14三角函数模型的简单应用2

三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。

二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。

例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。

振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。

三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。

音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。

三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。

四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。

例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。

通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。

五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。

通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。

在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。

1.6 三角函数模型的简单应用教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.课时分配本节内容用2课时的时间完成，本教案为第2课时，主要通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程并体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.教学目标重点:精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质．难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．知识点：通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法．能力点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.教育点：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.考试点：将实际问题抽象为三角函数模型问题.拓展点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课（情景展示，多媒体显示）1．情景展示，新课导入经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型.这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用.在山海关孟姜女庙有一副对联：“海水朝，朝朝朝，朝朝朝落；浮云长，长长长，长长长消.”其中描绘了海潮涨落，浮云长消的自然景象，显示了自然界变幻多姿的景色，这其中对海潮的描述也是感性的.今天我们将从数学的视角理性地研究有关潮水涨落的一些实际问题.2．问题提出，探究解决情景设置：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于该港口的一些什么情况？问题探究1：阅读课本P62：例4给出某港口在某年某个季节每天的时间与水深的关系表，思考并回答：①你能够从表格中的数据中得到一些什么信息？②水的深度变化有什么特点吗？③为了更直观明了地观察出水的深度变化规律，我们可以怎么做？具体操作是：④若用平滑的曲线将所描各点连起来，所得图象形状跟我们前面所学过哪个函数类型非常相似？并尝试求出该函数模型.⑤有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了.如何计算在4时的水深？在任一时刻的水深怎么计算？问题探究2：针对课本P62：例4（2）问，思考：①货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？②怎样用数学语言描述这一条件呢？③在[0，24]的范围内，该怎么求解？④你能说清楚解的实际意义吗？问题探究3：货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？针对课本P62：例4（3）问，思考：①“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候？②反过来，“货船安全”需要满足的条件是用数学式子表示为③对于上式，如何求解呢？④尝试说说解的实际意义.二、典例剖析研究典型例题，总结解题规律例4根据相关数据进行三角函数拟合【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？思考2：设想水深y 是时间x 的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？思考4：用函数sin()y A x h ωϕ=++ 来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？思考5：这个港口的水深与时间的关系可用函数________________________________________近似描述，你能根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？思考8：右图中，设点00(,)p x y 有人认为，由于P 点是两个图象的交点，说明在0x 时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗 [设计意图]使学生体将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．练习1：如图所示，是一个缆车示意图，缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB,设B 点与地面距离是h. (1) 求h 与θ间的函数关系；(2) 设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ， 求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次 到达最高点时用的最少的时间是多少?2.已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式.[设计意图] 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,巩固所学知识．例2、：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置 的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π.（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？[设计意图] 让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.三、课堂小结（1）三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意，设角建立三角函数，分析三角函数性质解决实际问题. 其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键.（2）在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进行解答.（3）根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.（4）对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.四、布置作业1．阅读教材2.书面作业必做题：已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式. 选做题： 一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ）A.t v y 0=B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 02. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）A ．2πB.0C.πD.π323.某人向正东方向走x 千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____. 三、解答题6、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?[设计意图]设计作业1、2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯，书面作业的布置，是为了让学生能够巩固课堂上所学的知识和方法，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是例题及变式训练的编排，既注重了与本堂课内容的联系，又在不知不觉中提高了难度， 提 高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在根据实际问题的背景材料，建立三 角函数关系，解决实际问题上下功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊 断与分析.八、板书设计本节课的板书主要采取了提纲式、对称型，以讲写结合、主辅相随、语言准确、内容完整为原则，将复习内容及新课引入、概念写在黑板左侧，整齐、准确，将例题、习题及解答过程写在黑板右侧，随意中不失规范.。

《三角函数的应用（第2课时）》教学设计 1．通过分析和解决现实生活中的实际问题，使学生经历利用三角函数近似刻画实际问题的过程，了解利用数学知识解决实际问题的一般思路，提高数形结合能力． 2．通过例题分析和练习巩固，促进学生养成运用几何直观思考问题的习惯，发展学生的直观想象核心素养．教学重点：通过实例，使学生经历完整的数学建模过程．教学难点：将实际问题转化为数学问题．视频、Geogebra 软件、PPT 课件．通过视频播放弹簧振子的运动与交流电的变化；利用Geogebra 作实例中的散点图．（一）整体感知 引导语：匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确的描述它们的运动变化．在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化特点，这些现象也可以借助三角函数近似的描述．（二）新知探究例1 如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．问题1：如何根据温度变化曲线得到这一天6～14时的最大温差？预设的师生活动：学生回答．预设答案：曲线在自变量为6～14时，图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标就是这一天6～14时的最大温差，观察图形得出这段时间的最大温差为20℃．◆ 教学过程◆ 课前准备 ◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标 图1设计意图：通过问答形式得到（1）的解答．问题2：如何求温度随时间的变化满足的函数关系“b x A y ++=)sin(ϕω”中A ，ω，ϕ，b 的值？预设的师生活动：学生回答，教师补充，之后学生板演解答过程，教师强调要注意自变量的变化范围．预设答案：A 为最大值减去最小值的差的一半，ω可以利用半周期为14-6=8建立方程得解，ϕ可以利用特殊值求得．所求解析式为 π3π10sin()20[416]84y x x =++∈，，． 设计意图：启发学生利用待定系数法解决（2）．例2 海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进巷道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表1是某港口某天的时刻与水深关系的预报．（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m ）．（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m ，安全条例规定至少要有1.5 m 的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若船的吃水深度为4 m ，安全间隙为1.5 m ，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h 的速度减少，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？问题3：观察表1中的数据，你发现了什么规律？根据数据做出散点图，观察图形，你可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？请试着完成（1）的解答．预设的师生活动：教师提出问题，学生观察数据，发现规律．教师引导学生作散点图，根据散点图特点，选择函数模型，学生根据散点图及有关数据，求出这个函数模型的解析式．得出解析式之后，教师让学生根据解析式填写整点时的水深，完成（1）的解答．预设答案：观察表格中数据可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中数据画出散点表1图如图2．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深y 与时间x 的关系可以用形如sin()y A x h ωϕ=++的函数来刻画，从数据和图形可以得出：A =2.5，h =5，T =12.4，φ=0；由2π124T ω==.，得ω=5π31． 所以各港口的水深与时间的关系可用函数y =2.5sin5π31x +5近似描述． 将整点对应的自变量代入解析式求出相应的水深，得到表2完成（1）的解答．设计意图：从所给数据中发现周期性变化规律，引导学生根据散点图特点选择函数模型，并求出函数解析式，并得到（1）的解答．问题4：（2）中，货船需要的安全深度是多少？从函数的解析式来看，满足怎样的条件时，该船能够进入港口？从图象上看呢？预设的师生活动：学生回答，教师补充．预设答案：货船需要的安全水深为4+1.5=5.5 m ．从函数的解析式来看，满足y ≥5.5，即2.5sin 5π31x +5≥5.5，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y =2.5sin 5π31x +5的图象在直线y =5.5上方时，该船能够进入港口．利用信息技术绘出两个函数的图象如图3．图2表2求得交点的横坐标分别为：x A ≈0.3975，x B ≈5.8025，x C ≈12.7975，x D ≈18.2025． 问题5：可以将A ，B ，C ，D 点的横坐标作为进出港时间吗？为什么？预设的师生活动：教师请学生们自由回答，答案不唯一．预设答案：事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些，出港时间要比算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域．因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．设计意图：启发学生数形结合得到（2）的解答．问题6：（3）中，设在x h 时货船的安全水深为y m ，y 与时间x 满足怎样的函数关系？从解析式来看，满足怎样的条件时，该船必须停止卸货？从图象上看呢？预设的师生活动：学生回答，教师补充．预设答案：设在x h 时货船的安全水深为y m ，那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2)．从函数的解析式来看，满足y ≥5.5-0.3(x -2)，即2.5sin 5π31x +5≥5.5-0.3(x -2)时，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y =2.5sin5π31x +5的图象在直线y =5.5-0.3(x -2)上方时，该船能够进入港口．利用信息技术绘出两个函数的图象如图4．可以看到在6～8时之间两个函数只有一个交点P ，求得P 点的横坐标为7.016.≈P x 问题7：在船的安全水深正好等于港口水深时停止卸货可以吗？图3图4预设的师生活动：教师请学生们自由回答，答案不唯一．预设答案：为了安全，船停止卸货驶向安全水域的时间要比算出的时间提前一些．因此为了安全，货船最好在6.6时停止卸货，将船驶向较深的水域．设计意图：让学生感受利用数学模型得到的答案要根据实际情况进行检验和调整。

第一课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（一） 教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养学生用已有的知识解决实际问题的能力. 教学重点：待定系数法求三角函数解析式. 教学难点：选择合理数学模型解决实际问题. 教学过程：一、复习准备：1. 函数f (x )的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位所得的曲线是1sin 2y x =的图像，试求()y f x =的解析式.2. 函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.二、讲授新课：1. 教学典型例题：① 出示例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++，试求这段曲线的函数解析式.讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？（由周期、振幅确定A 、b 、ω；再由特殊点确定初相ψ） 教师示例 → 小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.② 练习：如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.（i ）试根据图象写出sin()y A t ωϕ=+的解析式.（ii ）在任意一段3100秒的时间内，电流I 既能取得最大值A ，又能取得最小值－A 吗？（答案：1003sin()33I t ππ+； 由3350100T =>得不可能） ② 出示例2：作出函数y ＝｜sin x ｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间. 讨论：绝对值的几何意义？ → 作简图 → 由图说性质变式：研究y ＝｜cos x ｜、y ＝｜tan x ｜. 小结：数形结合思想研究函数性质. 2. 练习：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s 厘米和时间t 秒的函数关系为6sin(2)6s t ππ=+.（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？ （3）单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？ 3. 小结：给图求式；给式应用；待定系数法. 三、巩固练习：1. 练习：教材P73 练习1题.2. 作业：书P73 习题1、2题.第二课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（二）教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养学生用已有的知识解决实际问题的能力.教学重点：待定系数法求三角函数解析式；用三角函数模型解决实际问题. 教学难点：选择合理数学模型解决实际问题. 教学过程：一、复习准备：1. 函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，求此函数的表达式. （答案：4y x π）2. 讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？ 如何确定初相？（特殊点法）3. 讨论：在现实生活中，哪些现象具有周期性？（温度、白昼、振动、情绪、智力、体力等） 二、讲授新课：1. 教学三角函数应用模型：① 出示例：某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记为y =)(t f ，下（i ）根据以上数据求出y =)(t f 的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？教法：从表中读到一些什么数据？ → 依次求各系数 → 应用模型解决问题 答案：3sin106ty π=+（0≤t ≤24）； 13（小时）. 小结：读取与分析表中的数据，是一种数学思维能力的训练. 求得模型后，把第（2）问的情景转化为一个简单的三角不等式，再运用整体思想，借助函数的图象或者单位圆可以求解. ② 练习：某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++. 下表是测得的某日各时的浪高数据：2. 练习：某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元. 该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元. （1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式;（2）假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数.3. 小结：三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；而是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题. 三、巩固练习：作业：读《数学周报》第43期第2版文章《三角函数模型应用举例》赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．y 系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：)图(1)图(2)2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++） （2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-（舍），2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可） （3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形E M N H 、矩形M F G N ，使矩形MF G N ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=．B A D E MF2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱112233445A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15，B 图(1)图(2)l4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

三角函数的模型及应用三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和关系，以及角在几何图形中的应用。

三角函数的模型是用来描述角度和边长之间的关系，而三角函数的应用则广泛涉及到几何、物理、工程等领域。

首先，我们来讨论三角函数的模型。

最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们的定义如下：正弦函数：sin(x) = 对边/ 斜边余弦函数：cos(x) = 邻边/ 斜边正切函数：tan(x) = 对边/ 邻边其中，对边、邻边和斜边指的是一个直角三角形中与角度x相关的边长。

这些三角函数的定义基于一个特殊的直角三角形，即单位圆上的一条半径与x轴和y 轴夹角为x的射线。

三角函数的模型可以进一步扩展到一般的三角形中，通过在单位圆上做垂线，我们可以将非直角三角形的边长和角度联系起来。

例如，根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)这些模型提供了计算三角形各边长和角度的方法，非常有用。

接下来，我们来探讨三角函数的应用。

三角函数在几何学中有广泛的应用。

例如，在解决三角形的边长和角度问题时，可以使用三角函数求解未知量。

三角函数还可以被用来计算几何图形的面积和体积，例如圆的面积和球的体积等。

此外，三角函数在物理学中也有广泛的应用。

例如，在运动学中，三角函数可以用来描述物体在直线上的运动，如加速度、速度和位移之间的关系。

另外，在力学中，三角函数可以用来计算力的分解，例如对一个斜面上的物体施加的力的分解等。

在工程学中，三角函数也被广泛应用。

例如，在建筑设计中，可以使用三角函数计算斜塔的高度和角度。

在航海中，可以使用三角函数来计算航线和船只的位置等。

总结起来，三角函数是数学中一个重要的分支，其模型描述了角度和边长之间的关系，应用于几何学、物理学和工程学等领域。

通过使用三角函数的模型和公式，我们可以解决各种与角度和边长相关的问题，推导出相应的计算方法，丰富了数学的应用领域。

三角函数模型的简单应用【学习目标】1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【要点梳理】要点一：三角函数模型的建立程序要点二：解答三角函数应用题的一般步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论． （1）审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．（2）建模根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符语言并用的思维方式．（3）解模利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果． （4）结论将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．要点诠释：实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关知识来帮助解决问题．【典型例题】类型一：三角函数周期性的应用例1．国际大都市上海继东方明珠电视塔、金茂大厦之后，黄浦江畔的又一座景观性、标志性、文化游乐性建筑是座落于虹口区北外滩汇山码头的“上海梦幻世界摩天轮城”，占地3.46公顷总投资超过20亿元人民币，内有世界最大的摩天轮.其中摩天轮中心O 距离地面200米高，直径170米.摩天轮上将安装36个太空舱，可同时容纳1100多人一览上海风光.(如图)，摩天轮沿逆时针方向做匀速转动，每8分钟转一圈，若摩天轮的轮周上的点P 的起始位置在最低点处(即时刻0t 分钟时的位置).已知在时刻t 分钟时点P 距离地面的高度()f t .(Ⅰ)求20分钟时，点P 距离地面的高度； (Ⅱ)求()f t 的函数解析式.【思路点拨】由周期8T =，可求出距地面的高度，然后求出三角函数中的参数A ，h ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f （t ）．【答案】（1）285（2）()85cos200,(0)4f t t t π=-+≥【解析】设过摩天轮的中心O 与地面垂直的直线为l ，l 垂直于地面于点H ，PQ l ⊥于点Q ， (1)∵旋转的周期8T =，∴20分钟后点P 在最高点，距地面高度是285米. (2)t 分钟时4HOP t π∠=，∴()20085cos 85cos200,(0).4f t HOP t t π=-∠=-+≥∴()85cos200,(0).4f t t t π=-+≥【总结升华】实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题． 举一反三：【高清课堂：三角函数模型的简单应用394861 例1】【变式1】如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（ ）【答案】C类型二：三角函数模型在气象学中的应用 例2．（2015秋 江西模拟）根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示，气温变化的分布与地面曲线sin()12y A x b πφ=++拟合（0≤x ＜24，单位为小时，y 表示气温，单位为摄氏度，||φπ<，A ＞0），现已知这天气温为4至12摄氏度，并得知在凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高．（1）求这条曲线的函数表达式；（2）这天气温不低于10摄氏度的时间有多长？ 【思路点拨】（1）根据气温为4至12摄氏度，我们可以求得振幅A ，利用凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高，可求得周期及φ的值，从而求得函数表达式；（2）利用（1）中求出的函数表达式，我们可建立表达式74sin()8101212x ππ-+≥，解之即可． 【答案】（1）74sin()81212y x ππ=-+；（2）8小时 【解析】（1）b =(4+12)÷2=8，A =12－8=4，1122ππφ⨯+=-，712πφ=-， 所以这条曲线的函数表达式为：74sin()81212y x ππ=-+． （2）令y ≥10，则74sin()8101212x ππ-+≥， ∴71sin()12122x ππ-≥，0≤x ＜24．∴771712121212x ππππ-≤-<， ∴75612126x ππππ≤-≤， ∴9≤x ≤17， ∴17－9=8．故这天气温不低于10摄氏度的时间有8小时．【总结升华】本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查三角不等式的求解，解题的关键是从实际问题中抽象出函数的模型，求出相应的参数． 举一反三：【变式1】估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：2()sin (79)122365k y D t t π⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦，其中t 表示某天的序、t=0表示1月1日，以此类推，常数k 与某地所处的纬度有关．（1）如在波士顿，k=6，试画出函数D （t ）在0≤t ≤365时的图象． （2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？ （3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？ 【答案】(1)略 (2) 6月20日 12月20日 (3) 243天【解析】 （1）k=6时，2()3sin (79)12365D t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦．先用五点法画出2()3sin (79)365f t t π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的简图如图，由2(79)0t π-=和2(79)2t ππ-=，得t=79和t=444，列出下表：若t=0，3(0)3sin (79) 2.9365f π⎡⎤=-≈-⎢⎥⎣⎦． ∵()f x 的周期为365，∴(365) 2.9f ≈-．将()y f t =，t ∈[0，365]的图象向上平移12个单位长度，得到()y D t =，0≤t ≤365的图象，如图所示．（2）白昼时间最长的一天，即D （t ）取得最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外），类似地，t=353时D （t ）取最小值，即12月20日白昼最短．（3）D （t ）＞10.5，即23sin (79)1210.5365t π⎡⎤-+>⎢⎥⎣⎦，21sin (79)3652t π⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，t ∈[0，365]．∴292＞t ＞49，292－49=243．约有243天的白昼时间超过10.5小时．类型三：三角函数模型在物理学中的应用例 3.一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为αrad ，α与时间t 满足关系式1()sin 222t t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）当4t π=时，α的值是多少？并指出小球的具体位置；（2）单摆摆动的频率是多少？（3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？ 【思路点拨】（1）根据已知条件中的函数解析式，把4t π=代入，即可求出摆角．（2）由1f T=可求出频率．（3）求最大摆角，先求出sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，然后求角． 【答案】（1）0（2）1π（3）12rad【解析】 （1）当4t π=时，11sin 2sin 042422πππαπ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这时小球恰好在平衡位置； （2）因为单摆摆动的周期22T ππ==，所以频率11f T π==； （3）令t=0，得sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1．故()t α有最大值12rad ，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是12rad ． 举一反三：【变式1】（2015 哈尔滨三模）单摆从某点开始来回摆动，它相对于平衡位置O 的位移S （厘米）和时间t （秒）的函数关系为：sin()S A t ωφ=+（A ＞0，ω＞0，02πφ<<），已知单摆每分钟摆动4次，它到平衡位置的最大位移为6厘米，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米．求： （1）S 和t 的函数关系式； （2）第2.5秒时单摆的位移．【答案】（1）6sin()306S t ππ=+；（2）【解析】（1）单摆每分钟摆动4次，函数的周期为：225s 60πω⋅=，解得30πω=，它到平衡位置的最大位移为6厘米，A =6，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米，说明函数的图象经过（0，3）， ∴36sin(0)30πφ=⨯+，(0)2πφ<<，∴6πφ=．S 和t 的函数关系式：6sin()306S t ππ=+．（2）第2.5秒时单摆的位移6sin(2.5)63062S ππ=⨯+=⨯=第2.5秒时单摆的位移为：例4.交流电的电压E （单位：伏）与时间t （单位：秒）的关系可用1006E t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭来表示，求：（1）开始时的电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．【答案】（1）（2）0.02（3）1300【解析】（1）当t=0时，6E π==（伏），即开始时的电压为伏； （2）2110050T ππ==（秒），即电压重复出现一次的时间间隔为0.02秒；（3）电压的最大值为10062t πππ+=，即1300t =秒时第一次取得这个最大值．。