全国统一标准测试数学试验(二)答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x ∣∣，则M N （）A.{21}x x ∣B.{21}x x ∣C.{2}xx ∣ D.{1}xx ∣2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是( ，则z 的共轭复数z （）A.1B.1C.1D.13.已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b rrrr，则22||||a b rr（）A.2B.1C.0D.14.下列函数中，在区间(0,) 上单调递增的是（）A.()ln f x x B.1()2xf xC.1()f x xD.|1|()3x f x 5.512x x的展开式中x 的系数为（）．A.80B.40C.40D.806.已知抛物线2:8C y x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x 的距离为5，则||MF （）A.7B.6C.5D.47.在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ，则C （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π68.若0xy ，则“0x y ”是“2y xx y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列 n a 满足 31166(1,2,3,)4n n a a n，则（）A.当13a 时， n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M 恒成立B.当15a 时， n a 为递增数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立C.当17a 时， n a 为递减数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立D.当19a 时， n a 为递增数列，且存在常数0M ，使得n a M 恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x ，则12f____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0) 和(2,0)，离心率为，则C 的方程为____________．13.已知命题:p 若, 为第一象限角，且 ，则tan tan ．能说明p 为假命题的一组, 的值为 __________， _________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ，则7a ___________；数列 n a 所有项的和为____________．15.设0a，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a ，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a 上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设 111222,,,M x f x xa N x f x x a ，则||1MN ；④设 333444,,,P x f x xa Q x f x x a ．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面ABC ，1PA AB BC PC，．（1）求证：BC 平面PAB ；（2）求二面角A PC B 的大小．17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x．（1）若(0)2f，求 的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33上单调递增，2π13f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求, 的值．条件①：π3f；条件②：π13f；条件③：()f x 在区间ππ,23上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b 的离心率为3，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．20.设函数3()e ax b f x x x ，曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x ．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x ，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21.已知数列 ,n n a b 的项数均为m (2)m ，且,{1,2,,},n n a b m L ,n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ．对于 0,1,2,,k m L ，定义max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m L ∣，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ，且112,1,2,,1,j j j r r r j m L ，求n r ；（3）证明：存在 ,,,0,1,2,,p q s t m L ，满足,,p q s t 使得t p sq A B A B ．参考答案【1题答案】A 【2题答案】D 【3题答案】B 【4题答案】C 【5题答案】D 【6题答案】D 【7题答案】B 【8题答案】C 【9题答案】C 【10题答案】B 【11题答案】1【12题答案】22122x y 【13题答案】9π4π3【14题答案】48384【15题答案】②③【16题答案】（1）证明略（2）π3【17题答案】（1）π3.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1 ，π6.【18题答案】（1）0.4（2）0.168（3）不变【19题答案】（1）22194x y （2）证明略【20题答案】（1）1,1a b（2）略（3）3个【21题答案】（1）00r ，11r ，22r ，33r （2）,n r n n N （3）证明略。

2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．（5分）（2011•新课标）复数＝（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i3．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x|4．（5分）（2011•新课标）椭圆＝1的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．50406．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18B．24C．36D．4810．（5分）（2011•新课标）在下列区间中，函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）11．（5分）（2011•新课标）设函数，则f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称12．（5分）（2011•新课标）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k＝．14．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．15．（5分）（2011•新课标）△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为．16．（5分）（2011•新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）已知等比数列{a n}中，a1＝，公比q＝．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n＝（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．（2011•新课标）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数．【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，∴P＝M∩N＝{1，3}∴P的子集共有22＝4故选：B．【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2n．2．（5分）（2011•新课标）复数＝（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：＝﹣2+i故选：C．【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x|【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y＝2x3，由f（﹣x）＝﹣2x3＝﹣f（x），为奇函数，故排除A；对于B．y＝|x|+1，由f（﹣x）＝|﹣x|+1＝f（x），为偶函数，当x＞0时，y＝x+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣x2+4，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣|x|，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，当x＞0时，y＝2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．4．（5分）（2011•新课标）椭圆＝1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程＝1，可得a＝4，b＝2，则c＝＝2；则椭圆的离心率为e＝＝，故选：D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2＝b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．5．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．5040【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N＝6，k＝1，p＝1P＝1，k＜N成立，有k＝2P＝2，k＜N成立，有k＝3P＝6，k＜N成立，有k＝4P＝24，k＜N成立，有k＝5P＝120，k＜N成立，有k＝6P＝720，k＜N不成立，输出p的值为720．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3＝9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故选：A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．7．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ＝＝＝，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．8．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18B．24C．36D．48【分析】首先设抛物线的解析式y2＝2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|＝2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2＝2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x＝﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|＝2p＝12∴p＝6又∵点P在准线上∴DP＝（+||）＝p＝6＝（DP•AB）＝×6×12＝36∴S△ABP故选：C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10．（5分）（2011•新课标）在下列区间中，函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）【分析】根据导函数判断函数f（x）＝e x+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）＝e x+4x﹣3∴f′（x）＝e x+4当x＞0时，f′（x）＝e x+4＞0∴函数f（x）＝e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）＝e0﹣3＝﹣2＜0f（）＝﹣1＞0f（）＝﹣2＝﹣＜0∵f（）•f（）＜0，∴函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：A．【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．11．（5分）（2011•新课标）设函数，则f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y＝f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）＝sin（2x+）＝cos2x．由于y＝cos2x的对称轴为x＝kπ（k∈Z），所以y＝cos2x的对称轴方程是：x＝（k∈Z），所以A，C错误；y＝cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y＝f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．12．（5分）（2011•新课标）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y＝f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y＝f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y＝|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x＝1时y＝0；x＝10时y＝1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k＝1．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴k＝1故答案为：1【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．14．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为﹣6．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z＝x+2y变化为y＝﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z＝x+2y，变化为y＝﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y＝x﹣9与2x+y＝3的交点得到A（4，﹣5）∴z＝4+2（﹣5）＝﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5分）（2011•新课标）△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知cos B＝＝﹣，求得BC＝﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为•AB•BC•sin B＝×5×3×＝故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16．（5分）（2011•新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2＝2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2＝6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．故答案为：【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）已知等比数列{a n}中，a1＝，公比q＝．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n＝（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【分析】（I）根据数列{a n}是等比数列，a1＝，公比q＝，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1＝，q＝∴a n＝×＝，S n＝又∵＝＝S n∴S n＝（II）∵a n＝∴b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣n log33）＝﹣（1+2+…+n）＝﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n＝﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，由于PD于AD相交，所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD＝1，则BD＝，PB＝2．根据DE•PB＝PD•BD，得DE＝，即棱锥D﹣PBC的高为．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【分析】（1）由试验结果先求出用A配方生产的产品中优质品的频率和用B配方生产的产品中优质品的频率，由此能分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．由此能求出用B配方生产的产品平均一件的利润．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×（﹣2）+54×2+42×4]＝2.68（元）．【点评】本题考查产品的优质品率的求法，考查产品平均一件的利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的合理运用．20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a＝0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y＝x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x＝3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2＝（2）2+t2，解得t＝1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0x＝0，y＝1有1+E+F＝0y＝0，x2﹣6x+1＝0与x2+Dx+F＝0是同一方程，故有D＝﹣6，F＝1，E＝﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2＝4﹣a，x1x2＝①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，又y1＝x1+a，y2＝x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2＝0②由①②可得a＝﹣1，满足△＝56﹣16a﹣4a2＞0．故a＝﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3＝0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a＝1，b＝1（II）由（I）知f（x）＝所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）＝0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn＝0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB 的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程x2﹣14x+mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF＝（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|＝|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|＝．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．（2011•新课标）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣＝﹣1，故a＝2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•大纲版）设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则∁U（M∩N）＝（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）（2011•大纲版）函数y＝（x≥0）的反函数为（）A．y＝（x∈R）B．y＝（x≥0）C．y＝4x2（x∈R）D．y＝4x2（x≥0）3．（5分）（2011•大纲版）设向量、满足||＝||＝1，•＝﹣，|+2|＝（）A．.B．C．、D．.4．（5分）（2011•大纲版）若变量x、y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．35．（5分）（2011•大纲版）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）（2011•大纲版）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝24，则k＝（）A．8B．7C．6D．57．（5分）（2011•大纲版）设函数f（x）＝cosωx（ω＞0），将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．98．（5分）（2011•大纲版）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD ⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝（）A．2B．C．D．19．（5分）（2011•大纲版）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种10．（5分）（2011•大纲版）设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ），则＝（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．11．（5分）（2011•大纲版）设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C 1C 2|＝（）A ．4B ．C ．8D ．12．（5分）（2011•大纲版）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•大纲版）（1﹣x ）10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为：．14．（5分）（2011•大纲版）已知a ∈（π，），tan α＝2，则cos α＝．15．（5分）（2011•大纲版）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为．16．（5分）（2011•大纲版）已知F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2011•大纲版）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6，6a 1+a 3＝30，求a n 和S n ．18．（12分）（2011•大纲版）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a sin A +c sin C ﹣a sin C ＝b sin B ，（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若A ＝75°，b ＝2，求a ，c ．19．（12分）（2011•大纲版）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20．（12分）（2011•大纲版）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．21．（12分）（2011•大纲版）已知函数f（x）＝x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y＝f（x）在x＝0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x＝x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．22．（12分）（2011•大纲版）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．。

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）A.14B.16C.18D.20【答案】B【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.2.椭圆2221(1)x y a a+=>的离心率为12，则=a （）A.233B.C.D.2【答案】A【详解】由题意得112e a ==，解得233a =，故选：A.3.记等差数列{}n a 的前n 项和为3712,6,17n S a a a +==，则16S =（）A.120B.140C.160D.180【答案】C 【解析】【分析】利用下标和性质先求出512a a +的值，然后根据前n 项和公式结合下标和性质求解出16S 的值.【详解】因为37526a a a +==，所以53a =，所以51231720a a +=+=，所以()()116165121681602a a S a a +⨯==+=，故选：C.4.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,,m l αβαβ⊥∥∥，则m l ⊥B.若,,m l m l αβ⊂⊂∥，则αβ∥C.若,,m l l αβαβ= ∥∥，则m l ∥D.若,,m l m l αβ⊥⊥∥，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.【详解】对于A ，,m l 可能平行，相交或异面，故A 错误，对于B ，,αβ可能相交或平行，故B 错误，对于D ，,αβ可能相交或平行，故D 错误，由线面平行性质得C 正确，故选：C5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A.20种B.16种C.12种D.8种【答案】B 【解析】【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A 种方法，排甲有12A 种方法，剩余两个位置两人全排列有22A 种排法，所以有212222A A A 8⨯⨯=种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A 种方法，排甲有12A 种方法，剩余两个位置两人全排列有22A 种排法，所以有212222A A A 8⨯⨯=种方法；由分类加法计数原理可知，一共有8816+=种排法，故选：B.6.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .7.已知3ππ,π,tan24tan 44θθθ⎛⎫⎛⎫∈=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin22cos sin2θθθ+=+（）A.14 B.34C.1D.32【答案】A 【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将21sin22cos sin2θθθ++齐次化即可得出答案.【详解】由题3ππ,π,tan24tan 44θθθ⎛⎫⎛⎫∈=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()()224tan 12tan 4tan 12tan 1tan 1tan θθθθθθ-+=⇒-+=--，则()()2tan 1tan 20tan 2θθθ++=⇒=-或1tan 2θ=-，因为()3π,π,tan 1,04θθ⎛⎫∈∈-⎪⎝⎭，所以1tan 2θ=-，222221sin2sin cos 2sin cos tan 12tan 2cos sin22cos 2sin cos 22tan θθθθθθθθθθθθθ+++++==+++()11114214+-==+-.故选：A8.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于,A B 两点，211222,4F B F A F A F B a =⋅=，则C 的离心率为（）A.B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】由双曲线的对称性可得12F A F B =、12F B F A =且四边形12AF BF 为平行四边形，由题意可得出21F BF ∠，结合余弦定理表示出与a 、c 有关齐次式即可得离心率.【详解】由双曲线的对称性可知12F A F B =，12F B F A =，有四边形12AF BF 为平行四边形，令12F A F B m ==，则122F B F A m ==，由双曲线定义可知212F A F A a -=，故有22m m a -=，即2m a =，即122F A F B m a ===，124F B F A a ==，2222222cos 24cos 4F A F B F A F B AF B a a AF B a ⋅=⋅∠=⨯∠=，则21cos 2AF B ∠=，即23AF B π∠=，故212π3F BF ∠=，则有()()()222222121221124221cos 22422a a c F B F B F F F BF F B F Ba a+-+-∠===-⋅⨯⨯，即2222041162a c a -=-，即2204116162e -=-，则27e =，由1e >，故e =.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于a 、b 、c 之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出1F A 、2F B 与a 的具体关系及21F BF ∠的大小，借助余弦定理表示出与a 、c 有关齐次式，即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.函数π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数B.曲线()y f x =的对称轴为π,Z x k k =∈C.()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.()f x 的最小值为2-【答案】AC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据三角函数的性质逐项判断即可.【详解】()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π3π3π3πsin 2cos sin cos 2cos2cos sin2sin 4444x x x x =++-2222sin 2cos 2cos2sin22222x x x x x =-+--=，即()f x x =，对于A ，i ππ42n 2x x f x ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，()f x x =对称轴为πππ2π,Z ,Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈，故B 错误；对于C ，ππ2π,,2,π323x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin2y x =单调递减，则()f x x =单调递增，故C 正确；对于D ，()f x x =，则[]sin21,1x ∈-，所以()f x ⎡∈⎣，故D 错误；故选：AC10.已知复数,z w 均不为0，则（）A.22||z z = B.22||z z z z =C.z z w w -=- D.z z w w=【答案】BCD 【解析】【分析】设出i z a b =+、i w c d =+，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.【详解】设i z a b =+(),R a b ∈、i w c d =+(),R c d ∈；对A ：设i z a b =+(),R a b ∈，则()222222i 2i 2i z a b a ab b a b ab =+=+-=-+，2222||z ab ==+，故A 错误；对B ：2z z z z z=⋅，又2z z z ⋅=，即有22||z z z z =，故B 正确；对C ：()i i i a b c d z a c d w b =+-=+----，则()i a c z w b d ----=，i z a b =-，i w c d =-，则()i i i z w a b c d a c b d =--+=----，即有z z w w -=-，故C 正确；对D ：()()()()()22i i i i i i i z c w a b c d ac bd ad bc a b c d c d c d d +-+--+===++-+==22c d ==+，22z w c d ===+22c d =+，故z z w w=，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，若()()()4f x y f x f y xy ++=，则（）A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数 D.函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是减函数【答案】ABD 【解析】【分析】对抽象函数采用赋值法，令12x =、0y =，结合题意可得()01f =-，对A ：令12x =、0y =，代入计算即可得；对B 、C 、D ：令12y =-，可得122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即可得函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭及函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭函数的性质，代入1x =，即可得12f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】令12x =、0y =，则有()()1110100222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，故()100f +=，即()01f =-，令12x =、12y =-，则有1111114222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()110122f f f ⎛⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()01f =-，可得11022f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，故102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故A 正确；令12y =-，则有()1114222f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数，有()1121222f x x x ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭，即1222f x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是减函数，令1x =，有12122f ⎛⎫=-⨯=-⎪⎝⎭，故B 正确、C 错误、D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到()01f =-，再重新赋值，得到102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再得到122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为__________．【答案】5【解析】【分析】由A B A = 可得A B ⊆，解出集合B 后结合集合的关系计算即可得.【详解】由A B A = ，故A B ⊆，由3x m -≤，得33m x m -+≤≤+，故有4323m m ≤+⎧⎨-≥-+⎩，即15m m ≥⎧⎨≥⎩，即5m ≥，即m 的最小值为5.故答案为：5.13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM '的高与球O 的直径相等，则圆锥MM '的体积与球O 的体积的比值是__________，圆锥MM '的表面积与球O 的表面积的比值是__________．【答案】①.23②.1【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径r 以及球的半径R ，用r 表示出圆锥的高h 和母线l 以及球的半径R ，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h =，母线2l r =，由题可知：2h R =，所以球的半径32R =所以圆锥的体积为()23113ππ33V r r =⨯⨯=，球的体积333244πππ3322V R r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3123π23332rV V ==；圆锥的表面积221ππ3πS rl r r =+=，球的表面积22224π4π3π2S R r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以21223π13πS r S r==，故答案为：23；1.14.以max M表示数集M 中最大的数．设01a b c <<<<，已知2b a ≥或1a b +≤，则{}max ,,1b a c b c ---的最小值为__________．【答案】15##0.2【解析】【分析】利用换元法可得11b n pa m n p =--⎧⎨=---⎩，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.【详解】令,,1,b a m c b n c p -=-=-=其中,,0m n p >，所以11b n p a m n p =--⎧⎨=---⎩，若2b a ≥，则()121b n p m n p =--≥---，故21m n p ++≥，令{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，因此22M mM n M p≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,故421M m n p ≥++≥,则14M ≥，若1a b +≤，则111n p m n p --+---≤，即221m n p ++≥，{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，则2222M mM n M p≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,故5221M m n p ≥++≥,则15M ≥，当22m n p ==时，等号成立，综上可知{}max ,,1b a c b c ---的最小值为15，故答案为：15【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在2b a ≥和1a b +≤前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2ln 2f x x x ax =+++在点()()22f ,处的切线与直线230x y +=垂直．（1）求a ；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）3a =-（2）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，极大值3ln 24-，极小值0【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值.【小问1详解】()12f x x a x '=++，则()1922222f a a '=+⨯+=+，由题意可得92123a ⎛⎫⎛⎫+⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =-；【小问2详解】由3a =-，故()2ln 32f x x x x =+-+，则()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=+-==，0x >，故当102x <<时，()0f x ¢>，当112x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，()f x 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()f x 有极大值211113ln 32ln 222224f ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有极小值()21ln113120f =+-⨯+=.16.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）47（2）分布列见解析，()107E X =【解析】【分析】（1）先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果；（2）先确定X 的可取值为1,2,3，然后计算出不同取值的概率，注意X 的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和期望()E X .【小问1详解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M ，先确定3个不同数字的小球，有34C 种方法，然后每种小球各取1个，有111222C C C ⨯⨯种取法，所以()3111422238C C C C 4=C 7P M ⨯⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知，X 的可取值为1,2,3，当1X =时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以()1221262638C C C C 91=C 14P X +==；当2X =时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以()1221242438C C C C 22=C 7P X +==；当3X =时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以()1221222238C C C C 13=C 14P X +==，所以X 的分布列为：X123P 91427114所以()92110123147147E X =⨯+⨯+⨯=.17.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，11112,,45AA C CB C CD C CO =∠=∠∠=︒．（1）证明：1C O ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1B AA D --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）223【小问1详解】连接11,BC DC ，因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以BC DC =，又因为11C CB C CD ∠=∠，11CC CC =，所以11C CB C CD ≅ ，所以11BC DC =，点O 为线段BD 中点，所以1C O BD ⊥，在1C CO △中，1122,CC CO AC ===，145C CO ∠=︒，所以222111112cos 22C C OC C O C CO C O C C OC+-∠==⇒=⨯⨯，则222111C C OC C O C O OC =+⇒⊥，又OC BD O = ，OC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1C O ⊥平面ABCD .【小问2详解】由题知正方形ABCD 中AC BD ⊥，1C O ⊥平面ABCD ，所以建系如图所示，则()())()(12,0,0,2,0,2,0,0,2,0,0,0,0,2B D A C C ，则112,0,2AA CC == ，()()2,2,0,2,2,0AB AD == ，设面1BAA 的法向量为()111,,m x y z = ，面1DAA 的法向量为()222,,x n y z = ，则()1111122001,1,10220z AA m m AB m ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⇒=-⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ ，()2212222001,1,10220x z AA n n AD m ⎧+=⋅=⎪⇒⇒=--⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩，设二面角1B AA D --大小为θ，则21122cos sin 1cos 3333m n m nθθθ⋅===⇒=-⨯⋅ ，所以二面角1B AA D --的正弦值为223.18.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于,D E 两点，其中,B D 在x 轴上方，,M N 分别为,AB DE 的中点．（1）证明：直线MN 过定点；（2）设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】【分析】（1）设出直线AB 与直线CD 的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线MN 后即可得定点坐标；（2）设出直线AE 与直线BD 的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G 的横坐标恒为1-，再结合面积公式及基本不等式即可得.【小问1详解】由2:4C y x =，故()1,0F ，由直线AB 与直线CD 垂直，故两只直线斜率都存在且不为0，设直线AB 、CD 分别为11x m y =+、21x m y =+，有121m m =-，()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y 、()44,D x y ，联立2:4C y x =与直线AB ，即有2141y x x m y ⎧=⎨=+⎩，消去x 可得21440y m y --=，2116160m ∆=+>，故1214y y m +=、124y y =-，则()2121112112111242x x m y m y m y y m +=+++=++=+，故2121212x x m +=+，12122y y m +=，即()21121,2M m m +，同理可得()22221,2N m m +，当22122121m m +≠+时，则()()2212112212122:12221MN m m l m m x m y m ---=++-+，即()()21212121212121112221212122m m m m x y x m m m m m m m m m m m m +-+=-+-=--++++1212212121212211212122m m m m x x m m m m m m m m m m =--=-+++-++-，由121m m =-，即()2121213121y x x m m m m m m -=++=-++，故3x =时，有()213013m m y -+==，此时MN 过定点，且该定点为()3,0，当22122121m m +=+时，即2212m m =时，由121m m =-，即11m =±时，有213:MN l x =+=，亦过定点()3,0，故直线MN 过定点，且该定点为()3,0；【小问2详解】由()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y 、()44,D x y ，则()311131:AE y y l y x x y x x -=-+-，由2114y x =、2224y x =，故22231113131112231313131313144444y y y y y y y y y x x y x y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫-+=-+=-+= ⎪+++++⎝⎭-，同理可得2442424:BD y y x l y y y y y =+++，联立两直线，即13313124424244y y x y y y y y y y x y y y y y ⎧=+⎪++⎪⎨⎪=+⎪++⎩，有13243131424244y y y y x x y y y y y y y y +=+++++，即()()()()42134231243144x y y y y y y x y y y y y y +++=+++，有()()()2431134242314y y y y y y y y x y y y y +-+=+--，由124y y =-，同理344y y =-，故()()()()243113422341241341234231423144y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y y y y +-++--==+--+--()()24134231414y y y y y y y y -+--==-+--，故1G x =-，过点G 作//GQ x 轴，交直线MN 于点Q ，则12M N Q G GMN S y y x x =-⨯- ，由()21121,2M m m +、()22221,2N m m +，故121122224M N y y m m m m -=-=+≥，当且仅当11m =±时，等号成立，下证4Q G x x -≥：由抛物线的对称性，不妨设10m >，则20m <，当11m >时，有()2111,0m m =-∈-，则点G 在x 轴上方，点Q 亦在x 轴上方，有21120111m m m m =>+-，由直线MN 过定点()3,0，此时()314Q G x x ->--=，同理，当11m <时，有点G 在x 轴下方，点Q 亦在x 轴下方，有2110m m <+，故此时4Q G x x ->，当且仅当11m =时，3Q x =，故4Q G x x -≥恒成立，且11m =±时，等号成立，故1144822MN M G N Q G S y y x x =-⨯-≥⨯⨯= ，【点睛】关键点睛：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点G 的横坐标恒为1-，此时可根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.19.离散对数在密码学中有重要的应用．设p 是素数，集合{}1,2,,1X p =- ，若,,u v X m ∈∈N ，记u v ⊗为uv 除以p 的余数，,m u ⊗为m u 除以p 的余数；设a X ∈，2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 两两不同，若{}(),0,1,,2n a b n p ⊗=∈- ，则称n 是以a 为底b 的离散对数，记为log()a n p b =．（1）若11,2p a ==，求1,p a -⊗；（2）对{}12,0,1,,2m m p ∈- ，记12m m ⊕为12m m +除以1p -的余数（当12m m +能被1p -整除时，120m m ⊕=）．证明：()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕，其中,b c X ∈；（3）已知log()a n p b =．对{},1,2,,2x X k p ∈∈- ，令,,12,k k y ay x b ⊗⊗==⊗．证明：()2,21n p x y y -⊗=⊗．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）第一问直接根据新定义来即可.（2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.（3）根据新定义进行转换即可得证.【小问1详解】若11,2p a ==，又注意到102102493111==⨯+，所以1,01,21p a -⊗⊗==.【小问2详解】当2p =时，此时{1}X =，此时1b c ==，1b c ⊗=，故()log()0,log()0,log()0a a a p b c p b p c ⊗===，此时()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.当2p >时，因2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 相异，故2a ≥，而a X ∈，故,a p 互质.设()12=log(),log(),=log()a a a n p b c n p b n p c⊗=记()12=log(),log(),=log()a a a n p b c n p b n p c ⊗=，则12,N m m ∃∈，使得1212,n n a pm b a pm c =+=+，故()()1212n n a pm b pm c +=++，故12(mod )n n a bc p +≡，设()121,02n n t p s s p +=-+≤≤-，则12n n s ⊕=，因为1,2,3,..1p -除以p 的余数两两相异，且(),2,3,..1a a a p a -除以p 的余数两两相异，故()()1!23,..1(mod )p a a a p a p ⎡⎤-≡⨯⨯⨯-⎣⎦，故11mod p a p -≡，故(mod )s a bc p ≡，而(mod )(mod ),n a b c p bc p ≡⊗=其中02n p ≤≤-，故s n =即()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.【小问3详解】当2b ≥时，由（2）可得11mod p b p -≡，若1b =，则11mod p b p -≡也成立.因为log()a n p b =，所以()mod na b p ≡.另一方面，()()()()()22,2,,,2121n p n p n p k k y y y y x b a --⊗-⊗⊗⊗⊗≡≡⊗()()()()()()()()112211mod mod k k kn p k p k k p xb a xb b x b x p x p -----≡≡≡≡≡.由于x X ∈，所以()2,21n p x y y -⊗=⊗.【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解.。

全国各地2022年数学高考真题及答案-(辽宁文)含详解2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=43πR3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合M=｛某|-3＜某＜1|,N={某|某≤-3},则M=N(A)(B){某|某≥-3}(C){某|某≥1}(D){某|某＜1|(2)若函数y=(某+1)(某-a)为偶函数，则a=(A)-2(B)-2(C)1(D)2(3)圆某2+y2=1与直线y=k某+2没有公共点的充要条件是(A)2,2(-∈k)(B)3,3(-∈k)(C)k),2()2,(+∞--∞∈(D)k),3()3,(+∞--∞∈(4)已知0＜a＜1,某=loga2loga3,y=,5log21az=loga3,则(A)某＞y＞z(B)z＞y＞某(C)y＞某＞z(D)z＞某＞y(5)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且2=,则顶点D的坐标为(A)(2,27)(B)(2,－21)(C)(3,2)(D)(1,3)(6)设P为曲线C:y=某2+2某+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为4,0π，则点P横坐标的取值范围为(A)--21,1(B)[-1,0](C)[0,1](D)1,21(7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(A)31(B)21(C)32(D)43(8)将函数y=2某+1的图象按向量a平移得到函数y=2某+1的图象，则(A)a=(-1,-1)(B)a=(1,-1)(C)a=(1,1)(D)a=(-1,1)(9)已知变量某、y满足约束条件≥+-≤--≤-+,01,013,01某y某y某y则z＝2某+y的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）函数23()某ye某+=-∞+∞的反函数是.（14）在体积为的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BCA、C两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC的距离为.（15）3621(1)()某某某++展开式中的常数项为.（16）设(0,)2某π∈，则函数22in1in2某y 某+=的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B,C，对边的边长分别是a,b,c.已知2,3cCπ== .（Ⅰ）若△ABCa,b;（Ⅱ）若in2inBA=，求△ABC的面积.（18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（i）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;（ii）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值;（Ⅲ）若12b=，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列，设(N某)nnnbcna=∈.（Ⅰ）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论;（Ⅱ）设数列{tnan},{lnbn}的前n项和分别为Sn,Tn.若12,,21nnSnaTn==+求数列{cn}的前n项和.(21)（本小题满分12分）在平面直角坐标系某Oy中，点P到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(Ⅰ)写出C的方程；(Ⅱ)设直线y=k某+1与C交于A、B两点.k为何值时OBOA⊥此时||的值是多少？(22)（本小题满分14分）设函数f(某)=a某3+b某2－3a2某+1(a、b∈R)在某=某1，某=某2处取得极值，且|某1－某2|=2.(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(某)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范围.2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB+=+2如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB=球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VR=n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率(012)kknknnPkCPpkn-=-=，，，，其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}31M某某=-<<，{}3N某某=-≤，则MN=（D）A．B．{}3某某-≥C．{}1某某≥D．{}1某某<解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。

1988年全国硕士研究生入学统一考试数学Ⅰ一、（每小题5，本题满分15分）（1）求幂级数133nnn x n的收敛域.（2）已知 2x f x e ， 1f x x，且 0x .求 x 并写出它的定义域.（3）设S 为曲面2221x y z 的外侧，计算曲面积分333SI x dydz y dzdx z dxdy.二、填空题：（本题满分12分，每小题3分）（1）若 21lim 1t xx f t t x，则 f t（2）设 f x 是周期为2的周期函数，它在区间 1,1 上定义为 32,10,01x f x x x ，则 f x 的傅里叶级数在1x 处收敛于.（3）设 f x 是连续函数，且31x f t dt x，则7f .（4）设4阶矩阵 234,,,A ， 234,,,B ，其中，234,,,, 均为4维列向量，且已知行列式4A ，1B ，则行列式A B.三、选择题（每小题3分，满分15分）（1）若函数 y f x 有 012f x ，则当0x 时，该函数在0x x 处的微分dy 是（ ）（A ）与x 等价的无穷小 （B ）与x 同阶的无穷小 （C ）比x 低阶的无穷小 （D ）比x 高阶的无穷小（2）设()y f x 是方程240y y y 的一个解，若()0f x ，且0()0f x ，则函数()f x 在点0x （A ）取得极大值（B ）取得极小值（C ）某个邻域内单调增加（D ）某个邻域内单调减少（3）设有空间区域22221:,0x y z R z 及22222:x y z R ，0,0,0x y z ，则（ ） （A ）124xdv xdv（B ）124ydv ydv（C ）124zdv zdv（D ）124xyzdv xyzdv（4）若11nn n a x在1x 处收敛，则此级数在2x 处（ ）（A ）条件收敛 （B ） 绝对收敛（C ）发散（D ）收敛性不能确定（5）n 维向量组 12,,,3s s n 线性无关的充分必要条件是（ ）（A ）有一组不全为0的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k （B ）12,,,s 中任意两个向量都线性无关（C ）12,,,s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出 （D ）12,,,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出四、（本题满分6分）设x y u yf xg y x，其中,f g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y .五、（本题满分8分）设函数 y y x 满足微分方程322x y y y e ，且图形在点 0,1处的切线与曲线21y x x 在该点的切线重合，求函数 y y x .六、（本题满分9分）设位于点 0,1的质点A 对质点M 的引力大小为2kr 0k 为常数，r 为质点A 与M 之间的距离），质点M 沿曲线y 2,0B 运动到 0,0O .求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所做的功.七、（本题满分6分）已知AP PB ，其中100000001B ，100210211P，求A 及5A .八、（本题满分8分）已知矩阵20000101A x与2000001B y相似，（1）求x 与y ，（2）求一个满足1P AP B 的可逆矩阵P .九、（本题满分9分）设函数 f x 在区间 ,a b 上连续，且在 ,a b 内有 0f x .证明：在 ,a b 内存在唯一的 ，使曲线 y f x 与两直线 y f ，x a 所围平面图形面积1S 是曲线y f x 与两直线 y f ，x b 所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题（每小题2分，满分6分）（1）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为（2）在区间 0,1中随机地取两个数，则事件“两数之和小于65”概率为（3）设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知22u xx du， 2.50.9938 ，则X 落在区间 9.95,10.05内的概率为十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21()1X f x x，求随机变量1Y 的概率密度函数()Y f y .一、（本题满分15分，每小题5分） （1）【同数学Ⅰ第一（1）题】 （2）【同数学Ⅰ第一（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第一（3）题】二、填空题（本题满分12分，每小题3分） （1）【同数学Ⅰ第二（1）题】 （2）【同数学Ⅰ第二（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第二（3）题】 （4）【同数学Ⅰ第二（4）题】三、选择题（本题满分15分，每小题3分） （1）【同数学Ⅰ第三（1）题】（2）【同数学Ⅰ第三（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第三（3）题】 （4）【同数学Ⅰ第三（4）题】 （5）【同数学Ⅰ第三（5）题】四、（本题满分18分，每小题6分） （1）【同数学Ⅰ第四题】 （2）计算2421222xxxdx dy dx dyyy（3）求椭球面2222321x y z 上某点M 处的切平面 的方程，使平面 过已知直线6321:212x y z l .五、（本题满分 8 分）【同数学Ⅰ第五题】六、（本题满分 9 分）【同数学Ⅰ第六题】 七、（本题满分 6 分）【同数学Ⅰ第七题】 八、（本题满分 8 分）【同数学Ⅰ第八题】九、（本题满分 9 分）【同数学Ⅰ第九题】一、填空题（每小题4分，满分20分）（1）若 sin cos ,02,0x e x x x f x x a x 是 , 上的连续函数，则a（2）【同数学Ⅰ第二（1）题】 （3）【同数学Ⅰ第二（3）题】 （4）0lim tanxx（5）4二、选择题（每小题4分，满分20分）（1）3211()6132f x x x x 的图形在点 0,1处切线与x 轴交点的坐标是（ ）（A ）1,06（B ） 1,0 （C ）1,06（D ）1,0（2）若()f x 与()g x 在 , 上皆可导，且()()f x g x ，则必有（ ）（A ）()()f x g x （B ）()()f x g x （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x （D ）()()xxf t dtg t dt（3）【同数学Ⅰ第二（1）题】（4）曲线 32sin ,0y x x 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所形成的旋转体体积是（ ） （A ）43（B ）43（C ）223（D ）23（5）【同数学Ⅰ第三（5）题】 三、（本题满分15分，每小题5分） （1）【同数学Ⅰ第一（2）题】（2）已知1xy y xe ，求0y x 及0y x （3）求微分方程2111y y x x x的通解（一般解）. 四、（本题满分12分） 作函数2624y x x 的图形，并填写下表.单调增区间单调减区间极值点极值凹 区间凸 区间拐 点渐近线五、（本题满分8分）将长为a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六、（本题满分10分）【同数学Ⅰ第五题（分值不同）】 七、（本题满分7分） 设1x ，求11||xt dt .八、（本题满分8分）设 f x 在 , 上有连续导数，且 m f x M .（1）求 201lim4aaa f t a f t a dt a；（2）证明1,02aa f t dt f x M m a a.数学Ⅳ一、填空题（本题满分12分，每空1分）（一）已知函数 212xt f x edt，x（1） f x （2） f x 的单调性：（3） f x 的奇偶性：（4） f x 图形的拐点：（5） f x 图形的凹凸性：（6） f x 图形的水平渐近线：（二）1110110110110111（三）10001001001001000（四）假设 0.4P A ， 0.7P A B ，那么（1）若A 与B 互不相容，则 P B （2）若A 与B 相互独立，则 P B二、判断题（本题满分10分，每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分）（1）若极限 0lim x x f x 与 0lim x x f x g x 都存在，则极限 0lim x x g x 必存在.（ ）（2）若0x 是函数 f x 的极值点，则必有 0f x .（ ）（3）等式aaf x dx f a x dx，对任何实数a 都成立.（ ）（4）若A 和B 都是n 阶非零方阵，且0AB ，则A 的秩必小于n .（ ） （5）若事件A ，B ，C 满足等式A B B C ，则A B .（ ）三、计算下列各题（每小题4分，满分16分）（1）求极限 11limln x x x x x （2）已知uu e xy ，求2ux y.（3）求定积分3（4）求二重积分66cos yxdy dx x四、（本题满分6分，每小题3分）（1）讨论级数111!n n n n的敛散性（2）已知级数21nn a与2ii nb都收敛，试证明级数1n nn a b绝对收敛.五、（本题满分6分）已知某商品的需求量D 和供给量S 都是价格P 的函数： 2aD D p p， S S p bp ，其中0a 和0b 是常数；价格P 是时间t 的函数且满足方程 dpk d p s p dt，（k 是常数），假设当0t 时价格为1，试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格e P ； （2）价格函数 P t ；（3）极限lim t P t六、（本题满分8分）在曲线 2,0y x x 上某点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程：（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.七、（本题满分8分）已给线性方程组123412341213412342231363315351012x x x x x x x x x x k x x x x x x k，问1k 和2k 各取何值时，方程组无解？有唯一解？无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.八、（本题满分7分）已知向量组 12,,,2s a a a s 线性无关，设112a a ，223a a ，…，11s s s a a ，1s s a a ，讨论向量组12,,,s 的线性相关性.九、（本题满分6分）设A 是三阶方阵，A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式12A，求行列式 132A A 的值. 十、（本题满分6分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率是0.8,0.1,0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察4只，若无残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 .十一、（本题满分6分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X 的概率分布；（2）利用棣莫佛拉普拉斯定理.求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. （附：(2.5)0.994,(1.5)0.993 ）十二、（本题满分6分）假设随机变量X 在区间 1,2上服从均匀分布.试求随机变量2x Y e 的概率密度 f y .数学Ⅴ一、【同数学Ⅳ第一题】 二、【同数学Ⅳ第二题】三、（每小题４分，满分16分）（１）求极限21lim 1tan 2x xx （２）已知xyu e ，求2ux y（３）【同数学Ⅳ第三（3）题】 （４）【同数学Ⅳ第三（4）题】 四、（本题满分6分）确定常数a 和b ，使函数 2,1,1ax b x f x x x处处可导.五、（本题满分8分）【同数学Ⅲ第五题】 六、（本题满分8分）【同数学Ⅳ第六题】 七、（本题满分8分）【同数学Ⅳ第七题】 八、（本题满分6分）已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2320A A E ,E 是单位矩阵.证明A 可逆并求出其逆矩阵1A .九、（本题满分7分）【同数学Ⅳ第八题】十、（本题满分7分）【同数学Ⅳ第十题】 十一、（本题满分7分） 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只：若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望与方差.十二、（本题满分5分）【同数学Ⅳ第十二题】1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一．(本题满分15分，每小题5分)(1) 求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域. 解：因11(3)1(1)3lim lim 33,(3)3(1)33n n n n n nx n n x x x n n ++→∞→∞-+⋅=-=--+⋅故131063x x -<<<即时，幂级数收敛.……3分当0x =时，原级数成为交错级数11(1)nn n∞=-∑，是收敛的. ……4分 当6x =时，原级数成为调和级数11n n ∞=∑，是发散的.……5分所以，所求的收敛域为[)0,6.(2) 已知f(x)= e2x ,f []()x ϕ=1-x,且 ϕ(x)≥0.求 ϕ(x)并写出它的定义域.解：由2[()]1x e x ϕ=-，得()x ϕ=.……3分 由ln(1)0x -≥，得11x -≥即0x ≤. ……5分所以()x ϕ=，其定义域为(,0).-∞(3)设S 为曲面1222=++z y x 的外侧，计算曲面积分⎰⎰++=sdxdy z dxdx y dydz x I 333. 解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有2223()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰（其中Ω是由S 所围成的区域）……2分 212203d sin d r r dr ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰……4分 125π=.……5分二、填空题：(本题满分12分，每小题3分) (1) 若f(t)=∞→x lim t tx x2)11(+，则()f t '=2(21)tt e +(2) 设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(]1,1-上的定f(x)= {1,210,3≤<-≤<x x x ,则f(x)的付立叶级数在x=1处收敛于23.(3) 设f(x)是连续函数，且⎰-=13,)(x x dt t f 则f(7)=112.(4) 设4*4矩阵A=),(4,3,2γγγα，B=),(4,3,2γγγβ，其中，4,32,,,γγγβα均为4维列向量， 且已知行列式 ,1,4==B A 则行列式B A +=.40.三、选择题 ( 本题满分15分，每小题3分)(1) 若函数y=f(x)有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函x=0x 处的微分dy 是 (B) (A) 与x ∆等价的无穷小 (B) 与x ∆同阶的无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小(2) 设()y f x =是方程042=+'-''y y y 的一个解，若()0f x >，且0)(0='x f ，则函数()f x 在点0x (A)(A) 取得极大值(B) 取得极小值(C) 某个邻域内单调增加(D) 某个邻域内单调减少(3) 设有空间区域 22221:R z y x ≤++Ω,;0≥z 及22222:R z y x ≤++Ω,,0,0,0≥≥≥z y x 则 (C)(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv(B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydv ydv(C) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv zdv(D) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdv xyzdv(4) 若nn n x a )1(1-∑∞=在x=-1处收敛，则此级数在x=2处(B)(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛(C) 发散 (D) 收敛性不能确定(5) n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是(D)(A) 有一组不全为0的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k ααα+++≠ .(B) 12,,,s ααα 中任意两个向量都线性无关.(C) 12,,,s ααα 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D)12,,,s ααα 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四．(本题满分6分)设)()(xyxg y x yf u +=，其中f,g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y ∂∂+∂∂∂.解：.u x y y y f g g x y x x x ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分 22231.u x y y f g x y y x x ⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ ……3分 222.u xx y y f g x y y y xx ⎛⎫∂⎛⎫''''=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ……5分 所以2220u ux y x x y∂∂⋅+⋅=∂∂∂.……6分五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程,223x e y y y =+'-''且图形在点(0，1)处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合，求函数).(x y y =解：对应齐次方程的通解为212x x Y C e C e =+.……2分 设原方程的特解为*,x y Axe = ……3分 得2A =-.……4分 故原方程通解为2212()2x x x y x C e C e xe =+-.……5分 又已知有公共切线得00|1,|1x x y y =='==-，……7分 即12121,21c c c c +=⎧⎨+=⎩解得121,0c c ==. ……8分所以2(12).x y x e =-六、(本题满分9分)设位于点(0，1)的质点A 对质点M 的引力大小为2r k(k>0为常数，r 为质点A 与M 之间的距离—)，质点M 沿曲线22x x y -=自B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A 对质M 点的引力所做的功.解：{0,1}MA x y =--……2分r =因引力f的方向与MA 一致，故3{,1}k f x y r =--.……4分从而 3[(1)]BO kW xdx y dy r=-+-⎰ ……6分(1k =⋅.……9分七、(本题满分6分)已知PB AP =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B 求A 及5A .解：先求出1100210411P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. ……2分因PB AP =，故1100100100210000210211001411A PBP -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪==-- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100200210200201411611⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……4分从而555111511A AAAAA PBP PBP PBP PB P PBP A -----===个个（）()()==. ……6分八、(本题满分8分)已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，(1) 求x 与y ； (2) 求一个满足B AP P =-1的可逆矩阵P .解：(1) 因A 与B 相似，故||||λλ-=-E A E B ，即……1分20020001000101yx λλλλλλ---=---+，亦即22(2)(1)(2)((1))x y y λλλλλλ---=-+--.比较两边的系数得0,1x y ==.此时200001010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，200010001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……3分 (2) 从B 可以看出A 的特征值2,1,1λ=-. ……4分对2λ=，可求得A 的特征向量为1100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=，可求得A 的特征向量为2011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=-，可求得A 的特征向量为3011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……7分因上述123,,p p p 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令123100(,,)011011p p p ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则P 可逆，且有B AP P =-1.……8分九、(本题满分9分)设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，且在),(b a 内有0)(>'x f .证明：在),(b a 内存在唯一的ξ，使曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积1s 是曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积2s 的3倍.证：存在性 在[,]a b 上任取一点t ，令⎰⎰---=btt adx t f x f dx x f t f t F )]()([3)]()([)(()()()3()()()t ba t f t t a f t dx f x dx f tb t ⎡⎤⎡⎤=-----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰…3分 则()F t 在[,]a b 上连续.又因0)(>'x f ,故()f x 在[,]a b 上是单调增加的. 于是在(,)a b 内取定点c ，有()3[()()]3[()()]3[()()]bcbaacF a f x f a dx f x f a dx f x f a dx=--=----⎰⎰⎰[]113[()()]3()()()0,bcf x f a dx f f a b c c b ξξ≤--=---<≤≤⎰..()[()()][()()][()()]bcbaacF b f b f x dx f b f x dx f b f x dx=-=-+-⎰⎰⎰[()()]caf b f x dx ≥-⎰[]22()()()0,f b f c a a c ξξ=-->≤≤.……5分 所以由介值定理知，在(,)a b 内存在ξ,使0)(=ξF ，即.321S S =……6分 唯一性 因()()[()3()]0F t f t t a b t ''=-+->，……8分 故)(t F 在(,)a b 内是单调增加的.因此，在(,)a b 内只有一个ξ, 使.321S S =……9分十、填空题(共6分，每个2分)(1) 设三次独立实验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为13.(2) 在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为1725.(3) 设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知)(x Φ=du e u x 2221-∞-⎰π，9938.0)5.2(=Φ，则X 落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度函数为)1(1)(2x x f x +=π，求随机变量31X Y -=的概率密度函数)(y f Y .解：因Y 的分布函数()()Y F y P Y y =<……1分3{1}1}{(1)}P y P y P X y ==>-=>-……2分 333(1)(1)211arctan ar (ctan(11))2y y dx x y x ππππ+∞+∞--⎡⎤===--⎢⎥+⎣⎦⎛⎜⎠. ……4分故Y 的概率密度函数为)(y f Y 363(1)()1(1)Y dy F y dyy π-==+-. ……6分数 学（试卷二）一．(本题满分15分，每小题5分) (1) 【 同数学一 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第一、(3) 题 】二、填空题：(本题满分12分，每小题3分) (1) 【 同数学一 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】三、选择题(本题满分15分，每小题3分) (1) 【 同数学一 第三、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第三、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第三、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第三、(4) 题 】 (5) 【 同数学一 第三、(5) 题 】四．(本题满分18分，每小题6分) (1) 【 同数学一 第四题 】 (2) 计算dy yxdx dy y xdx x xx⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinππ.解：dy yx dx dy y x dx x x x ⎰⎰⎰⎰+422212sin 2sin ππ221sin2y y xdy dx y π=⎰⎰……3分 212cos cos 22y y dy πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰.……4分 33284cos ()(2)2y t tdt t ππππππ=-==+⎰令. (6)分(3) 求椭球面2132222=++z y x 上某点M 处的切平面π的方程，使平面π过已知直线2121326:--=-=-z y x l . 解：令222(,,)2321,F x y z x y z =++-则2,4,6.x y z F x F y F z ===椭球面在点000(,,)M x y z 处的切平面π的方程为0000002()4()6()0x x x y y y z z z -+-+-=,即0002321x x y y z z ++=.……2分 因为平面π过直线L ，故L 上的任两点，比如点17(6,3,)(0,0,)22A 、B 应满足π的方程，代入有000366212x y z ++= (1)02z = (2)又因 2220002321,x y z ++= (3)于是有0000003,0,21,2,2x y z x y z ======及.……4分 故所求切平面π的方程为274+621x z x y z +=+=和.……6分五、（本题满分8分）【 同数学一 第五题 】 六、（本题满分9分）【 同数学一 第六题 】 七、（本题满分6分）【 同数学一 第七题 】 八、（本题满分8分）【 同数学一 第八题 】 九、（本题满分9分）【 同数学一 第九题 】数 学（试卷三）一、填空题 (本题满分20分，每小题4分)(1) 若⎩⎨⎧≤+>+=0,20),cos (sin )(2x x x x x e x f α是),(∞-∞上的连续函数，则=α1.(2) 【 同数学一 第二、（1）题 】 (3) 【 同数学一 第二、（3）题 】 (4)0tgxx →+=1.(5)4=⎰22(1)e +二、选择题 (本题满分20分，每小题4分)(1) 162131)(23+++=x x x x f 的图形在点（0，1）处切线与x 轴交点的坐标是 (A)(A) 1(,0)6- (B) (1,0)-(C) 1(,0)6- (D) (1,0)(2) 若)(x f 与)(x g 在),(∞-∞上皆可导，且)(x f 〈)(x g ，则必有(C)(A) ()()f x g x ->-(B) ()()f x g x ''< (C) 0lim ()lim ()x x x x f x g x →→<(D)()()Xxf t dtg t dt<⎰⎰(3) 【 同数学一 第二（1）题 】(4) 曲线)0(sin 23π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所形成的旋转(B)(A)43(B)43π (C)223π(D)23π【B 】(5) 【 同数学一 第三（5）题 】三、(本题满分15分，每小题5分) (1) 【 同数学一第一、（2）题 】(2) 已知xy xe y +=1，求0='x y 及0=''x y . 解： 显然0x =时，1y =.……1分 2()(1)xy xy xy y xe xy y e e x y xy '''=++=++.……2分 因此001x y e ='==；……3分而22(2)(1)(1)xy xy y e x y xy xy y e x y xy xy ''''''''=+++++++，……4分 即得000|2x y e e =''=+=.……5分(3) 求微分方程)1(112+=+'x x y x y 的通解（一般解）. 解：1121(1)dx dx x xy e e dx C x x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎣⎦⎰……3分 2111dx C x x ⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦⎰……4分 []1arctan x C x=+，其中C 是任意常数. ……5分四、(本题满分12分) 作函数4262+-=x x y 的图形，并填写下表其图形为：五、(本题满分8分)将长为a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？解： 设圆形的周长为x ，则正方形的周长为a x -，而两面积之和为222244216816a x x a a A x x ππππ-+⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……3分 4088a A x ππ+'=- （令），得4a x ππ=+. ……5分 408A ππ+''=>.……7分 故当圆的周长为4a x ππ=+时，正方形的周长为44aa x π-=+时，A 之值最小.……8分六、(本题满分10分)【 同数学一 第五题（分值不同）】 七、(本题满分7分) 设1-≥x ，求dt t x)1(1⎰--.解：当10x -≤<时，11(1||)(1)xxt dt t dt---=+⎰⎰……1分 211(1)2xt -=+……2分 21(1)2x =+. ……3分当0x ≥时，011(1||)(1)(1)xxt dt t dt t dt---=++-⎰⎰⎰……5分 211(1)2x =--.……7分八、(本题满分8分)设)(x f 在),(∞-∞上有连续导数，且M x f m ≤≤)(. (1) 求[]dt a t f a t f a aaa ⎰-+→--+)()(41lim20； (2) 证m M x f dt t f aaa -≤-⎰-)()(21)0(>a . 解：(1) 由积分中值定理和微分中值定理有201lim [()()]4aaa f t a f t a dt a +-→+--⎰01lim [()()]2a f a f a aξξ+→=+--()a a ξ≤≤ ……2分 ****0lim ()lim ()(22)a f f a a a a ξξξξξξ+→→''==-≤-<<+≤=(0)f '. ……4分 (2) 证：由()f x 的有界性及积分估值定理有……5分 1()2aam f t dt M a -≤≤⎰,……6分 又 ()M f x m -≤-≤-，……7分故有 1()()()2aa M m f t dt f x M m a ---≤-≤-⎰， 即1()()2aa f t dt f x M m a--≤-⎰. ……8分数 学（试卷四）一、填空题（本题满分12分，每空1分） (一) 已知函数∞<<-∞=⎰-x dt ex f xt ,)(0212.（1）=')(x f 221t e-.（2）)(x f 的单调性： 单调增加 . （3）)(x f 的奇偶性： 奇函数 . （4）)(x f 图形的拐点：（0，0） （5）)(x f 图形的凹凸性：0x <时上凹（下凸）,0x >时下凹（上凸）. （6）)(x f图形的水平渐近线近线：y y ==(二)=11101101101101113-.(三) =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10001001001001000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000. (四) 假设()0.4()0.7P A P A B == ，，那么（1）若A 与B 互不相容，则P （B ）=0.3. （2）若A 与B 相互独立，则P （B ）=0.5.二、（本题满分10分）（每小题，回答正确得2分，回答错误得-1分，不回答得0分；全题最低得0分）（1）若极限)(lim 0x f x x →与)(lim 0x f x x →)(x g 都存在，则极限)(lim 0x g x x →必存在.（⨯） （2）若0x 是函数)(x f 的极值点，则必有0)(0='x f . （⨯） （3）等式⎰⎰--=aadx x a f dx x f 0,)()(对任何实数a 都成立.（⨯） （4）若A 和B 都是n 阶非零方阵，且AB=0，则A 的秩必小于n .（√）（5）若事件A ，B ，C 满足等式,A C B C ⋃=⋃ 则 A=B. （⨯）三、（本题满分16分，每小题4分.）(1) 求极限 11limln x x x x x→-解一： 此极限为0型未定式，由罗必塔法则，则11(ln 1)=lim lim 1ln 1x x x x x x x x →→+==+原式.……4分 解二： 令ln t x x =，则x tx e =.由于当1x →时，0t →，可见001=lim lim 1t t t t e e t→→-==原式.……4分 (2) 已知Ｕ＋xy e u=，求yx u ∂∂∂2.解：由于11u uu y u xx e y e∂∂==∂+∂+，， ……2分 可见221(1)u u u u e yeu u y x y y x e ∂+-∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂+⎝⎭……3分 311(1)uu u xye e e =-++. ……4分 (3) 求定积分)1(30x x dx+⎰.解一：2d =，可见原式0=⎛⎜⎠……2分23π=. ……4分 解二：2,2t x t dx tdt ===，；当0x =时，0t =；当3x =时，t =；……1分于是，22=1dt t +原式……2分2arctan =……3分23π=. ……4分(4) 求二重积分66cos yxdy dx xππ⎰⎰. 解： 在原式中交换积分次序，得 原式60cos xxdx dy xπ=⎰⎰……2分60=cos xdx π⎰601=sin 2x π=……4分.四、（本题满分６分，每小题３分） (1) 讨论级数∑∞=++11)!1(n n n n 的敛散性 解：由111211(2)!(2)211(1)(1)11(1)!(1)n n n n n n n u n n n n n u n n n n n n+++++++++=⋅=⋅=++++++⋅，有 11lim lim 21111(11)n n n n n n eu u n n+→∞→∞++=+=+<⋅， ……2分故由级数收敛的比值判别法，知∑∞=++11)!1(n n n n 收敛. ……3分(2) 已知级数∑∞=12n a和2ii nb∞=∑都收敛，试证明级数∑∞=1n nn ba 绝对收敛.证： 由于级数∑∞=12n a 和2ii n b ∞=∑都收敛，所以2211()2i i n a b ∞=+∑收敛. ……2分而221()2n n n n a b a b ≤+， 故由比较判别法，知级数1||n nn a b∞=∑收敛，即∑∞=1n n n b a 绝对收敛.……3分五、（本题满分8分）已知某商品的需求量Ｄ和供给量都是价Ｐ的函数：2()aD D p p ==，()S S p bp ==，其中a>0和b>0是常数：价格p 是时间t 的函数且满足方程()],()([p s p d k dtdp-=k 是常数），假设当t=0时价格为1.试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格e P ； （2）价格函数)(t p ； （3）极限)(lim t p t ∞→.解：(1) 当需求量等于供给量时，有2a bp p =，即3a p b=. 故13()e a p b =.……1分(2) 由条件知322[()()][][]dp a b ak D p S p k bp k p dt p p b=-=-=-.因此有332[]e dp b k p p dt p=-，即233e p dp kbdt p p =--. ……3分 在该式两边同时积分得333kbt e p p ce -=+.……5分故由条件(0)1P =，可得31e c p=-.于是价格函数为13333()[(1)]kbt e ep t p p e-=+-. ……6分(3) 13333lim ()lim[(1)]kbt e e et t p t p p ep-→∞→∞=+-=……8分六、（本题满分8分）在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112，试求： (1) 切点A 的坐标； (2) 过切点A 的切线方程；(3) 由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.解：设切点A 的坐标为2(,)a a ，则过点A 的切线方程的斜率为|2x a y a ='=，切线方程为22()y a a x a -=-，即22y ax a =-.……2分可见，切线与x 轴的交点为2(,0)2a . 故曲线、x 轴以上及切线这三者所围图形的面积为33332043412a a a a a S x dx =-=-=⎰.……4分 而由题设知112S =，因此1a =. ……5分于是，切点A 的坐标为(1,1)，过切点(1,1)的切线方程为21y x =-. ……6分旋转体的体积为11222102()(21)30V x dx x dx πππ=--=⎰⎰. ……8分七、（本题满分8分）已给线性方程组1234123412341234231231231231x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩，问1k 和2k 各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.解： 以A 表示方程组的系数矩阵，以(|)A B 表示增广矩阵，因121112331361(|)33115151012k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A B 1211123101214002250003k k ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪-+ ⎪ ⎪+⎝⎭……2分故当12k ≠时，()(|)4R R ==A A B ，方程组有唯一解；……3分当12k =时，有2211112311231101210121(|)42000200015100030000k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B ……4分这时，若21k ≠，则()3(|)4R R =<=A A B ，故方程组无解；若21k =，则()(|)34R R ==<A A B ，故方程组有无穷多组解，此时有 ……6分112311004010008012110121101203(|)000120001200012000000000000000⎛⎫⎛⎫⎛-⎫⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B ……7分相应的方程组为12348;322.x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，取3x c =（c 为任意常数），得方程组的一般解：12348,32,,2x x c x c x =-=-==.……8分综上所述：当12k ≠时，方程组有唯一解；当12k =而21k ≠时，方程组无解；当12k =且21k =时，方程组有无穷多组解，其一般解为12348,32,,2x x c x c x =-=-==，其中c 为任意常数.八、（本题满分7分）已知向量组1,2,,s a a a （S ≥2）线性无关，设11222311,,,,s s s s a a a a a a a ββββ-=+=++=+ ，讨论向量组12,,,s βββ 的线性相关性.解：假设12,,,s k k k 是一数组，满足条件11220s s k k k βββ+++= ……1分那么，有111221()()()0s s s s k k k k k k ααα-++++++= .由于,,2,1s a a a 线性无关，故有1122310000s s s k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ （*）……3分此方程组的系数行列式为s 阶行列式：110001112,1(1)011000,011s D +⎧==+-=⎨⎩若s 为奇数若s 为偶数……5分若s 为奇数，则20D =≠，故方程组（*）只有零解，即12,,,s k k k 必全为0.这时，向量组12,,,s βββ 线性无关.若s 为偶数，则0D =，故方程组（*）有非零解，即存在不全为0的数组12,,,s k k k ， 使11220s s k k k βββ+++= .这时，向量组12,,,s βββ 线性相关,……7分九、（本题满分6分）设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式.21=A 求行列式*--A A 2)3(1的值. 解： 因 111(3)3--=A A ， ……2分 故 *111||2--=⋅=A A A A ， ……3分 所以 311111122(3)2||||333A A -*----⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭A A A A……5分 1627=-.……6分十、（本题满分7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率是8.0，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察4只，若无残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求：(1) 顾客买下该箱的概率α； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率β. 解：设i B ＝｛箱中恰有i 件残品次品｝（0,1,2i =），A ＝｛顾客买下所察看的一箱｝.……1分由题意知012()0.8,()0.1,()0.1P B P B P B ===；419014204(|)1,(|)5C P A B P A B C ===；418242012(|)19C P A B C ==.……3分(1) 由全概率公式20.4 1.2()()(|)0.80.94519i i i P A P B P A B α====++≈∑； ……5分 (2) 由贝叶斯公式000()(|)0.8(|)0.85()0.94P B P A B P B A P A β==≈≈.……7分 十一、（本题满分6分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1) 写出X 的概率分布；(2) 利用棣莫佛拉普拉斯定理，求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 解：(1) X 服从二项分布，参数100,0.2n p ==，其概率分布为100100{}0.20.8(0,1,100)kk kP X k C k -=== .……2分 (2) 由(,)X B n p 知，20,(1)16EX np DX np p ===-=,……4分故根据棣莫佛－拉普拉斯定理，有{1430}P X P ≤≤=≤≤201.5 2.54X P -⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ……5分 (2.5)( 1.5)(2.5)[1(1.5)]≈Φ-Φ-=Φ--Φ0.994[10.933]0.927=--=. ……6分十二、（本题满分6分）假设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量xe Y 2=的概率密度f(y).解：由条件知，X 的密度函数为1,12()0,x p x <<⎧=⎨⎩若其他……1分记(){}F y P Y y =≤为Y 的分布函数，则有21ln 242140,2(),31,4yy e F y dx e y e y e ⎧≤⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩⎰若……分若……分若……分因此22440,1()(),20,y e f y F y e y e yy e⎧<⎪⎪'==<<⎨⎪⎪>⎩若若若于是（当24,y e e =时，补充定义()0f y =），得2441,2()0e y eyf y y e ⎧<<⎪=⎨⎪>⎩若若. ……6分数 学（试卷五）一、 【 同数学四 第一题 】 二、 【 同数学四 第二题 】 三、（本题满分16分，每小题4分.） (1) 求极限x tgx x 2)1(lim 21π-→.解：211lim cot2x xxπ→-=原式……1分212limsin 22x x x ππ→-=⋅-……3分4π=. ……4分(2) 已知x yu e =，求yx u∂∂∂2. 解： 1xyu e x y∂=∂，……1分22211xxy y u x e e x y y y y ⎛⎫∂=-+- ⎪∂∂⎝⎭……3分3.xy x ye y+=-……4分(3) 【 同数学四 第三、（3）题 】 (4) 【 同数学四 第三、（4）题 】四、（本题满分6分）确定常数a 和b ，使函数2,1(),1ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩，处处可导.解：当1x ≠时，显然()f x 可导；……1分为使1x =时，导数()f x '存在，()f x 在1x =处必须连续， 故有(10)(10)(1)f f f +=-=，……2分由此可得1a b +=.……3分 又由(10),(10)2,f a f ''+=-=……4分 以及()f x 在1x =处的可导性，有(10)(10)f f ''+=-.由此得2a =， ……5分 从而1b =-.……6分五、（本题满分8分.）【 同数学三 第五题 】 六、（本题满分8分.）【 同数学四 第六题 】 七、（本题满分8分.）【 同数学四 第七题 】 八、（本题满分6分.）已知n 阶方阵A 满足矩阵方程0232=--E A A ，其中A 给定，而E 是单位矩阵. 证明A 可逆，并求出其逆矩阵1-A .解一：由2320--=A A E ，可见232-=A A E ，(3)2-=A A E E .在上式两端同取行列式，得|(3)||2|-=A A E E ；|||(3)||2|20n ⋅-==≠A A E E ……3分由此可见||0≠A ，从而A 可逆. ……4分 在(3)2-=A A E E 两端同时左乘112-A ，得11(3)2-=-A A E . ……6分解二：由2320--=A A E ，可见232-=A A E . 从而有1(3)2⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦A A E E 及1(3)2⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦A E A E .……3分 记1(3)2B =-A E ，则==AB BA E . 由逆矩阵的定义知A 可逆，且B 是A 的逆矩阵：11(3)2-==-A B A E .……6分 九、（本题满分7分.）【 同数学四 第八题 】 十、（本题满分7分.）【 同数学四 第十题 】 十一、（本题满分7分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则倒掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望和方差.解： 以X 表示在取到正品前已取出的废品数. 知X 是一随机变量，其有3个可能的取值：0,1,2.……1分（1）分布：8{0}0.810P X ===；288{1}10945P X ==⋅=； 2181{2}109845P X ==⋅⋅=.……4分 （2）数学期望：81200.81245459EX =⨯+⨯+⨯=.……5分 （3）方差：222281400.812454515EX =⨯+⨯+⨯=，……6分 2288()405DX EX EX =-=. ……7分十二、（本题满分5分.）【 同数学四 第十二题 分值不同 】。

绝密★启用前 全国卷Ⅰ2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ． D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2008年高考理科数学试题及答案(全国卷2)绝密★启用前 【考试时间：6月7日 15:00—17:00】2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k nP k (1－P)n －k本卷12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一．选择题（1）设集合}23{<<-∈=m Z m M ,}31{≤≤-∈=n Z n N ,则=⋂N MA ．}1,0{ B. }1,0,1{- C. }2,1,0{ D }2,1,0,1{- (2)设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数3bi)(a +是实数，则A ． 223a b= B. 223b a= C. 229a b= D.229b a=(3)函数x xx f -=1)(的图像关于 A ． y 轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x (4)若)1,(1-∈ex ，x ln =a ,x ln 2=b ,x 3ln =c ,则球的表面积公式S=42R π 其中R 表示球的半径， 球的体积公式 V=334R π，A ．c b a << B. b a c << C. c a b << D. a c b << （5）设变量x,y 满足约束条件：2,22,-≥≤+≥x y x x y 则y x z 3-=的最小值为：A ．-2 B.-4 C. -6 D.-8（6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为A ．299 B. 2910 C. 2919 D. 2920（7）()()4611x x +-的展开式中x 的系数是A ．-4 B.-3 C.3 D.4（8）若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为A ．1 B. 2 C. 3 D.2 （9）设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．)2,2(B. )5,2(C. )5,2(D. )5,2(（10）已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为A ． 31 B. 32C. 33D. 32 （11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和47=--y x ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A ．3 B. 2 C. 31- D. 21- （12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于A ．1 B. 2 C. 3 D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

全国统一标准测试数学试验(二)（试验修订教材版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷 (选择题共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式： si n α+si n β＝2si n2βα+c os2βα- si n α－si n β＝2c os2βα+si n2βα-c os α+c os β＝2c os 2βα+c os 2βα- c os α－c os β＝－2si n 2βα+si n 2βα-一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知M ={x |x =3k ,k ∈Z },P ={x |x =3k +1,k ∈Z },Q ={x |x =3k －1,k ∈Z },若a ∈M ,b ∈P ,c ∈Q ,则a +b －cA.MB. PC. QD. M ∪P2.设函数f (x )=x +x1,则过点（2，25A.45 B.43 C.2529 D.25213.设一组数据的方差是S 2，将这组数据的每个数据都乘以5，所得到的一组新数据的方A.51 S 2 B. 251S 2 C.5S 2 D.25S 2 4.函数f (x )=|x －1|+|x －2|+|x －3|A.0B.1C.2D.3 5.已知等差数列前n 项和为S n ，若S 15<0,S 14>0, A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 6.若一个圆的圆心在抛物线y 2=4x 的焦点处，且此圆与直线x +y +1=0相切，则这个圆的方程是A.x 2+y 2－2x －1=0B.x 2+y 2+2x +1=0C.x 2+y 2－2y +1=0D.x 2+y 2+2y +1=07.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为94，A 发生B 不发生的概率与B 发生但A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P （AA.91 B. 92 C. 31 D. 32 8.已知线段AD ∥平面α，且与平面α的距离等于3，点B 是平面α内的动点，且满足AB =5，若AD =8，则点D 与点B 的距离dA.d 的最大值为89最小值为73B.d 的最大值为317，最小值为5C.d 无最大值，最小值为5D.d 的最大值为317，无最小值9. A ={1，2，3，4，5}，B ={6，7，8，9}，从集合A 到集合B 的映射中，满足f (1)≥f (2)≥f (3)≥f (4)≥f (5)A.21个B.27个C.48个D.56个 10.若f (x )是R 上的减函数 ，且f (x )的图象经过点A （0，4）和点B （3，－2），则当不等式|f (x +a )－1|<3的解集为（－1，2）时，aA.0B.－1C.1D.211.直线x －y +3=0与曲线4||92x x y -=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.计算机将信息转换成二进制进行处理，二进制即“逢2进1”，如（1101）2表示二进数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数位182)1111(转换A.217－2B.218－2C.218－1D.217－1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16) 13.在平面直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x －2y +3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围是__________.14. 在(1－x )6(1+x +x 2)的展开式中，x 2的系数为__________.15. 将函数y =si n 2x 的图象按向量a =（h ,k ）平移（0<h <2π）得函数y =2si n 2x 的图象，则h +k 等于__________.16.已知四个面都是直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一直角梯形ABCD ，如图，AD ⊥AB ，AD ⊥DC ，AB =2，BC =3，CD =1，则这个三棱锥外接球的表面积是__________（结果可含π）.三、 解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12在△ABC 中，若si nA =ta nB ,ta n2A=si nB ,求证：A=C.18.（本小题满分12某厂生产A 、B 两种产品，需甲、乙、丙三种原料，每生产一吨产品需耗原料如下表.现有甲原料200吨，乙原料360吨，丙原料300吨，若产品生产后能全部销售，试问A 、B 各生产多少吨能获最大利润.19.(已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q≠1,数列{b n }满足b 10=23,b 25=－22,且(b n +1－b n +2)log m a 1+(b n +2－b n )log m a 3+(bn －b n +1)log m a 5=0,(n ∈N *).(1)求数列{b n }（2）设c n =|b n |,求数列{c n }前n 项的和S n . 20.(本小题满分12 如图，△ABC 中，AC =BC ，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE =AB =2，F 为BE 的中点，DF ∥平面ABC（1）求CD （2）求证：AF ⊥BD（3）求平面ADF 与平面ABC 所形成的较小的二面角的度数.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=a1(3x－b )的图象过点A （1，2），（2，5） （1）求函数f －1(x )（2）记an =3f -1 (n ),n ∈N *,是否存在正数k,使得（1+11a ）(1+21a )…(1+na 1)≥k 12 n 对一切n ∈N *均成立，若存在求出k 的最大值，若不存在说明理由.22.（本小题满分14已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，如图，且AC ·BC =0，|BC |=2|AC |（1（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ，则总存在实数λ,使PQ=λAB,请给出证明.。

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙理科)数学注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i2.设集合U =R ，集合M ={x x <1 }，N ={x -1<x <2 }，则{x x ≥2 } =()A.C U (M ∪N )B.N ∪C U MC.C U (M ⋂N )D.M ∪C U N3.3、如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.304.已知f (x )=xe x e ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x ,y )1≤x 2+y 2≤4 }内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.126.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间(π6,2π3)单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f (x )的图像的两条对称轴，则f (-5π12)=()A.-32B.-12C.12D.327.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120∘，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π9.已知△ABC 为等腰三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150° ,则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.225C.35D.2510.已知等差数列{a n }的公差为2π3，集合S =cosa n n ∈ N * ，若S ={a b }，则ab =()A.-1B.-12C.D.1211.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1，-4)12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=2，则PA ∙PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷 至 页，第Ⅱ卷 至 页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分 分，考试用时 分钟。

注意事项：．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

．每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷上的答案无效。

参考公式：如果事件✌、 互斥，那么球的表面积公式 ☎✌ ✆  ☎✌✆  ☎ ✆ 24R S π=如果事件✌、 相互独立，那么其中 表示球的半径☎✌· ✆   ☎✌✆· ☎ ✆ 球的体积公式如果事件✌在一次试验中发生的概率是 ，那么 234R V π=⏹次独立重复试验中恰好发生 次的概率其中 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(本卷共 小题，每小题 分，共 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（ ）已知集合|1log |||,3||2>=<=x x N x x M ，则=N M（✌）φ（ ）|30||<<x x （ ）|31||<<x x（ ）|32||<<x x（ ）函数⍓  ♦♓⏹ ⌧ ♍☐♦ ⌧ 的最小正周期是 （✌） π （ ） π（ ）4π（ ）2π（ ）=-2)1(3i （✌）i 23 （ ）i 23-（ ）♓ （ ）－♓（ ）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 （✌）163 （ ）169 （ ）83 （ ）329 （ ）已知△✌的顶点 、 在椭圆1322=+y x ，顶点✌是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则△✌的周长是 （✌）32（ ）（ ）34（ ） （ ）函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为 （✌）)(1R x e y x ∈=+ （ ）)(1R x e y x ∈=- （ ）)1(1>=+x ey x（ ）)1(1>=-x ey x（ ）如图，平面α⊥平面β，✌∈α， ∈β，✌与两平面α、β所成的角分别为4π和6π，过✌、 分别作两平面交线的垂 线，垂足为‘、B A '，则✌：‘B A '（✌） ： （ ） ： （ ） ：（ ） ：（ ）函数)(x f y =的图像与函数)0(log )(2>=x x x g 的图像关于原点对称，则)(x f 的表达式为 （✌）)0(log 1)(2>=x xx f （ ）)0()(log 1)(2<-=x x x f（ ）)0(log )(2>-=x x x f （ ）)0)((log )(2<--=x x x f（ ）已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为 （✌）35（ ）34 （ ）45 （ ）23 （ ）若=-=)(cos ,2cos 3)(sin x f x x f 则 （✌）x 2cos 3- （ ） x 2sin -（ ）x 2cos 3+（ ）x 2sin 3+（ ）设n S 是等差数列{}n a 的前⏹项和，若3163=S S ，则=126S S（✌）103（ ）31 （ ）81 （ ）91 （ ）函数∑→-=191)(n n x x f 的最小值为 （✌）  （ ） （ ） （ ） 绝密 ★ 启用前年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷（非选择题，共 分）注意事项：本卷共 页， 小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上。