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高中数学人教版选修2-1配套课件：2.3.2 第2课时双曲线方程及性质的应用

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高中数学 2.3.2第2课时双曲线方程及性质的应用精品同步导学 新人教A版选修2-1

高中数学 2.3.2第2课时双曲线方程及性质的应用精品同步导学 新人教A版选修2-1
(1)求直线 AB 的方程； (2)求弦 AB 的长．
解析： (1)易知直线 AB 的斜率存在． 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程 3x2－y2＝3，得 3x12－y21＝3,3x22－y22＝3， 两式相减得：3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)， 即yx11－－yx22·xy11＋＋xy22＝3. 所以直线 AB 的斜率 kAB＝xy11－－xy22＝3yx11＋＋yx22＝3×y1x＋1＋2y2x2＝3×1 2＝6.
2．弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k12|y1－y2| ＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
1．过点 P－1，－ba的直线 l 与双曲线ax22－by22＝1 有且仅有一个公 共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实半轴长等于
• 那么炮击的方位角应该为多少度？
1．直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)① 双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ba时，直线 l 与双曲线的渐近线平行， 直线与双曲线 C 相交于一点．
() A．2
B．4
C．1 或 2
D．2 或 4
解析： 依题意知，过点 P 的直线 l 与双曲线相切或与双曲线的 渐近线 y＝－bax 平行，所以 a＝1 或－－1＋ba a＝－ba，
解得 a＝1 或 a＝2.所以实半轴长等于 1 或 2，故选 C.

《双曲线及标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2.3.1课时)

《双曲线及标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2.3.1课时)

|MF1|-|MF2| =2a 即双曲线的右支
当|MF1|-|MF2|=2a时，M点轨迹是双曲线中靠近F2的一支； 当|MF2|-|MF1|=2a时，M点轨迹是双
曲线中靠近F1的一支.
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）即表示整个双曲线
新知探究
如何求这优美的曲线的方程？
新知探究
判断： x2 y2 1 与 16 9
y2 x2
1 的焦点位置？
9 16
x , y 结论： 看 2
2 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上。
课堂练习
4.例题讲解 1.已知方程
m x2 y 2 表1示椭圆，则
m 1 2 m
的取值范围是____________.
解： m 1 0
2 m 0 m 1 2
0<2a<2c
M F1 o F2
新知探究
试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
（F1、F2是两定点, |MF1|－|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c)
当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 双曲线的右支 ；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 双曲线的左支
a>b>0， c2=a2-b2 a最大
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b， c2=a2+b2 c最大
新知探究
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是Y轴上？

高中数学 2-3-2-2 双曲线几何性质的应用课件 新人教A版选修2-1

高中数学 2-3-2-2 双曲线几何性质的应用课件 新人教A版选修2-1

A．4
B．3
C．2
D．1
解析：过P与渐近线平行的直线与双曲线只有一个 公共点，另外x＝1与双曲线只有一个公共点，∴l的条 数是3.
答案：B
3．直线 3x－y＋ 3＝0 被双曲线 x2－y2＝1 截 得的弦 AB 的长为________．
解析：应用弦长公式． 答案：2
4．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点 为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．
(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ba时，直线 l 与双曲线 的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与 双曲线相交；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线 与双曲线相切；
解析：顺次连接虚轴的一个端点、一个焦点和原点，
可构成一个直角三角形．
由条件知，这个三角形的两条直角边分别是 b，c(b
是虚半轴长，c 是半焦距)，且有一个内角是 30°，即得 tan30°
＝b或 c
tan30°＝bc，所以
b＝
3c 或 c＝
3b.所以 a2＝－2c2(舍
去)或 a2＝23c2.
所以 e＝ca＝ 26.
迁移体验2 已知双曲线3x2－y2＝3，过P(2,1)点作 一直线交双曲线于A、B两点．若P为AB的中点，
Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双 曲线相离．
思考感悟 直线和双曲线只有一个公共点，直线一定和双 曲线相切吗？ 提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行 时，直线与双曲线相交，只有一个交点．

高中数学选修2-1人教A版：2.3.2直线与双曲线的位置关系课件(1)

高中数学选修2-1人教A版：2.3.2直线与双曲线的位置关系课件(1)

注:
①相交两点:
△＞0
同侧：x1 x2＞0
异侧: x1 x2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解 不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问题——点差法 四、对称与垂直问题 五、综合问题
1 ,
1
两式做差得：３（x1
ｘ2）（x1
＋ｘ）＝（ｙ
2
1
ｙ2）（ｙ1
＋ｙ） 2
x1＋ｘ2 2m,
ｙ 1
＋ｙ 2
2n,
ｙ 1
ｙ2
x1ｘ2
2
即：ｎ＝－３ｍ，又Ｐ（ｍ，ｎ）在直线ｙ＝１ｘ上，那么
２
２
ｎ＝２１ｍ，显然不符合上式，所以这样的a不存在。
五、综合问题
1、设双曲线C：
x2 a2
y2
1(a
0)与直线
y 1 2(x 1)
方程组无解，故满足条件的L不存在。
解 : 假设存在P(x1,y1),Q(x2,y2)为直线L上的两点, 且PQ的中点为A,则有 :
y 1 k(x 1)
x
2
y
2
1
2
韦达定理
消y得 (2 k 2 )x2 2k(1 k)x k 2 2k 3 0
2k2 0
（8 3 - 2k） 0
练习:
直线m : y = kx +1和双曲线x2 - y2 =1的左支交于A,B
两点, 直线l过点P -2,0和线段AB的中点. 1 求k的取值范围. 2 是否存在k值, 使l在y轴上的截距为1?若存在, 求出k的值;

人教版高中数学选修2-1全套课件(第二章)圆锥曲线与方程-双曲线-双曲线的简单几何性质

人教版高中数学选修2-1全套课件(第二章)圆锥曲线与方程-双曲线-双曲线的简单几何性质

由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3； c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5， 焦点的坐标是(0， －5)， (0,5)， 3 4 渐近线方程为 x＝±4y，即 y＝±3x.
由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质 x2 y2 y2 的步骤是：首先将双曲线方程化为标准形式a2－b2＝1 或a2－ x2 b2＝1，确定 a，b 的值，进而求出 c，再根据双曲线的几何性 x2 y2 质得到相应的答案， 这里特别提出的是双曲线a2－b2＝1 的渐 b 近线为 y＝±ax，
由双曲线的几何性质求标准方程
•
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5 (1)实轴长为 8，离心率为4； (2)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，
实轴长和虚轴长相等，且过点 P(4，－ 10)； 1 (3)渐近线方程为 y＝±2x，且经过点 A(2，－3)．
• 思路点拨： (1)(2)可用待定系数法求出a，b， c后求方程； • (3)可以利用渐近线的方程进行假设，或者讨 论焦点所在的坐标轴，再根据已知条件求相应的 标准方程．
4 9 解析： 由题意知a2－b2＝1，c2＝a2＋b2＝4 得 a＝1，b ＝ 3， ∴e＝2.
•
答案： 2
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程： 5 (1)过点(3，－ 2)，离心率 e＝ 2 ； 3 (2)顶点间的距离为 6，渐近线方程为 y＝±2x.
解析： (1)若双曲线的焦点在 x 轴上，设其标准方程为 9 2 x2 y2 b>0)， 因为双曲线过点(3， 则a2－b2＝ － 2)， a2－b2＝1(a>0， 1， c 又 e＝a＝
则 2a＝4，故选 C. 答案： C
2． 已知双曲线 9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一 1 条渐近线的距离为5，则 m＝( A．1 C．3 ) B．2 D．4

(人教)高中数学选修2-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.2第2课时

(人教)高中数学选修2-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.2第2课时

•2.3双曲线•2.3.2双曲线的简单几何性质•第二课时直线与双曲线的位置关系自主学习新知突破目标导航•1.进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质 ,能解决与双曲线有关的综合问题.•2.掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法 ,能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力.入门答疑•1.过双曲线的焦点与渐近线平行的直线与双曲线有几个交点？•［提示］1个交点・•2.类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系是怎样的？•［提示］直线与双曲线相交、相切、相离・走进教材______ 直线与双曲线的位置关系及判定直线：Ax+By+C—0,、? V2双曲线：^2 —^2=1(«>0, Z?>0),两方程联立消去y,得mx2-}~nx-\-q=0.弦长公式设斜率为£的直线/与双曲线相交于A(x P力)，Pg，y2)乃1伙工0)・❶思维启迪〕正确理解直线与双曲线位置关系及判定一般地，设直线/：y=kx~\~m（m0）①2 2双曲线C：》一話=1（°>0，Z?>0）②把①代入②得（戻一«2Zr2）x2—2a2mkx—a2m2—cTb1=0.h⑴当b2—a2k2 = 0,即k=±-时，直线/与双曲线的渐近CI线平行，直线与双曲线C相交于一点.A(2)当庆一即ky^+r时，/ = (— 2a2 mk)1—4(/?2—a11^)(—«2/n2—c^b2)・/>0=直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；力=03直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；/von直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离.自主练习1.直线y=mx+1与双曲线%2—y2= 1总有公共点，则m的取值范围是（）A. m三型或mW—型B.—型WmWpl且m工0C.加WR D・—yfiWmWpl2-已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F 的直线/与E相交于4, B两点,且的中点为N(-12,一15),则E的方程为(=1解析：由于的中点为N(—12，-15),所以直线/—15—0的斜率k=T2_3 = l，所以直线/的方程为，=兀一3，由于2 2F(3,0)是E的焦点，可设双曲线的方程为乂一宀-=l(0vx9), a9—ay=x-3设4(兀1，X), Bg力)，联立<-y2>,2 _ ,化简得a 9~a~(9—2a)F+6ax+d2—18。

人教A版高中数学选修2-1课件《2.3.2双曲线方程及性质的应用》(第2课时).pptx

3
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线(axa>220,bby2>2 0)1的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 sinPF2F1
a， c
则该双曲线的离心率的取值范围是_______.
故点C的轨迹方程是 x2 y2 1.
2
由消x去2 y并y22整 1理，得x2+4x-6=0,
y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6，
故|DE|= x1 x2 2 y1 y2 2 = 2g x1 x2 2 4x1x2 4 5.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系得①x1

x2


6 5
m, x1x2

3m2 10
6
又|AB|= x1 x2 2 y1 y2 2 = 1 4x1 x2 2 4.
所以5［(x1+x2)2-4x1x2］=16②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
②联立直线与双曲线方程
y kx 2，

x
2

3y2

3

0
⇒ 1 3k2 x2 6 2kx 9 0，
由题意得
72k2 4 1 3k2
9 0,
1 3k2 0,
解得-1<k<1且 k 3 ,

人教课标版高中数学选修2-1《双曲线的简单几何性质第二课时》名师课件2


巩固练习
1、已知双曲线x42－y2＝1，求过点 A(3，－1)，且被点 A 平分的 双曲线的弦 MN 所在直线的方程．
因为点 A 平分弦 MN，所以 x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2. 所以 kMN＝xy22－ －xy11＝4（xy22＋＋xy11）＝－34. 所以所求直线 MN 的方程为 y＋1＝－34(x－3)， 即 3x＋4y－5＝0.
由于 x1，x2 都是方程①的根，且 1－a2≠0. 由根与系数的关系，得1172x2＝－12－a2a2，152x22＝－12－a2a2.
例题讲解
例 4、(本题满分 12 分)设双曲线 C：xa22－y2＝1(a>0)与直线 l：x ＋y＝1 相交于两个不同的点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围． (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B，求 a 的值．
巩固练习
1、已知双曲线x42－y2＝1，求过点 A(3，－1)，且被点 A 平分的 双曲线的弦 MN 所在直线的方程． 解：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为 M，N 均在双曲线上， 所以xx442212－－yy2212＝ ＝11，两式相减，得x22－4 x21＝y22－y21， 所以xy22－ －xy11＝4（xy22＋＋xy11）.
（C>1）
(0<C<1)
例题讲解 例 3、设 F1 和 F2 为双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若
F1、F2、P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率
为( A )
A．2
B.32
C.52
D．3
解析：选 A.因为 F1、F2、P(0，2b)是正三角形的三个顶点，所

高中数学人教A版选修21课件2.3.1双曲线及其标准方程(系列二)


2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是 两；条若射2a线>|F1F2| 则 动 点 的 轨 迹 是 ．不存在
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”绝，对若值去掉定义中“
”三个绝字对，值动点轨迹只能是 ．
双曲线一支
题型探究
待定系数法求双曲线的标准方程
3．已知双曲线方程为2x02 －y52＝1，那么它的焦距为
A．10 C. 15
B．5 D．2 15
()
[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.
三、解答题
7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点 P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线方程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 由已知得，2a＝24，∴a＝12，c＝13，∴b＝5， ∴双曲线的标准方程为：1y424－2x52 ＝1.
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲 线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所 以有
人教版 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程Fra bibliotek学习方法

2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)


（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
第6页，共69页。
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
第1页，共69页。
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
第5页，共69页。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
第34页，共69页。
学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
第26页，共69页。
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成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
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第二章 2.3 2.3.学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
2．中点弦问题的两种处理方法
第二章 2.3 2.3.2 第2课时
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6 1.下列曲线中离心率为 2 的是( x2 y2 A. 2 － 4 ＝1 x2 y2 C. 4 － 6 ＝1
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第二章
圆锥曲线与方程
第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
2.3 双曲线
第二章
圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
第二章 2.3.2 双曲线的几何性质
2 2 2
第二章 2.3 2.3.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
x2 y2 2．双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点为 F1、F2，若 P 为其上一点，且 |PF1| ＝ 2|PF2| ，则双曲线离心率的取值范围为 ( ) A．(1,3) C．(3，＋∞) B．(1,3] D．[3，＋∞)
1.把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为
一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判
别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 另外，当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线 只有一个公共点，故直线与双曲线只有一个公共点是直线与 双曲线相切的必要而不充分条件．
)
x2 y2 B． 4 － 2 ＝1 x2 y2 D． 4 －10＝1
[ 答案]
B
第二章 2.3 2.3.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
[ 解析]
2 2
本题考查双曲线的离心率的概念．验证：A 中，
2
6 c a ＝2，b ＝4，c ＝6，∴e＝a＝ ＝ 3； 2 6 c B 中，a ＝4，b ＝2，c ＝6，∴e＝a＝ 2 ，故选 B.
第二章 2.3 2.3.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
x2 y2 3 4．如果双曲线 4 －m＝1 的渐近线方程为 y＝± 2 x，则双 曲线的焦点坐标是________．
[ 答案] (± 7，0)
[ 解析]
3 m 由题意： 2 ＝ 2 .∴m＝3.
第2课时 双曲线方程及性质的应用
第二章
圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
课前自主预习
课堂典例讲练
方法警示探究 思想方法技巧
易错疑难辨析
课后强化作业
第二章 2.3 2.3.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
第二章 2.3 2.3.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
[答案] B
[ 解析] 由双曲线几何定义，|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a， 在△PF1F2 中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|， c ∴6a≥2c，∴a≤3，又 e>1，∴1<e≤3. 故选 B.
课前自主预习
第二章 2.3 2.3.2 第2课时
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两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并
且获得了大量的成果．古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割
圆锥的方法来研究这几种曲线．用垂直于锥轴的平面去截圆 锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜
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x2 y2 3 ．已知双曲线 a2 －b2 ＝1(a>0 ，b>0)的左、右焦点分别为 sin∠PF1F2 a F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点 P 使 ＝c，则 sin∠PF2F1 该双曲线的离心率的取值范围是________．
到和且仅和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再
倾斜一些就可以得到双曲线．阿波罗尼曾把椭圆叫做亏曲 线，把双曲线叫做超曲线，把抛物线叫做齐曲线．事实上，
阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数
学中关于圆锥曲线的全部性质和结果.
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∴焦点坐标为(± 7，0)．
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5．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)
的双曲线的标准方程为________．
[ 答案]
[ 解析]
y2 x 2 2 － 4 ＝1
x2 2 设与双曲线 2 －y ＝1 有公共渐近线的双曲线方
x2 2 程为 2 －y ＝k. 22 将点(2，－2)代入得 k＝ 2 －(－2)2＝－2， y2 x 2 ∴双曲线的标准方程为 2 － 4 ＝1.
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课堂典例讲练
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[ 答案] (1， 2＋1)
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[ 解析]
考查双曲线的性质．
不妨设 P 为双曲线右支上一点，由正弦定理可得 sin∠PF1F2 PF2 a PF1 ＝PF ＝c ，∴PF ＝e， sin∠PF2F1 1 2 PF1－PF2 2a 故 PF ＝PF ＝e－1， 2 2 2a 2 而 PF2＝ >c－a，即 >e－1，∴e< 2＋1， e－1 e－1 又∵e>1，∴1<e< 2＋1.