高考数学 2.5简单复合函数的求导法则课件 北师大版选修2-2

2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝__1___. [解析] 易得f′(x)＝4(2x＋a)， 又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20， 解得a＝1.
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
复合函数的概念
典例 1 函数 y＝2x＋1 12可以看成哪两个函数的复合？
[解析] 函数 y＝2x＋1 12可以看成函数 y＝1u与函数 u＝(2x＋1)2 的复
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进 行，导致求导不完全.
课堂检测•固双基
1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( A ) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 [解析] 将x2－1看作整体，记u＝x2－1，则y＝(x2－1)n由y＝un和u＝ x2－1 复合而成．
即 y′＝18x－24. (2)设 y＝cos u，u＝2x－π4， 则 yu′＝－sin u，ux′＝2， 于是 yx′＝yu′·ux′＝－2sin2x－π4， 即 y′＝－2sin2x－π4.
(3)设 y＝ln u，u＝4x－1，则 yu′＝1u，ux′＝4， 于是 yx′＝yu′·ux′＝4x－4 1， 即 y′＝4x－4 1. (4)设 y＝eu，u＝x2，则 yu′＝eu，ux′＝2x， 于是 yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即 y′＝2xex2.
知识点 2 复合函数的求导法则
复 合 函 数 y ＝ f(φ(x)) 的 导 数 为 ： y′x ＝ ______[f_(φ__(x_)_)]_′___________ ＝ _________f′__(_u_)_φ_′__(x_)_，__其__中__u_＝__φ_(_x_) ___________.

② 其实，y (3x 2)2 是一个复合函数，
由 y u2 与 u 3x 2复合而成.
yu 2u ux 3 ;
分析三个函数解析式以及导数
yu
,
ux
,
y
' x
之间的关系: y' yx' yu ux
07:44:18
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
=3sin2xcosx+3x2cosx3.
例2 求曲线y 3 (3x2 1)在点（1，3 4）处的切线方程。
【解析】
自学课本：P50，例3
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作业 课本P51页习题2-5第3,5题
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ux
lim
u0
y u

yu
lim y lim y u lim y lim u x0 x x0 u x x0 u x0 x

lim
u0
y u
lim x0
u x

yu
ux，
yx yu ux .
求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)合理选定中间变量(中间变量的选择应是基本函数结 构)； (2)正确分析函数的复合关系； (3)从最外层开始，由外及里，一层层地求导；明确求 导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．
yu cosu,ux 2
yu .ux 2cosu 2cos2x yx yu ux =2cos2x

法则3

u vBiblioteka '
u 'v uv ' v2
(v 0)
复合函数的导数
函数 y u，2 u 3，x 2 y 构 (成3x间的2)2关系？ y (3x 2)2 可由 y 与u2 u 复3x合 2得到．
例1 指出下列函数的复合关系：
（1）y (2 x2 )3 （3）y cos x
4
（2）y sin x2 （4） y lnsin(3x 1)
解：（31）y

c(2os
x42由)3x由 y
yu3 ,cuos复u复2,合u合x而而2成成．x．
4
（4）y（2ln）syin(3s由ixn由x12) yyslinn复uu,,合uu而复sx成i合n2 v．而,v成 ．3x 1
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水
面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为
y

h(t)

100 2t 1
求函数在t=3时的导数并解释它的实际意义。
解：函数 y h(t) 100 是由函数 f (x) 100 与
2t 1
x
x (t) 2t 1复合而成的，其中x是中间变量。
C' 0 (x n )' nxn1 (cosx)' sin x
(sin x)' cosx
2、法则1 [u(x) v(x)]' u ' (x) v' (x)
法则2 [u(x)v(x)] u '(x)v(x) u(x)v '(x) ,
[Cu(x)] Cu '(x)

编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
+
e-������ )
'
=12[(ex)'+(e-x)']
=12(ex-e-x).
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点评
选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪 些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清中间的复合关系.要善于把一 部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量.求导时需 要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,其中还应特别注意中间变量的关系, 求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。