空间向量的夹角、距离计算

用空间向量研究距离问题课程标准学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用 1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、两个平行平面之间的距离. 2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点 用空间向量研究距离问题 1.点到直线的距离如图1-4-18,已知直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点,设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·u )u.在Rt △APQ 中,由勾股定理,得PQ= = .图1-4-182.点到平面的距离如图1-4-19,已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离就是AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.因此PQ=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|n |= = . 图1-4-19【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α外一点A 到平面α的距离,就是点A 与平面α内一点B 所成向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.( )(2)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.()(3)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.()3.解决立体几何中问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.探究点一点到直线的距离例1 如图1-4-20,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离.图1-4-20变式1 [2020·潍坊高二期末] 已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()B.1A.2√23C.√2D.2√2变式2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.[素养小结]用向量法求点到直线的距离的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量;(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线上的投影向量的长度;(4)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.探究点二点到平面的距离例2 如图1-4-21,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.图1-4-21变式如图1-4-22所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分别为AD,PC的中点.(1)求证:DE∥平面PFB;(2)求点E到平面PFB的距离.图1-4-22[素养小结]用向量法求点到平面的距离的步骤:(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系;(2)求点的坐标:写出(求出)相关点的坐标;(3)求向量:求出相关向量的坐标;(4)利用公式即可求得点到平面的距离.探究点三线面距和面面距例3 如图1-4-23所示,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=√3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1到平面ABE的距离.图1-4-23变式如图1-4-24,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面A1BC1与平面ACD1的距离.图1-4-24[素养小结](1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.拓展如图1-4-25,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F 分别为AB,BC的中点.求:图1-4-25(1)点D到平面PEF的距离;(2)直线AC到平面PEF的距离.1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离为()A.6√55B.4√55C.2√55D.√552.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.√66B.√63C.√36D.√333.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,则点B到平面ACD1的距离为()A.√3B.√33C.3√22D.324.如图1-4-26,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.图1-4-265.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=1,AD=DC=√3,Q 是线段A 1C 1上一点,且C 1Q=13C 1A 1,则点Q 到平面A 1DC 的距离为 .用空间向量研究距离问题参考答案【课前预习】知识点1.√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 √a 2-(a ·u )22.|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n |||AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |诊断分析 (1)× (2)√ (3)√ 【课中探究】探究点一例1 解:因为AB=1,BC=2,AA'=3, 所以A'(0,0,3),C (1,2,0),B (1,0,0), 所以直线A'C 的方向向量A'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-3). 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√14,所以点B 到直线A'C 的距离d=√|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-(|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) 2=√4-1614=2√357. 变式1 A [解析] ∵A (0,0,2),B (1,0,2),C (0,2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-2),∴点A 到直线BC 的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |√1-(cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >)2=1×√1-(-11×3)2=2√23.故选A .变式2 解:连接AF ,以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,设DA=2,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2). |EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(-2)2+12=√6,FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1+0×(-2)+(-2)×1=-1, FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗|=√6, 所以点A 到直线EF 的距离d=√|FA |2-(√6) 2=√296=√1746. 探究点二例2 解:以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),G (2,1,0), 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2). 设n=(x ,y ,z )是平面EFG 的法向量, 点A 到平面EFG 的距离为d ,则{n ·GE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·GF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{-2x +y +z =0,-x -y +2z =0,取z=1,得n=(1,1,1),所以d=|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√33,即点A 到平面EFG 的距离为√33.变式 解:(1)证明:以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P (0,0,2),F (1,0,0),B (2,2,0),E (0,1,1), 所以FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1), 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为DE ⊄平面PFB , 所以DE ∥平面PFB. (2)因为DE ∥平面PFB ,所以点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离. 设平面PFB 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +2y =0,-x +2z =0,取x=2,得n=(2,-1,1). 因为FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,0),所以点D 到平面PFB 的距离d=|FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√6=√63,所以点E 到平面PFB 的距离为√63.探究点三例3 解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A 1(1,0,2),A (1,0,0),E (0,√3,1),C (0,√3,0). 过点C 作AB 的垂线交AB 于点F ,易得BF=√3, ∴B (1,2√3,0),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3,1). 设平面ABE 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2√3y =0,-x -√3y +z =0,取x=1,得n=(1,0,1).∵AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),∴点A 1到平面ABE 的距离d=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√2=√2.∵直线A 1B 1到平面ABE 的距离等于点A 1到平面ABE 的距离, ∴直线A 1B 1到平面ABE 的距离为√2.变式 解:如图,建立空间直角坐标系,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),设平面ACD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),由n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得{-x +y =0,-x +z =0,取x=1,得n=(1,1,1),所以平面ACD 1的一个法向量为n=(1,1,1),因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),所以点B 到平面ACD 1的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√33. 因为平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离等于点B 到平面ACD 1的距离, 所以平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离为√33.拓展 解:(1)连接DE.∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD ⊥AD ,PD ⊥CD ,又AD ⊥CD , ∴可建立如图所示的空间直角坐标系,则P (0,0,1),A (1,0,0),C (0,1,0),E 1,12,0,F 12,1,0,∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,12,-1,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,12,0. 设平面PEF 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-12x +12y =0,x +12y -z =0,取x=1,则平面PEF 的一个法向量为n=1,1,32.易知DE⃗⃗⃗⃗⃗ =1,12,0,设D 到平面PEF 的距离为d , 则d=|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=|1+12|√172=3√1717, 故点D 到平面PEF 的距离为3√1717.(2)由(1)知,平面PEF 的一个法向量为n=1,1,32.∵EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,12,0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0), ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵AC ,EF 不共线,∴AC ∥EF ,又∵AC ⊄平面PEF ,EF ⊂平面PEF ,∴AC ∥平面PEF. 易得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,12,0,设直线AC 到平面PEF 的距离为h , 则h=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=12√172=√1717, 故直线AC 到平面PEF 的距离为√1717. 【课堂评价】1.B [解析] 如图,以B 为原点,分别以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),设∠ABE=θ,则cos θ=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗||BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√5=√55,则sin θ=√1-cos 2θ=2√55,故点A 到直线BE 的距离d=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=2×2√55=4√55. 2.D [解析] 以P 为原点,分别以PA ,PB ,PC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),易得平面ABC 的一个法向量为n=(1,1,1),则P 到平面ABC 的距离d=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√33.3.A [解析] 如图,以D 为原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则B (3,3,0),A (3,0,0),C (0,3,0),D 1(0,0,3),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,3,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0).设平面ACD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3x +3y =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3x +3z =0,取x=1,得n=(1,1,1),∴点B 到平面ACD 1的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√3.故选A . 4.√423 [解析] 连接GD 1.以D 为坐标原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D 1(0,0,2),F (1,1,0),G (0,2,1),所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,-1),GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,1),所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-1√3=1√3,|GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,所以点D 1到直线GF 的距离为√5-13=√423. 5.√33 [解析] 连接DQ ,建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,1),C (0,√3,1),A 1(√3,0,0),C 1(0,√3,0),由C 1Q=13C 1A 1,得Q √33,2√33,0,∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-1),DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√33,2√33,-1.设平面A 1DC 的法向量为n=(x ,y ,z ),由{n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3y =0,√3x -z =0,可取n=(1,0,√3),∴点Q 到平面A 1DC 的距离d=|DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√33.。

空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。

用空间向量研究距离夹角问题引言在空间向量的研究中，距离和夹角是两个重要的概念。

本文将从理论和实际应用的角度探讨如何利用空间向量研究距离和夹角问题。

我们将首先介绍空间向量的定义和基本性质，然后讨论距离和夹角的计算方法和应用领域。

空间向量的定义和基本性质空间中的向量是用来表示有大小和方向的量的工具。

在三维空间中，一个向量可以表示为有序三元组，即(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

空间向量具有以下基本性质： 1. 零向量：所有分量均为零的向量，记作0。

零向量的大小为0，方向不确定。

2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

3. 零向量与任何向量都是平行向量。

4. 位置向量：连接空间中两点的向量称为位置向量。

距离的计算方法在空间向量的研究中，距离是指空间中两点之间的直线距离。

假设有两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可通过以下公式计算：距离 =√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)夹角的计算方法夹角是指两个向量之间的角度。

对于两个非零向量A和B，它们之间的夹角θ可通过以下公式计算：夹角θ = arccos((A·B) / (|A|*|B|))其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。

应用领域距离和夹角在多个学科和领域中都有广泛的应用，下面我们将介绍其中几个领域的应用。

1. 几何学距离和夹角是几何学中最基本的概念，它们在几何图形的计算、形状分析等方面起着重要的作用。

例如，在三角形的计算中，可以利用距离和夹角的概念计算三角形的面积、周长等。

2. 物理学在物理学中，空间向量的概念和距离、夹角的计算方法被广泛应用于力学、电磁学等领域。

例如，在力学中，可以利用向量的夹角计算力的合成和分解，从而解决复杂的物理力学问题。

利用空间向量求夹角的问题
1、求两异面直线a 、b 所成的角θ，0,2πθ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
步骤：①求出直线a 的方向向量a ，求出直线b 的方向向量b
2、求直线a 与平面α所成的线面角θ，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
步骤：①求出直线a 的方向向量a ，求出平面α的法向量μ，并设两向量a 与μ所成角为ϕ
3、求平面α与平面β所成的二面角θ，[]0,θπ∈
步骤：①求出平面α的法向量n ，求出平面β的法向量m ，并设两向量n 与m 所成角为ϕ ②cos n m
n m ϕ=，并求出两向量n 与m 所成角ϕ
③判断求角：两法向量n 与m 的方向一内一外时，θϕ=
两法向量n 与m 的方向同内、同外时，θπϕ=-
利用空间向量求距离的问题
1、求平面α外一点B 到平面α的距离d 步骤：①在平面α内找一点A 得到AB ，求出平面α的法向量n
2、求两异面直线a 、b 的公垂线的长d 步骤：①在直线a 上找一点A ，在直线b 上找一点B ,得到AB
②求出直线a 的方向向量a ，求出直线b 的方向向量b ，在利用求法向量的方法n ，
要求n a ⊥，n b ⊥
3、已知直线a 与平面α平行，求直线a 到平面α的距离d 步骤：①在直线a 上找一点A ，在平面α内找一点B ,得到AB
②求出平面α的法向量n
4、已知平面α与平面β平行，求平面α到平面β的距离d 步骤：①在平面α内找一点A ，在平面β内找一点B ,得到AB
②求出平面 的法向量n。

空间向量求距离的数学公式
在数学和物理学中，空间向量是指具有大小和方向的量，通常
用来描述物体在空间中的位置或运动。

当我们需要计算两个空间向
量之间的距离时，可以使用数学公式来求解。

这个公式可以帮助我
们确定两个点之间的距离，无论这些点是在二维空间还是三维空间中。

在二维空间中，我们可以使用以下公式来计算两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离：
d = √((x2 x1)² + (y2 y1)²)。

这个公式叫做欧几里得距离公式，它是通过两点之间的直线距
离来计算的。

在三维空间中，我们可以将这个公式扩展为：
d = √((x2 x1)² + (y2 y1)² + (z2 z1)²)。

这个公式同样适用于计算两个点在三维空间中的距离。

这些公
式都是基于空间中的直线距离来计算的，它们可以帮助我们在数学
和物理问题中确定物体之间的距禿。

除了直线距离外，我们还可以使用向量的点积来计算两个向量
之间的距离。

如果我们有两个向量A和B，它们的点积可以通过以
下公式来计算：
A·B = |A| |B| cos(θ)。

其中|A|和|B|分别是向量A和B的大小，θ是它们之间的夹角。

然后我们可以使用点积来计算向量之间的夹角，从而得到它们之间
的距离。

这些数学公式为我们提供了不同的方法来计算空间向量之间的
距离，它们可以帮助我们在数学、物理和工程领域中解决各种问题。

通过理解这些公式，我们可以更好地理解空间中物体之间的相对位
置和距禿，从而更好地应用它们在实际问题中。

用空间向量求直线间的夹角、距离
1、定义：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，则把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

2、在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

求异面直线所成角的步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。

B、证明作出的角即为所求角；
C、利用三角形来求角。

3、两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量与，在空间中任取一点O，作
，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作。

注：（1）规定：，当=0时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记。

（2）两个向量的夹角唯一确定且。

4、空间向量夹角的坐标表示：。

设，
则AB两点间的距离。

空间向量的夹角和距离公式
cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)
其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，A，和，B，表示向量A和向量B的模。

点乘的计算方法如下：
A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。

模的计算方法如下：
A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)
B，=√(B1^2+B2^2+B3^2)
其中，^2表示求平方根的操作。

夹角θ的取值范围是[0,π]，即0到180度。

此外，空间向量的夹角还可以通过向量的叉乘计算。

设有两个三维向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
sinθ = ，A × B， / (，A， * ，B，)
其中，A×B表示向量A和向量B的叉乘。

叉乘的计算方法如下：
A×B=(A2*B3-A3*B2,A3*B1-A1*B3,A1*B2-A2*B1)
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。

距离公式：
两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
其中，^2表示求平方根的操作。

这个公式适用于二维和三维空间的点之间的距离计算。

总结起来，空间向量的夹角可以通过点乘和叉乘计算，距离可以通过
坐标差的平方和再开方计算。

这些公式在物理学、几何学和计算机图形学
等领域有广泛应用。