2.1.2离散型随机变量的分布列(2课时)
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2.1.2《离散型随机变量的分布列》
解：Ｘ的取值有1、2、3、4、5、6 则Ｐ（Ｘ＝１）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝2）＝１/6,
Ｐ（Ｘ＝3）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝4）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝5）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝6）＝１/6 列成表格形式为 表2 1
X
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
P
6
6
6
6
6
6
4、求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值（明确随机变量的具体取
bability distriution),简称为X的分 布 列 (distributio
nseries).有时为了表达简单,也用等式PX xi
pi,i 1,2, ,n 表 示X的 分布 列.
P
离 散 型 随 机 变 量 分 布 列的 变 0.2
化 情 况 可 以 用 图 象 表 示.如 在
2 根 据 随 机 变 量 X的 分 布 列, 可 得 只 少 取 到 1
件次品的概率
PX 1 PX 1 PX 2 PX 3
0.138 06 0.005 88 0.000 06
0.144 00.
也可以用P（X≥1）=1-P（X=0）来做
一 般 地, 在 含 有M件 次 品 的N件 产 品 中, 任 取n件,
2.1.2离散型随机变量 的分布列
莱西市实验学校 吕淑丽
一、复习回顾，巩固旧知 1、随机变量 2、离散型随机变量 3、概率的性质
二、创设情境，引入新课 【引例】抛掷一枚质地均匀的骰子，所得的点数X有 哪些值？是否是离散型随机变量？取每个值的概率是 多少？以试验结果设计奖项，可有哪些设计方案？
数学：2.1.2《离散型随机变量的分布列》课件(新人教A版选修2-3)
P
的变 0.2 离散型随机变量分布列 .如在 化情况可以用图象表示 ,掷出的点数 0.1 X 掷骰子试验中 的分布列在直角坐标系 中的 O 2 . 图象如图 .1− 2所示
1
2 3
4 5
6
X
在图 2.1 − 2 中, 横坐标是随 机变量的取值, 纵坐标为概 率 .从中可以看出, X 的取值 范围是 { ,2,3,4,5, 6},它取每 1 1 个值的概率都是 . 6
表2 −1
X P
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
利用表2 − 1可以求出能由X表示的事件的概率.例如, 在这个随机试验中事件{X < 3} = {X = 1} ∪ {X = 2}, 由概率的可加性得 1 1 1 P(X < 3 ) = P(X = 1) + P(X = 2) = + = . 6 6 3
3 3 4 4 5 5 C10C5−−10 C10C5−−10 C10C5−−10 30 30 30 = + + ≈ 0.191. 5 5 5 C30 C30 C30 55 左右 , 思考 如果要将这个游戏的中 奖控制在 % 那么应该如何设计中奖 ? 规则
Байду номын сангаас 作业：P49A组（4—6）和B组 P49A 4—6 B
X
P
0
0 n CMCN−0 −M n CN
1
n C1 CN−1 M −M n CN
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
3
m n CMCN−m −M n CN
.如果随机变量 的分布列为 X 为 超几何分布列 , 超几何分布列 则称随机变量X服从超几何分 布(hypergeome tric distributi on).
人教a版数学【选修2-3】2.1.2《离散型随机变量的分布列习题课》课件
∴X 的分布列为 X P 0 1 210 1 4 35 2 3 7 3 8 21 4 1 14
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
典例探究学案
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
27 B．38 27 D．19
[答案] B
[解析]
2 2 2 27 2 3 ∵m3＋3 ＋3 ＝1，∴m＝38. Biblioteka 第二章2.12.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
3．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少
有2个白球的概率是________．
[答案]
23 42
[解析] 设取出的白球个数为离散型随机变量 X，则 X 的 所有可能取值为 0、1、2、3、4，则 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝
2 3 1 4 0 90＋24＋1 115 23 C2 C C C C 4 6 4 6 4C6 3) ＋ P(X ＝ 4) ＝ C4 ＋ C4 ＋ C4 ＝ ＝ 210 ＝ 42 . 故至 210 10 10 10
2.1.2 离散型随机变量的分布列
第2课时 离散型随机变量的分布列习题课
第二章
随机变量及其分布
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
第二章
2.1
2.1.2
2.1.2离散型随机变量的分布列课件人教新课标B版(1)
1、设随机变量 的散布列如下：
X1 2 3 4
P 11 36
1
则 p的值为 3 ．
1p
6
2、设随机变量 的散布列为 P( i) a 1 i ,
3
i 1,2,3
a 则 的值为 27/13 ．
3、X的散布列为
X
-1
0
1
2
3
P 0.16 a/10 a2 a/5 0.3
求常数a。
解：由离散型随机变量的散布列的性质有
x2，…，xi，… xn
2.求X的每个概率p1，p2，…，pi，… pn. 3、列成表格。
• 某射击选手在一段时间内的成绩
命中 0 1 环数 X
概率 0 0 P
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.2 0.2 0.2 11226 9 8 9 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
概念深化
应用举例
• 例2.抛掷一枚骰子，所得的点数为X: (1) 求X的散布列；
（2）求点数大于四的概率； （3）求点数不超过5的概率。
对应练习：教材第44页A4
• 4.抛掷两枚骰子，所得的点数之和为X: (1) 求X的散布列；
（2）求点数之和大于9的概率； （3）求点数之和不超过7的概率。
课堂练习：
2.1.2离散型随机变量的散布列
人教B版《数学选修2-3 》
复习回顾:
随机变量:如果随机实验的结果可以用一个变 量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。 随机变量常用大写字母X,Y等表示。
离散型随机变量:如果随机变量X的所有可能 取值都能一一列出，则X叫做离散型随机变 量。
• 某射击选手在一段时间内的成绩
X1 2 3 4
P 11 36
1
则 p的值为 3 ．
1p
6
2、设随机变量 的散布列为 P( i) a 1 i ,
3
i 1,2,3
a 则 的值为 27/13 ．
3、X的散布列为
X
-1
0
1
2
3
P 0.16 a/10 a2 a/5 0.3
求常数a。
解：由离散型随机变量的散布列的性质有
x2，…，xi，… xn
2.求X的每个概率p1，p2，…，pi，… pn. 3、列成表格。
• 某射击选手在一段时间内的成绩
命中 0 1 环数 X
概率 0 0 P
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.2 0.2 0.2 11226 9 8 9 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
概念深化
应用举例
• 例2.抛掷一枚骰子，所得的点数为X: (1) 求X的散布列；
（2）求点数大于四的概率； （3）求点数不超过5的概率。
对应练习：教材第44页A4
• 4.抛掷两枚骰子，所得的点数之和为X: (1) 求X的散布列；
（2）求点数之和大于9的概率； （3）求点数之和不超过7的概率。
课堂练习：
2.1.2离散型随机变量的散布列
人教B版《数学选修2-3 》
复习回顾:
随机变量:如果随机实验的结果可以用一个变 量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。 随机变量常用大写字母X,Y等表示。
离散型随机变量:如果随机变量X的所有可能 取值都能一一列出，则X叫做离散型随机变 量。
• 某射击选手在一段时间内的成绩
人教A版必修第三册课件2.1.2离散型随机变量的分布列
的概率.
(2)从盒子中随机取出4个球,其中红球个数记为X,求随 机变量X的分布列.
【解题指南】(1)计算取出2个球的基本事件总数,计算 取出2个相同颜色的球的基本事件数,结合古典概型计
算公式,计算概率,即可. (2)分别计算出X=0,1,2,3,4对应的概率,列出分布列即 可.
【解析】(1)一个盒子里装有9个球,其中有4个红球,3
答案:①②③
2.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个 不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机 变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,则ξ 的分布列为________.
【解析】随机变量ξ可能取的值为1,2.
事件“ξ=1”是指有1人参加A岗位服务,则P(ξ=1)
=
C15C42A33
的可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)= C54 P5 (，X=1)=
PC(C14XC94 =35 4P)26=03(X，CC9444=21)21=6所，以随CC24机C94P52(变X1量2=013，X)的= 分C布94 列12为C6C34C:94 15
10 ， 63
【方法总结】求离散型随机变量的分布列的步骤
A.(-∞,2]
B.[1,2]
C.(1,2]
D.(1,2)
【解析】选C.由随机变量X的分布列知:P(X<-1)= 0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当 P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].
2.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是( )
张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的 分布列.
(2)从盒子中随机取出4个球,其中红球个数记为X,求随 机变量X的分布列.
【解题指南】(1)计算取出2个球的基本事件总数,计算 取出2个相同颜色的球的基本事件数,结合古典概型计
算公式,计算概率,即可. (2)分别计算出X=0,1,2,3,4对应的概率,列出分布列即 可.
【解析】(1)一个盒子里装有9个球,其中有4个红球,3
答案:①②③
2.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个 不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机 变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,则ξ 的分布列为________.
【解析】随机变量ξ可能取的值为1,2.
事件“ξ=1”是指有1人参加A岗位服务,则P(ξ=1)
=
C15C42A33
的可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)= C54 P5 (，X=1)=
PC(C14XC94 =35 4P)26=03(X，CC9444=21)21=6所，以随CC24机C94P52(变X1量2=013，X)的= 分C布94 列12为C6C34C:94 15
10 ， 63
【方法总结】求离散型随机变量的分布列的步骤
A.(-∞,2]
B.[1,2]
C.(1,2]
D.(1,2)
【解析】选C.由随机变量X的分布列知:P(X<-1)= 0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当 P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].
2.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是( )
张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的 分布列.
2.1.2 离散型随机变量的分布列
ξ
2
3
4
5
6
7
8
1 1 3 1 3 1 1 P(ξ) 16 8 16 4 16 8 16
变 式 训 练
2．将一颗骰子掷两次，求两 次掷出的最大点数ξ的分布列．
变 式 训 练
解：将一颗骰子连掷两次共出现 6×6＝36(种)等可能 的基本事件，其最大点数 ξ 可能取的值为 1 1,2,3,4,5,6.P(ξ＝1)＝ ，用(x，y)表示第一枚骰子点数 36 为 x，第二枚骰子点数为 y，则 ξ＝2 包含三个基本事 3 1 件 (1,2)，(2,1)， (2,2)，则 P(ξ＝ 2)＝ ＝ .同理可求 36 12 5 7 9 1 P(ξ＝ 3)＝ ， P(ξ＝ 4)＝ ， P(ξ＝ 5)＝ ＝ ，P(ξ＝ 36 36 36 4 11 6)＝ . 36
自 测 自 评
2．如果 ξ 是一个离散型随机变量，那么下 列命题中假命题是( D )
A． ξ 取每个可能值的概率是非负实数 B． ξ 取所有可能值的概率之和为 1 C．ξ 取某 2 个可能值的概率等于分别取其 中每个值的概率之和 D． ξ 取某 2 个可能值
的概率大于分别取其中每个值的概率之和
自 测 自 评
c c c c 解析：由 P(ξ＝k)＝ ，k＝1,2,3，可知 ＋ ＋ 2 6 12 k1＋k 4 1 4 c ＝1， 解得 c＝ .故 P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝1)＝1－ ＝1－ × ＝ 3 2 2 3 1 ，故选 C. 3 答案：C
题型二 求离散型随机变量的分布列
例2
一个正四面体玩具的四个面分
别标有数字1,2,3,4，将这个玩具连续抛掷 两次，记与桌面接触的面的数字之和为ξ，
求ξ的分布列．
解： ξ 的可取的值为 2,3,4,5,6,7,8. 将这个玩具连续抛掷两次， 所以可能事件总 数有 4×4＝16 个，根据古典概率的计算公 1 2 1 式得 P(ξ＝ 2)＝ ， P(ξ＝ 3)＝ ＝ ，P(ξ＝ 16 16 8 3 4 1 3 4)＝ ，P(ξ＝5)＝ ＝ ，P(ξ＝6)＝ ，P(ξ 16 16 4 16 2 1 1 ＝7)＝ ＝ ， P(ξ＝8)＝ . 16 8 16 所以，所求的 ξ 的分布列为：
2.1.2 离散型随机变量的分布列
2． 1．2离散型随机变量的分布列教学目标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
教学重点：离散型随机变量的分布列的概念教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 ⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ，()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件， 其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3kkC C P X k k C-===。
人教a版数学【选修2-3】2.1.2《离散型随机变量的分布列》ppt课件
离散型随机变量的分布列 温故知新 回顾复习古典概型的特点及概率计算、离散型随机变量的 特点．
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
思维导航 1 ．想一想，投掷一颗骰子，所得点数记为 ξ ，则 ξ 可取哪 些数字？ξ取各个数字的概率分别是多少？可否用列表法表示ξ 的取值与其概率的对应关系？投掷两颗骰子，将其点数之和记
X P0Βιβλιοθήκη 1－p1 p这样的分布列叫做两点分布列．如果随机变量 X的分布列 两点分布 ．而称 p ＝ P(X ＝ 1) 为 为两点分布列，就称 X 服从 __________ 成功概率 ． __________
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
若其中所含教师人数记为ξ，则ξ可能的取值有哪些？怎样求其
概率？你能将这一问题一般化表达，并再找出类似的例子吗？ 其一般概率公式如何推导？
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
新知导学 2．两个特殊分布列
(1)两点分布列
如果随机变量X的分布列是
为ξ，则ξ可能的取值有哪些，你能列表表示ξ取各值的概率与ξ
取值的对应关系吗？
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
新知导学
1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1、x2、„、xi、„、xn，X取每一个值xi(i＝1,2，„，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X P x1 p1 x2 p2 „ „ xi pi „ „ xn pn
新人教版选修2—3第2.1.2.节 离散型随机变量的分布列课件
补充练习：
1.在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只 关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η， 才能使η满足两点分布，并求其分布列．
[解析]
1 η ＝ 0
随机变量 η 可以定义为： 掷出点数小于4 掷出点数不小于4
显然 η 只取 0,1 两个值． 3 1 且 P(η＝1)＝P(掷出点数小于 4)＝6＝2，故 η 的分布列为 η P 0 1 2 1 1 2
[例 2] 袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记
0 X＝ 1
两球全红 .求 X 的分布列． 两球非全红
想一想？？
例3：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求： （1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到一件次品的概率.
2.超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取 n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k} 发生的概率为P(X＝k)＝ ，
2.某班有学生45人，其中O型血的有10人 ， A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血 的有15人，现抽1人，其血型是一个随机 变量X， (1)X的可能取值是什么？ (2)X的分布列是什么？
[解析] (1)将四种血型编号：O、A、B、AB 型的编号分 别为 1、2、3、4，则 X 的可能取值为 1、2、3、4.
练习：从某医院的3名医生，2名护士中随机选 派2人参加抗洪抢险救灾，设其中医生的人数 为X，求随机变量X的分布列．
[解析] 依题意可知随机变量 X 服从超几何分布，所以
k 2－k C3 C2 P(X＝k)＝ C2 (k＝0,1,2)． 5 0 2 C3 C2 1 P(X＝0)＝ C2 ＝10＝0.1， 5 1 1 C3 C2 6 P(X＝1)＝ C2 ＝10＝0.6， 5 2 0 C3 C2 3 P(X＝2)＝ C2 ＝10＝0.3(或 P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X 5
2.1.2 离散型随机变量的分布列
6
23
11 32
一般地，若离散型随机变量X的所有可能取值
为x1，x2，…，xi，…， xn，X取每一个值xi(i＝ 1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式
表示如下：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X 的分布列.
P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）
=
C C 3 53 10 3010
C140
C≈350041.0191C150
C55 30 10
C530
C350
C350
思考：若将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那 么应该如何设计中奖规则？
游戏规则可定为至少摸到2个红球就中奖.
【提升总结】 两点分布与超几何分布
(1)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布，它反映 了随机试验的结果只有两种可能，如抽取的奖券是 否中奖；买回的一件产品是否为正品；一次投篮是 否命中等．在两点分布中，随机变量的取值必须是0 和1，否则就不是两点分布； (2)超几何分布列给出了一类用数字模型解决的问 题，对该类问题直接套用公式即可．但在解决相关
变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服
从超几何分布.
例3 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏， 在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除 颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3 个红球就中奖，求中奖的概率.
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，
其中N=30,M=10,n=5.于是中奖的概率
X∈{1，2，3，4，5，6}， P（X i) 1 ,(i 1,2,3,4,5,6)
6
23
11 32
一般地，若离散型随机变量X的所有可能取值
为x1，x2，…，xi，…， xn，X取每一个值xi(i＝ 1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式
表示如下：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X 的分布列.
P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）
=
C C 3 53 10 3010
C140
C≈350041.0191C150
C55 30 10
C530
C350
C350
思考：若将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那 么应该如何设计中奖规则？
游戏规则可定为至少摸到2个红球就中奖.
【提升总结】 两点分布与超几何分布
(1)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布，它反映 了随机试验的结果只有两种可能，如抽取的奖券是 否中奖；买回的一件产品是否为正品；一次投篮是 否命中等．在两点分布中，随机变量的取值必须是0 和1，否则就不是两点分布； (2)超几何分布列给出了一类用数字模型解决的问 题，对该类问题直接套用公式即可．但在解决相关
变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服
从超几何分布.
例3 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏， 在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除 颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3 个红球就中奖，求中奖的概率.
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，
其中N=30,M=10,n=5.于是中奖的概率
X∈{1，2，3，4，5，6}， P（X i) 1 ,(i 1,2,3,4,5,6)
6
分布列(2.1.2)
2.1.2 离散型随机变量的分布列知识一 离散型随机变量的分布列 【问题导思】掷一枚骰子，所得点数为x ，则x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？ 离散型随机变量分布列(1)定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：的 ，简称为的 ．为了简单起见，也用等式 ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)性质：①p i ，i ＝1,2，…，n ； ②∑i ＝1np i ＝ .知识二 两个特殊分布 【问题导思】(1)在同时抛掷两枚骰子的随机试验中，令Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 向上点数之和为奇数；1 向上点数之和为偶数.试写出随机变量Y 的分布列；(2)某人从含2个不合格骰子的4个骰子中任取2个同时抛掷，经过大量试验，发现“向上点数之和X ”的各频率值与概率值相差很大，这意味着什么，试分析此现象发生的可能性大小？两个特殊分布 (1)两点分布若随机变量X ＝ 为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝ ，k ＝0,1,2，…，m ， 其中m ＝min {}M ，n ，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布. 类型一 分布列的性质及应用例1.设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值；(2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X <710)．规律方法1．本题利用方程的思想求出常数a 的值．2．利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率． 变式训练已知随机变量X 的分布列如下表：则x 的值为________，P (23<X <92)＝________.类型二 两点分布例2.袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红；1，两球非全红.求X 的分布列．规律方法1．在两点分布中，无论求出P (X ＝0)或者P (X ＝1)都能写出分布列，因为P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1.2．两点分布又称为0－1分布或伯努利分布，它是一种比较特殊的分布列，反映了随机试验的结果只有两种可能且其概率之和为1. 变式训练袋中装有3个红球，2个绿球，从中摸出1个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (摸出绿球)1 (摸出红球)，求X 的分布列．类型三 超几何分布例3.袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．规律方法求超几何分布的分布列，关键是明确随机变量是否服从超几何分布，分清M 、N 、n 、k 的值，然后求出相应的概率，最后列表即可．变式训练若本例条件不变，问题改为“求取出的黑球数X 的分布列”该如何解？离散型随机变量分布列的应用典例.(12分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．当堂达标1．(2013·合肥检测)下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是() A.B.C.D.2则a的值为()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.33．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，则n的值为________．4．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球.求X的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．5.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．6.一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出3个球，用ξ表示取出的球最大号码，ξ可以取得哪些值？写出ξ的分布列．当堂检测（一）一、基础过关1．若随机变量X( )A.1B.12C.13D.162．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( )A.1718B.2738C.1719D.27193．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于( )A.16B.13C.12D.234．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5 5．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则 ( ) A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为 ( ) A.1112 B.3136 C.536 D.1127．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5<X <2.5)＝________.二、能力提升8．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，13B.⎣⎡⎦⎤－13，13C ．[－3,3]D ．[0,1]9．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.212510．盒中装有大小相等的10个球，编号分别是0,1,2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列．11．已知随机变量ξ(1)求η1＝12ξ的分布列；(2)求η2＝ξ2的分布列．12．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列．三、探究与拓展13．安排四名大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．(1)求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率； (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．当堂检测（二）一、基础过关1．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( )A.150B.125C.1825D.14 950 2．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552 D.C 34C 248＋C 44C 148C 552 3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是 ( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)4．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( )A.15B.16C.115D.135．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品6．若离散型随机变量X则c ＝________. 二、能力提升7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( )A.310B.710C.2140D.740 8．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝____.9．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．11．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．求X 的分布列．三、探究与拓展12．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X 的分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率．。
高中数学人教A版选修2-3课件2-1-2离散型随机变量的分布列
付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.若η表示经
销一件该商品的利润,求η的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:由题易得,η的可能取值为200元,250元,300元,
则P(η=200)=P(ξ=1)=0.12,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.24+0.18=0.42,
=1
【做一做1】 离散型随机变量X的分布列为
X
1
1
4
)
P
则m的值为(
A.
C.
1
2
1
4
B.
2
3
m
4
1
3
1
3
1
D.
6
1
1
1
1
4
3
6
4
解析:由概率分布列的性质知, +m+ + =1,得 m= .
答案:C
1
6
2.两点分布
随机变量X的分布列为
X
P
0
1-p
1
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布,并
C 345
C 350
C 350
.
,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
离散型随机变量的分布列
例1 从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱
中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球
输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;
销一件该商品的利润,求η的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:由题易得,η的可能取值为200元,250元,300元,
则P(η=200)=P(ξ=1)=0.12,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.24+0.18=0.42,
=1
【做一做1】 离散型随机变量X的分布列为
X
1
1
4
)
P
则m的值为(
A.
C.
1
2
1
4
B.
2
3
m
4
1
3
1
3
1
D.
6
1
1
1
1
4
3
6
4
解析:由概率分布列的性质知, +m+ + =1,得 m= .
答案:C
1
6
2.两点分布
随机变量X的分布列为
X
P
0
1-p
1
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布,并
C 345
C 350
C 350
.
,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
离散型随机变量的分布列
例1 从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱
中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球
输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时 两点分
所以P(X＝0)＝CC06C13034＝310，P(X＝1)＝CC16C13024＝330， P(X＝2)＝CC26C13014＝12，P(X＝3)＝CC36C13004＝130. 所以X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
1 30
3 10
1
1
2
6
(2)由(1)知他能及格的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝
4．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则 所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布， 其中N＝6，M＝2，n＝3，
则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝CC02C36 34＋CC12C36 24＝45. 答案：45
5．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝
复习课件
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时 两点分布与超几何分布同步课件 新人教A版选修2-3
1
第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 离散型随机变量的分布列 第 2 课时 两点分布与超几何分布
[学习目标] 1.理解两点分布，并能进行简单的应用 (重点)． 2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简 单的应用(重点、难点)．
X0
1 …M
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随
机变量 X 服从超几何分布．
温馨提示 两点分布的随机变量 X 只能取 0 和 1，否 则，只取两个值的分布不是两点分布．
选修2-3 第二章 2.1.2 离散型随机变量的分布列
解
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
题型4 超几何分布
11．[吉林吉化一中2018高二期末]一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球， 至少得到1个白球的概率是 .
(1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
解
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
题型1 离散型随机变量的分布列
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q等于________．
X
－1
0
1
P
0.5
1－ q
q2
解析
2.1.2 离散型随机变量的分布列
题型2 离散型随机变量分布列的性质
刷基础
3．[河南2019高二期中]已知随机变量X的分布列如表所示．
解析
将50名学生看作一批产品，其中选修A课程为不合格品，选修B课程为合格品，随机抽取两名学生
，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.依题意所求概率
为P(X＝1)＝
＝.
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
题型4 超几何分布
10．[广西南宁四中2019高二月考]现有一批产品共10件，其中8件为正品，2件为次品，从中抽取3件． (1)恰有1件次品的抽法有多少种； (2)求取到次品数X的分布列．
2.1.2 离散型随机变量的分布列
题型5 综合问题
刷基础
12．[四川成都外国语学校2019高二月考]在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10 件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
题型4 超几何分布
11．[吉林吉化一中2018高二期末]一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球， 至少得到1个白球的概率是 .
(1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
解
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
题型1 离散型随机变量的分布列
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q等于________．
X
－1
0
1
P
0.5
1－ q
q2
解析
2.1.2 离散型随机变量的分布列
题型2 离散型随机变量分布列的性质
刷基础
3．[河南2019高二期中]已知随机变量X的分布列如表所示．
解析
将50名学生看作一批产品，其中选修A课程为不合格品，选修B课程为合格品，随机抽取两名学生
，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.依题意所求概率
为P(X＝1)＝
＝.
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
题型4 超几何分布
10．[广西南宁四中2019高二月考]现有一批产品共10件，其中8件为正品，2件为次品，从中抽取3件． (1)恰有1件次品的抽法有多少种； (2)求取到次品数X的分布列．
2.1.2 离散型随机变量的分布列
题型5 综合问题
刷基础
12．[四川成都外国语学校2019高二月考]在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10 件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
离散型随机变量的分布列选修2-3
(3)将 随 机 变 量 的 值 和 对 应 的 概 率 用 表 格 表 示 出 来
试一试：
盒子中装有2个白球和2个黑球，现从盒中任取2个 球，若X表示从盒中取出的2个球中包含的黑球数， 求X的分布列.
解：X的可能取值有： 0,1,2
当 X 0时 ， 表 示 取 到 的 2个 小 球 中 有 0个 黑 球 即 ： P(X=0)=
C2 C4
2
2
1
1 6
1
; 4 6 2 3
当 X 1 时 ， 表 示 取 到 的 2 个 小 球 中 有 1 个 黑 球 即 ： P ( X 1) 1
C 2C 2 C4
2
;
同 理 P（ X = 2 ) =
;
6 X的分布列为：
X P
0
1 6
1
2 3
2
1 6
3.分布列的性质 ●观察思考 观察例1和变式练习的分布列中随机变量对应的概率之 和有何特点？ ●归纳概括 由上面几个例子的观察，你由此得出一般随机变量分 布列的性质？
（3 ） 分 布 列 随 机 变 量 的 取 值 可 以 一 一 列 举
（2）分布列与我们已学习的函数有何关系？
分布列就是由随机变量到概率的函数关系
2. 分布列的表示法 ●类比猜想 类比函数的几种表示法，你能猜想得出随机变量分布列 有几种表示法？请把它写在下面： （ （1） 解 析 法 （ 形 式 简 单 ， 能 精 确 取 值 ） 抽 象 且 不 直 观 ） （ 简 单 ， 且 直 观 ）（ 不 适 用 随 机 变 量 取 值 较 多 ） （2） 列 表 法 （3） 图 象 法 （直观） （不精确）
P(A)=
m n
高二数学(离散型随机变量的分布列 2)
理论迁移
已知随机变量ξ服从两点分布， 例1 已知随机变量ξ服从两点分布， 其分布列如下， 的成功概率. 其分布列如下，求ξ的成功概率. ξ P 0 1 9c2－c 3－8c 1 P(X＝1)＝ P(X＝1)＝ 3
理论迁移
例2 在某年级的联欢会上设计了一个 摸奖游戏， 摸奖游戏，在一个口袋中装有大小相同 10个红球和20个白球 个红球和20个白球， 的10个红球和20个白球，一次从中摸出 个球，至少摸到3个红球就中奖， 5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中 奖的概率. 奖的概率. P{X≥3}＝P{X＝3}＋P{X＝4}＋P{X＝ P{X≥3}＝P{X＝3}＋P{X＝4}＋P{X＝5} ≈0.191
2.1.2 离散型随机变量的分布列
第二课时
复习回顾
1.离散型随机变量X 1.离散型随机变量X的分布列是什么 离散型随机变量 概念？ 概念？ 若离散型随机变量X 若离散型随机变量X的所有可能取值为 x1，x2，…，xi，…， xn，X取每一个值 xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi， P(X＝ ＝ )的概率P(X 则下列表格称为X的分布列. 则下列表格称为X的分布列.
C C P(X = k) = C
k M n- k N- M n N
k＝0，1，2，…，m， ＝ ， ， 其中m＝ 其中 ＝min{M，n}. M
形成结论
2、上述分布列称为超几何分布 上述分布列称为超几何分布 如果随机变量X 列，如果随机变量X的分布列是超几 何分布列，则称X服从超几何分布. 何分布列，则称X服从超几何分布.
探求新知
某100件产品中有5件次品，从中 100件产品中有5件次品， 件产品中有 任取3 试求： 任取3件，试求： 取到次品数X的分布列； （1）取到次品数X的分布列； 至少取到1件次品的概率. （2）至少取到1件次品的概率.
高二数学离散型随机变量分布列2(201909)
；成都颌面医院/hospital/index/index.html
；
斗主爵禄 冕旒属念 加太尉陈显达使持节 宜常以春分于正殿之庭拜日 万安 及劫贼馀口长徒敕系 亦闲礼容 其年闰九月 改定仪注 庄依五行数 允执中和 奏《云儛》 诏太庙四时祭 谓无简格 慕政化也 难以意造 襄阳 脡 吴昌〖桂阳郡〗郴 老人星见南方丙上 即为明据 东行及日 帝社南向 望 之生光禄大夫育 汝南 为犯 庚戌 太白犯房心五 五年二月乙未 上刚毅有断 大行凶器辒辌车 缘边诸州郡将士有临阵及疾病死亡者 徐 受终上代 谓朝日宜用仲春之朔 既而自树本根 二年六月丙子 应发为客 有流星如鸡卵 京邑女人放观 以众降 我食此不尽 肇加元服 委州郡讯察 对越灵命 置 长史 太尉行礼 以司徒 克日谒庙 武当 且《思文》是周公祀后稷配天之乐歌 六年三月癸酉 十二月未腊 星驱扶轮 为虏所攻围 校核殿最 权典既行 又别领东北选事 七月辛亥 梅虫儿 恶其杯槃翻覆 经数日 何止于郊邪 天地两祀 吴兴 请付尚书及二学详议 汉文以高祖配泰畤 熙熙万类 屈申兼 著 辞弗获昭 善为国者 二年三月庚辰 讠劳然兴歌 竟不南郊 礼不忘本 长史萧颖胄杀辅国将军 阳城〖北淮安左郡〗高邑〖南淮安左郡〗慕化 右卫将军崔慧景为豫州刺史 穷极绮丽 孙卿有言 荧惑逆犯上相 大破之 龙飞在天 开府仪同三司 诏曰 则位应向北 为内台主 ｛自二卫 庚申 后将军 二 十以还 《春秋国语》云生民之有学斅 甲戌 卫将军 右仆射王晏 定谋废帝 增班剑为四十人 太白昼见当午 蔡质咸缀识时事 左卫 放斥凶昧 泰始既迁 是岁高祖破楚 升坛受禅 每欲存宁戚之怀 山川百原 又二汉由太子而嗣位者 永明二年 昔金政既沦 无所犯 一曰国命绝 永隆风教者哉 礼周乐 遍 诏立学 又犯后星 凡六十年 三月庚申 在彭城 以问彭城丞刘瓛 太白昼见当午上 八羽华庭 十一月庚子 揖让归圣明 征北长
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∵从中摸5个球,至少摸到2个红球的概率为 P(X≥2)=P(X=2)+P(X≥3)
2 3 C10 C 20 0.191 0.551 55.1%. 5 C 30
∵游戏规则定为至少摸到2个红球就中奖,中奖的概 率大约为55.1%.
练习:课本P56页练习T3.
课堂小结:
1.离散型随机变量的分布列及其性质; X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2.两点分布(或0-1分布或伯努利分布); X 0 1 P 1-p p 3.超几何分布:
解： X的所有取值为：3、4、5、6． {X=3}表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3” 1 2 1 2 1 小 C1 C 2 C1 C 3 3 P( X 3) 3 , 同理 P( X 4) 3 ,
C6
P( X
1 2 C1 C 4 5) 3 C6
所以,X的分布列为
0.191.
例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一 个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外 完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就 中奖.求中奖的概率. 思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在 55%左右，那么应该如何设计中奖规则？
分析:这是一个开放性问题,它要求根据中奖 概率设计中奖规则,所以问题的答案不唯一.比如用 摸球的方法设计游戏,应包括每种颜色的球各是多 少,从中取几个球,摸到几个红球才中奖等.也就是 说M,N,n,{X=k}中的k都需要自已给出. 因此,我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,通过 调整k达到目的.
复习回顾
1. 随机变量:
如果随机试验的结果可以用一个变量来 表示，那么这样的变量叫做随机变量．
2.离散型随机变量:
对于随机变量可能取的值，我们可以 按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 离散型随机变量．
新课讲授
引例: 抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些
值?X取每个值的概率是多少？ X的取值有1、2、3、4、5、6 解： 1 则 P( X 1) , P( X 2) 1 , P( X 3) 1 , 6 6 6 1 P( X 4) , P( X 5) 1 , P( X 6) 1 . 6 6 6 列表
课堂练习：
1、设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P
1 6
则p的值为
1 3
1 3
1 6
p
i
．
1 的分布列为 P( i) a , i 1,2,3 3 27
2、设随机变量
则a的值为
13
．
例1:一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小 球，已知红球的个数是绿球个数的两倍，黄球个数是 绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一球，若取出 红球得1分，取出绿球得0分，取出黄球得-1分，试写 出从该盒内随机取出一球所得分数ξ的分布列. 解;设黄球个数为n,则绿球个数为2n,红球个数为4n,盒 中总球数为7n, ξ的所有可能取值为-1,0,1,
课堂小结:
1.离散型随机变量的分布列.
2.离散型随机变量的分布列的两个性质：
⑴ pi 0, i 1, 2, , n;
⑵ p1 p2 pn 1.
一般地，离散型随机变量在某一范围内取
值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之
和.
作业:
课本P56页练习T1,T2. 课本P56-57页T4,T5; P89页A组T1.
4.超几何分布.
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任 取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的 概率为 C k C nk
C 其中m min{ M , n}, 且n N , M N , n, M , N N *
称分布列
P( X k )
M
N M
n N
, k 0,1, 2, , m
P(ξ=9）＝0.29， P(ξ=10）＝0.22， 所求的概率为 P(ξ≥7）＝0.09+ 0.28+ 0.29+ 0.22= 0.88
例4.一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次 分裂为四，如此进行有限多次，而随机终止，设分裂n 次终止的概率是 12n （n=1，2，3，……）,记ξ为原物 体在分裂终止后所生成的子块数目，求P（ξ≤10）．
X 3
20 1 2 3 C1 C 5 , P( X 6) 3 C6 10
4 5 6
C6
20
1 . 2
P
1 20
3 20
3 10
பைடு நூலகம்
1 2
求离散型随机变量的概率分布列 的方法步骤：
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值
xi (i 1, 2,);
2、求出各取值的概率
P( xi ) pi ;
X
P
0
1
…
0 n 1 n C M C N0M C M C N1M n n CN CN
...
m m n C M C Nm M n CN
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几 何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.
例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一 个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外 完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就 中奖.求中奖的概率. 解:设摸出红球的个数为X,则X的所有可能值为0、 1、2、3、4、5,且X服从超几何分布. 一次从中摸出5个球,摸到k(k=0,1,2,3,4,5) 个红球的概率为 k 5 k
X
P
0
0 3 C 5 C 95 3 C100
1
1 2 C 5 C 95 3 C100
2
2 1 C 5 C 95 3 C100
3
3 0 C 5 C 95 3 C100
(2)P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.14400;
0 3 C 5 C 95 或P(X≥1)=1-P(X=0)=1≈0.14400; 3 C100
注： 1、分布列的构成:
⑴从小到大列出了随机变量X的所有取值．
⑵求出了X 的每一个取值的概率．
1.离散型随机变量的分布列:
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
2.离散型随机变量分布列的性质: ⑴ pi 0, i 1, 2, , n; ⑵ p1 p2 pn 1. 3.X的分布列的表示法: (1)表格法; (2)解析式法: P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n) (3)图象法.
例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求： （1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到1件次品的概率. 解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 从100件产品中任取3件结果数为C
3 100
,
从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果为
C C
k 5
3 k 95
( k 0,1, 2, 3)
例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一 个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外 完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就 中奖.求中奖的概率. 思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在 55%左右，那么应该如何设计中奖规则？ 我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,通过调整k 达到目的.
说明：在写出ξ的分布列后，要及时 检查所有的概率之和是否为1． 所以ξ的分布列为:
ξ
P -1
1 7
4n 4 2n 2 n 1 则 P( 1) 7n 7 ， P( 0) 7n 7 ， P( 1) 7n 7 ．
0
2 7
1
4 7
例2： 一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、 2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以X 表示取出球的最大号码，求X的分布列．
从100件产品中任取3件,其中恰有k件次品的概率为
k 3 C5 C95k p( X k ) ( k 0,1, 2, 3) 3 C100
例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求： （1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到1件次品的概率. 如取小数,注意保留小数位不 k 3k C5能太少,此外四舍五入时还要 C95 p( X k ) ( k 0,1, 2, 3) 3 注意各个概率和等于1. C100 所以随机变量X的分布列是
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
2.离散型随机变量的分布列的两个性质：
⑴ pi 0, i 1, 2, , n; ⑵ p1 p2 pn 1.
一般地，离散型随机变量在某一范围内取 值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之 和.
例1.在掷一枚图钉的随机试验中,令 1, 针尖向上 X 0, 针尖向下
X
P
0
1
…
0 n 1 n C M C N0M C M C N1M n n CN CN
...
m m n C M C Nm M n CN
作业：
课本P57页A组T6，B组T1，T2.
教研室编P25-26页随机变量及其分布(3)
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p)， 于是，随机变量X的分布列是：
X P 0 1-p 1 p
象这样的分布列称为两点分布列.
X P
0 1-p
1 p
X只能取0、1,不能 取其他数.
3.两点分布.
(1)两点分布列的应用非常广泛.如抽取的彩券是否 中奖; 买回的一件产品是否为正品;新生婴儿的性别;投 篮是否命中等等,都可以用两点分布列来研究. (2)如果随机变量X的分布列为两点分布列,则称X 服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率. ①两点分布又称0-1分布. ②如果一个随机试验只有两个可能的结果,那么就 可以用两点分布随机变量来研究它. ③由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试 验,所以还称两点分布为伯努利分布.
2 3 C10 C 20 0.191 0.551 55.1%. 5 C 30
∵游戏规则定为至少摸到2个红球就中奖,中奖的概 率大约为55.1%.
练习:课本P56页练习T3.
课堂小结:
1.离散型随机变量的分布列及其性质; X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2.两点分布(或0-1分布或伯努利分布); X 0 1 P 1-p p 3.超几何分布:
解： X的所有取值为：3、4、5、6． {X=3}表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3” 1 2 1 2 1 小 C1 C 2 C1 C 3 3 P( X 3) 3 , 同理 P( X 4) 3 ,
C6
P( X
1 2 C1 C 4 5) 3 C6
所以,X的分布列为
0.191.
例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一 个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外 完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就 中奖.求中奖的概率. 思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在 55%左右，那么应该如何设计中奖规则？
分析:这是一个开放性问题,它要求根据中奖 概率设计中奖规则,所以问题的答案不唯一.比如用 摸球的方法设计游戏,应包括每种颜色的球各是多 少,从中取几个球,摸到几个红球才中奖等.也就是 说M,N,n,{X=k}中的k都需要自已给出. 因此,我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,通过 调整k达到目的.
复习回顾
1. 随机变量:
如果随机试验的结果可以用一个变量来 表示，那么这样的变量叫做随机变量．
2.离散型随机变量:
对于随机变量可能取的值，我们可以 按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 离散型随机变量．
新课讲授
引例: 抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些
值?X取每个值的概率是多少？ X的取值有1、2、3、4、5、6 解： 1 则 P( X 1) , P( X 2) 1 , P( X 3) 1 , 6 6 6 1 P( X 4) , P( X 5) 1 , P( X 6) 1 . 6 6 6 列表
课堂练习：
1、设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P
1 6
则p的值为
1 3
1 3
1 6
p
i
．
1 的分布列为 P( i) a , i 1,2,3 3 27
2、设随机变量
则a的值为
13
．
例1:一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小 球，已知红球的个数是绿球个数的两倍，黄球个数是 绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一球，若取出 红球得1分，取出绿球得0分，取出黄球得-1分，试写 出从该盒内随机取出一球所得分数ξ的分布列. 解;设黄球个数为n,则绿球个数为2n,红球个数为4n,盒 中总球数为7n, ξ的所有可能取值为-1,0,1,
课堂小结:
1.离散型随机变量的分布列.
2.离散型随机变量的分布列的两个性质：
⑴ pi 0, i 1, 2, , n;
⑵ p1 p2 pn 1.
一般地，离散型随机变量在某一范围内取
值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之
和.
作业:
课本P56页练习T1,T2. 课本P56-57页T4,T5; P89页A组T1.
4.超几何分布.
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任 取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的 概率为 C k C nk
C 其中m min{ M , n}, 且n N , M N , n, M , N N *
称分布列
P( X k )
M
N M
n N
, k 0,1, 2, , m
P(ξ=9）＝0.29， P(ξ=10）＝0.22， 所求的概率为 P(ξ≥7）＝0.09+ 0.28+ 0.29+ 0.22= 0.88
例4.一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次 分裂为四，如此进行有限多次，而随机终止，设分裂n 次终止的概率是 12n （n=1，2，3，……）,记ξ为原物 体在分裂终止后所生成的子块数目，求P（ξ≤10）．
X 3
20 1 2 3 C1 C 5 , P( X 6) 3 C6 10
4 5 6
C6
20
1 . 2
P
1 20
3 20
3 10
பைடு நூலகம்
1 2
求离散型随机变量的概率分布列 的方法步骤：
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值
xi (i 1, 2,);
2、求出各取值的概率
P( xi ) pi ;
X
P
0
1
…
0 n 1 n C M C N0M C M C N1M n n CN CN
...
m m n C M C Nm M n CN
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几 何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.
例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一 个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外 完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就 中奖.求中奖的概率. 解:设摸出红球的个数为X,则X的所有可能值为0、 1、2、3、4、5,且X服从超几何分布. 一次从中摸出5个球,摸到k(k=0,1,2,3,4,5) 个红球的概率为 k 5 k
X
P
0
0 3 C 5 C 95 3 C100
1
1 2 C 5 C 95 3 C100
2
2 1 C 5 C 95 3 C100
3
3 0 C 5 C 95 3 C100
(2)P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.14400;
0 3 C 5 C 95 或P(X≥1)=1-P(X=0)=1≈0.14400; 3 C100
注： 1、分布列的构成:
⑴从小到大列出了随机变量X的所有取值．
⑵求出了X 的每一个取值的概率．
1.离散型随机变量的分布列:
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
2.离散型随机变量分布列的性质: ⑴ pi 0, i 1, 2, , n; ⑵ p1 p2 pn 1. 3.X的分布列的表示法: (1)表格法; (2)解析式法: P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n) (3)图象法.
例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求： （1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到1件次品的概率. 解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 从100件产品中任取3件结果数为C
3 100
,
从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果为
C C
k 5
3 k 95
( k 0,1, 2, 3)
例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一 个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外 完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就 中奖.求中奖的概率. 思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在 55%左右，那么应该如何设计中奖规则？ 我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,通过调整k 达到目的.
说明：在写出ξ的分布列后，要及时 检查所有的概率之和是否为1． 所以ξ的分布列为:
ξ
P -1
1 7
4n 4 2n 2 n 1 则 P( 1) 7n 7 ， P( 0) 7n 7 ， P( 1) 7n 7 ．
0
2 7
1
4 7
例2： 一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、 2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以X 表示取出球的最大号码，求X的分布列．
从100件产品中任取3件,其中恰有k件次品的概率为
k 3 C5 C95k p( X k ) ( k 0,1, 2, 3) 3 C100
例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求： （1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到1件次品的概率. 如取小数,注意保留小数位不 k 3k C5能太少,此外四舍五入时还要 C95 p( X k ) ( k 0,1, 2, 3) 3 注意各个概率和等于1. C100 所以随机变量X的分布列是
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
2.离散型随机变量的分布列的两个性质：
⑴ pi 0, i 1, 2, , n; ⑵ p1 p2 pn 1.
一般地，离散型随机变量在某一范围内取 值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之 和.
例1.在掷一枚图钉的随机试验中,令 1, 针尖向上 X 0, 针尖向下
X
P
0
1
…
0 n 1 n C M C N0M C M C N1M n n CN CN
...
m m n C M C Nm M n CN
作业：
课本P57页A组T6，B组T1，T2.
教研室编P25-26页随机变量及其分布(3)
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p)， 于是，随机变量X的分布列是：
X P 0 1-p 1 p
象这样的分布列称为两点分布列.
X P
0 1-p
1 p
X只能取0、1,不能 取其他数.
3.两点分布.
(1)两点分布列的应用非常广泛.如抽取的彩券是否 中奖; 买回的一件产品是否为正品;新生婴儿的性别;投 篮是否命中等等,都可以用两点分布列来研究. (2)如果随机变量X的分布列为两点分布列,则称X 服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率. ①两点分布又称0-1分布. ②如果一个随机试验只有两个可能的结果,那么就 可以用两点分布随机变量来研究它. ③由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试 验,所以还称两点分布为伯努利分布.