++为m 次多项式.()1110m m m m f a a a a --=++++n A A A A E为对应的A 的方阵多项式. 如果λ=Ap p ，则必有()()f f λ=A p p . 这说明()f λ必是()f A 的特征值. 特别, 当()f =A O 时，必有()0f λ=，即A 的特征值必是对应的m 次多项式()f x 的根.证 先用归纳法证明,对于任何自然数k , 都有kkλ=A p p . 当1k =时,显然有λ=Ap p . 假设kkλ=A p p 成立, 则必有()()11k k k k k λλλ++====A p A A p A p Ap p 。
因此, 对于任何自然数k , 都有kkλ=A p p .于是,必有()()1110m m m m f a a a a --=++++n A p A A A E p()()()()1110m m m m a a a a --=++++n A p A p Ap E p=()()1110m m m m a a a a f λλλλ--++++=p p .当()f =A O 时，必有()()ff λ==p A p 0. 因为≠p 0, 所以()0f λ=， 证毕注1: 求方阵多项式的特征值, 只要求出A 的一个特征值λ, 那么()f λ一定是()f A 的特征值.注2: 利用2()f x x =, 若λ是A 的特征值, 则2λ是2A 的特征值.例1任意取定A 的一个特征值0λ. 如果12p p 和都是A 的属于特征值0λ的特征向量,则对任何使12k k +≠12p p 0的实数12k k 和, 12k k =+12p p p 必是A 的属于特征值0λ的特征向量.证 由所设条件知()()12120120k k k k k k λλ=+=+=+=121212Ap A p p Ap Ap p p p . 证毕任意取定A 的一个特征值0λ. 因为0λ是0λ-=n E A 的根,()0λ-=n E A x 0必有无穷多个解, 所以, A 的属于任意特征值0λ的特征向量一定有无穷多个. 那么自然要问: 属于取定特征值的线性无关的特征向量的最大个数是多少?为此, 考虑由特征值0λ确定的齐次线性方程组()0λ-=nEA x 0的解空间{}00V λλ==p Ap p .它的任意一个基, 也就是齐次线性方程组()0λ-=nEA x 0的任意一个基础解系{}12s ξ,ξ,,ξ,就是A 的属于这个特征值0λ的最大个数的线性无关的特征向量组. 其中的基向量个数为()0s n λ=--n r E A .所以这个最大个数就是齐次线性方程组()0λ-=nEA x 0的自由未知量个数. 而A 的属于这个特征值0λ的特征向量全体就是1si i k =∑iξ，这里12,,,s k k k 是任意的不全为零的实数.例2 设1224⎛⎫=⎪⎝⎭A ,求出A 的所有的特征值和特征向量. 解 A 的特征方阵为1224λλλ--⎛⎫-= ⎪--⎝⎭n E A . A 的特征方程为()125024λλλλλ---==-=--n E A .它的两个根:120,5λλ==,就是A 的两个特征值. 用来求特征向量的齐次线性方程组为 12120240x x λλ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 即()()1212120240x x x x λλ--=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩. 属于10λ=的特征向量满足线性方程组:121220240x x x x --=⎧⎨--=⎩ .可取解 21-⎛⎫= ⎪⎝⎭1p .属于25λ=的特征向量满足线性方程组:121242020x x x x -=⎧⎨-+=⎩ . 可取解 12⎛⎫= ⎪⎝⎭2p .这就是A 的两个线性无关的特征向量. 容易验证 112202024101λ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11A p p ,22121515242102λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2A p p .属于10λ=的特征向量全体为11,k k 1p 为任意非零常数. 属于25λ=的特征向量全体为22,k k 2p 为任意非零常数.例3 当20-=n E A 时，根据特征值的定义知道,2就是A 的特征值. 当0=n E +A 时，因为 ()10n--=-=n n E A E +A ，所以，1-就是A 的特征值.例4 设A 为n 阶方阵，但不是单位矩阵. 如果()()n +-=n n r A +E r A E ，问1-是不是A 的特征值？解 因为≠n A E ，所以必有(),1-≠-≥n n A E O r A E . 再根据 ()()n +-=n n r A +E r A E知道必有()n <n r A +E ，即0=n A +E . 所以，1-一定是A 的特征值.命题1 实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量. 例5 求0110⎛⎫=⎪-⎝⎭A 的特征值 解 容易求出特征方程21101λλλλ--==+=2E A 的两个根：12,i i λλ==-，这里，i =是纯虚数.此例说明，虽然A 是实方阵，但是它的特征值都不是实的. 求出对应的向量会发现，特征向量也不是实向量.命题2 三角矩阵的特征值就是它的全体对角元.例如,设A 是上三角矩阵12000n a a a **⎛⎫⎪* ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A , 则()12100ni i na a a a λλλλλ=--*-*--*-==--∏n E A .它的n 个根就是A 的n 个对角元.命题3 一个向量p 不可能是属于同一个方阵A 的不同特征值的特征向量. 事实上，如果 ,λμ==A p p A p p ，则()λμ-=p 0. 因为≠p 0, 所以必有λμ=.注意: A 和TA 未必有相同的特征向量. 即当λ=Ap p 时未必有Tλ=A p p . 例如，取111,,1010λ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A p , 则有1111101111,1010011010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=≠⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 100011111⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这说明A 和TA 的属于同一个特征值的特征向量可以是不相同的.例6 设1203⎛⎫= ⎪⎝⎭A , 求223=-+2B A A E 的所有的特征值.解 因为上三角矩阵A 的特征值就是它的对角元13和，而由223=-+2B A A E 知道,对应的多项式为()223f x x x =-+，所以B 的特征值就是()()12,36f f ==.例7 求出以下特殊的n 阶方阵A 的所有可能的特征值（m 是某个正整数）：（1）m=A O （2）2=n A E解 设λ=Ap p ，则,m mλ=≠A p p p 0.（1） 由 mmλ==⨯=p A p O 00 和≠p 0 知道0λ=. （2） 由λ⨯=22n p =A p =E p p 和≠p 0 知道21,1λλ==±.注: 上述二个特殊的方阵分别称为幂零矩阵与对合矩阵. 因此, 幂零矩阵的特征值必为0.对合矩阵的特征值必为1±.三、关于求特征值和特征向量的一般方法下面我们通过实例介绍求方阵的特征值和特征向量的一般方法.例8 求出624232426⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值和线性无关的特征向量.解 先求出A 的特征多项式624224232032426226λλλλλλλλ-------=---=--------3E A224032410λλλ---=---- ()()()231024λλλ----⨯⎡⎤⎣⎦=()()()()2221322211.λλλλλ=--+=--.因此A 的特征值为1232,11λλλ===.用来求特征向量的齐次线性方程组为()123624232426x x x λλλλ⎛⎫---⎛⎫ ⎪⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭3E A x =0.属于122λλ==的特征向量123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p 满足:12312312342402204240x x x x x x x x x ⎧---=⎪---=⎨⎪---=⎩,即()2132x x x =-+. 据此可求出两个线性无关的特征向量 102,201⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12p p .属于311λ=的特征向量123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p 满足:123123123524028204250x x x x x x x x x ⎧--=⎪-+-=⎨⎪--+=⎩.在前两个方程中消去3x ,可得12129180,2x x x x -==. 在后两个方程中消去1x ,可得23321890,2x x x x -==.于是可求出特征向量 212⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3p .属于122λλ==的特征向量全体为{}121212|,,k k k k R k k +∈12p p 且不全为零. 属于311λ=的特征向量全体为{}30|k k k R ≠∈p 且.例9 设n 阶方阵()i j a =A 的每一行中元素之和同为a ，证明a 必是A 的特征值，并求出A 的属于这个a 的特征向量p .证 取111⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭p . 显然有 111211212111n i i i n n n n n a a aa a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭Ap p .因此a 是矩阵A 的一个特征值, 而p 是A 的属于特征值a 的特征向量. 证毕四．矩阵的对角化定义3.3 设A 是一个n 阶方阵，若存在n 阶可逆矩阵，使得112(,,,)n diag λλλ-==P AP Λ则称A 相似于对角矩阵, 也称A 可以相似对角化, 简称A 可对角化.定理 3.4 设12,,,m λλλ是方阵A 的m 个特征值, 12,,,m p p p 依次是与之对应的特征向量. 如果12,,,n λλλ各不相等, 则12,,,m p p p 线性无关.证 设有常数12,,,m x x x 使1122m m x x x +++=p p p 0, 则1122()m m x x x +++=A p p p 0,即 111222m m m x x x λλλ+++=p p p 0依此类推, 得 111222(1,2,,1).k km m m m x x x k m λλλ+++==-p p p 0把以上各式写成矩阵形式, 得1112221122111(,,,)(,,,).1m m m m m m m x x x λλλλλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭p p p 000上式等号式端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式, 当12,,,m λλλ互不相等时, 该行列式不等于零, 从而该矩阵可逆, 于是有1122(,,,)(,,,)(1,2,,).m m j j x x x x j m =⇒==p p p 000p 0但j ≠p 0, 故120m x x x ====, 所以向量组12,,,m p p p 线性无关.定理3.4 若n 阶方阵A 与B 相似, 则A 与B 的特征多项式相同, 从而其特征值相等.证 因A 与B 相似, 即有可逆矩阵P , 使1-=P AP B , 故111()()λλλλ----=-=-=-E B P E P P AP P E A P E A .推论: 若n 阶方阵A 与对角阵12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ相似, 则12,,,m λλλ就是A的全部特征值.定理3.5 n 阶方阵A 相似于对角矩阵⇔A 有n 个线性无关的特征向量.证 必要性：设12n λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1P AP Λ ，则有AP =P Λ. 令(),,,12n P =p p p 是P 的按列分块的列向量表示法，则由P 是可逆矩阵知道列向量组{}12n p,p ,,p 为线性无关向量组. 因为()(),,,,,,12n 12nA P =A p p p =A p A p Ap ()()1212,,,,,,n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12n 12n P Λ=p p p p p p所以, 由AP =P Λ知道必有分块矩阵等式 (),,,12nA p A p A p ()12,,,n λλλ=12n p p p由此可得列向量等式,1,2,,j j n λ==j j Ap p .这就证明了P 的n 个列向量就是A 的n 个线性无关的特征向量. 充分性：设A 有n 个线性无关的特征向量{}12n p ,p ,,p ，且,1,2,,j j n λ==j j Ap p ，则(),,,12n P =p p p 是n 阶可逆矩阵，而且满足()()2122,,,,,,n n n λλλ==11AP A p p p p p p()122,,,n n λλλ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1p p p P Λ. 即-1P AP =Λ为对角矩阵. 证毕推论: 如果n 阶方阵A 的n 个特征值各不相等, 则A 与对角阵相似.例10 设2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量为121⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p . (1) 求参数,a b 的值及A 的特征向量p 对应的特征值;(2) A 是否与对角阵相似?解 (1) 设A 的与特征向量p 相对应的特征值为λ, 可得方程组(),λ-=E A p 0 即212105310,1210a b λλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭亦即 1020,10a b λλλ+=⎧⎪--=⎨⎪---=⎩解得 1,3,0.a b λ=-=-=(2) 由3212533(1)012λλλλλ---=-+-=+=+E A , 知A 三重特征值123 1.λλλ===-由于312101101101523523022011101312011000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--=--→--→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A可知, ()2,321r n r --=-=-=E A , 因而三阶方阵A 的与1λ=-对应的线性无关的特征向量组仅有一个向量, 故A 不可以对角化.。
