2019-2020年高考总复习数学课件：第四章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

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构建坐标系解决平面向量问题 向量融“数”、“形”于一体,具有几何、代数的“双重身份”,我们在研究向量问题时,巧妙 构造平面直角坐标系,可以将复杂问题简单化,抽象问题直观化.
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典例 (2013·重庆高考)在平面上,������������1 ⊥ ������������2,|������������1|=|������������2|=1,������������ = ������������1 + ������������2.若|������������|<12,则|������������|的取值范围是 ( )
2
1 ������������, 又������为������������的中点, 所以������������ = 1 ������������, 因此������������ = 1 ������������ + 1 ������������, 又
2
2
4
4
������������ = ������������������ + ������������������, 故������ = 1 , ������ = 1 ⇒ ������ + ������ = 1.
1 ������������ = ������������ + ������������ + 1 (������������ − ������������) = 2 ������������ + 4 ������������,
3
3
3
3
即得������������ = 1 ������������ + 2 ������������, 所以������ = 2.
2.平面向量的坐标表示

易错警示
(-1553,2)=
(2b-5a),
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已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为 .
错解：由A(1,2),B(3,6)知AB=(2,4),
uuur
∴
AB uuur
(2, 4)
(
5,2
5)
AB 2 5 5 5
错解分析：与AB共线有两种情况:一是同向共线,一
是反向共线,“错解”中忽略了反向共线这一情况.
2.解析：
uuur AD
1
uuur ( AB
uuur AC)
1
r (a
r b)
2
2
3.解析：在正三角形ABC中，B＝60°， ∴与的夹角为60°，∴与的夹角为180°－60° ＝120°.
4. (2019·聊城模拟)已知向量 a=(3,4),b=(sinα,cosα),
3
且a∥b，则tanα= 4 .
uuur
正解：与AB同向时为
uAuBur AB
(
5 5
,2 5) 5
uuur
与AB反向时为-
AB uuur
AB
(
5 , 2 5) 55
链接高考
（2019·陕西）已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2), 若(a+b)∥c， 则m＝ .
知识准备:1. 会进行平面向量的坐标运算； 2. 会利用平行的条件.
①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位
向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、y,
使a=xi+yj.把有序数 对(x叫,y做) 向量a的坐标,记作a= ,其中 叫②则(a设Ax在点,Oy)x坐A轴=标上x为i+的y坐jx,则标,反向,之量亦(叫Ox成,yAa)在立的y(坐O轴标就是上(是坐x的,终y标坐) 点原标yA点.的).坐标,即若OA=(x,y),

1．若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三点共线的 充要条件是 λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个 条件且 λ＋μ＝1 常被当作隐含条件运用． 3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有 无穷多组．
考点二 平面向量的坐标运算(自主练透)
[题组集训]
1．若向量 a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝0，52，则 c 可用向量 a，b 表示为( )
A.12a＋b
B．－12a－b
C.32a＋12b
D.32a－12b
解析：A [设 c＝xa＋yb，则0，52＝(2x－y，x＋2y)，
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→ ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ (x2－x1，y2－y1) ，
→ |AB|＝
x2－x12＋y2－y12 .
4．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
(2)如图，在△ABC 中，A→N＝13N→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝ mA→B＋121A→C，则实数 m 的值为 ______ .
[解析] 设|B→P|＝y，|P→N|＝x，
则A→P＝A→N＋N→P＝14A→C－x＋x yB→N，①
A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋x＋y yB→N，②
①×y＋②×x 得A→P＝x＋x yA→B＋4x＋y yA→C，
令4x＋y y＝121，得 y＝83x，代入得 m＝131.
[答案]
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(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法 则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能 表示成xx12＝yy12，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1 ＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1 －x2y2＝0等．
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1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( )
答案：B
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3．(2015·南京模拟)已知A(－3,0)，B(0， 3 )，O为坐标原
点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，
→ OC
＝λ
→ OA
＋
→ OB
，则实数λ
的值为__________．
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解析：∵∠AOC＝30°，设C(x0，－ 33x0)，其中x0<0. 又O→C＝λO→A＋O→B，
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的 向量O→A的坐标与点A的坐标相同．
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2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
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②设O→A＝x i＋yj，则__向__量__O→_A_的__坐__标___(x_，__y_)_就是终点 A 的坐 标，即若O→A＝(x，y)，则 A 点坐标为__(x_，__y_)___，反之亦成立(O 是坐标原点)．
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问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底 吗？