高中数学-直线与平面的夹角练习

高二上数学选修一第一章《空间向量与立体几何》1.2.3同步练习1.2.3直线与平面的夹角一．选择题1．在正三棱锥P﹣ABC中，D是棱PC上的点，且PD＝2DC．设PB，PC与平面ABD所成的角分别为α，β，则sinα：sinβ＝（）A．B．C．D．2．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，，点D在棱BB1上，且，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为（）A．B．C．D．3．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，该三棱柱体积等于3，则直线AA1和平面ABC所成角的大小为（）A．90°B．30°C．45°D．60°4．已知在空间直角坐标系Oxyz（O为坐标原点）中，点A（1，1，﹣1）关于x轴的对称点为点B，则z轴与平面OAB所成的线面角为（）A．B．C．D．5．在空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P0（x0，y0，z0），以为法向量的平面方程为a（x﹣x0）+b （y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，经过点P0（x0，y0，z0），且一个方向向量为的直线l方程为．已知在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面α的方程为x﹣2y+3z＝0，直线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，SA＝4，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（）A．3B．C．D．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，则直线A1E与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，则直线AC1与平面BB1C1C所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，设，则下列结论正确的是（）A．四边形EFGH是正方形B．AE和AH与平面EFGH所成的角相等C．若，则多面体BEF﹣DGH的表面积等于D．若，则多面体BEF﹣DGH的体积等于10．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．二．填空题11．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，E，F分别为棱AB，BC上一点，且BE+BF＝2，P是线段B1F上一动点，当三棱锥B1﹣EBF的体积最大时，直线D1P与平面B1EC所成角的正弦值的取值范围为．13．已知一个圆锥的底面半径为1cm，侧面积为2πcm2，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为．14．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝1，AB＝BC＝3，，则PB与平面PAC所成角的正切值为．15．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为．三．解答题16．如图，在圆锥PO中，边长为的正△ABC内接于圆O，AD为圆O的直径，E为线段PD的中点．（1）求证：直线PO∥平面BCE；（2）若AE⊥PD，求直线AP与平面ABE所成角的正弦值．17．如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，DE＝DC＝2CF＝2．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面AEF所成角的大小．18．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，O为底面中心，PO＝AO＝3，M为PO中点，＝2．（1）求证：DM∥平面EAC；（2）求：（ⅰ）直线DM到平面EAC的距离；（ⅱ）求直线MA与平面EAC所成角的正弦值．2021-2022学年人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册1.2.3直线与平面的夹角参考答案与试题解析一．选择题1．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：设点P到平面ABD的距离为h，则sinα＝，∵D是棱PC上的点，且PD＝2DC，∴PD和PC与平面ABD所成的角相等，∴sinβ＝，∴＝＝＝＝．故选：D．2．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：如图，取AC的中点M，∵BA＝BC＝3，∠ABC＝90°，则AC＝6，BM＝3，BM⊥AC，过点M作MN∥BD，且使得MN＝BD＝，则四边形BDNM是平行四边形，∴DN∥BM，DN＝BM＝3，由题意，BD ⊥平面ABC ，则MN ⊥平面ABC ，而BM ⊂平面ABC ，∴MN ⊥BM ，又BM ⊥AC ，AC ∩MN ＝M ，∴BM ⊥平面AA 1C 1C ，∵DN ∥BM ，∴DN ⊥平面AA 1C 1C ，连接DA ，NA ，则∠DAN 是AD 与平面AA 1C 1C 所成的角，∵AD ＝＝2，∴sin ∠DAN ＝＝＝，∴AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为．故选：C ．3．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高为h ，因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为2，该三棱柱体积等于3，所以三棱柱体积，解得，所以过A1点作底面ABC 的垂线A 1H ，垂足为H ，则，连接AH ，则∠A 1AH 是直线AA 1和平面ABC 所成角，所以，由于，所以∠A 1AH ＝60°．故选：D ．4．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz （O 为坐标原点）中，点A （1，1，﹣1）关于x 轴的对称点为点B ，∴B （1，﹣1，1），＝（1，1，﹣1），＝（1，﹣1，1），设平面OAB 的法向量＝（x ，y ，z ），则，取y ＝1，得＝（0，1，1），在z轴上取C（0，0，1），＝（0，0，1），设z轴与平面OAB所成的线面角为θ，则sinθ＝＝＝，∴θ＝，∴z轴与平面OAB所成的线面角为．故选：B．5．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：∵经过P（﹣1，2，0）的直线l方程为，则直线l的一个方向向量为＝（2，3，1），又平面α的方程为x﹣2y+3z＝0，则平面α的一个法向量为＝（1，﹣2，3），∴|cos＜＞|＝＝，则直线l与平面α所成角的正弦值为．故选：A．6．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：根据题意：设外接球的半径为r，则4πr2＝64π，∴r＝4，设外接球的球心为O，则O在平面ABC内的投影O′为三角形ABC的外心，SA⊥平面ABC，SA＝4，所以OS2＝22+O′A2，从而AO′＝2，所以＝＝2R＝4，解得sin C＝，BC＝6，又，∴C＝，∴B＝，M是边BC上一动点，SM与平面ABC内的射影最短时，直线SM与平面ABC所成的最大，此时AM⊥BC，易求AM长的最小值为，所以直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为＝．故选：B．7．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：设正方体A1B1C1D1﹣ABCD的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵E为AB中点，∴A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（0，2，﹣2），＝（0，1，﹣2），设平面A1C1B的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），设直线A1E与平面A1C1B所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝．∴直线A1E与平面A1C1B所成角的正弦值为．故选：D．8．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：连接BC1，由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可得AB⊥平面BB1C1C，所以AC1在平面BB1C1C的射影为BC1，所以∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，由AB＝BC＝1，，可得BC1＝＝，AC1＝＝2，在Rt△ABC1中，cos∠AC1B＝＝，所以直线AC1与平面BB1C1C所成角的大小为30°．故选：A．9．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：对A，因为AC∥平面EFGH，AC⊂平面ABC，EF⊂平面EFGH，平面EFGH⋂平面ABC＝EF，所以AC∥EF，同理AC∥GH，所以EF∥GH，同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以四边形EFGH不一定是正方形，所以选项A错误；对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE＝AH，则AB＝AD，已知中没有AB＝AD，所以AE和AH与平面EFGH所成的角不一定相等，所以选项B错误；对C，假设正四面体ABCD，AB＝2，取BD的中点N，连接AN，CN．则BD⊥AN，BD⊥CN，因为AN⋂CN＝N，AN，CN⊂平面ACN，所以BD⊥平面ACN，所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，前面已经证明四边形EFGH是平行四边形，又EF＝FG，所以四边形EFGH是正方形，且EF＝FG＝1，正四面体的每一个面的面积为，所以正四面体的表面积为，所以多面体BEF﹣DGH的表面积，所以选项C错误；对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，则多面体EMF﹣HDG是棱柱，设点B到平面EMF的距离为h1，由于，所以点E是AB的中点，则点M到平面HDC的距离为h1，点B到平面ADC的距离为2h1．则多面体BEF﹣DGH的体积＝＝，所以选项D正确．故选：D．10．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：如图，∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴平面A1B1C1⊥平面AA1C1C，取A1C1的中点O，连接AO，B1O，则B1O⊥A1C1，可得B1O⊥平面AA1C1C，即∠B1AO为AB1与平面AA1C1C所成角．∵AB＝AA1＝2，∴，，可得sin，∴AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值为．故选：C．二．填空题11．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：由题意，连接A1C1，交B1D1于点O∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4∴C1O⊥B1D1∴C1O⊥平面DBB1D1在Rt△BOC1中，∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为．故答案为：．12．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：当三棱锥B1﹣EBF的体积最大时，△EBF的面积取最大值，，当且仅当BE＝BF＝1时，等号成立，此时，E为AB的中点，F与C重合．如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D1（0，0，1），B1（1，2，1），E（1，1，0），C（0，2，0），，．设平面B1EC的法向量为，∴可取x＝1，得．设，λ∈[0，1]，∴P（λ，2，λ），∴．设直线D1P与平面B1EC所成的角为θ，∴．∵λ∈[0，1]，∴当时，sinθ的最大值为；当λ＝0或1时，sinθ的最小值为，∴直线D1P与平面B1EC所成角的正弦值的取值范围为．故答案为：．13．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：如图，圆锥的底面半径为1，设母线长为l，则圆锥的侧面积S＝，得l＝2．设母线与底面所成角为θ，则cosθ＝，∴θ＝，故答案为：．14．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，射线AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：则P（0，0，1），B（1，2，0），C（0，4，0），所以＝（1，2，﹣1），由x轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为＝（1，0，0），设直线PB与平面PAC所成的角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝||＝＝，α∈（0，），cosα＝＝，所以PB与平面PAC所成角的正切值为tanα＝＝．故答案为：．15．【考点】直线与平面所成的角．【解答】解：取BC的中点E，连接C1E，AE，则AE⊥BC，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABC⊥面BB1C1C，面ABC∩面BB1C1C＝BC，∴AE⊥面BB1C1C，∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，不妨设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则C1E＝，AC1＝2在Rt△AC1E中，cos∠AC1E＝＝故答案为：三．解答题16．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．【解答】（1）证明：设AD交BC于点F，∵O为△ABC外心，又∵．又OA＝OD＝r＝＝2，∴F为OD中点．∴△POD中E，F分别为PD，OD中点，∴EF∥PO（中位线定理），∵EF∥PO，EF⊂平面ECB，∴直线PO∥平面BCE．（2）解：∵AE⊥PD，E为PD中点，又PA＝PD，∴△APD为等边三角形．过O作OQ⊥AD且OQ⊂平面ABC，Q位于上，以O为空间坐标原点，，，为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系．则：A（0，﹣2，0），，＝（0，2，2），B（，1，0），E（0，1，），＝（，3，0），＝（﹣，0，）．设平面ABE的法向量为，，∴，取，则y＝﹣1，．则，设直线AP与平面ABE所成角的正弦值为sinθ，，∴直线AP与平面ABE所成角正弦值为．17．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．【解答】（Ⅰ）证明：方法1：设G为DE的中点，连接FG，AG，由已知CF∥DE，且CF＝DG，所以四边形CFGD是平行四边形，…………（1分）又ABCD为正方形，所以ABFG为平行四边形，…………（2分）所以BF∥AG，…………（3分）又AG⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，…………（4分）所以BF∥平面ADE．…………（5分）方法2：因为CF∥DE，所以CF∥平面ADE，又CB∥DA，所以CB∥平面ADE，CB∩CF＝C，所以平面BCF∥平面ADE，所以BF∥平面ADE．（Ⅱ）解：因为ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）…………（1分）所以A（2，0，0），E（0，0，2），F（0，2，1），B（2，2，0），…………（2分），，，…………（3分）设平面AEF的一个法向量为＝（x，y，z），则…………（4分）即令z＝2，得x＝2，y＝1．于是＝（2，1，2）．…………（5分）设直线BD与平面AEF所成角为θ，则，…………（7分）即，…………（8分）所以直线BD与平面AEF所成的角为．…………（9分）18．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）证明：连接BD，则O是BD的中点，且AC⊥BD，在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，OA，OB，OP所成直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，3），B（0，3，0），C（﹣3，0，0），D（0，﹣3，0），M（0，0，），E（0，2，1），＝（0，3，），，则，取y＝1，得＝（0，1，﹣2），∵＝0，∴，∵DM⊄平面EAC，∴DM∥平面EAC．（2）（i）＝（3，3，0），∴直线DM到平面EAC的距离d＝＝＝．（ii）＝（3，0，﹣），则cos＜＞＝＝＝．∴直线MA与平面EAC所成角的正弦值为．。

§5夹角的计算第二课时 直线与平面的夹角[对应学生用书P37]在上节研究的山体滑坡问题中，A ，B 两点到直线l (水平地面与山坡的交线)的距离分别为AC 和BD ，直线BD 与地面ACD 的夹角为φ.问题1：φ与〈CA ，DB 〉有什么关系？ 提示：φ＝π－〈CA ，DB 〉．问题2：φ与〈BD ，n 〉有何关系？(n 为地面法向量)提示：φ＝π2－〈BD ，n 〉或φ＝〈BD ，n 〉－π2，即sin φ＝|cos 〈BD ，n 〉|.直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角． (2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为π2.(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0. (4)设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l 与α的夹角为θ，则， 当〈a ，n 〉≤π2时，θ＝π2－〈a ，n 〉；当〈a ，n 〉>π2时，θ＝〈a ，n 〉－π2.即sin 〈a ，n 〉＝|cos 〈a ，n 〉|.(1)直线与平面夹角范围是⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)求直线与平面夹角θ时，可用定义求解；也可用直线的方向向量s 、平面的法向量n 的夹角进行求解，但要注意sin θ＝|cos 〈s ，n 〉|.[对应学生用书P37][例1] 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值． [思路点拔](1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．[精解详析] (1)如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C 平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ，又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ＝0，n ·1BB ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)， 故n ，1A C＝n ·1A C|n ||1A C |＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值为105. [一点通]设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝|a ·u ||a ||u |或cos θ＝sin φ，其中θ与φ满足：①当φ是锐角时，θ＝π2－φ；②当φ为钝角时，则θ＝φ－π2.1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 81与平面ABCD 夹角的余弦值为( ) A.33 B.36 C.62D.63解析：如图所示建系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，C 1(0,1,1)，C (0，1,0)，而CC 1⊥面ABCD ，∴AC 1在底面ABCD 的射影为AC . 又1AC ＝(－1,1,1)，AC ＝(－1,1,0)， ∴AC 1与平面ABCD 夹角的余弦值cos θ＝|cos 〈1AC ，AC 〉|＝63. 答案：D2．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 夹角的正弦值为________．解析：取B 1C 1中点O ，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝BB 1＝2，则A 1(－3，0,0)，C 1(0,1,0)，A (－3，0,2)，O (0,0,0)，1A O ＝(3，0,0)，1A O 为面BB 1C 1C 的法向量，1AC ＝(3，1，－2)，∴sin θ＝|cos 〈1A O ，1AC 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1A O ·1AC |1A O ||1AC | ＝33·3＋1＋4＝64.答案：643.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥BD .(1)求证：PB ＝PD ；(2)若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．解：(1)证明：如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，且O 为BD 的中点． 又PA ⊥BD ，PA ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面PAC ，由于PO ⊂平面PAC ，故BD ⊥PO . 又BO ＝DO ，故PB ＝PD .(2)如图所示，连接AC ，BD ， 设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，则EQ 綊12CD ，∴四边形AFEQ 为平行四边形，EF ∥AQ ，∵EF ⊥平面PCD ， ∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥PD ，Q 为PD 的中点，∴AP ＝AD ＝ 2. 由AQ ⊥平面PCD ，可得AQ ⊥CD . 又DA ⊥CD ，QA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA . 又BD ⊥PA ，∴PA ⊥平面ABCD .∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以向量AB ―→，AD ―→，AP ―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，Q ⎝⎛⎭⎫0，22，22，D (0，2，0)，P (0,0，2)，∴AQ ―→＝⎝⎛⎭⎫0，22，22，PB ―→＝(2，0，－2)．易知AQ ―→为平面PCD 的一个法向量， 设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ， 则sin θ＝cos 〈PB ―→，AQ ―→〉＝|PB ―→·AQ ―→||PB ―→|·|AQ ―→|＝12，∴直线PB 与平面PCD 所成的角为π6.3.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 的夹角．解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系如图．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，N ⎝⎛⎭⎫12，0，0， S ⎝⎛⎭⎫1，12，0. (1)证明：CM ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12，SN ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，因为CM ·SN ＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN . (2) NC ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则a ·CM ＝0，a ·NC ＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈a ，SN 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22，所以SN 与平面CMN 的夹角为45°.[例2] 如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD ，ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1.另一个侧面ABC 是等边三角形．点A 在底面BCD 上的射影为H .(1)以D 点为原点建立空间直角坐标系，并求A ，B ，C 的坐标； (2)求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值．(3)在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 的夹角为30°？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．[思路点拨] (1)建立坐标系，证明AD ·BC ＝0. (2)求两平面法向量的夹角．(3)先假设存在点E 满足条件，再建立关于点E 的坐标的方程，判断方程是否有符合题意的解，即可得出结论．[精解详析] (1)由题意AB ＝AC ＝2，∴BC ＝ 2.则△BDC 为等腰直角三角形． 连接BH ，CH ，∴DB ⊥BH ，CH ⊥BH .∴四边形BHCD 为正方形，以DC 为y 轴，DB 为x 轴建立空间直角坐标系如图所示，则A (1,1,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)．(2)设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由n 1⊥BC 知：n 1·BC ＝－x ＋y ＝0.同理，由n 1⊥CA 知：n 1·CA ＝x ＋z ＝0. 可取n 1＝(1,1，－1)．同理，可求得平面ACD 的一个法向量为n 2＝(1,0，－1)． 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋0＋13·2＝63， 即所求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值为63. (3)假设存在E 满足条件，设CE ＝x CA ＝(x,0，x )(0≤x ≤1)，则DE ＝DC ＋CE ＝(0,1,0)＋(x,0，x )＝(x,1，x )，平面BCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，∵ED 与平面BCD 的夹角为30°， 由图可知DE 与n 的夹角为60°，所以cos 〈DE ，n 〉＝DE ·n | DE ||n |＝x 1＋2x 2＝cos60°＝12.则2x ＝1＋2x 2，解得x ＝22，即E ⎝⎛⎭⎫22，1，22， |AC |＝2，|CE |＝1.故线段AC 上存在点E (与C 的距离为1)，使ED 与平面BCD 的夹角为30°. [一点通]解决存在性探究问题，一般先假设存在，然后进行推理计算，推出的结果若符合题意，则说明假设正确．若出现矛盾或得出相反的结论，则否定假设，说明不存在．4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD 与平面PAC 的夹角为90°？若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由．解：如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，1，12， 假设存在P (0,0，x )(0≤x ≤1)满足条件，经检验，当x ＝0时不满足要求， 当0<x ≤1时，则PA ＝(1,0，－x )，AC ＝(－1,1,0)，MD ＝(－1，－1，－12)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎨⎧PA ·n ＝0， AC ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝(1,1，1x )． 由题意MD ∥n ，由MD ＝⎝⎛⎭⎫－1，－1，－12＝－⎝⎛⎭⎫1，1，12＝－n ， 得x ＝2.又0<x ≤1，故不满足要求，综上所述，棱DD 1上不存在点P ，使MD 与平面PAC 的夹角为90°.5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值； (3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值． 解：(1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B ＝0，n ·11A C ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈 n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.所以平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值为1625.(3)证明：设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD ＝λ1BC . 所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3,4)． 解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD·1A B＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时，BDBC1＝λ＝9 25.计算直线l与平面α的夹角为θ.(1)利用法向量计算θ的步骤如下：(2)利用定义计算θ的步骤如下：[对应课时跟踪训练(十二)]1．已知直线l的一个方向向量为a＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l与平面α夹角的余弦值为()A.22B．－22C．±22 D.12解析：cos〈a，μ〉＝a·μ|a||μ|＝32·3＝22，则直线l与平面α的夹角θ的正弦值sin θ＝|cos〈a ，μ〉|＝22，cos θ＝22. 答案：A2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形，长方体的高为AA 1＝3，则BC 1与对角面BB 1D 1D 夹角的正弦值等于( )A.45 B.35 C.225D.325解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，AA 1＝3，∴A 1(4,0,0)，B (4,4,3)，C 1(0,4,0)．而面BB 1D 1D 的法向量为AC ＝11A C ＝(－4,4,0)，∴BC 1与对角面BB 1D 1D 所成角的正弦值即为|cos 〈1BC ，11A C 〉|＝|(－4，0，－3)·(－4，4，0)|42＋32×42＋42＝165×42＝225.答案：C3.如图所示，点P 是△ABC 所在平面外的一点，若PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，则点P 在平面α上的投影P ′是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：由于PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC 的斜线段相等，故它们在平面ABC 内的投影P ′A ，P ′B ，P ′C 也都相等，故点P ′是△ABC 的外心．答案：B4．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33 C.23 D.13解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB ―→＝(1,1,0)，DC 1―→＝(0,1,2)，DC ―→＝(0,1,0)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→＝0，n ·DC 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC ―→〉|＝|n ·DC ―→||n |·|DC ―→|＝23，故选A.答案：A5.四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．(1)求证：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．解：(1)证明：以D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)．FP ―→＝(－1，0,2)，FB ―→＝(1,2,0)，DE ―→＝(0,1,1)，∴DE ―→＝12FP ―→＋12FB ―→，∴DE ―→∥平面PFB . 又∵DE ⊄平面PFB ， ∴DE ∥平面PFB . (2)∵DE ∥平面PFB ，∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FB ―→＝0，n ·FP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.∴n ＝(2，－1,1)，又∵FD ―→＝(－1,0,0)， ∴点D 到平面PFB 的距离 d ＝|FD ―→·n ||n |＝26＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63. 6.如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，则CD ＝(32，－12，2)，1CB ＝(3，1,2)， 设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CB ＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2， ∴sin θ＝|cos 〈DA ，n 〉|＝45.答案：457．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点． 求直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值．解：如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D⎝⎛⎭⎫32，－12，2.易知AB ＝(3，1,0)，1AC ＝(0,2，2)，AD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，2.设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ＝3x ＋y ＝0，n ·1AC ＝2y ＋2z ＝0，解得x ＝－33y ，z ＝－2y . 故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD 〉＝n ·AD |n ||AD |＝2310×3＝105.即直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值为105. 8．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 夹角的正弦值为67，求k 的值．解：(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图．∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， ∴AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC ·n ＝0， 1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.。

高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。

具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。

解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。

如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。

题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。

解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。

解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。

通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。

在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。

在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。

2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。

3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。

4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。

高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。

作业二十直线与平面的夹角一、选择题(每小题5分,共25分)1.若直线l的方向向量a与平面α的一个法向量n的夹角<a,n>=120°,则直线l与平面α所成的角为( )A.30°B.120°C.60°D.150°【解析】选A.设l与α所成角为θ,则si nθ=|cos 120°|=,又由0°≤θ≤90°,知θ=30°.【补偿训练】平面α的一个法向量为n=(1,-,0),则y轴与平面α所成的角的大小为( )A. B. C. D.【解析】选B.y轴的一个方向向量为m=(0,1,0),cos<m,n>===-.所以<m,n>=,所以y轴与平面α所成角的大小为-=.2.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD的夹角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0), =(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以<,n>=120°,所以PC与平面ABCD的夹角为30°.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD夹角的正弦值为 ( )A.-B.C.-D.【解题指南】建立坐标系,找到或求出平面B1BD的法向量是解题关键. 【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0, 0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).所以=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1).设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z).因为n⊥,n⊥,所以所以令y=1,则n=(-1,1,0).所以cos<n,>==,设直线BE与平面B1BD的夹角为θ,则si n θ=|cos<n,>|=.4.△ABC的顶点B在平面α内,A,C在α的同一侧,AB,BC与α的夹角分别是30°和45°.若AB=3,BC=4,AC=5,则AC与α的夹角为( )A.60°B.45°C.30°D.15°【解题指南】先找出AB,AC与平面α的夹角,根据夹角的大小,找出所用到的量的大小,然后求出AC与平面α的夹角.【解析】选C.如图所示,过点A,C分别作平面α的垂线,A1,C1为垂足,CC1= CB·si n 45°=4×=4,AA1=AB=.连接A1C1,过A作AM∥C1A1交CC1于M,则∠CAM为直线AC与平面α所成的角.又因为CM=4-=,所以si n∠CAM==,所以∠CAM=30°.5.(2018·潍坊高二检测)在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°.PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点,则BD与平面ADMN的夹角θ为( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选A.如图建立空间直角坐标系,设BC=1,则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),则N(1,0,1),所以=(-2,2,0),=(0,2,0),=(1,0,1),设平面ADMN的一个法向量为n=(x,y,z),则由得取x=1,则y=0,z=-1,所以n=(1,0,-1)则cos<,n>===-.又0°≤θ≤90°,所以si nθ=|cos<,n>|=,所以θ=30°.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l 与平面α夹角的正弦值为________.【解析】设直线l与平面α的夹角是θ,a,n所成的角为β,si nθ=|cos β| ==.答案:7.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则BO与平面ABC1D1夹角的正弦值为________.【解析】建立坐标系如图,连接DA,则B(1,1,0),O,D(0,0,0),A1(1,0,1),A(1,0,0),D1(0,0,1),=(1,0,1),=(0,1,0),=(-1,0,1),因为·=0,·=0,所以=(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量.又=,所以BO与平面ABC1D1夹角的正弦值为==.答案:8.(2018·淮北高二检测)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为________.【解析】设各棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则=(,1,2),平面ACC1A1的一个法向量为n=(1,0,0),故AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于|cos<,n>|===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.求直线BE和平面ABB1A1夹角的正弦值.【解析】设正方体的棱长为1.如图所示,以,,为单位正交基底建立空间直角坐标系.依题意,得B(1,0,0),E,A(0,0,0),D(0,1,0),所以=,=(0,1,0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AD⊥平面ABB1A1,所以是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1夹角为θ,则si nθ===.故直线BE和平面ABB1A1夹角的正弦值为.10.(2018·咸阳高二检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA ⊥平面ABCD,AB=AP=2,AD=4,E是PB的中点.(1)求证:AD⊥平面PAB.(2)建立适当的空间直角坐标系,求直线EC与平面PAD夹角的正弦值. 【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,AD平面ABCD,所以AD⊥PA,因为矩形ABCD中,AD⊥AB,且AB∩AP=A,所以AD⊥平面PAB.(2)分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由已知,知各点坐标分别是A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),所以E(1,0,1),=(1,4,-1),又因为AB⊥平面PAD,所以平面PAD的一个法向量为n==(2,0,0),设直线EC与平面PAD所成的角为α,则si nα===,直线EC与平面PAD夹角的正弦值为.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018·吉安高二检测)平面α∩平面β=MN,且平面α与平面β的夹角为45°,A∈MN,P∈α,若∠PAM=45°,则AP与β的夹角是 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.过点P作平面β的垂线PB,垂足为B,过点B作BC垂直于MN,连接PC,则∠PAB为AP与β的夹角.因为PB⊥β,MNβ,所以PB⊥MN,因为MN⊥BC,PB∩BC=B,所以MN⊥平面PBC,所以MN⊥PC,所以∠PCB为二面角α-MN-β的平面角,所以∠PCB=45°.设PB=1,在△PCB中,∠PCB=45°,所以PC=.在△PCA中,∠PAC=45°,所以PA=2,在△PBA中,si n∠PAB=,所以∠PAB=30°,所以AP与β的夹角为30°.【拓展延伸】用定义法求线面角的思想与步骤(1)利用定义法求直线与平面的夹角,关键是找到直线在平面内的投影,将直线与平面的夹角转化成线线的夹角来求解.(2)定义法求直线与平面的夹角的步骤:①作出直线与其投影的夹角;②证明所作的角就是要求的角;③常在直角三角形(垂线、斜线、投影所组成的直角三角形)中解出夹角的大小.【补偿训练】PA,PB,PC是从P引出的三条射线,每两条的夹角都是60°,则直线PC与平面PAB夹角的余弦值为 ( )A. B. C. D.【解题指南】找到PC在平面PAB内的投影,利用定义求解.【解析】选D.在PC上取一点D,过D作DE⊥平面APB,E为垂足.连接PE,则∠DPE就是PC与平面PAB的夹角.设∠DPE=α,因为PA,PB,PC夹角两两相等,过E作EF⊥PA,F为垂足,连接DF,过E作EG ⊥PB于G,连接DG,易知Rt△PFD≌Rt△PGD,所以PF=PG,所以Rt△PEF≌Rt△PEG,所以∠FPE=∠GPE,所以PE是∠APB的平分线.在Rt△DPE中,PE=PD cos α,在Rt△PEF中,PF=PE·cos 30°=PD·cos α·cos 30°,在Rt△DPF中,PF=PD·cos 60°,所以cos α·cos 30°=cos 60°,所以cos α===.2.(2018·宝鸡高二检测)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠DBC=90°,BC=BD=2,AB=1,则BC和平面ACD的夹角θ的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选A.建系如图所示,则B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),A(0,0,1),所以=(2,0,0),=(2,0,-1),=(0,2,-1),设平面ADC的法向量为n=(x,y,z),则由得令z=2,则x=1,y=1,所以n=(1,1,2),si nθ=|cos<n,>|==.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2018·上饶高二检测)正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面上的投影,P 为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是________.【解析】如图,以O为原点建立空间直角坐标系,设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),D(0,-a,0),S(0,0,a),P,则=(2a,0,0),=,=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos<,n>===,所以<,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.答案:30°4.(2018·临沂高二检测)在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,则CE与平面BCD夹角的正弦值为________.【解析】如图,在正四面体ABCD中,取O为△BCD的中心,连接AO,则AO⊥平面BCD.设正四面体的棱长为a,则OA=a.又E为AD中点,取OD中点F,连接EF,则EF∥OA,即EF⊥平面BCD,连接CF,则∠ECF为直线CE与平面BCD的夹角,在Rt△CEF中,EF=OA=a,CE=a,所以si n∠ECF===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD.(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.【解析】(1)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,所以AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M,则=(1,1,0),=,=(0,1,-1).设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),则即取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,则si nθ=|cos<n,>|==,即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.6.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由).(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则即所以可取n=(0,4,3),又=(-10,4,8),故|cos<n,>|==.所以AF与平面EHGF所成的角的正弦值为.。

3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1．已知平面α内的角∠APB ＝60°，射线PC 与PA 、PB 所成角均为135°，则PC 与平面α所成角的余弦值是( )A ．－63B.63 C.33D ．－33[答案] B[解析] 由三余弦公式知cos45°＝cos α·cos30°， ∴cos α＝63. 2．三棱锥P —ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是△ABC 的外心，PA ＝AB ＝1，BC ＝2，则PB 与底面ABC 所成角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°[答案] B[解析] 由AB ＝1，BC ＝2，知AC ＝3，∴OA ＝32， 又∵PA ＝1，PQ ⊥AC ，∴PO ＝12，∵OB ＝OA ＝32，∴tan θ＝33.∴应选B. 3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值是( ) A.24 B.23 C.63D.32[答案] C[解析] 由计算得sin θ＝23.故选C. 4．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833C.21060D.21030[答案] D[解析] 以O 为原点，射线OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝a ，则OP ＝72a ，OD →＝(－24a,0，144a )，可求得平面PBC 的法向量为n ＝(－1，－1，17)， ∴cos(OD →，n )＝OD →·n |OD →||n |＝21030，设OD →与面PBC 的角为θ，则sin θ＝21030，故选D.5．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2[答案] D6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223C.22D.23[答案] A7．如图，正方体AC 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( ) A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1 D ．∠C 1BO [答案] D[解析] 由三垂线定理得，OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影．故选D.8．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.56π [答案] B[解析] 以D 为原点建立空间直角坐标系，平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)， 而BA 1→＝(0，－1,1)，∴cos θ＝1＋223＝32，∴θ＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角．9．正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折起，使点D 在面ABCD 外 ，这时DB 与平面ABC 所成角一定不等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 当沿对角线AC 折起时，BD 在面ABC 上的射影始终在原对角线上，若BD ⊥面ABC ，则此时B 、D 重合为一点，这是不成立的，故选D.10．已知等腰直角△ABC 的一条直角边BC 平行于平面α，点A ∈α，斜边AB ＝2，AB 与平面α所成的角为30°，则AC 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 过B 、C 作BB ′⊥α于B ′，CC ′⊥α于C ′， 则BB ′＝CC ′＝1，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.故选B. 二、填空题11．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为________．[答案]104[解析] 设三棱柱的棱长为1，以B 为原点，建立坐标系如图，则C 1(0,1,1)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1， 又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ.sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝64，∴cos θ＝1－sin 2θ＝104. 12．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．[答案] 30°13．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为________．[答案] 60°14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、A 1D 1的中点，则EF 与面A 1C 1所成的角为________．[答案] 45° 三、解答题15．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求SC 与平面ABCD 所成的角．[解析] 解法1：如图所示，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，A ∈α，则AB 与平面α所成的角为π2－arccos |AB →·n ||AB →|·n ；AS →是平面ABCD 的法向量，设CS →与AS →的夹角为φ.∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1. |AS →|＝1，|CS →|＝(CB ―→＋BA ―→＋AS ―→)2 ＝|CB ―→|2＋|BA ―→|2＋|AS ―→|2＝3， ∴cos φ＝AS →·CS→|AS →|·|CS →|＝33.∴φ＝arccos33. 从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.解法2：连结AC ，显然∠SCA 即为SC 与平面ABCD 所成的角．计算得：AC ＝2，∴tan∠SCA＝22， 故SC 与平面ABCD 所成角为arctan22. 16．如图，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°.D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点．若OP ⊥BD ，试求：(1)OP 与底面AOB 所成的角的大小； (2)BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小．[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B (3,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，4，设P (3,0，z )，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，z ＝98.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，98.(1)∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角． ∵tan∠POB ＝983＝38，∴∠POB ＝arctan 38.故OP 与底面AOB 所成角的大小是arctan 38.(2)∵OB →＝(3,0,0)，且OB →⊥平面AOO ′A ′， ∴平面AOO ′A ′的法向量为OB →＝(3,0,0)． 又DB →＝(3,0,0)－⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2，－4，∴OB →·DB { ＝3×32＋(－2)×0＋(－4)×0＝92.又|OB →|＝3， |DB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋(－2)2＋(－4)2＝892， ∴cos〈OB →，DB →〉＝OB →·DB →|OB →|·|DB →|＝923×892＝389 .∴BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小为π2－〈OB →，DB →〉＝π2－arccos 389(或写成arcsin389)．17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值．[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)，BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BD ，n ⊥BB 1∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝－2x －2y ＝0n ·BB 1→＝2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－yz ＝0，令y ＝1时，则n ＝(－1,1,0)， cos<n ，BE →>＝n ·BE →|n ||BE →|＝105.即BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为105.18．(2009·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小； [解析] 考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法．解法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形， ∴AD ＝12AB .在Rt△ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12AB .∴在Rt△ADE 中，sin∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arcsin24. 解法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .设PA ＝a ，由已知可得A (0,0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，32a ，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，P (0,0，a )． (1)∵AP →＝(0,0，a )，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，0，∴BC →·AP →＝0， ∴BC ⊥AP .又∵∠BCA ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，34a ，12a ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34a ，12a .又由(1)知，BC ⊥平面PAC . ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角．∵AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，34a ，12a ，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34a ，12a ，∴cos∠DAE ＝AD →·AE →|AD →||AE →|＝144.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arccos144.。

高中数学直线与平面夹角解析在高中数学中，直线与平面夹角是一个重要的概念，涉及到几何图形的相互关系和空间几何的应用。

本文将从基本概念入手，通过具体题目的举例，分析解题技巧，帮助高中学生或他们的父母更好地理解和应用直线与平面夹角的知识。

一、基本概念直线与平面夹角是指直线与平面之间的夹角，可以用来描述直线在平面上的位置关系。

在几何图形中，我们常常遇到直线与平面相交的情况，这时候直线与平面夹角的计算就显得尤为重要。

二、题目分析与解题技巧1. 题目一：已知直线l与平面α垂直，平面α与平面β的夹角为60°，求直线l与平面β的夹角。

解题思路：根据题目所给条件，我们可以得知直线l与平面α垂直，即直线l与平面α的法向量垂直。

而平面α与平面β的夹角为60°，说明平面α的法向量与平面β的法向量夹角为60°。

根据向量的性质，两个垂直的向量的夹角为90°，所以直线l与平面β的夹角为90°-60°=30°。

2. 题目二：已知直线l与平面α平行，直线m与平面α的夹角为45°，求直线m与平面β的夹角。

解题思路：根据题目所给条件，我们可以得知直线l与平面α平行，即直线l与平面α的法向量平行。

而直线m与平面α的夹角为45°，说明直线m与平面α的法向量夹角为45°。

根据向量的性质，平行的向量的夹角为0°，所以直线m与平面β的夹角为45°。

3. 题目三：已知直线l与平面α的倾斜角为30°，平面α与平面β的夹角为60°，求直线l与平面β的夹角。

解题思路：根据题目所给条件，我们可以得知直线l与平面α的倾斜角为30°，即直线l与平面α的法向量与平面α的法向量夹角为30°。

而平面α与平面β的夹角为60°，说明平面α的法向量与平面β的法向量夹角为60°。

根据向量的性质，两个向量的夹角等于它们的夹角的余角，所以直线l与平面β的夹角为90°-30°-60°=0°。

案例（二）----精析精练课堂 合作 探究重点难点突被知识点一 公式cos θ=cos θ1·cos θ 2如右图,已知OA 是平面a 的一条斜线,AB⊥a,则OB 是OA 在平面a 内的射影,设OM 是a 内通过点O的任意一条直线,OA 与OB 所成的角为θ1,OB 与OM 所成的角为θ2,OA 与OM 所成的角为θ,则有cos θ=cos θ1·cos θ2,我们简称此公式为三余弦公式,它反映了三个角的余弦值之间的关系.在上述公式中,因为0≤cos θ2≤1，所以cos θ<cos θ1,因为θ1和θ都是锐角,所以θ1≤0,由此我们可以得到最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.知识点二 斜线和平面所成的角(1)定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).(2)斜线和平面所成角的范围:(0,2π). (3)直线和平面所成角的范围:[O,2π],其中当一条直线与一个平面垂直时,这条直线与平面的夹角为,当一条直线与个平面平行或在平面内时,这条直线与平面的夹角为0.(4)直线和平面所成角的求法:①几何法:用几何法求直线和平面所成角的步骤:i)找(或作)出直线和平面所成的角；ii)计算,即解三角形；iii)结论,即点明直线和平面所成角的大小.②向量法:若直线AB 与平面a 所成的角为θ,平面a 的法向量为n,直线与向量n 所成的角为ϕ，则θ+ϕ=2π,利用向量的夹角公式求出cos ϕ再根据sin θ=|cos ϕ|求出θ③利用公式cos θ=cos θ1cos 2求解.典型例题分析题型1 几何法求直线和平面的夹角【例1】 如下图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,AA 1=5,试求B 1D 1与面A 1BCD 1所成角的正弦值解析 作出B 1点在平面A 1BCD 1上的射C 影,从而得到B 1D 1在平面上的射影.又因为平面 A 1B 1D⊥面A 1BCD 1,故只要过B 1作A 1B 的垂线,垂足就是B 1的射影.答案 作B 1E⊥A 1B,又因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1,∴A 1D 1⊥B 1E.由B 1E⊥A 1B 及B 1E⊥A 1D 1得知B 1E⊥面A 1BCD 1,所以,D 1E 就是D 1B 1在平面A 1BCD 1上的射影,从而∠B 1D 1E 就是D 1B 1与面A 1BCD 1所成的角.在Rt△B 1D 1E 中,有sin∠B 1D 1E=111B D EB 上的射影. 但D1B1=211211D A B A +=915+=5,又11BB A S ∆=21A 1B 1·EB 1=21A 1B 1·BB 1,A 1B=1625+=14,∴EB 1=4154⨯=420,∴sin∠B 1D 1E=54120=41414. 方法指导 如果随意地在直线B 1D 1上取一点,然后过这一点向平面A 1BCD 1作垂线,虽然也可以找出直线B 1D 1和平面A 1BCD 1所成的角,但面临的一个问题是如何求出这个角,因此“作、证、求”三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑.【变式训练1】 已知直角三角形ABC 的斜边BC 在平面a 内,直角边AB,AC 分别和a 成30°和45°角.求斜边BC 上的高AD 与平面a 所成角的大小.答案 如下图,作AO⊥a,O 为垂足,连结OB,OC,OD,则∠ABO,∠ACO,∠ADO 分别为AB,AC,AD 与a 所成的角,则∠ABO=30°,∠ACO=45°.设AO=h,则AC=2h,AB=2h.∴BC=6h,∴AB=32=∙BC AB AC h. ∴Rt△AOD 中,sin∠ADO=23=AD AO ,∠ADO=60°. ∴AD 与平面a 所成的角的大小为60°.【例2】 如下图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求直线AA 1与平面A 1BD 所成的角.解析 在确定A 在平面上的射影时,既可以利用线面垂直,也可以分析四面体A 1-ABD 的性质.答案 解法一:连结AC,设AC∩BD=O,连结A 1O,在△A 1AO 内作AH⊥A 1O,H 为垂足. ∵A 1A⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴A 1A⊥BD .又BD⊥AC,AC∩A 1A=A,∴BD⊥平面A 1AD,∴BD⊥AH .又AH⊥A 1O,A 1O∩BD=O,∴AH⊥平面A 1BD,∴∠AA 1H 为斜线A 1A 与平面A 1BD 所成的角.在Rt △A 1AO 中,A 1A=1,AO=22,∴A 1O=26. ∵:A 1A·AO=A 1O·AH,∴AH=332622111=⨯=∙O A AO A A . ∴sin∠A A 1H=331=A A AH .∠AA 1H=arc sin 33. ∴A 1A 平面A 1BD 所成角的大小为arc sin33. 解法二:∵AA 1=AD=AB,∴点A 在平面A 1BD 上的射影H 为△A 1BD 中心,连结A 1H,则A 1H 为正△A 1BD 外接圆半径, ∵正△A 1BD 边长为2,∴A 1H=33·2=36. Rt△AHA 1中,cos∠AA 1H=A A H A 11=36. ∵∠AA 1H 为AA 1与平面A 1BD 所成的角,∴A 1A 与平面A 1BD 所成角的大小为 arc sin 33. 解法三:同解法二分析,A 1H 为∠BA 1D 的平分线,∴∠BA 1H=30°,又∠AA 1B=45°,∴由最小角原理公式cos∠AA 1B=cos∠AA 1H·cos∠BA 1H,得cos∠AA 1H=︒︒=∠∠30cos 45cos cos cos 11H BA B AA =36 ∴∠AA 1H=arc cos 36方法指导 在研究空间图形时,基本元素的位置关系和数量关系是密不可分、相互转化的.解法二在数量关系AA 1=AD=AB 的基础上,得到A 在平面A 1BD 上的射影的性质,解法三在找到基本图形-----三棱锥A 1-ABD 后,利用最小角原理公式,最小角原理公式是立体几何的重要公式之一,解法三利用该公式,解法简捷明了.【变式训练2】 如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD⊥DC,E 是PC 的中点.(1) 证明PA∥平面EDB ；(2) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.答案 (1)连结AC,AC 交BD 于O.连结EO.∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点.在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO .而EOC ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.(3) 作EF⊥DC 交DC 于F,连结BF,设正方形ABCD 的边长为a.∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥DC .∴EF∥PD,F 为DC 的中点∴EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的 角.在Rt △BCF 中,BF=a a a CF BC 25)2(2222=+=+. ∴EF=21PD=2a ,∴在Rt △EFB 中,tan ∠EBF=55252==a aBF EF . 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为题型2 向量法求直线与平面的夹角【例3】 在以边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 和F 分别是BC 和C 1D 1上的点,BE=C 1F= 31，试求EF 与平面A 1BD 所成的角的余弦值. 解析 如下图建立恰当的空间直角坐标系,用坐标向量及平面的法向量求解. 答案 以A 为原点,分别以AB ,AD ,1AA 方向为x轴,y 轴,z 轴的正方向而建立坐标系,如上图所示,则A 1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,1),E(1,31,0),F(32,1,1). 1AC =(1,1,1),B A 1=(1,0,-1),D A 1(0,1,-1).由于1AC ·B A 1=(1,1,1)·(1,0,-1)=1-1=0,∴1AC ⊥B A 1,1AC .D A 1=(1,1,1)·(0,1,-1)=1-1=0,∴1AC ⊥D A 1,∴1AC ⊥平面A 1BD,故1AC 是平面A 1BD 的法向量.又EF =(-31,32,1),EF ·1AC =(-31,32,1)·(1,1,1)=34,|EF |=314,|1AC |=3. 记ϕ为EF 与1AC 之间所成之角则cos ϕ=11AC EF =424331443=∙.以θ记EF 与平面A 1BD 所成之角,则θ=ϕπ-2,∴cos=θ=cos(2π-ϕ)=sin ϕ=21273211342161cos 12==-=-ϕ. 规律总结 利用向量法求直线与平面所成角的解题步粟可以分解为:①根据题设条件,图形特征建立适当的空间直角坐标系；②得到相关点的坐标,进而求出相关向量的坐标；③利用分式cos<a,b>=b a b a ∙,进行计算,其中向量a 是直线的方向向量,b 可以是平面的法向量,可以是直线在平面内射影的方向向量；④将(a,b)转化为所求的线面角.这里要注意的是:平面的斜线的方向向量与平面法向量所成的锐角是平面的斜线与平面所成角的余角.【变式训练3】 如下图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC 且AS=AB.求直线SC 与底面ABCD 的夹角的余弦值.答案 由题设条件知,可建立以AD 为x 轴,AB 为y 轴,AS 为z 轴的空间直角坐标系,如下图所示,设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(21,0,0),S(0,0,1).∴AS =(0,0,1),CS =(-1,-1,1).显然AS 是底面的法向量,它与已知向量CS 的夹角β=90°-θ,故有sin θ=cos β33311=⨯=,于是 cos θ=36sin 12=-θ. 【例4】 如下图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA 1=2,D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解析 求线面角关键在于找到平面的一个法向量,法向量与直线所在的向量夹角的互余的角,即为所求的角,因此结合图形的特征,可以先建立空间直角坐标系,求出平面ABD 的法向量,再按公式求解.答案 以C 为原点,CA 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系,设AC 的长为a,则A(a,0,0),B(0,a,0)D(0,0,1)A1(a,0,2,)则点G(3a ,3a ,31),E(2a ,2a ,1).由于E 在面ABD 内的射影为G 点,所以GE⊥面ABD.又DA =(a,0,-1),AB =(-a,a,0)=(6a ,6a ,32),,由AB ·=0及 ·=0可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-,066,0326222a a a 解得a=2. 取=(6a ,6a ,32)=(31,31,32,)为平面ABD 的法向量,B A 1=(-2,2,-2).设A 1B 和平面ABD 所成的角为θ,则sin θ=32222949191|343232|222=++++-+-. 故所求A1B 和平面ABD 所成的角为arin2方法指导 本题也可以不用向量方法求解,而用传统的几何方法求解,但处理的过程不像向量法简单直接.请读者用传统方法试着处理一下.规律 方法 总结(1)利用平面a 的法向量n 求斜线AB 与平面a 的夹角θ时,应注意关系,sin θ=|cos<AB ,n>),其中θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，不要认为<AB ,n>或<BA ,n>就是θ角； (2)求直线与平面夹角的常见方法:①当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,当直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为0°；②当直线与平面斜交时,用以下三种方法求角：方法一:定义法:在直线上任取不同于斜足的一点作面的垂线,确定射影,找出斜线与平面所成的角,通过解三角形求得；方法二:向量法:建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,由向量夹角公式,求出法向量n 与斜线对应向量的夹角θ(锐角),则所求线面角为2π-θ； 方法三:由公式cos θ=cos θ1·cos θ2,求斜线与平面所成的角.定时 巩固 检测基础训练1.平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是 （ ）A.0°<θ<90°B.0°≤θ≤90°C.0°<θ≤90D.0°<θ<180°【答案】 A(点拨:由与平面相交但不垂直的直线为平面的斜线知0°<θ<90°.)2.一条直线与平面a 所成的角为30°,则它和平面a 内所有直线所成的角中最小的角是 （ ）A.30°B.60°C.90°D.150°【答案】 A(点拨:本题考查最小角定理,斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中最小的角.)3.如下图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是 （ ）A.∠C 1BB 1 B∠C 1BD C.∠C 1BD 1 D.∠C 1BO【答案】 D(点拨:∵O 是点C 1在平面BB 1D 1D 上的射影,∴BO 为BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影.∵∠C1BO 为所求.)4.PA,PB,PC 是从P 点引出的三条射线,每两条夹角都为60°,则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值为 （ ）A. 21 B.36 C.33 D.23 【答案】 C(点拨,设PC 与平面APB 所成角为θ,则由cos60°=cos θ·cos30°得cos θ=33.) 5.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为侧面BCC 1B 1的中心,则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( ) A.33 B.21 C.66 D.23 【答案】 C(点拨:取BC 中点M,连AM,OM,易知∠OAM 即为AO 与平面ABCD 所成的角,可求得sin∠OAM=66.) 能力提升 6.如右图所示,点P 是△ABC 所在平面外的一点,若PA 、PB 、PC 与平面a 所成的角均相等,则点P 在平面a 上的射影P′是△ABC 的 （ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】 B(点拨:由于PA 、PB 、PC 与平面a 所成的角均相等,所以这三条由点P 出发的平面ABC 的斜线段相等,故它们在平面ABC 内的射影P ′A 、P ′B 、P ′C 也都相等,故点P 是 △ABC 的外心,因此,应选B.)7.从同一点O 引出不共面的三条射线OA,OB,OC 且两两成60°角,OA 与平面BOC 的夹角为 .【答案】 arc cos 33(点拨:设OA 与平面BOC 的夹角为θ,由上述分析可得co s60°=c os θ·c o s30°,即cos θ=33,所以OA 与.平面BOC 的夹角为arc cos 33.) 8.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是AB 、C 1D 1的中点,求A 1B 1与平面A 1MCN 所成角的大小.【答案】 法一:分别以DA,DC,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如上图,设正方体的棱长为1,则A 1(1,0,1),M(1,21,1),N(0,21,1),B 1(1,1,1),所以11B A =(0,1,0),M A 1=(0,21,-1),N A 1=(-1,21,0).设平面A 1MCN 的一个法向量为n=(x,y,z),则有⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,11M A n A n 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-.021,021z y y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y z y x 2121， 令y=2,则x=z=1,所以n=(1,2,1).cos<11B A ,n)=6121111⨯=∙∙n B A n B A =36. 所以直线A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角为arc cos 36. 法二:连接MN,B 1C,A 1D,A 1C,如右图、所示,由三垂线定理可得MN⊥A 1B 1,MN⊥B 1C,所以MN⊥平面A 1B 1CD,又MN ⊂平面A 1MCN,所以平面A 1MCN⊥平面A 1B 1CD,又平面A 1MCN 与平面A 1B 1CD 的交线是A 1C,故点B 1在平面A 1MCN 内的射影在直线A 1C 上,所以∠B 1A 1C 就是A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角,在Rt△B 1A 1C 中,tan∠B 1A 1C=111B A C B =2,即A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角的大小是arc tan 2.9.如右图在矩形ABCD 中,2AB=BC,沿对角线AC 将△ACB 折起到ACB ′的位置,使平面ADB ′⊥平面ACD.(1)求证:平面ACB ′⊥平面CBD ；(2)求AD 与平面ACB ′所成角的大小. 【答案】 (1) ⎪⎭⎪⎬⎫='⊥'⊥AD ACD B AD ACD B AD ADCD 平面平面平面平面 ⇒CD ⊥平面ADB ′⎪⎭⎪⎬⎫=''⊥'⇒⊥'C C B CD C B B A CD B A ⇒⎭⎬⎫'⊂''⊥'B AC B A D B C B A 平面平面 ⇒平面ACB ′⊥平面CB ′D.(2) 作DE ⊥B ′C 于E,连接AE.如图,由(1)知平面ACB ′⊥平面CB ′D,所以DE ⊥平面ACB ′.所以∠DAE 为AD 与平面ACB ′所成的角.设CD=1,则BC=2,在Rt △B ′DC 中,∠CDB ′=90°,B ′C=BC=2,CD=1,所以B ′D=3,所以DE=′CD BD ′CB ∙=23所以在R △AED 中,sin ∠DAE=AD DE =223=43,故直线AD 与平面ACB ′所成的角为 arcsin=43. 10.P 是△ABC 所在平面外一点,PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=10,PB=8,PC=6,求PA 与平面ABC 所成的角.【答案】∵AP ⊥PB,PA ⊥PC,∴PA ⊥平面PBC,PA ⊥BC,过A 作AD⊥BC 于D,连接PD,那么BC ⊥平面PAD,过P 作PO ⊥AD 于O.∴PO ⊥AD;BC ⊥PO,∴PO ⊥面ABC,∠PAO 就是PA 与面ABC 所成的角,∵PB=8,PC=6,∴BC=10,PD=BC PC PB ∙=524,tan ∠PAD=10524=2512, 因此PA 与面ABC 所成的角为arctan 2512. 11.如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求:CD 与平面ADMN 所成的角.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz,设PA=2,则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),则=(2,0,-2),=(0,2,0),=(2,-1,0).因为PB ·AD =(2,0,-2)·(0,2,0)=0,所以PB ⊥AD.又因为由三垂线定理可得PB ⊥DM,所以PB ⊥平面ADMN.因此<,>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角.因为cos(,=510,所以CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin 510.。

线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是 （ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1BC 成60角（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。

（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。

（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。

例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C DPA B C H S M 线面角与线线角专练（小练习二）例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。

3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1．已知平面α内的角∠APB ＝60°，射线PC 与PA 、PB 所成角均为135°，则PC 与平面α所成角的余弦值是( )A ．－63B.63C.33D ．－33[答案] B[解析] 由三余弦公式知cos45°＝cos α·cos30°， ∴cos α＝63. 2．三棱锥P —ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是△ABC 的外心，P A ＝AB ＝1，BC ＝2，则PB 与底面ABC 所成角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°[答案] B[解析] 由AB ＝1，BC ＝2，知AC ＝3，∴OA ＝32， 又∵PA ＝1，PQ ⊥AC ，∴PO ＝12，∵OB ＝OA ＝32，∴tan θ＝33.∴应选B. 3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值是( ) A.24 B.23 C.63D.32[答案] C[解析] 由计算得sin θ＝23.故选C. 4．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833 C.21060D.21030[答案] D[解析] 以O 为原点，射线OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝a ，则OP ＝72a ，OD →＝(－24a,0，144a )，可求得平面PBC 的法向量为n ＝(－1，－1，17)， ∴cos(OD →，n )＝OD →·n |OD →||n |＝21030，设OD →与面PBC 的角为θ，则sin θ＝21030，故选D.5．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，2π3 B.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡π2，2π3D.⎣⎡π3，π2[答案] D6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223C.22D.23[答案] A7．如图，正方体AC 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( ) A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1 D ．∠C 1BO [答案] D[解析] 由三垂线定理得，OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影．故选D.8．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.56π [答案] B[解析] 以D 为原点建立空间直角坐标系，平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)， 而BA 1→＝(0，－1,1)，∴cos θ＝1＋223＝32，∴θ＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角．9．正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折起，使点D 在面ABCD 外 ，这时DB 与平面ABC 所成角一定不等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 当沿对角线AC 折起时，BD 在面ABC 上的射影始终在原对角线上，若BD ⊥面ABC ，则此时B 、D 重合为一点，这是不成立的，故选D.10．已知等腰直角△ABC 的一条直角边BC 平行于平面α，点A ∈α，斜边AB ＝2，AB 与平面α所成的角为30°，则AC 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 过B 、C 作BB ′⊥α于B ′，CC ′⊥α于C ′， 则BB ′＝CC ′＝1，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.故选B. 二、填空题11．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为________．[答案]104[解析] 设三棱柱的棱长为1，以B 为原点，建立坐标系如图，则C 1(0,1,1)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ. sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝64，∴cos θ＝1－sin 2θ＝104. 12．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．[答案] 30°13．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为________．[答案] 60°14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、A 1D 1的中点，则EF 与面A 1C 1所成的角为________．[答案] 45° 三、解答题15．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12SC 与平面ABCD 所成的角．[解析] 解法1：如图所示，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，A ∈α，则AB 与平面α所成的角为π2－arccos |AB →·n ||AB →|·n ；AS →是平面ABCD 的法向量，设CS →与AS →的夹角为φ. ∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1. |AS →|＝1，|CS →|＝(CB ―→＋BA ―→＋AS ―→)2 ＝|CB ―→|2＋|BA ―→|2＋|AS ―→|2＝3， ∴cos φ＝AS →·CS →|AS →|·|CS →|＝33.∴φ＝arccos33. 从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.解法2：连结AC ，显然∠SCA 即为SC 与平面ABCD 所成的角．计算得：AC ＝2，∴tan ∠SCA ＝22，故SC 与平面ABCD 所成角为arctan22. 16．如图，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°.D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点．若OP ⊥BD ，试求：(1)OP 与底面AOB 所成的角的大小； (2)BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小．[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B (3,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，2，4，设P (3,0，z )，则BD →＝⎝⎛⎭⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，z ＝98.∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，98.(1)∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角． ∵tan ∠POB ＝983＝38，∴∠POB ＝arctan 38.故OP 与底面AOB 所成角的大小是arctan 38.(2)∵OB →＝(3,0,0)，且OB →⊥平面AOO ′A ′， ∴平面AOO ′A ′的法向量为OB →＝(3,0,0)． 又DB →＝(3,0,0)－⎝⎛⎭⎫32，2，4＝⎝⎛⎭⎫32，－2，－4， ∴OB →·DB { ＝3×32＋(－2)×0＋(－4)×0＝92.又|OB →|＝3， |DB →|＝⎝⎛⎭⎫322＋(－2)2＋(－4)2＝892， ∴cos 〈OB →，DB →〉＝OB →·DB →|OB →|·|DB →|＝923×892＝389 .∴BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小为π2－〈OB →，DB →〉＝π2－arccos 389(或写成arcsin389)．17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值．[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)，BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BD ，n ⊥BB 1∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝－2x －2y ＝0n ·BB 1→＝2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y z ＝0， 令y ＝1时，则n ＝(－1,1,0)， cos<n ，BE →>＝n ·BE →|n ||BE →|＝105.即BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为105.18．(2009·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成的角的大小； [解析] 考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法．解法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形， ∴AD ＝12AB .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12.∴在Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arcsin24. 解法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .设PA ＝a ，由已知可得A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12a ，32a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32a ，0，P (0,0，a )． (1)∵AP →＝(0,0，a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，∴BC →·AP →＝0， ∴BC ⊥AP .又∵∠BCA ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴D ⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12，E ⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a .又由(1)知，BC ⊥平面P AC . ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵AD →＝⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12a ，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a ，∴cos ∠DAE ＝AD →·AE →|AD →||AE →|＝144.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arccos144.。

第一章 1.4.2 第2课时A 级——基础过关练1．平面α的一个法向量为n ＝(1，－3，0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．π4D ．5π6【答案】B 【解析】y 轴的一个方向向量为m ＝(0,1,0)，cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝－31×2＝－32.所以〈m ，n 〉＝5π6，所以y 轴与平面α所成角的大小为5π6－π2＝π3. 2．(2021年太原高二检测)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A ．105B ．155C ．45D ．23【答案】B 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则O (1,1,0)，E (0,2,1)，D 1(0,0,2)，F (1,0,0)．所以OE →＝(－1,1,1)，FD 1→＝(－1,0,2)，所以cos 〈OE →，FD 1→〉＝OE →·FD 1→|OE →||FD 1→|＝－1，1，1·－1，0，23×5＝155.所以异面直线OE 与FD 1所成的角的余弦值等于155.3．(2021年衢州高二检测)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为( )A ．23B ．33C ．23 D ．13【答案】A 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2a ，则B (a,0,0)，D (0，a,0)，C 1(a ，a,2a )，C (a ，a,0)．所以CD →＝(－a,0,0)，BD →＝(－a ，a,0)，BC 1→＝(0，a,2a )，设平面BDC 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋ay ＝0，ay ＋2az ＝0，令y ＝2，则x ＝2，z ＝－1.所以平面BDC 1的一个法向量n ＝(2,2，－1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为α，则sin α＝|cos 〈CD →，n 〉|＝|CD →·n ||CD →|·|n |＝|－2a |a ×3＝23.4．已知E ，F 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( )A ．23B ．23C ．53D ．233【答案】C 【解析】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，F ⎝⎛⎭⎫0，1，12，D 1(0,0,1)．故AD 1→＝(－1,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0.设平面AEFD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD 1→＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x 2＋y ＝0，故x ＝2y ＝z ，取y ＝1，则n ＝(2,1,2)．而平面ABCD 的一个法向量u ＝(0,0,1)，故cos 〈n ，u 〉＝n·u|n|·|u|＝29×1＝23.设截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的大小为θ，则|cos θ|＝|cos 〈n ，u 〉|，故sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.5．如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，☉O 的直径AB ＝2，C 是AB ︵的中点，则二面角B －P A －C 的余弦值为________．【答案】105【解析】如图，以O 为坐标原点，OB →，OC →，OP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0，2)．设n 1＝(x ，y ，z )是平面P AC 的一个法向量，则由n 1·P A →＝0，n 1·PC →＝0，得⎩⎨⎧－x －2z ＝0，y －2z ＝0，所以x ＝－2z ，y ＝2z .取z ＝1，得n 1＝(－2，2，1)．因为y 轴⊥平面P AB ，所以平面P AB 的一个法向量n 2＝(0,1，0)．设向量n 1和n 2的夹角为θ，则cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝25＝105.由图可知二面角B －P A －C 为锐角，所以二面角B －P A －C 的余弦值为105. 6．在正四棱锥P －ABCD 中，高为1，底面边长为2，E 为BC 的中点，则异面直线PE 与DB 所成的角为________．【答案】π3 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则B (1,1,0)，D (－1，－1,0)，E (0,1,0)，P (0,0,1)．故DB →＝(2,2,0)，PE →＝(0,1，－1)．从而cos 〈DB →，PE →〉＝DB →·PE →|DB →||PE →|＝28×2＝12，即〈DB →，PE →〉＝π3.于是PE 与DB所成的角为π3.7．如图，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则D 1B 与AF 1夹角的余弦值是________．【答案】3010【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，所以A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(0,2,2)．因为D 1，F 1分别为A 1B 1，A 1C 1的中点，所以D 1(1,1,2)，F 1(1,0,2)，所以D 1B →＝(－1,1，－2)，AF 1→＝(－1,0,2)，所以D 1B → ·AF 1→＝(－1,1，－2)·(－1,0,2)＝－3，|D 1B → |＝1＋1＋4＝6，|AF 1→ |＝1＋22＝5，所以cos 〈D 1B →，AF 1→〉＝－36×5＝－33030＝－3010.所以异面直线D 1B 与AF 1的夹角的余弦值为3010. 8．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．【答案】30° 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，C 1(0,2,2)，B (0,0,0)，由D 为A 1C 1中点知D (1,1,2)，所以AD →＝(－1,1,2)，BC 1→＝(0,2,2)．所以cos 〈AD →，BC 1→〉＝AD →·BC 1→|AD →||BC 1→|＝66×22＝32，所以异面直线AD 与BC 1所成的角为30°.9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为棱CC 1的中点． (1)求AD 1与DB 所成角的大小； (2)求证：DB ⊥平面AEA 1.解：如图，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，E (0,2,1)，D 1(0,0,2)．所以AD 1→＝(－2,0,2)，DB →＝(2,2,0)，AA 1→＝(0,0,2)， AE →＝(－2,2,1)，(1)cos 〈AD 1→，DB →〉＝AD 1→·DB →|AD 1→||DB →|＝－422×22＝－12.所以〈AD 1→，DB →〉＝2π3.故直线AD 1与DB 所成的角为π3.(2)证明：因为DB →·AA 1→＝(2,2,0)·(0,0,2)＝0， DB →·AE →＝(2,2,0)·(－2,2,1)＝0， 所以DB →⊥AA 1→，DB →⊥AE →， 即DB ⊥AA 1，DB ⊥AE . 又AA 1∩AE ＝A ， 所以DB ⊥平面AEA 1.10．如图，在三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点． (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小．(1)证明：因为DEF －ABC 是三棱台，且AB ＝2DE ， 所以BC ＝2EF ，AC ＝2DF .因为G ，H 分别是AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB ． 因为AB ⊄平面FGH ，GH ⊂平面FGH ， 所以AB ∥平面FGH . 因为EF ∥BH 且EF ＝BH ，所以四边形BHFE 是平行四边形． 所以BE ∥HF .又BE ⊄平面FGH ，HF ⊂平面FGH ， 所以BE ∥平面FGH .又因为AB ∩BE ＝B ，所以平面ABE ∥平面FGH . 因为BD ⊂平面ABE ，所以BD ∥平面FGH . (2)解：因为CF ⊥平面ABC ，所以CF ⊥AB ． 又BC ⊥AB ，BC ∩CF ＝C ，所以AB ⊥平面BCFE .以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，如图． 因为∠BAC ＝45°，所以BC ＝AB ，设DE ＝1， 则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)， H (1,0,0)，G (1,1,0)，F (2,0,1)， 所以HG →＝(0,1,0)，HF →＝(1,0,1)．设平面FGH 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝－1，所以n ＝(1,0，－1)．连接BG ，可得BG ⊥AC ，BG ⊥CF ，又AC ∩CF ＝C ， 所以BG ⊥平面ACFD ．所以BG →＝(1,1,0)是平面ACFD 的一个法向量， 所以cos 〈n ，BG →〉＝12×2＝12. 所以平面FGH 与平面ACFD 所成的锐二面角的大小为60°.B 级——能力提升练11．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A ．55B ．53C ．255D ．35【答案】A 【解析】设CB ＝1，则A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，C 1(0,2,0)，B (0,0,1)，BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)，所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝35×3＝55.12．(多选)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若棱长为1，E ，F 分别为线段B 1D 1，BC 1上的动点，则下列结论正确的是( )A ．DB 1⊥平面ACD 1 B ．平面A 1C 1B ∥平面ACD 1 C ．点F 到平面ACD 1的距离为定值33D ．直线AE 与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为定值13【答案】ABC 【解析】以A 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(1,1,1)，D 1(0,1,1)，设E (x ，y,1)，B 1E →＝λB 1D 1→，即(x －1，y,0)＝(－λ，λ，0)，∴E (1－λ，λ，1)，设F (1，y ′，z ′)，BF →＝μBC 1→，即(0，y ′，z ′)＝(0，μ，μ)，∴F (1，μ，μ)．对于A ，∵DB 1→＝(1，－1,1)，AC →＝(1,1,0)，AD 1→＝(0,1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧DB 1→·AC →＝0，DB 1→·AD 1→＝0，∴DB 1⊥AC ，DB 1⊥AD 1，又AC ，AD 1⊂平面ACD 1，AC ∩AD 1＝A ，∴DB 1⊥平面ACD 1，A 正确；对于B ，∵DB 1⊥平面ACD 1，∴DB 1→＝(1，－1,1)为平面ACD 1的一个法向量，∵A 1C 1→＝(1,1,0)，A 1B →＝(1,0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧DB 1→·A 1C 1→＝0，DB 1→·A 1B →＝0，∴DB 1⊥A 1C 1，DB 1⊥A 1B ，又A 1C 1，A 1B ⊂平面A 1C 1B ，A 1C 1∩A 1B ＝A 1，∴DB 1⊥平面A 1C 1B ，∴平面A 1C 1B ∥平面ACD 1，B 正确；对于C ，∵AF →＝(1，μ，μ)，∴点F 到平面ACD 1的距离d ＝|AF →·DB 1→||DB 1→|＝13＝33，为定值，C 正确；对于D ，∵几何体为正方体，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC →＝(1,1,0)是平面BB 1D 1D 的一个法向量，又AE →＝(1－λ，λ，1)，设直线AE 与平面BB 1D 1D 所成角为θ，则sin θ＝|AC →·AE →||AC →|·|AE →|＝12·2λ2－2λ＋2，不是定值，D 错误．故选ABC ． 13．如图，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．【答案】(1,1,1) 【解析】设PD ＝a (a >0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2，所以DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2.因为cos 〈DP →，AE →〉＝33，所以a 22＝a2＋a 24×33，所以a ＝2，所以点E 的坐标为(1,1,1)．14．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，那么a ＝________.【答案】125【解析】平面Oxy 的一个法向量n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az .取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1，cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22.又a >0，故a ＝125. 15．(2021年山东模拟)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (10,0,0)，H (10，10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)，FE →＝(10,0,0)，HE →＝(0，－6,8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·HE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0.所以可取n ＝(0,4,3)． 又AF →＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF →〉|＝|n ·AF →||n ||AF →|＝4515.所以AF 与平面α所成角的正弦值为4515.C 级——探究创新练16．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BC ，C 1D 1的中点，则异面直线A 1E ，CF 所成角的大小为______；平面A 1EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成锐二面角的余弦值为______．【答案】π6 31414 【解析】以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(2,0,1)，E (1,2,0)，C (0，2,0)，F (0,1,1)，所以A 1E →＝(－1,2，－1)，CF →＝(0，－1,1)．设异面直线A 1E ，CF 所成角的大小为θ，所以cos θ＝|A 1E →·CF →||A 1E →|·|CF →|＝36×2＝32.因为θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以θ＝π6.又A 1F →＝(－2,1,0)，设平面A 1EF 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1F →＝0，m ·A 1E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，－x ＋2y －z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1,2,3)，平面A 1B 1C 1D 1一个法向量n ＝(0,0,1)，设平面A 1EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成锐二面角为α，所以cos α＝|m ·n ||m |·|n |＝314＝31414.17．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)如果PD ＝2AB ，且直线AE 与平面PBD 夹角为45°时，求PEEB的值．(1)证明：设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AC ． 因为BD ⊥AC ，所以AC ⊥平面PDB ． 又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面PDB ．(2)解：以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示， 平面PBD 的法向量n ＝(1，－1,0)． 设PD ＝2AB ＝2，PE →＝λPB →， 则E (2λ，2λ，2－2λ)，PB →＝(2，2，－2)，AE →＝(2λ－2，2λ，2－2λ)， sin 45°＝|cos 〈AE →，n 〉|＝|AE →·n ||AE →||n |＝22，解得λ＝12或λ＝1(舍去)．PE所以EB＝1.。

线面夹角练习题一、选择题1. 线面夹角是指：A. 直线与平面的交角B. 直线与平面的夹角C. 平面与平面的夹角D. 直线与直线的夹角2. 在空间几何中，线面夹角的取值范围是：A. [0°, 90°]B. [0°, 180°]C. [90°, 180°]D. [0°, 360°]3. 如果直线l与平面α的夹角为θ，那么直线l在平面α上的投影与平面α的夹角是：A. θB. 90° - θC. 180° - θD. 无法确定4. 直线l与平面α垂直，则线面夹角为：A. 0°B. 90°C. 180°D. 无法确定5. 直线l与平面α平行，则线面夹角为：A. 0°B. 90°C. 180°D. 无法确定二、填空题6. 若直线l与平面α的夹角为45°，则直线l在平面α上的投影与平面α的夹角为________。

7. 若直线l与平面α的夹角为30°，则直线l在平面α上的投影与平面α的夹角为________。

8. 当直线l与平面α相交时，线面夹角的计算公式为________。

9. 当直线l与平面α垂直时，直线l在平面α上的投影长度为________。

10. 当直线l与平面α平行时，直线l在平面α上的投影长度为________。

三、判断题11. 线面夹角总是小于90°。

（）12. 线面夹角的计算可以通过直线上的一点到平面的距离来确定。

（）13. 当直线l与平面α的夹角为锐角时，直线l在平面α上的投影长度小于直线l的实际长度。

（）14. 直线l与平面α平行时，线面夹角为0°。

（）15. 直线l与平面α垂直时，线面夹角为90°。

（）四、简答题16. 简述如何确定直线与平面的夹角。

17. 描述直线l在平面α上的投影长度与线面夹角之间的关系。

课时分层作业(二十四) 直线与平面的夹角(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．如下图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( )A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1D ．∠C 1BOD [由线面垂直的判定定理，得C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，所以OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影，所以∠C 1BO 为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，应选D.]2．PA ，PB ，PC 是由点P 出发的三条射线，两两夹角为60°，那么PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A.12B.22C.33D.63C [设PC 与平面PAB 所成的角为θ， 那么cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ＝33.] 3. 正四棱锥S ­ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，那么AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23C [令正四棱锥的棱长为2，建立如下图坐标系，那么A (1，－1,0)，D (－1，－1,0)，S (0,0，2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，22， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，22，SD →＝()－1，－1，－2，∴cos〈AE →，SD →〉＝AE →·SD →|AE →||SD →|＝－33.∴AE ，SD 所成的角的余弦值为33.] 4．如果∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝60°，那么PA 与平面PBC 所成角的余弦值为( ) A.12 B.2626 C.63 D.33D [如图，设A 在平面BPC 内的射影为O ，∵∠APB ＝∠APC . ∴点O 在∠BPC 的角平分线上，∴∠OPC ＝30°，∠APO 为PA 与平面PBC 所成的角． ∴cos∠APC ＝cos∠APO ·cos∠OPC ， 即cos 60°＝cos∠APO ·cos 30°， ∴cos∠APO ＝33.] 5．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，假设AB ＝2BB 1，那么AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B．90° C．105°D ．75°B [建立如下图的空间直角坐标系，设BB 1＝1，那么A (0,0,1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎪⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，－1， C 1B →＝⎝⎛⎭⎪⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.] 二、填空题6．等腰Rt△ABC 的斜边AB 在平面α内，假设AC 与α成30°角，那么斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．45° [作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，那么∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt△AOC 中，设CO ＝1，那么AC ＝2.在等腰Rt△ABC 中，由AC ＝2得CM ＝ 2.在Rt△CMO中，sin∠CMO ＝COCM＝12＝22. ∴∠CMO ＝45°.]7．如下图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角是________．30° [连接BC 1交B 1C 于O 点，连接A 1O . 设正方体棱长为a . 易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影． ∴∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角． 在Rt△A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ， ∴sin∠BA 1O ＝OB A 1B ＝12， ∴∠BA 1O ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为30°.]8．在正四棱锥S ­ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，那么直线BC 与平面PAC 所成的角为________．30° [以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ， 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ， 那么A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，从而CA →＝(2a,0,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)． 设平面PAC 的一个法向量为n 可求得n ＝(0,1,1)，那么cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. 所以〈CB →，n 〉＝60°.所以直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°.] 三、解答题9．如下图，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成角的正弦值．[解] 取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，连接AO ，OO 1，那么AO ⊥OC ，OO 1⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OC ，OA ，OO 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系Oxyz ，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，C 1a 2，0，2a ，∴AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－32a ，2a .取AB 中点M ，连接CM ，那么CM ⊥AB .∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，∴CM ⊥平面ABB 1A 1， ∴CM →为平面ABB 1A 1的一个法向量． ∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，0，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，34a ，0.又∵C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0. ∴cos〈AC 1→，CM →〉＝AC 1→·CM →|AC 1→||CM →|＝－34a23a ·32a ＝－12.∴AC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为12.10．如下图，点P 在正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．[解] 如图，以D 为坐标原点，DA 为单位长建立空间直角坐标Dxyz .那么DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连接BD ，B ′D ′. 在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H . 设DH →＝(m ，m,1)(m >0)， 由〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉， 可得m ＝122m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°， 即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)． 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.[能力提升练]1．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，那么A 1B 1与平面A 1EF 夹角的正弦值为( )A.62B.63C.64D. 2B [建立如下图的空间直角坐标系，设棱长为1，那么A 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，B 1(1,1,1)．A 1B 1→＝(0,1,0)，设平面A 1EF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y2＝0.令y ＝2，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63， 即线面角的正弦值为63.] 2．如下图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，那么PG 与底面ABCD 所成的角θ满足( )A ．θ＝π4B ．cos θ＝23417C ．tan θ＝223D ．sin θ＝33B [建立如下图的空间直角坐标系，那么P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，PG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，－1.又平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，那么cos 〈PG →，n 〉＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋(－1)2＝－31717，所以PG 与平面ABCD 所成角的余弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－317172＝23417.]3．三棱锥S ­ABC 中，底面为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．34[建立如下图的空间直角坐标系，那么S (0,0,3)，A (0，0,0)， B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)， SC →＝(0,2，－3)．设面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB →＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC →＝2y －3z ＝0.令y ＝3，那么z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)． 设AB 与平面SBC 所成的角为θ， 那么sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝3＋34×2＝34.]4．如下图，正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，那么直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．155[取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如下图的空间直角坐标系Oxyz .设BC ＝1，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D 32，0,0，所以BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0n ·BD →＝0所以⎩⎪⎨⎪⎧12y ＋32z ＝032x ＋12y ＝0，取x ＝1，那么y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD →〉＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.] 5．如下图，四棱锥P ­ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：AC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小． [解] (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC . ∵PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PDB . (2)建立如下图的空间直角坐标系， 设AB ＝1，那么A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，22，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，22. 由(1)知AC →＝(－1,1,0)为平面PDB 的一个法向量． 设AE 与平面PDB 所成的角为θ，那么sin θ＝|cos 〈AC →，AE →〉|＝|AC →·AE →||AC →||AE →|＝12×1＝22.∴AE 与平面PDB 所成的角为45°.。

课时分层作业(六) 直线与平面的夹角(建议用时：40分钟)一、选择题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与平面A 1BC 1所成角正弦值为( )A ．12B ．32C ．33D ．63C [如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(1,1,1)，DA →＝(1,0,0)，设直线AD 与平面A 1BC 1所成角为θ，∴sin θ＝|cos 〈n ，DA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DA →|n |·|DA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11×3＝33．] 2．OA 、OB 、OC 是由点O 出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC 与平面OAB 所成角的余弦值为( )A ．13B ．33C ．12D ．32B [设OC 与平面OAB 所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，∴cos θ＝33．]3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，该长方体的体积为82，∴2×2×AA 1＝82，解得AA 1＝22，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，A (2,0,0)，C 1(0,2,22)，AC 1→＝(－2,2,22)，平面BB 1C 1C 的法向量n ＝(0,1,0)，设直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，sin θ＝|n ·AC 1→||n |·|AC 1→|＝24＝12，∴θ＝30°， ∴直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°．故选A ．]4．在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ．现以点O 为原点，OA 、OB 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．则直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A ．21030B ．3030C ．69030D ．87030A [因为OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ，所以OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP ．设AB ＝2a ，则P A ＝22a ，OP ＝7a ，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0,0，7a )．∴P A →＝(a,0，－7a )，PB →＝(0，a ，－7a )，BC →＝(－a ，－a,0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·PB →＝0n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay －7az ＝0－ax －ay ＝0， 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－77，所以平面PBC 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，－77，所以cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝21030，所以P A 与平面PBC 所成角的正弦值为21030．]5．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2A [以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (3，1,0)，A 1(3，1,3)，B 1(0,2,3)，C 1(0,0,3)，AA 1→＝(0,0,3)，AB 1→＝(－3，1,3)，AC 1→＝(－3，－1,3)，设平面AB 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·AB 1→＝－3x ＋y ＋3z ＝0，n ·AC 1→＝－3x －y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，0,1)，设AA 1与平面AB 1C 1所成的角θ，则sin θ＝|AA 1→·n ||AA 1→|·|n |＝334＝12，∴θ＝π6． ∴AA 1与平面AB 1C 1所成的角为π6．故选A ．]二、填空题6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．45° [作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2．在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝2．在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22．∴∠CMO ＝45°．]7．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形A 1B 1CD 都是正方形，则直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是________．2 [以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(－1，0,1)，BD 1→＝(－2，－1,1)，平面A 1B 1CD 的法向量n ＝(1,0,0)，设直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ，则sin θ＝|BD 1→·n ||BD 1→|·|n |＝26， ∴cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝26， ∴直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是tan θ＝sin θcos θ＝2．] 8．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________．23 [如图，设A 1在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA ，OA 1分别为x 轴、z 轴，过O 作OA 的垂线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC边长为1，则A⎝⎛⎭⎪⎫33，0，0，B1⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，63，所以AB1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－536，12，63．平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sin α＝|cos〈AB1→，n〉|＝637536＋14＋69＝23．]三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E、F分别是PC、AD中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求PB与平面PCD所成角的正切值．[解](1)证明：取PB的中点M，连接EM，FM，∵E，M分别是PC，PB的中点，∴EM∥BC，EM＝12BC，∵四边形ABCD是正方形，F是AD的中点，∴DF∥BC，DF＝12BC，∴四边形DEMF是平行四边形，∴DE∥FM，又DE⊄平面PFB，FM⊂平面PFB，∴DE∥平面PFB．(2)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥CD，又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD．∴∠BPC为直线PB与平面PCD所成的角，∵PD＝DC＝BC，∴PC＝2CD＝2BC，∴tan∠BPC＝BCPC＝22．10．在如图所示的多面体ABCDE，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形．AD ＝DE＝2AB＝2，EC＝22，F是CD的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求直线AD 与平面BCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：以A 为原点，在平面ACD 中，过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0， B (0,0,1)，E (0,2,2)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，BC →＝(3，1，－1)，BE →＝(0,2,1)， 设平面BCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·BC →＝3x ＋y －z ＝0，n ·BE →＝2y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(－3，1，－2)，∵AF →·n ＝0，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE ．(2)AD →＝(0,2,0)，平面BCE 的法向量n ＝(－3，1，－2)，设直线AD 与平面BCE 所成角为θ，则sin θ＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝228＝24． ∴直线AD 与平面BCE 所成角的正弦值为24．11．(多选题)已知四棱锥P -ABCD 的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为81π4的球面上，则P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为( )A ．23B ．13C ．223D ．53BC [由已知可得，四棱锥P -ABCD 为正四棱锥，∵正四棱锥外接球的表面积为81π4，∴正四棱锥外接球的半径R ＝94．如图，连接AC ，BD 交于E ，设球心为O ，连接PO ，BO ，则E 在PO (或其延长线)上，PO ＝BO ＝R ，∴BE ＝12BD ＝12×22＝2，又R ＝94，OE ＝R 2－BE 2＝8116－2＝74．∴PE ＝R －OE ＝94－74＝12或PE ＝R ＋OE ＝94＋74＝4．当PE ＝12时，P A ＝2＋14＝32，P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为1232＝13；当PE ＝4时，P A ＝16＋2＝32，P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为432＝223． ∴P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为13或223．]12．在圆柱OO 1中，O 是上底面圆心，AB 是下底面圆的直径，点C 在下底面圆周上，若△OAB 是正三角形，O 1C ⊥AB ，则OC 与平面OAB 所成角为( )A ．150°B ．30°C ．45°D ．60°B [设AB ＝2a ，则OA ＝2a ，O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝a ，∴OO 1＝4a 2－a 2＝3a ，OC ＝3a 2＋a 2＝2a ，∵CO 1⊥AB ，CO 1⊥OO 1，AB ∩OO 1＝O 1，∴CO 1⊥平面AOB ，∴∠COO 1是OC 与平面OAB 所成角，sin ∠COO 1＝CO 1CO ＝12，∴∠COO 1＝30°，∴OC 与平面OAB 所成角为30°．]13．(一题两空)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则直线CD 1与C 1F 所成角的余弦值为________，直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成角的正弦值为________．105 26 [以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则C (0,2,0)，D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，∴CD 1→＝(0，－2,2)，EF →＝(－1,1,0)，EA 1→＝(0，－1,2)，C 1F →＝(1,0，－2)，cos 〈CD 1→，C 1F →〉＝||CD 1→·C 1F →|CD 1→|·|C 1F →|＝422＋22×12＋(－2)2＝422×5＝105． 设平面A 1C 1FE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·EF →＝－x ＋y ＝0，n ·EA 1→＝－y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(2,2,1)，设直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成角为θ，则sin θ＝|CD 1→·n ||CD 1→|·|n |＝28·9＝26． ∴直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成角的正弦值为26．]14．在空间四边形P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝2，P A ＝4．则PC 和平面P AB 所成角的正切值为________．13 [取AB 的中点为O ，连接CO ，PO ，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥OC，∵AC＝BC，O是AB的中点，∴AB⊥OC，又P A∩AB＝A，∴CO⊥平面P AB，则∠CPO为PC和平面P AB所成的角．∵AC＝BC＝2，AC⊥BC，∴AB＝22，CO＝12AB＝2，∴PO＝P A2＋OA2＝32，∴tan∠CPO＝COOP＝13，∴PC和平面P AB所成角的正切值为1 3．]15．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝12AB＝2．(1)求证：平面ADE⊥平面BFED；(2)若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．[解](1)证明：取AB的中点G，连接DG，则CD12AB，∴CD BG ，∴四边形BCDG 是平行四边形，∴DG ＝BC ＝12AB ＝AG ＝BG ，∴AD ⊥BD ，又平面ABCD ⊥平面BFED ，且平面ABCD ∩平面BFED ＝BD ，∴AD ⊥平面BFED ，又AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BFED ．(2)由于BFED 是矩形，∴BD ⊥DE ，由(1)知AD ⊥平面BFED ，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,23，0)，DA →＝(2,0,0)，设点P (0，t,2)，AB →＝(－2,23，0)，AP →＝(－2，t,2)，令平面P AB 的法向量m ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎨⎧ m ·AB →＝－2x ＋23y ＝0，m ·AP →＝－2x ＋ty ＋2z ＝0.取y ＝2，得平面P AB 的一个法向量为m ＝(23，2,23－t )，∴sin θ＝|DA→·m||DA→|·|m|＝43216＋(23－t)2，当t＝23时，(sin θ)max＝32，∴θmax＝π3．∴θ的最大值为π3．。

3．6直线与平面、平面与平面所成的角[读教材·填要点]1．直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l 与平面α垂直，l 与平面α所成的角θ为直角，θ＝π2.如果直线l 与平面α不垂直，则l 在α内的射影是一条直线l ′，将l 与l ′所成的角θ定义为l 与平面α所成的角．(2)范围：θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (3)计算：作直线l 的方向向量v 和平面α的法向量n ，并且可选v 与n 所成的角θ1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则l 与平面α所成的角 θ＝π2－θ1，sin θ＝cos_θ1＝|v ·n ||v |·|n |.2．二面角(1)定义：从一条直线l 出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作α-l -β. (2)二面角的平面角过二面角α-l -β的棱l 上任意一点O 作垂直于棱l 的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA ，OB ，则∠AOB 称为二面角α-l -β的平面角．(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角α-l -β是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．3．两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2.两个平行平面所成的角为0°. [小问题·大思维]1．当一条直线l 与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ 提示：不一定，这条直线可能与平面平行．2．设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，如何用a 和n 求角θ？提示：sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a |·|n |.3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？ 提示：相等或互补．求直线与平面所成的角如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．求BD与平面ADMN 所成的角θ.[自主解答] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1， 则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， 则N (1,0,1)，∴BD ―→＝(－2,2,0)，AD ―→＝(0,2,0)，AN ―→＝(1,0,1)． 设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ―→＝0，n ·AN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1， ∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n |BD ―→|·|n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD ―→，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.1.如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2.求直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值．解：如图，以点A 为原点，AB ，AC ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1. ∴PA ―→＝(0,0，－2)，DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，DF ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DF ―→＝0，即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫0，12，0＝0，(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫－12，12，1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝0.取z ＝1，则平面DEF 的一个法向量为n ＝(2,0,1)． 设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈PA ―→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ―→·n | PA ―→|·|n |＝55， 故直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.求二面角如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．[自主解答] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1―→，m ⊥OC 1―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角， 所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719.利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量； (2)求两法向量的夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来．2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ， 所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919. 由图知，二面角E -BC -A 为钝角， 故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A -PB -C 的余弦值． [解] 法一：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD . ∵PC ＝BC ＝2， ∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A -PB -C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC ―→＝AE ―→＋ED ―→＋DC ―→，且AE ―→⊥ED ―→，ED ―→⊥DC ―→，∴|AC ―→|2＝|AE ―→|2＋|ED ―→|2＋|DC ―→|2＋2|AE ―→|·|DC ―→|cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ，解得cos θ＝33. 故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 法二：由法一可知，向量DC ―→与EA ―→的夹角的大小就是二面角A -PB -C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB 的中点，D ⎝⎛⎭⎫12，22，12. 又PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB ―→的比为13.∴E ⎝⎛⎭⎫34，24，34，EA ―→＝⎝⎛⎭⎫14，－24，－34，DC ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－22，－12，|EA ―→|＝32，|DC ―→|＝1，EA ―→·DC ―→＝14×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－24×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－34×⎝⎛⎭⎫－12＝12. ∴cos 〈EA ―→，DC ―→〉＝EA ―→·DC ―→| EA ―→|·|DC ―→|＝33.故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ―→＝(0,0,1)，AB ―→＝(2，1,0)，CB ―→＝(2，0,0)， CP ―→＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP ―→＝0，m ·AB ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ―→＝0，n ·CP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′. 令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33.∴二面角A -PB -C 的余弦值为33.1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设直线l 与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) A.63B.33C.23 D.13解析：设正三棱锥P -ABC ，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，设PA ＝PB＝PC ＝a .取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，易知∠PDC 为侧面PAB 与底面ABC 所成的角．易求PD ＝22a ，CD ＝62a ， 故cos ∠PDC ＝PD DC ＝33.答案：B3．在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B -AD -C 后，BC ＝12a ，这时二面角B -AD -C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由定义知，∠BDC 为所求二面角的平面角， 又BC ＝BD ＝DC ＝12a ，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°. 答案：C4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m ＝(0,0,3)，n ＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝(0，0，3)·(8，9，2)382＋92＋22＝2149＝2149149.答案：21491495．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________． 解析：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1―→是平面A 1BD 的一个法向量．又AC 1―→＝(－1,1,1)， BC 1―→＝(－1,0,1)．所以cos 〈AC 1―→，BC 1―→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：636．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B -A 1D -A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz . 因为AB ＝AD ＝2， AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)． 则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17. 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量， 又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量，从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m | AE ―→||m |＝333×4＝34. 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B -A 1D -A 的正弦值为74.一、选择题1．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )A.176B.216 C ．－216D.213解析：∵cos 〈a ，n 〉＝a ·n|a |·|n |＝(1，2，3)·(2，1，1)1＋4＋9·22＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216.∴l 与α所成角的正弦值为216. 答案：B2.如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60°解析：以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，EB ―→＝(1,0，－1)，EC ―→＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n ＝(1,0,1)，又平面EAD 的法向量为AB ―→＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AB ―→〉＝12×1＝22，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.答案：B3．在直角坐标系中，已知A (2,3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A -Ox -B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ为( )A ．－19B.19C.49D ．－49解析： 过A ，B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′，B ′.则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26.由AB ―→＝AA ′―→＋A ′B ′―→＋B ′B ―→，得|AB ―→|2＝|AA ′―→|2＋|A ′B ′―→|2＋|B ′B ―→|2＋2|AA ′―→|·|B ′B ―→|·cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)， ∴cos θ＝49.答案：C4.已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D ，E 分别是点A 在PC ，PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A -PC -B 的平面角 B ．∠AED 是二面角A -PB -C 的平面角 C ．∠DAE 是二面角B -PA -C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A -PC -B 的平面角解析：选项A 错误，若DE ⊥PC ，则PC ⊥平面ADE ，所以PC ⊥AE ，又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，同理可证：AD ⊥平面PBC ，这是不可能的．选项B 正确，因为PA ⊥BC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AD ⊥平面PBC ，又因为AE ⊥PB ，所以DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A -PB -C 的平面角．选项C 错误，因为PA ⊥平面α，所以PA ⊥AC 且PA ⊥AB ，所以∠CAB 为二面角B -PA -C 的平面角，因此，∠DAE 不是二面角B -PA -C 的平面角．选项D 错误，在△PAC 中，∠PAC ＝90°，所以AC 与PC 不垂直，因此，∠ACB 不是二面角A -PC -B 的平面角．答案：B 二、填空题5．如图所示，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D⎝⎛⎭⎫32，－12，2，则CD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2， CB 1―→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·CB 1―→＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2， ∴sin θ＝|cos 〈DA ―→，n 〉|＝45.答案：456．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示空间直角坐标系，设BC＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D⎝⎛⎭⎫32，0，0.∴OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝()1，－3，1，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，sin 〈n ，OA ―→〉＝255.∴二面角A -BD -C 的正弦值为255. 答案：2557．已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB ―→＝(3，1,0)， SB ―→＝(3，1，－3)，SC ―→＝(0,2，－3)． 设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB ―→＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC ―→＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)． 设AB 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB ―→〉|＝|n ·AB ―→||n |·|AB ―→|＝3＋34×2＝34.答案：348．在体积为1的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，求直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：由题意，可得体积V ＝CC 1·S △ABC ＝CC 1·12·AC ·BC ＝12CC 1＝1，∴CC 1＝2.A 1(1，0，2).建立如图所示空间直角坐标系，得点B (0,1,0)，则A 1B ―→＝(－1,1，－2)，又平面BB 1C 1C 的法向量为n ＝(1,0,0)．设直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，A 1B ―→与n 的夹角为φ， 则cos φ＝A 1B ―→·n |A 1B ―→|·|n |＝－66，∴sin θ＝|cos φ|＝66， 即直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为66. 答案：66三、解答题9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ， 则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)， FE ―→＝(10,0,0)， HE ―→＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)． 又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值． 解：(1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ， 又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)． 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M -AB -D 为锐角， 因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.。

3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性 .2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角 .4.掌握求二面角的基本方法、步骤．知识点一直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角2．最小角定理知识点二二面角及理解 1．二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线 l 叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.(2)二面角的记法：棱为 l ，两个面分别为 α， β的二面角，记作 α— l — β.如图， A ∈ α，B ∈ β， 二面角也可以记作 A —l —B ，也可记作 2∠l.(3)二面角的平面在二面角 α—l — β的棱上任取一点 O，在两半平面内分别作射OB ⊥l ，则∠ AOB 叫做二面角 α—l — β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与 点 O 在 l 上的位置无关．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(5)二面角的范围是 [0 °， 180°]．2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角 α—l — β的面 α，β内，并沿 α，β延伸的方向，作向量 n 1⊥l ， n 2⊥l ， 则〈 n 1， n 2〉等于该二面角的平面角．1． 直线与平面所成的角 α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角 β互余． ( × )3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小． ( × )题型一 求直线与平面的夹角例 1 已知正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1的底面边长为 a ，侧棱长为 2a ，求 AC 1与侧面 ABB 1A 1 所成 的角．解 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，(2)如图，设 m 1⊥ α，m 2⊥ β，则角〈2．二面角的大小范×则 A （0,0,0），B （0，a,0），A 1（0,0，2a ）， C 1 － 23a ， 方法一 取 A 1B 1 的中点 M ，则 M 0，a2， 2a ，连接 AM ，MC 1，则M →C 1＝ － 23a ，0，0 ，A →B ＝（0，a,0），A →A 1＝（0,0， 2a ）．∴M →C 1·A →B ＝0，M →C 1·A →A 1＝0， ∴M →C 1⊥A →B ， M →C1⊥ A →A 1， 则 MC 1⊥AB ，MC 1⊥ AA 1.又 AB ∩ AA 1＝ A ， ∴MC 1⊥平面 ABB 1A 1.∴∠ C 1AM 是 AC 1 与侧面 ABB 1A 1所成的角．22 → a 2 9a 1·AM ＝0＋ ＋2a 2＝ 449a2又直线与平面所成的角在 [0 °， 90°]范围内， ∴ AC 1与侧面 ABB 1A 1 所成的角为 30°.由于 A →C 1＝ － 23a ， ∴A →C ∴cos 〈 A →C 1，A →M 3a ×32a3. 2.AC 1， AM 〉 ∈ [0 °， 180°]， AC 1，AM 〉 ＝ 30 °，a 20，|AC 1|＝方法二 A →B ＝（0，a,0），A →A 1＝（0,0，2a ）， A →C 1＝ － 设侧面 ABB 1A 1 的法向量为 n ＝（λ，y ，z ）， ∴n ·A →B ＝ 0且 n ·A →A 1＝0.∴ay ＝0且 2az ＝0.∴y ＝z ＝0.故 n ＝ (λ，0,0)．又直线与平面所成的角在 [0 °， 90°]范围内，∴ AC 1与侧面 ABB 1A 1 所成的角为 30°.反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标 系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求 平面法向量与斜线夹角，再进行换算．跟踪训练 1 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形， AD ∥BC ，∠ BAD ＝90°，PA ⊥ 底面 ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为 PC ，PB 的中点，求 BD 与平面 ADMN 所 成的角 θ.解 如图所示，建立空间直角坐标系 Axyz ，设 BC ＝ 1，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2) 则 N(1,0,1) ，∴B →D ＝(－2,2,0)，∴ cos 〈A →C 1， n 〉＝ n ·A →C1 |n ||A →C 1| λ， 2|λ|， ∴ |cos 〈 A →C 1， n 〉|＝12. 3a ，a ， 22AD ＝(0,2,0)，AN ＝ (1,0,1)，设平面 ADMN 的法向量为 n ＝（x ，y ， z ），∴n ＝（1,0，－ 1），B →D ·n ＝ －2 ＝－ 1 |B →D ||n | 8·2 2 ∴sin θ＝ |cos 〈B →D ，n 〉|＝12. 又 0°≤ θ≤ 90°， ∴ θ＝ 30°.题型二 求二面角例 2 在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中， AB ⊥ AC ，PA ⊥平面 ABCD ，且 PA ＝AB ，E 是 PD 的中点，求平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角．解 方法一 如图，以 A 为原点，分别以 AC ，AB ，AP 所在直线为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Axyz.设 PA ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连接 BD 与 AC ，交于点 O ，取 AD 中点 F ，连接 EF ，EO ，FO ，则∵O →E ·A →C ＝0，∴D(b ， － a,0)，P(0,0，a)， ∴E b2， － 2a ，a 2 ，O b 2，0，0 ，C(b,0,0)，B(0，a,0)．O →E ＝ 0，－ a2，2a ，A →C ＝(b,0,0)．n ·A →D ＝0，则由 →得 y ＝ 0， x ＋z ＝0，取 x ＝ 1，则 z ＝－ 1， ∵ cos 〈B →D ，n 〉 ∵ B →A ＝ C →D ，∴O →E ⊥A →C ，O →F ＝21B →A ＝ 0，－ a2，0 ， O →F ·A →C ＝ 0. ∴O →F ⊥A →C .∴∠EOF 等于平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角．→ → O →E ·O →F 2cos 〈 OE ， OF 〉＝ → → ＝ 2 .|O →E||O →F| 2∴ 平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45°. 方法二 建系如方法一， ∵PA ⊥ 平面 ABCD ，∴A →P ＝ （0,0，a ）为平面 ABCD 的法向量，A →E ＝ b2，－ a2，a2 ，A →C ＝（b,0,0）．设平面 AEC 的法向量为 m ＝ （x ， y ，z ）．m ·A →E ＝ 0，由→m ·A →C ＝0，baa2x －2y ＋2z ＝0得 2 2 2 bx ＝0.∴ x ＝ 0， y ＝ z.∴ 取 m ＝ (0,1,1) ，又平面 EAC 与平面 ABCD 所成角的平面角为锐角， ∴ 平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45°.反思感悟 （1）当空间直角坐标系容易建立 （有特殊的位置关系 ）时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两 法向量的夹角的大小就是二面角的大小 （相等或互补 ），但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的． （2） 注意法向量的方向：一进一出，二面 角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角． 跟踪训练 2 若 PA ⊥平面 ABC ， AC ⊥BC ， PA ＝ AC ＝1，BC ＝ 2，求锐二面角 A-PB-C 的余 cos 〈 m ， AP 〉 m ·A →P a 2 |m ||A →P|2·a 2弦值．解如图所示建立空间直角坐标系 Axyz，则 A（0,0,0），B（ 2，1,0），C（0,1,0）， P（0,0,1），故A→P＝（0,0,1），A→B＝（ 2，1,0），C→B＝（ 2，0,0），C→P＝（0，－ 1,1），设平面 PAB 的法向量为m＝（x，y，z），m·AP＝ 0，则→m·A→B ＝0，z＝0，即2x＋y＝ 0，令 x＝1，则 y＝－ 2，故m＝（1，－ 2， 0）．设平面 PBC 的法向量为n＝（x′ ， y′ ，z′），n·C→B＝0，则→n·C→P＝0，2x′＝0，即－y′ ＋z′＝0.令 y′＝－1，则 z′＝－ 1，故n＝（0，－ 1，－ 1），∴ cos 〈m，m·n 3 n〉＝＝ .|m||n|＝ 3 .∴锐二面角A－ PB－C 的余弦值为33.题型三空间角中的探索性问题例3 如图，在四棱锥 P－ABCD 中， ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD.(1)求证： AB ⊥PD ；(2)若∠ BPC ＝ 90°，PB ＝ 2，PC ＝2，问 AB 为何值时，四棱锥 P －ABCD 的体积最大？并求 此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值．(1)证明 因为 ABCD 为矩形，所以 AB ⊥AD ； 又因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ， 平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ， AB? 平面 ABCD ， 所以 AB ⊥平面 PAD ，故 AB ⊥PD.(2)解 过点 P 作 PO ⊥AD 于点 O.则 PO ⊥平面 ABCD ，过点 O 作 OM ⊥BC 于点 M ， 连接 PM.则 PM ⊥BC ，因为 ∠BPC ＝90°， PB ＝ 2，PC ＝2，设 AB ＝t ，则在 Rt △ POM 中，所以当 t 2＝ 23，即 t ＝ 36时，所以 BC ＝ 6， PM ＝23 V P － ABCD 最大为 296.如图，所以 V P － ABCD此时 PO ＝AB ＝ 36，且 PO ， OA ，OM 两两垂直，3以 OA ，OM ， OP 所在直线为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，设平面 PCD 的法向量为 m ＝（x 1， y 1， z 1），m ·P →C ＝0， 则→m ·P →D ＝ 0，－ 2x 1＋ y 1－ z 1＝ 0，即－2x 1－z 1＝0，令 x 1＝ 1，则 m ＝（1,0，－ 2），|m |＝ 5；同理设平面 PBC 的法向量 n ＝（x 2， y 2， z 2），n ·P →C ＝0，→n ·P →B ＝ 0，－ 2x 2＋ y 2－ z 2＝ 0， 即x 2＋y 2－z 2＝ 0， 令 y 2＝ 1，则 n ＝（0,1,1），|n |＝2， 设平面 PBC 与平面 DPC 的夹角为 θ，显然 θ为锐角，则 P 0，0， 36 ，D PC ＝ －236， 6， 3， 6 ， P →B ＝ 6， 6， 3 3 ， 3 ，36.105 236，0，所以P →D ＝ －236，0，－36，所以 cos θ＝||m m |·|n n ||＝ 5× 2＝ 反思感悟 利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的几何作图，论证， 推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在 问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．跟踪训练 3 如图，已知三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的侧棱与底面垂直， AA 1＝ AB ＝ AC ＝1，且AB ⊥ AC ，点 M 是 CC 1的中点，点 N 是 BC 的中点，点 P 在直线 A 1B 1上，且满足 A 1P ＝λA 1B 1.(1)证明： PN ⊥AM ；(2)当 λ取何值时，直线 PN 与平面 ABC 所成的角 θ最大？并求该角最大值的正切值．(1)证明 以 A 为坐标原点， AB ，AC ，AA 1所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角 坐标系 Axyz ，则 P( λ， 0,1)，N 21，12， 0 ，M 0， 1，21 ，→ 1 1从而PN ＝ 2－λ，2，－ 1 ，A →M ＝ 0，1，21 ，P →N ·A →M ＝ 12－λ×0＋21×1－1×21＝ 0， 所以 PN ⊥AM.(2)解 过点 P 作 PE ⊥ AB 于 E ，连接 EN ， 则 PE ⊥ 平面 ABC ，则 ∠PNE 为所求角 θ，PE 1所以 tan θ＝PE E N ＝ E 1N ， 因为当点 E 是 AB 的中点时， EN min ＝1 所以 (tan θ)max ＝2， 此时， λ＝ 2. 即平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值为 105利用向量求二面角典例如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方形， AF＝2FD，∠ AFD ＝ 90°，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60°.(1)证明：平面 ABEF ⊥EFDC ；(2)求二面角 E-BC-A 的余弦值．考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角(1)证明由已知可得 AF⊥DF，AF⊥FE，所以 AF⊥平面 EFDC ，又 AF? 平面 ABEF，故平面 ABEF⊥平面 EFDC .(2)解过 D 作 DG⊥EF，垂足为 G，由(1)知 DG⊥平面 ABEF .以 G 为坐标原点， G→F 的方向为 x 轴正方向， |G→F|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE 为二面角 D－AF－E 的平面角，故∠DFE＝60°，则 DF＝2，DG＝ 3，可得 A(1,4,0)， B(－3,4,0)， E(－3,0,0)， D(0,0， 3)．由已知 AB∥EF，AB?平面 EFDC ，EF? 平面 EFDC，所以 AB∥平面 EFDC ，又平面 ABCD ∩平面 EFDC ＝ CD ，故 AB∥CD，CD∥EF，由BE∥AF，可得 BE⊥平面 EFDC ，所以∠CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角，∠CEF＝60°，从而可得 C(－ 2,0， 3)．所以E→C ＝(1,0， 3)，E→B＝(0,4,0)，A→C＝(－3，－ 4， 3)，A→B＝(－4,0,0)．n·E→C＝0，设n＝(x， y， z)是平面 BCE 的法向量，则→n·E→B＝0，x＋ 3z＝ 0，即所以可取n＝ (3,0，－ 3)．4y＝0.m·AC ＝ 0，设m 是平面 ABCD 的法向量，则m·A→B＝0.n ·m 2 19同理可取m＝(0， 3， 4)，则 cos〈n，m〉＝|n n|·|m m|＝－21919.故二面角 E-BC-A 的余弦值为－2 19..19[素养评析 ] 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台．第 (1) 问侧重对立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单．求解第(2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题．答案 CA. B. 32 C. 36 D.C 1(0,1,1) ，A(1,0,0) ，AC 1·A 1D ＝ 1－1＝ 0.∴AC 1⊥A 1B ，AC 1⊥A 1D ，又 A 1B ∩A 1D ＝ A 1， ∴AC 1⊥ 平面 A 1BD.∴AC 1是平面 A 1BD 的法向量．∴直线 BC 1 与平面 A 1BD 所成的角的正弦值为3．已知两平面的法向量分别为 m ＝ (0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为 __________________________________________________________________________ 答案 45°或 135°解析 设二面角的平面角为 θ，4．正四面体 ABCD 中棱 AB 与底面 BCD 所成角的余弦值为 __ ． 答案 33解析 作 AO ⊥底面 BCD ，垂足为 O ， O 为△BCD 的中心，设正四面体的棱长为 a ，则 OB∴B →C 1＝（－1,0,1），A →C 1＝（－1,1,1），A →1B ＝（0,1，－ 1）， A →1D ＝ （－ 1,0，1）． ∴A →C 1·A 1B ＝ 1－1＝0，∴cos 〈B →C 1，A →C 1〉BC 1·AC 1 |B →C 1||A →C |1＋1 2× 3 6. 3.6. 3.cos 〈m ， n 〉 1＝ 2 ， 1× 2＝ 2 ，θ＝ 45°或 135°.a ， ∠ABO 为所求角， cos ∠ABO ＝3.3.C1(0,1,1) ，A(1,0,0) ，5．已知点 A(1,0,0)， B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐二面角的余弦值为答案 27解析 A →B ＝（－1,2,0），A →C ＝（－1,0,3）．设平面 ABC 的法向量为 n ＝ （x ，y ，z ）．由 n ·A →B ＝ 0，n ·A →C － x ＋ 2y ＝ 0， 2 ＝0 知 令 x ＝2，则 y ＝ 1，z ＝ .－ x ＋ 3z ＝ 0. 3∴平面 ABC 的法向量为 n ＝ 2，1，23 .平面 xOy 的法向量为 O →C ＝ （0,0,3） ．所以所求锐二面角→|n ·OC| 2 2的余弦值 cos θ＝ → ＝ 7＝ 7. |n ||O →C| 3× 73 71．线面角可以利用定义在直角三角形中解决．2．线面角的向量求法：设直线的方向向量为 a ，平面的法向量为 n ，直线与平面所成的角为|a ·n | θ，则 sin θ＝ |cos 〈 a ， n 〉|＝ . |a||n | 3．二面角通常可通过法向量的夹角来求解， 但一定要注意法向量的夹角和二面角的大小关系．、选择题 1．若直线 l 的方向向量与平面 α的法向量的夹角等于 150°，则直线 l 与平面 α所成的角等于 （A.6πB.3πC.56π D ．以上均错 答案 B 解析2．直线 l 1，l 2的方向向量分别是 v 1，v 2，若 v 1与 v 2所成的角为 θ，直线 l 1，l 2 所成的角为 α，因而 cosα＝ |cos θ|. 3．已知在正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则 CD 与平面 BDC 1所成角的正弦值是 （ ）直线 l 与平面 α所成的角A ． α＝ θC ．cos θ＝ |cos α| 答案 D解析 α＝θ或 α＝ π－θ，且 α＝ π－θ cos α＝A.2B. 3C. 2D.1A.3B. 3C. 3D.3 答案 A解析 以 D 为原点，分别以 DA ，DC ，DD 1为 x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系 Dxyz.设 AA 1＝2AB ＝ 2， 则 B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C 1(0,1,2)， 故D →B ＝(1,1,0)，D →C 1＝(0,1,2)，D →C ＝(0,1,0)， 设平面 BDC 1 的法向量为 n ＝(x ，y ，z)，n ·D →B ＝0， x ＋y ＝0， 则→ 即n ·D →C 1＝0， y ＋2z ＝ 0， 令 z ＝1，则 y ＝－ 2，x ＝2， 所以 n ＝ (2，－ 2,1)．设直线 CD 与平面 BDC 1所成的角为 θ， 则 sin θ＝ |cos 〈n ， D →C 〉 |＝ |n ·D →C| |n ||D →C|坐标系 Cxyz ，则 AB 1 与 ED 1 所成角的余弦值为( )2. 3.4.已知在棱长为 2的正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， E 是DC 的中点，建立如图所示的空间直角 A. 1010B. 510答案 A解析 ∵ A(2,2,0)，B 1(2,0,2)，E(0,1,0)，D 1(0,2,2)， ∴A →B 1＝(0，－ 2,2)，E →D 1＝(0,1,2)，∴ |A →B 1|＝ 2 2，|E →D 1|＝ 5， A →B 1·E →D 1＝0－2＋4＝2，∴AB 1与 ED 1 所成角的余弦值为1100.5．在边长为 1的菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝60°，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD ＝1， 则二面角 B —AC — D 的余弦值为 ( )答案 A解析 设菱形对角线 AC 与 BD 交于 O 点，则∠ BOD 为二面角 B —AC —D 的平面角， 由余弦1定理可得 cos ∠ BOD ＝3.36．A ，B 是二面角 α— l — β的棱 l 上两点， P 是平面 β上一点， PB ⊥l 于 B ，PA 与 l 成 45°角，PA 与平面 α成 30 °角，则二面角 α—l — β的大小是 ( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ． 75° 答案 C解析 如图，作 PO ⊥α于 O ，连接 AO ，BO ，则∠PAO 为 PA 与平面 α所成角， ∠PBO 为二 面角 α— l —β的平面角，由 ∠PAO ＝30°，∠PAB ＝45°，取 PA ＝2a ，C ．1010 D ．10 5A.3 1 2 3 3 B.2 C. 3 D. 2 ∴ cos 〈A →B 1， E →D则 PO＝a，PB＝ 2a，∴ sin∠ PBO＝PO＝2，∴∠ PBO＝ 45°.PB 2二、填空题7．平面α的一个法向量n1＝ (1,0,1) ，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是．答案 90°解析由于n1·n2＝ (1,0,1) (－·3,1,3)＝0，所以n1⊥n2，故α⊥β，α与β所成的角是 90°.8．若二面角内一点到两个面的距离分别为5 和 8，两垂足间的距离为 7，则这个二面角的大小是______ ．答案 60°或 120°解析设二面角大小为θ，由题意可知222|82＋ 52－72| 64＋25－ 49 1|cos θ|＝＝ 80 ＝2，2×8×5所以 cos θ＝±12，所以θ＝ 60°或 120°.9．在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 2，PA⊥平面 ABCD，PA＝1，则PC与平面 ABCD 所成的角是__ ．答案 30°解析建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 P(0,0,1)，C(1， 2，0)， P→C＝(1， 2，－1)，平面 ABCD 的法向量为n＝ (0,0,1)，所以 cos〈 PC ，n〉PC ·n 1，|PC||n|2，所以〈 P→C·n〉＝ 120 °，所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线 PC 与平面ABCD 所成的角为 30°.10．在正三棱柱 ABC—A1B1C1中，侧棱长为 2，底面边长为 1，则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角是 .π答案π6解析在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，取 AC 的中点 O，连接 OB，OB⊥AC，则 OB ⊥平面 ACC1A1，∴∠ BC 1O 就是 BC1 与平面 AC1 所成的角．∵OB＝23， BC1 ＝ 3，∴sin∠BC1O＝OB＝1，1 BC1 2π∴∠ BC1O＝ .6三、解答题11．二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC， BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝ 2 17，求该二面角的大小．解由题意知， C→A ·A→B＝0，A→B·B→D＝0，C →D＝C→A＋A→B＋B→D，→ 2 → 2 → 2 → 2 → → → → → →∴|CD|2＝|CA|2＋|AB|2＋ |BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD ＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈C→A，B→D〉＝ (2 17)2.∴cos〈C→A，B→D 〉＝－12，又〈 C→A ，B→D〉∈ [0 °，180°]，∴〈C→A ，B→D〉＝ 120°，面角的大小为 60°.12.如图所示，在四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PD ⊥平面 ABCD.PD ＝DC ，E 是 PC 的中点．求 EB 与平面 ABCD 夹角的余弦值．解 取 CD 的中点 M ，则 EM ∥PD ， 又∵PD ⊥ 平面 ABCD ，∴EM ⊥平面 ABCD ，∴BE 在平面 ABCD 上的射影为 BM ， ∴∠ MBE 为 BE 与平面 ABCD 的夹角． 如图建立空间直角坐标系 Dyxz ，设 PD ＝DC ＝1，则 P(0,0,1)， C(0,1,0)，B(1,1,0)，∴M 0，12，0 ， E 0，21，12 ，∴B →E ＝ －1，－ 21，12 ，B →M ＝ －1，－12，0 ，cos 〈 BM ， BE 〉 ∴ EB 与平面 ABCD 夹角的余弦值为13.如图，在直棱柱 ABC-A 1B 1C 1中， D ，E 分别是 AB ，BB 1的中点， AA 1＝AC ＝CB ＝22AB. BE ·BM|B →E||B→M|6设平面 A 1CD 的法向量为 n ＝ (x ， y ，z)，则 n ·C →D ＝0 且 n ·C →A 1＝ 0， (1)证明： BC 1∥平面 A 1CD ；(2)求二面角 D-A 1C-E 的正弦值．(1)证明 连接 AC 1，交 A 1C 于点 F ，连接 DF ，则 F 为 AC 1 的中点，因为 D 为 AB 的中点， 所以 DF ∥ BC 1，又因为 DF? 平面 A 1CD ，BC 1?平面 A 1CD ， 所以 BC 1∥ 平面 A 1CD.2(2)解 由 AA 1＝AC ＝ CB ＝ 2 AB ，可设 AB ＝ 2a ，则 AA 1＝ AC ＝ CB ＝ 2a ，所以 AC ⊥ BC ，又由直棱柱知 CC 1⊥ 平面 ABC ，所以以点 C 为坐标原点， 分别以 CA ，CB ，CC 1所在直线为 x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Cxyz 如图．则 C(0,0,0)，A 1( 2a ，0, 2a)，D 22a ， 22a ，0 ， E 0， 2a ， 22a ， C →A 1＝( 2a,0, 2a)，C →D ＝ 2a ， 2a ， 0 ，C →E ＝ 0， 2a ， 2a ，CD ＝ 2 a ， 2 a ， 0 ，CE ＝0， 2a ， 2 a ，A 1E ＝ － 2a ， 2a ，－ 22a .可解得 y ＝－ x ＝ z ，令 x ＝1， 得平面 A 1CD 的法向量为 n ＝ （1，－ 1，－ 1）， 同理可得平面 A 1CE 的法向量为 m ＝ （2,1 ，－ 2），3则 cos 〈n ， m 〉＝ 33，3 又因为〈 n ，m 〉∈[0 °，180°]， 所以 sin 〈 n ， m 〉＝ 36， 所以二面角 D-A 1C-E 的正弦值为 36.14.如图所示，已知点 P 为菱形 ABCD 外一点，且 PA ⊥平面 ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点 F 为 PC 的中点，则二面角 C-BF-D 的正切值为 （ ）答案 D解析 如图所示，连接 BD ，AC ∩BD ＝O ，连接 OF.以 O 为原点， OB ，OC ，OF 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.设 PA ＝ AD ＝ AC ＝ 1，则 BD ＝3.所以B 23，0， 0 ，F 0， 0， 2 ， C结合图形可知， O →C ＝ 0， 12，0 且O →C 为平面 BOF 的法向量，由 B →C ＝ － 23， 2，0 ，FB ＝0， 2，0 ，D可求得平面 BCF 的法向量 n ＝ （1， 3， 3）．15．直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，底面是等腰直角三角形，∠ ACB ＝90°，侧棱 AA 1＝ 2，D ，E 分别是 CC 1 与 A 1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ ABD的重心 G ， 求 AA 1 与平面 AED 夹角的正弦值 .解 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz ，设 CA ＝ 2a ，则 A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，D(0,0,1)，A 1(2a,0,2)，2a 2a 1E(a ，a,1)，G 3 ， 3 ，3 .BD ＝（0，－ 2a,1）， 由 GE ⊥BD ，得 GE ·BD ＝ 0，得 a ＝1.∴D →A ＝(2,0，－1)，D →E ＝(1,1,0)设n ＝（x ， y ， z ）为平面 AED 的法向量，n ·D →A ＝0， 2x － z ＝0， z＝2x ，则 即 即 → n ·DE ＝x ＋y ＝ 0， y ＝－x ，令 x ＝1，则 y ＝－ 1，z ＝2， 即 n ＝（1，－ 1,2），又 AA 1＝ （0,0,2），设 AA 1 与平面 AED 的夹角为 θ，sin θ＝|cos 〈A →A 1，n 〉|＝|A →A1·n |＝ |4| ＝ 36. θ＝ 〈 1 |A →A1||n | 6×2 3∴AA 1 与平面 AED 夹角的正弦值为 36.所以 cos 〈 n ， O →C 〉 21，7， sin 〈 n ， 所以 tan 〈n ，OC 〉＝ 32 3.从而 G →E ＝ a a 23， 3， 3 ，OC 〉1 1．已知向量m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面α的法向量，若 cos〈m，n〉＝－2，则 * l 与α所成的角为 ( )A．30° B．60° C．120° D． 150°答案 A解析设 l与α所成的角为θ，则1 sin θ＝ |cos〈m，n〉|＝2.∴ θ＝ 30°.2．正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 BC1与平面 A1BD 所成的角的正弦值为 (。

课时作业(六) 直线与平面的夹角一、选择题1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )A．∠C1BB1 B．∠C1BDC．∠C1BD1 D．∠C1BO2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )A.33B.12C.66D.363．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )A.62B.63C.64D. 24．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为( )A.12B.2626C.63D.33二、填空题5．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为________．6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是________．7．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．三、解答题8.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．9.如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．[尖子生题库]10.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：AC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．课时作业(六) 直线与平面的夹角1．解析：由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.答案：D2．解析：取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝66.答案：C3．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(1,0,1)，E⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，B1(1,1,1)．A1E→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1，A1F→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0，A1B1→＝(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，则⎩⎨⎧n·A1E→＝0，n·A1F→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1， ∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63， 即A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正弦值为63. 答案：B 4．解析：如图，设A 在平面BPC 内的射影为O ， ∵∠APB ＝∠APC .∴点O 在∠BPC 的角平分线上，∴∠OPC ＝30°，∠APO 为PA 与平面PBC 所成的角． ∴cos∠APC ＝cos∠APO ·cos∠OPC ， 即cos 60°＝cos∠APO ·cos 30°，∴cos∠APO ＝33.答案：D5．解析：cos 〈a ，n 〉＝a ·n |a ||n |＝1×2＋2×1＋3×11＋4＋9·4＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216，所以l 与平面α所成角的正弦值为216. 答案：2166．解析：连接BC 1交B 1C 于O 点，连接A 1O . 设正方体棱长为a .易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影． ∴∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．在Rt△A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ，∴sin∠BA 1O ＝OB A 1B ＝12，∴∠BA 1O ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为30°. 答案：30° 7．解析：以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ， 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，从而CA →＝(2a,0,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的一个法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. 所以〈CB →，n 〉＝60°.所以直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30°8．解析：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，连接AO ，OO 1，则AO ⊥OC ，OO 1⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OC ，OA ，OO 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，2a ，∴AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－32a ，2a .取AB 中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB .∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，∴CM ⊥平面ABB 1A 1， ∴CM →为平面ABB 1A 1的一个法向量．∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，0，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，34a ，0.又∵C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0.∴cos〈AC 1→，CM →〉＝AC 1→·CM →|AC 1→||CM →|＝－34a 23a ·32a ＝－12.∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为12.9．解析：如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则DA→＝(1,0,0)，CC′→＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH→＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈DH→，DA→〉＝60°，由DA→·DH→＝|DA→||DH→|cos〈DH→，DA→〉，可得m＝122m2＋1.解得m＝22，所以DH→＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1.(1)因为cos〈DH→，CC′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH→，CC′→〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC→＝(0,1,0)．因为cos〈DH→，DC→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH→，DC→〉＝60°.可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.10．解析：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.。

新教材高中数学：1.2.3 直线与平面的夹角学习目标核心素养1．理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．2．会求直线与平面的夹角．(重点、难点)通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养．倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场面……在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面的倾斜程度？1．直线和平面所成的角2．最小角定理3．用空间向量求直线与平面的夹角如果v 是直线l 的一个方向向量，n 是平面α的法向量，设直线l 与平面α所成角的大小为θ，则θ＝π2－〈v ，n 〉或θ＝〈v ，n 〉－π2，特别地cos θ＝sin 〈v ，n 〉或sin θ＝|cos 〈v ，n 〉|．思考：直线l 的方向向量s 与平面的法向量n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？[提示] 不是．直线和平面的夹角为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－〈s ，n 〉．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角． ( ) (2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角． ( ) (3)斜线与平面的夹角为[0,90°]． ( ) (4)直线与平面的夹角为[0,90°]．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√[提示] (1)× 错误，角的度数还可以是零度． (2)√ 根据线面角的定义知正确． (3)× 斜线与平面的夹角为(0,90°)． (4)√ 正确．2．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错C [设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°．]3．已知向量m ，n 分别为直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－32，则直线l 与平面α所成的角为________．60° [设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝32．又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．]4．在正方形ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，CB 1与平面AA 1C 1C 所成角的大小为________．30° [如图，连接B 1D 1交A 1C 1于O ，连接OC ，因为几何体是正方体，所以OB 1⊥平面AA 1C 1C ，所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角，设正方体的棱长为1，则OB1＝22，CB 1＝2，sin∠B1CO＝222＝12，可得∠B1CO＝30°．即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°．]公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用【例1】∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA ＝OB＝OC＝a，BC＝2a，求OA与平面α所成的角．[思路探究]根据定义或cos θ＝cos θ1·cos θ2求解．[解]法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴AB＝AC＝a．又∵BC＝2a，∴AB2＋AC2＝BC2．∴△ABC为等腰直角三角形．同理△BOC也为等腰直角三角形．取BC中点为H，连接AH，OH，∴AH＝22a，OH＝22a，AO＝a，AH2＋OH2＝AO2．∴△AHO为等腰直角三角形．∴AH⊥OH．又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，∴AH ⊥平面α．∴OH 为AO 在α平面内的射影，∠AOH 为OA 与平面α所成的角． 在Rt△AOH 中，∴sin∠AOH ＝AH AO ＝22． ∴∠AOH ＝45°．∴OA 与平面α所成的角为45°． 法二：∵∠AOB ＝∠AOC ＝60°， ∴OA 在α内的射影为∠BOC 的平分线， 作∠BOC 的角平分线OH 交BC 于H ． 又OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，∴∠BOC ＝90°．故∠BOH ＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2， 得cos∠AOH ＝cos∠AOB cos∠BOH ＝22，∴OA 与平面α所成的角为45°．求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH ⊥BC 于H ，进而证明AH ⊥平面α，从而证明H 是点A 在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法．[跟进训练]1．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．若∠PBC ＝60°，求直线PB 与平面ABCD 所成的角θ．[解] 由题意得∠CBD ＝45°，∠PBD 即为直线PB 与平面ABCD 所成的角θ． ∵cos∠PBC ＝cos θ·cos∠CBD ，∠PBC ＝60°． 即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝22，θ＝45°． 用定义法解决直线与平面的夹角问题[1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？[提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影． 2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？[提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0°； ②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为π2；③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O ，在直线上任取异于O 点的另一点P ，过P 作平面的垂线PA ，A 为垂足，则OA 即为直线在平面内的投影，∠AOP 即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．【例2】 如图所示，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°．(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)若D 为PB 的中点，试求AD 与平面PAC 夹角的正弦值． [思路探究] (1)证明BC 和平面PAC 内的两条相交直线垂直． (2)作出AD 在平面PAC 内的射影后，构造三角形求解． [解] (1)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥BC ．又∠BCA ＝90°，所以AC ⊥BC ，又AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ．(2)取PC 的中点E ，连接DE ．因为D 为PB 的中点，所以DE ∥BC ，所以DE ⊥平面PAC ．连接AE ，则AE 是AD 在平面PAC 内的投影，所以∠DAE 是直线AD 与平面PAC 的夹角．设PA ＝AB ＝a ，在直角三角形ABC 中．因为∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，所以BC ＝a 2，DE ＝a4，在直角三角形ABP 中，AD ＝22a ， 所以sin∠DAE ＝DE AD＝a422a ＝24． 即AD 与平面PAC 夹角的正弦值为24．1．(变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D 为PB 上的一点，且BD ＝13PB ，试求AD 与平面PAC 夹角的正弦值．[解] 由已知BC ⊥AC ，BC ⊥PA ，AC ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ，BC ⊥PC ，过PB 的三等分点D 作DE ∥BC ，则DE ⊥平面PAC ，连接AE ，AD ，则∠DAE 为AD 与平面PAC 的夹角，不妨设PA ＝AB ＝1，因为∠ABC ＝60°， 所以BC ＝12，DE ＝23×12＝13，PB ＝2，BD ＝23．在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 45°＝59，∴AD ＝53，所以sin∠DAE ＝DEAD ＝1353＝55． 即AD 与平面PAC 夹角的正弦值为55． 2．(改问法)若本例的题(2)条件不变，求AD 与平面PBC 的夹角的正弦值，结果如何？ [解] 由例题(1)知BC ⊥平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面PBC ． 过A 作AE ⊥PC ．所以AE ⊥平面PBC ．连接ED ，则∠ADE 为AD 与平面PBC 的夹角．设PA ＝2a ，AB ＝2a ，所以PB ＝22a ． 故AD ＝2a ． 在△APC 中，AP ＝2a ，AC ＝AB ·sin 60°＝2a ×32＝3a ，所以PC ＝3a 2＋4a 2＝7a ，设∠ACP ＝θ， 则AE ＝AC ·sin θ＝AC ×APPC＝3a ×2a 7a ＝237a ＝2217a ， 所以sin∠ADE ＝AE AD＝221a 72a＝427． 即AD 与平面PBC 夹角的正弦值为427．用定义法求直线与平面的夹角找直线在平面内的射影，充分利用面面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．用向量求直线与平面所成的角【例1111M 是A 1B 1的中点．(1)求证：B 1C ∥平面AC 1M ；(2)求AA 1与平面AC 1M 所成角的正弦值．[解] (1)证明：在直三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，CC 1＝2，点M 是A 1B 1的中点．以C 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B 1(0,1,2)，C (0,0,0)，A (1,0,0)，C 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，B 1C →＝(0，－1，－2)，AC 1→＝(－1,0,2)，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，2，设平面AC 1M 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AC1→＝－x ＋2z ＝0，n ·AM →＝－12x ＋12y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(2，－2,1)， ∵B 1C →·n ＝0，B 1C ⊄平面AC 1M ， ∴B 1C ∥平面AC 1M ．(2)AA 1→＝(0,0,2)，平面AC 1M 的法向量n ＝(2，－2,1)， 设AA 1与平面AC 1M 所成角为θ， 则AA 1与平面AC 1M 所成角的正弦值：sin θ＝|AA 1→·n ||AA 1→|·|n |＝22×3＝13，所以AA 1与平面AC 1M 所成角的正弦值为13．用向量法求线面角的步骤(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量AB →； (3)求平面的法向量n ；(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n |·|AB →|．[跟进训练]2．已知棱台ABC ­A 1B 1C 1，平面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，∠B 1A 1C 1＝60°，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝AC ＝CC 1＝A 1C 12，D ，E 分别是BC 和A 1C 1的中点．(1)证明：DE ⊥B 1C 1；(2)求DE 与平面BCC 1B 1所成角的余弦值．[解] (1)证明：过点A 作AO ⊥平面A 1B 1C 1，交A 1C 1于点O ，连接B 1O ，设AA 1＝AC ＝CC 1＝A 1C 12＝2，则A 1O ＝1，A 1B 1＝2，∴B 1O ⊥A 1C 1，B 1O ＝3， 以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，3，C (0,2，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，54，3，E ()0，1，0，B 1(3，0,0)，C 1(0,3,0)， DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－34，－14，－3，B 1C 1→＝(－3，3,0)， 又DE →·B 1C 1→＝0，∴DE ⊥B 1C 1．(2)CB 1→＝(3，－2，－3)，CC 1→＝(0,1，－3)， 设平面BCC 1B 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB 1→＝3x －2y －3z ＝0，n ·CC 1→＝y －3z ＝0，取y ＝3，得n ＝(3，3，1)， DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14，－3， 设DE 与平面BCC 1B 1所成角为θ， 则sin θ＝|DE →·n ||DE →|·|n |＝4313．∴cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43132＝1113．∴DE 与平面BCC 1B 1所成角的余弦值为1113．1．知识：掌握线面角的概念以及最小角定理．2．方法：(转化思想)利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量，其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．1．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 D [由最小角定理知直线l 与直线a 所成的最小角为π3，又l ，a 为异面直线，则所成角的最大值为π2．] 2．已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A ．32 B ．52 C ．105 D ．1010C [连接A 1C 1交B 1D 1于O 点，由已知得C 1O ⊥B 1D 1，且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴C 1O ⊥平面BDD 1B 1，连接BO ，则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影，∠C 1BO 即为所求．C 1O ＝12×42＋42＝22，BC 1＝42＋22＝25，∴sin∠C 1BO ＝C 1O BC 1＝2225＝105．] 3．若平面α的一个法向量为(1,1,1)，直线l 的方向向量为(0,3,4)，则l 与α所成角的正弦值为________．7315 [设l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|1×0＋1×3＋1×4|3×02＋32＋42＝73×25＝7315．] 4．在正三棱锥P ­ABC 中，PA ＝4，AB ＝3，则侧棱PA 与底面ABC 所成角的正弦值为________．154 [如图，在正三棱锥P ­ABC 中，PA ＝4，AB ＝3，设P 在底面上的射影为O ，则O 为△ABC 的中心，由已知求得AO ＝1，又PA ＝4，∴PO ＝42－12＝15．∴sin∠PAO ＝POPA ＝154． 即侧棱PA 与底面ABC 所成角的正弦值为154．] 5．在正四棱锥S ­ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，求直线BC 与平面PAC 所成的角．[解] 以O 为原点建立空间直角坐标系O ­xyz ，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ， 则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a ，0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2， 从而CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)． 设平面PAC 的一个法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12． 所以〈CB →·n 〉＝60°．所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°．。