必修三几何概型习题课

3．3.1 几何概型练习1．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( )A ．13B ．12C ．14D ．162．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．453．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于2 m 的概率是( )A ．12B ．15C ．13D ．不能确定4．(2011·北京东城二模，文3)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32 5．在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则事件“0≤sin x ≤1”发生的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．236．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为__________．7．如图所示，圆盘中阴影部分扇形的圆心角为60°，若向圆盘内投镖，如果某人每次都能随机投入圆盘中，那么他投中阴影部分的概率为______．8．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，倍的概率为__________．9．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在这个海域里随意选定一点钻探，则钻到油层面的概率是多少？10．已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥MABCD 的体积小于16的概率．参考答案1. 答案：B 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝ABD ABC -△的面积△的面积＝12. 2. 答案：C 把汽车到站的间隔时间分为[0,5]上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0,3]内取值，所以发生的概率为35. 3．答案：B 如图所示，拉直后的绳子看成线段AB ，且C ，D 是线段AB 上的点，AC ＝2 m ，BD ＝2 m ，由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置，属于几何概型．设剪得两段的长度都不小于2 m 为事件E ，设M 是事件E 的一个剪断点，则M ∈CD ，则事件E 构成线段CD ，则P (E )＝CD AB ＝5225--＝15. 4. 答案：C 矩形的面积S ＝6×4＝24，设椭圆的面积为S 1，在矩形内随机地撒黄豆，黄豆落在椭圆内为事件A ，则P (A )＝1S S ＝124S ＝30096300-，解得S 1＝16.32. 5. 答案：C 由于x ∈ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，若0≤sin x ≤1, 则0≤x ≤π2，设“0≤sin x ≤1”为事件A ， 则P (A )＝π02ππ()22---＝π2π＝12. 6. 答案：0.005 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005. 7. 答案：16 设圆盘的半径为r ，投中阴影部分为事件A ，阴影部分面积为S ′＝260π360r ＝21π6r ， 故P (A )＝221π6πr r ＝16. 8. 答案：12如图，圆O 上一定点A ，过圆心O 作与OA 垂直的直径BC ，则|AB |＝|AC |.要使圆周上点与点A 所连弦长超过半径r则所取动点范围在上 ，故BDCO的长度圆的周长＝π2πrr＝12.9.分析：石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率．解：记事件C＝{钻到油层面}，在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个，故属于几何概型．事件C构成的区域面积是40平方千米，全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米，则P(C)＝贮藏石油的大陆架面积所有海域大陆的面积＝4010000＝0.004.10分析：由题目可获取以下主要信息：①正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M为其内一点；②求四棱锥M－ABCD的体积小于16的概率．解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．解：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，设M－ABCD的高为h，则13×S四边形ABCD×h＜16，又S四边形ABCD＝1，则h＜12，即点M在正方体的下半部分．故所求概率P＝12VV正方体正方体＝12.。

几何概型3.3.1 几何概型双基达标 限时20分钟1．如图，边长为2的正方形中有一封锁曲线围成的阴影区域、在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为号( )．D ．无法计算解析 由几何概型的概率公式知S 阴S 正＝23，所以S 阴＝23·S 正＝83. 答案 B2．在第1题中若将100粒豆子随机撒入正方形中，恰有60粒豆子落在阴影区域内，这时阴影区域的面积约为 ( )．D ．无法计算解析 因为S 阴S 正＝N 1N ，所以S 阴4＝60100，所以S 阴＝60100×4＝125. 答案 A3．下列概率模型中，几何概型的个数为 ( )． ①从区间[－10,10]内任掏出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任掏出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]内任掏出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无穷多个点，但取到“1”只是一个数字，不能组成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无穷多个数可取(知足无穷性)，且在这两个区间内每一个数被取到的机缘是相等的(知足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不知足无穷性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故知足无穷性和等可能性．答案 B4．两根相距6 m 的木杆系一根绳索，并在绳索上挂一盏灯，则灯与两头距离都大于2 m 的概率是________．解析 由已知得：P ＝26＝13. 答案 13 5．如图，在一个边长为a 、b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底别离为13a 与12a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．解析 两“几何气宇”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )·b ＝512ab ，所以所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512. 答案 5126．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币抛掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解 记A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图，在边长为4 3 cm 的等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形A ′B ′C ′的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：P (A )＝3423234432＝14. 综合提高 限时25分钟7．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客抵达站台当即乘上车的概率是( )．解析 实验的所有结果组成的区域长度为10 min ，而组成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110. 答案 A8．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是 ( )．解析 如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB | ＞14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝34. 答案 C9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取点，则该点落在三棱锥A 1－ABC 内的概率是________． 解析 本题为体积型几何概型问题， P ＝VA 1－ABC VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16. 答案 1610．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是________．解析 记事件A 为“射线OA 落在∠xOT 内”，因为∠xOT ＝60°，周角为360°，故P (A )＝60°360°＝16. 答案 1611．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取一个数，b 是从区间[0,2]任取一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，此方程有实根的条件是a ≥b .(1)全集Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，故P (A )＝912＝34. (2)实验的全数结果所组成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，而组成A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，如图所示的阴影部份，所以P (A )＝3×2－12×223×2＝23. 12．(创新拓展)国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发觉30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包括间谍犯法的信息．后来发觉，这段谈话的一部份被某工作人员擦掉了，该工作人员宣称他完尽是无心中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯法内容的谈话被部份或全数擦掉的概率有多大？解 记A ＝{按错键使含有犯法内容的谈话被部份或全数擦掉}，A 发生就是在0到23min 时刻段内按错键．P (A )＝2330＝145.。

[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选A.A ∩B ＝{x |2<x <3}，因为集合A 表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A ∩B 表示的区间长度为3－2＝1， 所以事件“x ∈A ∩B ”的概率为16，故选A.2. 如图所示，边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域．向正方形中随机扔一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D ．无法计算解析：选B.设阴影区域的面积为S ，依题意，得23＝S2×2，所以S ＝83.故选B.3．(2018·济南高一检测)在区间[0，1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，1]内的概率是( )A.π4B.π10C.π20D.π40解析：选A.设在[0，1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0，1]内，则有 0≤a 2＋b 2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0，1]内的点在14单位圆内(如图中阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4，故选A. 4．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D.试验的全部结果是平面区域D ，由于点到坐标原点的距离大于2，则点应该在圆x 2＋y 2＝22的外部．画草图(图略)易知区域D 是边长为2的正方形，到坐标原点的距离大于2的点在以坐标原点为圆心，2为半径的圆的外部，所以所求的概率为2×2－14×π×222×2＝4－π4.6．(2017·高考江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59.答案：597．水池的容积是20 m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1 m3/h，它们一昼夜(0～24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．解析：如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A，B两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为24×24，阴影部分的面积是12×20×20，所以所求的概率P＝12×20×2024×24＝2572.答案：25728．已知方程x2＋3x＋p4＋1＝0，若p在[0，10]中随机取值，则方程有实数根的概率为________．解析：因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×⎝⎛⎭⎫p4＋1≥0，得p≤5，所以对应区间[0，5]，长度为5，所以所求概率为510＝12.答案：129．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？解：如图，边长为5 cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P＝3252＝925.10．小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点至七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图所示，方形区域内任一点的横坐标x 表示小强到达小明家的时间，纵坐标y 表示小明离开家的时间，(x ，y )可以看成平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(x ，y )|6≤x ≤7，6.5≤y ≤7.5}，这是一个正方形区域，面积为S Ω＝1×1＝1.事件A 表示“小强能见到小明”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|6≤x ≤7，6.5≤y ≤7.5，y ≥x }，如图中阴影部分所示，面积为S A ＝1－12×12×12＝78.所以P (A )＝S A S Ω＝78，即小强能见到小明的概率是78.[B 能力提升]11．在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x－y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：选B.x ，y ∈[0，1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x－y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.12．已知0<a <1，分别在区间(0，a )和(0，4－a )内任取一个数，而取出的两数之和小于1的概率为316，则a 的值为________．解析：设所取的两个数分别为x ，y ，由题知所有基本事件构成的集合为Ω＝{(x ，y )|0<x <a ，0<y <4－a ，0<a <1}，其对应区域为矩形，面积为S (Ω)＝a (4－a )，而事件A ＝{(x ，y )∈Ω|x ＋y <1}，其对应区域面积为S (A )＝12(1＋1－a )a ，由几何概型的概率计算公式知316＝12（1＋1－a ）a a （4－a ），即a (5a －4)＝0，解得a ＝45.答案：4513．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0，3]上任取的一个数，b 是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b }． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.14．(选做题)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个等分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，ON ，OM ，OP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分(不在MP 上)时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。

3.3.1 几何概型课时达标训练一、基础过关1．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是( )A.13B.12C.310D.510答案 C解析 a ∈(15,25]，∴P (17<a <20)＝20－1725－15＝310.2．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.925B.1625C.310D.15答案 D解析 以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间．∴所求概率P (A )＝210＝15.3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A.112B.38C.116D.56答案 C解析 由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4答案 A解析 由题意得无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4.5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________． 答案127解析 记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A ，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故P (A )＝103303＝127.6．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3.7．在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率． 解如图所示，把圆弧AB三等分，则∠AOF＝∠BOE＝30°，记A为“在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，∴P(A)＝30°90°＝13.二、能力提升8．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)等于() A.π4 B.π2C．πD．2π答案 A解析如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆面x2＋y2<1内的点一一对应，∴P(A)＝π4.9．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为()答案 A解析A中P1＝38，B中P2＝26＝13，C中设正方形边长为2，则P3＝4－π×124＝4－π4，D中设圆直径为2，则P4＝12×2×1π＝1π.在P1，P2，P3，P4中，P1最大．10．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________． 答案334π解析设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π.11．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． 解以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示的平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716.所以，两人能会面的概率是716. 三、探究与拓展12．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为 P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.3.1几何概型练习 新人教A 版必修3基础巩固一、选择题1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是( )[答案] A [解析] P (A )＝38，P (B )＝26＝13，P (C )＝1－π41＝1－π4，P (D )＝1π.则P (A )最大，故选A.2.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A.14 B.π4C.13D.π3[答案] B[解析] 设事件A ＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A 的几何区域为内切圆的面积S ＝πR 2(2R 为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P (A )＝πR22R2＝π4，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为π4. 3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取点则该点落在三棱锥A 1－ABC 内的概率是( ) A.13B.16C.12D.14[答案] B[解析] 体积型几何概型问题．P ＝VA 1－ABC VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16. 4.如图，在一个边长为a 、b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712[答案] C [解析] S 矩形＝ab .S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋12a b ＝512ab . 故所投的点落在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512. 5．(2015·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )A.π4B.π10C.π20D.π40[答案] A[解析] 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1. 如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b2在[0,1]内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4.6．在面积S 为△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23[答案] C[解析] 如图，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，S △PBC＝12|PB |·h .又因为S △PBC >14S △ABC ，所以|PB |>14|AB |，故△PBC 的面积大于S4的概率是34.二、填空题7．(2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＜0”发生的概率为________．[分析] 解不等式，求出a 的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可． [答案] 13[解析] 由题意，得0＜a ＜13，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a －1＜0”发生的概率为13.8．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”．那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为________．[答案]127[解析] 棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，若小蜜蜂“安全飞行”，则需控制在以原正方体的中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1×1×1＝1.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为127.三、解答题9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.10．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m 、宽20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．[分析] 海豚在水中自由游弋，它的嘴尖在水池中的位置有无限多个，并且每个位置都是等可能的，满足几何概型的条件，本题可先求出所求事件对应部分面积及整个区域面积，再利用几何概型概率公式求解．[解析] 如下图，该区域是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m\”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，由于该区域的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)，所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.[点评] 解决此类题的关键：(1)根据题意确定是与面积(体积)有关的几何概型； (2)找出或构造出对应的几何图形，求出面积(体积)．能力提升一、选择题1．(2015·东曲阜师大附中月考)在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为( )A.π16B.π8C.π4 D.π2[答案] B[解析] 该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心，1为半径的14圆内，所以所求的概率为π8. 2．(2015·虹宁大连质检)一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为( )A.π2B ．1－π12C ．1－π6D ．1－π3[答案] B[解析] 作出满足题意的区域如右图，则由几何概型的知识得，所求概率P＝12×3×4－12π×1212×3×4＝1－π12.3．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为( )A ．16 mB ．20 mC ．8 mD ．10 m[答案] B[解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为2425，即掉到河里的概率为125，则河流的宽度占总距离的125，所以河宽为500×125＝20(m)． 4．(2014·湖北，理7)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14 C.34 D.78[答案] D[解析] 如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S △AOM ＝12×2×2＝2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S 阴＝SΩ1－S △ABC ＝2－12×1×12＝74.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P ＝S 阴SΩ1＝742＝78.故选D.二、填空题5．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．[答案] 1 2[解析] 如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，则P(A)＝DE＋FG＋MNBC＋CA＋AB＝3＋2＋112＝12.6．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为________．[答案]53125[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝43πR3＝500π3，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，∴所求概率P＝500π3－96π500π3＝53125.三、解答题7．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？[解析] (1)设事件A＝“弦长超过3”，弦长只与它跟圆心的距离有关，∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝12.(2)设事件B ＝“弦长超过3”，弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点在半径为12的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P (B )＝14.(3)设事件C ＝“弦长超过3”，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC ，显然只有当弦的另一端点D 落在BC ︵上时，才有|AD |>|AB |＝3，由几何概率公式知P (C )＝13.8．(2015·江西南昌摸底)两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．[探究] 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即23小时，设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23，因此转化成与面积有关的几何概型问题，利用几何概型概率公式求解．[解析] 设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约定地点，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23.(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－13212＝89.。

分层训练·进阶冲关A组基础练( 建议用时 20 分钟)1.以下概率模型中 , 几何概型的个数为( B )①从区间 [-10,10]内任拿出一个数,求取到1的概率;②从区间 [-10,10]内任拿出一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率;③从区间 [-10,10]内任拿出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;④向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD内投一点 P, 求点 P 离中心不超出1 cm 的概率 .A.1B.2C.3D.42.两根电线杆相距 100 m, 若电线遭到雷击 , 且雷击点距电线杆 10 m 以内时 , 电线杆上的输电设施将受损 , 则遭到雷击时设施受损的概率为( B )3.在长为 10 厘米的线段 AB上任取一点 G,以 AG为半径作圆 , 则圆的面积介于 36π平方厘米到 64π平方厘米的概率是( D )A. B. C. D.4.用计算器或计算机产生 20 个[0,1] 之间的随机数 x, 可是基本领件都在区间 [-1,3]上,则需要经过的线性变换是( D )A.y=3x-1B.y=3x+1C.y=4x+1D.y=4x-15.已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点 P, 使△APB的最大边是 AB”发生的概率为, 则=( D )A. B. C. D.6.有四个游戏盘 , 以以下图所示 , 假如撒一粒黄豆落在暗影部分 , 则可中奖, 小明希望中奖时机大 , 他应入选择的游戏盘为( A )7.如图 , 图 2 中实线围成的部分是长方体 ( 图 1) 的平面睁开图 , 此中四边形 ABCD是边长为 1 的正方形 . 若向虚线围成的矩形内随意扔掷一质点, 它落在长方体的平面睁开图内的概率是, 则此长方体的体积是3 .8.一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞翔 , 若蜜蜂在飞翔过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全 ; 若一直保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10, 则飞翔是安全的 , 假定蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一地点可能性同样, 那么蜜蜂飞翔是安全的概率是.9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取点 , 则该点落在三棱锥 A1-ABC内的概率是 .10.以下图 , 在直角坐标系内 , 射线 OT落在 60°角的终边上 , 任作一条射线 OA,则射线 OA落在∠ xOT内的概率是 .11.(1) 从区间 (0,5) 内随意选用一个实数x, 求事件“ 9x>27”发生的概率.(2) 从区间 (0,8) 内任取一个整数x, 求事件“ lo x>-2 ”发生的概率 .【分析】 (1) 由 9 x >27, 解得 x>log9 27,即x> .由几何概型可知 ,所求概率为 P1 ==.(2) 由 lo x>-2, 因此 0<x<4.则在区间 (0,8) 内知足不等式的整数为1,2,3 共 3 个.故由古典概型可知 ,所求概率为 P= .12.在正方体 ABCD-A1B1 C1 D1中, 棱长为 1, 在正方体内随机取一点 M,求使M-ABCD的体积小于的概率.【分析】设点 M 到面 ABCD 的距离为 h,则=·h=,即 h= .因此只需点 M 到面ABCD 的距离小于时,即知足条件.所有知足点 M 到面 ABCD 的距离小于的点构成以面ABCD为底,高为的长方体,其体积为.又由于正方体体积为1, 因此使四棱锥 M-ABCD的体积小于的概率为P= = .B组提高练( 建议用时 20 分钟)13.在区间 [-1,1] 上任取两数 x 和 y, 构成有序实数对 (x,y), 记事件 A为“ x2+y2<1”, 则 P(A) 等于 ( A )A. B. C.π D.2π14.球 O与棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的各个面均相切 , 如图 , 用平行于底面的平面截去长方体 A2B2C2D2-A 1B1C1D1, 获得截面 A2 B2C2D2, 且A2A= a, 现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆 , 则黄豆落在截面中的圆内的概率为( B )A. B. C. D.15.方程 x2+x+n=0(n∈(0,1)) 有实根的概率为 .16.有一个圆面 , 圆面内有一个内接正三角形 , 若随机向圆面上投一镖都中圆面 , 则镖落在三角形内的概率为.17.设有一个等边三角形网格 , 此中各个最小等边三角形的边长都是4cm, 现用直径等于 2 cm 的硬币扔掷到此网格上 , 求硬币落下后与格线没有公共点的概率 .【分析】记 A={ 硬币落下后与格线没有公共点},如图 ,在边长为 4cm 的等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则等边三角形 A ′B′C′的边长为4-2=2,当硬币的中心落在△ A ′B′C′内时,硬币与格线没有公共点 .由几何概率公式得 :P(A)== .18. 已知函数 f(x)=-x2+ax-b.(1)若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数 , 求上述函数有零点的概率 .(2)若 a,b 都是从区间 [0,4] 任取的一个数 , 求 f(1)>0 建立的概率 .【分析】 (1)a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本领件总数为 N=5 ×5=25( 个).函数有零点的条件为=a 2 -4b ≥0,即 a2≥4b.由于事件“ a 2≥4b ”包括 (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.因此事件“ a2≥4b”的概率为P=.(2) 由于 a,b 都是从区间 [0,4] 上任取的一个数 ,f(1)=-1+a-b>0,因此a-b>1, 此为几何概型 ,因此事件“f(1)>0 ”的概率为 P==.C组培优练 ( 建议用时 15 分钟 )19.如图 , 在一个边长为 a,b(a>b>0) 的矩形内画一个梯形 , 梯形上、下底分别为 a 与a, 高为 b, 向该矩形内随机投一点, 则所投的点落在梯形内部的概率为.20. 设对于 x 的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数 ,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数 , 求上述方程有实根的概率 ;(2)若 a 是从区间 [0,3] 任取的一个数 ,b 是从区间 [0,2] 任取的一个数 ,求上述方程有实根的概率.【分析】设事件 A 为“方程 x 2 +2ax+b 2 =0有实根”,当a≥0,b≥0时,此方程有实根的条件是 a ≥b.(1) 全集Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共12个,此中第一个数表示 a 的取值 ,第二个数表示b的取值 ,事件A={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共9个,故 P(A)== .(2)试验的所有结果所构成的地区为 {(a,b)|0 ≤a ≤3,0 ≤b ≤2}, 而构成 A 的地区为 {(a,b)|0 ≤a≤3,0 ≤b ≤2,a ≥b}, 即以下图的暗影部分 ,因此 P(A)== .封闭 Word 文档返回原板块。

数学·必修3(苏教版)第3章 概率3．3 几何概型基础巩固 1．在(0，1)内任取一个数m ，能使方程x 2＋2mx ＋12＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.12B.14C.22D.2－22答案：D2．已知实数x ，y ，可以在0＜x ＜2，0＜y ＜2的条件下随机取数，那么取出的数对(x ，y)满足(x －1)2＋(y －1)2＜1的概率是( ) A.π4 B.4πC.π2D.π3答案：A3．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不少于1 m的概率是________．解析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，4]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0，4]上的均匀随机数，其中[1，3]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，3]内，也就是剪得两段长都不小于1 m．这样[1，3]的几何度量与[0，4]的几何度量之比就是事件A发生的概率．答案：1 24．在圆心角为90°的扇形OAB中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．解析：角的范围在0°到90°之间，作射线OC使得∠AOC的范围在30°到60°之间才能满足条件．答案：1 35．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．答案：1 3能力升级6．已知直线y＝x＋b，b∈[－2，3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是________．解析：直线在y轴上截距范围长度为5，满足条件的截距长度为2，故所求概率为2 5.答案：2 57．在△ABC中，已知a∶b∶c＝5∶12∶13，在边AB上任取一点M，则△AMC是钝角三角形的概率为________．解析：设a＝5k，b＝12k，c＝13k(k＞0)，∵a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，过C作CM⊥AB于M.由AC2＝AM·AB得：AM＝144 13k.∴△AMC 是钝角三角形的概率为：14413k 13k ＝144169. 答案：1441698．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开．若他们在限期内到达目的地是等可能的，求甲、乙两人会面的概率．解析：以x ，y 表示甲、乙两人到达会面地点的时间，两人能够会面的条件为|x －y |≤3，在平面上建立如下图所示的直角坐标系，则(x ，y )的所有可能结果是边长为10的正方形(用Ω表示)的面积，而可能会面的时间由图中阴影部分(用A 表示)面积表示，显然这是一个几何概型．所以P (A )＝102－72102＝51100＝0.51. 即两人能够会面的概率为0.51.9．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm，现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解析：如图，记“硬币落下后与格线无公共点”为事件M，则易得小等边三角形A′B′C′的边长为2 3.由三角形的面积之比等于边长比的平方，得P(M)＝S△A′B′C′S△ABC＝⎝⎛⎭⎪⎫B′C′BC2＝⎝⎛⎭⎪⎫23432＝14.10．甲、乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24.且y －x ≥4或y －x ≤－4.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或y －x ≤－4表示的区域(如上图)． 设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536. (2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足y －x ≥4；当乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y ≥2.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或x －y ≥2.设满足上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域(如下图)．P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。

几何概型一、选择题（共12小题；共60分）1. 在区间上随机取两个实数，，则关于的一元二次方程有实数根的概率为A. B. C. D.2. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径厘米，中间有边长为厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是A. B. C. D.3. 道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进．某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯秒．红灯秒，黄灯秒．小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口的概率为A. B. C. D.4. 某公司的班车分别在，发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是A. B. C. D.5. 在区间上随机选取两个数和，则的概率为A. B. C. D.6. 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是A. B. C. D.7. 如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为，且点与点在函数的图象上．若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于1A. B. C. D.8. 一只蜜蜂在一个棱长为的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体个表面的距离均大于，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A. B. C. D.9. 如图正方形的曲线是以为直径的半圆，从区间上取个随机数，，，，，，，，已知个点（），（），，（）落在阴影部分的个数为，则的估计值为A. B. C. D.10. 某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，，，则向该标靶内投点，该点落在区域二内的概率为A. B. C. D.11. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了个在区间上的均匀随机数和个区间上的均匀随机数∗ ≤ ≤ ，其数据如下表的前两行．2由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是A. B. C. D.12. 在如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 如图，在一个长为，宽为的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为，，且高为．现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是．14. 一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨至和下午至，那么该艘轮船在一昼夜内可以进港的概率是．15. 已知一只蚂蚁在边长分别为，，的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于的地方的概率为．16. 在边长为的正方形内部任取一点，则满足的概率为．17. 有一根长为的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两段的长度都大于的概率为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 如图，两盏路灯之间的距离是米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯、，问与，与之间的距离都不小于米的概率是多少?19. 如图所示，在墙上挂着一块边长为的正方形木板，上面画着小、中、大三个同心圆，半径分别为，、，某人站在之外向此板投镭，设投镶击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：3（1）投中大圆内的概率是多少?（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?（3）投中大圆之外的概率是多少?20. 某班甲、乙两名同学参加米达标训练，在相同条件下两人次训练的成绩（单位：秒）如下：甲乙（1）请画出茎叶图．如果从甲、乙两名同学中选一名加学校的米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；（2）经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于秒的概率．21. 设有一个等边三角形网格，其中各个等边三角形的边长都是，现把直径等于的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与网格线没有公共点的概率．22. 利用随机模拟的方法近似计算边长为的正方形内切圆面积，并估计的近似值．4答案第一部分1. B 【解析】要使方程有实根，只需满足，即，又，是从区间上随机取两个数，则满足条件的，如图所示，．2. C3. D4. B 【解析】设小明到达时间为，当在至时，小明等车时间不超过分钟，故．5. A6. B 【解析】解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过分钟，故所求概率为．解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过分钟，7：50~8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过分钟，故等车时间不超过分钟的概率为．7. B 【解析】易知点的坐标为，点的坐标为，所以矩形的面积为，阴影部分的面积为，故所求概率为．8. C 【解析】由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心，且棱长为的小正方体内．这个小正方体的体积为，大正方体的体积为，故安全飞行的概率为．9. B10. B11. A 【解析】由表可知，向矩形区域≤≤≤≤内随机抛掷个点，其中有个点在曲边三角形内，其频率为．因为矩形区域的面积为，所以曲边三角形面积的近似值为．12. A 【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为，总面积为，而阴影区域的边长为，面积为；故飞镖落在阴影区域的概率为．56第二部分 13.【解析】 梯形， 矩形 ， 所以 梯形矩形．14.【解析】早晨可以进港的时间为 ，下午可以进港的时间为 ， 所以该艘轮船一昼夜内可以进港的概率为． 15.【解析】由题意可知，三角形的三条边长的和为 ，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于 的地方爬行，则它爬行的区域长度为 ，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为．16.【解析】如图，如果点 位于以 为直径的半圆内部，则 ，否则点 位于半圆上及空白部分，则 ≤ ，所以的概率．17.【解析】如图，将细绳八等分， ， 分别是第一个和最后一个等分点，则在线段 的任意位置剪断得到的两段细绳长度都大于，故由几何概型的计算公式可知两段的长度都大于的概率．第三部分18. 记 ：“ 与 ， 与 之间的距离都不小于 米”， 把 三等分， 由于中间长度为米7所以．19. （1） 记 投中大圆内 ， 投中小圆与中圆形成的圆环内 ， 投中大圆之外 ， 正方形 ， 大圆 ， 中圆 ， 小圆 ， 所以大圆 正方形；（2） 中圆 小圆 正方形；（3）正方形 大圆正方形．20. （1） 甲、乙两人 次训练的成绩的茎叶图如图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，乙成绩的稳定性更好，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．（2） 设甲同学的成绩为 ，乙同学的成绩为 ， 则 ， 得 ， 如图，阴影部分面积即为 ， 则．21. 记 硬币落下后与网格线没有公共点 ，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为 ，则小等边三角形的边长为 ，由几何概型概率的计算公式得．22. （1）利用计算机产生两组上的均匀随机数，，．（2）经过平移和伸缩变换，∗，∗，得到两组上的均匀随机数．（3）统计试验总次数和点落在圆内的次数 [满足的点的个数]．（4）计算频率，即为点落在圆内的概率的近似值．（5）设圆的面积为，则由几何概型概率的计算公式得．所以，即，又因为，所以．8。