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随机过程-均方导数

2
存在
存在
= lim E[
h1 0 h2 0
RX (t h1 , t h2 ) RX (t h1 , t ) RX (t , t h2 ) RX (t , t ) ] h1h2
3、推论
推论1 二阶矩过程 X (t ), t T 在T上均方可微的充要条件为相关函数 RX (t1 , t2 ) 在 (t , t ), t T 在每一点广义二阶可微。推论2 若 RX (t1 , t2 ) 在 (t , t ), t T 上每一点广义二阶可微，则
0
拓展中值定理
一、罗尔( Rolle )定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且证: 设则
存在
(或 )
y
o
x0
x
0 0
证毕
罗尔（ Rolle ）定理满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
（2）
（3）
（4）
2 RX (t1 , t2 ) 2 RX (t1 , t2 ) = =E X (t1 ) X (t2 ) t1t2 t2 t1
3、推论
证明
（1）由推论1知
X (t ) 存在，又由定理2之（5），有
du x (t ) dE X (t ) E[ X (t h)] E[ X (t )] lim h 0 dt dt h X (t h) X (t ) X (t h) X (t ) lim E[ ] E[l.i.m ] E X (t ) h 0 h 0 h h

随机分析1--均方极限

aX bY H ,
证明
E aX bY
2
E ( a X b Y )( a X b Y )
E ( a X b Y )( a X b Y ) E ( aX
2
bY
2
aX bY aX bY )
aX bY aX bY 2 Re( aX bY )
E a
二阶矩过程的均方微积分
研究对象一类具有二阶矩的随机过程研究内容连续性、可导性与可积性等. 是均方极限意义下的随机微积分
重点
均方极限,均方连续,均方可导
以及均方可积的概念和准则．
要求掌握均方极限,均方连续,均方可导以及均方可积的的概念以及相应准则. 熟悉一阶线性随机微分方程及其解. 熟悉正态过程的随机分析的一些结果.
a

k
a l R X ( k , l )收敛 .
二阶矩过程均方极限定义
设 { X ( t ), t T }是二阶矩过程， X H , t 0 T ,
如果 lim E X ( t ) X
t t0 2
0,
则称当 t t 0时，X ( t ), t T }收敛于 X . {
定理（均方大数定理）
设 { X n , n 1, 2, } H
是相互独立同分布的随机变量序列,且
E X n , n 1, 2, , 则
l.i.m
n
1
X n
k 1
n
k
,
证明：E
n
1
n i 1
n
1
n
2
Xi
E
2
i 1
(X n

概率论与数理统计经典课件随机过程

3
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布，则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立，故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,

07 随机过程的均方微积分

令Y 1 2T
T T
X
(t )dt , 则均值和方差E[Y
]

mX

2 Y

1 4T 2
T T
T T
CX
(t1
t2 )dt1dt2

1 2T
2T 2T
(1

2T
)CX
(
)d
1 T
2T 0
(1

2T
)[RX
(
)

mX2
]d
本节课小结
若 X (t) 为平稳过程，均值为常数c，
则输出过程均值函数为c(t-a)
5、随机过程的积分变换
2）输出过程的自相关函数
RY (t1,t2 ) E[
t1 a
t2 X (s)X ()dsd]
a

t1 a
t2 E[ X (s) X ()]dsd
a
t1 a
t2 a
bd
a c R(t1, t2 )dt1dt2
5、随机过程的积分变换
若随机过程 {X (t),t T} 在域[a,b]上均方可积，且输出过程为
t
Y (t) a X (s)ds, a t b
1）输出过程的均值
t
X(t) ()ds Y(t) a
t
mY (t) a mX (s)ds, a t b
如果随机过程 X (t)
是平稳的，且 d 2n RX ( ) 存在，则其n
阶微分也
d 2n 是平稳的，且
R ( X ( n ) )
(1)n
d 2n RX ( ) d 2n

随机过程获奖示范课课件

2 4 9)( 2
1)
d
1
2
2
j[Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e j
,
j)
Res(
(
2
2 4 9)( 2
1)
e
j
,
3
j)]
j( 3 e 5 e3 ) 3 e 5 e3
16 j 48 j
16 48
Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e
j
,
j)
lim(
j
j)
阐明信号旳总能量等于能谱密度在全频域上旳积分. 右式也是总能量旳谱体现式.
因为实际中诸多信号(函数)旳总能量是无限旳, 不满足绝对可积旳条件,所以一般研究x(t)在 (-∞,+ ∞)上旳平均功率,即
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T
为了能利用Fouier变换给出平均功率旳谱体现式, 构造一种截尾函数:
x(t)[
1
2
Fx ()e jtd]dt
1
2
[Fx ()
x(t)e jtdt]d
1
2
2
Fx () d
即
x2 (t)dt 1
2
2
Fx () d
( Parseval等式)
即
x2(t)dt 1
2
2
Fx () d
左边为x(t)在(-,+)上的总能量
右边的被积式 Fx () 2 称为信号x(t)的能谱密度.
T x2 (t)dt lim 1
T
T 4T
2
Fx (,T ) d
1
2
1
lim
T 2T

4.随机过程--均方积分

E

b
2
X (t )dt
b
a
( [E X (t ) ] dt )
a
b
2
1 2
2
(b a) E X (t ) dt (b a) max E X (t )
2 a
2
2
证明 E

b
b
2
a t b
X (t )dt
a

b
a

b
E[X(s)X(t )]dsdt
a

a
b
E [X ( s )X ( t )] dsdt
定理设二阶矩过程{X(t),t∈[a,b]}在[a,b]上均方连续.则其均方不定积分
{Y (t ), t [a, b]}
在[a,b]上均方可导,且
(1)
(2)
(3)
P(Y (t ) X (t )) 1
mY (t ) mX ( s)ds, t [a, b]
a t
RY ( s, t )
lim
s 0 t 0 k 1 l 1

m n
m
n
f ( s k , u ) f ( t , u ) R X ( s , t ) s k （存在） tl

l
k
l
Hale Waihona Puke lims 0 t 0 k 1 l 1
E[ f ( s

k
, u ) X s ） ( t , u ) X ( t )] s k t l （ f
均方积分过程．特别当f(t,u)=1时， { X (t ), t [ a , b ]} 在[a,b]上的

随机过程在金融中的应用4随机分析及均方微分方程

随机过程在金融中的应用4随机分析及均方微分方程随机过程是描述随时间变化的随机现象的数学工具。

在金融领域，随机过程被广泛应用于分析和模拟金融市场中的价格和利率等变量的随机行为。

随机分析和均方微分方程是常用的随机过程建模和分析方法。

随机分析是一种基于概率论和微积分的数学理论，用于研究随机过程的性质和行为。

它的核心是随机演化过程的微积分学，包括随机积分和随机微分等概念。

通过随机分析，我们可以将随机过程建模为随机微分方程，以描述其随机变化的规律。

均方微分方程是随机微分方程的特殊形式，其中随机项满足均方意义下的积分常微分方程。

均方微分方程是一类重要的随机微分方程，其解具有良好的数学性质，易于分析和计算。

在金融领域，均方微分方程常用于研究金融市场中的价格和利率等随机变量的行为。

随机分析和均方微分方程在金融中的应用可以追溯到20世纪60年代。

当时，人们开始研究金融市场中的随机现象，并尝试建立数学模型来解释股票价格的随机波动。

随机分析和均方微分方程为这些模型提供了有效的工具和方法。

通过随机分析和均方微分方程，可以对金融市场中的价格和利率等变量进行定量分析和预测。

例如，通过建立随机微分方程模型，可以模拟股票价格的随机行为，并计算出股票期权的定价和风险。

另外，均方微分方程还可以用于研究利率的随机演化和债券价格的随机波动，从而提供利率衍生产品的定价和风险管理方法。

随机分析和均方微分方程在金融中的应用还包括风险管理和投资组合优化等领域。

通过建立随机模型，可以对投资组合的风险进行评估和管理，以及优化投资组合的配置和调整策略。

总之，随机分析和均方微分方程是金融领域中常用的数学建模和分析方法，可以用来描述和预测金融市场中的价格和利率等随机变量的行为。

这些方法不仅提供了对金融风险的定量评估和管理，还为投资者和金融机构提供了优化投资决策和配置资产的工具。

通过不断发展和创新，随机分析和均方微分方程将继续推动金融领域的理论和实践的发展。

随机过程在金融中的应用4随机分析及均方微分方程

| E[ X (Ym Y )] | | E[( X n X )Y ] | | E[( X n X )(Ym Y )] |
1
1
{E( X
2 )E(Ym
Y )2 ]}2
{E[( 1
X
n

X
)2 ]E(Y )}2
{E[( X n X )2 ]E[(Ym Y )2 ]}2
首页
性质
二阶矩过程的协方差函数一定存在
证 K (t1,t2 ) cov[X (t1), X (t2 )] E{[ X (t1) m(t1)][ X (t2 ) m(t2 )]}
由许瓦兹不等式得
首页
| K (t1,t2 ) |2 | E{[ X (t1) m(t1)][ X (t2 ) m(t2 )]} |2
一、均方导数的定义
定义1 设随机变量{ X (t) ，t (,) }为二阶矩过程
对于确定的t (,) ，如果均方极限
l.i.m X (t h) X (t) 存在
h0
h
则称X (t)在t处均方可微，并将此极限记作X (t)
称为 X (t) 在 t 处的均方导数
即有 X (t) l.i.m X (t h) X (t)
h0 k 0
即 R(s,t) 在(, ) 连续。
如果 R(s,t) 在{(t,t) ，t (,) }处连续，
则 R(s,t) 在{(s,t) ， s,t (,) }处连续。证因 R(s,t) 在{(t,t) ，t (,) }处连续，
由定理1知， X (t) 在 t (,) 点均方连续，
R(s,t) 为其相关函数，则
X (t) 在t 处均方连续R(s,t) 在(, ) 连续

平稳随机过程的均方值

平稳随机过程的均方值
嘿，朋友！咱今天来聊聊平稳随机过程的均方值。

你知道吗，这均方值就像是一个神秘的宝藏，得慢慢挖掘才能发现
它的价值。

想象一下，平稳随机过程就像是一场混乱的舞会。

在这个舞会上，
各种舞步、节奏都毫无规律。

但均方值就像是这场舞会的组织者，它
能从这看似杂乱无章的舞步中找出一些关键的规律。

比如说，我们日常生活中的噪声。

那呼呼作响的风声，噼里啪啦的
雨声，还有街头巷尾的嘈杂声，这些都可以看作是一种随机过程。

而
均方值呢，就能帮我们衡量这些噪声的强度。

这均方值可不是随随便便就能搞明白的哟！它得通过一系列复杂又
精妙的计算才能得出。

就好比你要做一道超级复杂的数学题，得一步
一步地来，不能马虎。

如果把平稳随机过程比作是一条波涛汹涌的河流，那均方值就是这
条河的平均水深。

它能告诉我们这条河大概的情况，是深是浅，是湍
急还是平缓。

再比如，股票市场的价格波动，那也是个平稳随机过程。

均方值就
能帮投资者大概了解这个市场的波动程度，是风平浪静还是惊涛骇浪。

均方值的计算，就像是在给这个混乱的世界制定一些秩序。

它让我们能在看似无序的随机现象中找到一些确定性的东西。

你想想，要是没有均方值这样的工具，我们面对那些随机的现象不就像无头苍蝇一样乱撞吗？
总之，平稳随机过程的均方值是个非常重要且神奇的东西，它能帮助我们在混乱中找到秩序，在无序中发现规律。

朋友，你可得好好琢磨琢磨它呀！。

随机过程均方可积

t a
1)
Y ( t ) X ( t );
西南科技大学
2)
E[Y ( t )]
t E [ X ( s )] ds , a
mY ( t )
3)
t m ( s ) ds ; X a
s t R a a X
RY ( s, t )

u, v dudv .
定理5 (牛顿-莱布尼兹公式) 设X(t)在[a,b]上均方可导, X ( t )均方连续，则有
t a
t Y ( s ) ds a
m X (t ) E ( X 0 )
t m ( s )ds, a Y
西南科技大学
RX ( s, t ) E{[ X 0 Y ( u)ds][ X 0 Y (v )dv ]}
a a
s
t
E[ X 0 ] E[ X 0 Y (v )dv ] E[ X 0 Y ( u)du]
西南科技大学
EX.1 设A, B相互独立同分布于N(0,σ2), X(t)=At+B, t∈[0, 1], 试求下列随机过程的数学期望.
Z X ( t )dt ,
0 1
Y X ( t )dt ,
2 0
1
解 E[ X ( t )] E ( A)t E ( B ) 0,
n
n
lim a n a ,
n
n
lim
2 n
,
1 ita 2 t 2 2
2
f ( t ) lim f n ( t )
lim e
n 1 2 2 itan n t 2
e
,
西南科技大学

随机过程9(2.4) 均方积分

h0
h
h h0
两个随机过程分别为
①{X(t)=At+B, t∈(-∞,+ ∞ )} A,B独立同服从N(0,σ2). ②{X(t),t≥0}的均值函数为 mX(t)=0, 相关函数为
RX (s,t) ea ts , a 0
若{X(t),t∈T} 均方可导,则求导数过程{X′ (t),t∈T} 的均值函数和相关函数.
(1) mX (t) mX (t) 0
RX
( s, t )
2 st
RX
(s,
t)
2
两个随机过程分别为
①{X(t)=At+B, t∈(-∞,+ ∞ )} A,B独立同服从N(0,σ2). ②{X(t),t≥0}的均值函数为 mX(t)=0, 相关函数为
RX (s,t) ea ts , a 0
n
f (tk, u) X (tk)tk H ,
k 1
, n）作和式
如果以下均方极限存在
n
l.i.m
0
k 1
f
(tk,u) X (tk)tk
且此极限不依懒于对[a,b]的分法及 tk 的取法,则称 { f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上均方可积.
该均方极限值Y(u)称为
{ f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上的均方积分.
四均方积分
1. 均方积分的定义
设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程，f(t,u)是[a,b]
×U上的普通函数，对区间[a,b] 任一划分
a t0 t1 tn b 记tk tk tk1（, k 1, 2, , n)
令
max
1k n
tk

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随机分析1--均方极限

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4.随机过程--均方积分

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