人教版八年级数学上册习题：11.尺规作图(习题及答案)

2023年中考数学---《尺规作图》知识总结与专项练习题（含答案解析）知识总结1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2.基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

（5）过一点作已知直线的垂线．4.复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。

5.设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。

专项练习题1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段F A的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠ACB＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD 即为所求；（2）过点O 作OH ⊥BC 于H ，连接OB ，OC ．∵AD 是切线，∴OA ⊥AD ，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2． 9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的 ．（2）求证：四边形AEDF是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF＝DF，AE＝DE，进而得出DF∥AB，同理DE∥AF，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上F A＝FD，则可判断四边形AEDF为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵F A＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。

11.2.1 三角形内角和定理学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共10小题）1．（2018•昆明）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（）A．90° B．95° C．100°D．120°2．（2018•长春）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44° B．40° C．39° D．38°3．（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75° B．80° C．85° D．90°4．（2018•河北二模）如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C=90°，∠A=35°，则∠DBC的度数为（）A．40° B．30° C．20° D．10°5．（2018•河北模拟）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°6．（2018•大庆模拟）如图，△ABC 中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40° B．20° C．25° D．30°7．（2018•绿园区一模）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC 边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（）A．75° B．50° C．35° D．30°8．（2018•长春模拟）如图，在△ABC 中，点D在边BA的延长线上，∠ABC 的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M 的大小为（）A．20° B．25° C．30° D．35°9．（2018•裕华区一模）如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF=142°，则∠C的度数为（）A．38° B．39° C．42° D．48°10．（2018•津南区二模）如图，△ABC 纸片中，∠A=56°，∠C=88°．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB边上的点E处，折痕为BD、则∠EDB的度数为（）A．76° B．74° C．72° D．70°二．填空题（共8小题）11．（2018•永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE 相交于点D，则∠BDC= ．12．（2018•滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= ．13．（2018•微山县一模）如图，点E 在△ABC边BC的延长线上，CD平分∠ACE，若∠A=70°，∠DCA=65°，则∠B的度数是．14．（2018•兴化市一模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1= ．15．（2018•南开区模拟）如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1= ．∠A1BC的平分线与∠A1CD 的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010= ．16．（2018•岐山县三模）如图，AE 是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，∠DAE 度．17．（2018•下城区二模）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P，若∠BPC=110°，则∠A= °．18．（2018•安阳县一模）如图，△ABC 中，∠B=35°，∠BCA=75°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α= °三．解答题（共3小题）19．（2018•南岸区模拟）如图，BG ∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD=BD，∠A=23°，∠BCE=44°，求∠ACB的度数．20．（2018•门头沟区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．21．（2018•淄博）已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：∵CO=AO，∠AOC=130°，∴∠CAO=25°，又∵∠AOB=70°，∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°，故选：B．2．解：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：C．3．解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选：A．4．解：∵∠C=90°，∠A=35°，∴∠ABC=55°，由折叠可得，∠A=∠ABD=35°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=55°﹣35°=20°．故选：C．5．解：给图中标上∠1、∠2，如图所示．∵∠1+45°+90°=180°，∴∠1=45°，∵∠1=∠2+30°，∴∠2=15°．又∵∠2+∠α=180°，∴∠α=165°．故选：A．6．解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E=∠ECD﹣∠EBD，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，∵∠ACD﹣∠ABC=∠A=50°，∴（∠ACD﹣∠ABC）=25°，∴∠E=∠ECD﹣∠EBD=25°，故选：C．7．解：∵DE∥BC，∴∠DEC=∠ACF=140°，∴∠AED=180°﹣140°=40°，∵∠ADE=105°，∴∠A=180°﹣105°﹣40°=35°，故选：C．8．解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，∴∠ABC=40°，∵∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，∴∠ABM=20°，∠CAM=，∴∠M=180°﹣20°﹣50°﹣80°=30°，故选：C．9．解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣142°=38°，故选：A．10．解：∵∠A=56°，∠C=88°，∴∠ABC=180°﹣56°﹣88°=36°，∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，∴∠CBD=∠DBE=18°，∠C=∠DEB=84°，∴∠EDB=180°﹣18°﹣88°=74°．故选：B．二．填空题（共8小题）11．解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°，∴∠BDC=∠ADE=75°，故答案为75°．12．解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．故答案为：100°13．解：∵CD平分∠ACE，∠DCA=65°，∴∠ACE=2∠DCA=130°，又∵∠A=70°，∴∠B=130°﹣70°=60°，故答案为：60°．14．解：给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°=180°，∠2=30°，∴∠3=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠1=∠3=105°．故答案为：105°．15．解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，∴2∠A1CD=∠A+2∠A1BC，即∠A1CD=∠A+∠A1BC，∴∠A1==，由此可得∠A2010=．故答案为：，．16．解：∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠BAC=×128°=64°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣36°=54°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=64°﹣54°=10°．故答案为：10．17．解：如图所示：∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P，∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB，∵∠BPC=110°，∴∠PBC+∠PCB=70°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∴∠A=180°﹣140°=40°．故答案为：40．18．解：∵∠B=35°，∠BCA=75°，∴∠BAC=70°，∵由作法可知，AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAC=35°，∵由作法可知，EF是线段BC的垂直平分线，∴∠BCF=∠B=35°，∵∠ACF=∠ACB﹣∠BCF=40°，∴∠α=∠CAD+∠ACF=75°，故答案为：75．三．解答题（共3小题）19．解：∵AD=BD，∠A=23°，∴∠ABD=∠A=23°，∵BG∥EF，∠BCE=44°，∴∠DBC=∠BCE=44°，∴∠ABC=44°+23°=67°，∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°．20．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，∵AD是BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．21．证明：过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．。

八年级上册作图题及答案【篇一：八年级数学上册作图题精选】下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△abc（顶点均在格点上）关于直线de对称的△a1b1c1；（3分） (2)在de上画出点p，使pb1?pc最小；（2分）（3）在de上画出点q，使qa?qc最小。

（2分）2、贵港市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓a、b、c 的距离相等。

（1）若三所公寓a、b、c的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点p表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若∠bac＝56o，则∠bpc＝ o.3、已知，如图，角的两边上的两点m、n，求作：点p，使点p到oa、ob的距离相等，且pm=pn（保留作图痕迹）onb4、如图，直线ab和cd是两条交叉的马路，e、f两点是两座乡镇，现要在∠bod的区域内建一农贸市场，使它到两条马路的距离相等，且到两乡镇的距离也相等，请你利用尺规作图找出此点。

（保留作图痕迹，不要求写作法）5、（1）请画出△abc关于y轴对称的△a?b?c?（其中a?，b?，c?分别是a，b，c的对应点，不写画法）；（2）直接写出a?，b?，c?三点的坐标：fba?(_____)，b?(_____)，c?(_____)．6、某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由等腰三角形和正方形组成（个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案。

7、已知：△abc为等边三角形，Ｄ为ab上任意一点，连结bd．（1）在bd左下方，以bd为一边作等边三角形bde（尺规作图,保留作图痕迹,不写作法）．．．（2）连结ae，求证：cd＝ae8、如图：a、b是两个蓄水池，都在河流mn作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到a、b两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）a .b .9、如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；（2）涂黑部分成轴对称图形．图乙与图丙是一种涂法，请在图1～3中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）10、如图，已知在铁路l的同侧有两个工厂a和b，要在铁路边建一货场c，使a、b两厂到货场c的距离相等，试在图中作出货场c。

2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷03数学（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：八年级上册第11-13章5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（2022·浙江丽水·八年级期末）在以下中国银行、建设银行、工商银行、农业银行图标中，不是．．轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期中）下列各线段能构成三角形的是（ ） A ．7cm 、5cm 、12cm B ．6cm 、7cm 、14cm C ．9cm 、5cm 、11cmD ．4cm 、10cm 、6cm3．（2022·河南·漯河市第二实验中学八年级期末）如图所示，图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒4．（2022·江苏·宜兴市和桥镇第二中学七年级期中）如图，在ABC 中，A m ∠=，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠和1ACD ∠的平分线交于点2A ，得22015A A BC ∠∠和2015A CD ∠的平分线交于点2016A ，则2016A ∠为多少度？（ ）A ．20132m B ．20142m C ．20152m D ．20162m5．（2021·重庆·华东师范大学附属中旭科创学校八年级期中）如图，A B C D E F G H I J ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=（ ）A ．180︒B ．360︒C ．540︒D ．720︒6．（2022·山东威海·七年级期末）已知点P 是直线l 外一点，要求过点P 作直线l 的垂线PQ ．下列尺规作图错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2022·山东聊城·八年级期末）已知如图，在∠ABC 中，∠ACB 是钝角，依下列步骤进行尺规作图： （1）以C 为圆心，CA 为半径画弧；（2）以B 为圆心，BA 为半径画弧，交前弧于点D ； （3）连接BD ，交AC 延长线于点E明明同学依据作图，写出了下面四个结论，其中正确的是（ ）A ．∠ABC ＝∠CBEB ．BE ＝DEC ．AC ∠BDD ．S △ABC ＝12AC •BE8．（2020·天津市红桥区教师发展中心八年级期中）如图，△ABC 中，点D 是BC 边上一点，DE ∠AB 于点E ，DF ∠BC ，且BD =FC ，BE =DC ，∠AFD =155°，则∠EDF 的度数是（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°9．（2022·河南郑州·七年级期末）乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量一池塘两端A ，B 的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：乐乐：如图①，先在平地取一个可直接到达A ，B 的点C ，再连接AC ，BC ，并分别延长AC 至D ，BC 至E ，使DC AC =，EC BC =，最后测出DE 的长即为A ，B 的距离．明明：如图②，先过点B 作AB 的垂线BF ，再在BF 上取C ，D 两点，使BC CD =，接着过点D 作BD 的垂线DE ，交AC 的延长线于点E ，则测出DE 的长即为A ，B 的距离．聪聪：如图③，过点B 作BD AB ⊥，再由点D 观测，在AB 的延长线上取一点C ，使∠=∠BDC BDA ，这时只要测出BC 的长即为A ，B 的距离． 以上三位同学所设计的方案中可行的是（ ）A ．乐乐和明明B ．乐乐和聪聪C ．明明和聪聪D ．三人的方案都可行10．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在ABC 中，CAB ∠和CBA ∠的角平分线相交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，若PAB △，PAC △，PBC 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则有（ ）A ．123S S S <+B ．123S S S =+C ．123S S S >+D ．1232S S S =+11．（2022·重庆沙坪坝·七年级期末）如图，在Rt∠ABC 中，90ABC ∠=，45C ∠=，点E 在边BC 上，将∠ABE 沿AE 翻折，点B 落在AC 边上的点D 处，连结DE 、BD ，若5BD =．下列结论：①AE 垂直平分BD ；②112.5CEA ∠=︒；③点E 是BC 的中点；④∠CDB 的周长比∠CDE 的周长大5．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．（2022·云南红河·八年级期末）如图，在等边ABC 中，BC 边上的高6AD =，E 是高AD 上的一个动点，F 是边AB 的中点，在点E 运动的过程中，EB EF +存在最小值，则这个最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．813．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AB 上的点，且BE ＝CD ，AD 与CE 相交于点F ，连接BF ，延长FE 至G ，使FG ＝F A ，若∠ABF 的面积为m ，AF ：EF ＝5：3，则∠AEG 的面积是（ ）A ．25mB ．13mC ．38mD ．35m14．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．过点A 作AF //BC 且AF AD =，点E 是AC 上一点且AE AB =，连接EF ，DE ，连接FD 交BE 于点G ．下列结论中正确的有（ ）个．①FAE DAB ∠=∠；②BD EF =；③FD 平分AFE ∠；④ABDE ADEF S S =四边形四边形；⑤BD GE =A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上.15．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC ＝AE ，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使∠ABC ∠∠ADE ．（只写出一种即可）16．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，ED 垂直平分AB 于D ．若9AC =，则AE 的值是______．17．（2022·湖北·云梦县实验外国语学校八年级期中）如图，12l l ∥，点D 是BC 的中点，若∠ABC 的面积是10cm 2，则∠BDE 的面积是_______cm 2．18．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图所示，∠B 0C = 10°，点A 在OB 上，且OA = 1，按下列要求画图:以点A 为圆心、1为半径向右画弧交OC 于点1A 得到第1条线段1AA ；再以点1A 为圆心、1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得到第2条线段12A A ；再以点2A 为圆心、1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得到第3条线段23A A …这样画下去，直到得到第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n = _________ .三、解答题：本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分.19．（2021·河南·安阳市第五中学八年级期中）如图，AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，若∠B =42°，∠C =72°，求∠AEC 和∠DAE 的度数．20．（2022·四川眉山·七年级期末）点C 为BD 上一点，△ABC ∠△CDE ，AB =1，DE =2，∠B =110°．(1)求BD 的长； (2)求∠ACE 的度数．21．（2022·上海市曹杨第二中学附属学校七年级期末）如图，ABC 中，AB AC =，且D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点，BE CF =，DEF B ∠=∠，点G 是DF 的中点，猜想EG 和DF 的位置关系，并说明理由．22．（2021·贵州毕节·八年级期末）如图所示，在ABC 中，8AB =，4AC =，点G 为BC 的中点，DG BC ⊥交BAC ∠的平分线AD 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ．(1)求证：BE CF =； (2)求AE 的长．23．（2020·福建龙岩·八年级期末）如图，射线OK 的端点O 是线段AB 的中点，请根据下列要求作答：（1）尺规作图：在射线OK 上作点C D ，，连接AC BD ，，使=AC BD ＞12AB ；（2）利用（1）中你所作的图，求证：ACO BDO ∠=∠．24．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图1，∠ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，沿线段AB ，BC 运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．(1)当运动时间为t 秒时，BQ 的长为 厘米，BP 的长为 厘米．（用含t 的式子表示） (2)当t 为何值时，∠PBQ 是直角三角形；(3)如图2，连接AQ 、CP ，相交于点M ，则点P ，Q 在运动的过程中，∠CMQ 会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数．25．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有A B C D ∠+∠=∠+∠；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，若36ABC ∠=︒，16ADC ∠=︒，求P ∠的度数；(2)①在图3中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B 、D ∠的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B 、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B 、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．(3)在（2）的条件下，若40GHCS=，CE =15，请直接写出BF 的长．26．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）如图①，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC=BC ，l 是过点C 的任意一条直线，过A 作AD ∠l 于D ，过B 作BE ∠l 于E ．(1)求证：△ADC ∠△CEB ；(2)如图②延长BE 至F ，连接CF ，以CF 为直角边作等腰Rt FCG ，90FCG ∠=︒，连接AG 交l 于H ．试探究BF 与CH 的数量关系．并说明理由；2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷03（人教版2022）数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14B C B D B B A D D A C B A D1．B【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．选项B不能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．C【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意；B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意；C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意；D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意故选：C【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成三角形．3．B【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．【详解】解：根据题意，如图：︒-︒-︒=︒，根据三角形内角和定理，第一个三角形中边长为b的对角为：180606555∠图中的两个三角形是全等三角形，∠第一个三角形中边长为b 的对角等于第二个三角形中的∠α， ∠∠α=55︒． 故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 4．D【分析】先根据角平分线的定义以及三角形外角的性质证明112A A ∠=∠，同理211124A A A ==∠∠∠，321128A A A ==∠∠∠，4311216A A A ==∠∠∠，由此得出规律11122n n n A A A -==∠∠∠，从而得到答案．【详解】解：∠ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，∠1122ACD ACD ABC A BC ==∠∠，∠∠， ∠111A ABC ACD A A BC ACD +=+=∠∠∠，∠∠∠， ∠1122A A BC ACD +=∠∠∠，111222A A BC ACD ∠+∠=∠， ∠112A A ∠=∠，同理211124A A A ==∠∠∠，321128A A A ==∠∠∠，4311216A A A ==∠∠∠，，∠11122n n n A A A -==∠∠∠，∠201620162016122m A A ==∠∠，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知三角形外角的性质是解题的关键． 5．B【分析】先根据三角形的外角性质可得1A B ∠∠∠+=，5C D ∠∠∠+=，4E F ∠∠∠+=，3G H ∠∠∠+=，2I J ∠∠∠+=，12345∠+∠+∠+∠+∠正好是五边形的外角和为360︒． 【详解】解：如图：∠1A B ∠∠∠+=，5C D ∠∠∠+=，4E F ∠∠∠+=，3G H ∠∠∠+=，2I J ∠∠∠+=，12345360∠+∠+∠+∠+∠=︒，∠360A B C D E F G H I J ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及多边形的外角和，解题的关键是得出1A B ∠∠∠+=，5C D ∠∠∠+=，4E F ∠∠∠+=，3G H ∠∠∠+=，2I J ∠∠∠+=．6．B【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可． 【详解】A 、如图，连接AP 、AQ 、BP 、BQ ，∠AP =BP ，AQ =BQ ，∠点P 在线段AB 的垂直平分线上，点Q 在线段AB 的垂直平分线上， ∠ 直线PQ 垂直平分线线段AB ，即直线l 垂直平分线线段PQ ， 本选项不符合题意；B 、B 选项无法判定直线PQ 垂直直线l ，本选项符合题意；C 、如图，连接AP 、AQ 、BP 、BQ ，∠AP = AQ ，BP =BQ ，∠点A 在线段PQ 的垂直平分线上，点B 在线段PQ 的垂直平分线上， ∠ 直线AB 垂直平分线线段PQ ，即直线l 垂直平分线线段PQ ， 本选项不符合题意；D、如图，连接AC、BC、DP、PQ，∠AC=BC，AD=BD，∠点C在线段AB的垂直平分线上，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ 直线CD垂直平分线线段AB，∠390∠=︒由作图痕迹可知：12∠=∠，∠CD PQ，∠4390∠=∠=︒∠PQ∠AB，本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键．7．A【分析】根据作图得到AC=CD，AB=BD，证明∠ABC∠∠DBC，从而得到结论．【详解】解：由作图可知：AC=CD，AB=BD，∠BC=BC，∠∠ABC∠∠DBC（SSS），∠∠ABC=∠CBE，无法证明其余三个选项的结论，故选A．【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．D【分析】证明Rt △FDC ∠Rt △DEB （HL ），由全等三角形的性质得出∠DFC ＝∠EDB ＝25°，即可得出答案．【详解】解：∠∠AFD ＝155°， ∠∠DFC ＝25°， ∠DF ∠BC ，DE ∠AB ， ∠∠FDC ＝∠DEB ＝90°，在Rt △FDC 和Rt △DEB 中，CF BD CD BE =⎧⎨=⎩，∠Rt △FDC ∠Rt △DEB （HL ）， ∠∠DFC ＝∠EDB ＝25°，∠∠EDF ＝180°−∠BDE −∠FDC ＝180°−25°−90°＝65°． 故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 9．D【分析】在三个图中分别证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】解：在∠ABC 和∠DEC 中，DC ACDCE ACB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABC ∠∠DEC （SAS ）， ∠AB =DE ，故乐乐的方案可行； ∠AB ∠BF ， ∠∠ABC =90°， ∠DE ∠BF ， ∠∠EDC =90°， 在∠ABC 和∠EDC 中，ABC EDC BC CDACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABC ∠∠EDC （ASA ）， ∠AB =ED ，故明明的方案可行； ∠BD ∠AB ， ∠∠ABD =∠CBD ， 在∠ABD 和∠CBD 中，ABD CBD BD BDBDC BDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABD ∠∠CBD （ASA ）， ∠AB =BC ，故聪聪的方案可行， 综上可知，三人方案都可行， 故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 10．A【分析】过P 点作PD AB ⊥于D PE BC ⊥，于E PF AC ⊥，于F ，先根据角平分线的性质得到PD PE PF ==，再利用三角形面积公式得到123111222S AB PD S AC PF S BC PE =⋅=⋅=⋅，，，然后根据三角形三边的关系对各选项进行判断．【详解】解：过P 点作PD AB ⊥于D PE BC ⊥，于E PF AC ⊥，于F ，如图，CAB ∠和CBA ∠的角平分线相交于点P ，PD PF PD PE ∴==，，PD PE PF ∴==，123111222S AB PD S AC PF S BC PE =⋅=⋅=⋅，，， AB AC BC <+，123S S S ∴<+．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．11．C【分析】根据翻折后图形大小不变，三角形的外角和，三角形周长，即可判断出正确．【详解】∠ADE 是ABE △翻折而得的∠AB AD =，BAE DAE ∠=∠∠AE 垂直平分BD故①正确；∠Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒∠45BAC ∠=︒ ∠122.52CAE BAE BAC ∠=∠=∠=︒ ∠BAE ABC CEA ∠+∠=∠∠22.590112.5CEA ∠=︒+︒=︒故②正确；∠ADE 是ABE △翻折而得的∠BE DE =，90ADE ∠=︒∠90EDC ∠=︒∠45C ∠=︒∠45CED ∠=︒∠DE DC =∠DC DE BE ==，但BE CE ≠∠E 不是BC 的中点故③错误；∠55CDB C DC BC BD DC BE EC DC DE EC =++=+++=+++CDE C DC DE EC =++∠5CDB CDE C C -=故④正确．故正确的结论的是：①②④．故选：C ．【点睛】本题考查翻折的性质和三角形的知识，解题的关键是掌握翻折的性质，三角形外角和定理，三角形周长等．12．B【分析】先连接CE ，再根据EB =EC ，将FE +EB 转化为FE +CE ，最后根据两点之间线段最短，求得CF 的长，即为FE +EB 的最小值．【详解】解：如图，连接CE ，∠等边∠ABC 中，AD 是BC 边上的中线，∠AD 是BC 边上的高线，即AD 垂直平分BC ，∠EB =EC ，∠BE +EF =CE +EF ，∠当C 、F 、E 三点共线时，EF +EC =EF +BE =CF ，∠等边∠ABC 中，F 是AB 边的中点，∠AD =CF =6，即EF +BE 的最小值为6．故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．13．A【分析】先根据SAS 定理证出ACD CBE ≅，从而可得60AFG =︒∠，根据等边三角形的判定可得AFG 是等边三角形，再根据SAS 定理证出ACF ABG ≅，从而可得60BGC BAC AFG ∠=∠=︒=∠，根据平行线的判定可得AF BG ∥，从而可得AFG ABF S S m ==，然后根据:5:3AF EF =可得:2:5EG FG =，最后根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：∠ABC 是等边三角形，∠,60BC AC AB ACB CBA BAC ==∠=∠=∠=︒，在ACD △和CBE △中，BC AC ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()SAS ACD CBE ≅，∠CAD BCE ∠=∠，∠60BCE ACE ACB ∠+∠=∠=︒，∠60AFG CAD ACE BCE ACE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∠FG FA =，∠AFG 是等边三角形，,60AF AG FAG ∴=∠=︒，BAC BAD FAG BAD ∴∠-∠=∠-∠，即CAF BAG ∠=∠，在ACF 和ABG 中，AC AB CAF BAG AF AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACF ABG ∴≅，ACF ABG ∴∠=∠，又AEC BEG ∠=∠，60BGC BAC ∴∠=∠=︒，BGC AFG ∴∠=∠，AF BG ∴∥，AFG ABF S S m ∴==（同底等高），∠:5:3AF EF =，FG FA =，∠:5:3FG EF =，∠:2:5EG FG =，∠:2:5AEG AFG SS =， ∠2255AEG AFG S S m ==， 即AEG △的面积为25m ， 故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两组全等三角形是解题关键．14．D【分析】由“SAS ”可证∠ABD ∠∠AEF ，利用全等三角形的性质判断可求解．【详解】解：∠AD ∠BC ，AF ∠BC ，∠AF ∠AD ，∠∠F AD =∠BAC =90°，∠∠F AE =∠BAD ，故①正确；在∠ABD 和∠AEF 中，AB BE BAD EAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠AEF （SAS ），∠BD =EF ，∠ADB =∠AFE =90°，故②正确；∠AF =AD ，∠DAF =90°，∠∠AFD =45°=∠EFD ，∠FD 平分∠AFE ，故③正确；∠∠ABD ∠∠AEF ，∠S △ABD =S △AEF ，∠S 四边形ABDE =S 四边形ADEF ，故④正确；如图，过点E 作EN ∠EF ，交DF 于N ，∠∠FEN =90°，∠∠EFN =∠ENF =45°，∠EF =EN =BD ，∠END =∠BDF =135°，在∠BGD 和∠EGN 中，BDG ENG BGD EGN BD NE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BDG ∠∠ENG （AAS ），∠BG =GE ，故⑤正确，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．∠B ＝∠D （或∠C ＝∠E 或AB ＝AD ）【分析】根据等式的性质可得∠BAC ＝∠DAE ，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答．【详解】解：∠∠1＝∠2，∠∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ，∠∠BAC ＝∠DAE ，∠AE ＝AC ，∠再添加AB ＝AD ，利用“SAS”可以证明∠ABC ∠∠ADE ；添加∠B ＝∠D ，利用“AAS” 可以证明∠ABC ∠∠ADE ；添加∠C ＝∠E ，利用“ASA” 可以证明∠ABC ∠∠ADE ．故答案为：∠B ＝∠D （或∠C ＝∠E 或AB ＝AD ）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 16．6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得,AE BE ABE CBE A =∠=∠=∠，再根据三角形的内角和定理可得30CBE ∠=︒，设AE BE x ==，则9CE x =-，在Rt BCE 中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠， ED 垂直平分AB ，AE BE ∴=，ABE A ∴∠=∠，ABE CBE A ∴∠=∠=∠，又90C ∠=︒，90ABE CBE A ∴∠+∠+∠=︒，解得30CBE ∠=︒，设AE BE x ==，则9CE AC AE x =-=-，在Rt BCE 中，90C ∠=︒，30CBE ∠=︒，2BE CE ∴=，即()29x x =-，解得6x =，即6AE =，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．17．5【分析】利用平行线之间的距离相等可得∠ABC 和∠BDE 的高相等，再根据点D 是BC 中点可得∠ABC 的面积是∠BDE 面积的2倍，从而可得结果．【详解】解：∠12l l ∥，∠∠ABC 和∠BDE 的高相等，∠点D 为BC 中点，10ABC S =△cm 2，∠S △ABC=2S △BDE =10cm 2，∠S △BDE =5cm 2，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，利用平行线之间的距离处处相等得出∠ABC 和∠BDE 的高相等是解题的关键．18．8【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得1A AB ∠的度数，21A AC ∠的度数，32A A B ∠的度数，43A A C ∠的度数，依此得到规律，再根据三角形外角需要小于90°即可求解．【详解】解：由题意可知：1121,AO A A A A A A ==，…；则111212AOA OA A A AA A A A ∠=∠∠=∠，，…； ∠∠BOC =10°，∠12 20A AB BOC ∠=∠=︒，同理可得21324354 30 40 50 60A AC A A B A A C A A B ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，，，， 65768770 8090A A C A A B A A C ∠=︒∠=︒∠=︒，，，∠第9个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，∠最多能画8条线段；故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．19．∠AEC =75°，∠DAE =15°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据角平分线的定义得到∠BAE =∠CAE =12∠BAC =33°，根据三角形的外角性质求出∠AEC ，根据直角三角形的性质求出∠DAE ．【详解】解：∠∠BAC +∠B +∠C =180°，∠B =42°，∠C =72°，∠∠BAC =66°，∠AE 平分∠BAC ，∠∠BAE =∠CAE =12∠BAC =33°， ∠∠AEC =∠B +∠BAE =75°，∠AD ∠BC ，∠∠ADE =90°，∠∠DAE =90°-∠AEC =15°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．20．(1)BD 的长为3；(2)∠ACE 的度数为110°．【分析】（1）利用全等三角形的性质得到CD =AB =1，BC =DE =2，据此即可求得BD 的长；（2）利用全等三角形的性质得到∠ECD =∠A ，再利用三角形的外角性质即可求解．（1）解：∠△ABC ∠△CDE ，AB =1，DE =2，∠CD =AB =1，BC =DE =2，∠BD =BC +CD =2+1=3；（2）解：∠△ABC ∠△CDE ，∠∠ECD =∠A ，∠∠ACD =∠ACE +∠ECD =∠A +∠B ，∠∠ACE =∠B =110°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．21．EG 垂直平分DF ，理由见解析【分析】根据题意，证明BDE ∠CEF △可得ED EF =，根据等腰三角形三线合一，结合G 是DF 的中点，即可得证．【详解】EG 垂直平分DF ，理由如下：AB AC =，B C ∴∠=∠，DEC B BDE DEF FEC ∠=∠+∠=∠+∠，DEF B ∠=∠，BDE CEF ∴∠=∠，在BDE 和CEF △中，B C BDE CEF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDE ∴∠()CEF AAS ，ED EF ∴=， 又点G 是DF 的中点，EG ∴垂直平分DF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明BDE ∠CEF △是解题的关键．22．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）如图所示，连接BD ，CD ，先利用SAS 证明∠BGD ∠∠CGD 得到BD =CD ，再由角平分线的性质得到DE =DF ，即可利用HL 证明Rt ∠DEB ∠Rt ∠DFC 则BE =CF ；（2）证明Rt ∠ADE ∠Rt ∠ADF （HL ），得到AF =AE ，由（1）得BE =CF ，则AE =AF =AC +CF ，据此求出BE 的长，即可求出AE 的长．（1）解：如图所示，连接BD ，CD ，∠G 是BC 的中点，DG ∠BC ，∠BG =CG ，∠BGD =∠CGD =90°，又∠DG =DG ，∠∠BGD ∠∠CGD （SAS ），∠BD =CD ，∠AD 平分∠BAC ，DE ∠AB ，DF ∠AC ，∠DE =DF ，∠DEB =∠DFC =90°，又∠DB =DC ，∠Rt ∠DEB ∠Rt ∠DFC （HL ），∠BE =CF ；（2）解：在Rt ∠ADE 和Rt ∠ADF 中，AD AD DE DF =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠ADE ∠Rt ∠ADF （HL ），∠AF =AE ，由（1）得BE =CF ，∠AE =AF =AC +CF ，∠AB =AE +BE =AC +CF +BE =AC +2BE ，∠AB =8，AC =4，∠BE =2，∠AE =AB -BE =6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)根据尺规作图的步骤作图即可；（2）延长CO 至点E 使得OE OC =，连接BE ，先证明AOC BOE ∆≅∆，再证明∠DBE 是等腰三角形即可.【详解】（1）如图1,AC BD 、即为所求.（2）如图2，延长CO 至点E 使得OE OC =，连接BE∠O AB 点为线段的中点，=OA OB ∴，AOC BOE ∆∆在和中，∠=OC OE AOC EOB OA OB =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，AOC BOE ∴∆≅∆，,AC BE ACO OEB ∴=∠=∠，AC BD =又，BE BD ∴=，BDO OEB ∴∠=∠，ACO BDO ∴∠=∠.【点睛】本题考查了尺规作图和全等三角形，解题的关键是做辅助线把所证的角或线段放到两个全等的三角形中.24．(1)t ，（6﹣t ）；(2)2或4；(3)∠CMQ不会变化，始终是60°，理由见解析【分析】（1）根据点P、Q的速度都为1厘米/秒．得到BQ＝t厘米，AP＝t厘米，则BP=AB-AP=（6-t）厘米；（2）分当∠PQB＝90°时和当∠BPQ＝90°时，两种情况讨论求解即可；（3）只需要证明△ABQ∠△CAP得到∠BAQ＝∠ACP，则∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM ＝∠BAC＝60°，即∠CMQ不会变化．（1）解：∠点P、Q的速度都为1厘米/秒．∠BQ＝t厘米，AP＝t厘米，∠BP=AB-AP=（6-t）厘米，故答案为：t，（6﹣t）；（2）解：由题意得：AP＝BQ＝t厘米，BP=AB-AP=（6-t）厘米，①如图1，当∠PQB＝90°时，∠△ABC是等边三角形，∠∠B＝60°，∠∠BPQ＝30°，∠PB＝2BQ，得6﹣t＝2t，解得，t＝2，②如图2，当∠BPQ＝90°时，∠∠B＝60°，∠∠BQP＝30°，∠BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t），解得，t=4，∠当第2秒或第4秒时，△PBQ 为直角三角形；（3）解：∠CMQ 不变，理由如下：∠△ABC 是等边三角形，∠AB =AC ，∠ABC =∠CAB =60°，在△ABQ 与△CAP 中，60AB CA B CAP AP BQ t =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∠△ABQ ∠△CAP （SAS ），∠∠BAQ ＝∠ACP ，∠∠CMQ ＝∠ACP +∠CAM ＝∠BAQ +∠CAM ＝∠BAC ＝60°，∠∠CMQ 不会变化．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知等边三角形的性质是解题的关键．24．(1)26P ∠=︒ (2)①12P B D ∠=∠+∠（），理由见解析； ②1180()2P B D ∠=︒-∠+∠； ③190+()2P B D ∠=︒∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P +∠3=∠1+∠ABC ，∠P +∠2=∠4+∠ADC ，相加得到2∠P +∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC +∠ADC ，继而得到2∠P =∠ABC +∠ADC ，代入数据得∠P 的值；（2）①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P AD +∠P =∠PCD +∠D ，∠P AB +∠P =∠4+∠B ，分别用∠2，∠3表示出∠P AD 和∠PCD ，再整理即可得解；②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP +∠P +∠4+∠B =360°，∠2+∠P +∠PCD +∠D =360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP 和∠PCD ，再整理即可得解；③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD +∠B =∠BCD +∠D ，∠2+∠P =∠PCD +∠D ，分别用∠2，∠3表示出∠BAD 、∠BCD 和∠PCD ，再整理即可得解；（1）解：∠AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD，∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠∠2+∠3=∠1+∠4，由（1）的结论得：∠P +∠3=∠1+∠ABC ①，∠P +∠2=∠4+∠ADC ②，①+②，得2∠P +∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC +∠ADC，∠2∠P =∠ABC +∠ADC，∠∠P =12（∠ABC +∠ADC ）=12（36°+16°）=26°．（2）12P B D ∠=∠+∠（），理由如下： ①∠AP 平分∠BAD 的外角∠F AD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∠∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠P AD +∠P =∠PCD +∠D ③，∠P AB +∠P =∠4+∠B ④，∠∠P AB =∠1，∠1=∠2，∠∠P AB =∠2，∠∠P AD=∠P AB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，∠∠2+∠P =∠3+∠B ⑤，③+⑤得∠2+∠P +∠P AD +∠P =∠3+∠B +∠PCD +∠D ，∠∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D 即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∠12P B D∠=∠+∠（）．②11802P B D∠=︒-∠+∠（），理由如下：如图4，∠AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°∠2∠P+∠B+∠D=360°，∠11802P B D∠=︒-∠+∠（）；③1902P B D∠=︒+∠+∠（），理由如下：如图5，∠AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∠∠1=∠2，∠3=∠4，由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，⑨×2﹣⑧得：2∠P ﹣∠B =180°+∠D， ∠1902P B D ∠=︒+∠+∠（）．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．26．(1)证明见解析(2)2BF CH =，理由见解析(3)323【分析】（1）先根据垂直的定义可得90ADC CEB ∠=∠=︒，从而可得90DAC DCA ∠+∠=︒，再根据90ACB ∠=︒可得DAC ECB ∠=∠，然后根据AAS 定理即可得证；（2）作AM CG ∥交直线l 于点M ，连接GM ，先根据ASA 定理证出ACM CBF ≅△△，根据全等三角形的性质可得,CM BF AM CF ==，从而可得AM GC =，再根据ASA 定理证出AMH GCH ≅△△，根据全等三角形的性质可得MH CH =，由此即可得出结论； （3）先根据ADC CEB ≅可得15AD CE ==，再根据AMH GCH ≅△△可得40G AMH HC S S ==△，利用三角形的面积公式可得163MH =，然后根据MH CH =，2BF CH =即可得出答案．（1）证明：,AD DE BE DE ⊥⊥，90ADC CEB ∴∠=∠=︒，90DAC DCA ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90ECB DCA ∴∠+∠=︒，DAC ECB ∴∠=∠，在ADC 和CEB △中，ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADC CEB ∴≅△△．（2）解：2BF CH =，理由如下：如图，作AM CG ∥交直线l 于点M ，连接GM ，180MAC ACG ∴∠+∠=︒，3603609090180ACG BCF ACB FCG ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，MAC BCF ∠=∠∴，90ACM BCE ∠+∠=︒，90BCE CBF ∠+∠=︒，ACM CBF =∠∴∠，在ACM △和CBF 中，MAC FCB AC CB ACM CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ACM CBF ∴≅△△，,CM BF AM CF ∴==，Rt FCG 是等腰直角三角形，CF GC ∴=，AM GC ∴=，又AM CG ∥，MAH CGH ∴∠=∠，AMH GCH ∠=∠，在AMH 和GCH △中，MAH CGH AM GC AMH GCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AMH GCH ≅△△，MH CH ∴=，2BF CM CH ∴==．（3）解：如图，作AM CG ∥交直线l 于点M ，连接GM ，ADC CEB ≅△△，15CE =，15AD CE ∴==，AMH GCH ≅△△，40GHC S =， 40G AMH HC S S ∴==△，0124AD MH ∴⋅=，即420115MH =⨯， 解得163MH =， 又MH CH =，2BF CH =，3223BF MH ∴==． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的定义，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．。

图1 图2 1 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）2 如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS3 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④图3 图44 如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC=BD；④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④第1页5 观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PB C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ图5 图7 图86 已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条7 尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D 为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8 如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧9 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：②分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为．图9 图1010 如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、B C于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是°．第2页11 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=120°，则∠MAB的度数为．图11 图1212 如图，图中的两条弧属于同心圆，你认为是否存在一条也属于此同心圆的能平分此阴影部分的面积存在（填写“存在”或“不存在”）；若你认为存在，请你将图中的阴影部分分为面积相等但不全等的两部分，简要说明作法；若你认为不存在，请说明理由．．13 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：②分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE= ．图13 图14 14 如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．15 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．第3页图15 图1616 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．17 已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．18 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．/paper/34276/答案1 B 解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．2 C 解：如图，连接EC、DC．根据作图的过程知，在△EOC与△DOC中，，△EOC≌△DOC（SSS）．故选：C．3 B 解：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，故正确的有①②④，4 C 解：①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，∴BD垂直平分AC，故此小题正确；②在△ABC与△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴AC平分∠BAD，故此小题正确；③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故本小题错误；④∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是中心对称图形，故此小题正确．5 C 解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，∴A，B，D正确；∵PQ是∠APB的平分线，PA=PB，∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．6 B 解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．7 D 解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；在△OCP和△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（SSS）8 D 解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．9 105°解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠AC D=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，10 50 解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴CE=AE，∴∠C=∠CAE，∵AC=BC，∠B=70°，∴∠C=40°，∴∠AED=50°，11 30°解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=120°，∴∠CAB=60°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=30°．12 作OD的垂线OM，取OM=OA，连接MD，以MD为斜边作等腰直角三角形△MND，以O为圆心，以MN为半径作弧，交BC于Q，交AD于P，弧PQ即为所求．解：作OD的垂线OM，取OM=OA，连接MD，以MD为斜边作等腰直角三角形△MND，以O为圆心，以MN为半径作弧，交BC于Q，交AD于P，弧PQ即为所求．13 8 解：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠CBA=30°，∴∠EAB=∠CAE=30°，∴CE=AE=4，∴AE=8．14 解：（1）如图所示：（2）DE∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．15 解：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．16 （1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠CBA．17 解：（1）作图如图1：（2）证明：如图2，连接OC，∵OA=OC，∠A=25°∴∠BOC=50°，又∵∠B=40°，∴∠BOC+∠B=90°∴∠OCB=90°∴OC⊥BC∴BC是⊙O的切线．18 解：（1）如图：（2）AB与⊙O相切．证明：作OD⊥AB于D，如图．∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，∴OD=OC，∴AB与⊙O相切．。

中考数学专题练习《尺规作图》【知识归纳】一）尺规作图1．定义只用没有刻度的和作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．二）五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三）基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．【基础检测】1．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b +1），则a 与b 的数量关系为（ ）A ．a =bB ．2a +b =﹣1C ．2a ﹣b =1D ．2a +b =12.如图，已知△ABC ，以点B 为圆心，AC 长为半径画弧；以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，且点A ，点D 在BC 异侧，连结AD ，量一量线段AD 的长，约为（ ）A ．2.5cmB ．3.0cmC ．3.5cmD ．4.0cm3.如图，已知△ABC ，∠BAC=90°，请用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）4.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （4，3）、B （4，1），把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ．（1）画出△A 1B 1C ，直接写出点A 1、B 1的坐标；（2）求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD 的两条边AB 与BC ，且四边形ABCD 是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC ．（1）试在图中标出点D ，并画出该四边形的另两条边；（2）将四边形ABCD 向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．6．已知：线段a 及∠ACB ．求作：⊙O ，使⊙O 在∠ACB 的内部，CO=a ，且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．7．如图，OA=2，以点A 为圆心，1为半径画⊙A 与OA 的延长线交于点C ，过点A 画OA 的垂线，垂线与⊙A 的一个交点为B ，连接BC（1）线段BC 的长等于 ； （2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：A B C①以点为圆心，以线段的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由．【达标检测】一、选择题1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°2.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2，将弧○1于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是（）第10题图A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD=BC·AH D．AB=ADC．S△ABC二、填空题3.如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D 两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB=．4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是。

人教版八年级上册数学期末试卷一、单选题1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．将0.00000095用科学记数法表示为（）A ．70.9510-⨯B ．89.510-⨯C ．79.510-⨯D ．59510-⨯3．若分式方程233x m x x +=++无解，则m 的值为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．34．下列运算正确的是（）A ．2a aa +=B ．632a a a ÷=C ．()0-31π=D ．()21224a b a b --=5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A ．()2212x x x x --=--B ．()()25623x x x x -+=--C ．211x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．()()2224x x x +-=-6．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（）A ．5B ．4C ．7D ．67．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为AD 上一点，且EF ⊥BC 于点F ．若∠C=35°，∠DEF=15°，则∠B 的度数为（）A ．65°B ．70°C ．75°D ．85°8．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（）A ．8815 2.5x x+=B ．8184 2.5x x +=C ．88152.5x x =+D ．8812.54x x =+9．如图，在ABC 中，90,30A C PQ ∠=︒∠=︒,垂直平分BC ，与AC 交于点,P 下列结论正确的是（）A ．2PC PA <B ．2PC PA >C ．2AB PA <D ．2AB PA>10．如图，用尺规作图作已知角平分线，其根据是构造两个三形全等，它所用到的判别方法是（）A ．SASB ．AASC ．ASAD ．SSS二、填空题11．使分式211x x -+的值为0，这时x=_____．12．计算：22222155ab b a b ab a b+⋅-＝______________．13．已知点1(1,5)P a -和点2(2,1)P b -关于x 轴对称，则2016()b a +的值为_____________．14．若m+n=3，则2m 2+4mn+2n 2-6的值为________．15．已知6m x =，3n x =，则2m n x -的值为________．16．多项式x 2+2mx+64是完全平方式，则m =________．17．如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=24，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若NM=6，则OM=______________．18．如图，等边ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若2AE =，当EF CF +取最小值时，ECF ∠的度数为___________度．19．如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠=__________度．20．如图，BC=EC ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△DEC ，则应添加的一个条件为_____________（答案不唯一，只需填一个）三、解答题21．解分式方程：（1）21322x x x-+=--（2）262393x x x x x -+=+--22．化简求值：（1）()()()322484a b a b ab a bab +-+-÷，其中21a b ==，（2）2234221121x x x x x x ++-÷---+(，其中x 取﹣1，1，﹣2，﹣3中你认为合理的数．23．在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ．(1)求证：△ABE ≌△CBF ；(2)若∠CAE=30°，求∠ACF 度数．24．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 边上，且BE=CF ，AD+EC=AB ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数；（3）△DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A 为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．25．某公司计划购买A ，B 两种型号的机器人搬运材料．已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30kg 材料，且A 型机器人搬运1000kg 材料所用的时间与B 型机器人搬运800kg 材料所用的时间相同．（1）求A ，B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；（2）该公司计划采购A ，B 两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg ，则至少购进A 型机器人多少台？26．已知如图，AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．求证：AD 垂直平分EF ．27．已知：如图，已知△ABC(1)点A 关于x 轴对称的点A 1的坐标是，点A 关于y 轴对称的点A 2的坐标是；(2)画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(3)画出与△ABC 关于y 轴对称的△A 2B 2C 2．28．某农资公司购进甲、乙两种农药，乙种农药的单价是甲种农药单价的3倍，购买250元甲种农药的数量比购买300元乙种农药的数量多15，求两种农药单价各为多少元？参考答案1．C【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断即可求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，故本选项不合题意；B 、是轴对称图形，故本选项不合题意；C 、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00000095=79.510-⨯故选：C【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．A【详解】解：两边同乘以(x+3)得：x+2=m ，x=m-2，∵方程无解∴x+3=0，即m-2+3=0，∴1m =-，故选：A.4．C【分析】根据合并同类项法则、幂运算法则进行计算判断．【详解】A 、2a a a +=，故原计算错误；B 、633a a a ÷=，故原计算错误；C 、()0-31π=，故正确；D 、()21224a b a b ---=，故原计算错误；故选：C ．【点睛】本题考查整式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是关键．5．B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、()()2221x x x x --=-+，没有把一个多项式转化为几个整式积的形式，故A 错误；B 、把一个多项式转化为几个整式积的形式，故B 正确；C 、()()21+11x x x -=-，故C 错误；D 、()()2224x x x +-=-，整式的乘法，故D 不是因式分解．故选：B【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．6．D【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【详解】解：根据题意，得：（n-2）×180=360×2，解得n=6．故选：D ．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．7．A【详解】解：∵EF ⊥BC ，∠DEF=15°，∴∠ADB=90°-15°=75°．∵∠C=35°，∴∠CAD=75°-35°=40°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAC=2∠CAD=80°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°．故选A ．8．D【分析】根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．【详解】解：设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为：8812.54x x =+．故选D ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，列出方程即可．9．C【分析】由题意连接BP ，并根据垂直平分线的性质进行分析求解即可.【详解】解：连接BP则130C ∠∠︒＝＝．230∴∠︒＝2PC PB PA ∴＝＝．AB PB ＜，2AB PA ∴＜.故选：C.【点睛】本题考查垂直平分线相关，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键.10．D【分析】根据作图过程可知：OC=OD ，PC=PD ，又OP=OP ，从而利用SSS 判断出△OCP ≌△ODP ，根据全等三角形的对应角相等得出∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ，从而得出答案.【详解】解：由画法得OC=OD ，PC=PD ，而OP=OP ，所以△OCP ≌△ODP （SSS ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB.故答案为：D.【点睛】本题考查了用尺规作图作已知角平分线，三角形全等的判定，用尺规作图作已知角平分线，三角形全等的判定掌握是解题的关键．11．1【详解】由题意得211x x -+＝0，所以x 2-1=0且x+1≠0，解之得x=1，故答案为：1．12．3aa b-【分析】先把分子、分母分别分解因式，再约分计算．【详解】原式＝()()()22155b a b a b ab a b a b +⋅+-＝3a a b-，故填：3a a b-．【点睛】本题考查分式的乘法运算法则，熟练掌握因式分解是关键．13．1【详解】解：∵点()11,5P a -和点()22,1Pb -关于x 轴对称，∴a-1=2，b-1=-5，∴a=3，b=-4，∴()2016a b +=(-1)2016=1，故答案为：1．14．12【详解】解：原式=2（m 2+2mn+n 2）-6=2（m+n ）2-6=2×9-6=12故答案为：12．15．12【分析】逆运用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式对原式适当变形，再将值代入计算即可．【详解】解：2222()6312m n m n n m x x x xx -=÷=÷=÷=．故答案为：12．【点睛】本题考查幂的乘方公式的逆运用，同底数幂的乘法逆运用．熟练掌握相关公式是解题关键．16．±8【详解】根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，中间是加减首尾积的2倍，因此可知2mx=2×（±8）x，所以m=±8．故答案为±8．【点睛】此题主要考查了完全平方式，解题时，要明确完全平方式的特点：首平方，尾平方，中间是加减首尾积的2倍，关键是确定两个数的平方．17．9【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD即可求出OM的长．【详解】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，∵∠AOB=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=12OP=12．∵PM=PN，PD⊥MN，∴MD=ND=12MN=3，∴OM=OD﹣MD=12﹣3=9．故答案为：9．【点睛】本题考查的是含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键．18．30【分析】由等边三角形三线合一，可知：点B 和点C 关于AD 成轴对称，连接BE 交AD 于点F ，此时，EF CF +取得最小值，进而，求出ECF ∠的度数即可．【详解】∵ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∴点B 和点C 关于AD 所在直线成轴对称，连接BE 交AD 于点F ，则BF=CF ，∴EF CF +=EF+BF=BE ，即：此时，EF CF +取得最小值，∵等边ABC ∆的边长为4，2AE =，∴E 是AC 的中点，∴BE 平分∠ABC ，∵点F 是角平分线AD 与BE 的交点，∴CF 平分∠BCA ，即：∠FCA=12∠ACB=12×60°=30°，∴∠ECC=30°．故答案是：30．【点睛】本题主要考查等边三角形中，两线段和最小时，求角的度数，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长，是解题的关键．19．80【分析】先根据折叠的性质可得AD DF =，根据等边对等角的性质可得B BFD ∠=∠，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．【详解】解：DEF 是DEA △沿直线DE 翻折变换而来，AD DF ∴=，D 是AB 边的中点，AD BD ∴=，BD DF ∴=，B BFD ∴∠=∠，50B ∠=︒ ，180180505080BDF B BFD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：80．【点睛】本题考查的是折叠的性质，以及等边对等角、三角形内角和定理，熟知折叠的性质是解答此题的关键．20．AC=DC （答案不唯一）【详解】根据∠1=∠2可得∠BCA=∠ECD ，添加AC=DC 可以利用SAS 来进行判定；添加∠B=∠E 可以利用ASA 来进行判定；添加∠A=∠D 可以利用AAS 来进行判定.故答案为：AC=DC （答案不唯一）21．（1） 1.5x =；（2）无解【分析】（1）两边同乘2x -进行去分母，再求解整式方程，最后检验即可；（2）两边同乘()()33x x +-进行去分母，再求解整式方程，最后检验即可．【详解】（1）21322x x x-+=--解：两边同乘2x -得()2321x x +-=-解得 1.5x =检验：当 1.5x =时，20x -≠，∴ 1.5x =是原分式方程的解，（2）262393x x x x x -+=+--解：两边同乘()()33x x +-得()()()3623x x x x -+=-+解得3x =检验：当3x =时，()()330x x +-=，∴3x =不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的求解过程并注意检验是解题关键．22．（1）22a ab -，0；（2）11x x -+，2【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值；（2）首先把括号内的分式的分母分解因式，把除法转化为乘法，进行分式的加减，利用分配律计算，然后根据题意选择合理的数，代入即可．【详解】（1）原式2222a b b ab=-+-22a ab =-，当2a =，1b =时，原式22221=-⨯⨯0=；（2）原式()()()()()()22113411112x x x x x x x x ⎡⎤+-+=-⋅⎢⎥+-+-+⎣⎦()()()212112x x x x x -+=⋅+-+11x x -=+，由题意可知，1x ≠±且2x ≠-∴3x =-，当3x =-时，原式2=．【点睛】本题考查了整式和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．23．(1)见解析(2)∠ACF=60°【分析】（1）根据HL 可证明Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）由全等三角形的性质得出∠BCF ＝∠BAE ＝15°，则可得出答案．【详解】（1）证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AE CFAB BC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；（2）解：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠CAB ＝∠ACB ＝45°，又∵∠BAE ＝∠CAB ﹣∠CAE ＝45°﹣30°＝15°，由（1）知：Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°，∴∠ACF ＝∠BCF+∠ACB ＝15°+45°＝60°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）∠DEF=70°；（3）△DEF 不可能是等腰直角三角形，理由见解析；（4）当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°，理由见解析.【分析】（1）首先根据条件证明△DBE ≌△ECF ，根据全等三角形的性质可得DE=FE ，进而可得到△DEF 是等腰三角形；（2）由（1）中的全等得出∠BDE=∠CEF ，再由角之间的转化，从而可求解∠DEF 的大小；（3）由于AB=AC ，可得∠B=∠C≠90°=∠DEF ，从而可确定其不可能是等腰直角三角形；（4）先猜想出∠A 的度数，则可得∠EDF+∠EFD=120°，根据前面的推导过程知∠EDF+∠EFD=120°时，∠DEF=60°，再由∠B=∠DEF 以及等腰三角形的性质继而推得猜想的正确性.【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵AD+EC=AB ，AB=AD+BD ，∴BD=CE ，在△BDE 和△CEF 中，BD CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CEF （SAS ）∴DE=EF ，∴△DEF 是等腰三角形；（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE ，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，由（1）知△BDE ≌△CEF ，则∠BDE=∠CEF ，∴∠DEF=∠B ，∵∠A=40°，∴∠B=∠C=()1180402⨯︒-︒=70°，∴∠DEF=70°；（3）△DEF 不可能是等腰直角三角形，∵AB=AC ，∴∠B=∠C≠90°，由（2）知∠DEF=∠B ，∴∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形；（4）当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°，理由是：当∠EDF+∠EFD=120°时，则∠DEF=180°-120°=60°，∴∠B=∠DEF=60°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，∴当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定和性质问题，能够熟练掌握和灵活运用相关质是解题的关键.25．（1）A 型机器人每小时搬运150千克材料，B 型机器人每小时搬运120千克材料；（2）至少购进A 型机器人14台．【分析】（1）设B 型机器人每小时搬运x 千克材料，则A 型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A 型机器人搬运1000kg 材料所用的时间与B 型机器人搬运800kg 材料所用的时间相同建立方程求出其解即可得；（2）设购进A 型机器人a 台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg 列出不等式进行求解即可得．【详解】（1）设B 型机器人每小时搬运x 千克材料，则A 型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据题意，得100080030x x=+，解得：x=120，经检验，x=120是所列方程的解，当x=120时，x+30=150，答：A 型机器人每小时搬运150千克材料，B 型机器人每小时搬运120千克材料；（2）设购进A 型机器人a 台，则购进B 型机器人（20﹣a ）台，根据题意，得150a+120（20﹣a ）≥2800，解得a≥403，∵a 是整数，∴a≥14，答：至少购进A 型机器人14台．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系以及不等关系是解题的关键．26．见解析【分析】根据角平分线的性质可得DE DF =，易证AE AF =，即△AEF 为等腰三角形，根据三线合一可证结论．【详解】证明：∵AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE DF =，∴12∠=∠，∵90AED AFD ∠=∠=︒，∴3=4∠∠，∴AE AF =，∵AD 是等腰三角形AEF 的顶角平分线，∴AD 垂直平分EF （三线合一）【点睛】本题考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质—“三线合一”的应用，熟练掌握性质是解题的关键．27．(1)(－4，－2)，(4，2)；(2)图形见解析(3)图形见解析【分析】（1）分别利用关于x 轴以及y 轴对称点的性质得出对应点坐标即可；（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标即可；（3）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标即可．【详解】解：（1）（－4，－2），（4，2）；（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（3）如图所示：△A2B2C2，即为所求．28．10元、30元.【分析】设甲农药的单价为x元，乙农药的单价为3x元，根据购买250元甲农药的数量比购买300元乙农药的数量多15件列出方程，求出方程的解即可得到结果；【详解】解：设甲农药的单价为x元，乙农药的单价为3x元，根据题意得，250360-=15x3x，解得x=10，经检验，x=10是所列方程的根，∴3x=3×10=30（元），答：甲、乙两种农药品的单价分别为10元、30元.【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，掌握分式方程是解题的关键.。

尺规作图（人教版）试卷简介:本套试卷集中测试学生的几何作图能力和数学语言的精准表达。

尺规作图和规范的几何用语是学生做几何证明题需要具备的基本能力，本套试卷可以检测同学们这一块的问题,通过不断发现问题，寻找资源解决问题，提升自己的数学水平。

一、单选题(共10道，每道10分)1.尺规作图是指( )A.用直尺规范作图B.用刻度尺和圆规作图C.用没有刻度的直尺和圆规作图D.用量角器和无刻度的直尺作图答案：C解题思路：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．“尺”指没有刻度的直尺、“规”指圆规，故选C．试题难度：三颗星知识点：尺规作图的定义2.下列关于作图的语句中正确的是( )A.画直线AB=10厘米B.画射线OB=10厘米C.已知A,B,C三点,过这三点画一条直线D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行答案：D解题思路：做这类题要结合定义、定理来思考：（1）A选项：直线没有端点，向两端无限延伸，故无法度量，A错误，（2）B选项：射线有一个端点，向一端无限延伸，也无法度量，B错误；（3）C选项：两点确定一条直线，但是不能保证第3点也落在直线上，C错误；（4）D选项，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，而且利用尺规作图可以实现．具体实现方法，同学们可以自己尝试，在尝试的基础上去学习“2013~2014八年级上册数学拔高课人教版→→初中数学全等三角形拔高课→→第1讲尺规作图→→第7题”．故选D试题难度：三颗星知识点：尺规作图&mdash;&mdash;几何语言的规范使用3.下列作图语句中,不准确的是( )A.过点A,B作直线ABB.以O为圆心作弧C.在射线AM上截取AB=aD.延长线段AB到D,使DB=AB答案：B解题思路：尺规作图是指利用没有刻度的直尺和圆规作图，几何作图重在操作的准确性和几何用语的规范性。

需注意两点：①直尺必须没有刻度，所以只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。

2021年人教版数学八年级上册第十一章《三角形》测试卷（十一）姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、单项选择题。

(每小题1分，共10分)1．在如图所示的图形中，三角形有（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个2．在△ABC中，若三条边长均为整数，周长为11，且有一条边长为4，则这个三角形最长边可能取值的最大值是（）A. 7B. 6C. 5D. 43．已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A. 2B. 3C. 5D. 134．若一个三角形的两条边长分别为3和8，而第三条边长为奇数，则第三条边长为（）A. 5或7B. 7C. 9D. 7或95．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）评卷人得分A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短6．如图，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（）A. 120°B. 115°C. 110°D. 105°7．一副三角尺有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A. 165°B. 120°C. 150°D. 135°8．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠a的度数为（）A. 75°B. 60°C. 65°D. 55°9．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（）A. 110°B. 108°C. 105°D. 100°10．如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形二、填空题。

人教版八年级数学上册第11章尺规作图（讲义）➢课前预习1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，其中“尺”指没有刻度的直尺，作用是作线；“规”指_________，作用是_______和_______．2.读一读，背一背常见的几何语言，并在旁边画一画：①连接AB；②延长线段AB到点C，使BC=AB；③延长线段AB交线段CD的延长线于点E；④过点A作AB∥CD；⑤过点A作AB⊥CD于点E．➢知识点睛1.基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的角平分线．书写作法时注意：________________，________________．2.应用作图：①______________________，设计作图方案；②调用__________________完成图形．➢精讲精练1.作一条线段等于已知线段．已知：如图，线段a．求作：线段AB，使AB=a．作法：（1）作射线AP；（2）以_________为圆心，_______为半径作弧，交射线AP于点B．___________即为所求．），作一条线段，使它等于2a-b．2.已知线段a，b（a bab3.作一个角等于已知角．已知：如图，∠ABC．求作：∠DEF，使∠DEF=∠ABC．A作法：（1）作射线EF ；（2）以________为圆心，_______为半径作弧，交BA于点M ，交BC 于点N ；（3）以____为圆心，____为半径作弧，交EF 于点P ； （4）____________，__________作弧，交前弧于点D ； （5）作射线ED ． ∠DEF ______________．证明：如图，连接________，________．在___________和___________中，______________________________________________________⎧⎪⎨⎪⎩（已作）（已作）（已作） ∴____________________（） ∴____________________4. 作一个已知角的倍角．5. 过直线外一点作已知直线的平行线．已知：如图，A 是直线MN 外一点． 求作：直线AB ，使AB ∥MN ．NMA6.已知两边及夹角作三角形．已知：如图，线段m，n，∠α．求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n．αn m7.作已知角的角平分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）．AOB作法：（1）________________，__________________作弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以______，______为圆心，______________为半径作弧，两弧在________________交于点P；（3）_________________________．______________________________．8.作已知角的四等分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，OQ，OM，使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB（即OP，OQ，OM四等分∠AOB）．AOB9.为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的扇形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M在广场的两个入口P，Q的连线上（P，Q的位置如图所示），且到广场两边AB，AC的距离相等．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置（不写作法，保留作图痕迹）．10.请画出草图，解决下列问题：（1）在△ABC中，点D是AC边的中点，连接BD，若AB=5，BC=3，则△ABD和△BCD的周长的差是____________．（2）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，则∠AED和∠EDB的数量关系是________________________．（3）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO与CO交于点O，过点O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则DE_____BD+CE（选填“>”、“<”或“=”）．（4）已知：在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，过点E作ED∥AC 交BC于D，过D作DF∥CE交AB于F，则∠EDF和∠BDF的数量关系是_____________________．（5）已知：在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，BD平分 ABC交AC于点D，CE ⊥BD交BD延长线于点E，则∠ECD=_______．（6）若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．【参考答案】➢课前预习1.圆规、度量、截取2.略➢知识点睛1.点线取名称，作弧说心径2.①画出草图②基本作图➢精讲精练1.点A a长线段AB图略2. 略3. 作法：（1）作射线EF ；（2）以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交BA 于点M ，交BC 于点N ；（3）以点E 为圆心，BM 长为半径作弧，交EF 于点P ； （4）以点P 为圆心，MN 长为半径作弧，交前弧于点D ； （5）作射线ED ．DEF ∠即为所求．证明：连接MN ，DP ． 在BMN △和EDP △中BM EDBN EP MN DP =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已作）（已作）（已作）SSS BMN EDP DEF ABC≅∠=∠∴△△（）∴ 4. 略5. 略6. 略7. （1）以点O 为圆心任意长为半径（2）点M点N大于12MN 长 AOB ∠内部（3）作射线OP 射线OP 即为所求 8. 略 9. 略 10. （1）2 （2）2AED EDB ∠=∠ （3）=（4）EDF BDF ∠=∠（5）15°（6）50°或130°尺规作图（随堂测试）1. 已知两角及其夹边作三角形．已知：∠α，∠β，线段m ．求作：△ABC ，使∠A =∠α，AB =m ，∠B =∠β（不写作法，保留作图痕迹）．αmβ2.已知：在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DG∥AB交AC于G，E为AB上任一点（不与A，B重合），过点E作EF∥AD交BC于F，则∠BEF与∠ADG的数量关系是____________________．【参考答案】1.略2.∠BEF=∠ADG尺规作图（习题）➢巩固练习3.下列作图语言描述正确的是（）A．延长线段AB至点C，使AB=ACB．过∠AOB内部一点P，作∠AOB的平分线C．以点O为圆心，AC长为半径作弧D ．在射线OA 上截取OB =a ，BC =b ，则有OC =a +b 4. 已知边长作等边三角形．已知：线段a ．求作：等边△ABC ，使△ABC 的三边长均为a ．作法：（1）作线段_____________；（2）分别以______，______为圆心，_______为半径作弧，两弧交于________； （3）连接________，_________． ____________________．5. 按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．已知：如图，∠ABC ． 求作：∠DEF ，使∠DEF =∠ABC ．6. 已知∠AOB =45°，点P 在边OA 上．请以点P 为顶点，射线P A 为一边作∠APC =∠O （作出所有可能的图形）．a32ACB7. 如图，分别过A ，B 两个加油站的公路l 1，l 2相交于点O ，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P 满足在两个加油站的连线上，且到两条公路l 1，l 2的距离相等．请用尺规作图作出点P （保留作图痕迹）．8. 请画出草图，并根据图形完成下列各题：（1）在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点B 作BF ∥AD交CA 的延长线于点F ，则AF 和AB 的数量关系是_________________．（2）在△ABC中，点D是BC上的一点，过D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则∠EDF与∠A的数量关系是__________________．（3）已知，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，若AD与CE所夹的锐角是58°，则∠ABC=______．（4）已知，在锐角△ABC中，∠BAC=50°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，若∠EBC=20°，则∠ADC=_______．➢思考小结阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有次数限制．他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑．在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活．他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度．另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题．尺规作图三大难题：①化圆为方问题求一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的面积相等；②三等分角问题求一角，使其角度是一已知角度的三分之一；③倍立方问题求一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍．【参考答案】1. C2.作法：（1）作线段AB使AB=a；（2）分别以点A，点B为圆心，a长为半径作弧，两弧交于点C；（3）连接AC，BC．△ABC即为所求．3.略4.略（有两种情况）。

尺规作图汇总一、（作一个角等于已知角）1．已知AOB ∠，利用尺规作A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．（不写作法，保留作图痕迹）2．在△ABC 中，在边AC 上找一点D ，使得∠CBD ＝∠A ．请用尺规作图的方法找出点D 的位置（要求：不写作图过程，保留作图痕迹）．3．作图题．已知，α∠，∠β，且α∠大于∠β，求作AOB αβ∠=∠-∠（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图）4．尺规作图：以点B 为顶点，射线BC 为一边，作EBC ∠，使∠EBC =∠A （不写作法，只保留作图痕迹）．5．如图，AD是一条公路桥梁，现要在上游B处再建一座与AD平行的大桥BE，请用尺规作出BE的方向．（不写作法，保留作图痕迹）二、（作一个角的角平分线）6．尺规作图：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，这个集贸市场应建于何处？（不写作法，保留作图痕迹）7．如图，已知△ABC，利用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）(1)作△ABC的角平分线AD；(2)在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，直接写出CD和AB的关系．8．如图，已知△ABC，利用尺规在BC上找一点D，使得∠BAD＝∠CAD．（保留作图痕迹，不写作法）9．如图，已知ABC V ，请利用尺规作图法在AC 上求作一点P ，使得BP 平分.(ABC 保留作图痕迹，不写作法)10．在△ABC 内找一点P ，使它到各边距离相等．11．如图，已知MN P BC ．求作：在MN 上确定一点P ，使点P 到AB ，BC 的距离相等．12．已知：如图公路AE 、AF 、BC 两两相交．求作：加油站O ，使得O 到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）三、（作垂线）13．如图，过直线m 外的一点P ，画出直线m 的垂线段PC ．14．如图，已知△ABC ，试用直尺和圆规作出△ABC 的角平分线CE 、高AD ．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）15．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒．(1)用直尺和圆规作斜边AB 的垂直平分线，交BC 于点P （不写作法，保留作图痕迹）(2)写出PC ，PA ，BC 之间的数量关系并加以证明．16．尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)如图，已知ABC V ，求作ABC V 的高AD ．17．如图，已知△ABC ．(1)作中线AD ；(2)尺规作出角平分线BE ；(3)作BC 边的高线．18．尺规作图：如图，在两条公路OA和OB之间，要建一个加油站P，使加油站P到两村庄M、N的距离相等，且到两条公路的距离相等．保留作图痕迹，不写作图步骤．19．尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹）∠的对称轴AM．(1)如图，作BAC∠边AC上一点，在AM上找一点F，使F点到点A、E距离相等．(2)点E为BAC20．如图，已知ABC△．(1)画中线AD；(2)画ABD△的高BE及ACD△的角平分线CF．参考答案：1．见解析【分析】根据尺规作图的步骤逐步完成即可求解：①画射线O B ''，②以O 为圆心，任意长为半径作弧交OA 于C ，交OB 于D ，③以O '为圆心，以同样长(OC 长)为半径作弧，交O B ''于D '，④以D '为圆心，CD 长为半径作弧交前弧于C '，⑤过C '作射线O A ''，则A O B '''∠即为所求．【详解】解：如图所示，A O B '''∠即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的步骤．2．见解析【分析】根据作一角等于已知角的方法作图即可．【详解】解：如图，点D 即为所求．【点睛】此题考查了作图—作一角等于已知角，熟练掌握作图方法是解题的关键．3．见解析【分析】在射线OC 的同侧作∠AOC =α∠，∠BOC =∠β，即可解决问题．【详解】解∶如图，∠AOB 即为所求．【点睛】本题考查作图——基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于常考题型．4．图见解析【分析】分①EBC ∠在射线BC 的上方和②EBC ∠在射线BC 的下方两种情况，根据作一个角等于已知角的尺规作图方法即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①当EBC ∠在射线BC 的上方时，如图，EBC ∠即为所作．②当EBC ∠在射线BC 的下方时，如图，EBC ∠即为所作．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，熟练掌握尺规作图，并分两种情况是解题关键．5．见解析【分析】根据同位角相等，两直线平行画出内错角相等即可．【详解】解：如图所示，BE 即为所求作：【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的判定的应用，主要考查学生的动手操作能力和理解能力．6．(1)画图见解析(2)画图见解析，,,AB CD AB CD =∥ 证明见解析【分析】（1）以A 为圆心，任意长为半径画弧，交AB ，AC 于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间距离的一半为半径画弧得到两弧的交点，过三角形的顶点A 与两弧交点作射线，于BC 交于点D ，则线段AD 即为所求；（2）先以C 为圆心，任意长为半径画弧，得到两弧与CA ，CB 的交点G ，H ，再以A 为圆心，CG 为半径画弧，与AC 的交点为J ，再以J 为圆心，GH 为半径画弧，两弧的交点I ，再以A 为端点，过I 画射线AE ，再在射线AE 上截取AD =BC ，连接CD ，再证明即可．（1）解：线段AD 即为所求作的ABC V 的角平分线，（2）如图，画图如下：由作图可得：,,AD BC ACB CAE =∠=∠ 而,AC CA =∴,ACB CAD V V ≌∴,,AB CD CAB ACD =∠=∠∴.AB CD ∥∴,AB CD 的关系是,.AB CD AB CD =∥【点睛】本题考查的是作三角形的角平分线，作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握作图的基本方法是解本题的关键．7．图见解析，这个集贸市场应建于何处公路、铁路的角平分线上．【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知集贸市场在公路、铁路相交的角平分线上．【详解】解：如图所示：答：这个集贸市场应建于何处公路、铁路的角平分线上．【点睛】此题考查了作图与应用设计，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．8．见解析【分析】作∠BAC的平分线即可．【详解】解：如图，点D为所作．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．9．见解析【分析】根据要求作出图形即可．【详解】解：如图，点P即为所求．【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．10．见解析【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可．【详解】解：∵点P到△ABC的三边的距离相等，∴点P应是△ABC三条内角平分线的交点．如图：【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．11．见解析【分析】作出∠ABC的角平分线，与MN的交点即为点P．【详解】解：如图所示：P 点即为所求．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等的性质是解题的关键．12．作图见解析【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得．【详解】解：作法如下：1．尺规作出∠A 、∠EBC 、∠BCF 中任意两个角的角平分线，交点即为1O 点；2．尺规作出∠A 、∠ABC 、∠ACB 中任意两个角的角平分线，交点即为2O 点．证明： 点1O 是∠A 与∠BCF 平分线的交点，∴点1O 到公路AE 、AF 、BC 的距离相等；点2O 是∠A 与∠ABC 平分线的交点，∴点2O 到公路AE 、AF 、BC 的距离相等；∴点1O 、点2O 即为所求作的点【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解决本题的关键．13．见解析【分析】过P 点作m 的垂线即可．【详解】如图，垂线段PC 即为所求．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．14．见解析【分析】利用基本作图（过一点作直线的垂线），过点A作AD⊥BC于D得到高AD，利用作已知角的平分线作CE平分∠ACB．【详解】解：如图，CE和AD为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．15．(1)见解析(2)BC PC PA=+，理由见解析【分析】（1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到PA PB=，则BC PC PA=+．（1）解：如图，点P为所作，；（2）解：BC PC PA=+．理由：∵点P为AB的垂直平分线与BC的交点，∴PA PB=，∴PC PA PC PB BC+=+=．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质．16．见解析【分析】以点A为圆心，任意长为半径画圆，交BC于点E，F，再作线段EF的垂直平分线即可．【详解】解：如图，AD即为所求．．【点睛】本题考查了尺规作图之过直线外一点作已知直线的垂线，熟知过直线外一点作直线垂线的作法是解答此题的关键．17．(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）作线段BC的垂直平分线可得BC的中点D，连接AD即可．（2）根据角平分线的作图步骤作图即可．（3）根据高线的作图步骤作图即可．（1）解：如图，AD即为所求．（2）解：如图，BE即为所求．（3）解：如图，AF即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握角平分线、中线和高线的作图步骤是解答本题的关键．18．见解析【分析】作∠AOB的平分线，再作线段MN的垂直平分线，两线的交点P就是所求点．【详解】解：如图所示：点P即为所求．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法．19．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作出∠BAC的角平分线即可；（2）作线段AE的垂直平分线，与AM的交点即为点F．（1）解：如图：AM即为所求．（2）解：如图：点F即为所求．【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、垂直平分线的作法等知识，角的对称轴为其角平分线，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．20．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作BC的垂直平分线交BC于点D，即D为BC中点，连接AD，AD即ABC△为中线；（2）以B为圆心，BD为半径画弧交AD的延长线于点G，再分别为D、G为圆心，以大于DG一半的长度为半径画弧，两弧分别交于两个点，连接这两个交点的直线交AD的延长线于点E，该直线经过B点，BE即为所求；以C为圆心，以任意长度画弧，交AC、CD于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，将该点与C点连接，交AD于点F，则角平分线AD即为所求．（1）分别为B、C为圆心，以大于BC一半的长度为半径画弧，两弧分别交于两个点，连接这两个交点的直线交BC于点D，连接AD，作图如下：即中线AD即为所求；（2）以B为圆心，BD为半径画弧交AD的延长线于点G，再分别为D、G为圆心，以大于DG 一半的长度为半径画弧，两弧分别交于两个点，连接这两个交点的直线交AD的延长线于点E，即该直线是DG的垂直平分线，根据作图可知B点在DG的垂直平分线，即该直线经过B 点，作图如下：即高线BE即为所求；以C为圆心，以任意长度画弧，交AC、CD于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN 一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，将该点与C点连接，交AD于点F，连接CF，作图如下：即角平分线CF即为所求．【点睛】本题主要考查了基本作图，掌握垂直平分线和角平分线的尺规作图法是解答本题的关键．。

八年级数学上册11—13章综合检测一、选择题(每题3分，共30分)1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是()A B C D2．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是() A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°（第2题图）（第4题图）（第6题图）（第7题图）3．一个多边形的每个内角相等，每个内角与相邻外角的差为100°，那么这个多边形是()A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是()A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB＋BCC．AD＝BD＝BC D．点D是线段AC的中点5．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是()A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，点P是AD上的一个动点，要使PC＋PB 最小，则点P应满足()A．PB＝PC B．PA＝PD C．∠BPC＝90° D．∠APB＝∠DPC7．如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA，垂足为A，根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是()A．点O在点A的南偏东60°方向上 B．点B在点A的北偏东30°方向上C．点A在点B的北偏东60°方向上 D．点B在点O的北偏东30°方向上8．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为()A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7（第8题图）（第9题图）（第10题图）（第11题图）（第12题图）9．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为() A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C 不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在D点的运动过程中DE＋CF的值() A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．不确定二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，要添加一个条件是_________________．(只需写一个条件)12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3).则点B的坐标为___________．13．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为____________．（第13题图）（第15题图）（第16题图）（第18题图）14．若A(x，3)关于y轴的对称点是B(－2，y)，则x＝____，y＝____，点A关于x轴的对称点的坐标是_______________．15．如图所示，△ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于E，已知∠B＝50°，则∠CAE的度数为____．16．如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE＝_____________．17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”，若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝__或__．18．如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD＝BF；②BF＝AF；③AC＋CD＝AB；④AB＝BF；⑤AD＝2BE.其中正确的结论有____________.(填序号)三、解答题(共66分)19．(8分)如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C.求证：△ABF≌△DCE.20．(8分)如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＝∠C＝90°.求证：∠B＝∠DEF＋∠EDG.21．(8分)如图所示，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．22．(8分)在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(－3，－1).(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出C2的坐标．23．(10分)如图，在Rt△ADE中，∠E＝90°，∠A＝30°，AD＝4，点B是AE上一点，连接BD，将△ADB沿着BD翻折得到△CDB，恰好BC⊥AE，求BE的长．24．(12分)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝∠A，∠ACB ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕着点D 旋转，它的两边分别交AC ，CB(或它们的延长线)于点E ，F ，当∠EDF 绕着点D 旋转到DE⊥AC 于E 时(如图①)，易证S △DEF ＋S △CEF ＝12 S △ABC ；当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的关系？请说明你的猜想，不需证明．25．(12分)如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE＝90°. (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：CE⊥BD； (3)求∠AFB 的度数．参考答案一、选择题(每题3分，共30分)1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是(A)A B C D2．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是(C) A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°（第2题图）（第4题图）（第6题图）（第7题图）3．一个多边形的每个内角相等，每个内角与相邻外角的差为100°，那么这个多边形是(C)A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是(D)A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB＋BCC．AD＝BD＝BC D．点D是线段AC的中点5．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是(C)A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，点P是AD上的一个动点，要使PC＋PB 最小，则点P应满足(D)A．PB＝PC B．PA＝PD C．∠BPC＝90° D．∠APB＝∠DPC7．如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA，垂足为A，根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是(D)A．点O在点A的南偏东60°方向上 B．点B在点A的北偏东30°方向上C．点A在点B的北偏东60°方向上 D．点B在点O的北偏东30°方向上8．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为(C)A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7（第8题图）（第9题图）（第10题图）（第11题图）（第12题图）9．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为(C)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C 不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在D点的运动过程中DE＋CF的值(B) A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．不确定二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，要添加一个条件是__∠B＝∠C(答案不唯一)__．(只需写一个条件)12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3).则点B的坐标为__(1，4)__．13．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为__15°__．（第13题图）（第15题图）（第16题图）（第18题图）14．若A(x，3)关于y轴的对称点是B(－2，y)，则x＝__2__，y＝__3__，点A关于x 轴的对称点的坐标是__(2，－3)__．15．如图所示，△ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于E，已知∠B＝50°，则∠CAE的度数为__50°__．16．如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE＝__110°__．17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”，若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝__85 或14__．18．如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AE 平分∠BAC，BF ⊥AE ，交AC 延长线于F ，且垂足为E ，则下列结论：①AD＝BF ；②BF＝AF ；③AC＋CD ＝AB ；④AB＝BF ；⑤AD ＝2BE.其中正确的结论有__①③⑤__.(填序号)三、解答题(共66分)19．(8分)如图，已知B ，E ，F ，C 四个点在同一条直线上，AB ＝CD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C.求证：△ABF≌△DCE.证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，在△ABF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△DCE (SAS ).20．(8分)如图所示，在五边形ABCDE 中，∠A ＝∠C＝90°.求证：∠B＝∠DEF＋∠EDG.证明：在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠DEA ＝540°.∵∠A ＝∠C ＝90°，∴∠B ＋∠AED ＋∠EDC ＝360°，∴∠B ＝360°－∠AED －∠EDC.∵∠DEF ＋∠EDG ＝360°－∠AED －∠EDC ，∴∠B ＝∠DEF ＋∠EDG.21．(8分)如图所示，已知△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 边上，且AE ＝CD ，AD 与BE 相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD； (2)求∠BFD 的度数．(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴CA ＝AB ，∠C ＝∠BAE ＝60°，在△ABE 和△CAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CD ，∠BAE ＝∠C ，AB ＝CA.∴△ABE≌△CAD (SAS )； (2)解：∵△ABE≌△CAD ，∴∠ABE ＝∠CAD ，∴∠ABE ＋∠BAF ＝∠CAD ＋∠BAF ＝∠BAE ＝60°，∵∠ABE ＋∠BAF ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝60°.22．(8分)在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是(－3，－1).(1)将△ABC 沿y 轴正方向平移3个单位得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标； (2)画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，点B 1的坐标为(－2，－1)； (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，点C 2的坐标为(1，1).23．(10分)如图，在Rt △ADE 中，∠E ＝90°，∠A ＝30°，AD ＝4，点B 是AE 上一点，连接BD ，将△ADB 沿着BD 翻折得到△CDB，恰好BC⊥AE，求BE 的长．解：由折叠可知CD ＝AD ＝4，∠C ＝∠A ＝30°.∵∠E ＝90°，BC ⊥AE ，∴BC ∥DE ，∴∠EDF ＝∠C ＝30°，∴BF ＝12 CF ，EF ＝12 DF ，∴BE ＝BF ＋EF ＝12 (CF ＋DF )＝12 CD ＝12×4＝2.24．(12分)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝∠A，∠ACB ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕着点D 旋转，它的两边分别交AC ，CB(或它们的延长线)于点E ，F ，当∠EDF 绕着点D 旋转到DE⊥AC 于E 时(如图①)，易证S △DEF ＋S △CEF ＝12 S △ABC ；当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的关系？请说明你的猜想，不需证明．解：在图②中结论仍成立；在图③ 中不成立．对于图② 证明如下：过点D 作DM ⊥AC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ，则∠DME ＝∠DNF ＝∠MDN ＝90°，∵∠A ＝∠ABC ，∠AMD ＝∠BND ＝90°，且易知DA ＝DB ，∴△ADM ≌△BDN (AAS )，∴DM ＝DN ，∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠MDN ＝90°，∠EDN ＋∠NDF ＝∠EDF ＝90°，∴∠MDE ＝∠NDF ，∴△DME ≌△DNF (ASA ).∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S △DEF ＋S △CEF ，由图①可知S四边形DMCN＝12 S △ABC ，∴S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC.在图③中，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 之间的关系是S △DEF －S △CEF ＝12 S △ABC .25．(12分)如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE＝90°. (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：CE⊥BD； (3)求∠AFB 的度数．(1)证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS );(2)证明：∵△ABD≌△ACE ，∴∠ABD ＝∠ACE ，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠AGB ＝90°.∵∠AGB ＝∠CGF ，∴∠ACE ＋∠CGF ＝90°，∴∠BFC ＝90°，∴CE ⊥BD ；(3)解：过点A 作AM ⊥BD 于点M ，AN ⊥EC 于点N ，∵△ABD ≌△ACE ，则AM ＝AN ，∴AF 是∠BFE 的平分线，又由(2)知CE ⊥BD ，∴∠BFE ＝90°，∴∠AFB ＝45°.。

尺规作图（习题）➢巩固练习1.下列作图语言描述正确的是（）A．延长线段AB至点C，使AB=ACB．过∠AOB内部一点P，作∠AOB的平分线C．以点O为圆心，AC长为半径作弧D．在射线OA上截取OB=a，BC=b，则有OC=a+b2.已知边长作等边三角形．已知：线段a．求作：等边△ABC，使△ABC的三边长均为a．a作法：（1）作线段_____________；（2）分别以______，______为圆心，_______为半径作弧，两弧交于________；（3）连接________，_________．____________________．3.按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．已知：如图，∠ABC．求作：∠DEF，使∠DEF=32∠ABC．ACB4.已知∠AOB=45°，点P在边OA上．请以点P为顶点，射线P A为一边作∠APC=∠O（作出所有可能的图形）．5.如图，分别过A，B两个加油站的公路l1，l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足在两个加油站的连线上，且到两条P（保留作图痕迹）．公路l1，l2的距离相等．请用尺规作图作出点6.请画出草图，并根据图形完成下列各题：（1）在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BF∥AD交CA 的延长线于点F，则AF和AB的数量关系是_________________．（2）在△ABC中，点D是BC上的一点，过D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则∠EDF与∠A的数量关系是__________________．（3）已知，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，若AD与CE所夹的锐角是58°，则∠ABC=______．（4）已知，在锐角△ABC中，∠BAC=50°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，若∠EBC=20°，则∠ADC=_______．➢思考小结阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有次数限制．他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑．在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活．他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度．另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题．尺规作图三大难题：①化圆为方问题求一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的面积相等；②三等分角问题求一角，使其角度是一已知角度的三分之一；③倍立方问题求一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍．【参考答案】1. C2.作法：（1）作线段AB使AB=a；（2）分别以点A，点B为圆心，a长为半径作弧，两弧交于点C；（3）连接AC，BC．△ABC即为所求．3.略4.略（有两种情况）5.略6.（1）AF=AB（2）∠EDF=∠A（3）58°（4）85°。

第12章重点突破训练：尺规作图及应用典例体系考点1：基本尺规作图典例：(2020·北京初三二模)下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线l外一点P．求作：直线PQ，使直线//PQ直线l．作法：如图，①在直线l上任取一点A，作射线AP；②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以,B C为圆心，大于12BC长为半径作弧，在AC 的右侧两弧交于点Q ；④作直线PQ ；所以直线PQ 就是所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：(1)用直尺和圆规，补全图中的图形；(2)完成下面的证明：证明：由作图可知PQ 平分CPB ∠，12CPQ BPQ CPB ∴∠=∠=∠．又PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠．(_______________________________)(填依据1)．CPB PAB PBA ∠=∠+∠，12PAB PBA CPB ∴∠=∠=∠．CPQ PAB ∴∠=∠，∴直线//PQ 直线l ．(______________________)(填依据2)．【答案】(1)作图见解析；(2)等边对等角；同位角相等，两直线平行【解析】解：(1)根据题中画图过程可得：如图，PQ 即为所作图形；(2)由作图可知PQ 平分CPB ∠，12CPQ BPQ CPB ∴∠=∠=∠．又PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠．(等边对等角)．CPB PAB PBA ∠=∠+∠，12PAB PBA CPB ∴∠=∠=∠．CPQ PAB ∴∠=∠，∴直线//PQ 直线l ．(同位角相等，两直线平行)．方法或规律点拨本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是根据题意作图，然后再进行推理论证.巩固练习1．(2020·陕西省初一月考)已知点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规过点C 作CN ∥OA ，作图痕迹如图所示.下列对弧FG 的描述，正确的是()A ．以点C 为圆心，OD 的长为半径的弧B ．以点C 为圆心，OM 的长为半径的弧C ．以点E 为圆心，DM 的长为半径的弧D ．以点E 为圆心，CE 的长为半径的弧【答案】C【解析】根据题意，所作出的是∠BCN =∠AOB ，根据作一个角等于已知角的作法，弧FG 是以点E 为圆心，DM 为半径的弧．故选C ．2．(2020·山东省初一期中)如图，点C 在∠AOB 的边OB 上，用直尺和圆规作∠BCN ＝∠AOC ，这个尺规作图的依据是()A ．SASB ．SSSC ．AASD ．ASA【答案】B【解析】解：连接NE，根据做法可知：CE＝OD，EN＝DM，CN＝OM∴△CEN≌△ODM(SSS)，∴∠ECN＝∠DOM即∠BCN＝∠AOC故选：B．3．(2020·辽宁省初三二模)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是()A．①B．②C．③D．④【答案】D【解析】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故选：D．4．(2020·河北省初三一模)下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是() A．作一个角等于已知角B．作一个角的平分线C．作一条线段的垂直平分线D．过直线外一点P作已知直线的垂线【答案】C【解析】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选：C．5．(2020·河北省初三一模)下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是()①②③A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】A【解析】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故选：A．6．(2020·内蒙古自治区中考真题)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形角平分线交点的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由基本作图得到B选项作了两个角的角平分线，而三角形三条角平分线交于一点，从而可用直尺成功找到三角形内心．故选：B．7．(2020·河北省初三二模)图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：(1)弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；(2)弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；(3)弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；(4)弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为()A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】解：(1)弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；(2)弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；(3)弧③是以A为圆心，大于12AB的长为半径所画的弧，错误；(4)弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．故选C．8．(2019·河北省金华中学初二期中)如图是作ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是()A．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角【答案】C的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,【解析】解：观察ABC故已知条件为：两角及夹边，故选C.9．(2020·北京垂杨柳中学初一期末)下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.已知：∠O，求作：一个角，使它等于∠O.作法：如图：①在∠O的两边上分别任取一点A，B；②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；③连结AC,BC，所以∠C即为所求作的角.请根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下列证明．证明：连结AB，∵OA=AC，OB=，，△()(填推理依据)．∴OAB≌CAB∴∠C=∠O．【答案】(1)见解析；(2)BC，AB=AB，边边边【解析】解：(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)BC ，AB=AB ，边边边考点2：以尺规作图为条件的几何问题典例：(2020·广东省初三其他)如图，已知锐角ABC ∆，AB BC >．(1)尺规作图：求作ABC ∆的角平分线BD ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)点E 在AB 边上且BC BE =，请连接DE ，求证：BED C ∠=∠．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)作图如图所示，(2)证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，又∵BE BC =，BD BD =，∴()BDE BDC SAS ∆∆≌，∴BED C ∠=∠．方法或规律点拨此题考查了基本作图--角平分线的画法，以及三角形全等的判定及性质．解题关键是掌握基本作图．巩固练习1．(2020·广西壮族自治区中考真题)如图，在ABC 中，,80BA BC B =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，则DCE ∠的度数为()A ．60B ．65C ．70D ．75【答案】B【解析】∵在ABC 中，,80BA BC B =∠=︒，∴180180805022B ACB -∠-∠===o o o，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作图痕迹可知CE 为∠ACD 的平分线，∴1652DCE ACD ∠=∠=o ，故选：B ．2．(2020·广东省中考真题)如图，已知AB =AC ，BC =6，尺规作图痕迹可求出BD =()A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由作图痕迹可知AD 为∠BAC 的角平分线，而AB=AC ，由等腰三角形的三线合一知D 为BC 重点，BD=3，故选B3．(2020·湖北省中考真题)如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()A ．DB DE=B ．AB AE =C ．EDC BAC ∠=∠D ．DAC C∠=∠【答案】D 【解析】解：由尺规作图可知，AD 是∠CAB 角平分线，DE ⊥AC ，在△AED 和△ABD 中：∵=90⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩AED ABD EAD BAD AD AD ，∴△AED ≌△ABD(AAS)，∴DB=DE ，AB=AE ，选项A 、B 都正确，又在Rt △EDC 中，∠EDC=90°-∠C ，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°-∠C ，∴∠EDC=∠BAC ，选项C 正确，选项D ，题目中缺少条件证明，故选项D 错误．故选：D.4．(2020·深圳市宝安中学(集团)初二期中)如图,在△ABC 中,∠C=90°,以点B 为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB 、BC 于点M 、N 分别以点M 、N 为圆心,以大于12MN 的长度为半径画弧两弧相交于点P 过点P 作线段BD,交AC 于点D,过点D 作DE ⊥AB 于点E,则下列结论①CD=ED ；②∠ABD=12∠ABC ；③BC=BE ；④AE=BE 中，一定正确的是()A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A【解析】解：由作法可知BD 是∠ABC 的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC ⊥BC ，又DE ⊥AB ，BD 是∠ABC 的角平分线，∴CD=ED ，故①正确，在Rt △BCD 和Rt △BED 中，DE DC BD BD =⎧⎨=⎩,∴△BCD ≌△BED ，∴BC=BE ，故③正确.故选：A.5．(2020·江苏省初三二模)如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，以顶点C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线CP 交AB 于点D ．若BD=3，AC=10，则△ACD 的面积是_____．【答案】15【解析】解：如图，过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，由作图知CP 是∠ACB 的平分线，∵∠B=90°，BD=3，∴DB=DQ=3，∵AC=10，∴S △ACD =12•AC•DQ=12×10×3=15，6．(2020·河北省中考真题)如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ，则射线AP 为_____________；若110ACD ∠=︒，则CMA ∠的度数为__________．【答案】CAB ∠的平分线35︒【解析】∵AB ∥CD ，∠ACD=110°，∴∠CAB=70°，∵根据作图可知：射线AP 为∠CAB 平分线，∴∠CAM=∠BAM=35°，∵AB ∥CD ，∴∠CMA=∠MAB=35°．故答案为：∠CAB 平分线，35°．7．(2020·云南省初三学业考试)如图，以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交,AB BC 两边于点,D E ．分别以点,D E 为圆心，以大于12DE 的长度为半径画弧，两弧交于点F ．已知点F 到边AB 的距离为3，则点F 到边BC 的距离为_________．【答案】3【解析】解：因为BF 是∠ABC 的平分线，则点F 到边BC 的距离等于点F 到边AB 的距离，为3.考点3：利用尺规作图作三角形典例：(2019·北京市第五十四中学初二期中)数学课上，老师提出问题，任意画两条长度不等的线段a、b，利用尺规作图作Rt△ABC，使线段a、b分别为三角形的一条直角边和斜边，小勇所作之图如下：请你回答下列问题：(1)在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是_____；(只填序号)①以B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D．②画直线BF．③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F．④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，联结AC．⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB=a(2)∠ABC=90°的理由是_____．【答案】(1)⑤①③②④；(2)到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．【解析】解：(1)根据尺规作图的方法可知作图的顺序为：⑤①③②④，故答案为⑤①③②④；(2)根据作图方法可知BC是线段AD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知∠ABC=90°，故∠ABC=90°的理由是：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．方法或规律点拨本题考查了尺规作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质等，掌握基本作图的方法是解题的关键．巩固练习1．(2019·广东省初一期末)尺规作图：如图，作一个直角三角形ABC，使其两条直角边分别等于已知线段m，n．(保留作图痕迹，不写作法)【答案】见解析【解析】解：如图，Rt △ABC 即为所求，2．(2020·山东省初三二模)如图，已知：点P 和直线BC ．求作：等腰直角三角形MPQ ，是45PMQ ∠=︒，点M 落在BC 上．【答案】见解析【解析】解：作PF ⊥BC 交BC 于点E ，以点E 为圆心EP 为半径画弧交BC 于M 、Q ，连接PM 、PQ ，△PMQ 即为所求．3．(2020·山东省初三期中)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段c ，求作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，BC ＝c ，AB ＝2c ．【答案】见解析【解析】如图所示，Rt △ABC 即为所求．4．(2019·宝鸡高新第一中学初一期末)已知∠α，线段a ，b ，求作：△ABC ，使∠B =∠α，AB =2a ，BC =b ．(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)【答案】见解析【解析】解：如图，△ABC 为所作．5．(2020·山东省青岛三十九中初一期中)(用直尺和圆规作图)已知：线段a c α∠，，，求作：ABC ∆，使BC a AB c ABC α==∠=，，.【答案】见解析【解析】作法：如图，①以点O 为圆心，c 长为半径画弧，分别交∠O 的两边于点E ，F ；②画一条射线AP ，以点A 为圆心，c 长为半径画弧，交AP 于点B ；③以点B 为圆心，EF 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D ；④画射线AD ；⑤以点A 为圆心，a 长为半径画弧，交AD 于点C ；⑥连接BC ，则△ABC 即为所求作的三角形．6．(2019·三明市第十二中学初一月考)如图，已知△ABC ，用直尺与圆规作△DEF ，使得△DEF ≌△ABC ．(不要写作法，保留作图痕迹．)【答案】见解析【解析】图形如下：7．(2020·山东省青岛第二十六中学初一期中)已知：线段a ，α∠，求作：ABC △，使AB AC a ==，B α∠=∠．【答案】答案见解析【解析】如图所示：△ABC 即为所求.8．(2020·青岛超银中学初三月考)已知：线段a ，()c a c <，求作，Rt ABC △，使90C ∠=︒，AB c =，BC a =．【答案】见解析．【解析】解：任意画一条直线l ，任取一点C ，过C 作l 的垂线1l ，以C 为圆心，a 为半径，画弧，交直线1l 于点B ，以B 为圆心，以c 为半径画弧，交直线l 于点A ，连接A 、B 、C 三点即可，AB c =，BC a =,∴Rt ABC ∆即为所求．考点4：利用尺规作图作其它图形典例：(2020·泰兴市河头庄中学初三二模)如图，已知点D为△ABC的边AB上一点(1)请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE(要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法)；(2)根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE．【答案】(1)点E即为所求，图见解析；(2)证明见解析．【解析】(1)如图，过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求；(2)如图：连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC∵DE//BC∴DF=EG∵S△BCD＝12BC·DF,S△BCE＝12BC·EG,∴S△BCD＝S△BCE方法或规律点拨本题考查了尺规作图－作平行线、三角形的面积等知识，掌握平行线间的距离相等是解答本题的关键．巩固练习1．(2020·古田县第十中学初一期中)如图，一块大的三角板ABC，D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角板ADE，使DE∥BC，请用尺规作出DE和∠A的平分线．(不写作法，留下作图痕迹，要有结论)【答案】详见解析【解析】解：如图所示，线段DE即为所求；如图所示，线段AF即为所求；2．(2020·北京初三二模)在数学课上，老师提出如下问题：已知：∠α，直线l和l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．小刚的做法如下：①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M，N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交直线l于点P；②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ；③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于E，F；④分别以E，F为圆心，大于1EF2长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点G，作射线BG；⑤射线AQ与射线BG交于点C．Rt△ABC即为所求．(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明：连接PQ在△OMN和△AQP中，∵ON=AP，PQ=NM，OM=AQ∴△OMN≌△AQP(__________)(填写推理依据)∴∠PAQ=∠O=α∵CE=CF，BE=BF∴CB⊥EF(____________________________)(填写推理依据)【答案】(1)见解析；(2)边边边或SSS，三线合一【解析】(1)作图：如图(2)(边边边或SSS)；(三线合一)解：根据步骤①用圆规画图，圆的半径相等，可知ON=AP，OM=AQ，根据步骤②可知PQ=NM，即直接利用SSS证明△OMN≌△AQP全等，即第一个括号答案可写“边边边或SSS”；根据步骤③用圆规画图，圆的半径相等，可知BE=BF ，根据步骤④可知CE=CF ，即可得出△CEF 是等腰三角形，且底边上B 是EF 的中点，则可根据等腰三角形底边上三线合一即可证出CB ⊥EF ，则第二个括号答案可写“三线合一”．3．(2020·山西省初一期中)如图，利用尺规在ABC 的边AC 上方作CAD ACB ∠=∠，并说明：//AD CB ．(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)【答案】见解析【解析】解：如图所示，∠CAD 即为所求，∵∠DAC=∠ACB ，∴AD ∥CB ．4．(2020·广西壮族自治区初三学业考试)如图，已知α∠，直线l 及l 上两点A ，B ．尺规作图：作Rt ABC ∆，使点C 在直线l 的上方，90ABC ∠=︒，BAC α∠=∠．(保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明)【答案】见解析．【解析】如图所示，作出BC ，作出BAC ∠，Rt ABC ∆即为所求.5．(2020·陕西省初一期中)如图，已知α∠，β∠．求作：AOB ∠，使AOB αβ∠=∠-∠．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)【答案】图见解析【解析】解：作∠AOC=α∠，然后在∠AOC 内部作∠BOC=β∠，即可得到AOB αβ∠=∠-∠，如下图所示，∠AOB 即为所求．6．(2020·陕西省中考真题)如图，已知△ABC ，AC ＞AB ，∠C ＝45°．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P ，使∠PBC ＝45°．(保留作图痕迹．不写作法)【答案】详见解析【解析】解：如图，点P 即为所求．作法：(1)以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，(2)以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，(3)以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，(3)连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．7．(2020·福建省初一月考)已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点求作：点E，使直线DE∥AB，点E在直线BC的北面，且点E到D点的距离是200米．(在题目的原图中完成作图，图中的比例尺是1：10000)(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)【答案】见详解【解析】解：如图所示．8．(2019·陕西省陕西师大附中初一期末)如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点E为四边形ABCD边上一点，用尺规确定直线AE，使S△ADE＝S△ABE(不写画法，保留作图痕迹)．【答案】见详解【解析】解：作∠BAD的角平分线AE，交边BC于点E，则直线AE即为所求．。