锐角三角函数的图文解析

第9讲锐角三角函数知识点1 锐角三角函数1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．2.特殊角的三角函数值3.锐角三角函数值的变化规律当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小；当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大．【典例】例1在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝8，BC ＝6，那么∠A 的正弦值为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．43例2在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AC 的长为（ ） A ．2sin α B ．2cos αC ．2tan αD ．2cot α例3计算：tan 260°−2sin30°4cos 245°+cot30°．【随堂练习】1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，那么tan B 的值等于（ ） A ．23B ．√53C ．√52D ．2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝α，AC ＝2，那么AB 的长等于（ ） A ．2sinαB ．2sin αC ．2cosαD ．2cos α3．计算：2sin45°+2sin60°﹣tan60°•tan45°．4．计算：tan 245°cot30°−2cos45°−2sin60°．知识点2 解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．2.基础知识在Rt △ABC 中，∠A ∠B ∠C 所对的边分别是a ，b ，c. （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2 （2）锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠=90（3）边角之间的关系：sin A =a c cos A =b c tan A =ab sin B =bc cos B =ac tan B =ba（4）面积公式：S=12ab=12ch （h 为斜边上的高） 3. 解直角三角形的基本类型及其解法【典例】例1如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，∠A ＝30°．（1）求AD 的长． （2）求sin C 的值．例2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC =12∠BAC ，求sin ∠BPC ．例3如图，在△ABC 中，cos B =√22，sin C =35，AC ＝10，求△ABC 的面积．【随堂练习】1．如图，在△ABC 中，tan C =35，点D 在边BC 上，AB ＝AD ，CD ＝2BD ＝4，求sin B 的值．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC ＝4√3，解这个直角三角形．3．如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝，点D 为边AC 上一点，若∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AD 的长．（结果保留根号）知识点3 解直角三角形的应用——坡度、坡角问题1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母α表示．2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，用字母i 表示，则i=ℎl =tan α．【典例】例1如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移 m 时，才能确保山体不滑坡．（取:i h l=hlαtan50°≈1.2）例2如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1：，求背水坡的坡长CD为多少米．例3 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为6√2米（结果保留根号）．【随堂练习】1．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：√3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（）A．5 m B．10m C．5√3m D．8 m2.小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡AB，长度为1000米；从B到C的缆车路线可看作是线段BC，长度为2400米，其与水平线的夹角为48°，求山顶C到地面AD的距离CE 的长．（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）3．农用温棚的上半部分如图所示，迎阳坡AD 的坡度i ＝1：1.8，背阳坡AC 坡度i ＝1：0.5，棚宽CD ＝11.5米，要铅直竖立两根立柱AB 、EF ，其中BF ＝AB ．求AB 、EF 的长．知识点4 解直角三角形的应用——仰角俯角问题1.仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【典例】例1如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为50米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A 的仰角为30°，底端B 的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB 的高度．（精确到0.1米）仰角水平线视线视线俯角（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，＝1.41， 1.73）例2某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]例3如图，永州市德雅、高峰学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，路经白石山公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得信号柱顶端A的仰角为30°，在C处测得信号柱顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝8米，求信号柱AB的长度．（结果保留根号）【随堂练习】1．如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】2．某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD，他们在桥面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动40m到达测量点B（即AB＝40m），在B点测得点D的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD．【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50】3．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE ＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．知识点5 解直角三角形的应用——方向角问题1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．2.方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．【典例】例1如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB＝75km．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．例2 某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨利用它们测量小河的宽度，于是，他去了河边，如图．他从河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向，然后他沿正东方向步行80米到达点B处，此时测得大树P在其北偏西60°方向．请根据以上所测得的数据，计算小河的宽度．（结果保留根号）例3 一艘货船以30海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏东30°，20分钟后货船至B处，看见灯塔C在船的北偏东60°，已知灯塔C周围7.1海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁？（提供数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【随堂练习】1．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A ．100mB ．100√2mC ．100√3mD ．200√33m2．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（ ）A ．200tan70°米B ．200tan70°米C ．200sin 70°米D ．200sin70°米3．如图，MN 是公园劳动湖边一段东西走向的笔直湖岸，A ，B 是岸边两建筑物，一小艇在点C 处，与MN 的距离CE ＝60米，小艇向北偏西30°方向行驶100米到达点D ，此时，小艇上的人测量A 在小艇的南偏西60°方向，B 在南偏西30°方向，求A 、B 两建筑物之间的距离．综合运用1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sin B=1213，则AC的长是（）A．25B．12C．5D．13 2．计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；（2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°．3．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）4．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sin A、cos A和tan A．5．如图所示，某水库大坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝2.5米，坝高AE＝DF＝4米，背水坡AB的坡度是1：1，迎水坡CD的坡度是1：1.5，求坝底宽BC．6．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2，使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝36cm，O'C⊥AC于点C，O′C＝18cm．（1）求∠CAO′的度数．（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？7．近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中，如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？8.如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°．（1）直接写出：在小岛C看点A俯角大小是；点B在小岛D什么方位？；（2）求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49≈0.66，tan49°≈1.15）。

《锐角三角函数》(解析版)锐角三角函数一、定义三角函数是数学中一类重要的函数，它们与三角关系密切相关。

而锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90°的三角函数。

1. 正弦函数（sin）正弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。

可以用以下公式表示：sinθ = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）余弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。

可以用以下公式表示：cosθ = 邻边 / 斜边3. 正切函数（tan）正切函数是指在锐角三角形中，对边比邻边的比值。

可以用以下公式表示：tanθ = 对边 / 邻边二、性质1. 值域和定义域正弦函数和余弦函数的值域都在[-1, 1]之间，定义域为锐角三角形中的角度范围。

2. 周期性正弦函数和余弦函数在每个周期内都有相同的波形形状，它们的周期都为360°或2π弧度。

3. 正交性正弦函数和余弦函数之间具有正交性，即它们的乘积积分为0。

4. 切线斜率正切函数的斜率可以表示为tanθ的导数，即：f'(θ) = sec^2(θ)5. 三角恒等式锐角三角函数之间满足一系列的三角恒等式，如：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1三、图像与应用1. 图像正弦函数和余弦函数的图像为周期性的正弦波和余弦波，可以通过函数图像进行可视化。

2. 应用锐角三角函数广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

例如在电路分析中，可以通过正弦函数来表示交流电压的变化；在计算机图形学中，可以通过正弦函数和余弦函数来生成动画效果。

四、常见问题1. 如何计算锐角三角函数的值？通过查阅三角函数表或使用计算器等数学工具，可以准确地计算出锐角三角函数的值。

2. 如何利用锐角三角函数解决实际问题？在实际问题中，可以通过建立三角函数模型并利用已知条件来解决问题。

例如在测量中，可以利用正弦函数或余弦函数计算出某个角度的值。

3. 锐角三角函数与钝角三角函数有什么区别？锐角三角函数与钝角三角函数在定义上有所不同，钝角三角函数可定义为任意角度，而锐角三角函数仅限于小于90°的角度范围。