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微积分II Calculus II§7.1 定积分的概念§7.2 定积分的基本性质第七章§7.3 定积分计算基本公式定积分§7.4 定积分基本积分方法§7.5 反常积分§7.6 定积分的应用7.1 定积分的概念曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一问题的提出实例：求曲边梯形的面积1)(x f y =ayxb0121−=<<<<<<=k k n a x x x x x x b(1) 分割：1 (1,2,).−∆=−=k k k x x x k n 分点为：将区间任意分为个子区间[,]a bn(2) 近似：任取1[,]ξ−∈k k k x x (1,2,,)=k n ()ξ≈∆k k k S f x ayxb ()ξk f ξk1−k x kxayxb 1==∑nkk S S (3)作和：1()ξ=≈∆∑nkkk f x (4)取极限：记1max{}≤≤∆=∆k k n x x 01lim ()ξ∆→==∆∑nk kx k S f x ()ξk f ξk1−k x kx0121−=<<<<<<=k k n a x x x x x x b任取1[,]ξ−∈k k k x x (1,2,,)=k n 1(1,2,,)−∆=−=k k k x x x k n 设函数在上有定义，把任意分割成个小区间:[,]a b ()f x [,]a b n 作1(),ξ=∆∑nkk k f x 记1max{}≤≤∆=∆k k nx x 若极限01lim ()ξ∆→=∆∑n k k x k f x 存在，则称函数()f x 在[,]a b 上可积定积分的概念2()baf x dx⎰记作:此极限值为函数()f x 在[,]a b 上的定积分.积分下限a 积分上限b 积分变量x 被积表达式()f x dx 积分区间],[b a 即⎰badx )x (f 01lim ()ξ∆→==∆∑nk k x k f x(1)sdx x f ba=⎰)(sdx x f ba−=⎰)()(x f y =abxyos()0f x >(2)()0f x <)(x f y =a bxyos定积分的几何意义2(3)AB)(xfy=x y()f x()()()=−⎰b a f x dx S A S B二定积分存在定理定理一定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上可积定理二定理2：f x在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f x在区间a,b上可积利用定积分定义计算⎰102dxx 解2()f x x =120x dx ⎰存在在闭区间[0，1]上连续∴三例题演练例等分, 把区间[0,1]n 1 −∆=−k k k x x x 取(1,2,,)=k n ,n 1=,ξ==k k k x n ∴=k kx n分点为1()ξ=∆∑n k k k f x 21ξ==∆∑n k k k x 211=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑n k k n n 2311==∑n i k n612113)n )(n (n n ++=22231(12)n n =++201lim ξ∆→==∆∑nkk x k x 31=31(1)(21)lim 6→∞++=n n n n n ⎰102dx x。
道路交通安全违法行为记分管理办法目录第一章总则第二章记分分值第三章记分执行第四章满分处理第五章记分减免第六章法律责任第七章附则第一章总则第一条为充分发挥记分制度的管理、教育、引导功能，提升机动车驾驶人交通安全意识，减少道路交通安全违法行为（以下简称交通违法行为），预防和减少道路交通事故，根据《中华人民共和国道路交通安全法》及其实施条例，制定本办法。
第二条公安机关交通管理部门对机动车驾驶人的交通违法行为，除依法给予行政处罚外，实行累积记分制度。
第三条记分周期为十二个月，满分为12分。
记分周期自机动车驾驶人初次领取机动车驾驶证之日起连续计算，或者自初次取得临时机动车驾驶许可之日起累积计算。
第四条记分达到满分的，机动车驾驶人应当按照本办法规定参加满分学习、考试。
第五条在记分达到满分前，符合条件的机动车驾驶人可以按照本办法规定减免部分记分。
第六条公安机关交通管理部门应当通过互联网、公安机关交通管理部门业务窗口提供交通违法行为记录及记分查询。
第二章记分分值第七条根据交通违法行为的严重程度，一次记分的分值为12分、9分、6分、3分、1分。
第八条机动车驾驶人有下列交通违法行为之一，一次记12分：（一）饮酒后驾驶机动车的；（二）造成致人轻伤以上或者死亡的交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的；（三）使用伪造、变造的机动车号牌、行驶证、驾驶证、校车标牌或者使用其他机动车号牌、行驶证的；（四）驾驶校车、公路客运汽车、旅游客运汽车载人超过核定人数百分之二十以上，或者驾驶其他载客汽车载人超过核定人数百分之百以上的；（五）驾驶校车、中型以上载客载货汽车、危险物品运输车辆在高速公路、城市快速路上行驶超过规定时速百分之二十以上，或者驾驶其他机动车在高速公路、城市快速路上行驶超过规定时速百分之五十以上的；（六）驾驶机动车在高速公路、城市快速路上倒车、逆行、穿越中央分隔带掉头的；（七）代替实际机动车驾驶人接受交通违法行为处罚和记分牟取经济利益的。
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
第七章：定积分的应用一、在经济上的应用（一）由边际函数求原经济函数： 原经济函数−−−←−−→−积分求导边际函数)0()()0()(')(0F dx x f F dx x F x F xx+=+=⎰⎰（ )()('x f x F = ）（二）用定积分求总成本、总收入、总利润或其增量的方法： 1、总成本函数：C （q ）若以 C 0 表示固定成本，产量为 q 时的边际成本为C ’（q ） 则：产量由0到q 的总成本为：)(')(C dq q C q C q+=⎰产量由q 1 增加到q 2 总成本的增加量（简称增量）⎰=-=∆21)(')()(12q q dq q C q C q C C2、收入函数：)(q R 因为：0=q 时，0)0(=R⎰=qdq q R q R 0)(')(⎰=-=∆21)(')()(12q q dq q R q R q R R3、利润函数：)(q L（1）利润函数 = 收入函数 — 成本函数)()()(q C q R q L -= )(')(')('q C q R q L -=[]0)(')(')(')(C dq q C q R Cdq q L q L qq--=-=⎰⎰（2）利润函数的增加量：（增量）⎰=-=∆21)(')()(12q q dq q L q L q L L（三）例题：例题1、已知生产某种产品 q 件时的边际收入为：q q R 201100)('-=（ 元 / 件 ）求：（1）销售产品100件时的总收入；（2）销售产品从100件到200件时所增加的收入； （3）销售量为100件时的平均收入。
解：（1）0100]21201100[)201100()(')(2100q q dq q dqq R q R q∙-=-==⎰⎰9750)0100(401)0100(100)(2=---=q R （元）（2）100200401100)('221⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∆⎰q q dq q R R q q9250)100100200200(401)100200(100=∙-∙--=∆R （元）（3）50.971009750)()(===qq R q R （元 / 件）例题2、生产某产品的边际成本和边际收入分别为：x x C 8)('=；xx R 2100)('-= ；单位：万元 / 百台问：（1）产量为多少时，利润最大？（2）从利润最大的产量再生产200台，利润有什么变化？解：)10(101010082100)(')(')('x x x x x C x R x L -=-=--=-=令0)('=x L即：010=-x 100=x （百台）在产量为10百台时，利润最大。
第七章 定 积 分微积分基本定理的叙述、证明与应用，是本章的重点，也是全书的核心所在．§1 定积分的概念我们先从几个例子谈起．例1 变力作功．设有一质点受到力F 的作用而在x 轴上运动，F 的方向与x 轴平行，其大小)(||x f F = 与质点所在的位置有关。
问题：当质点从a 位移到b 时，变力()f x 作的总功是多少(图7—1)?例如，—个质量为m 的人造卫星，要把它从地面送上太空，要计算地心引力对它作的功，如果把铅垂线选作x 轴，则这时的力为2()mf x x μ=-。
常力作功： （功=力⨯距离） S F W ⋅=变力()f x 是随x 变化的连续量，功具有可加性，考虑将其一点点求和。
因此这是个连续量连续作用的积累问题．分4步解决1、分割 在区间[],a b 中插入n 个分点．012n a x x x x b =<<<⋅⋅⋅<=。
第i 个小区间为[]1,i i x x -，长度为1--=∆i i i x x x ，n i ,2,1=2、取近似 当i x ∆很小时，可以认为()f x 的变化较小，取[]1,i i i x x ξ-∈，则质点从1i x -到i x 过程中，力所作的功i i i x f w ∆≈∆)(ξ3、求和 力所作的总功i ni i x f W ∆≈∑=)(1ξ4、取极限 记{}1m a x i i nx λ≤≤=∆，则 =W 01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑ 例2 质点作变速直线运动的路程．设质点作变速直线运动，速度为()v v t =，求质点在时间间隔[],a b 内所走过的路程， 匀速直线运动： 路程=速度⨯时间 vt S =．变速)(t v ，？ 路程具有可加性因此这是个连续量连续作用的积累问题．分4步解决1、分割 在区间[],a b 中插入n 个分点：b t t t a n =<<<= 10。
第i 个小区间为],[1i i t t -，长度为1--=∆i i i t t t ，n i ,2,1=2、取近似 当i t ∆很小时，可以认为)(t v 的变化较小，取],[1i i i t t -∈ξ，则质点从1-i t 到i t 过程中，所走过的路程i i i t v S ∆≈∆)(ξ3、求和 在[],a b 内走过总路程i ni i t v S ∆≈∑=)(1ξ4、取极限 记}{m a x 1i n i t ∆=≤≤λ，则 i n i i t v S ∆=∑=→)(lim 10ξλ例3 曲边梯形的面积所谓曲边梯形，是指由三条直边及一条曲边所围成的图形。
垂直于底边的直线交曲边只有一点。
设三条直边为 0=y ，a x =，b x =曲边是连续曲线 ()(()0)y f x f x =≥分4步解决1、分割 在区间[],a b 中插入n 个分点．012n a x x x x b =<<<⋅⋅⋅<=。
第i 个小区间为[]1,i i x x -，长度为1--=∆i i i x x x ，n i ,2,1=2、取近似 当i x ∆很小时，可以认为()f x 的变化较小，取[]1,i i i x x ξ-∈，则小曲边梯形的面积近似于i i i x f S ∆≈∆)(ξ3、求和 曲边梯形的面积 i ni i x f S ∆≈∑=)(1ξ4、取极限 记{}1m a x i i nx λ≤≤=∆，则 i ni i x f S ∆=∑=→)(lim 10ξλ设想曲边梯形是由线段{}00(,)0()x y y f x ≤≤当0x 从a 变到b 时扫出来的（图7-5）。
如果函数()f x 等于常数，这时图形是矩形，面积很易求得。
对一般的连续函数()f x ，困难就在于当0x 从a 变到b 时，()f x 也在连续的变化。
因此，求曲边梯形的面积，也就是求一个连续量连续变化的“积累”问题，从这个意义来看，例3是例1、例2的几何“解释”。
这些例子，都归结为求某种和式的极限。
我们把它概括抽象出来，便得到下面的定积分定义。
定义 7.1 设函数()f x 在区间[],a b 上有定义．用分点012n a x x x x b =<<<⋅⋅⋅<=将区间任意分成n 个小区间，小区间的长度为 1,1,2,,i i i x x x i n -∆=-=⋅⋅⋅，记{}1m a x i i n x λ≤≤=∆，在每个小区间上任取一点[]1,i i i x x ξ-∈，作和式1()ni i i f x σξ==∆∑．若当0λ→时，和式σ的极限存在（设为I ），则称()f x 在[],a b 是可积的，极限值I 称为()f x 在[],a b 的定积分，记作()ba f x ⎰． 概括起来，也就是 ⎰∑=∆==→ba i n i i dx x f x f I )()(lim 10ξλ注1 这是一种新的极限注2 极限的存在与否与[],a b 的分法无关，与[]1,i i i x x ξ-∈的取法无关！注3 和式 1()ni i i f x σξ==∆∑ 称为黎曼和b a , 分别称为积分下限和积分上限，],[b a 积分区间)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量定积分是一个数，是黎曼和的极限等价定义：A x f x x =→)(lim 0 ⇔ 0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||00x x 时，有ε<-|)(|A x fI x f i ni i =∆∑=→10)(lim ξλ⇔0>∀ε，0>∃δ， 对],[b a 的任意分法及],[1i i i x x -∈∀ξ，当δλ<时，有εξ<-∆∑=|)(|1I x f i ni i注意两个任意——对区间的分法任意和i ξ在子区间的取法任意。
正因为此，使黎曼和的极限比通常函数的极限复杂得多。
对函数极限，当δ<-<||00x x 时，对每个x 来说，)(x f 是唯一确定的；而对黎曼和极限，当δλ<时，i ni i x f ∆∑=1)(ξ不是唯一确定的，这时，区间的分法有无穷多种，对每一个分法，i ξ的取法又有无穷多种。
等价定义：设)(x f 在],[b a 有定义，I 是一个确定的数，若0>∀ε，0>∃δ，对],[b a 的任意分法及],[1i i i x x -∈∀ξ，当δλ<时，有εξ<-∆∑=|)(|1I x f i n i i则称I 为()f x 在[],a b 的定积分，记作=I ()ba f x ⎰．并称()f x 在[],ab 可积。
变力()f x 使质点沿直线从a 移到b 时所作的功是()f x 在[],a b 的定积分（()f x 作用的方向与位移的方向重合）⎰=ba dx x f W )(变速直线运动的质点所走过的路程是速度()v t 在时间区间[],a b 上的定积分，即⎰=ba dt t v S )(定积分的几何意义 ⎰ba dx x f )(当0)(>x f 时，⎰ba dx x f )(是曲边梯形的面积当()0()f x a x b ≤≤≤时，⎰ba dx x f )(是曲边梯形的面积的负值定积分可视为对连续量求和离散量求和∑=n i i a 1 自变量i 从1离散地变到n 连续量求和⎰b a dx x f )( 自变量连续地从a 变到b对积分变量x 的说明：∑=n i i a1， i 只是求和指标，是哑元用什么字母表示无关100100100222111111i k n i k n =====∑∑∑ 同理 ⎰⎰⎰==ba b a ba du u f dt t f dx x f )()()( 注意：这与不定积分有本质的区别，不定积分中，积分变量是不能随便改的两个规定：1、 当a b =时，规定()0b a f x d x =⎰ 2、 当a b >时，规定 ()()ba a bf x dx f x dx =-⎰⎰ 这个等式不论a ，b 谁大谁小均成立§3 微积分基本定理定理7.11（微积分基本定理） 设()f x 在[],a b 上可积，()F x 在[],a b 连续，且是()f x 在[],a b 的任意一个原函数，即)()(x f x F ='，[,]x a b ∀∈，则 ()()()b a f x dx F b F a =-⎰．上式称为牛顿—莱布尼茨(Newton —Leibniz)公式．定积分⎰ba dx x f )(的两重含义： )()()()(lim 10a Fb F dx x f x f ba i n i i -==∆⎰∑=→ξλ 1、 从第一个等式看，定积分是黎曼和的极限，其背景是求连续量连续作用的总和或积累．2、 从第二个等式看，它是微分为dx x f )(的函数)(x F 在a ，b 两点的函数值之差．由此我们可以看到微积分基本定理的意义：1、从上述2知，dx x f )(含有微分的意思．但从定积分的定义来看，定积分是作为求连续量连续作用的总和或积累引入，是黎曼和的极限，很难看出与微分有联系．而不定积分才是作为微分运算的逆运算引入．因此，意义之一是它在理论上，把积分学中的两种积分统一到一起．2、在计算上使定积分的计算大大前进了一步，将求黎曼和的极限转化为求不定积分，使定积分的计算成为可能，而且可以机械化的进行．微积分基本定理深刻揭示了微分和积分两者的关系，这是微积分发展历史中的转折点．在此之前，人们计算每一个定积分都要探求一种特殊的方法才能把它算出来．但是，有了微积分基本定理之后，人们可以用统一的求原函数的方法计算定积分．这样微积分才真正开始成为一门独立的学科．因此，把这定理称为微积分的基本定理是一点也不过分的．。
