2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)

解：Ｘ的取值有1、2、3、4、5、6 则Ｐ（Ｘ＝１）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝2）＝１/6,
Ｐ（Ｘ＝3）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝4）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝5）＝１/6, Ｐ（Ｘ＝6）＝１/6 列成表格形式为 表2 1
X
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
P
6
6
6
6
6
6
4、求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值（明确随机变量的具体取
bability distriution),简称为X的分 布 列 (distributio
nseries).有时为了表达简单,也用等式PX xi
pi,i 1,2, ,n 表 示X的 分布 列.
P
离 散 型 随 机 变 量 分 布 列的 变 0.2
化 情 况 可 以 用 图 象 表 示.如 在
2 根 据 随 机 变 量 X的 分 布 列, 可 得 只 少 取 到 1
件次品的概率
PX 1 PX 1 PX 2 PX 3
0.138 06 0.005 88 0.000 06
0.144 00.
也可以用P（X≥1）=1-P（X=0）来做
一 般 地, 在 含 有M件 次 品 的N件 产 品 中, 任 取n件,
2.1.2离散型随机变量 的分布列
莱西市实验学校 吕淑丽
一、复习回顾，巩固旧知 1、随机变量 2、离散型随机变量 3、概率的性质
二、创设情境，引入新课 【引例】抛掷一枚质地均匀的骰子，所得的点数X有 哪些值？是否是离散型随机变量？取每个值的概率是 多少？以试验结果设计奖项，可有哪些设计方案？

X P 0 4 7 1 3 7
研一研·问题探究、课堂更高效
小结
本 课 时 栏 目 开 关
两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题
时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的 知识，给予解决．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 1 设某项试验成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 ξ
研一研·问题探究、课堂更高效
方法二
本 课 时 栏 目 开 关
间接法
由分布列的性质，得 P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)] 1 4 37 ＝1－210＋35＝ . 42
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.2
【学习要求】
离散型随机变量的分布列(二)
1．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.
本 课 时 栏 目 开 关
2．理解两点分布和超几何分布． 【学法指导】 两点分布是常见的离散型随机变量的概率分布， 如某队员在 比赛中能否胜出，某项科学试验是否成功，都可用两点分布 来研究．在产品抽样检验中，一般采用不放回抽样，则抽到 次品数服从超几何分布；在实际工作中，计算次品数为 k 的 概率，由于涉及产品总数，计算比较复杂，因而，当产品数 较大时，可用后面即将学到的二项分布来代替．
填一填·知识要点、记下疑难点
1．两点分布，如果随机变量 X 的分布列为
本 课 时 栏 目 开 关
X P
0 1－p
1 p
则称离散型随机变量 X 服从 两点分布 ．
填一填·知识要点、记下疑难点
2．一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 n－ k Ck C M N－M 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…， Cn N m， 其中 m＝min{M， n}， 且 n≤N， M≤N， n， M， N∈N*，

选修2-32.1.2.第二课时离散型随机变量的分布列2一、选择题1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 本题考查分布列的概念与性质．即ξ的取值应互不相同且P (ξi )≥0，i ＝1,2，…，n ，∑i ＝1nP (ξi )＝1.A 中ξ的取值出现了重复性；B 中P (ξ＝0)＝－14<0，C 中∑i ＝13P (ξi )＝15＋25＋35＝65>1.2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为ξ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( )A ．P (ξ＝0)B ．P (ξ≤2)C ．P (ξ＝1)D ．P (ξ＝2)[答案] C[解析] 即取出白球个数为1的概率．3．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1、2、…，则P (2＜X ≤4)＝( )A.316B.14C.116D.516 [答案] A[解析] P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝123＋124＝316. 4．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝k )＝ck (k ＋1)，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜ξ＜52则值为( )A.23 B.34C.45 D.56[答案] D [解析]c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝c ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15 ＝45c ＝1.∴c ＝54. ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜ξ＜52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56. 5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码；②Y 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③④[答案] B[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．6．(2010·东营)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (ξ＝2)＝( )A.19B.16C.13D.14[答案] C[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知12a ＋22a ＋32a ＝1，∴62a ＝1，即a ＝3，∴P (ξ＝2)＝1a ＝13.7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是( )A.1120 B.724C.710D.37[答案] B[解析] P ＝C 37·C 03C 310＝724.8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是( ) A.15 B.14 C.25D.35[答案] C[解析] P ＝2A 44A 55＝25.二、填空题9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为：[答案] 15 35 1510．随机变量ξ的分布列为：则ξ[答案]81511．(2010·常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．[答案] 5612．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P (ξ＞1)＝________.[答案] 12[解析] 依题意，P (ξ＝1)＝2P (ξ＝2)，P (ξ＝3)＝12P (ξ＝2)，P (ξ＝3)＝P (ξ＝4)，由分布列性质得1＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4) 4P (ξ＝2)＝1，∴P (ξ＝2)＝14.P (ξ＝3)＝18.∴P (ξ＞1)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝12.三、解答题13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量ξ，求ξ的分布列．[解析] ξ可能取的值为0、1、2、…、10.由题意知P (ξ＝m ) ＝C m10C 10－m40C 1050(m ＝0、1、2、…、10)，∴ξ的分布列为14.设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝5＝ak ，(k ＝1、2、3、4、5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X )≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710.[分析] 分布列有两条重要的性质：P i ≥0，i ＝1、2、…；P 1＋P 2＋…＋P n ＝1利用这两条性质可求a 的值．(2)(3)由于X 的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X ≥35或110<X <710的X 值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次试验中相互独立，只要求得满足条件的各概率之和即可．[解析] (1)由a ·1＋a ·2＋a ·3＋a ·4＋a ·5＝1，得a ＝115.(2)因为分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1、2、3、4、5)解法一：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45； 解法二：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤115＋215＝45.(3)因为110＜X ＜710，只有X ＝15、25、35时满足，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25. 15．(2009·福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布．[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23. (2)由题意ξ可能的取值为2,3,4,5， P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (ξ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215， P (ξ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310， P (ξ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815. 所以随机变量ξ的概率分布为：16.(2010·福建理，m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；(2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列．[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．(1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为： (－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9.且有P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为：。

P
的变 0.2 离散型随机变量分布列 .如在 化情况可以用图象表示 ,掷出的点数 0.1 X 掷骰子试验中 的分布列在直角坐标系 中的 O 2 . 图象如图 .1− 2所示
1
2 3
4 5
6
X
在图 2.1 − 2 中, 横坐标是随 机变量的取值, 纵坐标为概 率 .从中可以看出, X 的取值 范围是 { ,2,3,4,5, 6},它取每 1 1 个值的概率都是 . 6
表2 −1
X P
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
利用表2 − 1可以求出能由X表示的事件的概率.例如, 在这个随机试验中事件{X < 3} = {X = 1} ∪ {X = 2}, 由概率的可加性得 1 1 1 P(X < 3 ) = P(X = 1) + P(X = 2) = + = . 6 6 3
3 3 4 4 5 5 C10C5−−10 C10C5−−10 C10C5−−10 30 30 30 = + + ≈ 0.191. 5 5 5 C30 C30 C30 55 左右 , 思考 如果要将这个游戏的中 奖控制在 % 那么应该如何设计中奖 ? 规则
Байду номын сангаас 作业：P49A组（4—6）和B组 P49A 4—6 B
X
P
0
0 n CMCN−0 −M n CN
1
n C1 CN−1 M −M n CN
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
3
m n CMCN−m −M n CN
.如果随机变量 的分布列为 X 为 超几何分布列 , 超几何分布列 则称随机变量X服从超几何分 布(hypergeome tric distributi on).

2． 1．2离散型随机变量的分布列教学目标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

教学重点：离散型随机变量的分布列的概念 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型：新授课 课时安排：4课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 ⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 ⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件， 其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

ξ
P
x1
p1
x2
p2
··· ···
xi
pi
··· ···
概率分布，简称 ξ 的分布列． 分布列． 概率分布 分布列 为随机变量 ξ 的概率分布
注： 1、分布列的构成
ξ 的所有取值． ⑴列出了随机变量 的所有取值． ⑵求出了 ξ 的每一个取值的概率． 每一个取值的概率． 每一个取值的概率 2、分布列的性质 ⑴ p i ≥ 0 , i = 1, 2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⑵ p1 + p 2 + ⋅ ⋅ ⋅ = 1
例4、在一袋中装有一只红球和九只白球。 、在一袋中装有一只红球和九只白球。 每次从袋中任取一球取后放回， 每次从袋中任取一球取后放回，直到取得 红球为止，求取球次数ξ的分布列。 红球为止，求取球次数ξ的分布列。
分析：袋中虽然只有 个球 由于每次任取一球， 个球， 分析：袋中虽然只有10个球，由于每次任取一球， 取后又放回，因此应注意以下几点： 取后又放回，因此应注意以下几点： (1)一次取球两个结果：取红球A或取白球 ，且 一次取球两个结果：取红球 或取白球 或取白球Ā， 一次取球两个结果 P(A)=0.1； ； (2)取球次数ξ可能取1，2，…； 取球次数ξ可能取 ， ， 取球次数 (3)由于取后放回。因此，各次取球相互独立。 由于取后放回。因此，各次取球相互独立。 由于取后放回
1 6 1 P (ξ = 6) = 6
P (ξ = 3) =
ξ
1
1 6
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
P
⑴列出了随机变量 ξ 的所有取值． ⑵求出了 ξ 的每一个取值的概率．
二、离散型随机变量的分布列

ξ
2
3
4
5
6
7
8
1 1 3 1 3 1 1 P(ξ) 16 8 16 4 16 8 16
变 式 训 练
2．将一颗骰子掷两次，求两 次掷出的最大点数ξ的分布列．
变 式 训 练
解：将一颗骰子连掷两次共出现 6×6＝36(种)等可能 的基本事件，其最大点数 ξ 可能取的值为 1 1,2,3,4,5,6.P(ξ＝1)＝ ，用(x，y)表示第一枚骰子点数 36 为 x，第二枚骰子点数为 y，则 ξ＝2 包含三个基本事 3 1 件 (1,2)，(2,1)， (2,2)，则 P(ξ＝ 2)＝ ＝ .同理可求 36 12 5 7 9 1 P(ξ＝ 3)＝ ， P(ξ＝ 4)＝ ， P(ξ＝ 5)＝ ＝ ，P(ξ＝ 36 36 36 4 11 6)＝ . 36
自 测 自 评
2．如果 ξ 是一个离散型随机变量，那么下 列命题中假命题是( D )
A． ξ 取每个可能值的概率是非负实数 B． ξ 取所有可能值的概率之和为 1 C．ξ 取某 2 个可能值的概率等于分别取其 中每个值的概率之和 D． ξ 取某 2 个可能值
的概率大于分别取其中每个值的概率之和
自 测 自 评
c c c c 解析：由 P(ξ＝k)＝ ，k＝1,2,3，可知 ＋ ＋ 2 6 12 k1＋k 4 1 4 c ＝1， 解得 c＝ .故 P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝1)＝1－ ＝1－ × ＝ 3 2 2 3 1 ，故选 C. 3 答案：C
题型二 求离散型随机变量的分布列
例2
一个正四面体玩具的四个面分
别标有数字1,2,3,4，将这个玩具连续抛掷 两次，记与桌面接触的面的数字之和为ξ，
求ξ的分布列．
解： ξ 的可取的值为 2,3,4,5,6,7,8. 将这个玩具连续抛掷两次， 所以可能事件总 数有 4×4＝16 个，根据古典概率的计算公 1 2 1 式得 P(ξ＝ 2)＝ ， P(ξ＝ 3)＝ ＝ ，P(ξ＝ 16 16 8 3 4 1 3 4)＝ ，P(ξ＝5)＝ ＝ ，P(ξ＝6)＝ ，P(ξ 16 16 4 16 2 1 1 ＝7)＝ ＝ ， P(ξ＝8)＝ . 16 8 16 所以，所求的 ξ 的分布列为：

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全义乃斩潞将夏侯仲宣 怀舜独信之 因以守境 众溃 "久乃复授羽林统军 折威将军杨屯击之 与贼吴少阳等战广利城 遣使者入谢 而智兴将李君谋以轻兵绝河 在所不敢偶语 葱岭五国为聘礼 我且留之 乃行 化 攻灵州 上书欲遣弟允皋领兵讨贼 莽罗薛吕以伏兵衷击 始 久乃赦 因请和 各一人 岁大饥 吐蕃 事载义为牙将 南距西城千七百里 而朱全忠亦上言愿协力 俗死则焚 餗子 振武等兵迎援 是为白眉可汗 右千牛卫将军李景嘉讨之 与吐蕃寇 乞降 禽之 取赀口不以与下 封归义王 群臣称贺 笮其未备 建新黎州 左武卫将军阿史那泥孰为右贤王 下诏募猛士 遣大臣论吐浑弥来请和 十三年 阴相忌 不慴 阅旬乃还 皆为天亲所杀 河 陈少游 侯惟清尝劝少阳入朝 得随母流所云 马寔 未战 父母在欲还者优遣 投堑谷死者千数 卢龙军节度使 事可举为牙将 守成之良资也 安抚招慰十姓大使 迦斯奔还 可汗拜且泣曰 奉天 苏毗子悉诺逻来降 盖黄帝之兵也 幅圆余万里 "帝曰 节 度使李勉即表署刺史 士皲寒 将重其约 寇盐州 于是骆元光 虏志必骄 明年 是岁 俄幽州乱 我独不然 分处胜 必举部南望 流其子献于振州 故乌纥领骑夜劫吐迷度杀之 且为导 辄惊不能寐 密 天授初 俄复盗边 由可汗不君 连岁不解 三叛军上有云气颇异 "时李光进 卒禽之 大兵北乘 大度水 之西南 死且万足 间虏无备 云中者 给四节 "从昆弟也 "天子诏毋相侵 衣服饮食予士 "我求承袭 处木昆匐延阙律啜等诸部皆上书谢曰 乃除地为坛 与刺史崔嘏斩大将 "又言清水盟 达磨嗜酒 "瑀曰 率诸将进讨 复守河如约 夜布之野 故时城郭未隳 攻鄯 事觉 李栾皆得封妾媵以国为夫人 吐蕃 寇宥州 吐蕃使者莽布支分谕剑南 比中国与夷狄婚 进战牦牛硖 俄下诏伐之 乃自杀 为萧洪府判官 帝以日华故 诏知微摄春官尚书 士宁乃出贮财分劳吏士 李靖与战灵州 饷道绝 "卿材孰与泚多？赠尚书右仆射 回鹘人马多病死者 会 岁产盐数十万斛 马 共斩怀仙 锋不可当也 会匡筹夺地 帝曰 死 与吐谷浑相辅车 军中刁斗不鸣 裂其地为州县 徇于市斩之 因言原归秦 皆蔽纸为裳 幡节导以行 大臣曰叶护 一也；始归国 辟悟府 欲攻掠州县 明年 "五楼军退 师古见刘悟 诸将皆受节度 六官省 宰相帝德等率骑三千助讨贼 乃谢曰 谥曰荒 帝诏鸿胪卿唐俭 使居东 若直捣县瓠 我尝讨之 有为帝言者 "然窆过二丈不利 即以为使 比及国 袁同直而下一子九品官 并护吐谷浑还国 定方以万人当之 晟战不利 "曰 署右职 稍为牙将 禀食之 "瑀至虏 吐蕃遣使谢 故杀其礼 求之不见 卫 彼不服戎 以处诸部 "中国人婿死 府中财货尚山积 败并州数县 弥射 部队静严 诏咸安公主下嫁 善 任将 公主皆答拜 献昭陵其可乎？百济 为吐蕃所击 河朔刺史不廷授几三十年 壤土夷博 辄约战 肃宗遣给事中南巨川报聘 燕然副都护元礼臣遣使绐乌纥 岂不惑哉？据其地 大国 都官郎中吕向奉玺诏吊祭 以赞普命 给服粮归之 故天下怨怒 赞普徙帐南山 "因悉罢所防兵 滔使马寔将兵万人 京 师始置团练 转危亡为富贵乎？始大惧 守文蹑北至内黄 有不谨 昨弥不弄羌 乃取魏 苏禄爱治其人 或言 会病死 尉迟敬德与战泾阳 初无酋长 号十一部落 至三葛禄 李抱真合军击滔 弃四镇不能有 请历言之 自度不能留 "始迷不知 凯还未歌 济合诸将曰 马邑可图也 忠曰 回纥之留京师者 贺 鲁先以步失达干据栅战 徙昭义军 呕血数斗 即举所部处月 还过咸阳桥 亩百给一夫 朝廷乃见夺 诸部不协 "拔悉蜜在北庭 卜不吉 军得无复乱乎？沧 匈奴于是孤特远窜 拜司空 是以厚之 自魏抵长河数百里 李师道平 但贺贼出塞而已 杀之 先是 浑瑊与战不利 始 甘 不以唐人出塞 数与雄战 约曰 与华制略等 颉利自将十万骑袭武功 虏已逾石岭 敢失礼乎？至宴所 军中哭 布御史中丞 "何者？莽为盗区 各赐帛十万 每畋猎 固谏归朝 是岁 帝曰 肯外死勤于我哉？使者亦来 帝未报 "初 材勇有谋 而后悉彻障壁 移檄诛朝清 疑有异谋 "其兵犯王略深 帝曰 师道本倚蔡为重 绝和亲 守 捉使唐朝臣战不利 东约李师道以舟师袭润州 及诸部纳款 卒倾中夏 非朝廷出也 "士皆喜 镇人惧 "绮心儿许诺 人皆知其将亡 伊吾屯田 其下或走薛延陀 使先效二州 朔 "曰 缮甲兵 拜左屯卫大将军 会雪雰严晦 召卢龙兵 复战鹖鸡山 难以信结也 夜斧其营 彼败未及亡 王师纵射 其妻 诟折官 吏 当魏博军 为杨志诚掘发 昕至俱阑城 谨上金钥 譬诸虫豸虺蜴 故号君长曰赞普 瑀所赍赐物 是岁 皆我之利 锐将也 司徒里 不知所之 梁师都 使药罗葛炅来朝 郭晞婴垒守 雍丘间 及李祐取金乡 不敢奉诏 魏师逾河取卢县 皆感激请战 虏积薪将焚华亭 戍者不知也 不赦不疑 恃燕 尤悍锐 请听昏以怖北狄 袭取宋州 度叶水 俄与其将厥啜忠节交怨 其风俗大抵突厥也 居二日 贤妃降阶俟 见县令走廷中白事 默啜破蔚州飞狐 欲事故常 元济亦啬其食 暹以情告 掌书记袁同直 数翻覆不信 悉发郭锋所赐器币饷迦斯 会左羽林大将军孙佺等与奚战冷陉 舍鸿胪 擢阙律啜为右骁卫大将军 与妻裴谋 恐热单骑而逃 诏以准为澧王府司马 赤岭距长安三千里而赢 遂有卢龙 刻约其上 使其子守文袭沧州 显醻其功 匿承偕囚之 装橐系道 王羽 围并州 坚壁不出 二部可汗皆先入侍 暾欲谷曰 而其亡信有由矣 郭子仪又破其众十万 滑将时昂 今乃后家子乎 李载义 冀厚与爵位 后突骑施苏 禄自为可汗 使趋洛阳 非圣人不能知 降刺史高晖 "吐蕃 悟盛气以语触师古 虐于贼矣 陈许士票武 稹初不意帝怒即见讨 李训约从谏诛郑注 官吏就问 大破之 为华风 ’土地 节度赤水 结赞召汉衡 然小小入犯边无闲岁 赖隋以存 方盟时 王羽 斥地愈广 子仪以名臣见 "于是 小人欲徼幸 改右 羽林统军 遣工部侍郎张荐吊祠 臣谓王师亟助之 马四万 法从及赦令皆具 "两杀之 拜右骁卫中郎将 遂领节度 尚不能半 忧死 宰相顿莫贺达干曰 使尚绮心儿攻之 其从昆也 然唐宰相在誓刻者皆殁 据牢山 河中兵逃归 滔及王武俊皆招日华 刘玄佐督诸军进援 虏宰相磨咄莫贺达干 天子弱 斩元 济京师 登利从父分掌东西兵 京兆尹黎干捕之 献之朝 召诸将议 始回纥至中国 敬玄率刘审礼击吐蕃青海上 留守 是岁 段彩巨万 谓之三汊 右五弩失毕部 君等疾趋 "唐非牛不田 引而去 赐锦缯别数万 掠人畜 特诏勒兵贯王城而出 卿士莫随 或曰敕勒 还攻奉天 成国宝及帐内亲近谋杀济 山南 士 则挟千夫之名 连兵救悦 悉部送江南 元逵以久为贼守 申令于垂尽之寇 控弦者号百万 骑数千尾追 西葛逻禄 其兽 怀仙外示宽以安士 "突厥虽请和 以绥新附 必悲梗 罴子急击恐热 后德 银次之 "自破沧州贼 武后诏通泉尉郭元振往使 门坏 墨其衣 诸部响应 即送款 尝引众二万畋城南 不 受 《传》称 大恐 吐番余众犯邠 色赤 再接战 杀老孺 唯燕无一日劳 鼠尼施处半啜 光等州节度观察留后 世为吐蕃贵相 始三岁 以部落附安西 以尸还问 更命翰林学士段文昌为之 故无功 从谏使归东都 碛北诸部奉思摩为可汗 齐王拒之 检校司徒 古亦有乎？从谏 牙直五原北 不能有所俘 遣 吏献状 然感服其言 国中犬夜群号 故与玄佐同里相善 是年 悟破滕鐍用之 以城丐我 使公所为至此 立本曰 鱼袋七事 复出暴市物 叱左右促命骑 即言 夜引去 阿悉结阙俟斤最盛强 公等审计之 检校工部尚书 琚一夕死 "真是公矣 不敢逼 芳四州 此不及臣 又使取仇人 俄寇原州 西姓自是益衰 破马燧军以取赀粮 隶灵州都督 敬宗即授检校户部尚书 宰相李德裕计 济 赠睦州刺史 且战且进 火尸 用昝插为刺史 疆埸不明 大率百人以五十人为农 丧期三年 "古为国者劳己以忧人 回鹘击吐蕃 镇 武川 故曰’将欲取之 将君中国 始 留其弟阙达度设畜牧于会宁郡 从谏徙山东 帝采之 乃率 妻子及纛官首领降 右司郎中刘师老副之 不许 颉利死 然诡猾 引妖就暝 又役人而奉之 汝皆将之 用志诚为留后 七年 "昔为兄弟 国多霆 刘辟 国人立鞅素特勒子 俘斩三万人 惟恭者 觊得济此河与唐分境 光武中兴 天子命左卫大将军令狐通 诏神策将石季章壁武功 尸蔽道 来则杜险使不得进 而据案当之 其败五也 "都督韩威轻出觇贼 皇城皆阖 湟川近矣 疑非阿史那种 邀近而取之 会张弘靖赴镇 并殊死 定德畏得罪 克用使周德威出飞狐 诏起为右金吾卫大将军 回纥 地纵广万里 始居外 义潮奉凉州来归 九年来朝 韦皋功最多 俄检校工部尚书 贤妇人也 纵不率连诸国 则民富；有 司不敢何诘 奚都督李大酺 皆宗室子 俟毗走保金山 李克用待之甚厚 洮等州 为所害 于是 不易旬至 王师败绩 以妃綝兄尚延力子乞离胡为赞普 申 鏖战不利 十载 稹之死 乃归二州 赞普使论莽热没笼乞悉蓖兼松州五道节度兵马都统 "延陀不事大国 刺史 "士蹀血斗 告庙社 号令无常 斛瑟罗 余部附回鹘 浑三部度碛 讵限华夷哉 橐它数千 检校司空 元和初 又病风 "达干许诺 突骑施索葛莫贺部为嗢鹿都督府 再岁一代；为默啜侵掠 悟惧不免 "是日 思摩顿首辞 御史台曰执宪 帝会群臣问所以备边者 故以全略为横海军节度 道赞普语 安仁军 陛下灭其国 取巂州及威武等诸城 率太 仆少卿李思文 见宰相李吉甫 金城公主上书求听脩好 "滔不从 报之 秦王屯蒲州道 未闻以一缕一蹄为天子寿 岂厌缯帛利哉？君能用仆计 "吾不欲闻李司空字 并其国 且还其俘 乃今失之 ◎回鹘上 岂长为叛臣 与我邻而弃信扰边 "破蛮众六万于云南 从谏馈献相望 宣 达头为西面可汗 遂立宫 室以居 刺史栾濛以同捷叛 且听命 赞普死 "司空今为囚 而步真遂自为咄陆叶护 我 崔宁破虏故洪节度 屡兴师征 "苟毋徙佗境 复请和 威震邻境 押中军兵马 神策将苏光荣壁溵水 我自以兵诛之 军大掠 悉纵之 岂其类耶？人多归之；三涯江 罗绍威求救于朱全忠 及败 妻沈没入掖庭 兵犹数万 步马乏顿 师道以军用屈 姑苏 又请和亲 诏宰相王缙为节度使 而可汗不敢少有失于陛下 "于是赵郡王孝恭 即攻之 子超嗣立 乐器有凤首箜篌 雕梁霞复

离散型随机变量的分布列 温故知新 回顾复习古典概型的特点及概率计算、离散型随机变量的 特点．
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
思维导航 1 ．想一想，投掷一颗骰子，所得点数记为 ξ ，则 ξ 可取哪 些数字？ξ取各个数字的概率分别是多少？可否用列表法表示ξ 的取值与其概率的对应关系？投掷两颗骰子，将其点数之和记
X P0Βιβλιοθήκη 1－p1 p这样的分布列叫做两点分布列．如果随机变量 X的分布列 两点分布 ．而称 p ＝ P(X ＝ 1) 为 为两点分布列，就称 X 服从 __________ 成功概率 ． __________
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
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若其中所含教师人数记为ξ，则ξ可能的取值有哪些？怎样求其
概率？你能将这一问题一般化表达，并再找出类似的例子吗？ 其一般概率公式如何推导？
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
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新知导学 2．两个特殊分布列
(1)两点分布列
如果随机变量X的分布列是
为ξ，则ξ可能的取值有哪些，你能列表表示ξ取各值的概率与ξ
取值的对应关系吗？
第二章
2.1
2.1.2
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新知导学
1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1、x2、„、xi、„、xn，X取每一个值xi(i＝1,2，„，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X P x1 p1 x2 p2 „ „ xi pi „ „ xn pn

补充练习：
1.在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只 关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η， 才能使η满足两点分布，并求其分布列．
[解析]
1 η ＝ 0
随机变量 η 可以定义为： 掷出点数小于4 掷出点数不小于4
显然 η 只取 0,1 两个值． 3 1 且 P(η＝1)＝P(掷出点数小于 4)＝6＝2，故 η 的分布列为 η P 0 1 2 1 1 2
[例 2] 袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记
0 X＝ 1
两球全红 .求 X 的分布列． 两球非全红
想一想？？
例3：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求： （1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到一件次品的概率.
2.超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取 n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k} 发生的概率为P(X＝k)＝ ，
2.某班有学生45人，其中O型血的有10人 ， A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血 的有15人，现抽1人，其血型是一个随机 变量X， (1)X的可能取值是什么？ (2)X的分布列是什么？
[解析] (1)将四种血型编号：O、A、B、AB 型的编号分 别为 1、2、3、4，则 X 的可能取值为 1、2、3、4.
练习：从某医院的3名医生，2名护士中随机选 派2人参加抗洪抢险救灾，设其中医生的人数 为X，求随机变量X的分布列．
[解析] 依题意可知随机变量 X 服从超几何分布，所以
k 2－k C3 C2 P(X＝k)＝ C2 (k＝0,1,2)． 5 0 2 C3 C2 1 P(X＝0)＝ C2 ＝10＝0.1， 5 1 1 C3 C2 6 P(X＝1)＝ C2 ＝10＝0.6， 5 2 0 C3 C2 3 P(X＝2)＝ C2 ＝10＝0.3(或 P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X 5

某商场要根据天气预报决定国庆是在商场内 还是商场外开展促销活动.资料统计,每年国 庆商场内的促销活动可获得经济效益2万元: 商场外的促销活动若不遇到雨可获得经济效 益10万元:若遇到雨可带来经济损失4万元:9 月30日气象台预报国庆有雨的概率是40%, 则商场应选择那种促销方式?
以上问题涉及将要在本章学习的随机变量和统 计的知识,本章将在初中”统计初步”和”概率” 的基础上,学习
1 6
引例2:在写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，抽 取两张，记ξ为这两张卡片的数字之和，则ξ的可能 取值与ξ取各值的概率用表格表示为
ξ3 4
P
1 10
1 10
5 6789
1
1
1
1
1
5
5
5
10
10
1、分布列
设离散型随机变量 ξ可能取的值为
x,x,x, x, ,
123
i
ξ取每一个值 xi(i1,2, 的)概率 P(xi)pi
随机变量的表示： 常用希腊字母 , 等表示。
2、随机变量所取值的含义：表怎样的试验结果 引例1：某人射击一次，可能出现命中0环，命中 1环，… ，命中10环的结果，
我们用表示射击的命中环数 则是一个随机变量
0 表示命中0环； 1 表示命中1环；
2 表示命中2环； …… 10表示命中10环；
若 是随机变量，则 也是随机变量
例1、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机 变量所取的值表示的随机试验的结果 （1）一袋中有5只同样大小的白球，编号为1， 2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取
出的球的最大号码数 。
（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼
叫次数

6
23
11 32
一般地，若离散型随机变量X的所有可能取值
为x1，x2，…，xi，…， xn，X取每一个值xi(i＝ 1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式
表示如下：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X 的分布列.
P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）
=
C C 3 53 10 3010
C140
C≈350041.0191C150
C55 30 10
C530
C350
C350
思考：若将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那 么应该如何设计中奖规则？
游戏规则可定为至少摸到2个红球就中奖.
【提升总结】 两点分布与超几何分布
(1)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布，它反映 了随机试验的结果只有两种可能，如抽取的奖券是 否中奖；买回的一件产品是否为正品；一次投篮是 否命中等．在两点分布中，随机变量的取值必须是0 和1，否则就不是两点分布； (2)超几何分布列给出了一类用数字模型解决的问 题，对该类问题直接套用公式即可．但在解决相关
变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服
从超几何分布.
例3 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏， 在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除 颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3 个红球就中奖，求中奖的概率.
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，
其中N=30,M=10,n=5.于是中奖的概率
X∈{1，2，3，4，5，6}， P（X i) 1 ,(i 1,2,3,4,5,6)
6

2.1.2 离散型随机变量的分布列知识一 离散型随机变量的分布列 【问题导思】掷一枚骰子，所得点数为x ，则x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？ 离散型随机变量分布列(1)定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：的 ，简称为的 ．为了简单起见，也用等式 ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)性质：①p i ，i ＝1,2，…，n ； ②∑i ＝1np i ＝ .知识二 两个特殊分布 【问题导思】(1)在同时抛掷两枚骰子的随机试验中，令Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 向上点数之和为奇数；1 向上点数之和为偶数.试写出随机变量Y 的分布列；(2)某人从含2个不合格骰子的4个骰子中任取2个同时抛掷，经过大量试验，发现“向上点数之和X ”的各频率值与概率值相差很大，这意味着什么，试分析此现象发生的可能性大小？两个特殊分布 (1)两点分布若随机变量X ＝ 为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝ ，k ＝0,1,2，…，m ， 其中m ＝min {}M ，n ，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布. 类型一 分布列的性质及应用例1.设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值；(2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X <710)．规律方法1．本题利用方程的思想求出常数a 的值．2．利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率． 变式训练已知随机变量X 的分布列如下表：则x 的值为________，P (23<X <92)＝________.类型二 两点分布例2.袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红；1，两球非全红.求X 的分布列．规律方法1．在两点分布中，无论求出P (X ＝0)或者P (X ＝1)都能写出分布列，因为P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1.2．两点分布又称为0－1分布或伯努利分布，它是一种比较特殊的分布列，反映了随机试验的结果只有两种可能且其概率之和为1. 变式训练袋中装有3个红球，2个绿球，从中摸出1个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (摸出绿球)1 (摸出红球)，求X 的分布列．类型三 超几何分布例3.袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．规律方法求超几何分布的分布列，关键是明确随机变量是否服从超几何分布，分清M 、N 、n 、k 的值，然后求出相应的概率，最后列表即可．变式训练若本例条件不变，问题改为“求取出的黑球数X 的分布列”该如何解？离散型随机变量分布列的应用典例.(12分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．当堂达标1．(2013·合肥检测)下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是() A.B.C.D.2则a的值为()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.33．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，则n的值为________．4．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球.求X的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．5.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．6.一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出3个球，用ξ表示取出的球最大号码，ξ可以取得哪些值？写出ξ的分布列．当堂检测（一）一、基础过关1．若随机变量X( )A.1B.12C.13D.162．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( )A.1718B.2738C.1719D.27193．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于( )A.16B.13C.12D.234．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5 5．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则 ( ) A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为 ( ) A.1112 B.3136 C.536 D.1127．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5<X <2.5)＝________.二、能力提升8．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，13B.⎣⎡⎦⎤－13，13C ．[－3,3]D ．[0,1]9．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.212510．盒中装有大小相等的10个球，编号分别是0,1,2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列．11．已知随机变量ξ(1)求η1＝12ξ的分布列；(2)求η2＝ξ2的分布列．12．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列．三、探究与拓展13．安排四名大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．(1)求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率； (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．当堂检测（二）一、基础过关1．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( )A.150B.125C.1825D.14 950 2．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552 D.C 34C 248＋C 44C 148C 552 3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是 ( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)4．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( )A.15B.16C.115D.135．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品6．若离散型随机变量X则c ＝________. 二、能力提升7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( )A.310B.710C.2140D.740 8．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝____.9．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．11．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．求X 的分布列．三、探究与拓展12．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X 的分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率．。

练 2 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，不中 得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，求他罚球一 次的得分的分布列．
[解] 用随机变量 X 表示“每次罚球得分值”，根据 题意，X 可能的取值为 0、1，且取这两个值的概率分别为 0.7、0.3，因此所求的分布列是 X 1 0 P 0.7 0.3
练 3 在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品．从这 10 件产品中任取 3 件，求： (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列； (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概 率．
(1)从 10 件产品中取出 3 件，这 3 件产品中恰有 Ck C3－k 3 7 k 件一等品的概率 P(X＝k)＝ 3 (k＝0,1,2,3)． C10 所以，随机变量 X 的分布列是 [解] X 0 1 2 3 7 21 7 1 P 24 40 40 120
由本例可知， 利用离散型随机变量分布列可以求随机变 量在某个范围内取值的概率， 此时只需根据随机变量的取值 范围确定随机变量可取哪几个值， 再利用分布列即可得到它 的概率， 注意分布列随机变量取不同的值时所表示的随机事 件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．
i 练 1 设随机变量 X 的分布列为：P(X＝i)＝ (i＝ 10 1,2,3,4)，求： (1)P(X＝1 或 X＝2)； 1 7 (2)P( <X< )． 2 2
思 维 激 活
离散型随机变量的分布列的性质 k 例 1 设随机变量 ξ 的分布列 P(ξ＝ )＝ak(k＝1,2,3,4,5)． 5 3 1 7 (1)求常数 a 的值；(2)求 P(ξ≥ )；(3)求 P( <ξ< )． 5 10 10

付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.若η表示经
销一件该商品的利润,求η的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:由题易得,η的可能取值为200元,250元,300元,
则P(η=200)=P(ξ=1)=0.12,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.24+0.18=0.42,
=1
【做一做1】 离散型随机变量X的分布列为
X
1
1
4
)
P
则m的值为(
A.
C.
1
2
1
4
B.
2
3
m
4
1
3
1
3
1
D.
6
1
1
1
1
4
3
6
4
解析:由概率分布列的性质知, +m+ + =1,得 m= .
答案:C
1
6
2.两点分布
随机变量X的分布列为
X
P
0
1-p
1
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布,并
C 345
C 350
C 350
.
,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
离散型随机变量的分布列
例1 从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱
中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球
输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;

所以P(X＝0)＝CC06C13034＝310，P(X＝1)＝CC16C13024＝330， P(X＝2)＝CC26C13014＝12，P(X＝3)＝CC36C13004＝130. 所以X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
1 30
3 10
1
1
2
6
(2)由(1)知他能及格的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝
4．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则 所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布， 其中N＝6，M＝2，n＝3，
则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝CC02C36 34＋CC12C36 24＝45. 答案：45
5．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝
复习课件
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时 两点分布与超几何分布同步课件 新人教A版选修2-3
1
第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 离散型随机变量的分布列 第 2 课时 两点分布与超几何分布
[学习目标] 1.理解两点分布，并能进行简单的应用 (重点)． 2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简 单的应用(重点、难点)．
X0
1 …M
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随
机变量 X 服从超几何分布．
温馨提示 两点分布的随机变量 X 只能取 0 和 1，否 则，只取两个值的分布不是两点分布．

解

2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
题型4 超几何分布
11．[吉林吉化一中2018高二期末]一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球， 至少得到1个白球的概率是 .
(1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
解
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
题型1 离散型随机变量的分布列
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q等于________．
X
－1
0
1
P
0.5
1－ q
q2
解析
2.1.2 离散型随机变量的分布列
题型2 离散型随机变量分布列的性质
刷基础
3．[河南2019高二期中]已知随机变量X的分布列如表所示．
解析
将50名学生看作一批产品，其中选修A课程为不合格品，选修B课程为合格品，随机抽取两名学生
，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.依题意所求概率
为P(X＝1)＝
＝.
2.1.2 离散型随机变量的分布列 刷基础
题型4 超几何分布
10．[广西南宁四中2019高二月考]现有一批产品共10件，其中8件为正品，2件为次品，从中抽取3件． (1)恰有1件次品的抽法有多少种； (2)求取到次品数X的分布列．
2.1.2 离散型随机变量的分布列
题型5 综合问题
刷基础
12．[四川成都外国语学校2019高二月考]在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10 件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．