初二数学压轴几何证明题含答案

经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。

求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。

初二数学平行四边形：几何证明题 GH、HE．CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、E1.在四边形ABCD中，、F、G、H分别是AB、BC、C 1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（GD 是菱形，并说明理由。

2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH（FHB E ABC沿顺时针方向旋转90°得到△A．ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B2.如图，在直角三角形11．C的长度是，∠CBA的度数是（1）线段A111 CBAC 是平行四边形．（2）连接CC，求证：四边形CAA 11111B CQ. BC于的中点，PO的延长线交为ABCD中，点P是线段AD上一动点，OBD如图，矩形3. OP=OQ；（1）求证：t运动时间为.设点PD厘米/秒的速度向D运动（不与重合）A2（）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点出发，以1 是菱形．t为何值时，四边形PBQD秒，请用t表示PD的长；并求PD AOC B QGFC.与点C重合，得△E是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点AE4.已知：如图，在□ABCD 中，?DG；⑴求证：BE. 是菱形？证明你的结论与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG，当B ⑵若∠?60?AB G ADBCFEF．AE交BC的延长线于点E∥BC，为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长5. 如图，在四边形ABCD中，AD AD；）FC＝求证：（1DA ．BC＋ADAB（2）＝EFB CBE，CE.BC，D是的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结6.如图，在△ABC中，AB=AC ACE）求证：△ABE≌△（1 满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.（2）当AE 与AD BAEDCF.的延长线与CD的延长线交于点的中点，ABCD中，点E是边ADBE7.如图，在平行四边形F DFE ）求证：△ABE≌△（1.ABDF的形状，并说明理由BD2）连结、AF，判断四边形（EADBCFACEDFABDEDABCBCACAB∥8. 如图，已知点在△于的边上，交∥交．于，DFAE 1）求证：；＝A AEDFBACAD 2（）若的形状，并说明理由．平分∠，试判断四边形E FC B DFE，BDDEBF?上两点，且9. 如图，在平行四边形中，点是对角线． 1）写出图中每一对你认为全等的三角形；（ 1）中的任意一对全等三角形进行证明．（2）选择（A DF E BCAC. 、BF、CF，并延长DE至点F，使EF=DE.连接BCAD10.在梯形ABCD中，∥BC,AB=DC，过点D 作DE⊥，垂足为点E ）求证：四边形ABFC是平行四边形；1（2CEBE?DE?. ABFC是矩形,（2）若求证：四边形 DACE BFAE. 的外角平分线，BE⊥BACAEAB=AC11.如图，△ABC中，，AD、分别是∠BAC和∠BAEDA（1）求证：⊥（DE与是否相等？并说明理由。

1.四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．(1)如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．解：（1）EG⊥CG，=，理由是：过G作GH⊥EC于H，∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC，∵G为DF中点，∴H为EC中点，∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=HC，∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形，∴=；（2）解：结论还成立，理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，∵在△EFG和△HDG中∴△EFG≌△HDG（SAS），∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，∴EF∥DH，∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，在△EBC和△HDC中∴△EBC≌△HDC．∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴△ECH是等腰直角三角形，∵G为EH的中点，∴EG⊥GC，=，即（1）中的结论仍然成立；（3）解：连接BD，∵AB=，正方形ABCD，∴BD=2，∴cos∠DBE==，∴∠DBE=60°，∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，∴∠ABF=45°-15°=30°，∴tan∠ABF=，∴DE=BE=，∴DF=DE-EF=-1．解析：（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）连接BD，求出cos∠DBE==，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC 上，取DF的中点G，连接EG，CG．(1)延长EG交DC于H，试说明：DH=BE．(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？请写出来．(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α＜90°)，再连接DF，取DF的中点G(如图3)，第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．（1）证明：∵∠BEF=90°，∴EF∥DH，∴∠EFG=∠GDH，而∠EGF=∠DGH，GF=GD，∴△GEF≌△GHD，∴EF=DH，而BE=EF，∴DH=BE；（2）连接DB，如图，∵△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，∴D，E，B三点共线．而∠BEF=90°，∴△FED为直角三角形，而G为DF的中点，∴EG=GD=GC，∴∠EGC=2∠EDC=90°，∴EG=CG且EG⊥CG；（3）第2问中的结论成立．理由如下：连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，∴OG∥BF，GM∥OB，∴四边形OGMB为平行四边形，∴OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，∴EM=OG，MG=OC，∵∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，∴∠EMG=∠GOC，∴△MEG≌△OGC，∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，∴EG=CG且EG⊥CG．解析：（1）由∠BEF=90°，得到EF∥DH，而GF=GD，易证得△GEF≌△GHD，得EF=DH，而BE=EF，即可得到结论．（2）连接DB，如图2，由△BEF为等腰直角三角形，得∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，得∠DBC=45°，得到D，E，B三点共线，而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC，于是∠EGC=2∠EDC=90°，即得到结论．（3）连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OG∥BF，GM∥OB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，得∠EMG=∠GOC，则△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°．3.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(如图②)，问(1)中的结论是否仍然成立．证明你的结论；(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接DF，取DF的中点G(如图③)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论．解：（1）EG=CG且EG⊥CG．证明如下：如图①，连接BD．∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，∴∠EBF=∠DBC=45°．∴B、E、D三点共线．∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，∴EG=DG=GF=CG．∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2）仍然成立，证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，FG=DG，∴△FEG≌△DHG，∴EF=DH，EG=GH．∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，∴BE=DH．∵CD=BC，∴CE=CH．∴△ECH为等腰直角三角形．又∵EG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．（3）仍然成立．证明如下：如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，∴△HFG≌△CDG，∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，∴HF∥CD．∵正方形ABCD，∴HF=BC，HF⊥BC．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，∴△BEC≌△FEH，∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，∴∠BEF=∠HEC=90°，∴△ECH为等腰直角三角形．又∵CG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．解析：（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG=GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；（2）首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG且EG ⊥CG．（3）首先证明：△BEC ≌△FEH ，即可证得：△ECH 为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG 且EG ⊥CG ．已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的数量关系为______；（2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．解：（1）GC=EG ，（1分）理由如下：∵△BEF 为等腰直角三角形， ∴∠DEF=90°，又G 为斜边DF 的中点， ∴EG=DF ， ∵ABCD 为正方形， ∴∠BCD=90°，又G 为斜边DF 的中点，∴CG= DF ， ∴GC=EG ；（2）成立．如图，延长EG 交CD 于M ，∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，∴EF ∥CD ，∴∠EFG=∠MDG ，又∠EGF=∠DGM ，DG=FG ，∴△GEF ≌△GMD ，∴EG=MG ，即G 为EM 的中点．∴CG 为直角△ECM 的斜边上的中线，∴CG=GE= EM ；（3）成立．取BF 的中点H ，连接EH ，GH ，取BD 的中点O ，连接OG ，OC ．∵CB=CD ，∠DCB=90°，∴CO= BD1 2 1 21212．∵DG=GF，∴GH∥BD，且GH= BD，OG∥BF，且OG= BF，∴CO=GH．为等腰直角三角形．∵△BEF∴EH= BF∴EH=OG．∵四边形OBHG为平行四边形，∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．∴∠GOC=∠EHG．∴△GOC≌△EHG．∴EG=GC．此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．解析：（1）EG=CG，理由为：根据三角形BEF为等腰直角三角形，得到∠DEF为直角，又G为DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；（2）成立．理由为：延长EG交CD于M，如图所示，根据“ASA”得到三角形EFG与三角形GDM 全等，由全等三角形的对应边相等得到EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；（3）成立．理由为：取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC，如图所示，1212因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到OC等于BD 的一半，由HG为三角形DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EH等于BF的一半，根据等量代换得到OG与EH相等，再根据OBHG为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到∠GOC与∠EHG相等，利用“SAS”得到△GOC与△EHG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．。

初二数学平行四边形压轴：几何证明题1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。

2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1．（1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ．（2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形．3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q.（1）求证：OP=OQ ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE =DG ；⑵若∠B =60︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论.5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ．6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE.（1）求证：△ABE ≌△ACE（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.A B E F C G D H B A 1 C 1A C AD G CB F E A QCD P B OA BE D C A D EF C B7.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线交于点F.（1）求证：△ABE ≌△DFE（2）连结BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状，并说明理由.8. 如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．9. 如图，在平行四边形中，点E F ，是对角线BD 上两点，且BF DE =．（1）写出图中每一对你认为全等的三角形；（2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明．10.在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，并延长DE 至点F ，使EF=DE.连接BF 、CF 、AC.（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）若CE BE DE ⋅=2,求证：四边形ABFC 是矩形.11.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 的外角平分线，BE ⊥AE. （1）求证：DA ⊥AE（2）试判断AB 与DE 是否相等？并说明理由。

八下数学期末复习专题几何压轴题专练1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，△DAE＝△BAC，连接CE.设△BAC＝α，△DCE＝β.（1）求证：△DAB△△EAC.（2）当点D在线段BC上运动时，①α＝50°，则β＝°.②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明.（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明.2．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4.（1）如图1，当△DAG＝30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长. 3．如图（1）如图1，在□ABCD中，AE平分△BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于cm。

（2）如图2，在□ABCD中，若AE，BE分别是△DAB，△CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则▱ABCD的周长为。

（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是△DAB，△CBA的平分线。

求证：DF=EC（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为。

4．已知,在▱ABCD中, AB⊥BD, AB＝BD, E为射线BC上一点,连接AE交BD 于点F．（1）如图1,若点E与点C重合,且AF=√5,求AB的长;（2）如图2,当点E在BC边上时,过点D作DG⊥AE于G,延长DG交BC于H,连接FH．求证: AF=DH+FH;（3）如图3,当点E在射线BC上运动时,过点D作DG⊥AE于G, M为AG 的中点,点N在BC边上且BN=1,已知AB=5√2,请直接写出MN的最小值．5．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若PQ△AB，由折叠性质可得△BPC＝°；（2）若a＝8，b＝6，且PQ△AB，求C到AB的距离及BP的长；（3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式．6．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC 绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；（3）若AB＝1，BC＝√5，求当α等于多少度时，BF＝DF？7．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1.连接AA1，BB1交于点D.（1）如图1，当点A1落在BC的延长线上时，求线段AB1的长；（2）如图2，当△ABC旋转到任意位置时，求证：点D为线段AA1中点；（3）若△A1B1C从图1的位置绕点C继续顺时针旋转α（0°<α≤90°），当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，求α的值.8．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝2，BD△AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．（1）求证BF＝AE；（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF 的面积.9．如图（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，证明线段BC，DC，EC之间满足的等量关系;（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明结论;（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°若BD＝12，CD＝4，求AD的长.10．把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE.（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α=60°，求△ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分△BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE=DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出△F的度数（用含α的式子表示）.11．如图1，在平面直角坐标系中.直线y=−12x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90∘得到CD，此时点D 恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC△ △CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上.是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．12．在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，AB=2．（1）如图①，点E为AD的中点，则点E到AB的距离为；（2）如图②，点M为AD上一动点，求12AM+MC的最小值．（3）（问题解决）如图③，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在使AM=（千米）处．13．已知Rt△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE△AE，过点B作BD△AE，交AE的延长线于D．（1）如图1，求证BD=AE；（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求△EDH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG△FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM 的面积为30，△EHB=△BHG，求线段EH的长．14．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求△APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′△△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出△APB ＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图②，△ABC中，△CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且△EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．15．在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE.（1）如图1，如果点D在BC上，且BD=4，CD=3，求DE的长；（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且AD⊥BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM=AF，求证：CF=AN+MN；（3）如图3，若AD=AB，△ADE绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出DF:DN:AN的值.16．如图1，△ABC是直角三角形，△ACB＝90°，点D在AC上，DE△AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF.（1）EF和CF的数量关系为；（2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系；（3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明.17．我们定义：如图1、图2、图3，在ΔABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0∘<α<180∘)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180∘时，我们称ΔAB′C′是ΔABC的“旋补三角形”，ΔAB′C′边B′C′上的中线AD叫做ΔABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的ΔAB′C′均是ΔABC的“旋补三角形”.（1）①如图2，当ΔABC为等边三角形时，“旋补中线” AD与BC的数量关系为：AD=BC；②如图3，当∠BAC=90∘，BC=8时，则“旋补中线” AD长为.（2）在图1中，当ΔABC为任意三角形时，猜想“旋补中线” AD与BC的数量关系，并给予证明.18．在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在（图25-1）中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图25-2），求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG//CE，FG=CE，分别连接BD、DG（如图25--3），直接写出∠BDG的度数．19．在△ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将过点A的直线l绕点A旋转，交射线CD于点E，BF△l于点F，DG△l于点G，连接OF，OG．（1）如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF，OG的数量关系；（2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请证明你的结论；（3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，上述的结论是否仍成立？请说明理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝√5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小.21．如图1，在Rt△ABC中，△A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值.22．如图，已知函数y=﹣12x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2．（1）求点A的坐标；（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣12x+b和y=x的图象于点C、D．①若OB=2CD，求a的值；②是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析1．【答案】（1）证明：∵△DAE＝△BAC，∴△CAD﹣△DAE＝△CAD﹣△BAC，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAF AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS）（2）解：①130；②α+β＝180°，理由：由（1）知，△DAB△△EAC，∴△ABC＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴β＝△ACB+△ACE＝△ACB+△ABC＝90°﹣12α+90°﹣12α＝180°﹣α，∴α+β＝180°（3）解：β＝α；理由：∵△DAE＝△BAC，∴△DAE﹣△BAE＝△BAC﹣△BAE，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAB AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS），∴△ABD＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴△ACE＝△ABD＝180°﹣△ABC＝180°﹣（90°﹣12α）＝90°+12α，∴β＝△ACE﹣△ACB＝90°+ 12α﹣（90°﹣12α）＝α.2．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴△BAD＝90°，∵△DAG ＝30°，∴△BAG ＝60°由折叠知，△BAE ＝12△BAG ＝30°， 在Rt△BAE 中，△BAE ＝30°，AB ＝3，∴BE ＝√3（2）解：如图4，连接GE ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵在矩形ABCD 中，∴△C ＝90°，∴△EFG ＝90°，∵在Rt△GFE 和Rt△GCE 中，{EG =EG EF =EC∴Rt△GFE△Rt△GCE （HL ），∴GF ＝GC ；设GC ＝x ，则AG ＝3+x ，DG ＝3﹣x ，在Rt△ADG 中，42+（3﹣x ）2＝（3+x ）2，解得x ＝43. （3）解：BE ＝323．【答案】（1）2（2）12（3）证明：∵在▱ABCD 中，CD△AB ，∴△DFA=△FAB.又∵AF是△DAB的平分线∴△DAF=△FAB，∴△DAF=△DFA，∴AD=DF，同理可得EC=BC.∵AD=BC，∴DF=EC（4）14．【答案】（1）解：如图1中，∵AB⊥BD,∴∠ABD=90°,∵AB=BD,∠BAD=45°,∴∠BDA=∠BAD=45°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴E、C重合时BF=12BD=12AB,在RtΔABF中,∵AF2=AB2+BF2,∴(√5)2=(2BF)2+BF2,∴BF=1, AB=2,∴AB=2;（2）证明：如图2中，在AF上截取AK=HD,连接BK,∵AB⊥BD, DG⊥AE,∴∠ABF=∠FGD=90°,∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3, ∠ABF=∠FGD=90°,∴∠2=∠3,在ABK和ΔDBH中, {AB=BD ∠2=∠3 AK=HD,∴ΔABK≅ΔDBH,∴BK=BH, ∠6=∠1,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC,∴∠4=∠1,由（1）知∠4=45°,∴∠l=∠6=45°,∴∠5=∠ABD−∠6=45°,∠5=∠1,在ΔFBK和ΔFBH中, {BF=BF ∠5=∠1 BK=BH,∴ΔFBK≅ΔFBH,∴KF=FH,∵AF=AK+KF，∴AF=DH+FH；（3）解：MN的最小值为√149−52．5．【答案】（1）45（2）解：如图，作CH△AB于H由翻折的性质可知：△APC=△QPC∵CH△AB，△BPC=45°∴CH=PH在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√82+62=10∵12⋅AB ⋅CH =12⋅AC ⋅BC ，即 5CH =24 ∴CH= 245； （3）解：如图:连接BQ由翻折的性质可得：PA=PQ ，△QPC=△APC∵四边形BCPQ 是平行四边形∴PQ=BC=PA=b ，PQ//BC ，∴△QPC+△PCB=180°∵△BPC+△APC=180°∴△PCB=△BPC∴PB=BC=b∴AP=PB=b ，AB=2b ，在Rt△ABC 中，则有（2b ）2=a 2+b 2∴a 2=3b 2∵a>0.b>0，∴a= √3b ．6．【答案】（1）解：AF=CE.理由如下：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD // CB ，OA=OC.∴△FAO=△ECO.在 △AOF 和 △COE 中，∵{∠AOF =∠COE,OA =OC,∠FAO =∠ECO,∴△AOF ≌△COE(ASA) .∴AF=CE.（2）解：当旋转至90°时，四边形ABEF为平行四边形.理由如下：∵△AOF= 90°，△BAC= 90°，∴AB //EF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，即AF//BE.∴四边形ABEF为平行四边形（3）解：当α等于45度时，BF＝DF.理由如下：∵AB=1，BC= √5，AB△AC，∴AC= √BC2−AB2=√(√5)2−12=2.∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=12AC=12×2=1，BO=DO.∴OA=AB=1.点O在线段BD的垂直平分线上.∴△ABO为等腰直角三角形.∴△AOB= 45°.当F在线段BD的垂直平分线上时，BF=DF，∴FO垂直平分BD.∴△BOF=90°.∴∠AOF=∠BOF−∠AOB=90°−45°=45°，即α=45°.∴当α等于45度时，BF＝DF.7．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，∴∠ACB=45°，AC=√AB2+BC2=√42+42=4√2.∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，∴∠A1CB1=45°，B1C=BC=4.∴∠ACB1=180°−∠ACB−∠A1CB1=90°.∴AB1=√AC2+B1C2=√(4√2)2+42=4√3（2）证明：过点A1作A1E//AB交BB1的延长线于点E，∴∠ABD=∠DEA1.∵B1C=BC，∴∠CBB1=∠CB1B.∵∠ABC=∠A1B1C=90°，∴∠ABD+∠CBB1=∠CB1B+∠A1B1E=90°.∴∠A1B1E=∠ABD=∠DEA1.∴A1B1=A1E.∵AB=A1B1，∴AB=A1E.∵∠ADB=∠A1DE，∴△ADB≅△A1DE.∴AD=∠A1D.∴点D为线段AA1中点（3）解：如图3，当直线AB与直线A1B1相交于点A上方，延长BC交A1B1于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠CA1B1=45°，∴∠A1CE=∠PEB−∠CA1E=15°.如图4，当直线AB与直线A1B1相交于点A下方，延长BC交A1B1的延长线于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠A1B1C=90°，∴∠B1CE=∠A1B1C−∠PEB=30°.∴∠A1CE=∠B1CE+∠A1CB=75°.∴当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，α的值为15°或75°.8．【答案】（1）证明：根据旋转的性质可得，DE=DF，△EDF=90°∵BD△AD∴△ADB=90°∴△ADE=△BDF∵AD=BD∴△ADE△△BDF∴BF=AE（2）过点D 作DG△AC 于点G ，∵DE=DF ，△EDF=90°∴△DEF=△DFE=45°，△DEA=135°根据（1）可得，△ADE△△BDF∴△BFD=△DEA=135°，AE=BF∴△BFO=90°∵四边形ABCD 为平行四边形∴OB=OD∴△DGO△△BFO∴DG=BF ，OF=OG∴DG=EG=AE=BF设DG=a （a ＞0），则AG=2a在直角三角形ADG 中，∵AG 2+DG 2=AD 2∴（2a ）2+a 2=22解得a=2√55 ∴OF=OG=12×2√55=√55（3）过点D 作DN△AC 于点N ，将△DEN 绕点D 逆时针旋转90°得到△DFH ，∴DH=DN ，△DNE=△DH=90°，△DEN=△DFG∵△DEF=△FME=90°∴△DEM+△DFM=180°∴△DFH+△DFM=180°∴点H ，点F ，点M 三点共线∵△DHF=△DNM=△FMN=90°∴四边形DNMG 为矩形∵DN=DH∴四边形DNMH 为正方形∴S 四边形DEMF=S 四边形DNMH=（2√55）2=459．【答案】（1）解：∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴DB=EC∴BC=DC+DB=DC+EC（2）解：连结CE∵Rt△ABC与Rt△ADE中AB＝AC，AD＝AE∴∠B=∠ACE=45°，DE2=AD2+AE2=2AD2，∵由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC,∠ABD=∠ACE=45°∴∠ECD=90°∴Rt△ECD中，DE2=EC2+CD2=BD2+CD2∴2AD2=BD2+CD2（3）解：过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连结DE,CE∵∠ABC=∠ACB=45°∴AB⊥AC,AB=AC∵AE⊥AD,AE=AD∴由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC=12∵∠ADC=45°∴∠EDC=∠ADC+∠ADE=90°∴DE=√CE2−CD2=√122−42=8√2∴等腰直角△ADE中AD=810．【答案】（1）解：∵α=60°，△ABC△△ADE，∴ AD=AB，△ABC=△ADE.∴ △ABD=△DAB=60°.∴ △ABC=△ADE=△DAB+△ABD=120°.（2）解：∵ AC=AE,△EAC= α，∴ △E=△ACE.∵ △ABC△△ADE，∴ △ACB=△E.∴ △ACB=△ACE.∴ CA平分△BCE.（3）解：△F= 90°−α.如下图：延长AD交EF于点G，则根据图形旋转的性质得，△GAF=α，∵△ABC△△ADE∴AC=AE，∴△AEC为等腰三角形，在△AED和△ACD中，{AE=AC DE=CD AD=AD，∴ △AED △ △ACD（SSS），∴ △DAE=△DAC，∴ AD平分△EAC，∵△AEC为等腰三角形，∴AG△EF，即△AGF=90°，∴∠EAF=3∠CAF=32α，∴∠F=180°−∠GAF−∠AGF=90°−α.11．【答案】（1）证明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90∘，∴∠OCB+∠DCE=90∘，∠DCE+∠CDE=90∘，∴∠BCO=∠CDE，∵BC=CD，∴△BOC△ △CED．（2）解：∵△BOC△ △CED，∴OC=DE=m，BO=CE=3，∴D(m+3,m)，把D(m+3,m)代入y=−12x+3得到，m=−12(m+3)+3，∴2m=−m−3+6，∴m=1，∴D(4,1)，∵B(0,3)，C(1,0)，∴直线BC的解析式为y=−3x+3，设直线B′C′的解析式为y=−3x+b，把D(4,1)代入得到b=13，∴直线B′C′的解析式为y=−3x+13，∴C′(133,0)，∴CC′=103，∴△BCD平移的距离是103个单位．（3）点Q的坐标为(3,32)或(5,12)或(−3,92).12．【答案】（1）√34（2）解：如图，作CN⊥AB，垂足为N，此时12AM+MC最小，最小值等于CN，∵在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2，∠ANC=90°，∴AN=1，由勾股定理得，CN=√3由（1）知，MN=12AM∴MN+CM=12AM+MC=CN=√3，即12AM+MC的最小值为√3（3）( 480−120√3 )13．【答案】（1）证明：∵CE△AE，BD△AE，∴△AEC＝△ADB＝90°，∵△BAC＝90°，∴△ACE+CAE＝△CAE+△BAD＝90°，∴△ACE＝△BAD，在△CAE与△ABD中{∠ACE=∠BAD ∠AEC=∠ADB AC=AB∴△CAE△△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）解：连接AH∵AB＝AC，BH＝CH，∴△BAH＝12∠BAC=12×90°=45°，△AHB＝90°，∴△ABH＝△BAH＝45°，∴AH＝BH，∵△EAH＝△BAH﹣△BAD＝45°﹣△BAD，△DBH＝180°﹣△ADB﹣△BAD﹣△ABH＝45°﹣△BAD，∴△EAH＝△DBH，在△AEH与△BDH中{AE=BD∠EAH=∠DBH AH=BH∴△AEH△△BDH（SAS），∴EH＝DH，△AHE＝△BHD，∴△AHE+△EHB＝△BHD+△EHB＝90°即△EHD＝90°，∴△EDH ＝△DEH ＝ 180°−90°2=45° ；（3）解：过点M 作MS△FH 于点S ，过点E 作ER△FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET△BC ，交HR 的延长线于点T ．∵DG△FH ，ER△FH ，∴△DGH ＝△ERH ＝90°，∴△HDG+△DHG ＝90°∵△DHE ＝90°，∴△EHR+△DHG ＝90°，∴△HDG ＝△HER在△DHG 与△HER 中{∠HDG =∠HER ∠DGH =∠ERH DH =EH∴△DHG△△HER （AAS ），∴HG ＝ER ，∵ET△BC ，∴△ETF ＝△BHG ，△EHB ＝△HET ，△ETF ＝△FHM ，∵△EHB ＝△BHG ，∴△HET ＝△ETF ，∴HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中{∠ETF =∠FHM ∠EFT =∠MFH EF =FM，∴△EFT△△MFH （AAS ），∴HF ＝FT ，∴HF·MS 2=FT·ER 2， ∴ER ＝MS ，∴HG＝ER＝MS，设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，HF·MS 2=5k·6k2=30，k＝√2，∴FH＝5 √2，∴HE＝HT＝2HF＝10 √2．14．【答案】（1）150°（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，△CAE′＝△BAE，△ACE′＝△B，△EAE′＝90°，∵△EAF＝45°，∴△E′AF＝△EAE′-△EAF=45°，∴△EAF＝△E′AF，在△EAF和△E′AF中，{AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF∴△EAF△△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵△CAB＝90°，AB＝AC，∴△B＝△ACB＝45°，∴△E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝√AB2−AC2=√3，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，△ABC=30°，∴△A′BC＝△ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，△BOO′＝△BO′O＝60°，∵△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，∴△COB+△BOO′＝△BO′A′+△BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝√BC2+A′B2=√(√3)2+22=√7，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝√7．15．【答案】（1）解：连接EC，又AB=AC，AD=AE，∴BD=CE=4，∠ACE=∠ABC，∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠ACB=90°∴△ACE是直角三角形，∴DE=√CD2+CE2=√32+42=5；（2）解：∵∠BAD+∠DAC=90°,∠EAC+∠DAC=90°∴∠BAD=∠EAC∵{AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠ABD=∠ACE∵AD⊥BD∴∠BAD=90°−∠ABD∵∠BAC=90°∴∠DAC=90°−∠BAD∴∠DAC=∠ABD∴∠ACF=∠DAC∴AD//CF过点A作AP//BC交FC于点P，∴四边形ANCP是平行四边形∴AN=CP，NC=AP∵AP//BC∴∠FAP=∠ABC=45°{PA=NC∠PAF=∠NCM AF=CN∴△PAF≅△NCM(SAS)∴MN=PF∴AN+MN=CP+FP=CF；（3）DF:DN:AN=1:2:216．【答案】（1）EF＝CF（2）EF＝CF（3）解：猜想，EF＝CF，理由：如图3中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN.∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF△AD，MF＝12AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF△AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，△FMA＝△ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，△AED＝90°，∴EN＝12AD＝AN＝ND，同理CM＝12AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，△AEN＝△EAN，△MCA＝△MAC，∵△MAC＝△EAN，∴△AMC＝△ANE，又∵△FMA＝△ANF，∴△ENF＝△FMC，∵AM＝FN，AM＝CM，∴CM＝NF，在△MFC和△NEF中，{MF=EN∠FMC=∠ENFMC=NF，∴△MFC△△NEF（SAS），∴FE＝FC.17．【答案】（1）12；4（2）解：结论：AD=12BC.理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M，C′M，∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180∘，∠B′AC′+∠AB′M=180∘，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴ΔBAC≅ΔAB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC.18．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB△CD，AD△BC∴△BAF=△F，△DAF=△CEF又∵AE平分△BAD∴△BAF=△DAF∴△F=△CEF∴CE=CF（2）如图，连接CG、BG.∵ABCD是平行四边形，△ABC＝90°∴平行四边形ABCD是矩形∴AB=DC，AB△DC，AD△BC，△BAD＝△ADC=△BCD＝△ECF＝90° ∴△F=△BAE，△DBC=△ADB∵△BAD＝90° ，△BAE＝12△BAD=45°∴AB=BE，△F=△BAE=45°∴CE=CF∴BC=BE+EC=AB+CF=CD+CF=DF又∵G 是EF 的中点，△ECF ＝90° ,CE=CF∴CG=FG=12EF,△ECG=12△ECF=45° ∴△ECG=△F∴△DFG△△BCG∴△FDG ＝△CBG ，DG=BG∴△DBG=△BDG∵△DBC=△ADB,△FDG ＝△CBG∴△DBC+△CBG=△ADB+△FDG即△DBG=△ADB+△FDG∴△BDG=△ADB+△FDG又∵△BDG+（△ADB+△FDG ）=90°∴△BDG=12△ADC=45° （3）如图，连接GB 、GE 、GC 。

初二数学几何证明题（5篇可选）第一篇：初二数学几何证明题1.在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。

2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M 是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

3.。

如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。

4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。

5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC 且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。

1.求证四边形ABCD是菱形。

2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。

7.已知正方形ABCD中，角EAF=45度，F点在CD边上，E点在BC边上。

求证：EF=BE+DF第二篇：初二几何证明题1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论AEB第三篇：初二几何证明题初二几何证明题1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。

M为AB中点，联结ME,MD、ED求证：角EMD=2角DAC证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D求证：∠AHE=∠BGE证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF ∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,下面的反证法应该可以接受如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC证明:BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)==>BE=AB*BC/(BC+AC)同理:CD=AC*BC/(BC+AB)假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)AB>AC==>BC+ACAC*BC==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)==>BE>CDAB>AC==>∠ACB>∠ABC∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2==>∠BEC>∠BDC过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC (1)BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFDCF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC (2)(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立所以AB=AC。

2024年数学八年级几何证明专项练习题1（含答案）试题部分一、选择题：1. 在三角形ABC中，若∠A = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，则AC 的长度为（）。

A. 2cmB. 10cmC. 4cmD. 5cm2. 下列哪个条件不能判定两个三角形全等？（）A. SASB. ASAC. AASD. AAA3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）。

A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)4. 下列哪个比例式是正确的？（）A. 若a∥b，则∠1 = ∠2B. 若a∥b，则∠1 + ∠2 = 180°C. 若a⊥b，则∠1 = 90°D. 若a⊥b，则∠1 + ∠2 = 180°5. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，∠B = 70°，则∠C的度数为（）。

A. 70°B. 40°C. 55°D. 110°6. 下列哪个条件可以判定两个角相等？（）A. 对顶角B. 邻补角C. 内错角D. 同位角7. 在平行四边形ABCD中，若AD = 8cm，AB = 6cm，则对角线AC 的长度（）。

A. 10cmB. 14cmC. 12cmD. 15cm8. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 矩形D. 梯形9. 在三角形ABC中，若a = 8cm，b = 10cm，c = 12cm，则三角形ABC是（）。

A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定10. 下列哪个条件不能判定两个直线平行？（）A. 内错角相等B. 同位角相等C. 同旁内角互补D. 两直线垂直二、判断题：1. 若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

（）2. 在等腰三角形中，底角相等。

（）3. 平行线的同位角相等，内错角相等。

（）4. 若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。

（完整版）八年级几何证明题集锦及解答值得收藏八年级几何全等证明题归纳1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB 于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．求证：CF=AB+AF．证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°，∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．2.如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G．判断CF与ED的位置关系，并说明理由．解：垂直．理由：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠CBD，AB=BC，∵BF=BF，∴△ABF≌△CBF，∴∠BAF=∠BCF，∵在RT△ABE和△DCE中，AE=DE，AB=DC，∴RT△ABE≌△DCE，∴∠BAE=∠CDE，∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠BCF+∠DEC=90°，∴DE⊥CF．3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90o，AB＝AD，DE⊥CD交AB于E，DF平分∠CDE交BC于F，连接EF．证DA明：CF＝EF解：EB F C过D作DG⊥BC于G．由已知可得四边形ABGD为正方形，∵DE⊥DC∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，∴∠ADE=∠GDC．又∵∠A=∠DGC且AD=GD，∴△ADE≌△GDC，∴DE=DC且AE=GC．在△EDF和△CDF中∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，∴△EDF ≌△CDF，∴EF=CF4.已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。

初二数学 数学全等三角形压轴几何题试题含答案一、全等三角形旋转模型1．问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，120ABC ∠=︒，60MBN ∠=︒，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE ，CF ，EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，再证明BFC BFE △≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA BC =，180BAD BCD ∠+∠=︒，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30的A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．答案：E解析：EF=AE+CF ．探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．实际应用：210海里．【分析】延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；探究延伸1：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；探究延伸2：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF ，将AE 和CF 的长代入即可．【详解】解：EF=AE+CF理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，90BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCG BAE △≌△（SAS ），∴BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGF ≌△BEF （SAS ），∴GF=EF ，∵GF=CG+CF=AE+CF ，∴EF=AE+CF ．探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，90BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCG BAE △≌△（SAS ），∴BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，∵∠ABC=2∠MBN ，∴∠ABE+∠CBF=12∠ABC ， ∴∠CBG+∠CBF=12∠ABC ， 即∠GBF=12∠ABC ， 在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGF ≌△BEF （SAS ），∴GF=EF ，∵GF=CG+CF=AE+CF ，∴EF=AE+CF ．探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，∵180BAD BCD ∠+∠=︒，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD在△BCG 和△BAE 中，BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCG BAE △≌△（SAS ），∴BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，∵∠ABC=2∠MBN ，∴∠ABE+∠CBF=12∠ABC ， ∴∠CBG+∠CBF=12∠ABC ， 即∠GBF=12∠ABC ， 在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGF ≌△BEF （SAS ），∴GF=EF ，∵GF=CG+CF=AE+CF ，∴EF=AE+CF ．实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=12∠AOB ∵OA=OB ，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF= AE+CF 仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（1）如图1，在OAB 和OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ．求：①AC BD的值； ②∠AMB 的度数． （2）如图2，在OAB 和OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由；（3）在（2）的条件下，将OCD 点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD=2，OB=23，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．答案：A解析：（1）①1，②40°；（2）AC BD =3，∠AMB=90°，见解析；（3）23或43 【分析】（1）①根据已知条件证明△COA ≌△DOB ，即可证明AC=BD ；②根据△COA ≌△DOB 可得∠CAO=∠DBO ，根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=140°，然后在△AMB 中，根据等角的转换即可得到答案；（2）根据已知条件证明△AOC ∽△BOD ，可得∠CAO=∠DBO ，进而可得∠MAB=∠OAB+∠DBO ，最后可得∠AMB=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）分两种情况讨论，根据题（2），同理可得OAC OBD △△，90AMB ∠=︒，3AC BD=，设BD=x ，则3AC x = 用x 表示出AM 、BM 的长，在Rt AMB 中，根据勾股定理222AM BM AB +=列出方程，求解即可．【详解】 解：（1）①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ， ∴AC BD =1， ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣140°=40°，（2）如图2，AC BD=3，∠AMB=90°，理由是：在Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴3tan 30OD OC =︒= 同理得：3tan 303OB OA =︒=， ∴OD OB OC OA=， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OC BD OD=3∠CAO=∠DBO ， 在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM ）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）AC 的长为23或43．①如图，点C 与点M 重合，同理可得：OAC OBD △△，90AMB ∴∠=︒，3AC BD =，设BD=x ，则3AC x =，在Rt ODC 中，30OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，OB=23，43AB ∴=，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x ++=，解得：x=2或-4(舍)，AC=323x =；②如图，点C 与点M 重合，同理可得：90AMB ∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3x ，在Rt COD 中， 90OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，4BC x =-，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，3OB =243AB OB ∴==，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x +-=，解得：x=4或-2（舍），AC=343x =，综上所述，AC 的长为23或43．【点睛】本题主要考查三角形的综合运用，涉及全等三角形与相似三角形的性质和判定、勾股定理、解一元一次方程、图形旋转证明、特殊角的三角函数值等知识点，难度较大，第（1）题证明△COA ≌△DOB 是关键，第（2）题证明△AOC ∽△BOD 是关键，第（3）题要特别注意分情况讨论． 3．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．4．如图，在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，过A 作AD BC ⊥于点D ，点E 为直线AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转α，得到线段EF ，连接FC 、FB ，直线AD 与BF 相交于点G ．（1）（发现）如图1，当60α=︒时，填空： ①AE BF的值为___________； ②AGB ∠的度数为___________； （2）（探究）如图2，当120α=︒时，请写出AE BF的值及AGB ∠的度数，并就图2的情形给出证明；（3）（应用）如图3，当90α=︒时，若23,15AB ACE =∠=︒，请直接写出DFG 的面积． 答案：G解析：（1）1；60°；（2）3AE BF =∠G =30°，理由见解析；（3）333 【分析】（1）①根据已知条件可以证明三角形ABC 和三角形EFC 都是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△AEC ≌△BFC ，即BF =AE 从而得出答案；②根据①中的证明∠ABG =90°，∠BAG =30°，从而计算出∠AGB 的度数；（2）根据题目已知条件可以计算出3BC =，同理可以证得3CF CE =，再证ECA FCB ∠=∠即△ACE ∽△BCF ，从而得到比值和角的度数；（3）根据第（2）问的计算结论分E 在AD 上和E 在DA 的延长线上分类讨论求解即可．【详解】解：（1）①∵AB =AC ，CE =EF ，∠BAC =∠FEC =60°∴△ABC 和△EFC 都是等边三角形∴∠ACB =∠ECF =60°，AC =CB ，CE =CF∴∠ACE =∠BCF∴△ACE ≌△BCF∴A E =BF ，即1AE BF= ②∵△ACE ≌△BCF∴∠EAC =∠CBF由①可知△ABC 是等边三角形∴AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD∴∠CAE =∠CBF =30°∴∠AGB =∠180°-∠CBF -∠BDG =60°（2）3AE BF =，理由如下： ∵AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC∴∠ABD =30°=∠ACB∴BD AB AC CD === ∴BC =同理∵∠FEC =120°，EF =EC ∴CF =∴BC CF AC CE=，∠ACB =∠ECF =30° ∴△ACE ∽△BCF∴∠CAE =∠CBF∴3AE AC BF BC == ∵AD ⊥BC ，∠BAC =120°，∴∠CAE =∠CBF =60°又∵∠BDG =90°∴∠G =30°（3）第一种情况，如图所示，当E 在AD 上时 ∵AB AC ==∠BAC =90°，AD ⊥BC∴sin 4562BC AD BD CD AB =====∠DAC =45° ∵∠ACE =15° ∴∠CED =∠CAD +∠ACE =60° ∴2tan 60DC DE ==∴AE AD DE =-=BC CF AC CE==，∠ACB =∠ECF =45° 又∵AD ⊥BC ，∠BAC =90°，∴∠CAE =∠CBF =45°∴△ACE ∽△BCF∴2BF BC AE AC == ∴()262232BF =-=- ∵∠ADC =∠BDG∴∠G =∠ACB =45° ∴223BG BD ==∴2FG BG BF =-=过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，∵∠G =∠ACB =45°，∠BDG =90° ∴=6DG BD CD ==∴232DM DG == ∴132DFG S FG DM ==△ 第二种情况：当E 在DA 的延长线上时过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，同上可证2BF BC AE AC==，6BG BD ==，3DM =∵∠ACE =15°，∠DAC =45°∴∠DEC =30° ∵AD ⊥CD ，6CD =∴32tan 30DC DE ==∴=6DG BD CD ==326AE DE AD =-=∴2623FB AE ==-∴6FG BF BG =+=1332DFG S FG DM ==△故答案为：3或33．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，三角函数等知识点，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．5．在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ．（1）如图1，当60α=︒时，请直接写出线段PA 与线段CD 的数量关系是__________，DCP ∠为______度；（2）如图2，当120α=︒时，写出线段PA 和线段DC 的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当23AB =13BP PC +的最小值． 答案：A解析：（1）PA ＝DC ，60；（2）CD 3PA ．理由见详解；（232【分析】（1）先证明△ABC ，△PBD 是等边三角形，再证明△PBA ≌△DBC ，进而线段PA 与线段CD 的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可；（2）证明△CBD ∽△ABP ，可得3CD BC PA AB== （3）过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ，过点B 作BG ⊥BA 于点G ，当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小，由BGP CNP ∽，得13GP NP BP CP ==，结合勾股定理求出GP ，从而得CP ，进而即可求解． 【详解】 （1）①证明： ∵将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，∴PB ＝PD ，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝60°，∴△ABC ，△PBD 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠PBD ＝60°，∴∠PBA ＝∠DBC ， ∵BP ＝BD ，BA ＝BC ，∴△PBA ≌△DBC （SAS ）， ∴PA ＝DC ．设BD 交PC 于点O ，如图1，∵△PBA ≌△DBC ，∴∠BPA ＝∠BDC ，∵∠BOP ＝∠COD ，∴∠OBP ＝∠OCD ＝60°，即∠DCP ＝60°．故答案是：PA ＝DC ，60；（2）解：结论：CD 3．理由如下：∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°3，BD ═2BP •cos30°3，∴BC BD BA BP=3 ∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，∴∠ABP ＝∠CBD ，∴△CBD ∽△ABP ，∴3CD BC PA AB==∴CD ＝3PA ； （3） 过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ， 过点B 作BG CA ⊥于点G ，则BG =AB ×sin ∠BAG =23×sin60°=3，AG = AB ×cos ∠BAG =3． 当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小， ∵∠BGP =∠CNP =90°，∠BPG =∠CPN ， ∴BGP CNP ∽，∴13GP NP BP CP ==， 设GP =x ，则AP =3-x ，BP =3x ，∴()22233x x +=，解得：x =324， ∴BP =924，AP =3-324， ∴CP =AC +AP =23+3-324=33-324， ∴13BP PC +最小值=924+13×(33-324)=3+22．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ．6．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG ＝CG ；（2）将图①中BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．答案：E解析：（1）见解析；（2）依然成立，见解析；（3）依然成立，EG⊥CG【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG＝EG；（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG；（3）结论依然成立，证明方法类似（2）．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝12FD，同理，在Rt△DEF中，EG＝12 FD，∴CG＝EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．证法：如图，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N，∵G为FD中点，∴FG=GD，∵MF∥CD，∴∠FMG=∠DCG，∠GDC=∠GFM，∴△CDG≌△MFG，∴CD＝FM，∵NF∥BC，∴∠NFH+∠NHF=∠EHB+∠EBH，又∵∠NHF=∠EBH，∴∠NFH=∠EBH，∴∠EFM＝∠EBC，又∵BE=EF，则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC∵∠FEC+∠BEC＝90°，∴∠FEC+∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关性质．7．探究：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝28°，则∠ACD的度数是．拓展：（2）如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN 上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E，若AC＝CB，则AD、DE、BE三者间的数量关系为．请说明理由；应用：（3）如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC 时，△≌△；此时如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，则△ACE的面积是．答案：D解析：（1）28°（2）DE＝AD﹣BE；理由见解析（3）ACD；CBE；9【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC＝∠CEB，进而判断出△ACD≌△CBE，得出S△ACD＝S△CBE，再求出S△ADE＝3，即可得出结论．【详解】解：探究：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠B＝28°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝68°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝28°，故答案为：28°；拓展：(2)∵∠MCN ＝90°，∴∠ACD+∠BCE ＝90°，∵AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ACD+∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ，∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADP ＝∠BEP ，∴∠ADC ＝∠CEB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴S △ACD ＝S △CBE ，∵S △CBE ＝6，∴S △ACD ＝6，∵CD ＝2DE ，∴S △ACD ＝2S △ADE ，∴S △ADE ＝12S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9，故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．8．如图1，ABC ∆中，CA CB =，ACB α∠=，D 为ABC ∆内一点，将CAD ∆绕点C按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆，点,A D 的对应点分别为点,B E ，且,,A D E 三点在同一直线上．（1）填空：CDE ∠=______（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若60α=︒，请补全图形，再过点C 作CF AE ⊥于点F ，然后探究线段CF ，AE ，BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若90α=︒，52AC =，直接写出四边形ABEC 面积的最大值______． 解析：（1）1802α-；（2）233AE BE CF =+；证明见解析；（3）25(21)2+． 【分析】（1）由旋转的性质可得CD CE =，DCE α∠=，即可求解；（2）由旋转的性质可得AD BE =，CD CE =，60DCE ∠=︒，可证CDE ∆是等边三角形，由等边三角形的性质可得33DF EF CF ==，即可求解； （3）如图3中，过点C 作CF BE ⊥交BE 的延长线于F ，设AE 交BC 于J ．证明90ACJ BEJ，推出点E 在以AB 为直径的圆上运动，即图中BC 上运动，当CEEB 时，四边形ABEC 的面积最大，此时EC EB =，分别求出ABC ∆，BCE ∆的面积即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆ACD BCE ∴∆≅∆，DCE α∠=CD CE ∴=1802CDE α︒-∴∠=．故答案为：1802α︒-． （2）233AE BE CF =+理由如下：如图2中，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角60︒得到CBE ∆ACD BCE ∴∆≅∆AD BE ∴=，CD CE =，60DCE ∠=︒ CDE ∴∆是等边三角形，且CF DE ⊥ 33DF EF CF ∴==AE AD DF EF =++ 233AE BE CF ∴=+． （3）如图3中，过点C 作CWBE 交BE 的延长线于W ，设AE 交BC 于J ．CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转90︒得到CBE ∆，CAD CBE ，CAD CBE ∴∠=∠， AJC BJE ，90ACJBEJ，∴点E 在以AB 为直径的圆上运动，即图中BC 上运动，当CEEB 时，四边形ABEC的面积最大，此时EC EB =，CD CE =，90DCE ∠=︒， 45CED ∴∠=︒， 90AEW AEB ， 45CEW ， CF EW ， 45WCE CEW ，CWEW ，设CWEWx ，则EC EB ==，在Rt BCW 中，222BC CW BW ，222(2)(52)x xx ，225(22)2x ，21225(21)222BCESBE CW x ， 2521252115252222ABCBCEABECS SS四边形．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟悉相关性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 9．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．（2）类比探究Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =，PC =APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336+；（2）Ⅰ135APB ∠=︒， 722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形 【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积； 【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形 ∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚， 如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150° ∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483 ∴ABCS=234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′， ∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3， 在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22， ∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9， ∵AP'2=32=9， ∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°， ∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ， ∵∠APB=135° ∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形 ∴BE=BP=22BP 2 ∴2∴AB 2=AE 2+BE 22∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′， ∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，11在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2， ∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11， ∵AP'2=（11）2=11， ∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°， ∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F ∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形 ∴PF=BF=22BP =22 ∴AF=AP-PF=3-22∴AB 2=AF 2+BF 2=1032- ∴21032ABCD S AB ==-正方形 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 10．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317 【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。

1.四边形是正方形，△是等腰直角三角形，∠90°，，连接，G 为的中点，连接，，．(1)如图1，若点E在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；(2)将图1中的△绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的△绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若1，，当E，F，D三点共线时，求的长及∠的值．解：（1）⊥，=，理由是：过G作⊥于H，∵∠∠90°，∴∥∥，∵G为中点，∴H为中点，∴，（）=（），即，∴∠90°，即△是等腰直角三角形，∴=；（2）解：结论还成立，理由是：如图2，延长到H，使，连接、，过E作的垂线，延长，∵在△和△中∴△≌△（），∴，∠∠，∴∥，∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，∴∠180°-∠4=180°-∠1=∠，在△和△中∴△≌△．∴，∠∠，∴∠∠∠∠∠∠90°，∴△是等腰直角三角形，∵G为的中点，∴⊥，=，即（1）中的结论仍然成立；（3）解：连接，∵，正方形，∴2，∴∠，∴∠60°，∴∠∠∠15°，∴∠45°-15°=30°，∴∠，∴，∴1．解析：（1）过G作⊥于H，推出∥∥，求出H为中点，根据梯形的中位线求出，（）=（），推出，根据直角三角形的判定推出△是等腰直角三角形即可；（2）延长到H，使，连接、，过E作的垂线，延长，证△≌△，推出，∠∠，求出∠∠，证出△≌△，推出，∠∠，求出△是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）连接，求出∠，推出∠60°，求出∠30°，解直角三角形求出即可．2.已知正方形和等腰直角三角形，，∠90°，按图1放置，使点E在上，取的中点G，连接，．(1)延长交于H，试说明：．(2)将图1中△绕B点逆时针旋转45°，连接，取中点G(如图2)，莎莎同学发现：且⊥．在设法证明时他发现：若连接，则D，E，B三点共线．你能写出结论“且⊥”的完整理由吗？请写出来．(3)将图1中△绕B点转动任意角度α(0＜α＜90°)，再连接，取的中点G(如图3)，第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．（1）证明：∵∠90°，∴∥，∴∠∠，而∠∠，，∴△≌△，∴，而，∴；（2）连接，如图，∵△为等腰直角三角形，∴∠45°，而四边形为正方形，∴∠45°，∴D，E，B三点共线．而∠90°，∴△为直角三角形，而G为的中点，∴，∴∠2∠90°，∴且⊥；（3）第2问中的结论成立．理由如下：连接、相交于点O，取的中点M，连接、、，如图，∵G为的中点，O为的中点，M为的中点，∴∥，∥，∴四边形为平行四边形，∴，，而，，∴，，∵∠∠，而∠∠90°，∴∠∠，∴△≌△，∴，∠∠，又∵∠∠，∠∠∠，∴∠∠∠∠∠∠∠∠45°+45°=90°，∴且⊥．解析：（1）由∠90°，得到∥，而，易证得△≌△，得，而，即可得到结论．（2）连接，如图2，由△为等腰直角三角形，得∠45°，而四边形为正方形，得∠45°，得到D，E，B三点共线，而G为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，于是∠2∠90°，即得到结论．（3）连接、相交于点O，取的中点M，连接、、，由G为的中点，O为的中点，M为的中点，根据三角形中位线的性质得∥，∥，得到，，而，，得到，，又∠∠，而∠∠90°，得∠∠，则△≌△，得到，∠∠，而∠∠，∠∠∠，所以有∠∠∠∠∠∠∠∠45°+45°=90°．3.已知正方形和等腰△，，∠90°，按图①放置，使点F在上，取的中点G，连接、．(1)探索、的数量关系和位置关系并证明；(2)将图①中△绕B点顺时针旋转45°，再连接，取中点G(如图②)，问(1)中的结论是否仍然成立．证明你的结论；(3)将图①中△绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接，取的中点G(如图③)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论．解：（1）且⊥．证明如下：如图①，连接．∵正方形和等腰△，∴∠∠45°．∴B、E、D三点共线．∵∠90°，G为的中点，∠90°，∴．∴∠2∠，∠2∠．∴∠∠2∠90°，即∠90°，∴⊥．（2）仍然成立，证明如下：如图②，延长交于点H．∵⊥，∴∥，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，，∴△≌△，∴，．∵△为等腰直角三角形，∴，∴．∵，∴．∴△为等腰直角三角形．又∵，∴且⊥．（3）仍然成立．证明如下：如图③，延长至H，使，连接交于M，连接、．∵，∠∠，，∴△≌△，∴，∠∠，∴∥．∵正方形，∴，⊥．∵△是等腰直角三角形，∴，∠∠，∴△≌△，∴，∠∠，∴∠∠90°，∴△为等腰直角三角形．又∵，∴且⊥．解析：（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明，得到∠2∠，∠2∠，从而证得∠90°；（2）首先证明△≌△，然后证明△为等腰直角三角形．可以证得：且⊥．（3）首先证明：△≌△，即可证得：△为等腰直角三角形，从而得到：且⊥．已知，正方形中，△为等腰直角三角形，且为底，取的中点G，连接、．（1）如图1，若△的底边在上，猜想和的数量关系为；（2）如图2，若△的直角边在上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△的直角边在∠内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．解：（1），（1分）理由如下： ∵△为等腰直角三角形，∴∠90°，又G 为斜边的中点， ∴ ， ∵为正方形， ∴∠90°，又G 为斜边的中点，∴ ，∴；（2）成立．如图，延长交于M ，∵∠∠∠90°，∴∥，∴∠∠，又∠∠，，1212∴，即G 为的中点．∴为直角△的斜边上的中线，∴ ；（3）成立．取的中点H ，连接，，取的中点O ，连接，．∵，∠90°，∴． ∵，∴∥，且 ，∥，且 ， ∴．∵△为等腰直角三角形．∴∴．∵四边形为平行四边形，∴∠∠．∵∠∠90°．∴∠∠．121 212 1 2∴．此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．解析：（1），理由为：根据三角形为等腰直角三角形，得到∠为直角，又G为中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到为的一半，同理在直角三角形中，得到也等于的一半，利用等量代换得证；（2）成立．理由为：延长交于M，如图所示，根据“”得到三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到与相等，即G为中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到与相等都等于斜边的一半，得证；（3）成立．理由为：取的中点H，连接，，取的中点O，连接，，如图所示，因为直角三角形中，O为斜边的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到等于的一半，由为三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到等于一半，等于的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等于的一半，根据等量代换得到与相等，再根据为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到∠与∠相等，利用“”得到△与△全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．。

苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）八年级几何题目1.如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数______．2.如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，（1）求证：AM=BN；（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系（不需证明）；（3）如图4，当BM=AB时，证明：MN⊥AB．3.如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（1）△ACD与△CBE全等吗？说明你的理由．（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系．（直接写出答案）1/ 254.（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．5.如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：（1）图中等腰三角形是______ ．猜想：EF与BE、CF之间的关系是______ ．理由：（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是______ ．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O 点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）6.如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．7.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．8.如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P，Q两点3/ 25停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．9.【新知理解】如图①，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．作法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求．【解决问题】如图②，AD是边长为6cm的等边三角形ABC的中线，点P、E分别在AD、AC 上，则PC+PE的最小值为______cm；【拓展研究】如图③，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．（保留作图痕迹，并对作图方法进行说明）苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）10.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由．11.（1）观察猜想如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为______；（2）问题解决如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD的长．12.如图，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得△AFE，直线EF交边BC于点G，连接5/ 25AG．(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．13.如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△PBQ的面积；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．14.如图，边长为4cm的等边△ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP交于点M，在点P，Q运动的过程中．苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）∠QMC的大小是否发生变化？若无变化，求∠QMC的度数；若有变化，请说明理由；（3）连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？15.已知△ABC中，AB=AC，BC=6．点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，过点P作PF∥AQ交BC于点F，求证：△PDF≌△QDC；（2）如图②，当点P为AB的中点时，求CD的长；（3）如图③，过点P作PE⊥BC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由．16.如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．7/ 25（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．17.如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．（1）当点D与点B重合时，如图2，求证：CE + CF = CD；（2）当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；（3）只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为___________________（不必证明）．苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）18.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点．（1）当点D在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？并请给予写出．（3）过C点作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．9/ 25答案和解析1.【答案】150°【解析】解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，∴△BPQ为等边三角形，∴PQ=PB=BQ=4，又∵PQ=4，PC=5，QC=3，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，∵△BPQ为等边三角形，∴∠BQP=60°，∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°,∴∠APB=∠BQC=150°.首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP=60°，由△ABP≌CBQ可得QC=PA，在△PQC 中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC=90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．2.【答案】（1）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，∴∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，∴∠BPA-∠MPB=∠MPN-∠MPB，∴∠APM=∠BPN．在△APM和△BPN中{AP=PB∠APM=∠BPN PM=PN，∴△APM≌△BPN（SAS），∴AM=BN；（2）解：图2中BN=AB+BM；图3中BN=BM-AB，（3）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，∴∠ABP=∠PMN=60°，AB=PB，∴∠PBM=120°，∵BM=AB=PB，∴∠BMP=30°，∴∠BMN=∠PMN+∠BMP=90°，∴MN⊥AB．【解析】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．（1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，进而就可以得出△APM≌△BPN，得出结论；（2）由（1）中的方法证得△APM≌△BPN，得出图2中，BN=AB+BM；得出图3中，苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）11 / 25BN =BM -AB ；（3）由等边三角形的性质得出∠ABP =∠PMN =60°，就可以得出∠PBM =120°，求得∠BMP =30°，进而就可以得出∠BMN =90°，得出结论．3.【答案】证明：（1）△ACD 与△CBE 全等.理由如下：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，又∵∠ACB =90°，∴∠ACD =∠CBE =90°-∠ECB ． 在△ACD 与△CBE 中，{∠ADC =∠CEB∠ACD =∠CBE AC =BC，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）AD =BE -DE .【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，关键是根据AAS 证明三角形全等. （1）观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为：△ACD 与△CBE ．根据AAS 即可证明；（2）由（1）知△ACD ≌△CBE ，根据全等三角形的对应边相等，得出CD =BE ，AD =CE ，从而求出线段AD 、BE 、DE 之间的关系.【解答】解：（1）见答案；（2）∵△ACD ≌△CBE ，∴CD =BE ，AD =CE ，又∵CE =CD -DE ，∴AD =BE -DE .4.【答案】解：（1）∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACD =60°-∠CDB =∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中，{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠ADC =∠BEC ，∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE =∠CED =60°，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =60°. （2）∠AEB =90°，AE =BE +2CM .理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，{CA=CB∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM.【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性，证明三角形全等是解决问题的关键.（1）先证出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根据全等三角形证出∠ADC=∠BEC，求出∠ADC=120°，得出∠BEC=120°，从而证出∠AEB=60°；（2）证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，最后证出DM=ME=CM即可.5.【答案】(1)△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF=BE+CF；理由如下：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF;(2)△EOB、△FOC;当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1））;(3)△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC;理由如下：同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG,∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形,∴EF=EO-FO=BE-FC．【解析】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB,∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO,即EO=EB，FO=FC,苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）13 / 25 ∴EF =EO +OF =BE +CF ;（2）当AB ≠AC 时，△EOB 、△FOC 仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1））;（3）△EOB 和△FOC 仍是等腰三角形，EF =BE -FC ．理由如下：同（1）可证得△EOB 是等腰三角形；∵EO ∥BC ，∴∠FOC =∠OCG ,∵OC 平分∠ACG ，∴∠ACO =∠FOC =∠OCG ，∴FO =FC ，故△FOC 是等腰三角形,∴EF =EO -FO =BE -FC ．（1）由AB =AC ，可得∠ABC =∠ACB ；又已知OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACB ；故∠EBO =∠OBC =∠FCO =∠OCB ；根据EF ∥BC ，可得：∠EOB =∠OBC =∠EBO ，∠FOC =∠FCO =∠BCO ；由此可得出的等腰三角形有：△AEF 、△OEB 、△OFC 、△OBC 、△ABC ；已知了△EOB 和△FOC 是等腰三角形，则EO =BE ，OF =FC ，则EF =BE +FC ． （2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB 、△OFC 是等腰三角形的过程中，与AB =AC 的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF =BE +FC 的结论仍成立．（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF =BE -FC ．此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质、角平分线的定义等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．6.【答案】解：（1）∠CMQ =60°不变． ∵等边三角形中，AB =AC ，∠B =∠CAP =60°又由条件得AP =BQ ，∴△ABQ ≌△CAP （SAS ），∴∠BAQ =∠ACP ，∴∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60°．（2）设时间为t ，则AP =BQ =t ，PB =4-t①当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴PB =2BQ ，得4-t =2t ，t =43；②当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，得t =2（4-t ），t =83；∴当第43秒或第83秒时，△PBQ 为直角三角形．（3）∠CMQ =120°不变．∵在等边三角形中，BC =AC ，∠B =∠CAP =60°∴∠PBC =∠ACQ =120°，又由条件得BP =CQ ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC=∠MQC又∵∠PCB=∠MCQ，∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°【解析】（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM的度数．（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t．分别就①当∠PQB=90°时；②当∠BPQ=90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．（3）首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC=∠MQC．再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．7.【答案】（1）25；65；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中{∠ADB=∠DEC ∠B=∠CAB=DC，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAE=70°，∴∠AED=180°-70°-40°=70°，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAE=40°，∴∠DAE=∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．【解析】【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版） 15 / 25（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC =2时，利用∠DEC +∠EDC =140°，∠ADB +∠EDC =140°，求出∠ADB =∠DEC ，再利用AB =DC =2，即可得出△ABD ≌△DCE ．（3）当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．【解答】解：（1）∠EDC =180°-∠ADB -∠ADE =180°-115°-40°=25°；∠AED =∠EDC +∠C =40°+25°=65°．故答案为25；65；（2）、（3）见答案.8.【答案】解：（1）设时间为t ，则AP =BQ =t ，PB =5-t①当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴PB =2BQ ，得5-t =2t ，t =53； ②当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，得t =2（5-t ），t =103；∴当第53秒或第103秒时，△PBQ 为直角三角形．（2）∠CMQ =60°不变．在△ABQ 与△CAP 中，{AB =AC∠B =∠CAP =60°AP =BQ，∴△ABQ ≌△CAP （SAS ），∴∠BAQ =∠ACP ，∴∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60°．【解析】（1）需要分类讨论：分∠PQB =90°和∠BPQ =90°两种情况；（2）∠CMQ =60°不变．通过证△ABQ ≌△CAP （SAS ）得到：∠BAQ =∠ACP ，由三角形外角定理得到∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60°．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．掌握判定三角形全等的方法，分类讨论是解决问题的关键．9.【答案】【解决问题】3√3【拓展研究】方法1：如图③，作B 关于AC 的对称点E ，连接DE 并延长，交AC 于P ，点P 即为所求，连接BP ，则∠APB =∠APD ．方法2：如图④，作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，点P即为所求，连接DP，则∠APB=∠APD．【解析】解：（1）【解决问题】如图②，作点E关于AD的对称点F，连接CF，交AD于点P，则PE=PF，当点F，P，C在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），AB=3（cm），当CF⊥AB时，CF最短，此时BF=12∴Rt△BCF中，CF=√BC2−BF2=√62−32=3√3（cm），∴PC+PE的最小值为3√3cm，故答案为：3√3；（2）【拓展研究】方法1：如图③，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB=∠APD．苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版） 17 / 25方法2：如图④，作点D 关于AC 的对称点D '，连接D 'B 并延长与AC 的交于点P ，点P 即为所求，连接DP ，则∠APB =∠APD ．（1）作点E 关于AD 的对称点F ，连接CF ，则PE =PF ，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，得出当CF ⊥AB 时，PC +PE =PC +PF =CF （最短），最后根据勾股定理，求得CF 的长即可得出PC +PE 的最小值；（2）根据轴对称的性质进行作图．方法1：作B 关于AC 的对称点E ，连接DE 并延长，交AC 于P ，连接BP ，则∠APB =∠APD ．方法2：作点D 关于AC 的对称点D '，连接D 'B 并延长与AC 的交于点P ，连接DP ，则∠APB =∠APD ．本题属于轴对称-最短路线问题，本题考查了勾股定理、轴对称的性质，利用轴对称作图与基本作图等知识点的综合应用，熟知两点之间，线段最短以及垂线段最短是解答此题的关键．10.【答案】解：（1）PD =PE ．以图②为例，如图，连接PC∵△ABC 是等腰直角三角形，P 为斜边AB 的中点，∴PC =PB ，CP ⊥AB ，∠DCP =∠B =45°，又∵∠DPC +∠CPE =90°，∠CPE +∠EPB =90°∴∠DPC =∠EPB∴△DPC ≌△EPB （ASA ）∴PD =PE ；（2）能，①当EP =EB 时，CE =12BC =1．②当EP =PB 时，点E 在BC 上，则点E 和C 重合，CE =0．③当BE =BP 时，若点E 在BC 上，则CE =2-√2．若点E 在CB 的延长线上，则CE =2+√2．【解析】（1）连接PC ，通过证明△DPC ≌△EPB ，得出PD =PE ．（2）分EP =EB 、EP =PB 时、BE =BP 三种情况进行解答．本题考查了等腰三角形的性质与判定；此题是分类讨论题，应分情况进行论证，不能漏解．辅助线的作出是解答本题的关键．11.【答案】（1）BC =AB +AC =BD +CE（2）问题解决如图②，过D 作DE ⊥AB ，交BA 的延长线于E ，由（1）同理得：△ABC ≌△DEA ，∴DE =AB =2，AE =BC =4，Rt △BDE 中，BE =6，由勾股定理得：BD =√62+22=2√10；（3）拓展延伸如图③，过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，同理得：△CED ≌△AFD ，∴CE =AF ，ED =DF ，设AF =x ，DF =y ，则{x +y =42+x =y，解得：{x =1y =3， ∴BF =2+1=3，DF =3，由勾股定理得：BD =√32+32=3√2．【解析】解：（1）观察猜想结论：BC =BD +CE ，理由是：如图①，∵∠B =90°，∠DAE =90°，∴∠D +∠DAB =∠DAB +∠EAC =90°，∴∠D =∠EAC ，∵∠B =∠C =90°，AD =AC ，∴△ADB ≌△EAC ，∴BD =AC ，EC =AB ，∴BC =AB +AC =BD +CE ；（2）见答案；（3）见答案；【分析】（1）观察猜想：证明△ADB ≌△EAC ，可得结论：BC =AB +AC =BD +CE ；（2）问题解决：作辅助线，同理证明：△ABC ≌△DEA ，可得DE =AB =2，AE =BC =4，最后利用勾股定理求BD 的长；（3）拓展延伸：同理证明三角形全等，设AF =x ，DF =y ，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、勾股定理，解决本题的关键是证明：△CED ≌△AFD ，并运用了类比的思想依次解决问题．12.【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD ，∠B =∠D =90°，∵将△ADE 沿AE 对折得△AFE ，∴AF =AD =AB ，∠AFE =∠D =90°，在Rt △ABG 与Rt △AFG 中，AF =AB ,AG =AG ,∴△ABG ≌△AFG （HL ）；（2）如图所示：苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）19 / 25（3）∵△AFE ≌△ADE ，△ABG ≌△AFG ，∴∠EAF =∠EAD ，∠GAF =∠GAB ，∵在正方形ABCD 中，∠BAD =90°．∴∠EAG =∠EAF +∠GAF =12×90°=45°．【解析】此题主要考查了折叠的性质、正方形的性质和全等三角形的性质及判定，综合利用各性质定理是解答此题的关键．（1）利用正方形的性质和折叠的性质可得AF =AB ，∠AFE =∠D ，由HL 定理可证得Rt △ABG ≌Rt △AFG ；（2）首先作出CD 的垂直平分线，与CD 相交于点E ，再以E 点为圆心，DE 为半径作弧，A 点为圆心，AF 为半径作弧，两弧相交于点F ，连接AF ，AE ，EF ，延长EF 与BC 相交于点G ，如图所示；（3）由△AFE ≌△ADE ，△ABG ≌△AFG ，利用全等三角形的性质可得∠EAF =∠EAD ，∠GAF =∠GAB ，易得∠EAG =∠EAF +∠GAF =12∠BAD ，可得结论. 13.【答案】解：（1）当t =2时，则AP =2cm ，BQ =2t =4cm ，∵AB =16cm ，∴BP =AB -AP =16-2=14（cm ），在Rt △BPQ 中，S △PBQ =12BP ×BQ =28cm 2． （2）由题意可知AP =t ，BQ =2t ，∵AB =16cm ，∴BP =AB -AP =(16-t )cm ，当△PQB 为等腰三角形时，则有BP =BQ ，即16-t =2t ，解得t =163，∴出发163秒后△PQB 能形成等腰三角形.（3）①当CQ =BQ 时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ，∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°，AC =√AB 2+BC 2=√162+122=20cm ．又∵∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =12AC =10cm ，∴BC +CQ =22cm ，∴t =22÷2=11． ②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24cm ，∴t =24÷2=12． ③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE =AB⋅BC AC =12×1620=485cm ，∴CE =√BC 2−BE 2=√122−(485)2=365cm ， ∴CQ =2CE =14.4cm ，∴BC +CQ =26.4cm ，∴t =26.4÷2=13.2． 综上所述：当出发的时间为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ 为等腰三角形．【解析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质和判定，三角形的面积和分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，注意方程思想的应用．（1）可求得AP 和BQ ，则可求得BP ，最后用三角形面积公式即可得出结论；（2）用t 可分别表示出BP 和BQ ，根据等腰三角形的性质可得到BP =BQ ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）利用等腰三角形的性质可分BQ =CQ 、CQ =BC 和BQ =BC 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．14.【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABQ =∠CAP =60°，AB =CA ，∵点P 、Q 的速度相同，∴AP =BQ ，在△ABQ 和△CAP 中，{AB =CA∠ABQ =∠CAP AP =BQ ，苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版） 21 / 25 ∴△ABQ ≌△CAP （SAS ）；（2）解：∠QMC 的大小不发生变化，∵△ABQ ≌△CAP ，∴∠BAQ =∠ACP ，∴∠QMC =∠QAC +∠ACP =∠QAC +∠BAQ =60°；（3）解：设点P ，Q 运动x 秒时，△PBQ 是直角三角形，则AP =BQ =x ，PB =（4-x ），当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴BP =2BQ ，即4-x =2x ，解得，x =43，当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，即2（4-x ）=x ，解得，x =83，∴当点P ，Q 运动43秒或83秒时，△PBQ 是直角三角形．【解析】（1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAQ =∠ACP ，根据三角形的外角的性质解答； （3）分∠PQB =90°和∠BPQ =90°两种情况，根据直角三角形的性质计算即可．本题考查的是全等三角形的判定、直径三角形的性质，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．15.【答案】解：（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ．∵PF ∥AC ，∴∠PFB =∠ACB∴∠B =∠PFB ，∴BP =FP由题意，BP =CQ ，∴FP =CQ∵PF ∥AC ，∴∠DPF =∠DQC ．又∠PDF =∠QDC ，∴△PFD ≌△QCD ；（2）如图，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F∵点P 为AB 的中点，∴F 为BC 的中点，∴FC =12BC =3由（1）知△PFD ≌△QCD ，CD =DF∴CD =DF =12FC =32；（3）线段DE 的长度保持不变．如图，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，由（1）知PB =PF∵PE ⊥BC ，∴BE =EF由（1）知△PFD ≌△QCD ，CD =DF ，∴DE =EF +DF =12BC =3． 【解析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA 进行证明； （2）过点P 作PF 平行与AQ ，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠B =∠PFB ，证出BP =PF ，得出PF =CQ ，由ASA 证明△PFD ≌△QCD ，得出DF =CD =12CF ，再证出F 是BC 的中点，即可得出结果；（3）过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，首先证明BE =EF ，根据DF =FC ，即可解决问题． 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．16.【答案】解：（1）∵BQ =2×2=4（cm ），BP =AB -AP =16-2×1=14（cm ），∠B =90°， ∴PQ =√42+142=√212=2√53（cm ）；（2）BQ =2t ，BP =16-t ，根据题意得：2t =16-t ，解得：t =163，即出发163秒钟后，△PQB 能形成等腰三角形；（3）①当CQ =BQ 时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ，∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°．∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =10，∴BC +CQ =22，∴t =22÷2=11秒． ②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24，∴t =24÷2=12秒． ③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE =AB⋅BC AC =12×1620=485，∴CE =√BC 2−BE 2=√122−(485)2=365， ∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2秒． 综上所述：当t 为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ 为等腰三角形．苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）23 / 25【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可；（2）设出发t 秒钟后，△PQB 能形成等腰三角形，则BP =BQ ，由BQ =2t ，BP =8-t ，列式求得t 即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使△BCQ 成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ =BQ 时，则∠C =∠CBQ ，可证明∠A =∠ABQ ，则BQ =AQ ，则CQ =AQ ，从而求得t ；②当CQ =BC 时，则BC +CQ =12，易求得t ；③当BC =BQ 时，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ． 17.【答案】（1)证明：如图2：∵△ABC 与△BEF 都为等边三角形，∴∠ABC =∠EBF =60°，AB =BC =CD ，EB =BF ，∴∠ABC -∠EBC =∠EBF -∠EBC ，即∠ABE =∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，{AB =BC ∠ABE =∠CBF EB =FB，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴AE =CF ，则CD =AC =AE +EC =FC +EC ；(2)CE =CF +CD ，理由为：证明：过D 作DG ∥AB ，交AC 于点G ，连接CF ，∵DG ∥AB ，∴∠CGD =∠CDG =60°，△CDG 为等边三角形，∵△DEF 为等边三角形，∴∠EDF =∠GDC =60°，ED =FD ，GD =CD ，∴∠EDF -∠GDF =∠GDC -∠GDF ，即∠EDG =∠FDC ，在△EDG 和△FDC 中，{ED =FD ∠EDG =∠FDC DG =DC，∴△EDG ≌△FDC （SAS ），∴EG =FC ，则CE =CG +EG =CG +CF =CF +CD ；(3)CF =CE +CD .【解析】【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）由三角形ABC 与三角形EBF 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到一对角相等，两对边相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得到三角形ABE 与三角形CBF 全等，利用全等三角形对应边相等得到AE =CF ，由AC =AE +EC，等量代换即可得证；（2）CE=CF+CD，理由为：过D作DG∥AB，交AC于点G，连接CF，如图所示，由DG与AB平行，利用两直线平行同位角相等，确定出三角形GDC为等边三角形，再由三角形EDF为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，再利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EGD与三角形FCD全等，利用全等三角形对应边相等得到EG=FC，由EC=EG+GC，等量代换即可得证；（3）CF=CE+CD，理由为：过D作DG∥AC，交FC于点G，同（2）即可得证．【解答】（1）见答案；（2）见答案；（3）CF=CE+CD，理由为：证明：过D作DG∥AC，交FC于点G，∵GD∥AC，∴∠GCD=∠DGC=60°，即△GCD为等边三角形，∵△EDF为等边三角形，∴∠EDF=∠GDC=60°，∴∠EDF-∠EDG=∠GDC-∠EDG，即∠FDG=∠EDC，在△ECD和△FGD中，{ED=FD∠EDC=∠FDG CD=GD，∴△ECD≌△FGD（SAS），∴EC=FG，则FC=FG+GC=EC+CD．故答案为：CF=CE+CD.18.【答案】（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，证明：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∵在△BED和△CFD中{∠B=∠C∠DEB=∠DFC BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）25 / 25 （2）解：有3对全等三角形，有△BED ≌△CFD ，△ADB ≌△ADC ，△AED ≌△AFD ， ∵由（1）知△BED ≌△CFD ，∴DE =DF ，BE =CF ，∵AB =AC ，∴AE =AF ，在△AED 和△AFD 中{AD =AD AE =AF DE =DF，∴△AED ≌△AFD （SSS ），∵在△ADB 和△ADC 中{AB =AC AD =AD BD =CD∴△ADB ≌△ADC （SSS ），∴有3对全等三角形，有△BED ≌△CFD ，△ADB ≌△ADC ，△AED ≌△AFD ；（3）CG =DE +DF证明：连接AD ，∵S 三角形ABC =S 三角形ADB +S 三角形ADC ， ∴12AB ×CG =12AB ×DE +12AC ×DF ， ∵AB =AC ，∴CG =DE +DF ．【解析】（1）根据AAS 证△BED ≌△CFD ，根据全等三角形的性质推出即可； （2）求出DE =DF ，AE =AF ，根据SSS 证出△AED ≌△AFD 即可，根据SSS 证出△ABD ≌△ACD 即可；（3）连接AD ，根据三角形的面积公式求出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．。

1．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为，数量关系为②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB 多少度时，CE⊥BC？请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A（0，2），点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E．（1）求证：OB＝AC；（2）∠CAP的度数是；（直接写出答案，不需要说明理由．）（3）当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？并说明理由；（4）在（3）的条件下，在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，请写出点Q的坐标：．（直接写出答案，不需要说明理由．）3．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE＝CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB＝α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．4．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE＝3cm，AD＝9cm．求：（1）DE的长；（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？5．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a ﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．7．已知AB∥CD（1）如图，∠A＝40°，∠C＝78°，BP是∠ABG的平分线，DP是∠CDG的平分线，求∠P的度数；（2）如果∠A＝α，∠P＝β，其它条件不变，则∠C＝．8．如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数．9．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．10．如图，在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E．（1）求证：BC＝AD．（2）若AC＝6，BC＝8，求△ACE的周长．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE 的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．12．知识背景我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题：如图1，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，D是BC的中点，以AD为腰作等腰△ADE，且满足∠DAE＝90°，连接CE并延长交BA的延长线于点F，试探究BC与CF之间的数量关系．发现：（1）BC与CF之间的数量关系为．探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点（除B、C外）时，其他条件不变，试猜想BC与CF之间的数量关系，并证明你的结论．拓展：（3）当点D在线段BC的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出△BCF 的形状．13．（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OP上一点，请你作一个∠BAC，B、C 分别在OM、ON上，且使AO平分∠BAC（保留作图痕迹）；（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，△ABC的平分线AD，CE相交于点F，请你判断FE与FD之间的数量关系（可类比（1）中的方法）；（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB≠90°，而（2）中的其他条件不变，请问（2）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．（1）求证：△OBC≌△ABD．（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？15．如图所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD＝CE，BE＝CF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．17．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE．（1）求证：AB＝AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB、AC、CD之间又有怎样的数量关系？只写出你的猜想，不用证明；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．18．“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，他们是获得发现的伟大源泉”﹣﹣乔治•波利亚．（1）观察猜想如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．点D在AC上，点E在BC上，且CD ＝CE．则BE与AD的数量关系是，直线BE与直线AD的位置关系是；（2）拓展探究如图2，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．则BE与AD的数量关系怎样？直线BE与直线AD的位置关系怎样？请说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，点M是AB 的中点．点P在射线BD上，连接PM，以点M为中心，将PM逆时针旋转90°，得到线段MN，请直接写出点A，P，N在同一条直线上时∠CPM的值．19．已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，（1）若点E，F分别是AB，AC的中点，则△DEF是三角形；（2）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（3）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．参考答案与解析1．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为垂直，数量关系为相等②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB 多少度时，CE⊥BC？请说明理由．【分析】（1）①根据∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD ≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．【解答】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD．理由：如图1，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案为：垂直，相等；②都成立．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△DAB与△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，∴∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）当∠ACB＝45°时，CE⊥BD（如图2）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，…（8分）在△GAD与△CAE中，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGC＝45°，∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，即CE⊥BC．【点评】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．2．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A（0，2），点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E．（1）求证：OB＝AC；（2）∠CAP的度数是60°；（直接写出答案，不需要说明理由．）（3）当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？并说明理由；（4）在（3）的条件下，在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，请写出点Q的坐标：（0，﹣2）或（0，6）．（直接写出答案，不需要说明理由．）【分析】（1）根据等边三角形性质得出OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，求出∠OPB＝∠APC，证出△PBO≌△PCA即可；（2）当点B在y轴正半轴上时，由（1）知∠PBO＝∠PCA，根据∠BAC＝∠BPC＝60°，当点B在y轴负半轴上时，判断出△APC≌△OPB（SAS），即可求出答案．（3）∠EAO＝60°，求出∠AEO＝30°，得出AE＝2AO，求出即可．（4）分点Q在y轴正半轴和负半轴两种情况计算即可．【解答】（1）证明：∵△BPC和△AOP是等边三角形，∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，∴∠APO+∠APB＝∠BPC+∠APB，即∠OPB＝∠APC，在△PBO和△PCA中，∴△PBO≌△PCA（SAS），∴OB＝AC；（2）解：当点B在y轴正半轴上时，由（1）知∠PBO＝∠PCA，∴∠BAC＝∠BPC＝60°，又∵∠OAP＝60°，∴∠CAP＝60°．当点B在y轴负半轴上时，如图，∵△AOP和△BCP是等边三角形，∴AP＝OP，PC＝PB，∠AOP＝∠APO＝∠BPC＝60°，∴∠APC＝∠OPB，∴△APC≌△OPB（SAS），∴∠CAP＝∠BOP＝180°﹣∠AOP＝120°，∵延长CA交x轴于点E，∴此种情况不符合题意，舍去，故答案为60°；（3）解：当B点运动时，AE的长度不发生变化，理由是：∵A（0，2），∴OA＝2，∵∠EAO＝∠BAC＝60°，∠AOE＝90°，∴∠AEO＝30°，∴AE＝2AO＝4，即当B点运动时，AE的长度不发生变化．（4）由（3）知，AE＝4，∠OAE＝60°，当点Q在y轴负半轴时，∵OA⊥AE，∴点Q与点A关于x轴对称，∴Q（0，﹣2），当点Q在y轴正半轴时，EQ＝AE＝4，∴OQ＝OA+EQ＝6，∴Q（0，6）．即：满足条件的点Q的坐标为（0，﹣2）或（0，6），故答案为（0，﹣2）或（0，6）．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．3．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE＝CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是60度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是60度；（2）如图③，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB＝α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．【分析】（1）只要证明△ACE≌△CBD，可得∠ACE＝∠CBD，推出∠BFE＝∠CBD+∠BCF＝∠ACE+∠BCF＝∠BCA＝60°；（2）只要证明△ACE≌△CBD，可得∠ACE＝∠CBD＝∠DCF，即可推出∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠D+∠CBD＝∠BCA＝60°；（3）只要证明△AEC≌△CDB，可得∠E＝∠D，即可推出∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠E+∠ECA＝∠OAC＝α；【解答】解：（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠A＝∠BCD＝60°，∵AE＝CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE＝∠CBD，∴∠BFE＝∠CBD+∠BCF＝∠ACE+∠BCF＝∠BCA＝60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠A＝∠BCD＝60°，∴∠CAE＝∠BCD＝′120°∵AE＝CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE＝∠CBD＝∠DCF，∴∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠D+∠CBD＝∠BCA＝60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC＝OA，∴∠EAC＝∠DCB＝α，∵AC＝BC，AE＝CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E＝∠D，∴∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠E+∠ECA＝∠OAC＝α．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．4．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE＝3cm，AD＝9cm．求：（1）DE的长；（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？【分析】（1）由余角的性质，推出∠CBE＝∠ECA，再依据全等三角形的判定定理“AAS”，推出△BEC和△CDA全等，然后即得BE＝CD，CE＝AD，再由BE＝3cm，AD＝9cm，结合图形即可推出DE＝6cm，（2）根据余角的性质推出∠CBE＝∠ACD，再依据全等三角形的判定定理“AAS”，推出△BEC和△CDA全等，然后即得BE＝CD，CE＝AD，再由BE＝3cm，AD＝9cm，结合图形即可推出DE＝12cm．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ECA＝90°，∴∠CBE＝∠ECA，∠BEC＝∠CDA，∵在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD，∵BE＝3cm，AD＝9cm，∴CD＝3cm，CE＝9cm，∴DE＝CE﹣CD＝6cm．（2）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠DCA＝90°，∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，∵在△CBE和△ACD中，，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD，∵BE＝3cm，AD＝9cm，∴DE＝CD+CE＝BE+AD＝12cm．【点评】本题主要考查垂直的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于根据相关的判定定理推出相关的三角形全等．5．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a ﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为（4，0）；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．②分两种情形：如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0∴a＝﹣2，b＝4．（2）①如图1中，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为（4，0）．②∵a＝﹣2，b＝4∴OA＝2OB＝4又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DP A+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DP A，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为AB⊥BE；线段BD、AB、EB的数量关系为AB＝BD+BE；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS）利用全等三角形的性质可得结论．（2）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质证明即可．（3）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质以及三角形的面积解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED＝•AD•EB＝×12×12＝72．如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED＝•AD•EB＝×2×2＝2．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．7．已知AB∥CD（1）如图，∠A＝40°，∠C＝78°，BP是∠ABG的平分线，DP是∠CDG的平分线，求∠P的度数；（2）如果∠A＝α，∠P＝β，其它条件不变，则∠C＝2β﹣α．【分析】（1）根据三角形的外角的性质，外角等于不相邻的两个内角的和以及平行线、角平分线的性质即可求解；（2）根据外角等于不相邻的两个内角的和可以求解．【解答】解：（1）∵AB∥CD，DP是∠CDG的平分线，∴∠CDA＝∠A＝40°，∠CDP＝∠PDA＝20°；同理，∠P AB＝∠CBP＝39°在△CDM中，∠DMG＝∠CDM+∠C＝78°+20°＝98°，在△BPM中，根据三角形的外角的性质可以得到：∠P＝∠DMG﹣∠PBM＝98°﹣39°＝59°；（2）∵AB∥CD∴∠ABP＝∠PBC＝∠C在△CDM和△PBM中，根据三角形的外角的性质，即可得到：∠DMB＝∠C+α＝∠P+∠PBC即：∠C+α＝β+∠C则∠C＝2β﹣α．【点评】本题主要考查了三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，平行线和角平分线的性质，结合图形找出各角间的关系是解题的关键．8．如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数．【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD＝BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC＝120°，从而可以求出∠AEB的度数；【解答】证明：（1）∵△ACB和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，又∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE；（2）在等边△ECD中，∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC＝∠ADC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°．【点评】主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．9．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为DE＝BD+CE；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BDA＝∠CEA＝90°，根据等角的余角相等得到∠CAE＝∠ABD，根据“AAS”证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形得到DE＝BD+CE；（2）根据∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得到∠BAD＝∠ACE，由AAS定理证明△BAD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，DA＝CE，得出结论；（3）根据等边三角形的性质得到∠BAC＝120°，证明△BAD≌△ACE，得到BD＝AE，证明△BDF≌△AEF，得到DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，求出∠DFE＝60°，根据等边三角形的判定定理得到答案．【解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠EAF，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．如图，在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E．（1）求证：BC＝AD．（2）若AC＝6，BC＝8，求△ACE的周长．【分析】（1）由HL证得Rt△ABC≌Rt△BAD，即可得出结论；（2）由Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠ABC＝∠BAD，则AE＝BE，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC与△ABD都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC＝AD；（2）解：由（1）知Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝AC+BC＝6+8＝14．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE 的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得到．根据平行线的性质得到∠ABF＝∠E，推出△BCE是等腰三角形．根据等腰三角形的性质即可得到结论．（2）根据平行线的性质待定的∠ABC+∠BCD＝180°．根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴．∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴∠CBF＝∠E，∴BC＝CE，∴△BCE是等腰三角形．∵F为BE的中点，∴CF平分∠BCD，即CG平分∠BCD．（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ABC＝52°，∴∠BCD＝128°．∵CG平分∠BCD，∴．∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，∴∠CGD＝46°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BCE是等腰三角形是解题的关键．12．知识背景我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题：如图1，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，D是BC的中点，以AD为腰作等腰△ADE，且满足∠DAE＝90°，连接CE并延长交BA的延长线于点F，试探究BC与CF之间的数量关系．发现：（1）BC与CF之间的数量关系为BC＝CF．探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点（除B、C外）时，其他条件不变，试猜想BC与CF之间的数量关系，并证明你的结论．拓展：（3）当点D在线段BC的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出△BCF 的形状．【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而判断出△ABD≌△ACE，得出∠ACE＝∠B ＝45°，进而得出∠BCF＝90°，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）BC＝CF．理由：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°．∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∴AD＝AE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°．∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝45°，∴∠B＝∠F，∴BC＝CF．故答案为：BC＝CF；（2）BC＝CF．理由：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°．∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∴AD＝AE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°．∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝45°，∴∠B＝∠F，∴BC＝CF．（3）△BCF是等腰直角三角形．理由：如备用图，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°．∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∴AD＝AE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°．∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠B+∠BFC＝90°，∴∠BFC＝45°，∴∠B＝∠BFC，∴△BCF是等腰三角形，∵∠BCF＝90°，∴△BCF是等腰直角三角形．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．13．（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OP上一点，请你作一个∠BAC，B、C 分别在OM、ON上，且使AO平分∠BAC（保留作图痕迹）；（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，△ABC的平分线AD，CE相交于点F，请你判断FE与FD之间的数量关系（可类比（1）中的方法）；（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB≠90°，而（2）中的其他条件不变，请问（2）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由．【分析】（1）在射线OM，ON上分别截取OB＝OC，连接AB，AC，则AO平分∠BAC；（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG＝FH＝FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH＝120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC＝120°，根据对顶角相等求出∠EFD＝120°，然后求出∠EFG＝∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE＝FD；（3）过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，首先证明∠GEF＝∠HDF，再证明△EGF≌△DHF可得FE＝FD．【解答】解：（1）如图①所示；（2）如图②，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FK，在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，∴∠F AC+∠FCA＝（180°﹣60°）＝60°，在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠F AC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝∠AFC＝120°，∴∠EFG＝∠DFH，在△EFG和△DFH中，，∴△EFG≌△DFH（ASA），∴FE＝FD；（3）成立，理由：如图c，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．∴∠FGE＝∠FHD＝90°，∵∠B＝60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴∠F AC+∠FCA＝60°，F是△ABC的内心，∴∠GEF＝∠BAC+∠FCA＝60°+∠BAD，∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，∴FG＝FH（角平分线上的点到角的两边相等）．又∵∠HDF＝∠B+∠BAD（外角的性质），∴∠GEF＝∠HDF．在△EGF与△DHF中，，∴△EGF≌△DHF（AAS），∴FE＝FD．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．（1）求证：△OBC≌△ABD．（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？【分析】（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BA，BC＝BD，则∠OBC＝∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；（2）由△AOB是等边三角形知∠BOA＝∠OAB＝60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD ＝∠BOC＝60°，根据∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD可得结论；（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC＝120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，求得AC＝AE＝2，据此得到OC＝1+2＝3，即可得出点C的位置．【解答】解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，∴∠OBC＝∠ABC，在△OBC和△ABD中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）；（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：∵△AOB是等边三角形，∴∠BOA＝∠OAB＝60°，∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；（3）∵△OBC≌△ABD，∴∠BOC＝∠BAD＝60°，又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，∴AE＝2，∴AC＝AE＝2，∴OC＝1+2＝3，∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．【点评】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．15．如图所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD＝CE，BE＝CF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；（2）∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，首先根据△DBE≌△ECF，再证明∠DEF＝60°，可以证出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，理由：∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B要△DEF是等边三角形，只要∠DEF＝60°．所以，当∠A＝60°时，∠B＝∠DEF＝60°，则△DEF是等边三角形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，等边三角形的判定，关键是证明△DBE≌△ECF．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；。

1.如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，点M 、N 在边BC 上． （1）如图1，如果AM = AN ，求证：BM = CN ； （2）如图2，如果M 、N 是边BC 上任意两点，并满足45MAN ∠=︒，那么线段BM 、MN 、 NC 是否有可能使等式222MN BM NC =+ 成立？如果成立，请证明；如果不成立， 请说明理由．2.如图,把矩形ABCD 折叠,使点C 落在AB 上的点C ˋ处(C ˋ与A 、B 不重合),点D 落在点D ˋ处,此时C ˋD ˋ交AD 于点E,折痕为MN. （1） 如果AB=1,BC=34,当C ˋ点在什么位置时,可使△NBC ˋ≌△C ˋAE; （2） 如果AB=BC=1,使△NBC ˋ≌△C ˋAE 的C ˋ点还存在吗？,若存在,求出C ˋ点的位置;若不存在,请说明理由.3.已知：在△ABC 中，∠CAB 和∠ABC 的平分线AD 、BE 交于点P 。

（1） 当△ABC 为等边三角形（如图1）时，求证：EP =DP ；（2） 当△ABC 不是等边三角形，但∠ACB =600（如图2）时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

ABCM NED `C `NMDCBAAB（图1） AB CDEP（图2）4.已知在∆ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D 点在边BC 上，BF ⊥AC 分别交射线DA 、射线CA 于点E 、F ，若BD=4，∠BAD= 45. （1）如图5：若∠BAC 是锐角，则点F 在边AC 上，① 求证：∆BDE ≌∆ADC ； ② 若DC=3，求AE 的长；（2）若∠BAC 是钝角，AE=1，求AC 的长5.已知在△ABC 中，45ABC ︒∠=，高AD 所在的直线与高BE 所在的直线交于点F ，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ,联结CF .（1）当△ABC 是锐角三角形时（如图a 所示），求证：AD FG CD =+； （2）当BAC ∠是钝角时（如图b 所示），①写出线段AD 、CD 、FG 三者之间的数量关系，不必写出证明过程，直接写结论；②当BE FE =,4BD =时，求FG 的长.6.已知：如图，D 是等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一动点，CE ⊥CD ，且CE =CD ．试探究：（1）在点D 的运动过程中，是否存在与线段AD 始终相等的线段？如果存在，请证明；如果不存在，请说明理由．（2）△ACD 与△EDB 能否全等？如果能，请指出这两个三角形全等时点D 的位置，并证明你的判断；如果不能，请说明理由．A BD CEF图5A BD C备用图GFEDCB A第27（a ）题GFEDBA第27（b ）题CABDE7.在△ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，过点B 作∠CBE =∠A ，BE 与射线CA 相 交于点E ，与射线CD 相交于点F ．(1)如图, 当点E 在线段CA 上时, 求证：BE ⊥CD ；(2)如果BE =CD ，那么线段AC 与BC 之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；(3)如果△BDF 是等腰三角形，求∠A 的度数．8.已知ABC ∆中，AC =BC , =120C ∠,点D 为AB 边的中点，60EDF ∠=,DE 、DF 分别交AC 、BC 于E 、F 点．（1）如图（图1），若EF ∥AB ．求证：DE =DF ．（2）如图（图2），若EF 与AB 不平行． 则问题（1）的结论是否成立？说明理由．（图1）ABECD F（图2）ABECD F9.如图（图1）,已知ABC ∆中, BC =3, AC =4, AB =5,直线MD 是AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于M 、D 点. （1）求线段DC 的长度；（2）如图（图2），联接CM ，作ACB ∠的平分线交DM 于N .求证:CM ＝MN .10.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D （D 在BC 边上），BE ⊥AC ，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，联结ME 、MD 、ED 。

人教版八年级上册几何压轴题专项训练1．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝C D，A D、BE相交于点P，B Q⊥A D于Q．（1）求证：BE＝A D；（2）求∠BP Q的度数；（3）若P Q＝3，PE＝1，求A D的长．2．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥B D于E，交BA的延长线于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）若B D平分∠ABC，求证：CE＝B D；（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数．3．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在B C上截取C D＝C E，连接A D、D E，并延长A D交BE于点P；（1）求证：A D＝BE；（2）试说明A D⊥BE；（3）如图2，将△C D E绕着点C旋转一定的角度，那么A D与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．4．如图，已知△AB C中，AB＝AC＝10厘米，∠ABC＝∠ACB，B C＝8厘米，点D为AB 的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，设点P运动的时间为t．（1）用含有t的代数式表示线段P C的长度；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后△BP D与△C Q P是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BP D与△C Q P全等？5．以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接B D、CE．（1）试判断B D、CE的数量关系，并说明理由；（2）延长B D交C E于点F，试求∠BFC的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．6．如图1，在△AB C中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在A D的右侧作△A DE，使A D＝AE，∠DAE＝∠BA C，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE ＝β．（1）求证：△CAE≌△BA D；（2）探究：当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图2，若∠BA C＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝D C．7．如图，∠BA D＝∠CAE＝90°，AB＝A D，AE＝A C，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△A D E；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：C D＝2BF+DE．8．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝C D，已知两点A（4，0），C（0，7），点D在第一象限内，∠D CA＝90°，点B在线段O C上，AB的延长线与D C的延长线交于点M，A C与B D交于点N．（1）点B的坐标为：；（2）求点D的坐标；（3）求证：C M＝C N．9．已知：如图1所示，等腰直角三角形AB C中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线M N经过点A，B D⊥M N于点D，CE⊥M N于点E．（1）求证：△BAD≌△ACE；（2）试判断线段D E，B D，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）当直线M N运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE，B D，C E之间的数量关系．10．如图，已知△ABC和△C D E均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接A D、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接G H．（1）请说出A D＝BE的理由；（2）试说出△BCH≌△AC G的理由；（3）试猜想：△C G H是什么特殊的三角形，并加以说明．11．（1）如图1，△ABC和△D C E都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接A D，BE相交于点P，求证：BE＝A D．（2）如图2，在△BC D中，若∠B C D＜120°，分别以BC，C D和B D为边在△BC D外部作等边△ABC，等边△C D E，等边△B DF，连接A D、BE、CF恰交于点P．①求证：A D＝BE＝CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，P D与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．12．已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、A C的中点，点G为直线BC 上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△D G H 是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．13．如图，在△AB C中，AB＝BC＝AC＝20cm．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P，点Q的速度都是2cm/s，当点P第一次到达B点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）∠A＝度；（2）当0＜t＜10，且△AP Q为直角三角形时，求t的值；（3）当△AP Q为等边三角形时，直接写出t的值．14．如图，在三角形AB C中，AB＝8，BC＝16，AC＝12．点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→＞B→C→A的方向运动，点Q从点B沿B→C→A的方向与点P同时出发；当点P第一次回到A点时，点P，Q同时停止运动；用t（秒）表示运动时间．（1）当t＝秒时，P是AB的中点．（2）若点Q的运动速度是个单位长度/秒，是否存在t的值，使得BP＝2B Q．（3）若点Q的运动速度是a个单位长度/秒，当点P，Q是AC边上的三等分点时，求a 的值．15．如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动（1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，△A M N为等边三角形？（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以M N为底边的等腰三角形A M N？如存在，请求出此时M，N运动的时间．16．如图，已知△ABC中，AB＝A C＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段C A 上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BP D与△C Q P是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BP D与△C Q P全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？参考答案1．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，在△AEB与△C D A中，，∴△AEB≌△C D A（SAS），∴BE＝A D；（2）解：由（1）知，△AEB≌△C D A，则∠ABE＝∠CA D，∴∠BA D+∠AB D＝∠BA D+∠CA D＝∠BAC＝60°，∴∠BP Q＝∠BAD+∠AB D＝60°；（3）解：如图，由（2）知∠BP Q＝60°．∵B Q⊥A D，∴∠PB Q＝30°，∴P Q＝BP＝3，∴BP＝6∴BE＝BP+PE＝7，即A D＝7．2．解：（1）∵∠BA C是直角，CE⊥B D，∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，∴∠C D E+∠D C E＝90°，∠AB D+∠A DB＝90°，∵∠A DB＝∠C D E，∴∠AB D＝∠ACF，在△AB D和△ACF中，，∴△AB D≌△ACF（ASA）；（2）由（1）知，△AB D≌A CF，∴B D＝CF，∵B D⊥CE，B D平分∠ABC，∴BC＝BF，∵B D⊥CE，∴CE＝EF，∴CE＝CF＝B D；（3）∠AE D不变化理由：如图，过点A作A G⊥⊥CF于G，作A H⊥B D于H，由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），∴S BA D＝S CAF，B D＝CF，△△∴B D•A H＝CF•AG，而B D＝CF，∴A H＝A G，∵A H⊥EB，A G⊥E G，∴EA平分∠BEF，∴∠BEA＝∠BE G＝45°，即：∠AE D不变化．3．解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴A D＝BE．（2）∵△BCE≌△AC D，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠B DP＝∠A D C，∴∠BP D＝∠D C A＝90°，∴A D⊥BE．（3）A D⊥BE不发生变化．理由：如图（2），∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BFP＝∠AF C，∴∠BPF＝∠ACF＝90°，∴A D⊥BE．4．解：（1）由运动知，BP＝3t，∵BC＝8，∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3t；（2）全等，理由：当t＝1时，BP＝3，CP＝5，C Q＝3，∵点D是AB的中点，∴B D＝AB＝5，∴CP＝B D，，∴△BP D≌△C Q P（SAS）；（3）∵BP＝3t，C P＝8﹣3t，设点Q的运动速度为xcm/s，∴C Q＝xt，当△BP D≌△C Q P时，∴BP＝C Q，∴3t＝x t，∴x＝3（不符合题意），当△BP D≌△CPQ时，∴BP＝CP，B D＝C Q，∴3t＝8﹣3t，5＝x t，∴t＝，x＝，∴点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BP D与△C Q P全等．5．解：（1）CE＝B D，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△A DE，∴AE＝A D，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝B D；（2）∵△EA C≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠D C B＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△A DE，∴AE＝A D，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝B D；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠D C B＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．6．（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BA C﹣∠D A C，∴∠CAE＝∠BAD．∵A D＝AE，AC＝AB，∴△CAE≌△BAD（SAS）．（2）解：α+β＝180°，理由如下：由△CAE≌△BAD，∴∠ACE＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠ACE＝∠B＝∠ACB．∴∠BCE＝β＝2∠B，在△ABC中，∠BA C＝α＝180°﹣2∠B．∴α+β＝180°．（3）证明：由（1）知，△CAE≌△BA D，∴CE＝B D．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由（2）得，∠BCF+∠BA C＝180°．∴∠BCF＝90°．∴∠F＝∠B＝45°，∴CF＝CB．∴CF﹣CE＝CB﹣B D．∴EF＝D C．7．证明：（1）∵∠BA D＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CA D＝90°，∠CA D+∠DAE＝90°，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得F G＝FB，∵AF⊥B G，∴∠AF G＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，∴△AFB≌△AF G（SAS），∴AB＝A G，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝A D，∠CBA＝∠E DA，CB＝E D，∴A G＝A D，∠ABF＝∠C D A，∴∠G＝∠C D A，∵∠G CA＝∠D C A＝45°，在△C G A和△C D A中，，∴△C G A≌△C D A（AAS），∴C G＝C D，∵C G＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴C D＝2BF+D E．8．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝OB＝4，∴B（0，4），故答案为：（0，4）．（2）∵C（0，7），∴O C＝7，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∴∠DE C＝∠A O C＝90°，∵∠D CA＝90°，∴∠EC D+∠B CA＝∠EC D+∠E D C＝90°∴∠BCA＝∠E D C，∴△DE C≌△C O A（AAS），∴DE＝O C＝7，E C＝OA＝4，∴OE＝O C+E C＝11，∴D（7，11）；（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7∴BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝90°，∴∠BAN+∠ANB＝90°，∵∠D CA＝90°，∴∠C D N+∠D N C＝90°，∵∠D N C＝∠ANB，∴∠C D N＝∠BAN，∵∠D CA＝90°，∴∠AC M＝∠D C N＝90°，∴△D C N≌△ACM（ASA），∴C M＝C N．9．（1）证明：∵B D⊥M N，CE⊥M N，∴∠B DA＝∠AEC＝90°，∴∠BA D+∠AB D＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠BA D+∠CAE＝90°，∴∠AB D＝∠CAE，∴△BA D≌△ACE（AAS），（2）解：DE＝BD+C E．理由如下：由（1）得：△BAD≌△ACE，∴B D＝AE，A D＝CE，又DE＝AE+A D，∴DE＝B D+CE，（3）DE＝CE﹣BD，同（1）可得：△BA D≌△ACE，故B D＝AE，A D＝CE，又DE＝A D﹣AE，∴DE＝CE﹣B D．10．解：（1）∵△ABC和△C D E均为等边三角形∴AC＝BC，EC＝D C∠ACB＝∠EC D＝60°∴∠AC D＝∠ECB∴△AC D≌△BCE∴A D＝BE；（2）∵△AC D≌△BCE∴∠CB H＝∠CAG∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上∴∠ACB＝∠ECD＝∠AC G＝60°又∵AC＝BC∴△AC G≌△BCH；（3）△C G H是等边三角形，理由如下：∵△AC G≌△BCH∴C G＝C H（全等三角形的对应边相等）又∵∠AC G＝60°∴△C G H是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；11．（1）证明：∵△ABC和△D C E都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝C D，∠ACB＝∠D C E＝60°，∴∠ABC+∠ACE＝∠D CE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝A D；（2）①证明：∵△ABC和△C D E是等边三角形，∴AB＝BC，C D＝BE，∠ACB＝∠D C E＝60°，∴∠ACB+∠BC D＝∠D CE+∠BC D，即∠AC D＝∠BCE，∴△AC D≌△BCE（SAS），∴A D＝BE，同理：△AB D≌△CBF（SAS），∴A D＝CF，即A D＝BE＝CF；②解：结论：PB+P C+P D＝BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠A Q C＝∠B Q P，由①知，△AC D≌△BCE，∴∠CA D＝∠CBE，在△AC Q中，∠C A D+∠A Q C＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠CBE+∠B Q P＝120°，在△BP Q中，∠APB＝180°﹣（∠CBE+∠B Q P）＝60°，∴∠DPE＝60°，同理：∠APC＝60°，∴∠CP D＝120°，在PE上取一点M，使P M＝P C，∴△CP M是等边三角形，∴CP＝C M，∠PC M＝∠C M P＝60°，∴∠C M E＝120°＝∠CP D，∵△C D E是等边三角形，∴C D＝CE，∠D C E＝60°＝∠PCM，∴∠PC D＝∠M C E，∴△PC D≌△M C E（SAS），∴P D＝M E，∴BE＝PB+P M+M E＝PB+P C+P D．12．证明：连接D E、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取E H使E H＝B G．∵D、E、F是等边△ABC三边中点，在△DB G和△DEH中，，∴△DB G≌△DEH（SAS），∴D G＝D H．∴∠B D G＝∠E D H．∵∠B DE＝∠G D E+∠B D G＝60°，∴∠G D H＝∠G D E+∠E D H＝60°∴在直线EF上存在点H使得△D G H是等边三角形．（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取E H使E H＝B G．由（1）可证△DB G≌△DE H．∴D G＝D H，∠BD G＝∠E D H．∵∠B DE＝∠B D G﹣∠E D G＝60°，∴∠G D H＝∠E D H﹣∠E D G＝60°．∴在直线EF上存在点H使得△D G H是等边三角形．（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．13．解：（1）∵AB＝BC＝A C，∴△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，故答案为：60．（2）∵∠A＝60°，当∠AP Q＝90°时，∠A QP＝90°﹣60°＝30°．∴QA＝2PA．即20﹣2t＝2t×2．解得．当∠A QP＝90°时，∠AP Q＝90°﹣60°＝30°．∴PA＝2QA．即2（20﹣2t）＝2t．解得．∴当0＜t＜10，且△AP Q为直角三角形时，t的值为．（3）①由题意得：AP＝2t，AQ＝20﹣2t，∵∠A＝60°，∴当A Q＝AP时，△AP Q为等边三角形，∴2t＝20﹣2t，解得t＝5，②当P于B重合，Q与C重合，则所用时间为：4÷2＝20，综上，当△AP Q为等边三角形时，t＝5或20．14．解：（1）∵AB＝8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，∴当P为AB中点时，即4÷2＝2（秒）；故答案为：2．（2）由题意可得：当BP＝2B Q时，P，Q分别在AB，BC上，∴点Q只能在BC上运动，当点P在AB上，∴BP＝8﹣2t，BQ＝t，则8﹣2t＝2×t，解得t＝，当点P在BC上时，BP＝2t﹣8，B Q＝，∴2t﹣8＝2×t，解得t＝12．当点P运动到AC上时，不存在BP＝2B Q；故t＝12或，使得BP＝2B Q．（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图1，AB+BC+CP＝8+16+8＝32，此时t＝32÷2＝16，∵BC+C Q＝16+4＝20，∴a＝20÷16＝，当点P为靠近点C的三等分点时，如图2，AB+BC+CP＝8+16+4＝28，此时t＝28÷2＝14，∵BC+C Q＝16+8＝24，∴a＝24÷14＝．综上可得：a的值为或．15．解：（1）设运动t秒，M、N两点重合，根据题意得：2t﹣t＝15，∴t＝15，答：点M，N运动15秒后，M、N两点重合；（2）如图1，设点M、N运动x秒后，△A M N为等边三角形，∴AN＝A M，由运动知，AN＝15﹣2x，A M＝x，∴15﹣2x＝x，解得：x＝5，∴点M、N运动5秒后，△A M N是等边三角形；（3）假设存在，如图2，设M、N运动y秒后，得到以M N为底边的等腰三角形A M N，∴A M＝A N，∴∠A M N＝∠ANM，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠B＝60°，∴△AC N≌△ABM（A AS），∴CN＝B M，∴C M＝B N，由运动知，C M＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y，∴y﹣15＝15×3﹣2y，∴y＝20，故点M，N在BC边上运动时，能得到以M N为底边的等腰三角形A M N，此时M，N运动的时间为20秒．16．解：（1）①∵t＝1s，∴BP＝C Q＝3×1＝3cm，∵AB＝10cm，点D为AB的中点，∴B D＝5cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，∴PC＝8﹣3＝5cm，∴PC＝B D．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BP D和△C Q P中，∴△BP D≌△C Q P（SAS）．②∵v≠，vP Q∴BP≠C Q，若△BP D≌△CPQ，∠B＝∠C，则BP＝PC＝4cm，C Q＝B D＝5cm，∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x＝3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3＝80cm．△ABC周长为：10+10+8＝28cm，若是运动了三圈即为：28×3＝84cm，∵84﹣80＝4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．∴CN＝B M，∴C M＝B N，由运动知，C M＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y，∴y﹣15＝15×3﹣2y，∴y＝20，故点M，N在BC边上运动时，能得到以M N为底边的等腰三角形A M N，此时M，N运动的时间为20秒．16．解：（1）①∵t＝1s，∴BP＝C Q＝3×1＝3cm，∵AB＝10cm，点D为AB的中点，∴B D＝5cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，∴PC＝8﹣3＝5cm，∴PC＝B D．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BP D和△C Q P中，∴△BP D≌△C Q P（SAS）．②∵v≠，vP Q∴BP≠C Q，若△BP D≌△CPQ，∠B＝∠C，则BP＝PC＝4cm，C Q＝B D＝5cm，∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x＝3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3＝80cm．△ABC周长为：10+10+8＝28cm，若是运动了三圈即为：28×3＝84cm，∵84﹣80＝4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．∴CN＝B M，∴C M＝B N，由运动知，C M＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y，∴y﹣15＝15×3﹣2y，∴y＝20，故点M，N在BC边上运动时，能得到以M N为底边的等腰三角形A M N，此时M，N运动的时间为20秒．16．解：（1）①∵t＝1s，∴BP＝C Q＝3×1＝3cm，∵AB＝10cm，点D为AB的中点，∴B D＝5cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，∴PC＝8﹣3＝5cm，∴PC＝B D．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BP D和△C Q P中，∴△BP D≌△C Q P（SAS）．②∵v≠，vP Q∴BP≠C Q，若△BP D≌△CPQ，∠B＝∠C，则BP＝PC＝4cm，C Q＝B D＝5cm，∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x＝3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3＝80cm．△ABC周长为：10+10+8＝28cm，若是运动了三圈即为：28×3＝84cm，∵84﹣80＝4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．∴CN＝B M，∴C M＝B N，由运动知，C M＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y，∴y﹣15＝15×3﹣2y，∴y＝20，故点M，N在BC边上运动时，能得到以M N为底边的等腰三角形A M N，此时M，N运动的时间为20秒．16．解：（1）①∵t＝1s，∴BP＝C Q＝3×1＝3cm，∵AB＝10cm，点D为AB的中点，∴B D＝5cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，∴PC＝8﹣3＝5cm，∴PC＝B D．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BP D和△C Q P中，∴△BP D≌△C Q P（SAS）．②∵v≠，vP Q∴BP≠C Q，若△BP D≌△CPQ，∠B＝∠C，则BP＝PC＝4cm，C Q＝B D＝5cm，∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x＝3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3＝80cm．△ABC周长为：10+10+8＝28cm，若是运动了三圈即为：28×3＝84cm，∵84﹣80＝4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．。