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梅涅劳斯定理（入门篇）雷雨田（广西师范大学附属外国语学校高50班 541004）梅涅劳斯定理证明2：面积法AF/FB = △ADF/△BDF ①BD/DC = △BDF/△CDF ②CE/EA = △CDF/△ADF ③式① * ② * ③可得：（AF/FB）*（BD/DC）*（CE/EA）= 1 得证。
证明3：相似法证明4：这个定理怎么记最好呢？个人感觉“顶到分、分到顶、顶到分、分到顶、顶到分、分到顶”这样记忆来得非常容易不过找了很多资料，感觉仅仅是把这个定理（或者后面附一个逆定理）陈述然后证明完了之后，就直接给例题（或者直接讲赛瓦定理），看上去不怎么舒服，所以我把其他的一些东西附在这里，以供参考。
第一角元形式的梅涅劳斯定理（就是把线段比改为正弦值比）其表达式为：1=∠∠•∠∠•∠∠BA'B sin 'CBB sin CB 'C sin 'ACC sin AC 'A sin 'BAA sin 证明如下：如图所示，由三角形面积公式（正弦定理）可得： AC 'A sin AC 'BAA sin AB AC 'A sin AC 'AA 'BAA sin 'AA AB S S C 'A 'BA C 'AA 'ABA ∠⋅∠⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅==∆∆2121同理可得CB'C sin BC 'ACC sin AC B 'C 'AC ,BA 'B sin AB 'CBB sin BC A 'B 'CB ∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅= 把这三个式子相乘，运用梅氏定理，就可得到这个式子怎么记最好呢？个人感觉根据梅涅劳斯定理中线段所对应的角来记忆最好。
第二角元形式的梅涅劳斯定理设O 是不在三角形ABC 三边所在直线上的任意一点，其他条件不变，则表达式为：1=∠∠•∠∠•∠∠OA'B sin 'COB sin OB 'C sin 'AOC sin OC 'A sin 'BOA sin AB C A’ B’C’现证明如下： 如图，由C 'A 'BA S S OC 'A 'BOA =∆∆ 可得A'B 'BA OB OC OC 'A sin 'OA B sin ⋅=∠∠同理得到另外两个对称式，相乘，运用梅氏定理即得证这个式子就这样记吧：先记住原来的梅涅劳斯定理形式，然后在每条线段表达式中间插一个O ，然后再在前面加上∠sin （比如BA'就变成'B OA sin ∠）梅氏定理的用处这个定理是平面几何的一个重要定理（好像所有竞赛书都把他与赛瓦定理放在第一节，不知是惯性还是怎么地），它大概有如下用处：可以用来证明三点共线；可以用来导出线段比例式；可以用来寻求一条线段是另一条线段的几分之几或几倍（即线段倍分）；怎么用梅氏定理知道了这个定理，还要会用才行。
三角形面积比的一个定理简证及其在空间中的拓广
吴跃;高鸿飞
【期刊名称】《中学数学研究（江西师大）》
【年(卷),期】2011(000)011
【摘要】定理已知P，Q为△ABC所在平面上的两点，且满足AP→=λ1AB→＋μ1AC→,AQ→=λ2AB→＋μ2AC→,则S△ABP/△ABQ=｜μ1/μ2｜，参见文[1]．【总页数】2页(P18-19)
【作者】吴跃;高鸿飞
【作者单位】安徽省宿州市宿城第一中学,234000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.运用伸缩变换探究一个椭圆命题的简证、拓广及类比 [J], 孙芸;曹军
2.一般拓扑空间中的一个非空交定理及其应用 [J], 陆海曙;唐德善
3.拓扑空间中的一个非空交定理及其应用 [J], 王彬;丁协平
4.一般拓扑空间中的一个非空交定理及其应用 [J], 陆海曙;唐德善
5.三角形面积的一个定理及其空间中的推广 [J], 吴跃;王平
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第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。
勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。
二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。
作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。
（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。
因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
余弦定理的一种面积证法作者：高聪云张勇来源：《数学教学通讯·高中版》2024年第02期［摘要］勾股定理是余弦定理的特例，欧几里得采用“向外作正方形”的方法证明了勾股定理.研究者利用GeoGebra软件进行动态探究，帮助学生加深理解.［关键词］勾股定理；余弦定理；GeoGebra欧几里得对勾股定理的证明勾股定理被称为千古第一定理，是培养学生几何推理证明的典型素材［1］. 目前关于它的证明方法大约有四百余种，其中，欧几里得的证明方法是最早的证明方法之一，他的证明思路如下：用“向外作正方形”的方法证明余弦定理高中阶段，学生进一步认识到勾股定理是余弦定理的特例. 关于余弦定理，常见的证明方法有作高法、坐标法和向量法. 事实上，作为勾股定理的推广，余弦定理也可以采用“向外作正方形”的方法来证明：如图2所示，以平行四边形ABCD的四边向外作正方形，设P，Q，R，S为正方形的中心，将其顺次连接，得到四边形PQRS.（1）确定四边形PQRS的形状.如图3所示，连接AR，AS，DR，DQ，借助正方形和平行四边形的性质，证明△RAS≌△RDQ（SAS）. 所以，RS=RQ，∠ARS=∠DRQ，∠SRQ=90°，故四边形PQRS是正方形.（2）代数表示四边形PQRS的面积.如圖4所示，连接BS，BP，CP，CQ，证明△RAS≌△RDQ≌△PCQ≌△PBS.用GeoGebra软件动态探究四边形PQRS的形状与面积注意到四边形PQRS的面积与平行四边形的两边长及其夹角有关，借助软件GeoGebra，从动态的角度带领学生继续研究四边形PQRS的形状与面积.打开GeoGebra，创建滑动条m，n，选定一点A；以A为端点，作定长为m的线段，记线段的另一端点为B；以A为圆心，n为半径作圆，在其上任选一点，记为D；连接AD，AB；分别过点B和点D作线段AD和AB的平行线，其交点记为C；连接CB，CD，得到平行四边形ABCD；之后以各边为边长向外作正方形，连接四个正方形的中心，得到四边形PQRS.？摇如图5所示，拖动滑动条m，n，改变平行四边形ABCD的边长，或者拖动点D，改变邻边的夹角θ，可以发现无论边长和夹角怎样变化，总是能得到△RAS≌△RDQ. 根据上述证明，可以得出结论：四边形PQRS的形状不随平行四边形ABCD的边长或其夹角的大小而改变，总是正方形.勾股定理是余弦定理的特例，类比勾股定理的面积证法，发现同样可以通过“向外作正方形”的方法来证明余弦定理，进一步，利用软件GeoGebra进行动态探究，可以从直观上帮助学生加深理解，体会数学知识间的紧密联系.参考文献：［1］庞月，李春兰. 我国初中几何教科书中勾股定理证明方法编排之变迁（1951—2000）［J］. 数学通报，2018， 57（03）：9-15+61.［2］欧几里得. 欧几里得·几何原本［M］. 兰纪正，朱恩宽，译. 西安：陕西科学技术出版社，2003：41-42.。
面积总结归纳在日常生活中，面积是一种用来描述物体表面大小的计量单位。
它在各个领域都有着广泛的应用，无论是在建筑设计、农业生产还是科学研究中，都需要准确地计算和比较不同物体的面积。
本文将对面积的概念进行简要介绍，并总结归纳面积的计算方法和应用场景。
一、什么是面积面积是平面几何中一种用来描述物体表面大小的量度。
它通常以平方单位（如平方米、平方厘米）表示。
在二维平面中，一个物体的面积等于其所占据的平面区域的大小。
二、常见物体的面积计算方法1. 矩形的面积计算：对于一个矩形，其面积可以通过将其宽度与长度相乘得到。
公式为：面积 = 宽度 ×长度。
2. 正方形的面积计算：对于一个正方形，其面积可以通过将其边长的平方得到。
公式为：面积 = 边长 ×边长。
3. 圆的面积计算：对于一个圆，其面积可以通过将其半径的平方乘以π（圆周率）得到。
公式为：面积 = 半径 ×半径× π。
4. 三角形的面积计算：对于一个三角形，其面积可以通过将其底边长度与高的乘积再除以2得到。
公式为：面积= （底边长度×高）/ 2。
三、面积的应用场景1. 建筑设计中的面积计算：在建筑设计过程中，需要计算各个房间、楼层、建筑物的面积，以便进行合理的空间规划和材料使用。
面积计算还有助于评估建筑的使用效率和设计质量。
2. 农业生产中的面积计算：在农业生产中，面积计算是农田规划、种植布局和农作物产量评估的重要依据。
通过计算田地面积，农民可以准确地安排种植区域，合理使用肥料和水资源，提高农作物的产量和质量。
3. 科学研究中的面积计算：在科学研究中，面积计算在各个学科领域都有广泛的应用。
例如，在地理学中，需要计算陆地和海洋的面积以研究地球表面的特征和分布；在生物学中，需要计算生物群落的面积以评估生态系统的健康状况。
4. 商业活动中的面积计算：在商业活动中，面积计算是商场、仓库和办公室管理的重要环节。
通过准确计算商业场所的面积，可以合理配置商品陈列、库存管理和工作空间，提高经营效率和顾客体验。
高一数学实用解题技巧方法高一数学并不是简简单单就能学好,升入高中以后,高中数学变得更抽象了,很多知识同学们理解起来开始有困难了。
下面是小编为大家整理的关于高一数学实用解题技巧，希望对您有所帮助!高一数学解题技巧1、配法通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。
配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
