最新高中数学考前归纳总结导数中的探索性问题复习进程

高考数学复习专题十七 探索性问题【考点聚焦】考点1：对条件和结论的探索． 考点2：猜想、归纳、证明问题． 考点3：探索存在型问题． 考点4：命题组合探索性问题． 【自我检测】探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程． （以问题的形式考查学生对必须要具备的知识，对必须具备知识的友情提示） 【重点•难点•热点】 问题1：条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．例1．例1．（02年某某）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是．分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴)22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即．由此可得)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(412Z k k t ∈+=π 点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．演变1：(05年某某)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)求证：OD ∥平面PAB ；(Ⅱ)当k ＝21时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；(Ⅲ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？点拨与提示：(Ⅱ)找出O 点在平面PBC 内的射影F ，则∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角． 又OD ∥PA ，∠ODF 即为所求；(Ⅲ)若F 为PBC 的重心，得B 、F 、D 共线，进一步得BD ⊥PC ，故PB=BC ，得k=1． 问题2：结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．ABCDOP例2．（04年某某）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组．（写出所有符合要求的组号）．①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n ．(其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和．)思路分析：研究能否由每一组的两个量求出{}n a 的首项和公比．解：（1）由S 1和S 2，可知a 1和a 2．由q a a =12可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”． （2）由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得211132112,,q a q a a S qa a q a a ++=== ∴q a a qa S 2223++=，∴0)(23222=+-+a q S a q a 满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{}n a 的基本量．（3）由a 1与a n ，可得1111,a a q qa a nn n n ==--，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．（4）由q 与a n ，由1111,--==n nn n q a a q a a 可得，故数列{}n a 能够确定，是数列{}n a 的一个基本量．故应填①、④评注：本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义．如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．演变2：某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； (Ⅱ)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床． 问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由．点拨与提示：从第二年开始，每年所需维修、保养费用构成一个等差数列，x 年的维修、保养费用总和为42)1(12⨯-+x x x ，求出x 与y 之间的函数关系． 问题3：存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．例3： ( 06年某某）已知椭圆C 1:22143x y +=，抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (Ⅱ)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由．思路分析：(Ⅱ)中，分别将直线方程)1(-=x k y 与椭圆、抛物线的方程联立，22438kk +＝2221)2(k k p x x +=+，再由)(214)212()212(2121x x x x +-=-+-＝1212()()22p pAB x x x x p =+++=++得34124)(2342221+-=+-=k k x x p 可到k 的值． 解 （Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）．因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p ． 此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上． （Ⅱ）：假设存在m 、p 的值使2C 的焦点恰在直线AB 上．当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ． ①设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）， （x 2，y 2）， 则x 1，x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438k k +．由⎩⎨⎧-==-)1(2)(2x k y px m y 消去y 得px m k kx 2)(2=--，② ∵C 2的焦点),2(m p F '在直线)1(-=x k y 上，所以)12(-=pk m ，代入②得04)2(22222=++-p k x k p x k ③由于x 1，x 2是方程③的两根，∴2221)2(k k p x x +=+，从而 22438k k +=22)2(k k p +④ 因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且 1212()()22p pAB x x x x p =+++=++．从而121214()2x x p x x ++=-+．所以34124)(2342221+-=+-=k k x x p ，代入④得．解得6,62±==k k 即，此时34=p ．因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=．即3636-==m m 或． 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y ． 点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行．“不存在”就是没有，找不到．这类问题常用反证法加以认证．“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由．这类问题常用“肯定顺推”．演变3：（06年某某）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+（I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，说明理由．点拨与提示：(I)讨论f(x)对称轴x=4与区间[],1t t +的位置关系；(II)转化为()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点， 利用导数分析函数 ()()()x g x f x φ=-的极值情况．问题4：条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题．此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段．一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求．应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力．例4 （99年全国）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题． 思路分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证．解：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ， α⊥β， n ⊥β⇒m ⊥α；(2)m ⊥n ， α⊥β， m ⊥α⇒n ⊥β； (3)m ⊥α， n ⊥β， m ⊥α⇒α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n ．不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题．故填上命题(3)或(4)． 点评：本题的条件和结论都 不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的． 演变4：6．（05某某卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于对称，则函数)(x g = ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形） 五、规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高． 例5：（06年某某春）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）． （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值X 围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？思路分析：()22203011010d d d a a ++=+=，()323304011010d d d d a a +++=+=，()4324405011010d d d d d a a ++++=+=，由此得到()n n d d a+++=+ 110)1(10解：（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ． （2）())0(11010222030≠++=+=d dd d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞．（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值X 围 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn 当0>d 时，)1(10+n a 的取值X 围为),10(∞+等．演变5：在等差数列{a n }中，若a 10=0，则有等式a 1+ a 2+…+ a n = a 1+ a 2+…+ a n-19(n<19，n ∈N)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{ b n }中，若b 9=1，则有等式___________成立． 点拨与提示：分析所给等式的性质：项数之和为n +(19－n)=19(定值)，19与a 10的序号关系为：2⨯10－1=19；由此得相应等式．专题小结1、 条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．2、 结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论． 3、条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．4、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．5、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．【临阵磨枪】一．选择题1．(05年某某)123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）A 4项B 3项C 2项D 1项2．(05某某)设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 （ ）A l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC αγβγα⊥⊥⊥m ,,D αβα⊥⊥⊥m n n ,,3． （05年某某）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（） A1 B2 C3 D44．(05某某)如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、 K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心． 从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（）AK BHCGDB ′ 5．（06年某某卷）已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （C ）A 2-B 1-C 1D 4 6．（06年某某）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （ ）Ａ 2 Ｂ 4 C 6 D 87．（06年某某卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A 2-B 2C 4-D 4 8．（04年）已知三个不等式：0,0,0>->->bda c ad bc ab （其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A 0B 1C 2D 3 二．填充题9．(05年某某）设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是_______________．10．(05某某文)已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//．（i ）当满足条件时，有β//m ；（ii ）当满足条件时，有β⊥m ． （填所选条件的序号）11．（02年全国理）已知函数221)(xx x f +=，那么 ___________.111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++=12．设函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ，给出以下四个结论：①它的图象关于直线12π=x 对称；②它的图象关于点()0,3π对称；③它的周期是π；④在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π上是增函数． 以其中两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______ 三．计算题 13．（05某某卷）已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ．是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之． 14．（05某某理）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点． （Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离．15． （06年某某卷）已知二次函数()x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f ．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,N n S n n ∈均在函数()x f y =的图像上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列()n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．16． （06年某某）如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，p 是侧棱1CC 上的一点，m CP =．（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23；（Ⅱ）在线段11C A 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，Q D 1在平面1APD 上的射影垂直于AP ．并证明你的结论．17．（05年某某卷）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x=上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）． （Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 18．（02年某某）．规定()()11!mx x x x m C m --+=，其中x R ∈，m 是正整数，且01x C =，这是组合数mn C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广． （Ⅰ）求515C -的值；（Ⅱ）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m mn n n C C C -++=是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；OxyO AB 图4若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数mn C 是正整数．那么，对于mx C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些m x C R ∈成立的例子吗？ 参考答案：1．B 提示：123)(x x +的展开式为12412236121212t t t t t tt tC C xC x-++-==，因此含x 的正整数次幂的项共有3项．选B2．D 提示：A 选项：缺少条件m α⊂；B 选项：当//,αββγ⊥时，//m β；C 选项：当,,αβγ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；D 选项：同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题． 本题答案选D3．B 提示：直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '：2x +y －2=0，该直线与椭圆相交于A (1， 0)和B (0， 2)，P 为椭圆上的点，且PAB ∆的面积为12，则点P 到直线l ’的距离为55，所以在它们之间一定有两个点满足条件，而在直线的上方，与2x +y －2=0平行且与椭圆相切的直线，切点为Q (22， 2)，该点到直线P 点 4．C 提示：用排除法．∵AB ∥平面KEF ，A B ''∥平面KEF ，B B '∥平面KEF ，AA '∥平面KEF ，否定(A)，AB ∥平面HEF ，A B ''∥平面HEF ，AC ∥平面HEF ，A C ''∥平面HEF ，否定(B)，对于平面GEF ，有且只有两条棱AB ，A B '' 平面GEF ，符合要求，故(C)为本题选择支．当P 点选B '时有且只有一条棱AB ∥平面PEF ．综上选(C)5．C ． 提示：由()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 的坐标位置知，ABC ∆所在的区域在第一象限，故0,0x y >>．由my x z +=得1z y x m m =-+，它表示斜率为1m-． （1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m 最小，此时需11331AC k m --==-，即=m 1；（2）若0m <，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m 最小，此时需11235BC k m --==-，即=m 2，与0m <矛盾． 综上可知，=m 1．6．B 提示：a a yax x y a y a x y x 211)1)((++≥+++=++，∴a a 21++≥9，a ≥4．7．D 提示：椭圆22162x y +=的右焦点为(2，0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2，0)，则4p =，故选D ．8．D 提示：若0,0,0>-=->->abadbc b d a c ad bc ab 则，∴00,0>-⇒>->b d a c ad bc ab ，若0,0,0>->->abadbc b d a c ab 则0,0,00,0,000,0,0>⇒>->->∴>->->->-⇒>->>-∴ab bda c ad bc ab abadbc b d a c ad bc ad bc bda c ab ad bc 即则若即故三个命题均为真命题，选D ．9．()2,3 提示：由图在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值X 围．可知，在(2， 3) 点目标函数65z x y =+取得最大值． 10．③⑤ ， ②⑤ 提示：[解析]:由线面平行关系知:αα,⊂m ∥β可得m ∥β; 由线面垂直关系得:αα,⊥m ∥ββ⊥m 可得,11．27 提示：考察函数可发现左式构成规律：1)21()(=+f x f ，于是立得结论为27．若直接代入费力又费时．12．答：①③⇒②④或②③⇒①④ 13．解：)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ-+++=⋅=x x x xb a x f 12cos 22cos 2sin 22tan112tan 2tan 12tan 1)2cos 222sin 22(2cos 222-+=+-⋅-+++=x x x x x x x x x x .cos sin x x +=x x x x x f x f x f x f sin cos cos sin )()(:,0)()(-++='+='+即令.0cos 2==x .0)()(],,0[2,2='+∈==x f x f x x 使所以存在实数可得πππ14．解：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角．在△AOE 中，AO=1，OE=,2721=PB ,2521==PD AE 23451543210y xword∴.1473127245471cos =⨯⨯-+=EOA 即AC 与PB 所成角的余弦值为1473． （Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6π=∠ADF ．连PF ，则在Rt △ADF 中.33tan ,332cos ====ADF AD AF ADF AD DF设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC ． ∴N 点到AB 的距离121==AP ，N 点到AP 的距离.6321==AF 15． 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ，则 f`(x)=2ax+b ，由于f`(x)=6x －2，得a=3 ， b=－2， 所以 f(x)＝3x 2－2x ．又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n ．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）． 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m ，必须且仅须满足21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10．16． 解法1：（Ⅰ）连AC ，设AC 与BD 相交于点O ，AP 与平面11BDD B 相交于点，，连结OG ，因为PC ∥平面11BDD B ，平面11BDD B ∩平面APC ＝OG ，故OG ∥PC ，所以，OG ＝21PC ＝2m．word又AO ⊥BD ，AO ⊥BB1，所以AO ⊥平面11BDD B ， 故∠AGO 是AP 与平面11BDD B 所成的角．在Rt △AOG 中，tan ∠AGO ＝23222==m GO OA ，即m ＝31． 所以，当m ＝31时，直线AP 与平面11BDD B所成的角的正切值为 （Ⅱ）可以推测，点Q 应当是A I C I 的中点O 1，因为D 1O 1⊥A 1C 1， 且 D 1O 1⊥A 1A ，所以 D 1O 1⊥平面ACC 1A 1，又AP ⊂平面ACC 1A 1，故 D 1O 1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D 1O 1在平面APD 1的射影与AP 垂直． 解法二：(本题也可用空间向量来求解)17．解：（I ）设△AOB 的重心为G(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x (1)∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ，即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立． 所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1； 18．解：（Ⅰ）()()()515151619116285!C ----==-．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角O度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =1无意义．性质②如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：11m m mx x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当1m =时，10111x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时，()()()()()()()()()()()111112!1!121 11!121 !m m xxm x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+---+-+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭--++== 由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从mx C 的定义不难知道，当x Z ∉且0m ≠时，mx C Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，mx C 就是组合数，故mx C Z ∈．当x Z ∉且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（mx C ，x Z ∉且x m <）与已知的结论mn C Z ∈相联系？一方面再一次考察定义：()()11!mx x x x m C m --+=；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：551519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将515C -转化为519C 可能是问题解决的途径．事实上，当0x <时，()()()()()()()1111111!!mmm m xx m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-==-=-．①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1mx m C -+-为组合数，故mx C Z ∈．②若1x m m -+-<，即0x m ≤<时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0mx C Z =∈．这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤<时，在,1,,1x x x m --+这m 个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，0mx C Z =∈．综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有mx C Z ∈．【挑战自我】直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝21．椭圆C 以A 、4B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）若点E 满足EC 21=AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的X 围，若不存在，说明理由．讲解：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，⇒A （-1，0），B （1，0）设椭圆方程为：12222=+by a x令c b y C x 20=⇒= ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==322312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13422=+y x （2）0(21E AB EC ⇒=，)21，l ⊥AB 时不符， 设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0）由 01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx yM 、N 存在⇒0)124()43(46402222>-+-⇒>⋅m k m k 2234m k ≥+⇒设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ） ∴ 22104342k km x x x +-=+=，200433k mm kx y +=+=243143421433121||||22200k m k kkm k m k x y EF MN NE ME +-=⇒-=+--+⇒-=-⇒⊥⇒= ∴222)243(34k k +-≥+ ∴4342≤+k ∴102≤<k ∴11≤≤-k 且0≠k ∴ l 与AB 的夹角的X 围是0(，]41．【答案及点拨】演变1：(Ⅰ)∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点：∴OD ∥PA ，又AC ⊂平面PAB ，∴OD ∥平面PAB ．(Ⅱ)∵AB ⊥BC ，OA=OC ，∴OA=OC=OB ，又∵OP ⊥平面ABC ，∴PA=PB=PC ．取BC 中点E ，连结PE ，则BC ⊥平面POE ，作OF ⊥PE 于F ，连结DF ，则OF ⊥平面PBC∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角．又OD ∥PA ，∴PA 与平面PBC 所成角的大小等于∠ODF ．在Rt △ODF 中，sin ∠ODF=OF OD =，∴PA 与平面PBC所成角为arcsin30(Ⅲ)由(Ⅱ)知，OF ⊥平面PBC ，∴F 是O 在平面PBC 内的射影．∵D 是PC 的中点，若F 是△PBC 的重心，则B 、F 、D 三点共线，直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，∵OB ⊥PC ．∴PC ⊥BD ，∴PB=BC ，即k=1．反之，，当k=1时，三棱锥O-PBC 为正三棱锥，∴O 在平面PBC 内的射影为△PBC 的重心．演变2：（1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y =984022-+-x x ． （2）解不等式 984022-+-x x ＞0， 得 5110-＜x ＜5110+．∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17．故从第3年工厂开始盈利． （3）(I)∵）xx x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立．∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元．(Ⅱ) y=－2x 2+40x －98=－2（x －10）2+102， 当x=10时，y max =102． 故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元．演变3：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，A BCDO P22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++ 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩ （II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．22()86ln ,62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x xφφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=7m (1))(-==φφ极大值x ，15ln36m (3))(-+==φφ极小值x 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值 即7156ln3.m <<- 所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值X 围为(7,156ln 3).-演变4：①x 轴，x 2log 3--②y 轴，)(log 32x -+③原点，)(log 32x ---④直线32,-=x x y演变5：首先等差数列{a n }具有性质：所给等式两边为和式，项数之和为n +(19－n)=19(定值)，19与a 10的序号关系为：2⨯10－1=19；类比上述性质，等比数列{b n }应有：等式两边为积式，项数之积为 x (定值)，由于b 9=1，x 与b 9的序号关系为 2⨯9－1=17= x ，故应填入的等式为：b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17- n (n <17，n ∈N)．。

新高考导数知识点总结归纳导数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和其他学科中都有广泛的应用。

在新高考的数学教学中，导数是必修内容之一。

本文将对新高考导数的知识点进行总结归纳，以帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

一、导数的定义和基本性质1. 导数的定义：导数表示函数在某一点的变化率，可以用极限的方法定义为函数在该点处的切线斜率。

2. 导数的几何意义：导数可以表示函数在某一点的瞬时变化率，也就是函数图像在该点处的切线斜率。

3. 导数的基本性质：导数具有线性性、求导法则（如乘法法则、链式法则等）和导数的和差乘商法则等基本性质。

二、导数的计算方法1. 使用导数定义计算导数：根据导数的定义，可以通过计算函数的极限来求导。

2. 利用基本求导法则计算导数：基本求导法则包括常数法则、幂函数求导法则、指数函数和对数函数求导法则等。

3. 高级求导法则的应用：高级求导法则包括乘法法则、除法法则、链式法则和隐函数求导等，可用于求解更复杂的函数导数。

三、导数的应用1. 导数与函数的单调性和极值：通过导数的正负可以判断函数的单调性，导数为零的点可以反映函数的极值。

2. 导数与函数的图像：函数的导数可以提供有关函数图像的信息，如切线的斜率、凹凸性和拐点等。

3. 导数与函数的最值问题：通过导数与函数的最值问题可以求解函数的最大值和最小值。

4. 导数与函数的图像绘制：通过分析函数的一、二阶导数的符号和零点，可以描绘函数的大致图像。

四、导数的应用举例1. 弹簧振子的数学模型：通过建立弹簧振子的微分方程，可以求解振动的周期和振幅等参数。

2. 无人机的轨迹规划：通过优化导数计算，可以规划无人机在空中的最佳轨迹，实现高效的航行。

3. 经济学中的边际效应：导数在经济学中常用于计算边际成本和边际效益，为决策提供依据。

综上所述，导数作为高中数学的重要内容，在新高考中占据着重要的地位。

掌握导数的定义和基本性质，熟练掌握导数的计算方法以及灵活运用导数的应用是提高数学水平的关键。

新高考导数知识点归纳总结随着新高考制度的实施，越来越多的学生开始接触到导数这一概念。

导数在数学中具有重要的地位，不仅仅是高考数学的考点，更是解决实际问题的有力工具。

为了帮助学生更好地掌握导数的知识，本文将对新高考导数知识点进行归纳总结，并提供相关的解题技巧和注意事项。

一、导数的定义和求导法则1. 导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，即斜率。

用数学符号表示为f'(x)，或者dy/dx。

2. 求导法则：- 常数法则：如果f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0。

- 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。

- 乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为函数，则f'(x)= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。

- 除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)为函数，v(x) ≠ 0，则f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/v(x)^2。

- 反函数法则：如果f(x)和g(x)互为反函数，则f'(x) = 1/g'(f(x))。

二、导数的计算和性质1. 高阶导数：- 一阶导数：f'(x)表示函数f(x)的一阶导数。

- 二阶导数：f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。

- 高阶导数：f^n(x)表示函数f(x)的n阶导数。

2. 导数的计算：- 函数的和、差、积的导数：如果f(x)和g(x)的导函数存在，则(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)，(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)，(fg)'(x) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)。

- 复合函数的导数：如果y = f(g(x))，其中f(x)和g(x)均可导，则y' = f'(g(x))g'(x)。

探索性问题揭秘探索性问题又叫开放型问题，此类问题作为立体几何的一种创新题型，在近几年的高考中正方兴未艾.和我们司空见惯的封闭型问题恰好相反，探索性问题没有明确的条件或结论，条件或结论是什么或有没有需要通过探索才能知晓.正因为如此，探索性问题往往令很多同学望而却步，不知所措.鉴于此，本文就揭秘空间垂直关系中常见的探索性问题，以期消除同学们对它们的神秘感，能顺利解答此类问题.一、结论探索型例1 如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，AD PA =，点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动. 试判断直线PE 和AF 的位置关系，并给出证明.分析：根据题意，EF 与平面PAC 应为特殊的位置关系，故可先结合图形，对位置关系进行猜想，然后再利用已知条件对猜想进行证明.解：结合图形猜想AF PE ⊥，证明如下.∵ABCD PA 平面⊥，∴PA CD ⊥，∵是矩形ABCD ，∴AD CD ⊥，∵⊂AD PA ,平面PAD ，A AD PA =I ，∴PAD CD 平面⊥.∵PAD AF 平面⊂，∴CD AF ⊥， ∵AD PA =，点F 是PD 的中点，∴PD AF ⊥， 又⊂PD CD ,平面PCD ，D PD CD =I ，∴PDC AF 平面⊥，又PDC PE 平面⊂， ∴AF PE ⊥.评注：此型问题的基本解法是：先探索猜想结论，再证明结论.二、条件反溯型例2 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，已知1AA ⊥平面111C B A ，11111==C B C A ，︒=∠90111B C A ，21=AA ，D 是11B A 中点．当点F 在棱1BB 上的什么位置时，有⊥1AB 平面DF C 1？并证明你的结论．分析：首先证明⊥D C 1平面B A 1，然后过点D 作1AB DF ⊥，交1BB 于点F ，则有 ⊥1AB 平面DF C 1，此时点F 即为所求点，最后在四边形11A ABB 中探索点F 的位置.解：∵1AA ⊥平面111C B A ，⊂D C 1平面111C B A ，∴D C AA 11⊥，∵11111==C B C A ，D 是11B A 中点，∴111B A D C ⊥，又∵⊂111,B A AA 平面B A 1，1111A B A AA =I ，∴⊥D C 1平面B A 1. P A B CD EF 例1图C1B A B1A 1C D 例2图 F过点D 作1AB DF ⊥，交1BB 于点F .∵D C AB DF AB 111,⊥⊥，∴⊥1AB 平面DF C 1，故所作点F 适合题意，下面探索点F 的位置.∵11111==C B C A ，︒=∠90ACB ，∴211=B A ，∴111AA B A =，∴四边形11A ABB 是正方形，连结B A 1，则有11AB B A ⊥，∴DF B A //1，∴点F 是棱1BB 的中点，∴点F 为棱1BB 的中点时，⊥1AB 平面DF C 1.评注：条件探索性问题一般采用反探法，即拿着结论探条件，然后再对探索出的条件进行证明.三、存在判断型例3 四棱锥ABCD S -，点E 是SA 的中点，平面⊥SBC 平面ABCD .问在底面内是否存在一点H ，使得⊥EH 平面ABCD .若存在，确定点D 的位置；若不存在，说明理由.分析：先假设存在点H ，使得⊥EH 平面ABCD .然后依据已知条件，反向探求，若能探求出点H 的位置，则存在；若导出矛盾，则不存在.解：假设存在点H ，使得⊥EH 平面ABCD .作BC SF ⊥于F ，连结AF ， ∵平面⊥SBC 平面ABCD ，平面I SBC 平面BC ABCD =，∴⊥SF 平面ABCD . 设AF 的中点为H ，连结EH ，又点E 是SA 的中点，∴EH 是SAF ∆的中位线，∴SF GH //，∴GH ⊥平面ABCD . 所以，在底面内存在一点H ，它是AF 的中点，使得⊥EH 平面ABCD .评注：解答存在判断型问题的一般思路是：假设存在，然后采用反探法探求.反探法的起点可以是已知条件（如本题），也可以是要探求的位置关系.总之，从哪儿开始探求方便，就从哪儿开始.例3图 H S A BD •E。

高中数学导数知识点归纳总结导数是高中数学中的重要内容，它是微积分的基础。

在学习导数的过程中，我们需要掌握一些重要的概念和技巧。

本文将对高中数学导数知识点进行归纳总结，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握导数的相关知识。

一、导数的定义和性质1. 导数的定义：导数表示函数在某个点上的变化率，可以用极限的概念来进行定义。

如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么函数f(x)在点x0处可导。

2. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某点处的切线斜率。

3. 导数的性质：导数具有唯一性、可加性、线性、乘积法则、商规则等性质，这些性质可以用来简化导数的计算。

二、导数的计算方法1. 基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式是我们计算导数的基础。

2. 导数的四则运算：和、差、积、商的导数计算方法。

3. 复合函数的导数：复合函数的导数计算需要运用链式法则，即外函数的导数乘以内函数的导数。

4. 隐函数的导数：对于隐函数，我们可以通过求偏导数的方法来计算其导数。

5. 参数方程的导数：对于参数方程表示的函数，我们可以通过对x 和y分别求导来计算其导数。

三、导数的应用1. 切线与法线：导数可以帮助我们求函数图像上某点处的切线和法线方程。

2. 函数的单调性与极值：通过导数的正负性可以判断函数的单调性，通过导数的零点可以求得函数的极值点。

3. 函数的凹凸性与拐点：通过导数的增减性可以判断函数的凹凸性，通过导数的拐点可以求得函数的拐点。

4. 曲线的图形描绘：通过导数的一阶导数和二阶导数可以描绘曲线的大致形状。

四、常用函数的导数1. 幂函数的导数：幂函数的导数公式是导数计算中的基本类型，需要熟练掌握。

2. 指数函数的导数：指数函数的导数公式是指数函数求导中的重要内容。

3. 对数函数的导数：对数函数的导数公式是对数函数求导中的重要内容。

4. 三角函数的导数：三角函数的导数公式是三角函数求导中的重要内容，需要特别注意。

导数知识点归纳总结高三一、导数的定义和基本概念导数的定义：设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果极限①若存在，称函数f(x)在点x0处可导，该极限值称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。

②若极限不存在，称函数f(x)在点x0不可导。

基本性质：①导数存在的必要条件是函数在该点连续；② f(x)在x0（闭区间内）可导，则f(x)在x0（闭区间内）连续；二、常见函数的导数1. 幂函数幂函数f(x) = xn，其中n为常数，x为自变量。

导数有如下规律：① f'(x) = nx^(n-1)；2. 指数函数和对数函数指数函数f(x) = a^x (a>0，a≠1)，对数函数f(x)=loga(x) (a>0，a≠1，x>0)。

导数有如下规律：① (a^x)' = a^x * ln(a)；② (loga(x))' = 1 / (x * ln(a))；3. 三角函数和反三角函数三角函数包括sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x)，反三角函数包括arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)，arccot(x)，arcsec(x)，arccsc(x)。

导数有如下规律：三角函数的导数：① (sin(x))' = cos(x)；② (cos(x))' = -sin(x)；③ (tan(x))' = sec^2(x)；④ (cot(x))' = -csc^2(x)；⑤ (sec(x))' = sec(x) * tan(x)；⑥ (csc(x))' = -csc(x) * cot(x)；反三角函数的导数：⑦ (arcsin(x))' = 1 / sqrt(1-x^2)；⑧ (arccos(x))' = -1 / sqrt(1-x^2)；⑨ (arctan(x))' = 1 / (1+x^2)；⑩ (arccot(x))' = -1 / (1+x^2)；⑪ (arcsec(x))' = 1 / (x * sqrt(x^2-1))；⑫ (arccsc(x))' = -1 / (x * sqrt(x^2-1))；4. 反函数的导数若y = f(x)是函数f(x)在区间I上的可逆函数，导数可表示为：①若f'(x0)≠0，则(g(f(x)))' = g'(y0) * f'(x0)；②若f'(x0)=0且g'(y0)≠0，则(g(f(x)))'在x=x0时取不到导数；③若f'(x0)=0且g'(y0)=0，要结合极限来研究(g(f(x)))'的存在性。

2023届高考数学---导数专题命题规律小结及备考策略1．规律小结纵观近几年高考对导数的考查，试题设计一般是包含一大一小（全国Ⅱ卷一般只有大题），理科对导数的几何意义以及切线考查的频率较高，用导数研究函数的单调性、极值、最值是引导教学的常规要求。

文科对切线、单调性和零点考查的频次较高，导数研究不等式的要求相对理科要低许多。

导数研究不等式、零点等则是导数综合运用的最好载体，从思想方法上看，函数与方程、数形结合、分类讨论是重点考查的内容，从关键能力上看，侧重对逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的考查，从学科素养上看，突出理性思维和数学探索。

命题基本上是强调导数的工具性作用，不涉及导数本身过多的理论。

2．考点频度高频考点：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调性、极值或最值；导数的几何意义，求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性。

中频考点：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求不等式的解；求参数的取值范围；函数模型的应用。

低频考点：反函数、定积分。

3．备考策略预计2022年的高考难度会有所降低，但变化不大，保持稳定是主基调，小题一般是基础题，大题突出综合性，作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应该引起足够的重视。

（1）2022年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度不定，题目可能为简单题，也可能为难题，题型为选择题、填空题或解答题。

（2）2022年高考在导数综合应用的命题方面，理科仍将以选择、填空压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题的能力。

文科仍将以解答题压轴题形式考查零点、极值、最值，简单不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数解证与不等式有关的问题，一般难度不会太高。

新高考的考查内容会与理科类似，难度可能会略低一些。

立体几何中的探索问题一、探索点的位置例1.如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD=DC=4，AD=2，E 为PC 的中点, 在线段AC 上是否存在一点 M ，使得PA//平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若 不存在，请说明理由.解：取AC 中点M ，连结EM 、DM ， 因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM//PA ，又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ， 所以PA//平面EDM 所以.521==AC AM 即在AC 边上存在一点M ，使得PA//平面EDM ，AM 的长为5.例2.如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，13AA =，D 为AC 的中点,（2）求二面角C BD C --1的余弦值； （3）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得 1BDC CP 面⊥？请证明你的结论. 解：（1）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），D （1，3，0），11(0,3,2),(1,3,0)C B C D ∴==u u u r u u u u r设111(,,)n x y z =r是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g 即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，C 1A1C B 1ABDAACzxyCB1BD取11(1,,)32n =-r ，易知1(0,3,0)C C =u u u u r 是面ABC 的一个法向量.1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯u u u u r r u u u u r g r u u u u r r . ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27.（2）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-u u u r，则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u u u rg u u u r u u u u r g ，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. 解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解.∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.二、探索结论的存在性例3.如图，已知三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，D 为AB 中点，M 为PB 的中点，且2AB PD =． （1）求证：DM ∥PAC 面；（2）找出三棱锥P ABC -中一组面与面垂直的位 置关系，并给出证明（只需找到一组即可） （1）证明：依题意 D 为AB 的中点，M 为PB 的中点 ∴ DM // PA又, ∴（2）平面PAC平面PBC (或平面PAB平面PBC)证明：由已知AB＝2PD，又D为AB的中点所以PD＝BD 又知M为PB的中点∴，由（1）知 DM // PA∴又由已知，且故∴平面PAC 平面PBC 。

高中导数解题方法归纳总结导数是微积分中的重要概念，是描述函数在某一点处变化率的数学工具。

在解题过程中，运用正确的导数解题方法能够有效地解决各种导数相关问题。

本文将对高中导数解题方法进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用导数。

一、函数求导法则在导数的计算过程中，掌握函数求导的基本法则是非常重要的。

以下是几个常见的函数求导法则：1. 常数法则：对于常数函数f(x)=c，导数恒为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数求导法则：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数求导法则：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=a^x * ln(a)。

4. 对数函数求导法则：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=1 / (x * ln(a))。

5. 三角函数求导法则：对于常见的三角函数（如sin(x)，cos(x)，tan(x)等），可以利用导数定义或相关恒等式来求导。

二、导数的基本运算法则导数运算法则是在函数求导法则的基础上发展起来的，它能够简化复杂函数的求导过程。

以下是几个常见的导数运算法则：1. 和差法则：对于两个函数f(x)和g(x)的和函数，其导数为(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；对于两个函数f(x)和g(x)的差函数，其导数为(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。

2. 积法则：对于两个函数f(x)和g(x)的乘积函数，其导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

3. 商法则：对于两个函数f(x)和g(x)的商函数，其导数为(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)) / (g(x))^2。

高中数学导数知识点归纳总结在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的概念和工具。

掌握导数的基本概念和运算方法，对于后续学习和应用都有着至关重要的作用。

本文将对高中数学中的导数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握。

一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，表示了函数在该点附近的变化趋势。

给定一个函数f(x)，在点x=a处的导数表示为f'(a)，可以通过求极限的方式进行定义，即：f'(a) = lim┬(x→a)⁡(f(x)-f(a))/(x-a)二、导数的几何意义1. 斜率：导数可以表示函数图像在某一点处的切线的斜率。

对于一元函数来说，导数就是切线的斜率。

2. 切线和法线：导数为0的点对应函数图像上的极值点（极大值或极小值），而导数不存在的点对应函数图像上的拐点。

3. 减函数和增函数：如果导数大于0，则函数在该点处是增函数；如果导数小于0，则函数在该点处是减函数。

三、导数的基本运算法则1. 常数法则：f(x) = C，则f'(x) = 0，其中C为常数。

2. 基本导数公式：- f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n为实数。

- f(x) = e^x，则f'(x) = e^x- f(x) = a^x，则f'(x) = ln⁡(a)·a^x，其中a>0且a≠1。

- f(x) = log⁡(a)(x)，则f'(x) = 1/(x·ln⁡(a))，其中a>0且a≠1。

3. 乘法法则：(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)4. 除法法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。