7.1 选择性样本模型

7.1.1 条件概率本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主本节课主要学习条件概率.学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型、几何概型）已经有所了解。

条件概率是学生接触到的又一个全新的概率模型。

一方面，它是对古典概型计算方法的巩固，另一方面，为后续研究独立事件打下良好基础。

这一概念比较抽象，学生较难理解。

遇到具体问题时，学生常因分不清是P （B |A ）还是P （AB ）而导致出错。

基于此，在本节的教学中，应特别注意对于条件概率概念的生成，借助图示形象直观地展现条件概率概念的生成过程。

重点：运用条件概率的公式解决简单的问题 难点：条件概率的概念多媒体AB ，包含了样本点数n (AB )=16.根据古典概型知识可知：P （B|A ） =n(AB)n(A)=1630=815.问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩,则样本空间Ω={bb,bg,gb,gg },且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择家庭中有女孩” ，B 表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩” ，A ={bg,gb,gg }, B ={gg }.（1） 根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率 P(B) =n(B)n(Ω)=14.（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A 发生的条件下，事件B 发生” 的概率，记为P （B|A ） ，此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB ，根据古典概型知识可知 P （B|A ） =n(AB)n(A)=13.分析：求P （B|A ）的一般思想因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A.因为在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生，即AB 发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率 P （B|A ） =n(AB)n(A).为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W ，则有A A B问题1. 如何判断条件概率?题目中出现“在已知……前提下关键词,表明这个前提已成立或条件已发生问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么P（AB）=P（A）P（B|A）.我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P（A）>0，则（1）P（Ω|A）=1；（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P （C | A）；（3）设B和B̅互为对立事件，则P（B̅|A）=1−P（B|A）.三、典例解析例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。

第7章计量经济学应用模型1．分析教材例7.1.1中的问题，回答：为什么按照（1）、（2）、（3）的方法建立的农户借贷因素分析模型都是不正确的？答：（1）若仅利用2820户发生借贷的农户为样本，以他们的借贷额为被解释变量，各种影响因素为解释变量建立的农户借贷因素分析模型是不正确的。

在损失大量样本（丢弃的样本占总样本的44.7%）导致回归精度下降的同时，如果再对其进行经典的截面数据模型分析，将会出现样本选择性问题，应该建立“选择性样本”模型，而不是经典回归模型，属于模型类型选择错误。

（2）若选用所有的5100户作为样本，以其借贷额为被解释变量，将没有发生借贷行为的农户的借贷额记为0（约占总样本的45%），进行经典的截面数据模型分析，这将会在模型中包含实际上并不满足要求的样本数据，属于“选择性样本”数据，仍然应该建立“选择性样本，模型，而不是经典回归模型，属于模型类型选择错误。

故此方法建立的农户借贷因素分析模型是不正确的。

（3）若将没有发生借贷的农户的借贷额视为小于等于0，建立Tobit模型进行回归分析，考虑了样本的选择性。

因此，从模型类型选择的角度，是正确的。

但这种处理方式同样会导致回归结果的精度下降，这主要是因为将有发生借贷的农户的借贷额视为小于等于0的数据处理方式有失偏颇，其中可能存在有借贷需求，但出于某种原因（例如提出借贷被拒绝，担心借不到而不敢提出借贷要求）没有发生借贷的农户。

故此方法建立的农户借贷因素分析模型仍是不正确的。

2．分析教材例7.1.2中的问题，回答：如果建立某类商品的单方程需求函数模型，该模型在什么情况下是可以应用的？答：在计量经济学应用研究中，单方程模型和联立方程模型的选择对经济行为具有依赖性。

根据对需求行为的分析发现，人们对各种商品的需求量，是在预算约束下，由效用函数在效用最大化下导出的。

人们在决定对某种商品的需求量时，肯定会同时考虑对其他商品的需求量。

所以，从理论上讲，不能建立某类商品的单方程需求函数模型。

《7.1.1条件概率》教学设计本节课内容选自普通高中教科书人教A 版数学选择性必修第三册第七章第一节《条件概率与全概率公式》，共2个课时，《7.1.1条件概率》是第一课时.通过本单元的学习，学生需要用数学的眼光看待随机事件的概率，能用概率的一般概念解释具体现象，并通过条件概率和独立性等数学概念分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法.学习过程中蕴含着数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.以下从内容与内容解析、目标与目标解析、教学问题诊断解析、教学过程分析四个方面说明这节课的理解和设计。

一、内容与内容解析1. 内容：条件概率，概率的乘法公式.2. 内容解析：随机事件的条件概率是概率论的重要概念之一.由条件概率得到两个不独立 事件的概率乘法公式、全概率公式，它们是求很多复杂事件概率的有用工具.结合古典概型，研究随机事件的条件概率，并用它们计算较复杂事件的概率是概率学习的深入和提高.条件概率顾名思义是指一个事件A 已经发生的条件下另一个事件B 发生的概率.已知事件A 发生，试验的样本点属于A ，因此A 成为新的样本空间，所以条件概率(|)P B A 本质上是在缩减的样本空间A 上事件AB 的概率.条件概率同样具有概率的三条基本性质.通过古典概型得到的条件概率的概念及公式，对于一般随机事件的条件概率都适用，具有普遍意义.3. 教学重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及应用.二、目标与目标解析1. 目标：结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关系；能计算简单的随机事件的条件概率。

2. 目标解析：1）通过实例引导学生探究发现，由特殊到一般，得到条件概率的定义式 ()(|)()P AB P B A P A 并简单应用. 2）在验证条件概率定义的过程中，体会条件概率的思想，感受其本质为基本事件范围的缩小，并简单应用.3）通过条件概率的发现过程提升学生的数学抽象素养，通过对条件概率定义的验证以及模型的应用提升逻辑推理和数学建模素养.三、教学问题诊断解析1. 问题诊断：由于具体问题中的许多条件概率问题与我们的直觉相悖，因此往往很难迅速得到正确的答案，这就是概率问题不同于其他数学问题之处.因此，学生在学习条件概率概念时可能会产生困惑，对条件概率定义的理解会存在偏差.由于古典概型的条件概率计算总可以通过缩小样本空间转化为非条件概率的计算，因此学生在学习心理上可能会不自觉地拒绝接受条件概率的概念.另外，独立性是概率论中极其重要的概念，独立性的概念可以用条件概率描述，但在实际操作中两个随机独立性的判断往往是基于学生的经验，所以学生容易忽视独立性与条件概率之间的关系.2. 方法策略：认识论告诉我们，认识就是在实践—认识—再实践—再认识的过程中不断深化的。

第7章说明•经典的单方程计量经济学模型理论与方法，限于常参数、线性、揭示变量之间因果关系的单方程模型，被解释变量是连续的随机变量，其抽样是随机和不受限制的，在模型估计过程中或者只利用时间序列样本，或者只利用截面数据样本，主要依靠对经济理论和行为规律的理解确定模型的结构形式。

•本章中，将讨论几种扩展模型，主要包括将被解释变量抽样由完全随机扩展为受到限制的选择性样本模型，将被解释变量是连续的扩展为离散的离散选择模型，将单一种类的样本扩展为同时包含截面数据和时间序列数据的平行数据样本（Panel Data）等。

2013-5-15计量经济学第7章说明•这些模型与方法，无论在计量经济学理论方面还是在实际应用方面，都具有重要意义。

但是，这些模型都形成了各自丰富的内容体系，甚至是计量经济学的新分支学科，模型方法的数学过程较为复杂。

•本章只介绍其中最简单的模型，以了解这些模型理论与方法的概念与思路。

2013-5-15计量经济学§7.1 选择性样本模型Selective Samples Model一、经济生活中的选择性样本问题二、“截断”问题的计量经济学模型三、“归并”问题的计量经济学模型2013-5-15计量经济学The Bank of Sweden Prize in EconomicSciences in Memory of Alfred Nobel 2000"for his development of theory and methods for analyzing selective samples”James J HeckmanUSA2013-5-15计量经济学•“Shadow Prices, Market Wages and Labour Supply”, Econometrica42 (4), 1974, P679-694发现并提出“选择性样本”问题。

•“Sample Selection Bias as a Specification Error”, Econometrica47(1), 1979, P153-161证明了偏误的存在并提出了Heckman两步修正法。

第七章统计案例§1一元线性回归1．1 直线拟合1．2 一元线性回归方程必备知识基础练知识点一直线拟合1.下表提供了某厂利用节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．(1)(2)从散点图中可以看出，甲产品的产量和相应的生产能耗近似呈什么关系？(3)如果甲产品的产量为7吨，预测相应的生产能耗的吨数．知识点二一元线性回归方程2.[多选题]已知一组样本点(x i，y i)，其中i＝1，2，3，…，30，根据最小二乘法求得的回归方程是y＝bx＋a，则下列说法正确的是( )A．回归方程y＝bx＋a经过点(x，y )B．至少有一个样本点落在回归直线y＝bx＋a上C．对所有的x i(i＝1，2，3，…，30)，预报变量bx i＋a的值一定与y i有误差D．若y＝bx＋a的斜率b>0，则变量x与y正相关3．已知变量x，y之间的一组数据如下表所示：若根据表中数据得出y＋0.76x，则表中a的值为________．4．某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：(1)(2)若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？关键能力综合练一、选择题1．一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据(略)，由此建立的身高与年龄的线性回归方程为Y＝7.19X＋73.93，用这个方程预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下2．下表显示出样本中y随x变化的一组数据，由此判断它最可能是( )A.C．指数函数模型D．对数函数模型3．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，由最小二乘法求得回归方程为y＝0.67x＋54.9.若已知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝( ) A．75 B．155.4C．375 D．466.24．某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1 000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线L.根据图中数据，下列选项中对该样本描述错误的是( )A.据样本数据估计，该地区青少年的身高与年龄成正相关B．所抽取数据中，5 000名青少年的平均身高约为145 cmC．直线L的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D．从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线L上5．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数x＝4，y＝5.6，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )A．y＝0.4x＋4 B．y＝1.2x＋0.7C．y＝－0.6x＋8 D．y＝－0.7x＋8.2二、填空题6．[易错题]某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：且回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，则下列说法：①销售额y 与广告费支出x 正相关；②丢失的数据(表中▲处)为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告费投入7万元，则销售额估计为60万元．其中，说法正确的是________．7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：∧y＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．8．[双空题]为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间X(单位：h )与当天投篮命中率Y 之间的关系：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．三、解答题9．记录某产品的单价x(元)与销售量y(件)的数据如下表所示：其中（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程；（2）预测当单价为12元时，该产品的销售量．学科素养升级练1.[多选题]某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知线性回归方程为∧y＝6.3x ＋6.8，下列说法正确的是（ ）A .B .回归直线∧y =6.3x+6.8必经过样本点（4，★）C ．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗一定增加6.3吨D ．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨2．[学科素养——数据分析]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示：为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2014，z＝y－5，得到下表：(1)求z关于t(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的线性回归方程；(3)用所求线性回归方程预测到2024年年底，该地此银行储蓄存款额可达到多少？§1一元线性回归1．1 直线拟合1．2 一元线性回归方程必备知识基础练1．解析：(1)由题中所给数据，可得散点图如图所示．(2)从散点图可以发现甲产品的产量和相应的生产能耗近似呈线性关系．(3)甲产品的产量为7吨时，相应的生产能耗大约为5吨．2．解析：线性回归方程y ＝bx ＋a 经过样本中心点(x ，y )，故A 正确；样本点可能都不在回归直线上，故B 错误；样本点可能在直线y ＝bx ＋a 上，即可以存在x i 对应的预报变量bx i ＋a 与y i 没有误差，故C 错误；若y ＝bx ＋a 的斜率b >0，则样本点的分布从左至右上升，变量x 与y 正相关，故D 正确．故选AD.答案：AD3．解析：由题意，可知x ＝14(5＋6＋7＋8)＝6.5.由回归直线过样本点的中心(x ，y )，得y ＝0.26＋0.76x ＝0.26＋0.76×6.5＝5.2，由y ＝14(4＋5＋5.4＋a )＝5.2，解得a ＝6.4.答案：6.44．解析：(1)x ＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96 ＝8.5， y ＝90＋84＋83＋80＋75＋686＝80，＝80＋20×8.5＝250，∴y 关于x 的线性回归方程为y ＝－20x ＋250.(2)设工厂获得的利润为L 万元，则L ＝(x －4)(－20x ＋250)＝－20(x －8.25)2＋361.25，∴预测把单价定为8.25元时，工厂获得最大利润，最大利润为361.25万元．关键能力综合练1．解析：由线性回归方程可得Y 0＝7.19×10＋73.93＝145.83，所以预测这个孩子10岁时的身高在145.83 cm 左右．答案：C2．解析：画出散点图(图略)，可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．答案：A3．解析：由题意，可得x ＝1505＝30，代入回归方程中，可得y ＝0.67×30＋54.9＝75，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝5×y ＝375，故选C .答案：C4．解析：在给定范围内，随着年龄的增加，年龄越大身高越高，故该地区青少年的身高与年龄成正相关，故A 正确；用样本数据估计总体可得平均数大约是145 cm ，故B 正确；根据直线斜率的意义可知斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量，故C 正确；各取一人具有随机性，根据数据做出的点可能在直线附近，不一定在直线上，故D 错误．故选D .答案：D5．解析：因为变量x 与y 负相关，所以b<0，排除A 、B 选项；将x ＝4，y ＝5.6代入检验即可得到C 是正确选项，故选C .答案：C6．解析：由回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，可知b ＝6.5，则销售额y 与广告费支出x 正相关，所以①是正确的；设丢失的数据为a ，由表中的数据可得x ＝5，y ＝220＋a 5，把点(5，220＋a 5 )代入回归方程，可得220＋a 5＝6.5×5＋17.5，解得a ＝30，所以②是正确的；该公司广告费支出每增加1万元，销售额应平均增加6.5万元，所以③不正确；若该公司下月广告费投入7万元，则销售额估计为y ＝6.5×7＋17.5＝63万元，所以④不正确．答案：①②7．解析：由题意知，[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254.答案：0.2548．解析：小李这5天的平均投篮命中率Y － ＝15×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，X － ＝3，∧b ＝0.110 ＝0.01，∧a ＝Y － －∧bX － ＝0.5－0.03＝0.47. ∴线性回归方程为Y ＝0.01X ＋0.47，则当X 0＝6时，Y 0＝0.53.∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53.答案：0.5 0.539．解析：(1)由题意，得x ＝15(6＋7＋8＋9＋10)＝8， y ＝15(55＋48＋44＋38＋25)＝42，∴b＝1 610－5×8×42330－5×82 ＝－7，a ＝42－(－7)×8＝98， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ＝－7x ＋98.(2)当x ＝12时，y ＝－7×12＋98＝14，即当单价为12元时，该产品的销售量约为14件．学科素养升级练1．解析：设看不清的数字为a ，计算x － ＝15 ×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y － ＝15×(19＋25＋a ＋38＋44)＝126＋a 5 ，代入线性回归方程∧y ＝6.3x ＋6.8中，得126＋a 5＝6.3×4＋6.8，解得a ＝34，所以y － ＝32，所以看不清的数据★的值为34，A 正确；又回归直线∧y＝6.3x ＋6.8过样本点(4，32)，所以B 错误；回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗预测增加6.3吨，所以C 错误；x ＝7时，∧y＝6.3x ＋6.8＝6.3×7＋6.8＝50.9，所以据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨，D 正确．故选AD .答案：AD2．解析：(1)t － ＝3，z － ＝2.2，所以z 关于t 的线性回归方程为∧z＝1.2t －1.4. (2) ∧z＝1.2t －1.4， 代入t ＝x －2014，z ＝y －5，得∧y－5＝1.2(x －2014)－1.4， 即∧y＝1.2x －2 413.2. 故y 关于x 的线性回归方程为∧y＝1.2x －2 413.2. (3)由(1)中的线性回归方程，预测到2024年年底，该地此银行储蓄存款额可达到1.2×2024－2 413.2＝15.6(千亿元).。

主题：样本选择模型内容：一、样本选择模型概述样本选择模型是指在建立统计模型时，通过选择合适的样本进行建模和预测。

在实际应用中，样本选择模型在金融、医疗、社会科学等领域都有着广泛的应用。

其核心目标是通过合理选择样本，提高模型的预测准确性和泛化能力，从而使模型更贴近真实情况，产生更有效的决策支持。

二、样本选择模型的重要性1. 避免样本偏差：样本选择模型能够避免样本的偏差，提高模型的代表性和可信度。

在实际应用中，由于各种原因，样本可能存在一定的偏差，通过样本选择模型可以有针对性地剔除偏差较大的样本，从而减小样本的偏差，提高模型的准确性。

2. 提高模型预测能力：合理选择样本可以提高模型的预测能力。

在样本选择过程中，可以排除一些无效的样本，减小噪声的干扰，使模型更加专注于关键样本，从而提高预测能力和泛化能力。

3. 优化决策支持：样本选择模型可以优化决策支持。

通过选择更加合适的样本，可以使模型对不同情况有更好的适应性，为决策提供更为全面和准确的支持。

三、样本选择模型的关键技术1. 特征选择：在样本选择模型中，特征选择是一个至关重要的环节。

通过对样本的特征进行筛选和挑选，可以提高模型的泛化能力和可解释性。

特征选择也可以避免维度灾难，减小模型的复杂度，提高模型的训练效率。

2. 样本平衡：在样本选择模型中，样本平衡是一个重要的问题。

通过平衡正负样本的比例，可以避免模型在训练和预测中出现偏差，提高模型的预测能力。

3. 数据预处理：在样本选择模型中，数据预处理是一个不能忽视的环节。

通过对数据进行清洗、归一化、缺失值处理等操作，可以提高模型的训练效果，提高模型的泛化能力。

四、样本选择模型的应用实例1. 金融领域：在金融领域，样本选择模型被广泛应用于信用评分、风险预测等方面。

通过合理选择样本，可以提高风险预测模型的准确性，为金融机构提供更为准确的风险评估和决策支持。

2. 医疗领域：在医疗领域，样本选择模型能够帮助医生更准确地诊断疾病，提高医疗决策的准确性。

机器学习中的样本选择方法样本选择是机器学习中的重要环节之一，它关乎着模型的准确性和泛化能力。

在机器学习任务中，我们常常面临着大规模的数据集，而并非所有的数据都对构建模型和进行预测都是有用的。

因此，在样本选择的过程中，我们需要谨慎地选择合适的样本以提高模型性能。

一、简介在机器学习中，样本选择指的是从原始数据集中筛选出一部分样本，然后使用该子集进行模型的训练和测试。

样本选择的目的是尽量减少不必要的样本，同时保持数据集的代表性。

二、随机样本选择方法随机样本选择方法是一种广泛应用的方法，它通过随机抽样的方式选择样本。

这种方法的优点是简单易实现，且可以保证样本的独立性。

然而，随机样本选择方法并不能保证选择到的样本对模型的训练和测试具有足够的代表性，可能会导致模型的过拟合或欠拟合。

三、分层采样方法为了解决随机样本选择方法的不足，人们提出了分层采样方法。

这种方法将数据集按照某种特征进行划分，然后在每个子集中进行样本选择。

分层采样方法能够保证每个子集都具有一定的代表性，从而使模型具有更好的泛化能力。

四、基于距离的采样方法除了随机样本选择和分层采样，还有一种常用的样本选择方法是基于距离的采样方法。

这种方法通过计算样本之间的距离，选择相似度较高的样本。

基于距离的采样方法可以帮助我们选择与已有样本相似的新样本，从而提高模型的准确性。

五、重要性采样方法在一些特定的机器学习任务中，我们可能面临着类别不平衡的问题，即某些类别的样本数量远远多于其他类别。

为了解决这个问题，我们可以采用重要性采样方法。

重要性采样方法通过调整样本的权重，使得少数类别的样本在训练中能够得到更多的关注。

这种方法可以有效地缓解类别不平衡问题，提高模型对少数类别的识别能力。

六、其他样本选择方法除了以上介绍的方法，还有一些其他的样本选择方法被应用于机器学习中。

例如，基于边界的采样方法通过选择靠近类别边界的样本来提高模型的鲁棒性；基于聚类的采样方法通过对样本进行聚类分析，选择代表性样本来简化数据集等等。

第七章随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式7.1.1 条件概率新版课程标准学业水平要求1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.2.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率. 1.通过对具体情境的分析,了解条件概率的定义.(数学抽象)2.掌握简单的条件概率的计算问题.(数学运算)3.能利用条件概率公式、概率的乘法公式解决简单的实际问题.(数学模型、数学运算)必备知识·素养奠基1.条件概率(1)定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.1.P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗?为什么?提示:不同.P(B|A)是指在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,而P(A|B)是指在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同.2.古典概型中的条件概率还可以怎样计算?提示:P(B|A)=(2)特例:当P(A)>0时,当且仅当事件A与B相互独立时,有P(B|A)=P(B).2.概率的乘法公式对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)·P(B|A).3.条件概率的性质设P(A)>0,则(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);(3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)P(A∩B)= P(AB).()(2)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.( )(3)P=P P.( )提示:(1)√.事件A和B同时发生所构成的事件称为事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB),所以P(A∩B)= P(AB).(2)×.若事件A,B互斥,则事件A∩B是不可能事件,P(A∩B)=0,所以P(B|A)=0.(3)×.P=P P.2.设A,B为两个事件,若P(A∩B)=,P(B)=,则P(A|B)=( )A. B. C. D.【解析】选C.由P(A|B)===.3.某产品长度合格的概率为,质量合格的概率为,长度、质量都合格的概率为,任取一件产品,已知其质量合格,则它的长度也合格的概率为________.【解析】令A:产品的长度合格,B:产品的质量合格,A∩B:产品的长度、质量都合格,则P(A)=,P(B)=,P(A∩B)=.任取一件产品,已知其质量合格,它的长度也合格,即为A|B,其概率P(A|B)===.答案:关键能力·素养形成类型一条件概率的计算角度1 利用条件概率公式计算【典例】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.【思维·引】设出事件,利用条件概率公式求解.【解析】设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为=20.事件A所含样本点的总数为×=12.故P(A)==.因为事件A∩B含=6个样本点.所以P(A∩B)==.所以在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为P(B|A)===.【素养·探】★本例考查条件概率的计算,同时考查了数学抽象与数学运算的核心素养.若本例条件不变,求第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.【解析】设第1次抽到文科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次抽到文科题且第2次抽到理科题为事件A∩B.从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为=20.事件A所含样本点的总数为×=8.故P(A)==.因为事件A∩B含×=6个样本点.所以P(A∩B)==.所以在第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为P(B|A)===.角度2 利用缩小样本空间计算【典例】集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.【思维·引】正确理解条件概率的特点,结合古典概型求解.【解析】将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15个样本点,在这15个样本点中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9个,所以所求概率P==.【类题·通】条件概率计算的关注点1.原型:在题目条件中,若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时,一般可认为是条件概率.2.方法:(1)在原样本空间中,先计算P(AB),P(A),再利用公式P(B|A)=计算求得P(B|A);(2)若事件为古典概型,可利用公式P(B|A)=,即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率.【习练·破】抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.(1)求P(A),P(B),P(A∩B);(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时,问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少?【解析】(1)设x为掷红骰子得的点数,y为掷蓝骰子得的点数,则所有可能的事件为(x,y),建立一一对应的关系,由题意作图如图显然:P(A)==,P(B)==,P(A∩B)=.(2)方法一:P(B|A)==.方法二:P(B|A)===.类型二条件概率的实际应用【典例】有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9,寿命超过800小时的概率为0.8,在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为________.【思维·引】仔细阅读分析题意,利用条件概率公式解题.【解析】记“寿命超过500小时”为事件A,“寿命超过800小时”为事件B,则所求事件为B|A,因为B⊆A,所以B∩A=B,又P(A)=0.9,P(B∩A)=P(B)=0.8,所以P(B|A)= =.答案:【内化·悟】条件概率的实际应用问题的解题的难点是什么?提示:条件概率是指事件A发生的条件下,事件B发生的概率,需正确分析事件A,B并计算其概率.【类题·通】解决条件概率问题的关注点(1)关键:理清条件和结论,建立条件概率模型;(2)注意:B∩A事件的含义;(3)公式:P(A|B)=,P(B|A)= .【习练·破】某种元件用满6 000小时未坏的概率是,用满10 000小时未坏的概率是.现有1个此种元件,已经用过6 000小时未坏,求它能用到10 000小时的概率.【解析】设A:用满10 000小时未坏,B:用满6 000小时未坏,显然AB=A,所以P(A|B)====.类型三利用乘法公式求概率【典例】有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取1粒,则这粒种子能长成幼苗的概率为________.【思维·引】认真分析题意,利用乘法公式求解.【解析】记“种子发芽”为事件A,“种子长成幼苗”为事件AB(发芽,又成活),出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,又P(A)=0.9.故P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.72.答案:0.72【内化·悟】乘法公式与条件概率公式是什么关系?提示:乘法公式是条件概率公式的变形式.【类题·通】应用乘法公式的关注点1.功能:已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率,求事件A与B同时发生的概率.2.推广:设A,B,C为三个事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A). 【习练·破】某项射击游戏规定:选手先后对两个目标进行射击,只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8,继续射击,射中第二个目标的概率为0.5,则这个选手过关的概率为________.【解析】记“射中第一个目标”为事件A,“射中第二个目标”为事件B,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.5. 所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.5=0.4,即这个选手过关的概率为0.4.答案:0.4【加练·固】一批彩电,共100台,其中有10台次品,采用不放回抽样依次抽取3次,每次抽一台,求第3次才抽到合格品的概率.【解析】设A i(i=1,2,3)为第i次抽到合格品的事件,则有P(A3)=P()P()P(A3) =××≈0.008 3.课堂检测·素养达标1.某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%,已知一学生数学不及格,则他的语文也不及格的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.设A为事件“数学不及格”,B为事件“语文不及格”,P(B|A)===,所以当数学不及格时,该学生语文也不及格的概率为.2.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A. B. C. D.1【解析】选B.因为第一名同学没有抽到中奖券,所以问题变为3张奖券,1张能中奖,最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.3.甲、乙两市都位于长江下游,根据一百多年来的气象记录,知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )A.,B.,C.,D.,【解析】选C.P(A|B)===,P(B|A)===.4.第一个袋中有黑、白球各2只,第二个袋中有黑、白球各 3 只.先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一球.则第一、二次均取到白球的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.记A i:第i次取得白球,i=1,2,则P=,P=,由乘法公式求得,P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=×=.【新情境·新思维】高三毕业时,小红、小鑫、小芸等五位同学站成一排合影留念,已知小红、小鑫二人相邻,则小鑫、小芸相邻的概率是________.【解析】设“小红、小鑫二人相邻”为事件A,“小鑫、小芸二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B|A),而P(A)==,AB表示事件“小鑫与小红、小芸都相邻”,故P(AB)==,于是P(B|A)==.答案:。

统计模型：样本模型-什么是样本模型统计模型是用来描述和分析数据的一种工具。

它通过使用概率和数学原理来帮助我们理解数据背后的规律和关系。

在统计学中，样本模型是其中一种常见的模型类型。

样本模型的定义样本模型是指根据已有的数据样本来推断总体的模型。

总体是指我们感兴趣的整体数据集，而样本则是从总体中抽取的一部分数据。

样本模型通过对样本数据的分析和推断，帮助我们了解总体的特征和属性。

样本模型的作用样本模型在统计学中扮演着重要的角色。

它可以帮助我们从有限的数据样本中推断总体的性质和规律，从而作出更广泛的结论和决策。

通过样本模型，我们可以进行各种统计分析，例如估计总体均值、推断总体比例等。

构建样本模型的步骤构建样本模型通常需要以下步骤：1. 数据收集：从总体中抽取样本数据，并收集相关的观测变量。

2. 数据清洗：对收集到的数据进行清洗和处理，确保数据的可靠性和准确性。

3. 数据探索：通过统计图表、描述性统计量等方式对数据进行探索性分析，获取数据的基本特征和分布情况。

4. 模型选择：根据数据的特征和分析目的，选择适当的样本模型来描述数据。

5. 模型拟合：使用统计方法和算法对样本模型进行拟合，得到模型的参数估计值。

6. 模型评估：通过各种统计指标和检验方法对拟合得到的模型进行评估，检验模型的有效性和拟合程度。

7. 结果解释：根据样本模型的参数估计值和推断结果，解释数据的特征和总体的属性。

总结样本模型是统计学中常用的模型类型，它通过对样本数据的分析和推断来帮助我们了解总体的特征和属性。

构建样本模型需要进行数据收集、数据清洗、数据探索、模型选择、模型拟合、模型评估和结果解释等步骤。

通过使用样本模型，我们可以进行各种统计分析，并作出更广泛的结论和决策。