高三数学第一轮复习 第26课时—两角和与差的三角函数教案

高考数学（理科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理．两角和与差的余弦cos＝_____________________________________________，cos＝_____________________________________________.两角和与差的正弦sin＝_____________________________________________，sin＝_____________________________________________.两角和与差的正切tan＝_____________________________________________，tan＝_____________________________________________.其变形为：tanα＋tanβ＝tan，tanα－tanβ＝tan．2．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝ba，角φ称为辅助角．自我检测．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于A.12B.33c.22D.322．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值是A．－235B.235c．－45D.453．函数f＝sin2x－cos2x的最小正周期是A.π2B．πc．2πD．4π4．设0≤α<2π，若sinα>3cosα，则α的取值范围是A.π3，π2B.π3，πc.π3，4π3D.π3，3π25．已知向量a＝，向量b＝，则|a＋b|的最大值为A．1B.3c．3D．9探究点一给角求值问题例1 求值：[2sin50°＋sin10°]2sin280°；sin＋cos－3•cos．变式迁移1 求值：2cos10°－sin20°sin70°；tan＋tan＋3tantan．探究点二给值求值问题例2 已知0<β<π4<α<3π4，cosπ4－α＝35，sin3π4＋β＝513，求sin的值．变式迁移2 已知tanπ4＋α＝2，tanβ＝12.求tanα的值；求sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β的值．探究点三给值求角问题例3 已知0<α<π2<β<π，tanα2＝12，cos＝210.求sinα的值；求β的值．变式迁移3 若sinA＝55，sinB＝1010，且A、B均为钝角，求A＋B的值．转化与化归思想的应用例已知向量a＝，b＝，|a－b|＝255.求cos的值；若－π2<β<0<α<π2，且sinβ＝－513，求sinα的值．【答题模板】解∵|a－b|＝255，∴a2－2a•b＋b2＝45.[2分]又∵a＝，b＝，∴a2＝b2＝1，a•b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos，[4分]故cos＝a2＋b2－452＝2－452＝35.[6分]∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos＝35，∴sin＝45.[8分]又∵sinβ＝－513，－π2<β<0，∴cosβ＝1213.[9分]故sinα＝sin[＋β]＝sincosβ＋cossinβ＝45×1213＋35×－513＝3365.[12分]【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第问，在第问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为＋β.【易错点剖析】|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数．一、选择题．已知sinα＋π3＋sinα＝－435，则cosα＋2π3等于A．－45B．－35c.35D.452．已知cosα＋π6－sinα＝233，则sinα－7π6的值是A．－233B.233c．－23D.233．已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝，若a⊥b，则sin α＋4π3等于A．－34B．－14c.34D.144．函数y＝sinx＋cosx图象的一条对称轴方程是A．x＝5π4B．x＝3π4c．x＝－π4D．x＝－π25．在△ABc中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则c的大小为A.π6B.56πc.π6或56πD.π3或23π题号234答案二、填空题6．如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线c，各段弧所在的圆经过同一点P且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi，则cosα13cosα2＋α33－sinα13•sinα2＋α33＝________.7．设sinα＝35π2<α<π，tan＝12，则tan＝________.8．已知tanα、tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α、β∈－π2，π2，则tan＝__________，α＋β的值为________．三、解答题9．已知α∈0，π2，β∈π2，π且sin＝3365，cos β＝－513.求sinα；已知α，β∈，且tan＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．0．①证明两角和的余弦公式c：cos＝cosαcosβ－sinαsinβ；②由c推导两角和的正弦公式S：sin＝sin αcosβ＋cosαsinβ.（2）已知△ABc的面积S=，AB→•Ac→＝3，且cosB＝35，求cosc.1．设函数f＝a•b，其中向量a＝，b＝，x∈R.若函数f＝1－3，且x∈－π3，π3，求x；求函数y＝f的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f在区间[0，π]上的图象．答案自主梳理．cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβtanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ 2.aa2＋b2 ba2＋b2自我检测．A 2.c 3.B 4.c 5.c课堂活动区例1 解题导引在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．解原式＝2sin50°＋sin10°•1＋3sin10°cos10°•2sin80°＝2sin50°＋sin10°•cos10°＋3sin10°cos10°•2sin80°＝2sin50°＋2sin10°•12cos10°＋32sin10°cos10°•2cos10°＝2sin50°＋2sin10°sin40°cos10°•2cos10°＝2sin60°cos10°•2cos10°＝22sin60°＝22×32＝6.原式＝sin[＋30°]＋cos－3•cos[－30°]＝32sin＋12cos＋cos－32cos－32sin＝0.变式迁移 1 解原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝3.原式＝tan[＋][1－tan•tan]＋3tantan＝3.例2 解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．解cosπ4－α＝sinπ4＋α＝35，∵0<β<π4<α<3π4，∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π.∴cosπ4＋α＝－1－sin2π4＋α＝－45，cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213.∴sin[π＋]＝sinπ4＋α＋3π4＋β＝sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β＝35×－1213－45×513＝－5665.∴sin＝5665.变式迁移2 解由tanπ4＋α＝2，得1＋tanα1－tan α＝2，即1＋tanα＝2－2tanα，∴tanα＝13.sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsin β＋cosα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsin β＋cosαcosβ－sinαsinβ＝－sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝－sinα－βcosα－β＝－tan＝－tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－13－121＋13×12＝17.例3 解题导引通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．解∵tanα2＝12，∴sinα＝sin2•α2＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋122＝45.∵0<α<π2，sinα＝45，∴cosα＝35.又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π.由cos＝210，得sin＝7210.∴sinβ＝sin[＋α]＝sincosα＋cossinα＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2<β<π得β＝34π.变式迁移3 解∵A、B均为钝角且sinA＝55，sinB ＝1010，∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010.∴cos＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×－31010－55×1010＝22.①又∵π2<A<π，π2<B<π，∴π<A＋B<2π.②由①②，知A＋B＝7π4.课后练习区．D 2.D 3.B 4.A 5.A6．－12 7.－211 8.3 －23π9．解∵β∈π2，π，cosβ＝－513，∴sinβ＝1213.…………………………………………………………………………又∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，又sin＝3365，∴cos＝－1－sin2α＋β＝－1－33652＝－5665，…………………………………………………………∴sinα＝sin[－β]＝sincosβ－cossinβ＝3365•－513－－5665•1213＝35.…………………………………………………………∵tanα＝tan[＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………∴tan＝tan[α＋]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………∵α，β∈，tanα＝13<1，tanβ＝－17<0，∴0<α<π4，π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………0．①证明如图，在直角坐标系xoy内作单位圆o，并作出角α、β与－β，使角α的始边为ox，交⊙o于点P1，终边交⊙o于点P2；角β的始边为oP2，终边交⊙o于点P3；角－β的始边为oP1，终边交⊙o于点P4.则P1，P2，P3，sin)，P4，sin)，…………………………………………………………………………………………由|P1P3|＝|P2P4|及两点间的距离公式，得[cos－1]2＋sin2＝[cos－cosα]2＋[sin－sinα]2，展开并整理得：2－2cos＝2－2，∴cos＝cosαcosβ－sinαsin β.……………………………………………………②解由①易得，cosπ2－α＝sinα，sinπ2－α＝cosα.sin＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α＋－β＝cosπ2－αcos－sinπ2－αsin＝sinαcosβ＋cosαsinβ.∴sin＝sinαcosβ＋cosαsin β.……………………………………………………解由题意，设△ABc的角B、c的对边分别为b、c.则S＝12bcsinA＝12，AB→•Ac→＝bccosA＝3>0，∴A∈0，π2，cosA＝3sinA，……………………………………………………………又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝1010，cosA＝31010，由cosB＝35，得sinB＝45.∴cos＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.……………………………………………………………………………………………故cosc＝cos[π－]＝－cos＝－1010.……………………………………………………………………………………………1．解依题设得f＝2cos2x＋3sin2x＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6＋1.由2sin2x＋π6＋1＝1－3，得sin2x＋π6＝－32.……………………………………………………………………∵－π3≤x≤π3，∴－π2≤2x＋π6≤5π6.∴2x＋π6＝－π3，即x＝－π4.………………………………………………………………－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，即－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，得函数单调增区间为－π3＋kπ，π6＋k π．……………………………………列表：xπ6π3π22π35π6πy232－12描点连线，得函数图象如图所示：…………………………………………………………………………………………。

教与学过程设计第一课时两角和与差的余弦、正弦、正切（一）（一） 引入上次我们曾留了个问题，求75cos =？对于象750（可以看成300+450）这样的半特殊角，虽然能通过查表来求其三角函数值，但太麻烦，能不能不查表求值呢？这就牵涉到两角和的三角函数问题，今天我们就开始学《两角和与差的余弦、正弦》（板书）。

对于任意角βα,，βαβαcos cos )cos(+=+吗？显然：)3045cos(75cos+=≠30cos 45cos +>1，矛盾。

故βαβαcos cos )cos(+≠+。

那)cos(βα+应该等于什么呢？ （二） 新课一、平面内两点的距离公式在学这部分内容之前我们还需先掌握一个有力的工具——平面两点间的距离公式。

实例1：解决x 轴上两点的距离A ：已知点M 1（3，0）和M 2（7，0）。

问这两点的位置在那里？它们之间的距离是多少？如何计算？B ：已知点M 1（3，0）和M 2（-7，0）。

问这两点的位置在那里？它们之间的距离是多少？如何计算？C ：归纳：M 1M 2=|x 2-x 1|D ：学生理解、记忆片刻后问：如果两点在y 轴上呢？情况会如何？（目的：训练学生类比思维）实例2：解决y 轴上两点之间的距离A ：归纳：N 1N 2=|y 2-y 1|B ：已知点N 1（0，3）和N 2（0，-7）。

问这两点的位置在那里？它们之间的距离是多少？如何计算？实例3：解决坐标平面上任意两点之间的距离B ：已知点P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）为坐标平面上任意两点。

问它们之间的距离是多少？如何计算？C ：归纳：P 1P 2=212212)()(y y x x -+-（口诀：平面上两点之间的距离等于它们坐标差的平方和的算术根）D ：求P 1（-3，4）与P 2（2，-6）之间的距离。

（答案：55）二、两角和的余弦公式的推导1．在直角坐标系中，单位圆与x 轴的正半轴交于P 1（1，0）；以Ox 为始边作出角，角α的终边与单位圆交于P 2，其坐标为？（cos α,sin α）2．以OP 2为始边作角β，其终边与单位圆交于P 3，其坐标为？（cos(α+β),sin(α+β)），为什么？3．再作出角-β，其终边与单位圆交于P 4，其坐标为（cos(-β),sin(-β)）； 4.连接P 1P 3，P 2P 4，线段P 1P 3，P 2P 4之间有什么关系？由三角形全等知，P 1P 3=P 2P 4； 5．利用两点间的距离公式，我们可得到：[][][]2222sin )sin(cos )cos()(sin 1)cos(αβαββαβα--+--=++-+整理，得：)sin sin cos (cos 22)cos(22βαβαβα--=+- 所以注意：这个公式对任意的角βα,都成立。

两角和与差的三角函数教案教案名称：两角和与差的三角函数教学目标：1.理解两角和与差的概念，并能用两角和与差的公式求解相关问题；2.掌握两角和与差的正玄、余玄、正切函数的性质和计算方法；3.发展学生的逻辑思维和分析问题的能力。

教学重点：1.两角和与差的概念与两角和与差的公式；2.两角和与差的正玄、余玄、正切函数的性质。

教学难点：1.运用两角和与差的公式求解相关问题；2.灵活运用两角和与差的正玄、余玄、正切函数的性质。

教学准备：教材、教具、多媒体设备、黑板、白板、彩色粉笔、课件。

教学过程：一、导入（10分钟）1.通过投影或黑板写出两个角的三角函数表达式，让学生思考如何将这两个角进行运算。

2.提问引导学生回忆两角和与差的概念，了解两角和与差的意义及其应用。

二、讲授（25分钟）1.让学生通过观察角的图形和其三角函数的变化关系，探讨两角和与差的三角函数性质。

2.教师通过示例讲解两角和与差的正玄、余玄、正切函数的公式与计算方法，并结合应用题进行实际运算练习，帮助学生掌握。

三、练习与拓展（30分钟）1.出示一些运用两角和与差的公式进行计算的练习题，引导学生分析题目的关键信息，使用两角和与差的公式求解问题。

2.给出一些拓展题，要求学生灵活运用所学知识，解决具有一定难度的问题，培养学生的综合运用能力。

四、巩固与展示（25分钟）1.学生上台展示所做的一道练习题，并解答同学的提问，加强对知识点的理解。

2.教师对学生的展示进行点评，总结两角和与差的应用要点，强调解题方法与技巧。

五、课堂小结（10分钟）1.教师对本节课的重点、难点进行总结，强调两角和与差的重要性和应用场景。

2.布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够掌握两角和与差的公式，并能运用于实际问题的解答中。

教师通过引导学生观察和探究，培养了学生的自主学习能力和分析问题的能力。

同时，在练习与拓展环节的设计上，提高了学生的综合运用能力和解决复杂问题的能力。

2020年高考数学专题复习教案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学分析本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想第1课时（一）导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C (α+β)、S (α-β)、S (α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sin α=55，α∈(0,2π)，cos β=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推导出tan(α-β)=?tan （α+β）=？⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C (α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.所以有如下公式：我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β).对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 如果cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子、分母同除以cos αcos β得tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+(α-β)(α+β) 对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+k π(k ∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在时，不能使用T （α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan 2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理等.（三）应用示例思路1例1 已知sin α=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cos α,tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sin α=53-,α是第四象限角，得cos α=54)53(1sin 122=--=-a . ∴tan α=a a cos sin =43-. 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ tan(α-4π)=4tan tan 14tan tan ππa a +-=a a tan 11tan +-=7)43(1143-=-+--. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30° =42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于( ) A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例 2 已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=43-,β∈(π,23π).求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cosα、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sin α=32,α∈(2π,π),得 cos α=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tan α=552-. 又由cos β=31-,β∈(π,23π). sin β=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tan β=37.∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-. 点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠CAB=α，则sin α=6730， 在Rt △ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tan α. 于是x=30tan )45tan(30-+αα ,又∵sin α=6730,α∈(0,2π),∴cos α≈6760,tan α≈21. tan(45°+α)=211211tan 1tan 1-+≈-+αα=3, ∴x=21330⨯-30=150(米). 答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC 中，sinA=53(0°<A<45°),cosB=135(45°<B<90°)，求sinC 与cosC 的值. 活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=53且0°<A<45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin ［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB ≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解：∵0<α<4π<β<43π,∴43π<43π+α<π,-2π<4π-β<0, 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53, ∴cos(43π+α)=1312-,sin(4π-β)=54-. ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(1312-)×(54-)=6533-. 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312,求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =54×(135-)+(53-)×1312=6556-.例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(aa a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+- =asin sin sin 0βθ =0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练 化简)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+ 解：原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+- =).tan()cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos αβαβαββαβαβαβα-=--=+-（四）作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556.。

第26课时 三角变换【教学目标】掌握两角和与差、二倍角正弦、余弦、正切公式一、知识梳理1． 在三角式的化简、求值，证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要将正切化为正弦或余弦.．2．要注意对“1”的代换，如1=sin 2α+2cos α=tan4π；还有1+cos α= ，1-cos α= ．3．对于 sin α·cos α与sin α±cos α同时存在试题可通过换元完成．如设ααcos sin ±=t ，则sin α·cos α=4． 常见的“变角”方法有2α=(α+β)+()αβ-；α=(α+β)-β=(α-β)+β．二、基础练习1．若5)35tan(-=-απ，则t a n(απ+3)的值是____________． 2．已知02x π<<，化简)2sin 1lg()4cos(2lg )2sin 21tan lg(cos 2x x x x x +-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+π3.若α∈3(,)2ππ．4．若方程cos2cos 1x x x k -=+有解，则k ∈___________．三、例题精讲目标1 倍角公式的几个拓展公式【例1】用x sin 表示x 3sin ，以及用x cos 表示x 3cos .【变式拓展】用2tan x表示,sin x x cos ，x tan .【例2】证明下列积化和差公式 (1)[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++= (2)[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=【变式拓展】证明下列和差化积公式（1)2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+（2)2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-目标2三角恒等变换公式的运用【例3】求sin6°sin42°sin66°sin78°的值【例4】若1010)2sin(),2,0(),2,0(-=-∈∈βαπβπα，55)2sin(-=-βα,求2sin βα+，)sin(βα+的值.【变式拓展】已知sin α是sinθ与cosθ的等差中项，sin β是sinθ与cosθ的等比中项，求证：cos2β=2cos2α=2cos 2.4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、课堂反馈1．已知412cos =α，则=α2sin 2．“sin α=12”是“cos2α=12”的___________条件.（填空;充分条件，必要条件，充要条件，既不充分也不必要)3．函数f （x )=2cos 2x +sin2x 的最小值是___________．4．已知α为第二象限角，且cos 2α+sin 2α=- sin2α+cos2α的值为三角变换作业1．若sin cos tan (0)2πααβα+=<<，则tan β的取值范围是______.2．若1,,sin 24216ππθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭,则cos sin θθ-的值是______. 3．若角α的终边落在射线(0)y x x =-≥+=________. 4．已知()f x =当53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为_______. 5．（宿迁市第二学期期末)化简tan81tan 21tan81tan 21tan 300-+的结果是 6．设α为第四象限的角，若sin 313sin 5αα=，则tan 2α的值为 ． 7. 不查表求值： 000010cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2+++__________.8设,γθ为常数，0,,,442πππθγ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若sin()sin()αγγβ++- sin (sin sin )cos (cos cos )θαβθαβ=-+⋅+.对一切,αβ∈R 恒成立，则2tan tan cos()sin 4θγθγπθ+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭_________. 9．（宿迁市高一第二学期期末)已知(sin ,2)α=-a ，(1,cos )α=b ，且⊥a b ． （1)求2cos sin cos ααα-的值；（2)若(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，且cos()αβ-=β的值．10.（天津高考)已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2)若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值.11．（南京市第一学期期末调研)已知()sin ,1a α= ，()cos ,2b α= ，0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．⑴若a ∥b ，求tan α的值； ⑵若⋅178=，求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。

第四章 三角函数——第26课时：两角和与差的三角函数一．课题：两角和与差的三角函数二．教学目标：掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题．三．教学重点：公式的灵活运用．四．教学过程：（一）主要知识：1．两角和与差的三角函数公式；二倍角公式；2．降次公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（二）主要方法：1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3．掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等．（三）例题分析： 例1．已知1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈ ，(,)2παβπ+∈求β的值． 解：∵1cos 7α=，(0,)2πα∈，∴sin α= 又∵11cos()14αβ+=-，(,)2παβπ+∈，∴sin α= ∵1cos cos[()]cos()cos sin()sin 2βαβααβααβα=+-=+++=， 又∵(0,)2πα∈ ，(,)2παβπ+∈，(0,)βπ∈， ∴3πβ=．例2．已知A 为一三角形的內角，求222cos cos ()3y A A π=++的取值范围． 解：2221cos 2()21cos 23cos cos ()322A A A A ππ+++++=+ 441cos 2cos cos 2sin sin 233A A A ππ=++-11cos 221cos(2)23A A A π=+=+-．第四章 三角函数——第26课时：两角和与差的三角函数∵A 为一三角形內角，1cos(2)123A π-<-≤， ∴222cos cos ()3y A A π=++的取值范围是1(,1]2． 例32sin50sin80(13tan10)++．解：原式2sin80132sin 50(cos10sin10)++=2sin 802sin 50cos(6010)+-=250cos50)22cos5+=2cos(5045)2cos5-==．例4．是否存在两个锐角,αβ满足（1）223παβ+=；（2）tan tan 22αβ⋅=存在，求出,αβ的值；若不存在，说明理由． 解：由（1）得23απβ+=tan tan 2tan()21tan tan 2αβαβαβ+=+=-，∴tan tan 22tan tan 32αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴tan 22tan 1αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩tan 2tan 12βα⎧=⎪⎨=⎪⎩（∵024απ<<，∴tan 12α≠，舍去）， ∴64παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求满足条件的两个锐角．（四）巩固练习：1．化简1tan151tan15+-等于（ A ）()A()B ()C 3()D 1 2．已知sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos 2αα+=75-．第四章 三角函数——第26课时：两角和与差的三角函数3．在ABC ∆中，(1cot )(1cot )2A B ++=，则2log sin C =12-． 五．课后作业：《高考A 计划》考点26，智能训练4，5，6，10，11，12，13，14．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

一．课题：两角和与差的三角函数二．教学目标：掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题．三．教学重点：公式的灵活运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．两角和与差的三角函数公式；二倍角公式； 2．降次公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（二）主要方法：1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面； 3．掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等．（三）例题分析：例1．已知1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈ ，(,)2παβπ+∈求β的值． 解：∵1cos 7α=，(0,)2πα∈，∴sin 7α=，又∵11cos()14αβ+=-，(,)2παβπ+∈，∴sin 14α=，∵1cos cos[()]cos()cos sin()sin 2βαβααβααβα=+-=+++=，又∵(0,)2πα∈ ，(,)2παβπ+∈，(0,)βπ∈， ∴3πβ=．例2．已知A 为一三角形的內角，求222cos cos ()3y A A π=++的取值范围． 解：2221cos 2()21cos 23cos cos ()322A A A A ππ+++++=+ 441cos 2cos cos 2sin sin 233A A A ππ=++-11cos 2sin 21cos(2)223A A A π=++=+-．∵A 为一三角形內角，1cos(2)123A π-<-≤，∴222cos cos ()3y A A π=++的取值范围是1(,1]2．例3．解：原式2sin 8012sin 50(cos10)++=o o o o o2sin 802sin 50cos(6010)+-=o oo o o2(50cos50)22cos5+=o o o2cos(5045)2cos5-==o o o ．例4．是否存在两个锐角,αβ满足（1）223παβ+=；（2）tan tan 22αβ⋅=存在，求出,αβ的值；若不存在，说明理由．解：由（1）得23απβ+=tan tan 2tan()21tan tan 2αβαβαβ+=+=-，∴tan tan 22tan tan 32αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴tan 22tan 1αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩或tan 2tan 12βα⎧=⎪⎨=⎪⎩（∵024απ<<，∴tan 12α≠，舍去）， ∴64παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求满足条件的两个锐角．（四）巩固练习：1．化简1tan151tan15+-oo等于（ A ）()A ()B()C 3()D 12．已知sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos2αα+=75-． 3．在ABC ∆中，(1cot )(1cot )2A B ++=，则2log sin C =12-．五．课后作业：《高考A 计划》考点26，智能训练4，5，6，10，11，12，13，14．。

两角和与差的三角函数【知识梳理】 主要公式：两角和与差的三角函数公式： sin()αβ+＝ sin()αβ-＝cos cos sin sin αβαβ- = cos cos sin sin αβαβ+= tan()αβ±=题型一：给角求值 1.求下列各式的值（1）tan 20tan 403tan 20tan 40++（2）sin10sin 20cos30cos10sin 20sin 30+-类题演练：求下列三角函数式的值(1)00tan 204sin 20+(2)tan 70cos103sin10tan 702cos 40+-题型二：给值求角 1.已知1cos 7α=,13cos()14αβ-=,且02πβα<<<，求β的值.2.已知1tan 7α=,1tan 3β=,若αβ，均为锐角，求2αβ+的值.3.已知,,(0,)2παβγ∈，sin sin sin αγβ+=,cos cos cos γβα+=,求-βα的值.4.已知11tan(),tan 27αββ-==-,且,(0,)αβπ∈,求2αβ-的值.题型三：给值求值1.已知αβ，均为锐角，且cos sin tan cos sin ααβαα-=+,则tan()αβ+=2.已知4cos()5αβ+=,4cos()5αβ-=-，求cos cosαβ=3.已知22sin sin,cos cos33x y x y-=--=,且,x y为锐角，则tan()x y-=4.已知1sin(),63πα+=则2cos(2)3πα-=5.若3177cos(),45124x xπππ+=<<,求2sin22sin1tanx xx+-的值.题组四：综合提升1.求下列各值（1）sin1212ππ=(2)(tan103)sin 40-=(3)若tan20,tan60,tan100a b c===则111ab bc ca++=(4)2223164sin20sin20cos20-+=2.已知3,(,)4παβπ∈,312sin(),sin(),5413παββ+=--=则cos()4πα+=3.若353sin(),cos(),41345ππαβ+=-=且30,44ππαβ<<<<求cos()αβ+的值.。

两角和与差的三角函数教案教案标题：两角和与差的三角函数教案教案目标：1. 了解两角和与差的三角函数公式；2. 掌握两角和与差的三角函数的计算方法；3. 能够应用两角和与差的三角函数解决实际问题。

教案步骤：引入：1. 引入两角和与差的概念，与学生一起回顾正弦、余弦、正切的定义；2. 引导学生思考如何计算两个角的和与差。

探究：1. 将两角和与差的三角函数公式列出，并解释每个公式的含义；2. 通过示例演示如何使用公式计算两角和与差的值；3. 让学生自主尝试计算其他两角和与差的值，并与同学分享解题思路。

拓展：1. 引导学生思考如何应用两角和与差的三角函数解决实际问题；2. 提供相关实际问题，让学生运用所学知识解决；3. 学生之间互相交流解题思路和答案。

巩固：1. 提供练习题，让学生巩固两角和与差的三角函数的计算方法；2. 检查学生的练习题答案并进行讲解。

总结：1. 总结两角和与差的三角函数的计算方法；2. 强调学生在实际问题中应用两角和与差的三角函数的能力。

教案评估：1. 在课堂上观察学生的参与度和理解程度；2. 检查学生在练习题中的答案；3. 收集学生的反馈和问题，以便调整教学方法。

教案扩展：1. 引入倍角与半角的概念，与学生一起探究其计算方法；2. 提供更复杂的实际问题，让学生进一步应用两角和与差的三角函数解决。

教案注意事项：1. 确保学生已经掌握正弦、余弦、正切的定义和计算方法；2. 通过图形或实物等形象化的方式辅助教学，提高学生的理解能力；3. 鼓励学生互相合作，共同解决问题，促进学生的交流与合作能力。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 『试一试』1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为____________． 『答案』222．(2013·徐州摸底)已知cos ⎝⎛⎭⎫π－α2＝23，则cos α＝________.『解析』由cos ⎝⎛⎭⎫π－α2＝23得cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝23，则sin α2＝23，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫232＝19. 『答案』191．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 2．角的变换技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β. 3．三角公式关系『练一练』1．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为________． 『答案』12．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 『解析』法一：cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 法二：cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 『答案』16考点一三角函数公式的基本应用1.已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.『解析』cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.『答案』－752．(2013·苏北四市一调)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 『解析』由α为锐角，cos α＝55得sin α＝255，则tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝－3.『答案』－33．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 『解析』(1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013， f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. 『备课札记』 『类题通法』两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．考点二三角函数公式的逆用与变形应用『典例』 (1)在△ABC 中，若tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________． (2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为________． 『解析』 (1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得 tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50° ＝12sin 40°sin 40°＝12. 『答案』 (1)22 (2)12『备课札记』 『类题通法』运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． 『针对训练』1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________．『解析』因为cos(75°＋α)＝13，所以sin(15°－α)＝13，所以cos(30°－2α)＝1－2sin 2(15°－α)＝1－2×19＝79.『答案』792．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．『解析』－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 『答案』2考点三角的变换『典例』 (2014·常州一模)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．『解』 (1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos 『α－(α－β)』 ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010 ＝91050.『备课札记』在本例条件下，求sin(α－2β)的值.『解析』∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010， cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin 『(α－β)－β』＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.『类题通法』1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； 3．注意角变换技巧． 『针对训练』1．(2014·盐城摸底)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4的值为________． 『解析』因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝31010. 令θ＋π4＝α，则sin α＝31010，cos α＝1010，于是sin 2α＝2sin αcos α＝35，cos 2α＝1－2sin 2 α＝－45，故sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－3π4＝22(－sin 2α－cos 2α)＝22×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝210. 『答案』2102．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 『解析』因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 『答案』17250『课堂练通考点』1．(2011·江苏高考)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________．『解析』因为tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＋11－tan x＝2，解得tan x ＝13，所以tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x 2＝1－⎝⎛⎭⎫1322＝49.『答案』492．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是________． 『解析』cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 『答案』－13．若f (α)＝2tan α－2sin 2α2－1sin α2cos α2，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝________. 『解析』∵f (α)＝2tan α－－cos α12sin α＝2sin αcos α＋2cos αsin α＝4sin 2α，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8. 『答案』84．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．『解析』因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.『答案』135．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求 cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 『解析』(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos 『α－(α－β)』 ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310.。