一元二次不等式及分式不等式的解法

第5讲 一元二次不等式与分式不等式的解法【知识要点】1、一元二次不等式的概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式，称为一元二次不式.2、一元二次不等式的解法步骤：一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002>=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：口诀：大于取两边，小于取中间3、 解一元二次不等式的基本步骤：（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数； （2） 尝试用“十字相乘法”分解因式； （3） 计算ac b 42-=∆（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。

4、对于分式不等式：0)()(>x g x f ，它等价于0)()(>⋅x g x f0)()(=x g x f ，它等价于0)(0)(≠=x g x f 且0)()(<x g x f ，它等价于0)()(<⋅x g x f 【典型例题】例1、 求下列不等式的解集（1）01442>+-x x （2）0322>-+-x x例2、已知032>++a x x 的解集是}12{->-<x x x 或，求不等式012102<+-x ax 的解集.例3、解不等式（1）032<+-x x （2）254≤-+x x例4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ （1）2632+-=x x y (2)225x y -=例5、函数3222)(a b x a ax x f -++=，当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x 当，求)(x f 的解析式；例6、集合}1222{<-+=x x x A }054{2>-+=x x x B ，},11{R m m x m x C ∈+<<-= （1）求B A （2）若B A C ⊆，求m 的取值范围.例7、求不等式)12(2+-x x 0)532(2<--x x 的解集例8、解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++>【经典练习】1、如果62--x x 有意义，那么x 的取值范围是 .2、若012<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则a ＝________，b ＝________． 3、解下列一元二次不等式(1) )3)(1(x x --＜x 25- (2) )11(+x x ≥2)1(3+x (3)031≥+-x x （4）3115<++x x4、已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,求220cx x a -+->的解集5、不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围【课后作业】1、若10<<a ，那么不等式)1)((ax a x --0<的解是 （ ） A ．a x a 1<< B ．a x a <<1 C ．a x a x 1<>或 D ．a x ax <>或12、若关于x 的方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是.3、不等式0)1)(2(22<+--x x x 的解集为___________________________ 4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ （1）1062++=x x y (2)121232-+-=x x y5、已知集合}016{2<-=x x A ，集合}034{2>+-=x x x B ，求B A6、已知=A }0145{2<--x x x ，求=B },2{A y y x x ∈-=，求B A ，B A ．。

微专题05一元二次不等式、分式不等式【知识点总结】一、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上．（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或．②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且．③若0∆<，解集为R ．（2）当0a <时，二次函数图象开口向下．①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅二、分式不等式（1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔⋅>（2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔⋅<（3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇔⎨≠⎩三、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f xg x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】（1）已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；（2）已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；（3）已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；（4）已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：一元二次不等式的解法题型二：分式不等式的解法题型三：绝对值不等式的解法题型四：高次不等式的解法题型五：一元二次不等式恒成立问题【典型例题】题型一：一元二次不等式的解法例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式20x ax b --<的解集是{|23}x x <<，则210bx ax -->的解集是（）A ．{|23}x x <<B ．11{|}32x x <<C ．11{|}23x x -<<-D ．{|32}x x -<<-【答案】C【解析】因为不等式20x ax b --<的解集是{|23}x x <<，所以方程20x ax b --=的两根为122,3x x ==，所以由韦达定理得23a +=，23b ⨯=-，即,=5=-6a b ，所以2216510bx ax x x --=--->，解不等式得解集为11{|}23x x -<<-故选：C例2．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式20ax cxb ++>的解集为{|22x x <<+C ．0a b c ++<D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以0a <，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,22x x x --<∴<<B 正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f a b c =++>，所以选项C 错误；不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误．故选：B例3．（2022·江苏南京·高一期末）已知,b c ∈R ，关于x 的不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，则关于x 的不等式210cx bx ++>的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,12∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，所以2121-=-+⎧⎨=-⨯⎩b c 即12=⎧⎨=-⎩b c ，不等式210cx bx ++>等价于2210x x -++>，解得112x -<<．故选：A ．例4．（2022·全国·高一课时练习）已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集是关于x 的不等式230x x a -+<解集的子集，则实数a 的取值范围是（）．A ．0a <B ．0a ≤C ．2a ≤D ．2a <【答案】B【解析】不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩解得1324x x <<⎧⎨<<⎩，所以不等式组的解集是{|23}x x <<，关于x 的不等式230x x a -+<解集包含{|23}x x <<，令2()3f x x x a =-+，∴940(2)20(3)0a f a f a ∆=->⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，解得0a ，故选：B ．例5．（多选题）（2022·江苏·苏州中学高一阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则下列正确的是（）A ．0a <B ．关于x 的不等式0bx c +>的解集为(,6)-∞-C ．0a b c ++>D ．关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【解析】A ．由已知可得0a <且2,3-是方程20ax bx c ++=的两根，A 正确，B ．由根与系数的关系可得：2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得,6b a c a =-=-，则不等式0bx c +>可化为：60ax a -->，即60x +>，所以6x >-，B 错误，C ．因为660a b c a a a a ++=--=->，C 正确，D ．不等式20cx bx a -+>可化为：260ax ax a -++>，即2610x x -->，解得12x >或13x <-，D 正确，故选：ACD ．例6．（多选题）（2022·全国·高一）若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是（）A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，所以0,1,2b ca a a<-==-，故,2b a c a =-=-，此时20a b c a ++=->，所以A 正确，B 正确；22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->，解得：3x <-或1x >．所以D 正确；C 错误．故选：ABD例7．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则12123ax x x x ++的最小值是_____________．【答案】4【解析】关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+-≥>可化为()()30(0)x a x a a --≤>所以不等式的解集为[],3a a ，所以12,3x a x a ==．所以122123314443a a x x a a x x a a ++=+=+≥=（当且仅当14a a=，即12a =时取“=”）．故答案为：4．例8．（2022·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中）已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，且a ，b ，R c ∈，0b c +≠，则2210a b b c +++的最小值为_______．【答案】【解析】由题意，关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，可得0b >，且440ab ∆=+=，所以1ab =-且0b >，所以1a b=-，又由不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，所以212c b b--==，令12t b c b b=+=+≥，则22222211()22a b b b t b b +=+=+-=-，所以2221088a b t t b c t t +++==+≥+t =时取等号．所以2210a b b c+++的最小值为故答案为：题型二：分式不等式的解法例9．（2022·河南·高一期中）不等式351x x x +>-的解集是______．【答案】()(),11,5-∞-⋃【解析】不等式351x x x +>-化为以下两个不等式组：21035x x x x -<⎧⎨+<-⎩或21035x x x x ->⎧⎨+>-⎩，解21035x x x x -<⎧⎨+<-⎩，即21450x x x <⎧⎨-->⎩，解得1x <-，解21035x x x x ->⎧⎨+>-⎩，即21450x x x >⎧⎨--<⎩，解得15x <<，所以原不等式的解集是()(),11,5-∞-⋃．故答案为：()(),11,5-∞-⋃例10．（2022·全国·高一专题练习）不等式3113x x+>--的解集是_______．【答案】()23-，【解析】由3113x x +>--可得31103x x ++>-，即2403x x +<-，即()()3240x x -+<解得23x -<<所以不等式3113x x+>--的解集是()23-，故答案为：()23-，例11．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）不等式2131x x +>-的解是___________．【答案】(1,4)【解析】由题设，2143011x xx x +--=>--，∴(1)(4)0x x --<，可得14x <<，原不等式的解集为(1,4)．故答案为：(1,4)．例12．（2022·上海市延安中学高一期中）已知关于x 的不等式221037kx kx x x -+≤-+的解集为空集，则实数k 的取值范围是___________．【答案】[)0,4【解析】2231937024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，∴不等式等价于210kx kx -+≤的解集是φ，当0k =时，10≤不成立，解集是φ，当0k ≠时，240k k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04k <<，综上：04k ≤<．故答案为：[)0,4例13．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）不等式301x x -≥+的解集是____________．【答案】()[),13,-∞-+∞【解析】原不等式等价于()()31010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：3x ≥或1x <-，故答案为：()[),13,-∞-+∞．例14．（2022·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞，则关于x 的不等式06ax bx -≥-的解集为______；【答案】[)1,6-【解析】由于关于x 的不等式0ax b +>的解集是(,1)-∞，则1为关于0ax b +=的根，且0a <，0a b ∴+=，得=-b a ，不等式06ax b x -≥-即为06ax a x +≥-，即106x x +≤-，解该不等式得[)1,6x ∈-故答案为：[)1,6-例15．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式13x ax -≤-的解集为______．【答案】{}3x x >【解析】∵不等式2510ax x ++≤的解集为11{|}23x x -≤≤-∴12-，13-是方程2510ax x ++=的两根，∴6a =，∴13x a x -≤-可化为303x -≤-∴3x >∴不等式13x ax -≤-的解集为{|3}x x >，故答案为：{|3}x x >．例16．（2022·上海·高一专题练习）关于x 的不等式212x ax -≤--的解集是523x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，则a 的值为____．【答案】3【解析】由题知，22122x a x x x --≤-=---，整理得()3202x a x -+≤-，所以()()()3220x a x -+-≤，且2x ≠，因为不等式()()()3220x a x -+-≤，且2x ≠，的解集为523x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以()53203a ⋅-+=，3a =．故答案为：3．题型三：绝对值不等式的解法例17．（2022·上海交大附中高一阶段练习）不等式组12511x x ⎧-≤⎪⎨≥⎪+⎩的解集为______________；【答案】(]1,3-；【解析】不等式12x -≤等价于212x -≤-≤，解之得：13x -≤≤，不等式511x ≥+等价于()5101x x -+≥+，解之得：14x -<≤，故不等式组12511x x ⎧-≤⎪⎨≥⎪+⎩的解集为：(]1,3-．故答案为：(]1,3-．例18．（2022·上海交大附中高一期中）已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{|}1||2B x x =-≤，则A B ＝___．【答案】(23]-，【解析】解不等式102x x -≤+即(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，解得21x -<≤，故10(2,1]2x A xx ⎧⎫-=≤=-⎨⎬+⎩⎭，解|1|2x -≤，即212x -≤-≤，解得13x -≤≤，故121{|||]3}[B x x =-≤=-，，则(23]A B ⋃=-，，故答案为：(23]-，．例19．（2022·上海浦东新·高一期中）不等式221x x ->+的解集是_________．【答案】1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】当12x ≤-时，不等式221x x ->+转化为()()221x x -->-+，解得3x >-，此时132x -<≤-，当122x -<<时，不等式221x x ->+转化为()221x x -->+，解得13x <，此时1123x -<<，当2x ≥时，不等式221x x ->+转化为221x x ->+，解得3x <-，此时无解，综上：221x x ->+的解集是1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故答案为：1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭例20．（2022·全国·高一专题练习）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___．【答案】2≤a ≤4【解析】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴2＜a ＜4．又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}，a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}，均满足A 是B 的真子集，∴2≤a ≤4．故答案为：2≤a ≤4题型四：高次不等式的解法例21．（2022·全国·高一课时练习）不等式22132x x x +≥-+的解集为___________．【答案】[0,1)(2,4]⋃【解析】22132x x x +≥-+等价于221032+-≥-+x x x ，即224032x x x x -+≥-+，即(4)0(1)(2)x x x x -≤--，又等价于()()()()()1240120x x x x x x ⎧---≤⎪⎨--≠⎪⎩，利用数轴标根法解得01x ≤<或24x <≤，所以原不等式的解集为[0,1)(2,4]⋃，故答案为：[0,1)(2,4]⋃例22．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）不等式()()222344032x x x x x +-+≤+-的解集为___________．【答案】3[,1){2}(3,)2--+∞【解析】由题得2320,3x x x +-≠∴≠且1x ≠-．由题得()()()()2222322320,023(3)(1)x x x x x x x x +-+-≥∴≥---+，所以()()223(1)2(3)0x x x x ++--≥，()()223(1)2(3)0x x x x ++--=零点为3,1,2,32--．当32x <-时，不等式不成立；当312x -≤<-时，不等式成立；当12x -≤<时，不等式不成立；当2x =时，不等式成立；当23x <≤时，不等式不成立；当3x >时，不等式成立．故不等式的解集为：3[,1){2}(3,)2--+∞故答案为：3[,1){2}(3,)2--+∞例23．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）不等式201712xx x <≤-+的解集为________．【答案】(0,2][6,)⋃+∞【解析】20712xx x <⇒-+()()340x x x -->，根据数轴穿根法可解得03x <<或4x >，22228121100712712712x x x x x x x x x x -+≤⇒-≤⇒≥-+-+-+()()()()2234607120x x x x x x ⎧----≥⇒⎨-+≠⎩，解得2x ≤或34x <<或6x ≥，所以2034017122346x x xx x x x x ⎧<<≤⇒⎨-+≤<<≥⎩或或或，解得(0,2][6,)x ∈⋃+∞．故答案为：(0,2][6,)⋃+∞例24．（2022·上海·华师大二附中高一期末）不等式2411x x x --≥-的解集为______．【答案】[1,1)[3,)-+∞【解析】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩，解得3x ≥或11x -≤<．故答案为：[1,1)[3,)-+∞．例25．（2022·上海·高一专题练习）不等式()()()()2321120x x x x ++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【解析】如下图所示：根据图象可知：当2x -≤或1x =-或12x ≤≤时，()()()()2321120x x x x ++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--．例26．（2022·浙江·诸暨中学高一期中）不等式()()2160x x x -+-<的解集为______．【答案】()(),31,2-∞-【解析】因为()()2160x x x -+-<，所以()()()1320x x x -+-<，解得3x <-或12x <<．所以不等式()()2160x x x -+-<的解集为：()(),31,2-∞-．故答案为：()(),31,2-∞-例27．（2022·上海·高一专题练习）不等式()()22221221x xx x x x ++>++的解集为_________．【答案】()()(),11,02,-∞--+∞．【解析】()()22221221xxx x x x ++>++等价于()()2120,x x x +->当1x =-时，不等式不成立，当1x ≠-时，不等式等价于()20x x ->，解得0x <或2x >且1x ≠-，故不等式的解集为()()(),11,02,-∞--+∞．故答案为：()()(),11,02,-∞--+∞．例28．（2022·上海市复兴高级中学高一期中）不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-的解集是______．【答案】23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤【解析】不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-等价为()()()23310x x x ---≥且10x -≠，∴23x ≤或13x <≤，∴不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-的解集是23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤故答案为：23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤例29．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1）∪（1，3]D ．[－1，1）∪（1，2]【答案】D【解析】由()()232101x x x x -++≤-可得，()()()12101x x x x --+≤-，∴()()21010x x x ⎧-+≤⎨-≠⎩，解得12x -≤≤且1x ≠，故原不等式的解集为[1,1)(1,2]-．故选：D ．题型五：一元二次不等式恒成立问题例30．（2022·江苏·高一专题练习）若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．532⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．532⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．(]5,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】正实数x ，y 满足244x y xy ++=，可得244x y xy +=-，∴不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，即()24422340xy a a xy -++-≥恒成立，变形可得()222214234xy a a a +≥-+恒成立，即2221721a a xy a -+≥+恒成立，0x >，0y >，2x y ∴+≥2x y =时等号成立，4244xy x y ∴=++≥+220≥，≥≤舍)可得2xy ≥，要使2221721a a xy a -+≥+恒成立，只需22217221a a a -+≥+恒成立，化简可得22150a a +-≥，即()()3250a a +-≥，解得3a ≤-或52a ≥，故实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭故选：B ．例31．（2022·全国·高一单元测试）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-．若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}02a a <<C ．{}11a a -<<D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由()()1x a x a -⊗+<，得()()11x a x a ---<，即221a a x x --<-，令2t x x =-，此时只需2min 1a a t --<，又221124t x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以2114a a --<-，即24430a a --<，解得1322a -<<．故选：A ．例32．（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．[)4,+∞D ．()0,4【答案】A【解析】若“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是真命题，即判别式()21Δ24404a =--⨯⨯<，解得：04a <<，所以命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为：(][),04,-∞+∞U ．故选：A ．例33．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（）A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ．1m >【答案】A【解析】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立，∴24(10)m ∆--<＝，解得14m >，又∵14m >，∴140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立，∴“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件，故选：A ．例34．（2022·四川·广安二中高一阶段练习（理））已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110a x a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B例35．（2022·全国·高一单元测试）已知12x ≤≤，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．{}1a a ≥B ．{}1a a >C ．{}1a a ≤D ．{}1a a <【答案】D【解析】由12x ≤≤，20x ax ->恒成立，可得a x <在[]1,2上恒成立，即即1a <．故选：D ．例36．（2022·陕西安康·高一期中）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】A【解析】因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-，即m 的取值范围是[4,)+∞故选：A例37．（2022·广西·南宁市东盟中学高一期中）已知命题“21,2,2102x x ax ⎡⎤∃∈-+≤⎢⎥⎣⎦”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a -<<B ．a <C ．3a <D ．9 2a <【答案】B【解析】由题知，命题“21,2,2102x x ax ⎡⎤∃∈-+≤⎢⎥⎣⎦”为假命题，则21,2,2102x x ax ⎡⎤∀∈-+>⎢⎥⎣⎦为真命题，即11,2,22x x a x ⎡⎤∀∈+>⎢⎥⎣⎦恒成立．又12x x +≥12x x =≥2x =等号成立，所以a <故选：B例38．（2022·全国·高一课时练习）已知命题p ：“15x ∃≤≤，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a <B ．4a <-C ．4a >D ．4a >-【答案】A【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题，需满足，25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥．因此p 命题成立时a 的范围时4a <故选：A ．【过关测试】一、单选题1．（2022·江西·丰城九中高一期末）已知集合{}2870A x x x =-+<，{}14B x x =<<，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得{}17A x x =<<，所以AB ．所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件．故选：B2．（2022·全国·高一）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C3．（2022·江苏·高一专题练习）若存在正实数y ，使得54y xx y xy-=+，则实数x 的最大值为（）A ．15B ．54C ．1D ．4【答案】A 【解析】115454y x x y x y xy x y-=+⇔-=+，因为0y >，所以144y y +≥，所以154x x-≥，当0x >时，154x x-≥⇔25410x x +-≤，解得105x <≤，当0x <时，154x x-≥⇔25410x x +-≥，解得1x <-，故x 的最大值为15．故选：A4．（2022·江苏·高一）已知关于x 的不等式ax b >的解集是{|2}x x <，则关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是（）A ．()()12-∞⋃+∞，，B ．()12，C ．()()21-∞-⋃+∞，，D ．()21-，【答案】D【解析】关于x 的不等式ax b >的解集为{|2}x x <，0a ∴<，20a b -=，()()10ax b x ∴+->可化为()()210a x x +->，21x ∴-<<，∴关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是()21-，．故选：D ．5．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭，C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立．当0m ≠时，由题意，得20Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <，综上，m 的取值范围为(]0-∞，．故选：C6．（2022·江苏·高一）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，则不等式20cx bx a -+<的解集为（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,1-【答案】A【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<0a ∴<，且2-和1是方程20ax bx c ++=的两个根，则4200a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩b a ∴=，2c a =-，关于x 的不等式20cx bx a -+<，即220ax ax a --+<，2210x x ∴+-<，解得112x -<<，故不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：A7．（2022·北京师大附中高一期末）关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤；综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞．故选：B ．8．（2022·广西·桂林中学高一期中）已知0ax b ->的解集为(,2)-∞，关于x 的不等式2056ax bx x +≥--的解集为（）A ．(,2](1,6)-∞--B ．(,2](6,)-∞-+∞C ．[2,1)(1,6)---D ．[2,1)(6,)--+∞【答案】A【解析】因0ax b ->的解集为(,2)-∞，则0a <，且2ba=，即有2,0b a a =<，因此，不等式2056ax bx x +≥--化为：22056ax a x x +≥--，即22056x x x +≤--，于是有：220560x x x +≤⎧⎨-->⎩或220560x x x +≥⎧⎨--<⎩，解220560x x x +≤⎧⎨-->⎩得2x -≤，解220560x x x +≥⎧⎨--<⎩得16x -<<，所以所求不等式的解集为：(,2](1,6)-∞--．故选：A 二、多选题9．（2022·湖北黄石·高一阶段练习）下列结论错误的是（）A ．不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅B ．不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤C ．若函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，则不等式20ax bx c ++>的解集为RD ．不等式11x>的解集为1x <【答案】CD【解析】对于选项A ，当0a ≥时，210ax x ++≥的解集不为∅，而当0a <时，要使不等式210ax x ++≥的解集为∅，只需140a ∆=-<，即14a >，因0a <，故不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅，因此A 正确；对于选项B ，当0a <且240b ac ∆=-≤时，20ax bx c ++≤在R 上恒成立，故不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤，因此B 正确；对于选项C ，因函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，但a 正负不确定，故20ax bx c ++>或20ax bx c ++<恒成立，因此不等式20ax bx c ++>的解集不一定为R ，故C错；对于选项D ，由11x>，得10x x ->，即()10x x ->，解得01x <<，故D 错．故选：CD ．10．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高一阶段练习）设p ：实数x 满足1021x x -≤-，则p 成立的一个必要不充分条件是（）A ．11 2x ≤≤B ．112x <≤C ．01x ≤≤D ．01x <≤【答案】ACD【解析】由题设，若p 成立，(1)(21)0210x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得112x <≤，∴p 成立的一个必要不充分条件，只需1(,1]2在某个范围内，但不相等即可．故选：ACD ．11．（2022·江苏南京·高一阶段练习）定义区间(),m n 的长度为n m -，若满足()()2012x ax x -<--的x 构成的区间的长度之和为3，则实数a 的可能取值是（）A ．14B ．13C ．3D ．4【答案】CD【解析】若14a =，()()()1111220,1,21222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭<⇒∈- ⎪--⎝⎭故区间长度之和为1+1=2，不符合题意；若13a =，()()()01,212x x x x x ⎛+ ⎛⎝⎭⎝⎭<⇒∈ --⎝⎭故区间长度之和为符合题意；若3a =，(()()())0212x x x x x +<⇒∈--故区间长度之和为123=，符合题意；若()()()()()224,02,112x x a x x x -+=<⇒∈---故区间长度为3，符合题意．故选：CD ．12．（2022·全国·高一专题练习）下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04m ≤<B ．02m <<C ．14m <<D ．16m -<<【答案】BC【解析】因为关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立，当0m =时，原不等式即为10>恒成立；当0m >时，不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立，可得∆<0，即240m m -<，解得：04m <<．当0m <时，21y mx mx =-+的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为：[)0,4．所以“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有02m <<或14m <<．故选：BC ．三、填空题13．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则不等式（ax +b ）（cx -b ）<0的解集是________．【答案】3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由图像知：1和2是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的两个根，所以0a >，12,12b c a a+=-⋅=，所以3,2b a c a =-=．不等式（ax +b ）（cx -b ）<0可化为()()3230ax a ax a -+<，即()()23230x x a-+<，解得：332x -<<．所以不等式（ax +b ）（cx -b ）<0的解集是3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭14．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+恒成立，则ab 的最大值为_________．【答案】12【解析】令1x =，则44a b c ≤++≤，故4a b c ++=，对任意R x ∈，222x ax bx c +≤++，则2(2)20ax b x c +-+-≥恒成立，∴222(2)4(2)(2)4(2)(2)0b ac a c a c a c ∆=---=+---=-+≤∴2c a =+，此时22b a =-，∴2111(22)2(1)2(222ab a a a a a =-=-=--+≤，当15,1,22a b c ===时取等号，此时()()2222333224310222x x ax bx c x x x -+-++=-+=-≥成立，∴ab 的最大值为12．故答案为：12．15．（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式20ax bx c ++≤的解集为R ，则2222b a c +的最大值为____________．【解析】当0a =时，即不等式0bx c +≤的解集为R ，则0b =，0c ≤，要使得2222b a c +有意义，此时0c <，则22202b a c =+；当0a ≠时，若不等式20ax bx c ++≤的解集为R ，则20Δ40a b ac <⎧⎨=-≤⎩，即204a b ac <⎧⎨≤⎩，所以，22222422b ac a c a c ≤++，因为24b ac ≤，则0ac ≥，当0c =时，则0b =，此时22202b a c =+；当0c <时，则0ac >，令0c t a =>，则22244412122ac t a c t t t ==≤+++当且仅当242b ac c a a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，等号成立．综上所述，2222b a c +16．（2022·上海·格致中学高一期末）已知关于x 的不等式()226300x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则12123a x x x x ++的最小值是___________．【答案】【解析】因为关于x 的不等式()226300x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，所以12,x x 是方程()226300x ax a a -+-=>的实数根，所以112226,3x x x x a a ==+，因为0a >，所以1212316a x x a x x a ++=+≥16a a =，即a =时等号成立，所以12123a x x x x ++的最小值是故答案为：。

解不等式常用公式解不等式是数学中的一个重要内容，它在实际问题中具有广泛的应用。

在解不等式的过程中，我们可以运用一些常用的公式和方法来简化计算，提高求解的效率。

本文将介绍一些常用的不等式解法公式，并通过实际例子来说明它们的应用。

一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。

对于一元一次不等式ax+b>0（或<0）来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式ax+b>0的解集为x>-b/a；2. 当a<0时，不等式ax+b>0的解集为x<-b/a；3. 当a>0时，不等式ax+b<0的解集为x<-b/a；4. 当a<0时，不等式ax+b<0的解集为x>-b/a。

例如，对于不等式2x-3>0，我们可以将其转化为2x>3，再除以2，得到x>3/2。

因此，不等式2x-3>0的解集为x>3/2。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。

对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0）来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式ax^2+bx+c>0的解集为x<x1或x>x2，其中x1和x2分别为方程ax^2+bx+c=0的两个根；2. 当a<0时，不等式ax^2+bx+c>0的解集为x1<x<x2。

例如，对于不等式x^2-3x+2>0，我们可以先求出方程x^2-3x+2=0的根，即x1=1和x2=2。

由于a=1>0，因此不等式x^2-3x+2>0的解集为x<1或x>2。

三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

对于绝对值不等式|ax+b|>c来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式|ax+b|>c的解集为x<-b/a-c/a或x>-b/a+c/a；2. 当a<0时，不等式|ax+b|>c的解集为x<-b/a+c/a或x>-b/a-c/a。

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表：判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅2．简单分式不等式的解法：0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ； ()0()f x g x ≤⇔________________1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤13 D ．R4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．265．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 例题选讲：例2：求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．例3：已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．例4：已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．例5：不等式102x x -<+ 的解集是为（ ） （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞例6：不等式的解集是___________。

一元二次不等式和分式不等式的解法1．一元一次不等式解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

ax b a a a >⇒>=<⎧⎨⎪⎩⎪分()()()102030情况分别解之。

2．一元二次不等式ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠⇒()分a >0及a <0情况分别解之，还要注意∆=-b ac 24的三种情况，即∆>0或∆=0或∆<0，最好联系二次函数的图象。

0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x << ∅∅3．分式不等式分式不等式的等价变形：)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0，)()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 。

例1．不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集是（ ） A ．｛x ｜－1＜x ＜1}B ．｛x ｜0＜x ＜３}C ．｛x ｜0＜x ＜1}D ．｛x ｜－1＜x ＜３}答案：C 解析：原不等式等价于：⇒⎩⎨⎧<<<<-⇒⎩⎨⎧<-<30110)3(12x x x x x 0＜x ＜1。

一元二次不等式、分式、绝对值、简单高次不等式的解法本文介绍了高次不等式、分式、绝对值、一元二次不等式的解法。

对于可分解的高次不等式，可以使用奇穿偶回的方法进行求解。

具体步骤为：检查各因式中x的符号均为正；求得相应方程的根；在数轴上表示各根并穿线；最后得出原不等式的解集。

对于含参数的高次不等式，需要对参数的位置进行讨论。

以解关于x的不等式x-x+12(x+a)<0为例，将二次项系数化为正，分解因式后得到相应方程的根为-3，4，-a。

讨论a的位置，得出不等式的解集。

对于分式不等式，可以使用等价转化法进行求解。

例如，解不等式x^2-2x-1/(2x^2+3x-2)>=0，将其等价转化为不等式3x-1/(x+2)<2.绝对值不等式的解法与一元二次不等式类似，需要将其等价转化为一元二次不等式进行求解。

例如，解不等式|2x-1|<3，将其等价转化为-3<2x-1<3，再解出一元二次不等式的解集。

在解不等式时，需要注意格式的正确性和删除明显有问题的段落，同时可以适当改写每段话，使其更加清晰易懂。

练1：解不等式：1、$\frac{x-3}{2x-1}\geq 0$ （首项系数化为正，空实心）2、$\frac{2-x}{x+3}>1$ （移项通分，右侧化为）3、$\frac{x^2-3x+2}{x^2-2x-1}\leq 0$ （因式分解）4、$\frac{x^2-3x+2}{x^2+x+6}<0$ （求根公式法因式分解）5、$\frac{2(x+3)}{3}\geq x$ （恒正式，重根问题）6、$\frac{x(x-3)}{1}\leq 0$ （不能随便约分）7、$|x|-|1|<x-|1|$ （取交集）练2：解不等式：1.求不等式的解集：$\frac{(x+2)^4}{(x-1)^3}\cdot\frac{1}{(3x+2)^3}\cdot\frac{1}{(x^2-x+2)}>0$2.$x^2-9x+11<0$3.解不等式：$\frac{2}{x}\geq\frac{7}{2}$4.解不等式：$\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{x+7}{x-1}$5.解不等式：$\frac{2}{x-3}>\frac{3x-2}{x^2+x+1}$6.解绝对值不等式：$|2x-1|>|2x-3|$7.解关于x的不等式：$\frac{x}{x+2}>1$练4：解不等式：1.$|8-2x|>3$2.$|6-2x|<4$3.$x^2-3x+2<10$4.$x^2-3x+2\leq 0$5.$(2x-1)^2\leq 9$练5：1.解关于x的不等式：1) $2x-1<x+2$2) $3\leq 5-2x<9$3) $1<|x+1|<3$2.求方程$\frac{x+2}{x^2+3x}=\frac{1}{x+2}$的解集；3.不等式$x(1-2x)>0$的解集是（）A。

第5讲 一元二次不等式与分式不等式的解法【知识要点】1、一元二次不等式的概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式，称为一元二次不式.2、一元二次不等式的解法步骤：一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002>=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆0<∆一元二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅口诀：大于取两边，小于取中间3、 解一元二次不等式的基本步骤：（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数； （2） 尝试用“十字相乘法”分解因式； （3） 计算ac b 42-=∆（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。

4、对于分式不等式：0)()(>x g x f ，它等价于0)()(>⋅x g x f0)()(=x g x f ，它等价于0)(0)(≠=x g x f 且0)()(<x g x f ，它等价于0)()(<⋅x g x f 【典型例题】例1、 求下列不等式的解集（1）01442>+-x x （2）0322>-+-x x例2、已知032>++a x x 的解集是}12{->-<x x x 或，求不等式012102<+-x ax 的解集.例3、解不等式（1）032<+-x x （2）254≤-+x x例4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ （1）2632+-=x x y (2)225x y -=例5、函数3222)(a b x a ax x f -++=，当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x Y 当，求)(x f 的解析式；例6、集合}1222{<-+=x x x A }054{2>-+=x x x B ，},11{R m m x m x C ∈+<<-= （1）求B A I （2）若B A I C ⊆，求m 的取值范围.例7、求不等式)12(2+-x x 0)532(2<--x x 的解集例8、解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++>【经典练习】1、如果62--x x 有意义，那么x 的取值范围是 .2、若012<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则a ＝________，b ＝________． 3、解下列一元二次不等式(1) )3)(1(x x --＜x 25- (2) )11(+x x ≥2)1(3+x (3)031≥+-x x （4）3115<++x x4、已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,求220cx x a -+->的解集5、不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围【课后作业】1、若10<<a ，那么不等式)1)((ax a x --0<的解是 （ ） A ．a x a 1<< B ．a x a <<1 C ．a x a x 1<>或 D ．a x ax <>或12、若关于x 的方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是.3、不等式0)1)(2(22<+--x x x 的解集为___________________________ 4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ （1）1062++=x x y (2)121232-+-=x x y5、已知集合}016{2<-=x x A ，集合}034{2>+-=x x x B ，求B A Y6、已知=A }0145{2<--x x x ，求=B },2{A y y x x ∈-=，求B A I ，B A Y ．。

第5讲 一元二次不等式与分式不等式的解法【知识要点】1、一元二次不等式的概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式，称为一元二次不式.2、一元二次不等式的解法步骤：一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002>=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆0<∆一元二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅口诀：大于取两边，小于取中间3、 解一元二次不等式的基本步骤：（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数； （2） 尝试用“十字相乘法”分解因式； （3） 计算ac b 42-=∆（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。

4、对于分式不等式：0)()(>x g x f ，它等价于0)()(>⋅x g x f0)()(=x g x f ，它等价于0)(0)(≠=x g x f 且0)()(<x g x f ，它等价于0)()(<⋅x g x f 【典型例题】例1、 求下列不等式的解集（1）01442>+-x x （2）0322>-+-x x例2、已知032>++a x x 的解集是}12{->-<x x x 或，求不等式012102<+-x ax 的解集.例3、解不等式（1）032<+-x x （2）254≤-+x x例4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ （1）2632+-=x x y (2)225x y -=例5、函数3222)(a b x a ax x f -++=，当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x 当，求)(x f 的解析式；例6、集合}1222{<-+=x x x A }054{2>-+=x x x B ，},11{R m m x m x C ∈+<<-= （1）求B A （2）若B A C ⊆，求m 的取值范围.例7、求不等式)12(2+-x x 0)532(2<--x x 的解集例8、解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++>【经典练习】1、如果62--x x 有意义，那么x 的取值范围是 .2、若012<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则a ＝________，b ＝________． 3、解下列一元二次不等式(1) )3)(1(x x --＜x 25- (2) )11(+x x ≥2)1(3+x (3)031≥+-x x （4）3115<++x x4、已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,求220cx x a -+->的解集5、不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围【课后作业】1、若10<<a ，那么不等式)1)((ax a x --0<的解是 （ ） A ．a x a 1<< B ．a x a <<1 C ．a x a x 1<>或 D ．a x ax <>或12、若关于x 的方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是.3、不等式0)1)(2(22<+--x x x 的解集为___________________________ 4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ （1）1062++=x x y (2)121232-+-=x x y5、已知集合}016{2<-=x x A ，集合}034{2>+-=x x x B ，求B A6、已知=A }0145{2<--x x x ，求=B },2{A y y x x ∈-=，求B A ，B A ．。

一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为(1)当a＞0时，解集为{x|x＞b a}.(2)当a＜0时，解集为{x|x＜b a}.2. 一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 图象一元二次方程的根有两相异实根x1＝－b－Δ2a，x2＝－b＋Δ2a有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞{x|x＜x1或x{x|x≠－b2a，x R0(a＞0)的解集＞x2} ∈R}ax2＋bx＋c<0(a＞0){x|x1＜x＜x2} ∅∅口诀：大于取两边，小于取中间．3．分式不等式的解法(1)f(x)g(x)＞0f(x)·g(x)＞0，f(x)g(x)＜0f(x)·g(x)＜0；(2)f(x)g(x)≥0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≥0，g(x)≠0，，f(x)g(x)≤0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≤0，g(x)≠0，；(3)f(x)g(x)＞mf(x)g(x)－m＞0f(x)－m·g(x)g(x)＞0．4．简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解，步骤是先求出各表达式为零时的根，再作图求解．作图口诀：“自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含义为，若对应根对应根为奇数个，则穿过该点，如果为偶数个，则作图时不穿过该点．例如解不等式x (x－1)2(x－2)3＞0，在作图时，由于0,2这两个根分别是1个、3个，有奇数个根，因此作图时应穿过；而1这个根有2个，也就是有偶数个，因此作图时不穿过，如下图所示：由图知不等式x (x －1)2(x －2)3＞0解集为{x |x ＜0或x ＞2}．5．几点注意事项(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＞0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分a ＝0和a ≠0讨论．(2)解分式不等式f (x )g (x )＞m 时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g (x )正负不确定．正确做法是移项将右边化为0，即化为f (x )g (x )－m ＞0，然后通分求解． 典例剖析题型一 一元二次不等式解法例1 解下列不等式(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2) x 2－3x ＋2≥0；解析 (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2≤x ≤43. (2) 原不等式可化为(x －1)(x －2)≥0，解得x ≤1或x ≥2． 所以原不等式的解集为{x | x ≤1或x ≥2}．变式训练 解不等式0＜x 2－x －2≤4解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.解题要点 求解一元二次不等式时，一般先通过变形，将不等式右边化为0，左边x 2前系数化为正，求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．题型二 分式不等式解法例2 不等式x －3x －1≤0的解集为________． 答案 {x |1<x ≤3}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)(x －1)≤0，x ≠1，∴1<x ≤3.变式训练 函数f (x )＝ 1－x x ＋2的定义域为________． 答案 (－2,1]解析 1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤1，x ≠－2⇔－2<x ≤1.解题要点 求解分式不等式时，需要将各个因式x 前系数化为正，然后也可以借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．但应注意等号问题，分母不可为0．题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题 例3 关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab >0的解集是{x |x <－1或x >4}，则a ＋b ＝________．答案 －3解析 由题意知，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴ a ＋1＝－3，ab ＝－4.∴ a ＝－4，b ＝1.∴ a ＋b ＝－3.变式训练 已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ＝________，c ＝________．答案 －1，－2 解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.解题要点 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与x 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过来，由一元二次不等式的解集，可以得到对应的一元二次方程的根，结合根与系数关系即可求出参数值． 题型四 一元二次不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－2x －1<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m <0（－2）2－4m （－1）<0，解得m <－1.变式训练 已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2，∴k >2或k <－ 2.解题要点 一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0.题型五 含参数一元二次不等式解法例5 解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2＞0(a ∈R ，a ≠0) 解析 由x 2－2ax －3a 2＞0知(x －3a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜3a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞3a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜3a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞3a 或x ＜－a .解题要点 对含参数一元二次不等式主要分三种讨论： 讨论二次项系数、讨论Δ，讨论两根的大小，具体如下：(1)当二次项系数含有参数应讨论是系数等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当堂练习1．（2015江苏）不等式2x 2－x ＜4的解集为________．答案 {x |－1＜x ＜2}解析 ∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.2．不等式x －2x 2－1<0的解集为________． 答案 {x |x <－1或1<x <2}解析 (x －2)(x 2－1)<0，(x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2．3. 不等式x －1x ＋2<0的解集为________． 答案 (－2,1)解析 原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，∴原不等式的解集为(－2,1)．4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．答案 (2,3)解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3).5．若关于x 的不等式12x 2＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.答案 3解析 由题知x ＝0或x ＝2是方程12x 2＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.课后作业一、 填空题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析 不等式x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1. 2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集为________．答案 {x |x ≥1或x ＝－2}解析 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m)＜0的解集为________． 答案 {x |m ＜x ＜1m }解析 当0<m <1时，m <1m. 4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为________．答案 {x |－1<x <12} 解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为{x |－1<x <12}. 5．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c ＞0的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 解析 由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)知a ＜0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以－4＋1＝－b a ，－4×1＝c a ，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a ＞0，即3x 2＋x －4＜0，解得－43＜x ＜1.。

【知识要点】1、一元二次不等式的概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式,称为一元二次不式.2、一元二次不等式的解法步骤：一元二次不等式ax2 bx c 。

或ax2 bx c 0 a 0的解集：设相应的一元二次方程ax2成c 0 a 0的两根为x1、x2且x1 x2 ,b2 4ac,则不等式的解的各种情况如下表：0 0 0一元二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象y ax2 bx c y ax2 bx c y ax2 bx c 一兀一次方程ax2bx c 0 a 0的根有两相异实根x i,x2(x i x2)有两相等实根bx i x2 _2a无实根ax2 bx c 0 (a 0)的解集xx x1 或x x2bx x1 2aRax2bx c 0(a 0)的解集xx1 x x23、解一元二次不等式的基本步骤：(1)整理系数，使最高次项的系数为正数;(2)尝试用“十字相乘法”分解因式；(3)计算b24ac(4)结合二次函数的图象特征写出解集。

4、对于分式不等式：1也0,它等价于f(x) g(x) 0g(x)[(D 0,它等价于f(x) 0且g(x) 0 g(x)四^ 0,它等价于f(x) g(x) 0 g(x)【典型例题】例1、求下列不等式的解集(1) 4x2 4x 1 0 (2) x2 2x 3 0例2、已知x2 3x a 。

的解集是｛xx2或x 1},求不等式ax2 10x 12 0 的解集例3、解不等式(1) J2 0x 3例5、函数f(x) 2ax 2b a3，当x (2,6), f(x) 求f(x)的解析式;例6、集合A {x 2x0,当x ( , 2) (6, ), f (x) 0,1){xx24x 5 0), C {x m 1 x m 1, m R)(1)求A B (2)若A C, 求m的取值范围. 例7、求不等式(x2 2x 1) (2x23x 5) 0的解集【经典练习】1、如果 & —有意义，那么x 的取值范围是2、若ax 2 bx 1 0的解集为3、解下列一元二次不等式4、已知关于的不等式的解集为【课后作业】1、若0 a 1,那么不等式(x a)(x1、 _ —)0的解是 a( )A • ax 1B . - x aC - x a 或 x—D . 1^x —或 x aa aaa2、若关于 2x 的方程x (m 1)x m有两个不相等的实数根， 那么m 的取值范围是5、已知集合 A {xx 2 16 0},集合 B {xx 2 4x 3 0}，求 A B⑴(x 1)(3 x) v 5 2x2x(x 11) > 3(x 1)5、不等式ax 2 4x a 12 .，2x 对一切R 恒成立，则实数 a 的取值范围6、已知A {xx25x 14 0},求B {xx y 2, y A},求A B, A B.。