2020-2021学年山东省烟台市高二下学期期末考试数学试题

高中试题

gm 烟台市2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断

高二数学

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．

3．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合1Axx，13Bxx，则RAB（）

A．3xx B．13xx C．1xx D．13xx

2．“11x”是“1x”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知21,11,1xxfxfxx，则2021f（）

A．2 B．1 C．0 D．不确定

4．函数2221xxfxx的图象可能为（）

A． B． C． D．

5．若函数21fxaxx在1,上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A．0, B．0, C．1,2 D．1,2

6．某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的23．若该物质的剩余质量变为原来的14，则经过的时间大约为（）（lg20.301，lg30.477）

A．2.74年 B．3.42年 C．3.76年 D．4.56年 高中试题

gm 7．已知函数ln,02,0xxfxxx，若fmfn且nm，则mn的最小值为（）

A．2 B．3 C．21e D．2e

8．已知奇函数fx的定义域为,00,，10f，且fx在,0上单调递增，则不等式210xfx的解集为（）

A．,10,1 B．1,01,

C．1,00,1 D．,11,

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的有（）

A．“0,x，21x”的否定为“0,x，21x”

B．“0,x，21x”的否定为“,0x，21x”

C．“0x，210xx”的否定为“0x，210xx”

D．“0x，210xx”的否定为“0x，210xx”

10．已知函数1212xxfx，2lg1gxxx，则（）

A．函数fx为偶函数

B．函数gx为奇函数

C．函数Fxfxgx在区间1,1上的最大值与最小值之和为0

D．设Fxfxgx，则210FaFa的解集为1,

11．已知函数1xfxx，gxxaaR，则（）

A．fx在1,单调递减

B．fx的图象关于点1,0对称

C．若方程fxgx仅有1个实数根，则04a

D．当0a或4a时，方程fxgx有3个实数根 高中试题

gm 12．若函数gx在区间D上有定义，且对,,abcD，ga，gb，gc均可作为一个三角形的三边长，则称gx在区间D上为“M函数”．已知函数1lnxfxxkx在区间1,ee为“M函数”，则实数k的值可能为（）

A．4e B．1e C．25e D．214e

三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数21logfxx的定义域为______．

14．已知272,11,1xaxfxxaxx是R上的减函数，则实数a的取值范围为______．

15．若函数23xye在0x处的切线与lnyxax的图象相切，则实数a的值为______．

16．已知函数20fxaxxa在其图象上任意一点,Ptft处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设OMN△（O处坐标原点）的面积为St，当0tt时，St取得最小值，则0at的值为______．

四、解答题，本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知fx是定义在R上的偶函数，当0x时，sinfxxx．

（1）当0x时，求函数fx的解析式；

（2）解关于m的不等式21fmfm．

18．（12分）已知函数31413fxxx．

（1）求函数fx的极值；

（2）讨论方程fxaR实数解的个数．

19．（12分）已知函数ln421xxfxkkR，ln2gxx．

（1）若fx的定义域为R，求k的取值范围；

（2）若不等式fxgx有解，求k的取值范围．

20．（12分）如图，将一张长为a，宽为58a的矩形铁皮的四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器．设截去的小正方形的边长为x，所得容器的体积为V． 高中试题

gm

（1）将V表示为x的函数Vx

（2）x为何值时，容积V最大？求出最大容积．

21．（12分）已知函数lnfxxxxmmR．

（1）若yfx的图象恒在x轴上方，求m的取值范围；

（2）若存在正数1x，2x12xx，满足12fxfx，证明：122xx．

22．（12分）已知函数xfxxe．

（1）求fx的单调区间；

（2）令lnagxfxaRfx，对任意1x，1gx．求a的取值范围．

2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断

高二数学参考答案

一、单选题

DBAA CBBD

二、多选题

9．AC 10．BCD 11．ACD 12．BD

三、填空题

13．0,2 14．2,3 15．1 16．3

四、解答题

17．解：（1）当0x时，0x，sinsinfxxxxx，

又fx为偶函数，所以sinfxfxxx．

（2）当0x时，sin1cos0fxxxx，

所以fx在0,单调递增．

又fx为偶函数，所以2121fmfmfmfm．

所以21mm，两边平方，整理得3110mm，

解得1m或13m． 高中试题

gm 18．解：（1）24fxx．

令0fx，解得2x或2x．

x ,2 2 2,2 2 2,

fx  0  0 

fx 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

因此，当2x时，fx有极大值，且极大值为1923f．

当2x时，fx有极小值，且极小值为1323f．

（2）方程fxa的实数解的个数，即为函数yfx的图象与直线ya的交点的个数．

当x时，fx，当x时，fx，

结合（1）知fx的大致图象如图所示．

所以，当193a或133a时，解为1个；

当193a或133a时，解为2个；

当131933a时，解为3个．

19．解：（1）要使fx的定义域为R，只需4210xxk在R上恒成立．

令20xt，只需210ytkt在0t上恒成立．

当02k，即0k时，yt在0,单增，恒有010yty，

因此，对任意0k均成立．

当02k，即0k时，yt在0,2k单减，,2k单增，只需02kf，

即221042kk，解得22k，所以20k． 高中试题

gm 综上，k的取值范围为2,．

（2）若不等式fxgx有解，即ln421ln2ln2xxxkx，

可得04212xxxk有解．

因为当x时，421xxk，所以，对任意实数k，总存在00x，使得004210xxk，即4210xxk有解．

由4212xxxk可得，1122xxk．

令20xt，1ytt，221111ttytt，

显然当0,1t时，函数单调递增，当1,t时，函数单调递减，

所以当1t时，y取最大值2，

所以12k，即1k．

20．解：（1）由题意知，长方体容器的长、宽、高分别为2ax，528ax，x，

容器的体积5228Vaxaxx．

令20ax，5208ax，0x，可得5016xa．

故函数3225135224848Vxaxaxxxaxax，5016xa．

（2）令221351228Vxxaxa．

令0Vx，得118xa，2512ax（舍去）．

x 10,8a 18a 15,816aa

Vx  0 

Vx 单调递增 极大值 单调递减

因此，18xa是函数Vx的极大值点，相应的极大值398256aaV，