充要条件同步教学学案

一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握充要条件的概念，理解充要条件的性质和判断方法。

2. 能力目标：培养学生运用充要条件进行逻辑推理的能力，提高学生的数学思维能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的数学态度。

二、教学重难点1. 教学重点：充要条件的概念、性质和判断方法。

2. 教学难点：充要条件的判断和应用。

三、教学过程1. 导入新课（1）回顾上节课所学内容，引导学生思考如何判断两个命题之间的关系。

（2）引出本节课主题：充要条件。

2. 新课讲解（1）介绍充要条件的概念：若命题A是命题B的充要条件，则A和B同时成立或同时不成立。

（2）讲解充要条件的性质：①自反性：A是A的充要条件。

②对称性：若A是B的充要条件，则B也是A的充要条件。

③传递性：若A是B的充要条件，B是C的充要条件，则A是C的充要条件。

（3）讲解充要条件的判断方法：①直接法：根据定义判断两个命题是否为充要条件。

②间接法：通过否定、逆否、等价等手段判断两个命题是否为充要条件。

3. 课堂练习（1）完成教材中的例题，巩固所学知识。

（2）学生之间互相出题，进行小组讨论，提高解题能力。

4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，总结充要条件的概念、性质和判断方法。

（2）强调充要条件在数学证明中的应用。

5. 作业布置（1）完成教材中的课后习题。

（2）课后思考：充要条件在实际生活中的应用。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。

2. 作业完成情况：检查学生完成作业的情况，了解学生对本节课内容的掌握程度。

3. 课后反馈：通过课后作业和课堂提问，了解学生对充要条件的理解和应用能力。

五、教学反思本节课通过讲解充要条件的概念、性质和判断方法，使学生掌握了充要条件的基本知识。

在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重学生对充要条件的理解，避免死记硬背。

2. 通过实例讲解，使学生了解充要条件在实际生活中的应用。

3. 加强课堂练习，提高学生的解题能力。

《充要条件》本课教学充要条件。

学生之前已经学过充分条件和必要条件，本课则是在充分条件和必要条件的基础上引入充要条件。

全课的内容分成两部分，先介绍充要条件的定义，再掌握判断命题的条件关系。

♦教学目标【知识与能力目标】1、正确理解充要条件的定义，了解充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件。

2、正确判断充要条件、充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件。

【过程与方法目标】通过对充要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

【情感态度价值观目标】1、学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。

2、培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

3、在教师的指导下进行交流探索，能用联系的观点认识问题，对数学学科方法有所认识，能对数学学科产生兴趣。

♦教学重难点-------【教学重点】正确区分充要条件【教学难点】正确运用条件的定义解题多媒体课件一、复习回顾（课件2页）（1）充分条件、必要条件的定义（2）概念理解充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证结论成立的。

必要性：必要就是必须，必不可少。

二、新课讲授（课件3-10页）（1）探究问题一：充要条件的含义①充要条件的含义一定义②充要条件的含义一归纳总结③充要条件的含义一典例展示（2）探究问题二：充分条件、必要条件的判断方法①直接用定义判断，可按以下三个步骤进行：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推导结论，从结论推导条件；确定条件是结论的什么条件。

②利用命题的四种形式判断（3）探究问题三：从集合的角度理解四种关系三、课堂练习（课件11-12页）谈话：下面我们通过几道题目巩固这节课所学知识。

1、已知p：|x+1| >2, q: x2v 5x—6,则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既非充分又非必要条件2、设集合M={x|x>2},N={x|x<3}, 那么“ x€ M或x€ N”是“ x € Mn N” 的（）A.充要条件B. 必要不充分条件C.充分不必要D. 不充分不必要3、a € R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是（）4. 在下列电路图中，开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件⑴如图①所示,开关A 闭合是灯泡⑵如图②所示,开关A 闭合是灯泡⑶如图③所示,开关A 闭合是灯泡⑷如图④所示,开关A 闭合是灯泡四、课堂总结（课件第14页） B 亮的 ______________ 条件； B 亮的 ______________ 条件； B 亮的 __________ 条件； B 亮的 ____________________ 1. 充要条件判断2. 形如“若p ,贝U q ”的命题中存在以下四种关系3. 条件的判断方法略。

充要条件教案一、教学目标1.理解充要条件的概念；2.掌握充要条件的判定方法；3.能够应用充要条件解决实际问题。

二、教学内容1.充要条件的概念；2.充要条件的判定方法；3.充要条件的应用。

三、教学重点1.充要条件的概念；2.充要条件的判定方法。

四、教学难点1.充要条件的应用。

五、教学方法1.讲授法；2.举例法；3.练习法。

六、教学过程1. 导入教师可以通过提问的方式，引导学生回忆起之前学习的命题、条件、充分条件等概念，为本节课的学习做好铺垫。

2. 讲解2.1 充要条件的概念充要条件是指一个命题成立的必要条件和充分条件同时成立的情况。

也就是说，如果一个命题成立，那么它的必要条件和充分条件都成立；反之，如果一个命题的必要条件和充分条件都成立，那么这个命题也一定成立。

2.2 充要条件的判定方法充要条件的判定方法有两种：充分性证明和必要性证明。

充分性证明是指证明一个条件是充分条件，即如果条件成立，则结论一定成立。

充分性证明通常采用归谬法、逆否命题法、反证法等方法。

必要性证明是指证明一个条件是必要条件，即如果条件不成立，则结论一定不成立。

必要性证明通常采用直接证明法、反证法等方法。

2.3 充要条件的应用在实际问题中，我们常常需要判断某个条件是否是充要条件，或者根据已知条件推出结论。

这时，我们可以运用充要条件的知识来解决问题。

3. 举例为了更好地理解充要条件的概念和判定方法，教师可以给出一些具体的例子，让学生通过实际操作来掌握充要条件的应用。

例如，教师可以给出以下命题：•如果一个整数是偶数，那么它能被2整除。

•如果一个整数能被2整除，那么它是偶数。

然后，教师可以引导学生分别进行充分性证明和必要性证明，从而让学生更好地理解充要条件的判定方法。

4. 练习为了巩固学生对充要条件的掌握程度，教师可以设计一些练习题，让学生进行练习。

例如，教师可以给出以下练习题：1.如果一个人是男性，那么他一定有阳具。

这个命题的必要条件和充分条件分别是什么？2.如果一个人有阳具，那么他一定是男性。

充分条件与必要条件预习课本P9～11,思考并完成以下问题 1．什么是充分条件、必要条件？2．什么是充要条件？[新知初探]1．充分条件与必要条件命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题推出关系 p ⇒q p ⇒/ q 条件关系p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件2若p ⇒q 且q ⇒p,则记作p ⇔q,此时p 是q 的充分必要条件,简称充要条件．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)x ＝1是(x －1)(x －2)＝0的充分条件( ) (2)α＝π6是sin α＝12的必要条件( )(3)若p 是q 的充要条件,则命题p 和q 是两个相互等价的命题( )(4)“若綈p,则綈q”是真命题,则p 是q 的必要条件( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知向量a ＝(x －1,2),b ＝(2,1),则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案：D3．设集合M ＝{x|0<x≤3},N ＝{x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B4．“a>0,b>0”是“ab>0”的________条件(填“充分”或“必要”)． 答案：充分充分条件、必要条件、充要条件的判断[典例] (1)(2017·天津高考)设x ∈R,则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京高考)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m ＝λn”是“m·n<0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3)如果x,y 是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [解析] (1)由2－x≥0,得x≤2,由|x －1|≤1,得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤2⇒/ 0≤x≤2,故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件． (2)∵m ＝λn ,∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m·n＝|m||n|cos 〈m,n 〉<0⇔cos 〈m,n 〉<0⇔〈m,n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π, 当〈m,n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,m,n 不共线．故“存在负数λ,使得m ＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．(3)命题“若x≠y ,则cos x≠cos y”等价于命题“若cos x ＝cos y,则x ＝y”,这个命题是假命题,故x≠y ⇒/ cos x≠cos y；命题“若cos x≠cos y ,则x≠y”等价于命题“若x ＝y,则cos x ＝cos y”,这个命题是真命题,故c os x≠cos y ⇒x≠y.故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．[答案] (1)B (2)A (3)C充要条件的判断方法(1)定义法：①分清条件p 和结论q ：分清哪个是条件,哪个是结论；②找推式：判断“p ⇒q”及“q ⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A ＝{x|p(x)}及B ＝{x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时,要尽可能用Venn 图、数轴、直角坐标平面等几何方法,图形形象、直观,能简化解题过程,降低思维难度．[活学活用]1．在△ABC 中,角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 由正弦定理,得a sin A ＝bsin B, 故a≤b ⇔sin A≤sin B ,选A.2．指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等,q ：四边形是平行四边形； (2)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0,q ：(x －1)(y －2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形,四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等,∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)∵(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)·(y－2)＝0, 而(x －1)(y －2)＝0⇒/ (x －1)2＋(y －2)2＝0, ∴p 是q 的充分不必要条件.充分条件与必要条件的应用[典例] 已知222p 是綈q 的必要条件,求实数a 的取值范围．[解] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a<0得3a<x<a, 所以p ：3a<x<a,即集合A ＝{x|3a<x<a}． 由x 2－x －6≤0得－2≤x≤3,所以q ：－2≤x≤3,即集合B ＝{x|－2≤x≤3}． 因为綈q ⇒綈p,所以p ⇒q,所以A ⊆B, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－2，a≤3，a<0⇒－23≤a<0,所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. [一题多变]1．[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”,若綈p 是綈q 的充分条件,求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2<0且a>0得a<x<3a, 所以p ：a<x<3a,即集合A ＝{x|a<x<3a}． 由x 2－x －6≤0得－2≤x≤3,所以q ：－2≤x≤3,即集合B ＝{x|－2≤x≤3}． 因为綈p ⇒綈q,所以q ⇒p,所以B ⊆A, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥3，a≤－2，⇒a ∈∅.a>02．[变条件]将“q：实数x 满足x 2－x －6≤0”改为“q：实数x 满足x 2＋3x≤0”其他条件不变,求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2<0且a<0得3a<x<a. 所以p ：3a<x<a,即集合A ＝{x|3a<x<a}． 由x 2＋3x≤0得－3≤x≤0,所以q ：－3≤x≤0,即集合B ＝{x|－3≤x≤0}． 因为綈q ⇒綈p,所以p ⇒q,所以A ⊆B, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－3，a≤0，a<0⇒－1≤a<0.所以a 的取值范围是[－1,0)．充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p,q 等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解．充要条件的证明[典例] 证明：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. [证明] (1)充分性：∵ac<0, ∴Δ＝b 2－4ac>0,c a<0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根． 设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为x 1,x 2, 则x 1·x 2＝ca<0,∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根．(2)必要性：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根,∴Δ＝b 2－4ac>0,x 1·x 2＝c a <0,∴ac<0.故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时,要注意：若证明“p 的充要条件是q”,那么“充分性”是q ⇒p,“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”,则与之相反．(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明．[注意] 证明时一定要注意证明的方向性,分清充分性与必要性的证明方向． [活学活用]已知x,y 都是非零实数,且x>y,求证：1x <1y 的充要条件是xy>0.证明：(1)必要性：由1x <1y ,得1x －1y <0,即y －xxy <0,又由x>y,得y －x<0,所以xy>0. (2)充分性：由xy>0及x>y, 得x xy >y xy ,即1x <1y. 综上所述,1x <1y 的充要条件是xy>0.层级一学业水平达标1．设p ：x<3,q ：－1<x<3,则p 是q 成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为(－1,3)(－∞,3),所以p 是q 成立的必要不充分条件． 2．下面四个条件中,使a>b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a≥b＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：选A 由a≥b＋1>b,从而a≥b＋1⇒a>b ；反之,如a ＝4,b ＝3.5,则4>3.5/⇒4≥3.5＋1,故a>b/⇒a≥b＋1,故A 正确．3．已知a,b 是实数,则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为|a ＋b|＝|a|＋|b|⇔a 2＋2ab ＋b 2＝a 2＋2|ab|＋b 2⇔|ab|＝ab ⇔ab≥0,而由ab≥0不能推出ab>0,由ab>0能推出ab≥0,所以由|a ＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0,由ab>0能推出|a ＋b|＝|a|＋|b|,故选B.4．设φ∈R,则“φ＝0”是“f(x )＝cos(x ＋φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A φ＝0时,函数f(x)＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数,而f(x)＝cos(x ＋φ)是偶函数时,φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．5．使|x|＝x 成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x≥0 B ．x 2≥－x C ．log 2(x ＋1)>0D ．2x<1解析：选B ∵|x|＝x ⇔x≥0,∴选项A 是充要条件．选项C 、D 均不符合题意． 对于选项B,∵由x 2≥－x 得x(x ＋1)≥0, ∴x≥0或x≤－1.故选项B 是使|x|＝x 成立的必要不充分条件．6．如果命题“若A,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假,所以原命题为假,即A ⇒/ B. 又因否命题为真,所以逆命题为真,即B ⇒A, 所以A 是B 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．条件p ：1－x<0,条件q ：x>a,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________． 解析：p ：x>1,若p 是q 的充分不必要条件,则p ⇒q,但q ⇒/ p ,也就是说,p 对应集合是q 对应集合的真子集,所以a<1.答案：(－∞,1) 8．下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②b 2－4ac<0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c<0解集为R 的充要条件； ③“a＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy＝1”是“lg x＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为______________．解析：①x>2且y>3时,x ＋y>5成立,反之不一定,如x ＝0,y ＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a<0且b 2－4ac<0,故②为假命题；③当a ＝2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则a 1＝21,∴a ＝2.因此,“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy)＝0,∴xy ＝1且x>0,y>0. 所以“lg x＋lg y ＝0”成立,xy ＝1必成立,反之不然．因此“xy＝1”是“lg x＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 综上可知,真命题是④. 答案：④9．下列命题中,判断条件p 是条件q 的什么条件． (1)p ：|x|＝|y|,q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形,q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分,q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2. 解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x ＝y,但x ＝y ⇒|x|＝|y|, ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇒/ △ABC 是等腰三角形, △ABC 是等腰三角形⇒/ △ABC 是直角三角形, ∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分, ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r,即r ＝|c|a 2＋b2,所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2； 反过来,若c 2＝(a 2＋b 2)r 2,则|c|a 2＋b2＝r 成立,说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r, 即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切, 故p 是q 的充要条件．10．已知命题p ：对数函数f(x)＝log a (－2t 2＋7t －5)(a>0,且a≠1)有意义,q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真,求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围． 解：(1)因为命题p 为真,则对数函数的真数 －2t 2＋7t －5>0,解得1<t<52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52.(2)因为命题p 是q 的充分条件,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t1<t<52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2,所以只需a ＋2≥52,解得a≥12.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.层级二 应试能力达标1．“0<a<b”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<a<b 时,⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b成立,所以是充分条件；当⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b时,有a<b,不能推出0<a<b, 所以不是必要条件,故选A. 2．下列说法正确的是( ) A ．“x>0”是“x>1”的必要条件B ．已知向量m,n,则“m∥n”是“m＝n”的充分条件C ．“a 4>b 4”是“a>b”的必要条件D ．在△ABC 中,“a>b”不是“A>B”的充分条件解析：选A A 中,当x>1时,有x>0,所以A 正确；B 中,当m∥n 时,m ＝n 不一定成立,所以B 不正确；C 中,当a>b 时,a 4>b 4不一定成立,所以C 不正确；D 中,当a>b 时,有A>B,所以“a>b”是“A>B”的充分条件,所以D 不正确．故选A.3．已知直线l,m,平面α,且m ⊂α,则( ) A ．“l⊥α”是“l⊥m”的必要条件 B ．“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件 C ．l ∥m ⇒l ∥α D ．l ∥α⇒l ∥m解析：选B 很明显l ⊥α⇒l ⊥m,l ⊥m ⇒/ l ⊥α,l ∥m ⇒/ l ∥α,l ∥α ⇒/ l ∥m,故选B. 4．设p ：12≤x≤1；q ：(x －a)(x －a －1)≤0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析：选B ∵q ：a≤x≤a＋1,p 是q 的充分不必要条件, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a<12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，解得0≤a≤12.5．已知关于x 的方程(1－a)x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R),则该方程有两个正根的充要条件是________．解析：方程(1－a)x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a≠0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a ＋22＋161－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10.设此时方程的两根分别为x 1,x 2,则方程有两个正根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10，a ＋2a －1>0，4a －1>0⇔1<a≤2或a≥10.答案：(1,2]∪[10,＋∞)6．已知“－1<k<m”是“方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆”的充分条件,则实数m 的取值范围是________．解析：当方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆时, k 2＋3－4k 2>0,解得－1<k<1, 所以－1<m≤1,即实数m 的取值范围是(－1,1]． 答案：(－1,1]7．已知p ：关于x 的方程4x 2－2ax ＋2a ＋5＝0的解集至多有两个子集,q ：1－m≤a≤1＋m,m>0.若q 是p 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．解：∵q 是p 的必要不充分条件, ∴p 是q 的充分不必要条件．对于p,依题意,知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a 2－8a －20)≤0,∴－2≤a≤10.设P ＝{a|－2≤a≤10},Q ＝{a|1－m≤a≤1＋m,m>0},由题意知P Q,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，1－m<－2，1＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，1－m≤－2，1＋m ＞10，解得m≥9,∴实数m 的取值范围是[9,＋∞)．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋l.(1)证明：l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件．(2)试问：l ＝－1是否为{a n }是等差数列的充要条件？请说明理由．解：(1)证明：∵a 1＝S 1＝4＋l,当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1.∴a 2＝5,a 3＝7.∵{a n }是等差数列,则2a 2＝a 1＋a 3,即2×5＝(4＋l)＋7,解得l ＝－1.故l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件．(2)当l ＝－1时,S n ＝(n ＋1)2－1,a 1＝S 1＝3,当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1.又a 1＝3适合上式,∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．又∵a n ＋1－a n ＝2,∴{a n }是公差为2,首项为3的等差数列．∴l ＝－1是{a n }是等差数列的充分条件．又由(1)知l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件,∴l ＝－1是{a n }是等差数列的充要条件．。

1.4.2 充要条件【学习目标】一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为条件.二．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为条件.思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？三．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(2)符号“⇔”具有传递性．()(3)若p⇔/q和q⇔/p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．()【经典例题】题型一充要条件的判断点拨：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇔p2⇔…⇔p n，可得p1⇔p n；充要条件也有传递性.例1 下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).【跟踪训练】1 “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件题型二充要条件的证明点拨：充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇔q是证明充分性，推证q⇔p是证明必要性.(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.例2 已知：圆O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件。

公开课充要条件教案一、教学目标1. 让学生理解充要条件的概念，掌握其定义和判定方法。

2. 培养学生运用充要条件分析问题、解决问题的能力。

3. 提高学生逻辑思维能力和表达能力。

二、教学内容1. 充要条件的定义2. 充要条件的判定方法3. 充要条件的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：充要条件的定义和判定方法。

2. 教学难点：充要条件的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解充要条件的定义和判定方法。

2. 利用案例分析法，引导学生运用充要条件分析问题。

3. 开展小组讨论法，培养学生的合作能力和逻辑思维能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过一个生活案例，引出充要条件的概念。

2. 讲解充要条件的定义：引导学生理解充分条件和必要条件的概念，并介绍它们的区别和联系。

3. 讲解充要条件的判定方法：介绍“如果且仅如果”的概念，引导学生掌握充要条件的判定方法。

4. 案例分析：选取一些实例，让学生运用充要条件进行分析，巩固所学知识。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用充要条件分析问题，培养学生的合作能力和逻辑思维能力。

7. 布置作业：让学生运用充要条件分析问题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对充要条件的理解和掌握程度。

2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括分析问题、合作能力和逻辑思维能力。

3. 作业批改：检查学生对充要条件的应用能力，以及作业中的逻辑性和表述清晰度。

七、教学反思2. 反思教学内容：检查充要条件的定义和判定方法是否适合学生的认知水平，是否需要调整或补充相关知识点。

3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们对充要条件的理解和掌握情况，以及他们在学习过程中的困惑和问题。

八、教学拓展1. 充要条件的应用：介绍充要条件在生活中的应用，如逻辑推理、辩论技巧等，激发学生学习兴趣。

2. 相关知识点：推荐学生阅读相关书籍或文章，了解充要条件的更深入内容和应用领域。

3. 实践活动：组织学生参加相关的实践活动，如辩论赛、思维导图制作等，提高学生的实际应用能力。

《充要条件》导学案一、学习目标1、理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。

2、能够判断给定命题中条件与结论之间的关系。

3、掌握充分条件、必要条件、充要条件的判定方法，并能进行简单的应用。

二、学习重点1、充分条件、必要条件、充要条件的概念。

2、充分条件、必要条件、充要条件的判定。

三、学习难点1、对充要条件概念的理解。

2、准确判断条件与结论之间的关系。

四、知识回顾1、命题的定义：能够判断真假的陈述句叫做命题。

2、命题的形式：若 p，则 q，其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论。

五、新课导入在我们的日常生活和数学学习中，经常会遇到条件和结论之间的关系。

比如，“如果今天下雨，那么地面会湿”，这里“今天下雨”是条件，“地面会湿”是结论。

那么，条件对于结论来说，有着怎样的关系呢？这就是我们今天要学习的充要条件。

六、充分条件定义：如果命题“若 p，则q”为真命题，即 p ⇒ q，那么就说 p 是 q 的充分条件。

例如：“若 x ＞ 5，则 x ＞3”是一个真命题，所以“x ＞5”是“x ＞3”的充分条件。

通俗地理解，有了条件 p，结论 q 一定成立，那么 p 就是 q 的充分条件。

七、必要条件定义：如果命题“若 q，则p”为真命题，即 q ⇒ p，那么就说 p 是 q 的必要条件。

例如：“若 x 是整数，则 x 是有理数”是一个真命题，所以“x 是有理数”是“x 是整数”的必要条件。

简单来说，没有条件 p，结论 q 就不成立，那么 p 就是 q 的必要条件。

八、充要条件定义：如果既有 p ⇒ q，又有 q ⇒ p，那么就说 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作 p ⇔ q。

例如：“在三角形ABC 中，∠A ＝∠B”是“BC ＝AC”的充要条件。

充要条件意味着条件 p 和结论 q 是等价的，它们相互可以推出。

九、实例分析例 1：判断“若 x ＝ 1，则 x²＝1”中，条件和结论的关系。

高中数学充要条件教案
教学内容：充要条件
教学目标：
1. 了解充要条件的定义；
2. 能够理解并运用充要条件判断数学命题的真假；
3. 能够灵活运用充要条件解决问题。

教学重点与难点：
1. 充要条件的概念和意义；
2. 充要条件的判断与运用。

教学准备：
1. 教材《高中数学教程》；
2. 课件工具；
3. 案例分析题集。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
通过一个简单的例子引出充要条件的概念，让学生了解充要条件的定义和作用。

二、讲解（10分钟）
1. 讲解充要条件的概念和定义；
2. 以图表或实例形式展示充要条件的划分；
3. 分析充要条件的特点和逻辑关系。

三、练习（15分钟）
1. 给学生提供一些基础例题，让学生通过计算和分析来确定充要条件；
2. 引导学生思考充要条件在实际问题中的应用。

四、讨论（10分钟）
1. 让学生展示他们的解题过程，并对学生的答案进行讨论；
2. 引导学生针对具体问题展开讨论，探究充要条件在实际问题中的应用。

五、总结（5分钟）
1. 整理概括充要条件的要点；
2. 强调充要条件在数学问题中的重要性。

六、作业（5分钟）
布置相关作业，巩固学生对充要条件的掌握和应用。

【教学手段】
1. 利用课件工具展示解题过程和案例分析；
2. 利用白板书写相关公式和逻辑推理过程；
3. 利用小组合作讨论，促进学生自主学习。

【教学评价】
1. 每节课结束时进行小测验，检测学生对充要条件的掌握情况；
2. 鼓励学生在课后积极思考和讨论，提高对充要条件的理解和应用能力。

充要条件教案# 《充要条件》教学设计一、教学目标1. 知识与技能目标- 学生能够理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。

- 能正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。

2. 过程与方法目标- 通过对实例的分析，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

- 经历充分条件、必要条件、充要条件概念的形成过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法。

3. 情感态度与价值观目标- 激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨的治学态度。

- 在探究过程中，培养学生的合作交流意识。

二、教学重点&难点1. 教学重点- 充分条件、必要条件、充要条件的概念。

- 对“充分”“必要”“充要”的理解与判断。

2. 教学难点- 必要条件概念的理解。

- 对充分性和必要性的证明。

三、教学方法采用探究式学习、小组合作式学习的教学方法。

四、教材分析1. 课程标准要求- 理解充分条件、必要条件与充要条件的意义。

- 能够运用逻辑用语准确地表达数学内容。

2. 主要内容- 教材首先通过具体的实例引出充分条件的概念，如“若p，则q”形式的命题，如果由p可以推出q，那么p是q的充分条件。

例如，“若x > 3，则x > 2”，因为当x > 3时，必然有x > 2，所以“x > 3”是“x > 2”的充分条件。

- 接着引出必要条件的概念，若q成立时p一定成立，那么p是q 的必要条件。

例如，“若x是整数，则x是有理数”，有理数包含整数，所以当x是整数时必然是有理数，那么“x是有理数”是“x是整数”的必要条件。

- 最后给出充要条件的概念，当p既是q的充分条件又是q的必要条件时，p是q的充要条件，简称为p与q等价。

例如，“三角形的三条边相等”与“三角形的三个角相等”是互为充要条件的。

3. 重难点分析- 重点分析：充分条件、必要条件、充要条件是数学中非常重要的逻辑概念，它们贯穿于数学的各个领域，如函数、数列、几何等。

高中数学充要条件的教案
教学内容：充要条件在数学中的应用
教学目标：
1. 了解充要条件的概念及其在数学中的应用
2. 能够正确运用充要条件解题
3. 培养学生逻辑思维和推理能力
教学重点和难点：
重点：充要条件的概念和应用
难点：能够准确理解充要条件，并将其运用到实际问题中
教学准备：
1. 教师准备充要条件的概念讲解及相关例题
2. 准备教学用具、课件等辅助教学工具
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入充要条件概念，通过生活中的例子引发学生对充要条件的思考。

二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解充要条件的定义和特点
2. 介绍充要条件在数学中的应用及相关定理
三、例题分析（20分钟）
通过一些具体的例题，让学生理解充要条件的运用方法，并引导他们进行讨论和分析。

四、练习训练（15分钟）
布置一些练习题目，让学生独立完成并相互交流讨论，并及时纠正错误。

五、总结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调充要条件在数学中的重要性，并鼓励学生加强实践训练。

六、作业布置
布置相关练习题目，并要求学生认真完成并及时交卷。

教学心得：
本节课通过实例讲解、分析解题方法等多种途径，让学生更容易理解和掌握充要条件的概念和应用方法。

通过丰富的练习和讨论，学生逐渐提高了解题的能力和逻辑推理能力。

希望学生能够在今后的学习中，善于灵活运用充要条件解决问题，提高数学学习的深度和广度。