2015年秋季新版华东师大版九年级数学上学期24.4、解直角三角形导学案2

华师大版数学九年级上册24.4《直角三角形的性质》教学设计一. 教材分析《直角三角形的性质》是华师大版数学九年级上册第24章《三角形的性质》的最后一节内容，也是整个初中数学中关于三角形性质的重要部分。

本节内容主要介绍直角三角形的性质，包括直角三角形的边角关系、勾股定理及其应用。

通过本节的学习，学生能进一步理解直角三角形的特征，掌握直角三角形的相关性质，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了锐角三角形和钝角三角形的性质，对三角形的性质有一定的了解。

但是，对于直角三角形的性质，特别是勾股定理的理解和应用，部分学生可能还存在困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对性地进行教学。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系。

2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力，提高解题能力。

4.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理的推导和应用。

2.教学难点：勾股定理的理解和应用，解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究直角三角形的性质。

2.运用多媒体辅助教学，直观展示直角三角形的性质，提高学生的空间想象能力。

3.采用合作学习的方式，让学生在讨论中解决问题，培养学生的合作意识。

4.通过举例讲解，引导学生学会运用勾股定理解决实际问题。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。

2.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。

3.准备黑板和粉笔，以便进行板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如教室的黑板、楼梯的台阶等，引导学生关注直角三角形的存在。

提问：这些直角三角形有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）通过PPT展示直角三角形的性质，包括直角三角形的边角关系、勾股定理。

在展示过程中，引导学生思考这些性质是如何得出的。

24.4解直角三角形2教学目标：1.知识目标：使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．2.能力目标：逐步培养分析问题、解决问题的能力．教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学过程：（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？（1）勾股定理：a2+b2=c2（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：tanA=（二）新授概念仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．例1.为了测量旗杆的高度BC ，在离旗杆底部10米A 处，用高1.50米的测角仪DA 测得旗杆顶端C 的仰角a ＝52°，求旗杆杆BC 的高．（精确到0.1米）的邻边的对边A A ∠∠斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin P【答案】在Rt △CDE 中，CE ＝DE ×tan a＝AB ×tana＝10×tan 52°≈12.8，所以BC ＝BE ＋CE ＝AD ＋CE ≈1.5＋12.8＝14.3（米）．答：电线杆的高度约为14.3米．例2.在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.坡度通常写成1∶m 的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝=tana显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.例3.如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）【答案】作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E.F ．由题意可知DE ＝CF ＝4.2（米），CD ＝EF ＝12.51（米）．l hl h图6在Rt △ADE 中，因为所以在Rt △BCF 中，同理可得 因此AB ＝AE ＋EF ＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．答：路基下底的宽约为27.13米．（三）巩固练习设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．(四)总结与扩展请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．︒===32tan 2.4AE AE DE i )(72.632tan 2.4米≈︒=AE )(90.728tan 2.4米≈︒=BF。

24.4解直角三角形（第一课时）一、教学目标知识与技能：1、理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三种关系式解直角三角形。

2、能从从具体问题中化归出直角三角形，并解直角三角形。

过程与方法：让学生在探究并解决解直角三角形的过程中，体验实际问题化归为数学问题的过程，并初步形成数学化归、建模思想。

情感、态度与价值观：通过实际问题，让学生体验运用数学知识解决实际问题的乐趣，体验数学源于生活又用于生活的美好感受。

二、教学重难点重点：运用直角三角形的边角关系解直角三角形中的未知元素。

难点：1、将实际问题化归成解直角三角形的问题；2、解决问题时边角关系的选择。

三、教学过程： （一）复习1．直角三角形有几条边？几个角？点出：直角三角形的角和边称之谓“元素”。

2．直角三角形的5个不确定元素之间满足哪些关系式？（二）探究1．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，（1）如果∠A=30°，则∠B= 度。

（提问：能求出边的长度吗？）（2）如果a =1，b = 1，则 c = 。

（提问：能求出角的度数吗？）（3）如果∠A=30°，a =1，你能求出三角形哪些角，那些边？2.解直角三角形的定义：已知 求 未知解直角三角形两种类型：类型一、已知两边 类型二、已知一边一角练习：（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900, AC= ，AB=4，则：BC= , ∠A= 度，∠B= 度。

（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A=450,AB=8,则：∠B= 度，AC= , BC= 。

（三）应用例1、如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面3米折断倒下，树顶在离树根4米处，大树在折断之前高多少？ （教师示例）例2、一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东400，距离70海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向，求这艘轮船的速度。

（参考数据sin50°≈0.77 ，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，精确到1海里/时）（教师点拨、学生练习）思考、小明（点B ）在平地上放风筝（点A ），小明发现风筝在他上方的450方向，风筝线AC=米；小明的妈妈（点C ）与他同样高，妈妈发现风筝在她上方的300方向.你知道小明和妈妈相距多远吗？（结果保留根号）（教师点拨、学生练习）（四）小结让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正（课件展示）。

AB C┌ 24.4解直角三角形一、学习目标1.掌握测量中坡角、坡度的概念以及坡角与坡度的关系。

2.利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题。

二、学习重点重点: .掌握测量中坡角、坡度的概念以及坡角与坡度的关系 难点：把实际问题转化为数学问题。

三、自主预习(一）旧知回顾仰角：_________________________________________________________________ 俯角：__________________________________________________________________方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． (二)自学课本115-116页，理解坡度、坡角的概念。

坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。

坡角与坡度之间的关系是：i ＝lh=tan a 。

坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。

6．如上图坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tan α＝i ＝____．四、合作探究1、如图，有一斜坡AB 长40m ，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°. (1)求坡角∠ABC 的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ). 分析：在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。

五、巩固反馈1.一坡面的坡角为600，则坡度i=2.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为 .3.如图3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）A. αcos 5B. αcos 5C. αsin 5D. αsin 54.如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的坡角和加宽后的背水坡的坡角 ； (2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?(精确到0.01)2.01:2.51:2CDABCDA。

2 解直角三角形一、课题：解直角三角形的应用——方位角问题二、学习目标：1.会根据直角三角形中元素，正确应用勾股定理、锐角三角函数求其他未知元素。

2.从利用勾股定理、锐角三角函数解决实际问题的过程中，归纳出解直角三角形的意义及方位角类型的应用题的解法。

三、重点、难点1.重点：利用勾股定理、锐角三角函数解决实际问题。

2.难点：方位角。

四、知识准备1.特殊锐角三角函数值。

2. 方位角。

五、预习案1．预习指导〔测试〕：〔1〕小明家在学校的北偏东20°方向，那么学校在小明家的______方向。

〔2〕西北方向即北偏西_______度，东南方向即东偏南_____度，西南方向即南偏西______度，东北方向即东偏北_______度。

〔3〕小明从A点出发向东走100m，再沿北偏西30°方向走100m，那么小明在A点_________方向，距A点_________m。

例1：某省将地处A、B的大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地间修一条笔直的公路，经测量，在A 地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.7km的公园，问该公路是否穿过公园？为什么？例2：一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°方向，货轮以20海里/小时的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°方向，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？例3：一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以30海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求灯塔M与渔船B的距离是多少？2．我的疑惑：六、探究案：探究过程：讲解例题，解答疑惑。

七、小结通过这一节的学习，大家掌握了方位角类型的应用题的相应解法，在今后的做题中，希望大家能够做到举一反三。

24.4解直角三角形(2)教学目标:1、使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题。

2、逐步培养分析问题、解决问题的能力。

教学重点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

教学难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

教学过程:（复习提问）1、解直角三角形指什么？2、解直角三角形主要依据什么？（1）勾股定理（2）锐角之间的关系（3）边角之间的关系导课：问题：小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲心想：“站在地面上可以利用解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解直角三角形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？（如图所示）∠BAC与∠DAC在测量中叫什么角？（学生回答后引入新课课题---解直角三角形2：仰角、俯角）设疑自探看到本节课题，你想知道什么问题？（学生提出问题，教师归纳、板书，形成自探提纲）自探提示（一）：请同学们自学教材p113页内容，独立解决以下问题，时间4分钟。

1、什么叫仰角？2、什么叫俯角？3、本课导语的图中，有仰角和俯角吗？若有，请指出其中的仰角和俯角。

解疑合探（一）（学生自学结束后，小组内交流讨论自探过程中遇到的疑难问题，达成共识）1、在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；2、从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

自探提示（二）如图，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为22°，求旗杆AB的高.（精确到0.1米）(tan22°≈0.404)解疑合探（二）解：在Rt△ADE中，AE＝DE×tan a＝BC×tan a＝22.7×tan 22°≈9.17AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9.17＋1.20≈10.4（米）答:旗杆的高度约为10.4米．质疑再探在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。

第24章 解直角三角形24.4解直角三角形第2课时 俯角、仰角问题学习目标：1.理解仰角、俯角的概念（重点）.2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题（难点）.自主学习一、新知预习当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做_______，在水平线下方的角叫做_______．合作探究一、探究过程 探究点：利用仰角、俯角解决实际问题 【问题1】 如图，为了测量山的高度AC ，在水平面B 处测得山顶A 的仰角为30°，AC ⊥BC ，从B 出发沿着BC 方向向前走1000 m ，到达D 处，又测得山顶A 的仰角为45°，求山的高度AC (结果保留根号)．【归纳总结】在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．【问题2】 如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB ，已知观察点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆顶的仰角∠ECA 为30°，旗杆底边的俯角∠ECB 为45°，那么旗杆AB 的高度是( )A ． (82＋83)mB ．(8＋83)mC ．(82＋833)mD ．(8＋833)m 【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．【针对训练】1.如图,某飞机在空中A 处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B 的俯角为α,若测得飞机与目标B 之间的距离AB 大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度AC .2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树10m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=54°.已知测角器的架高CE=1.5 m,求树高AB(精确到0.1 m.参考数据：tan54°≈1.38).二、课堂小结仰角俯角问题图解在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平方向上时，叫做_____角；当视线在水平方向下时，叫做_____角当堂检测1．如图某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞机高度AC＝b（m），从飞机上看地面上挥台B的俯角为α，则飞机A到指挥台B的距离为（）A．m B．b cosαm C．m D．B sinαm第1题图第2题图2．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点5m 的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°，若测角仪的高度是1.6m，则旗杆AB的高度约为（）（精确到0.1m，参考数据：＝1.73）A．8.6m B．8.7m C．10.2m D．10.3m3．为加快5G网络建设，某移动通信公司在山顶上建了一座5G信号通信塔AB，山高BE＝100米（A，B，E在同一直线上），点C与点D分别在E的两侧（C，E，D在同一直线上），BE⊥CD，CD之间的距离1000米，点D处测得通信塔顶A的仰角是30°，点C 处测得通信塔顶A的仰角是45°（如图），则通信塔AB的高度约为（精确到1米.参考数据：≈1.414，≈1.732）.A．350 B．270 C．200 D．150第3题图第4题图4．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝米（结果保留根号）．5．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．6．如图，无人机A的高度为270m，从A处看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看底部C的俯角为60°，求这栋大楼的高度BC．能力提升7．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝308米，步行道BD＝336米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．参考答案 自主学习一、新知预习仰角 俯角合作探究一、探究过程【问题1】解：在Rt △ABC 中，由tan B ＝，得BC ＝＝3AC ①， 在Rt △ACD 中，由tan ∠ADC ＝，得CD ＝＝AC ②，由①﹣②，得BD=（3-1）AC=1000m,则AC=131000 =500（+1）（m ）．即山高为500（+1）m ． 【问题2】 D【针对训练】 1. 解：由题意得∠B ＝α，∠C ＝90°．∴sinB ＝sin α≈0.52．∵sinB ＝，∴AC ＝AB •sinB ＝2400×0.52＝1248（米）． 答：飞机飞行的高度约为1248米．2. 解：由题易得四边形CEBD 是矩形，BD ＝CE ＝1.5 m .在Rt △ACD 中，CD ＝EB ＝10 m ， ∠ACD ＝54°，∵tan ∠ACE ＝，∴AD ＝CD •tan ∠ACD ≈10×1.38＝13.8 (m).∴AB ＝AD +BD ＝13.8+1.5＝15.3(m)．答：树的高度AB 约为15.3 m ．二、课堂小结仰俯当堂检测1.C2.D3.2664.（20﹣20）5. （15+15）6.解：过点A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，由题意可知：∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴AB＝CB.设BD＝x m，∴AB＝2x m，∴CB＝AB＝2x m.∴CD＝BC+DB＝3x m.由题意可知CD＝270 m，∴3x＝270.∴x＝90.∴BC＝2x＝180 m.即大楼的高度为180 m.7.解：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F.则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC.在Rt △DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝168米，∴FC＝DE＝168米，∴AF＝AC﹣FC＝308﹣168＝140（米）.在Rt△ADF中，∵∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝140（米）. 答：电动扶梯DA的长为140米．~。