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存在.
平稳性
2）设XT={X(t), t∈T}均方可导, 则
d d m X ' ( t ) E[ X ( t )] E[ X ( t )] ( m X ) 0 dt dt
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2 RX ( s , t ) E[ X ( s )X ( t )] RX ( t s ) t s " " RX ( t s ) RX ( t s ) RX ( ) s
m X ( t ) 0,
1 lim [ R( t 0 t , t 0 s ) R( t 0 t , t 0 ) t 0 t s s 0 R( t 0 , t 0 s ) R( t 0 , t 0 )]
1 lim [ R( s t ) R( t ) R( s ) R(0)] t 0 t s s 0
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4) 非负定性
n
对n 1, t1 ,, t n T ,
及复数 α1,α2,…,αn 有
k , j 1
j k RX ( tk t j ) 0.
2
证明
1) RX (0) E{ X ( t )X ( t )} E{ X ( t ) } 0;
2）由许瓦兹不等式
G
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R( 2 )d1d 2
G 0 b a b R( 2 )d 2 a 2 d1
ba b 2 0 R( 2 )d 2 a d1
τ2
b－ a 0
a－ b
1 2 b
a
b
τ1
1 2 a
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0 b a b R( 2 )d 2 a 2 d1
1) XT 均方可微的充要条件是RX(τ)在τ=0 处 二次可微; 2）XT 均方可微, 其均方导数过程仍为平 稳过程,有
( ). RX ( ) R X 证 1) 由均方可微准则, XT均方可微
相关函数R(s, t)在(t0 ,t0)处广义二阶可微,即
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均值函数 相关函数
2
R(t+L)= R(t).
2
P{ X ( t L) X ( t ) X ( t )} 1,
P{ X ( t L) X ( t ) X ( t ) 0} 1.
E{ X ( t L) X ( t ) X ( t )} 0,
RX(L)= RX(0). RX(t+L)= RX( t ).
RX ( ) RX ( t , t ) E ( X ( t )X ( t ))
2 E [ X ( t ) ]E [ X ( t ) ] R X (0); 2 2
2
2
2
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3) RX ( ) E[ X ( t )X ( t )] E[ X ( t )X ( t )]
4)
j k E[ X ( t j )X ( t k )]
k , j 1
k , j 1 n
j k RX ( t k t j )
n
E[ X ( s )X ( s )] RX ( );
E[ j k X ( t j )X ( t k )] E[ k X ( t k ) ] 0
{ X ( t ), t T }是平稳过程.
续Ex.3 随机电报信号的自相关函数
R( ) C 2 e 2
有 R' X (0 ) 2C , R' X (0 ) 2C
(0)不存在 R X
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2 2
R X ( 0)不存在
随机电报信号{X( t ),t≥0}均方不可导.
s )dsdt
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特别若{X( t ),t∈T}是实平稳过程,则 b 1) E[ a X ( t )dt ] m X (b a );
2)
b 2 E[ a X ( t )dt ]
b a 20 [(b a )
]R( )d.
s )dsdt
证 由均方可积准则及过程的平稳性可得
推论2 {X(t),t∈T}是均方可微的实正态平稳 过程, 则对t T , X ( t )与X ( t )相互独立. 定理5.2.5 设{X( t ),t∈T}是均方连续的平稳 过程, 则在有限区间上, 均方积分 存在,且有
b a X ( t )dt
b b b b E[ a X ( s )ds a X ( t )dt ] a a RX ( t
又因 RX ( ) RX ( )
E X ( t ) X ( t ) RX ( t , t ) R X ( 0) t
R X ( ) R X ()
特别
R X (0) R X (0)
R X (0) 0，
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E X ( t ) X ( t ) 0， 即X ( t )与X ( t )不相关.
§5.2 平稳过程的自相关函数
一、平稳过程自相关函数的性质
定理5.2.1 复平稳过程{X(t),t∈T}的自相关函 数RX(τ), 有如下性质：
1) R(0) E[ X (t ) ] 0;
2
2)
RX ( ) RX (0);
( C X ( ) C X (0); )
3) RX ( ) RX ( );
P{ X ( t L) X ( t )} 0,
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定理5.2.3 实平稳过程{X(t),t∈T}均方连续
的充要条件是相关函数RX(τ)在 τ= 0 处连 续, 且此时RX(τ)处处连续. 证 必要性 设RX(τ)在τ= 0 处连续, 则
对t 0 T , lim RX (t t0 ) RX (0),
2
2
2 RX (0) E[
X (t ) X (t 0 ) ],
2
2
由于X( t ) 在t +0 处均方连续, 有
0
lim E[ X ( t ) X ( t 0 ) ] 0
0
lim RX ( ) RX ( 0 )
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由τ0 的任意性知 RX(τ)处处连续.
3
X (t t ) X (t ) 2 RY (0) E{[Y (t )] } E{[l.i.m ]} t 0 t
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2[ R X (0) R X ( t )] 2 lim A . 2 t 0 ( t )
左右导数存 在并相等
推论1 设{X( t ),t∈T}是均方可微的实平稳 过程, 则对t T , X ( t )与X ( t )不相关. 证 {X( t ),t∈T}是实平稳过程
k , j 1
k 1
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n
n
2
推论1 实平稳过程{X(t),t∈T}的RX(τ)有:
1) R(0) 0;
2)
RX ( ) RX (0);
3) RX ( ) RX ( ); 4) 具有非负定性.
随机二 元传输 1 随机电 报信号
Hale Waihona Puke RX(τ)－T0
T
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Ex.1 讨论随机过程{X(t ), t≥0}是否为平稳 过程，其中X(t)=sinωt, ω在[0, 2π]上服从均 匀分布. 解 R(s,t)=E(X(s)X(t))
1 0 2 sin s
2
sin td
1 sin 2( t s ) sin 2( t s ) 4 ts ts R(s,t)不是关于s－t 的偶函数, 故实随机过 程{X( t ),t≥0}不是平稳过程.
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定理5.2.2 如果{X(t),t∈T }是周期为L的周期 平稳过程, 即有 P{X(t+L)= X(t)}=1， 则RX(τ)也是周期函数,有 证
Ex.4 设实平稳过程{X( t ), t∈T}的相关函数为
Ae
(1 )
其中A、 均为常数， 0，求
的相关函数. 解 当τ≠0，
dX ( t ) Y (t ) dt
( ) Ae RY ( ) RX
2
( );
2
t t0
E[ X (t ) X (t0 ) ] E{[ X ( t ) X ( t0 )][ X ( t ) X ( t0 )]}
E[ X ( t )X ( t )] E[ X ( t 0 )X ( t 0 )] E[ X ( t 0 )X ( t )] E[ X ( t )X ( t 0 )]
lim[ RX (0) RX ( )] 0,
0
即RX(τ)在τ=0处连续. 任意性 对任意 0 ,
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RX ( ) RX ( 0 ) E{ X ( t )[ X ( t ) X ( t 0 )]} 2
2
E [ X ( t ) ]E [ X ( t ) X ( t 0 ) ]
b 2 E[ a X ( t )dt ]
m X (b a );
b b a a R( t
s )dsdt
1
做积分变换，令 1 s 2 t s
则 J
1 0 1 1
将 D {( s, t ) a s b, a t b}
变换为
G {(1 , 2 ) a 1 b, a 1 2 b 1 }
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2
Ex.2 设平稳过程X( t )的相关函数为RX(τ), 且RX(L)= RX(0), L为一个常数, L>0, 试证：
