第三章 空间向量与立体几何 (教师卷)

选修2-1第三章 《空间向量与立体几何》训练卷A 卷供稿人 吴坚（广大附中）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1=，11D A =，A A 1=.则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2121C ．+-2121D ．+--21214．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC>的值是（ ）A ．21 B ．22 C ．－21D ．05．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A ．627 B ．637 C ．647 D ．6576．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙，，，则∆BCD 是（ ） A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定7．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．5119．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85BC．D ．5010．已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）ABCD ．34二、填空题（本大题共6小题，每题6分，共36分）11．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-= ，若a ⊥ b，则=x ______ .12．若A(m ＋1,n －1,3)，B(2m,n,m －2n)，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m+n= ． 13．若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则以,为邻边的平行四边形的面积为 ． 14. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，C z y x AC 1132++=，则x+y+z=_________. 15. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 . 16. 过点S 引三条不共面的直线SA ，SB ，SC ，其中∠BSC=90°，∠ASC=∠ASB=60°，且SA=SB=SC ，则二面角S-BC-A 的平面角的大小为________，SA 与平面ABC 所成的角大小为______________.三、解答题（本大题共5题，共64分） 17.（本小题12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC 上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．18.（本小题12分）在棱长为a 的正方体1111-ABCD D C B A 中，E 为1AC 的中点 （1）求1AB 与平面11A ACC 所成的角； （2）求二面角A E A B --11的大小；19.（本小题12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 ，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°.)0,21,23(（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值20. （本小题14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD，PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.（1）证明：AE ⊥平面PBC ； （2）若1AD =，①求二面角B EC D --的平面角的余弦值; ②求直线BC 与平面ECD 所成角的正弦值.21.（本小题14分）如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上. (1)求证:⊥BC 平面ACFE ;(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;(3)求二面角D EF B --的平面角的余弦值.MFECD BA参考答案一、选择题：CAADD BCCBD 二、填空题：11.310；12. 0；13. 56； 14.67；15.16. 90°，45°三、解答题：17.解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得||MN ==． 18（1）30（2）60过程略19解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD 的坐标为（0，－23,21）. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=. 设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD 1051-=. 第20题解答21、（Ⅰ）在梯形ABCD 中，CD AB // ，︒=∠===60,ABC a CB DC AD∴四边形A B C 是等腰梯形，且︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA ，︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴ 2分又 平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE 4分 （Ⅱ）解法一、当a EM 33=时，//AM 平面BDF ， 5分 在梯形ABCD 中，设N BD AC =⋂，连接FN ，则2:1:=NA CN 6分，a EM 33=，而a AC EF 3==2:1:=∴MF EM ， ……7分AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴8分又⊂NF 平面BDF ，⊄AM 平面BDF //AM ∴平面BDF 9分解法二：当aEM 33=时，//AM 平面BDF ，由（Ⅰ）知，以点C 为原点，CF CB CA ,,则)0,0,0(C ，)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ，)0,21,23(a a D -， ),0,0(a F ，),0,3(a a E⊄AM 平面BDF ，∴//AM 平面BDF ⇔→AM 与→FB 、→FD 共面，也等价于存在实数m 、n ，使→→→+=FD n FB m AM ，设→→=EF t EM )0,0,3(a EF -=→ ，)0,0,3(at EM -=→),0,3(a at EM AE AM -=+=∴→→→又),21,23(a a a FD --=→，),,0(a a FB -=→， 6分， 所以：),21,23(),,0(),0,3(a a a n a a m a at --+-=-成立，解得31=t （过程略） 8分，∴当a EM 33=时，//AM 平面BDF 9分（Ⅲ）解法一、取EF 中点G ，EB 中点H ，连结DG ，GH ，DHEF DG DF DE ⊥∴=, ⊥BC 平面AC EF BC ⊥∴又FC EF ⊥ ，FB EF ⊥∴，又FB GH // ，GH EF ⊥∴222DB DE BE +=∴BDGH ∠∴是二面角D EF B --的平面角. 10分在BDE ∆中,a AB AE BE a DB a DE 5,3,222=+===︒=∠∴90EDB ,a DH 25=∴. 7分又a GH a DG 22,25== 12分∴在DGH ∆中，由余弦定理得1010cos =∠DGH , 13分 即二面角D EF B --的平面角的余弦值为1010.……14分 解法二:由(Ⅰ)知,以点C 为原点，CF CB CA ,,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则)0,0,0(C ,)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ，)0,21,23(a a D -，),0,0(a F ，),0,3(a a E 过D 作EF DG ⊥垂足为G . 过程略，二面角D EF B --的大小就是向量→GD 与向量→FB 所夹的角. 12分 ∴→→→→→→⋅⋅>=<FBGD FB GD FB GD ,cos 1010= 即所求角的余弦值为1010. 14分。

第三章 空间向量与立体几何3．1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减法【考点同步解读】1．理解空间向量概念及其运算性质，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法. 2．能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律. 考点1：空间向量基本概念及理解例1:给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；②若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ③零向量没有方向；④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． 其中假命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4正解：模相等的两个向量不一定相等，①错；|m |＝|n |，|n |＝|p |，所以|m |＝|p |，又m 与n 同向，n 与p 同向，从而m 与p 同向，所以m ＝p ，②对；零向量方向任意，但并不是没有方向，③错；④错．C正解依据：（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同. 考点2：空间向量加减法及运算律例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C的中点．用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________． 正解：解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 正解依据：（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 考点3：对数函数的性质例4．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，求λ的值． 正解：解 连结CG 并延长交AB 于D ， 则D 为AB 中点，且CG ＝2GD ，∴OA →＋OB →＋OC →＝OG →＋GA →＋OG →＋GB →＋OG →＋GC →＝3OG →＋GA →＋GB →＋GC → ＝3OG →＋2GD →＋GC →＝3OG →(→)－GC →＋GC →＝3OG →. ∴λ＝3.正解依据：（1）根据向量加减运算的法则进行化简，注意向量的起点、终点；（2）几何与向量结合及数形结合是常见的数学方法. 【易错题纠正案】（不少于3道例题）例1 下列说法正确的是( A )．A ．向量AB 与BA的长度相等B ．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等例2 在空间四边形ABCD 中，2AB ＋CA ＋BC －AD ＋BD＝__________．答案：0例3 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++ ；（3）1()2AG AB AC -+ ．正解：解：如图，（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）111()222AB BD BC AB BC BD ++=++AB BM MG AG =++= ； （3）1()2AG AB AC AG AM MG -+=-= ．【高考试题链接】例1 （2011·上海高考理科·T17） 设12345,,,,A A A A A 是平面上给定的5个不同点，则使12345MA MA MA MA MA ++++ 0=成立的点M 的个数为（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）5. （D ）10.正解：在平面中我们知道“三角形ABC 的重心G 满足：0GA GB GC ++=”则此题就能很快的答出，点M 即为这5个点的重心，即点M 只有一个点。

2022年广州市高二教研资料空间向量与立体几何B卷高中数学高考选修2-1第三章《空间向量与立体几何》训练卷B卷供稿人吴坚（广大附中）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知a(某,4,3),b(3,2,y),且a//b,则某y（）A.－4B.9C.－9D.a(0,1,1)b(1,2,1)2．已知、，则a与b的夹角为（）A．30B．60C．90D．1503．已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的一点，在下列条件中能说明M与A，B，C四点共面的是（）64911111OAOBOCB.OMOAOBOC22233C.OMOAOBOCD.OM2OAOBOCA.OM4．已知OA(1,2,3)，OB(2,1,2)，OP(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，点Q的坐标为（）131123448447（A）(,,)（B）(,,)（C）(,,)（D）(,,)2432343333333125．点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内一点，且满足APABADAA1，则423点P到棱AB的距离为（）A．464D．145126．如图，空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则MN等于（）D121221A．abcB．abc332232C．211111abcD．abc3222227．已知PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（）1363B.C.D.23328．正四棱锥SABCD的高SO2，底边长AB2，则异面直线BD和SC之间的距离（）A．A．155B．5255C．D．55109．已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．点C1到平面AB1D的距离（）A．2a4B．232aC．a84D．2a210.如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线A．①③④B．③④C．①③D．①②③二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）11.已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是．12.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若OG=某OA+yOB+zOC，则（某，y，z）为.13.已知向量a(1,1,0),b(1,0,2)，a在b方向上的射影是____________.14．若a(2,1,1)，b(2,1,3)，则与a,b均垂直的单位向量的坐标为__________________．15．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC 与平面BDE所成的角为________16.在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角，则B、D之间的距离是三、解答题（本大题共5题，共70分）17.（本小题14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA14，点D是AB的中点.（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1;（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.18.（本小题14分）如图4，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在棱CD 上。

专题九立体几何与空间向量--2020-2023高考真题数学专题分类汇编真题卷题号考点考向2023新课标1卷12基本的立体图形正方体、球体、四面体、圆柱体的结构特征14简单几何体的表面积与体积求四棱台的体积18空间直线、平面的垂直、二面角线线平行的判定、已知二面角确定动点位置2023新课标2卷9基本的立体图形、二面角圆锥的结构特征、圆锥的表面积与体积、二面角的定义14简单几何体的表面积与体积求四棱台的体积20空间直线、平面的垂直、二面角异面垂直的判定、求二面角2022新高考1卷4简单几何体的表面积与体积求棱台的体积8简单几何体的表面积与体积、外接球求棱锥的体积、球的切接问题9空间角求异面直线成角、线面角19空间中的距离、空间角求点到平面的距离、求二面角2022新高考2卷7简单几何体的表面积与体积求外接球的表面积11简单几何体的表面积与体积求三棱锥的体积20空间直线、平面的平行、空间角线面平行的判定、求二面角2021新高考1卷3基本的立体图形求圆锥的母线长12基本的立体图形几何体中的动点问题（动点轨迹、三棱锥的体积、线线垂直的判定、线面垂直的判定）20空间直线、平面的垂直、简单几何体的表面积与体积线线垂直的判定、求三棱锥的体积4简单几何体的表面积与体积求球的表面积2021新高考2卷5简单几何体的表面积与体积求正四棱台的体积10空间直线、平面的垂直线线垂直的判定19空间直线、平面的垂直、空间角面面垂直的判定、求二面角2020新高考1卷4空间角求线面角16基本的立体图形球的截面问题20空间直线、平面的垂直、空间角线面垂直的判定、求线面角正弦值的最值2020新高考2卷13简单几何体的表面积与体积求三棱锥的体积20空间直线、平面的垂直、空间角线面垂直的判定、求线面角【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷第12题）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：)m 的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查正方体内接其它几何体的问题，属于综合题.由正方体、球体、四面体、圆柱体的结构特征和棱长、直径的大小关系，逐个分析选项可得解.【解答】解：选项A ，正方体的内切球直径为10.99>，故A 正确;选项B ，连接正方体的六个面对角线，可以得到一个正四面体， 1.4>，故B 正确;对于C ，D ，假设放入最大的圆柱AB ，A ，B 分别为圆柱下、上底面的圆心，设圆柱底面半径为r ，正方体体对角线为CD ，||3CD =263AC ∴=，当r 取定时，圆柱的高 max 36.h r =对于C ，当0.005r =时， max 360.005 1.72 1.8h =≈<，故C 错．对于D ，当0.6r =时， max 30.660.260.01h =->，故D 正确．故选：.ABD 2.（2023·新课标II 卷第9题）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120,2APB PA ︒∠==，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45︒，则()A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为43πC.22AC =D.PAC ∆3【答案】AC 【解析】【分析】本题考查求圆锥的体积与侧面积，及圆锥中的其他量，属于基础题.A ，B 选项，通过解PAB ∆，求出圆锥的高PO 与底面直径AB ，从而求出体积与侧面积；C ，D 选项，利用PDO ∠为二面角P AC O --的平面角，解三角形求出,PD AC 的长，进一步求出PAC ∆的面积.【解答】解：对于A ：在PAB ∆中，2,120PA PB APB ︒==∠=，则1PO =，23AB =故圆锥的体积2111333V PO OA πππ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，故A 正确；对于B ：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为2，弧长为，故圆锥的侧面积为122S =⋅⋅=，故B 错误；对于C ：取AC 中点D ，连接,PD OD ，则,PD AC OD AC ⊥⊥，则PDO ∠为二面角P AC O --的平面角，即45PDO ︒∠=，在Rt PDO ∆中，1PO =，故1,DO PD ==，在Rt ODA ∆中，AD ===，故AC =C 正确；对于D ：11222PAC S PD AC ∆=⋅⋅==，故D 正确.故选.AC 3.（2023·新课标I 卷第14题）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，1AA =，则该棱台的体积为__________【答案】【解析】【分析】本题考查正四棱台的体积，属于中档题．可将正四棱台补成正四棱锥，然后分析求解即可．【解答】解：如图，将正四棱台1111ABCD A B C D -补成正四棱锥，则 2AO =，22SA =，162OO =，故 12121(3V S S S S h =++，2222166(2121).326V =⨯++⨯⨯4.（2023·新课标II 卷第14题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为__________【答案】28【解析】【分析】本题主要考查棱台的体积，属于基础题．根据题意正四棱锥被截后剩余部分为正四棱台，直接计算即可求解．【解答】解：由题意可得四棱台的高为3，上底面面积为224⨯=，下底面面积为4416⨯=，故正四棱台的体积 1(416416)328.3V =⨯+⨯⨯=所得棱台的体积为28.5.（2023·新课标I 卷第18题）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1 4.AA =点2A ，2B ，2C ，2D ，分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，21AA =，222BB DD ==，2 3.CC =(1)证明：2222//B C A D ；(2)点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150 时，求2.B P【答案】证明：(1)如图，作21A E BB ⊥于点E ，21D F CC ⊥于点F ，则有22//A E D F ，22A E D F =，即四边形22A EFD 是平行四边形，从而22//A D EF ，又22//B E C F ，221B E C F ==，即四边形22B EFC 是平行四边形，从而22//B C EF ，从而2222//B C A D ，得证.(2)如图，以点B 为原点，以BC 、BA 、1BB 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设(0,0,)P t ，2(2,0,3)C ，2(0,2,1)A ，2(2,2,2)D ，22(2,0,1)A D = ，22(2,-2,2)A C = ，2(0,-2,1)A P t =-，设平面222A C D 的一个法向量为，则，即，令12z =-，则11x =，11y =-，故(1,1,2)m =--设平面22PA C 的一个法向量为，则，即，令22z =，则23x t =-，21y t =-，故(3,1,2)n t t =--二面角222P A C D --的平面角为150 ，，解得1t =或3，则2 1.B P =【解析】本题考查了立体几何中线线平行的判定、二面角等知识，属于中档题.(1)作21A E BB ⊥于点E ，21D F CC ⊥于点F ，构造两个平行四边形，根据平行于同一直线的两直线平行，即可证明2222//.B C A D (2)适当建立空间直角坐标系，设点(0,0,)P t ，分别求出平面222A C D 与平面22PA C 的一个法向量,m n，由二面角222P A C D --为150 ，可知，解出t 的值，进而求得2 1.B P =6.（2023·新课标II 卷第20题）如图三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ︒∠=∠=，E 为BC 的中点.(1)证明：;BC DA ⊥(2)点F 满足EF DA =，求二面角D AB F --的正弦值.【答案】解：(1)连接AE ，DE ，DB DC = ，DE BC ∴⊥，又DA DB DC == ，60ADB ADC ︒∠=∠=，ACD ∴ 与ABD 均为等边三角形，AC AB ∴=，AE BC ∴⊥，AE DE E ⋂=，BC ∴⊥平面ADE ，.BC DA ∴⊥(2)设2DA DB DC ===，BC ∴=DE AE ∴==，2AD =，2224AE DE AD ∴+==，AE DE ∴⊥，又AE BC ⊥ ，DE BC E ⋂=，AE ∴⊥平面BCD ，如图建立空间直角坐标系，D ∴，A，B ，(0,0,0)E，(EF DA F =⇒，(DA ∴=，AB =，(AF =，设平面DAB 与平面ABF 的一个法向量分别为1111(,,)n x y z = ，2222(,,)n x y z =，设二面角D AB F --平面角为θ，，1212|||cos |3||||n n n n θ⋅∴=== ，3sin 3θ∴=【解析】本题考查了线面垂直的性质、二面角的求解，是中档题.(1)先判定线面垂直，再结合线面垂直的性质定理得结论；(2)建立空间直角坐标系，得出平面DAB 的法向量和平面ABF 的法向量，由空间向量求解可得结论.【2022年真题】7.（2022·新高考I 卷第4题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为2140.0;km 水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为2180.0.km 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m时，增加的水量约为 2.65)≈()A.931.010m ⨯B.931.210m ⨯ C.931.410m ⨯ D.931.610m ⨯【答案】C 【解析】【分析】本题考查了棱台的体积公式的应用，属于基础题.读懂题意，结合棱台的体积公式即可求解.【解答】解：依据棱台的体积公式1(3V S S h =⋅+'+⋅1(14000000018000000093=⋅+⨯931.410.m ≈⨯8.（2022·新高考I 卷第8题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π，且3l ，则该正四棱锥体积的取值范围是()A.81[18,4B.2781[,]44C.2764[,]43D.[18,27]【答案】C 【解析】【分析】本题考查了球的切接问题，涉及棱锥的体积、球的体积、导数等知识，属较难题.有正四棱锥的外接球的性质，可得2212(6)33V a h h h h ==-，利用求导求最值，即可解答.【解答】解：方法(1):设正四棱锥P ABCD -的高为1PO h =，底面边长为a ，球心为O ，由已知易得球半径为3R =，所以22222222)(3)9622(6))2a h h l a h h a h l ⎧+-=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎪⎩，因为393962722l h h ⇒⇒，故所以2212(6)33V a h h h h ==-，求导2(4)V h h '=-，所以22(6)3V h h =-在3[,4]2上单调递增，在9[4,2上单调递减，所以max 64(4)3V V ==，min 39327min{(),(()2224V V V V ===，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].43方法(2):由方法(1)中知22(6)3V h h =-，3922h ，求导2(4)V h h '=-，所以22(6)3V h h =-在3[,4]2上单调递增，在9[4,2上单调递减，所以max 64(4)3V V ==，min 39327min{(),(()2224V V V V ===，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].439.（2022·新高考II 卷第7题）已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为同一球面上，则该球的表面积为()A.100π B.128πC.144πD.192π【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用，球体表面积公式的应用.【解答】解：由题意易得上底面所在平面截球面所得圆的半径为3，下底面所在平面截球面所得圆的半径为4，设该球的半径为R ，当正三棱台的上、下底面在球心异侧时，1=，无解；所以正三棱台的上、下底面在球心同侧，所以1=，解得225R =，因此该球的表面积为24100.S R ππ==10.（2022·新高考I 卷第9题）（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -，则()A.直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B.直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C.直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒【答案】ABD 【解析】【分析】本题主要考查直线与直线所成角及直线与平面所成角，属于中档题.根据正方体的结构特征对各个选项逐一判断分析，即可得解.【解答】解：如图，因为11BC B C ⊥，11//B C DA ，所以11BC DA ⊥，故A 正确;对于选项:B 因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以111BC A B ⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B ⋂=，11A B ，1B C ⊂平面11CDA B ，所以1BC ⊥平面11CDA B ，且1CA ⊂平面11CDA B ，所以直线11BC CA ⊥，故B 正确;对于选项:C 连接11AC 与11B D 交于点1O ，因为1B B ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以111B B A C ⊥，又1111A C B D ⊥，且1111B D B B B ⋂=，11B D ，1B B ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ，则11O BC ∠即为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，111111sin 2O C O BC BC ∠==，所以1130O BC ∠=︒，故C 错误;对于选项:D 直线1BC 与平面ABCD 所成的角即为145C BC ∠=︒，所以D 正确.11.（2022·新高考II 卷第11题）（多选）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，//FB ED ，2AB ED FB ==，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为1V ，2V ，3V ，则()A.322V V =B.312V V =C.312V V V =+D.3123V V =【答案】CD 【解析】【分析】本题主要考查三棱锥的体积，属于基础题.【解答】解：设22AB ED FB ===，则1142233V =⨯⨯=，21221.33V =⨯⨯=连结BD 交AC 于M ，连结EM 、FM ，则FM =，EM =3EF =，故13222EMF S ==，3123EMF V S AC =⨯= ，312V V V =+，3123.V V =12.（2022·新高考I 卷第19题）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离;(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值.【答案】解：(1)设A 到平面1A BC 的距离为d ，因为直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，即可得14ABC S AA ⋅= ，故111433A ABC ABC V S AA -=⋅= ，又111114333A ABC A A BC A BC V V S d d --==⋅=⨯= ，解得d =，所以A 到平面1A BC 的距离为；(2)连接1AB ，因为直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，故四边形11AA B B 为正方形，即11AB A B ⊥，又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB ⊥平面1A BC ，因为BC ⊂平面1A BC ，所以1AB BC ⊥，又因为1AA BC ⊥，11,AB AA ⊂平面11ABB A ，且11AB AA A ⋂=，故BC ⊥平面11ABB A ，因为AB ⊂平面11ABB A ，则BC AB ⊥，所以1,,BB AB BC 三条直线两两垂直，故如图可以以B为原点建立空间直角坐标系，设1AA AB a ==，BC b =，则1A B =，由条件可得，解得，则(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，(0,2,0)A ，1(0,2,2)A ，1AC 的中点(1,1,1)D ，所以(0,2,0)BA = ，(1,1,1)BD = ，(2,0,0)BC =，设平面ABD 的一个法向量为1(,,)n x y z =，，取1(1,0,1)n =-，同理可求得平面BCD 的一个法向量为2(0,1,1)n =-，所以1212121|cos ,|2n n n n n n ⋅<>==，所以二面角A BD C --的正弦值为2【解析】本题考查了平面与平面所成角的空间向量求法、点到面的距离的几何求法、几何体的体积公式，考查了空间中的垂直关系的证明与应用，属于中档题.(1)利用等体积法以及三棱锥的体积公式即可求解.(2)根据题干首先证明1,,BB AB BC 三条直线两两垂直，且12AA AB BC ===，建立直角坐标系，求出平面ABD 的一个法向量和平面BCD 的一个法向量，利用向量法即可求出二面角A BD C --的正弦值.13.（2022·新高考II 卷题20题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点.(1)证明：//OE 平面;PAC (2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --正弦值.【答案】解：(1)法一：连接OA 、OB ，因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ⊥平面ABC ，所以PO OA ⊥，PO OB ⊥，所以90POA POB ∠=∠=︒，又PA PB =，PO PO =，所以POA ≌POB ，所以OA OB =，作AB 中点D ，连接OD 、DE ，则有OD AB ⊥，又AB AC ⊥，所以//OD AC ，又因为OD ⊂/平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//OD 平面PAC ，又D 、E 分别为AB 、PB 的中点，所以，在BPA 中，//DE PA 又因为DE ⊂/平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以//DE 平面PAC ，又OD 、DE ⊂平面ODE ，OD DE D ⋂=，所以平面//ODE 平面PAC ，又OE ⊂平面ODE ，所以//OE 平面;PAC 法二：(1)连接OA 、OB ，因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ⊥平面ABC ，所以PO OA ⊥，PO OB ⊥，所以90POA POB ∠=∠=︒，又PA PB =，PO PO =，所以POA ≌POB ，所以OA OB =，又AB AC ⊥，在Rt ABF ，O 为BF 中点，延长BO ，交AC 于F ，连接PF ，所以在PBF 中，O 、E 分别为BF 、PB 的中点，所以//EO PF ，因为EO ⊂/平面PAC ，PF ⊂平面PAC ，所以//EO 平面;PAC(2)法一：过点D 作//DF OP ，以DB 为x 轴，DO 为y 轴，DF 为z 轴.建立如图所示的空间直角坐标系.因为3PO =，5PA =，由(1)4OA OB ==，又30ABO CBO ∠=∠=︒，所以2OD =，23DB =，所以(0,2,3)P ，(23,0,0)B ，(23,0,0)A -，3(3,1,)2E ，设AC a =，则(23,,0)C a -，平面AEB 的法向量设为1111(,,)n x y z = ，直线AB 的方向向量可设为(1,0,0)a =，直线DP ⊂平面AEB ，直线DP 的方向向量为(0,2,3)b =，所以，所以10x =，设13y =，则12z =-，所以1(0,3,2);n =-平面AEC 的法向量设为2222(,,)n x y z = ，(0,,0)AC a = ，3(33,1,)2AE = ，所以，所以20y =，设23x =，则26z =-，所以3,0,6);n =-所以1cos n < ，1221212124313||||1339133n n n n n ⋅>====⋅⨯，二面角C AE B --的平面角为θ，则211sin 1cos 13θθ=-=，所以二面角C AE B --的正弦值为1113法二：(2)过点A 作//AF OP ，以AB 为x 轴，AC 为y 轴，AF 为z 轴建立所示的空间直角坐标系.因为3PO =，5PA =，由(1)4OA OB ==，又30ABO CBO ︒∠=∠=，所以，43AB =，所以(23,2,3)P ，(43,0,0)B ，(0,0,0)A ，3(33,1,)2E ，设AC a =，则(0,,0)C a ，平面AEB 的法向量设为1111(,,)n x y z = ，(43,0,0)AB = ，3(33,1,)2AE = ，所以，所以10x =设12z =-，则13y =，所以1(0,3,2);n =-平面AEC 的法向量设为2(,,)n x y z = ，(0,,0)AC a = ，3(33,1,)2AE = ，所以，所以20y =，设23x =，则26z =-，所以2(3,0,6);n =-所以1cos n < ，1221212124313||||1339133n n n n n ⋅>====⋅⨯二面角C AE B --的平面角为θ，则211sin 1cos 13θθ=-=，所以二面角C AE B --的正弦值为11.13【解析】本题考查线面平行与二面角的求解，考查学生的空间想象与计算能力，有一定的难度.【2021年真题】14.（2021·新高考I 卷第3题）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2B.22C.4D.42【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，属于基础题.设圆锥母线长为l ，求出圆锥的底面周长，即为展开图半圆的弧长，计算可得答案.【解答】解：设圆锥的母线长为l ，所以底面圆周长为，由展开图可知半圆的弧长为，所以l π=，得l =，故选：.B 15.（2021·新高考II 卷第4题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )(S r πα=-单位：2km )，则S 占地球表面积的百分比约为()A.26% B.34%C.42%D.50%【答案】C 【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查直线与平面所成的角，属于中档题.由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【解答】解：如图所示：由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：222(1cos )1cos 42r r πααπ--=640016400360000.4242%.2-+=≈=故选.C 16.（2021·新高考II 卷第5题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A.20+B. C.563D.2823【答案】D 【解析】【分析】本题考查了棱台的结构特征与体积的求法.由正四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图所示，因为该正四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h ==下底面面积116S =，上底面面积24S =，所以该棱台的体积121(3V h S S =+1(16433=+=故选：.D 17.（2021·新高考I 卷第12题）（多选）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则()A.当1λ=时，1AB P 的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P【答案】BD 【解析】【分析】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于拔高题．判断当1λ=时，点P 在线段1CC 上，分别计算点P 为两个特殊点时的周长，即可判断选项A ；当1μ=时，点P 在线段11B C 上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B ；当12λ=时，取线段BC ，11B C 的中点分别为M ，1M ，连结1M M ，则点P 在线段1M M 上，分别取点P 在1M ，M 处，得到均满足1A P BP ⊥，即可判断选项C ；当12μ=时，取1CC 的中点1D ，1BB 的中点D ，则点P 在线的1DD 上，证明当点P 在点1D 处时，1A B ⊥平面11AB D ，利用过定点A 与定直线1A B 垂直的平面有且只有一个，即可判断选项.D 【解答】解：对于A ，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ=，所以1//CP BB ，故点P 在线段1CC 上，此时1AB P 的周长为11AB B P AP ++，当点P 为1CC 的中点时，1AB P 的周长为+，当点P 在点1C 处时，1AB P 的周长为1+，故周长不为定值，故选项A 错误；对于B ，当1μ=时，1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ= ，所以1//B P BC ，故点P 在线段11B C 上，因为11//B C 平面1A BC ，所以直线11B C 上的点到平面1A BC 的距离相等，又1A BC 的面积为定值，所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，故选项B 正确；对于C ，当12λ=时，取线段BC ，11B C 的中点分别为M ，1M ，连接1M M ，因为112BP BC BB μ=+ ，即1MP BB μ= ，所以1//MP BB ，则点P 在线段1M M 上，当点P 在1M 处时，1111A M B C ⊥，111A M B B ⊥，又1111B C B B B ⋂=，所以11A M ⊥平面11BB C C ，又1BM ⊂平面11BB C C ，所以111A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，同理，当点P 在M 处，1A P BP ⊥，故选项C 错误；对于D ，当12μ=时，取1CC 的中点1D ，1BB 的中点D ，因为112BP BC BB λ=+ ，即DP BC λ= ，所以//DP BC ，则点P 在线的1DD 上，当点P 在点1D 处时，取AC 的中点E ，连接1A E ，BE ，因为BE ⊥平面11ACC A ，又1AD ⊂平面11ACC A ，所以1AD BE ⊥，在正方形11ACC A 中，11AD A E ⊥，又1BE A E E ⋂=，BE ，1A E ⊂平面1A BE ，故1AD ⊥平面1A BE ，又1A B ⊂平面1A BE ，所以11A B AD ⊥，在正方体形11ABB A 中，11A B AB ⊥，又11AD AB A ⋂=，1AD ，1AB ⊂平面11AB D ，所以1A B ⊥平面11AB D ，因为过定点A 与定直线1A B 垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P ，故选项D 正确．故选：.BD 18.（2021·新高考II 卷第10题）（多选）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN OP ⊥的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了空间中两直线的位置关系以及垂直的判定，考查了数形结合思想和直观想象能力，属于中档题.根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线MN 构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误.【解答】解：设正方体的棱长为2，对于A ，如图(1)所示，连接AC ，易知//MN AC ，且MN 、AC 、OP 在同一平面内，由图可知直线OP 与AC 相交且不垂直，故MN OP ⊥不成立，故A 错误.对于B ，如图(2)所示，取MT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ MT ⊥，PQ MN ⊥，由正方体SBCN MADT -可得SM ⊥平面MADT ，而OQ ⊂平面MADT ，故SM OQ ⊥，而SM MT M ⋂=，SM ，MT ⊂平面SNTM ，故OQ ⊥平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，所以OQ MN ⊥，而OQ PQ Q ⋂=，,OQ PQ OPQ ⊂平面，所以MN ⊥平面OPQ ，而PO ⊂平面OPQ ，故MN OP ⊥，故B 正确.对于C ，如图(3)，连接BD ，则//BD MN ，由B 的判断可得OP BD ⊥，故OP MN ⊥，故C 正确.对于D ，如图(4)，取AM '的中点G ，连接PG ，OG ，M N ''，则//MN M N ''，PG =，OG =PO =，则222PO PG OG =+，可得PG OG ⊥，根据三角形的性质可知PO 与PG 不垂直，故PO 与MN 不垂直，故D 错误.故选.BC19.（2021·新高考I 卷第20题）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.(1)证明：;OA CD ⊥(2)若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)证明：AB AD = ，ABD ∴ 是以BD 为底的等腰三角形，又O 为BD 的中点，OA BD ∴⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，OA ⊂平面ABD ，OA ∴⊥平面BCD ，CD ⊂ 平面BCD ，.OA CD ∴⊥(2)解：以O 为坐标原点，OD 为y 轴，OA 为z 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系.OCD 是边长为1的等边三角形，，，，不妨设， 点E 在棱AD 上，2DE EA =，12(0,,)33x E ∴，，，设向量为平面BCE 的法向量，设3a =，则1b =-，2c x=，即显然是平面BCD 的法向量， 二面角E BC D --的大小为45︒，，即，解得1(x =舍去1)-，11133OA 21.33226A BCD BCD V S -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= 【解析】本题考查立体几何的面面垂直的性质，二面角余弦值的求法，三棱锥的体积.(1)先证明OA ⊥平面BCD ，利用线面垂直的性质即可证明.(2)先建系，利用已知二面角的角度求出三棱锥的高度，即可求解体积.20.（2021·新高考II 卷第19题）在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,5, 3.AD QD QA QC ====(1)证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【答案】解：(1)证明：取AD 的中点为O ，连接,.QO CO因为QA QD =，OA OD =，则QO AD ⊥，而2,AD QA ==1AO DO ==， 2.QO ==在正方形ABCD 中，2AD CD ==，1DO =，故CO =，因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC 为直角三角形且QO OC ⊥，因为OC AD O = ，OC 、AD ⊂平面ABCD ，故QO ⊥平面ABCD ，因为QO ⊂平面QAD ，故平面QAD ⊥平面.ABCD (2)在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥，因为(1)中的QO ⊥平面ABCD ，OT ⊂平面ABCD ，QO OT ⊥，故可以OT 为x 轴，以OD 为y 轴，以OQ 为z 轴，建如图所示的空间直角坐标系.则，故(2,1,2),(2,2,0).BQ BD =-=- 设平面QBD 的一个法向量(,,)n x y z = ，则00n BQ n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即，取1x =，则11,2y z ==，故1(1,1,).2n = 而平面QAD 的法向量为(1,0,0)m = ，故cos ⟨,m n ⟩12.3312==⨯又二面角B QD A --的平面角为锐角，故其余弦值为2.3【解析】本题考查了面面垂直的判定和运用空间向量求解二面角的问题，注意数形结合思想的运用.(1)取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ⊥平面ABCD ，从而得到平面QAD ⊥平面.ABCD(2)在平面ABCD内，过O作//⊥，以OT为x轴，以OD为y轴，以OQOT CD，交BC于T，则OT AD为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面QAD、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值.【2020年真题】21.（2020·新高考I卷第4题、II卷第4题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的O，地球上一点A的纬度是指OA与地晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为)球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20︒B.40︒C.50︒D.90︒【答案】B【解析】【分析】本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于中档题．由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A处的水平面所成角．【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为O'，OO'垂直于纬线所在的圆面，由图可得OHA ∠为晷针与点A 处的水平面所成角，又40OAO ︒∠'=且OA AH ⊥，在Rt OHA 中，O A OH '⊥，40OHA OAO ︒∴∠=∠'=，故选：.B 22.（2020·新高考I 卷题16题）已知直四棱柱1111ABCD A BCD -的棱长均为2，60.BAD ︒∠=以1D 为5为半径的球面与侧面11BCC B 的交线长为________.【答案】22π【解析】【分析】本题考查空间中球与平面的交线问题，注意球心到面的距离和形成的交线位置与所对应的圆弧和圆心角，属于难题.由已知得点1D 到面11BB C C 的距离即为点1D 到11B C 的距离，3，则根据勾股定理可得截面的圆半径为532r =-=，球与侧面11BB C C 所形成的交线为一段圆弧，其圆心角为2π，则根据弧长公式即可得解.【解答】解：直四棱柱棱长为2，底面是边长为2的菱形，侧面是边长为2的正方形，又60BAD ︒∠=，可得111D C B =60∠︒，点1D 到面11BB C C 的距离即为点1D 到11B C 的距离，即为3则根据勾股定理可得截面的圆半径为r ==，11112B C >=，且2<，则球与侧面11BB C C 所形成的交线为一段圆弧，其圆心角为2π，故形成的交线长为222l ππ==.故答案为2.223.（2020·新高考II 卷题13题）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点，则三棱锥1A NMD -的体积为__________.【答案】13【解析】【分析】本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥1A NMD -的体积．【解答】解：如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点，111122ANM S ∴=⨯⨯= ，111112.323A NMD D AMN V V --∴==⨯⨯=故答案为：1.324.（2020·新高考I 卷题20题）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面.ABCD 设平面PAD 与平面PBC 的交线为.l (1)证明：l ⊥平面;PDC (2)已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.【答案】解：(1)PD ⊥ 底面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，PD AD ∴⊥，ABCD 为正方形，AD DC ∴⊥，又PD DC D ⋂= ，且PD 、DC 在平面PDC 内，AD ∴⊥平面PDC ，//AD BC ，且BC ⊂平面PBC ，AD ⊂/平面PBC ，//AD ∴平面PBC ，又 平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，且AD ⊂平面PAD ，//AD l ∴，l ∴⊥平面PDC ；(2)以D 为原点，以DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由1PD AD ==，得(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,0)D ，则(1,1,1)PB =- ，(0,1,0)DC = ，设点Q 的坐标为(,0,1)t ，平面QCD 的法向量为000(,,)n x y z =，则(,0,1)DQ t = ，即有，即，取01x =，得(1,0,)n t =-，又设PB 与n夹角为α，PB 与平面QCD 所成角为θ，则cos ||||PB n PB n α⋅=== ，于是sin θ==，当0t =时，3sin 3θ=，当0t <时，sin θ==，又1[()]2(()t t -+---当且仅当t 1=-时，取等号)，即得30sin 3θ<，当0t >时，sin θ==，又12(t t +当且仅当t 1=时，取等号)，即得36sin 33θ<，综上可知，PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63【解析】本题考查了线面角的求解及线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理和性质定理，属于拔高题．(1)本题先证明AD ⊥平面PDC ，再证明//AD 平面PBC ，再利用线面平行性质定理证得//AD l ，从而证得l ⊥平面PDC ；(2)本题可以建立空间直角坐标系，设出Q 点坐标，求出PB 和平面QDC 的法向量，再利用向量夹角公式求解，再结合基本不等式可求出PB 与平面QCD 所成角的正弦值最大值．25.（2020·新高考II 卷第20题）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面.ABCD 设平面PAD 与平面PBC 的交线为.l (1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．【答案】解：(1)证明：过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CD PD D ⋂=，CD ，PD ⊂平面PCDBC ∴⊥平面PCD ，//l BC ，l ∴⊥平面PCD ；(2)如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，1PD AD == ，Q 为l 上的点，QB =，PB ∴=，1QP =，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，设(1,0,1)Q ，则(1,0,1)DQ = ，(1,1,1)PB =- ，(0,1,0)DC = ，设平面QCD 的法向量为(,,)n a b c =，则，，取1c =，可得(1,0,1)n =- ，cos n ∴< ，63||||32n PB PB n PB ⋅>===⋅ PB ∴与平面QCD 所成角的正弦值为6.3【解析】本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向量法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．(1)过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，推得l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，求出(0,1,1)Q ，运用向量法，求得平面QCD 的法向量，结合向量的夹角公式求解即可．。

空间向量与立体几何测试试卷空间向量与立体几何测试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a·b的结果为：A. 4B. 14C. 32D. 562.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a×b的结果为：A. (1,-2,1)B. (-1,2,-1)C. (1,2,1)D. (-1,-2,-1)3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的结果为：A. (5,7,9)B. (5,6,7)C. (4,7,9)D. (4,6,8)4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的结果为：A. (3,3,3)B. (-3,-3,-3)C. (-3,-1,1)D. (3,1,-1)5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·(a+b)的结果为：A. 42B. 56C. 70D. 846.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×(a+b)的结果为：A. (14,-28,14)B. (-14,28,-14)C. (14,28,14)D. (-14,-28,-14)7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|a|的结果为：A. √6B. √14C. √26D. √468.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|b|的结果为：A. √14B. √26C. √38D. √509.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为：A. √6B. √14C. √26D. √3810.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·b的模长为：A. 14B. 26C. 38D. 50二、填空题（每题3分，共30分）1.向量(2,3,4)与向量(-1,2,-3)的夹角为______度。

第三章空间向量与立体几何一、空间向量的概念与运算1．在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．2．向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向．3．向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作AB．4．模（长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5．与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a-．6．方向相同且模相等的向量称为相等向量．7．求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O起点的对角线OC就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．8．求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O,作OA a=，OB b=，则=-．BA a b9．实数λ与空间向量a的乘积aλ是一个向量,称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．10．设λ，μ为实数，a ,b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律:()a b a b λλλ+=+;结合律：()()a a λμλμ=．11．如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．12．向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，(0)b b ≠，a b 的充要条件是存在实数λ,使a b λ=．13．平行于同一个平面的向量称为共面向量．14．向量共面定理:空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使AP xAB yAC =+；或对空间任一定点O ，有OP OA xAB yAC =++;或若四点P ，A ，B ，C 共面,则()1OP xOA yOB zOC x y z =++++=．15．已知两个非零向量a 和b ,在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠称为向量a ,b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,πa b 〈〉∈．16．对于两个非零向量a 和b ，若π,2a b 〈〉=,则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．17．已知两个非零向量a 和b ,则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积,记作a b ⋅．即cos ,a b ab a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 18．a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积．19．若a ,b 为非零向量，e 为单位向量，则有①cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉； ②0a b a b ⊥⇔⋅=；③()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅; ④cos ,a b a b a b ⋅〈〉=；⑤ a b a b ⋅≤．20．向量数乘积的运算律:①a b b a ⋅=⋅;②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅; ③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．例1如右图所示，空间四边形OABC 中，错误!＝a ，错误!＝b ，错误!＝c ，点M 在OA上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则错误!等于（ )．A ．错误!a －错误!b ＋错误!cB ．－错误!a ＋错误!b ＋错误!cC ．错误!a ＋错误!b －错误!cD ．－错误!a ＋错误!b －错误!c答案：B解析：错误!＝错误!－错误!＝错误!(错误!＋错误!）－错误!错误!＝－错误!a＋错误!b＋错误!c．例2已知|a｜＝1，|b|＝错误!，且a－b与a垂直，则a 与b的夹角为（）．A．60°B．30°C．135°D．45°答案:D解析：∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a｜·｜b|·cos<a，b〉＝1－1·错误!·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝错误!．∵0°≤<a，b〉≤180°，∴〈a，b>＝45°．二、空间向量的坐标与坐标运算1．若i,j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p,存在有序实数组{}x y z，使得p xi yj zk,,=++，称xi，yj，zk为向量p在i，j,k上的分量．2．空间向量基本定理：若三个向量a，b,c不共面，则对空间任一向量p,存在实数组{}x y z，使得p xa yb zc,,=++．3．若三个向量a，b,c不共面，则所有空间向量组成的集合是{，=++}p p xa yb zcx y z∈R．这个集合可看作是由向，，量a,b，c生成的，{}a b c称为空间的一个基底，a，b,c，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．4．设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ,2e ,3e 的公共起点O 为原点,分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合，得到向量OP p =．存在有序实数组{},,x y z ,使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ,3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(),,x y z ．5．设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则①()121212,,a b x x y y z z +=+++． ②()121212,,a b x x y y z z -=---．③()111,,a x y z λλλλ=．④121212a b x x y y z z ⋅=++．⑤若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ⑥若0b ≠，则121212,,ab a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ⑦21a a a x =⋅=+．⑧21cos ,x a ba b a b x ⋅〈〉==+⑨()111,,A x y z ,()222,,B x y z =,则(ΑΒd ΑΒx ==例1已知空间四点A （4，1，3)、B (2,3，1)、C (3，7，－5)、D(x，－1，3）共面,则x的值为（）．A．4 B．1 C．10D．11答案：D解析:错误!＝（－2，2，－2），错误!＝(－1，6,－8），错误!＝(x－4，－2，0）,∵A、B、C、D共面，∴错误!、错误!、错误!共面，∴存在λ、μ，使错误!＝λ错误!＋μ错误!，即（x－4,－2，0）＝（－2λ－μ,2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴错误!∴错误!例2已知a＝(1，2,－y)、b＝（x,1,2)，且(a＋2b）∥（2a －b）,则( ）．A．x＝错误!，y＝1 B．x＝错误!，y＝－4 C．x＝2,y＝－错误!D．x＝1，y＝－1答案：B解析:a＋2b＝(2x＋1,4,4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y －2）,∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴错误!∴错误!例3已知a＝（2，4，x)、b＝（2,y，2），若|a｜＝6，a⊥b,则x＋y的值是( ）．A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1答案：A解析：∵｜a｜＝6，∴｜a｜2＝36，∴4＋16＋x2＝36，∴x2＝16，x＝±4．又∵a⊥b，∴a·b＝4＋4y＋2x＝0，∴x＋2y＋2＝0．当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时,y ＝1，∴x＋y＝1或－3．例4已知空间三点A(0，2，3)、B(－2，1，6)、C（1，－1,5）．（1）求以错误!、错误!为邻边的平行四边形面积；（2)若｜a|＝错误!，且a分别与错误!、错误!垂直，求向量a的坐标．解：(1）由题中条件可知错误!＝(－2，－1,3）,错误!＝(1,－3，2），＝错误!＝错误!，∴cos〈错误!，错误!〉＝AB ACAB AC∴sin〈错误!，错误!〉＝错误!，∴以错误!、错误!为邻边的平行四边形面积：S＝｜错误!|·| AC，→｜·sin〈错误!，错误!〉＝7错误!．（2）设a＝(x，y，z)，由题意得错误!，解得错误!,或错误!．∴a＝(1，1，1)或a＝(－1,－1,－1)．三、立体几何中的向量方法1．在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量OP来表示．向量OP称为点P的位置向量．2．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A 以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量,则对于直线l上的任意一点P，有=，这样点A和向量a不仅可以确定直线l的位置,还AP ta可以具体表示出直线l上的任意一点．3．空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O，它们的方向向量分别为a，b．P为平面α上任意一点，存在有序实数对(,)x y，使得OP xa yb=+,这样点O与向量a，b就确定了平面α的位置．4．直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ,则向量a 称为平面α的法向量．5．若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则a b a b a b λ⇔⇔=()λ∈R ，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．6．若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则a a a n αα⇔⇔⊥0a n ⇔⋅=，a a an a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=． 7．若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ,则a b a b αβλ⇔⇔=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．8．设异面直线a ,b 的夹角为θ，方向向量为a ,b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a ba b θϕ⋅==．9．设直线l 的方向向量为l ,平面α的法向量为n ,l 与α所成的角为θ，l与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l n θϕ⋅==． 10．设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ,2n 的夹角(或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．11．点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 12．在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,PA nd PA PA n n ⋅=〈〉=．13．点P 是平面α外一点,A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,PA n d PA PA n n ⋅=〈〉=．例1在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0，0，1）; ②直线BC 1的一个方向向量为（0,1,1)； ③平面ABB 1A 1的一个法向量为（0，1，0）； ④平面B 1CD 的一个法向量为(1，1,1)． 其中正确的个数为（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：C解析：DD 1∥AA 1,错误!＝（0,0,1）；BC 1∥AD 1，错误!＝（0，1,1），直线AD ⊥平面ABB 1A 1，错误!＝（0，1，0)；C 1点坐标为（1，1，1），错误!与平面B 1CD 不垂直,∴①②③对，④错．例2平面α的法向量u ＝(x ，1，－2），平面β的法向量v ＝错误!，已知α∥β，则x ＋y ＝__________________．答案：154解析：∵α∥β，∴u ∥v ，∴错误!＝错误!＝错误!，∴错误!∴x ＋y ＝错误!．例3在正四棱锥P －ABCD 中,底面正方形边长为3错误!,棱锥的侧棱长为5，E 、F 、G 分别为BC 、CD 、PC 的中点，求证：（1)EF ⊥PA ; (2)EF ∥平面PBD ；(3）直线PA 与平面EFG 不平行．解：设AC 与BD 的交点为O ,∵P －ABCD 为正四棱锥,∴PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ，以O 为原点,OB ,OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵正方形ABCD边长为3错误!，∴OB＝OC＝3，又PC＝5，∴OP＝4，∴点A（0,－3，0)、B(3，0,0)、C(0，3,0）、D(－3,0，0)、P(0,0，4）．（1)∵E、F分别为BC、CD的中点，∴点E（错误!，错误!，0）、F（－错误!，错误!，0），∴错误!＝（－3，0,0）,错误!＝（0，－3，－4)，错误!·错误!＝0，∴EF⊥PA．（2）显然错误!＝（0，3，0）为平面PBD的一个法向量,∵错误!·错误!＝0，∴EF∥平面PBD．(3）∵G为PC中点,∴点G（0，错误!，2），设平面EFG 的法向量为n＝(x，y，z),则n·EF，→＝0，n·EG→＝0，∴错误!，∴错误!．取n＝（0，1，0），∵n·错误!＝－3≠0，∴PA与平面EFG不平行．例4如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2,BC＝2错误!，E、F分别是AD、PC的中点，求证：PC ⊥平面BEF．解：如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2错误!，四边形ABCD是矩形，∴点A(0,0，0)、B（2,0，0）、C（2，2错误!，0)、D（0，2错误!,0）、P（0，0，2)．又E、F分别是AD、PC的中点,∴点E（0，错误!,0)、F(1，错误!,1)．∴错误!＝（2，2错误!，－2）、错误!＝(－1，错误!，1）、错误!＝(1,0，1)，∴错误!·错误!＝－2＋4－2＝0，错误!·错误!＝2＋0－2＝0，∴错误!⊥错误!，错误!⊥错误!，∴PC⊥BF，PC⊥EF．又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF．例5如图，在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD，AB⊥AD，AB＝4,AD＝2错误!，CD＝2,PA⊥平面ABCD，PA＝4．（1)求证：BD⊥平面PAC；（2）点Q为线段PB的中点，求直线QC与平面PAC 所成角的正弦值．解:建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．则点A （0,0，0）、D (0,2错误!，0）、B （4,0，0)、P (0，0，4)、C （2，2错误!,0)、Q (2,0，2）．(1)错误!＝（－4，2错误!，0），错误!＝(0，0,4)，错误!＝（2,2错误!,0），∴错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝－8＋8＝0，∴BD ⊥AP ,BD ⊥AC ,又AP ∩AC ＝A ,∴BD ⊥平面PAC ．（2）错误!＝(0,－2错误!,2)．设平面PAC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则00AP AC n n ，∴错误!，∴错误!．∴n ＝（1，－错误!，0)．设直线QC 与平面PAC 所成的角为θ，则sin θ＝｜cos 〈错误!,n 〉｜＝CQ CQ nn ＝错误!＝错误!．故直线QC与平面PAC所成角的正弦值为错误!．例6如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1）求证：B1E⊥AD1；（2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在,说明理由；（3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．解：（1）以A为原点，错误!，错误!,错误!的方向分别为x 轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如下图）．设AB＝a,则点A(0,0,0）、D(0，1，0）、D1(0,1,1)、E（a 2，1，0）、B1(a，0，1），故错误!＝（0，1，1），错误!＝(－错误!，1，－1)，错误!＝(a，0，1)，错误!＝（错误!，1，0）．∵错误!·错误!＝－错误!×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1．（2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE．此时错误!＝（0，－1，z0）．又设平面B1AE的法向量n＝（x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥错误!，n⊥错误!，得错误!，取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1,－错误!，－a)．要使DP∥平面B1AE,只要n⊥错误!，有错误!－az0＝0，解得z0＝错误!．又DP⊄平面B1AE，∴存在点P,满足DP∥平面B1AE，此时AP＝错误!．（3）连接A1D、B1C,由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1,得AD1⊥A1D．∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．又由（1）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴错误!是平面A 1B 1E 的一个法向量,此时错误!＝（0，1，1）．设错误!与n 所成的角为θ，则cos θ＝AD AD n n ＝错误! ．∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ｜＝cos30°，即错误!＝错误!．解得a ＝2，即AB 的长为2．例7三棱柱ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点．（1)求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1;（2）求点C 到平面AB 1D 的距离．解：（1）证明：如图所示，取AB 1中点M ，则错误!＝错误!＋错误!＋错误!，又错误!＝错误!＋错误!＋错误!．∴2DM ，→＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!． ∴2错误!·错误!＝（错误!＋错误!)·错误!＝0,2错误!·错误!＝（错误!＋错误!)·(错误!－错误!）＝|错误!｜2－｜错误!|2＝0,∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ，∴DM ⊥平面ABB 1A 1． 又∵DM ⊂平面AB 1D ,∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1．(2）∵A 1B ⊥DM ,A 1B ⊥AB 1．∴A 1B ⊥平面AB 1D ． ∴错误!是平面AB 1D 的一个法向量． ∴点C 到平面AB 1D 的距离为： d ＝11122()AC A B AC A A AB AC AB a a A B ＝错误!＝错误!a ．。

3.1.5 空间向量的数量积1．理解空间向量的夹角的概念，理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点) 2．掌握空间向量的数量积及应用．(重点、难点) 3．理解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的夹角阅读教材P 91～P 92上半部分，完成下列问题． a ，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA→＝a ，OB→＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，a ，b的范围是[0，π]，如果〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .如图3-1-25，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求向量BC1→与AC →夹角的大小．图3-1-25【解】 ∵AD1→＝BC1→，∴∠CAD 1的大小就等于〈BC1→，AC →〉． ∵△ACD 1为正三角形，∴∠CAD 1＝π3，∴〈BC1→，AC →〉＝π3. ∴向量BC1→与AC →夹角的大小为π3. 教材整理2 空间向量的数量积阅读教材P 92例1以上的部分，完成下列问题． 1．数量积的定义设a ，b 是空间两个非零向量，我们把数量|a ||b |·cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．数量积的性质 (1)cosa ，b＝a·b|a||b|(a ，b 是两个非零向量)．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 是两个非零向量)． (3)|a |2＝a·a ＝a 2. 3．数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )(λ∈R )； (3)a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( ) (2)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B .( ) (3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( )(4)若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的充要条件．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知|a |＝2，|b |＝22，a·b ＝－22，则a 与b 的夹角为________.【导学号：09390075】【解析】 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－222×22＝－22，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝3π4.【答案】 3π4教材整理3 数量积的坐标表示阅读教材P 93～P 94例3以上的部分，完成下列问题． 1．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0(a ≠0，b ≠0)． (3)|a |＝a·a ＝x21＋y21＋z21. (4)cos 〈a ，b 〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22(a ≠0，b ≠0)．2．空间两点间距离公式设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB ＝错误!.1．若a ＝(－1,0,2)，b ＝(x ，y,1)，且a ⊥b ，则x ＝______. 【解析】 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝－x ＋2＝0，解得x ＝2. 【答案】 22．与向量a ＝(1,2,2)方向相同的单位向量是________．【解析】 |a |＝12＋22＋22＝3，故与a 方向相同的单位向量是a |a|＝13(1,2,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积．(1)BC →·ED1→； (2)BF →·AB1→.【精彩点拨】 法一(基向量法)：BC →与ED1→，BF →与AB1→的夹角不易求，可考虑用向量AB →，AD →，AA1→表示向量BC →，ED1→，BF →，AB1→，再求结论即可．法二(坐标法)：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积． 【自主解答】法一(基向量法)：如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED1→＝BC →·(EA1→＋A1D1→)＝b ·错误!＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB1→＝(BA1→＋A1F →)·(AB →＋AA1→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.法二(坐标法)：以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B (2,0,0)，C (2,4,0)，E (1,0,1)，D 1(0,4,2)，F (0,2,2)，A (0,0,0)，B 1(2,0,2)，∴BC →＝(0,4,0)，ED1→＝(－1,4,1)，BF →＝(－2,2,2)，AB1→＝(2,0,2)， (1)BC →·ED1→＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16. (2)BF →·AB1→＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.解决此类问题的常用方法1．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．2．坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．[再练一题]1．在上述例1中，求EF →·FC1→.【解】 法一：EF →·FC1→＝错误!·错误!＝错误!(－a ＋b ＋c )·错误! ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.法二：以A 为原点建立空间直角坐标系，则E (1,0,1)，F (0,2,2)，C 1(2,4,2)，∴EF →＝(－1,2,1)，FC1→＝(2,2,0)，∴EF →·FC1→＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.如图3-1-26所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长；(2)求AC′→与AC →的夹角的余弦值．图3-1-26【精彩点拨】 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC ′的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．【自主解答】 (1)∵AC′→＝AB →＋AD →＋AA′→， ∴|AC′→|2＝(AB →＋AD →＋AA′→)2 ＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA′→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA′→＋AD →·AA′→) ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85. ∴|AC′→|＝85.(2)法一：设AC′→与AC →的夹角为θ，∵ABCD 是矩形，∴|AC →|＝32＋42＝5. 由余弦定理可得cos θ＝AC′2＋AC2－CC′22AC′·AC ＝85＋25－252·85·5＝8510. 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA′→＝c ， 依题意得AC′→·AC →＝(a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝a 2＋2a ·b ＋b 2＋a ·c ＋b ·c＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60° ＝16＋9＋10＋152＝852，∴cos θ＝AC′→·AC →|AC′→|·|AC →|＝85285×5＝8510.1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a ·a ，即|a |＝a·a 通过向量运算求|a |.2．对于空间向量a ，b ，有cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，它们互补．[再练一题]2．如图3-1-27，正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC ，AB 的中点，设AB→＝a ，AC→＝b ，AD →＝c .(1)用a ，b ，c 分别表示向量DM →，CN →； (2)求异面直线DM 与CN 所成角的余弦值．图3-1-27【解】 (1)DM →＝12(DB →＋DC →)＝12[(AB →－AD →)＋(AC →－AD →)] ＝12[(a －c )＋(b －c )]＝12(a ＋b －2c )， CN →＝12(CB →＋CA →)＝12[(AB →－AC →)－AC →] ＝12[(a －b )－b ]＝12(a －2b )．(2)设棱长为1，即|a |＝|b |＝|c |＝1且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝π3，则|DM →|＝|CN →|＝32. 又DM →·CN →＝14(a ＋b －2c )·(a －2b ) ＝14(a 2＋a ·b －2a ·c －2a ·b －2b 2＋4b ·c ) ＝－18，∴cos 〈DM →，CN →〉＝DM →·CN →|DM →||CN →|＝－1832×32＝－16.∴异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为16.已知(1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .【精彩点拨】 利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解． 【自主解答】 (1)由a ∥b ，得 (λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)， ∴错误!解得错误! ∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ， ∴错误!化简，得⎩⎨⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2)．向量平行与垂直问题主要有两种题型1．平行与垂直的判断2．利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．[再练一题]3．如图3-1-28所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．求证：A 1B ⊥C 1M .图3-1-28【证明】 如图所示，以CA →，CB →，CC1→为正交基底，建立空间直角坐标系C -xyz .依题意得B (0,1,0)，A 1(1,0,2)，错误!，2)，B 1(0,1,2)，则M 错误!，错误!，2，于是错误!＝(－1,1，－2)，C1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，∴A1B →·C1M →＝－12＋12＋0＝0，∴A1B →⊥C1M →，故A 1B ⊥C 1M .[探究共研型]探究1 【提示】 对于三个不为0的实数a ，b ，c ，若ab ＝ac ，则b ＝c .对于三个非零向量a ，b ，c ，若a ·b ＝a ·c ，不能得出b ＝c ，即向量不能约分．如图，在三棱锥S -ABC 中，SC ⊥平面ABC ，则SC ⊥AC ，SC ⊥BC .设CS →＝a ，CA →＝b ，CB →＝c ，则a ·b ＝a ·c ＝0，但b ≠c .探究2 数量积运算是否有除法？【提示】 数量积的运算不满足除法，即对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，不能得到a ＝k b ⎝ ⎛⎭⎪⎫或b ＝k a ，例如当非零向量a ，b 垂直时，a ·b ＝0，但a ＝0b 显然是没有意义的．探究3 数量积运算满足结合律吗？【提示】 由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cos 〈a ，b 〉)c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos 〈b ，c 〉)，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．如图3-1-29，已知正四面体OABC 的棱长为1.求： (1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； (3)|OA →＋OB →＋OC →|.图3-1-29【精彩点拨】 在正四面体OABC 中，OA →，OB →，OC →的模和夹角都已知，因此可以先把相关向量用OA →，OB →，OC →线性表示，再结合空间向量数量积的运算律与运算性质求解即可．【自主解答】 在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1， 〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°.(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA2→＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2OB →·OC →＝12＋2×12－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. (3)|OA →＋OB →＋OC →|＝错误! ＝错误!＝错误!. [再练一题]4．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.【导学号：09390076】【解析】 由条件知，(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2＋16a·b －15|b |2＝0， 及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a·b ＝0. 两式相减，得46a·b ＝23|b |2，∴a·b ＝12|b |2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |＝|b |. ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12|b|2|b|2＝12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°. 【答案】 60°[构建·体系]1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________．【解析】 ∵a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)，∴(a ＋b )·(a －b )＝－20－5＋12＝－13.【答案】 －132．已知向量a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)．若a ，b 成120°的角，则k ＝________.【解析】 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝2k 139＋k2＝－12，得k ＝－39. 【答案】 －393．如图3-1-30，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3-1-30【解析】 AB1→＝AB →＋BB1→，BM →＝BC →＋CM →，设棱长为1.又∵AB1→·BM →＝(AB →＋BB1→)(BC →＋CM →)＝AB →·BC →＋BB1→·BC →＋AB →·CM →＋BB1→·CM →＝－12＋0＋0＋12＝0，∴cos 〈AB1→，BM →〉＝AB1→·BM →|AB1→|·|BM →|＝0，∴AB1→⊥BM →，∴直线AB 1与BM 所成的角为90°.【答案】 90°4．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.【解析】 ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12AB →，BD →＝AD →－AB →，∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－AD →·AB →＋12AB →·AD →－12AB →2＝4－0＋0－2＝2.【答案】 25．如图3-1-31所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．图3-1-31【解】 由题意知BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

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第3章空间向量与立体几何一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上）1。

若空间三点A(1，5,－2），B（2，4，1）,C(p，3，q＋2)共线，则p＝________,q＝________．解析:A、B、C三点共线，则有错误!与错误!共线,即错误!＝λ错误!，又错误!＝(1，－1，3）,错误!＝(p－1,－2，q＋4），∴错误!解得错误!答案：3 22。

已知空间四边形ABCD中，错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，点M在OA上,且OM＝3MA，N 为BC中点，则错误!＝________.（用a，b，c表示）解析：显然错误!＝错误!－错误!＝错误!(错误!＋错误!)－错误!错误!.答案:－错误!a＋错误!b＋错误!c错误!在下列条件中，使M与A,B，C一定共面的是________(填序号）．①错误!＝3错误!－错误!－错误!；②错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!；③错误!＋错误!＋错误!＝0；④错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0。

解析：①对，空间的四点M,A，B，C共面只需满足错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!，且x＋y ＋z＝1即可．根据空间向量共面定理可知③也能使M与A,B，C共面．答案：①③错误!已知向量a＝(2，－3，0），b＝（k，0，3)，若a，b成120°的角，则k＝________．解析:cos〈a，b〉＝错误!＝错误!＝－错误!<0，∴k<0，∴k＝－39.答案：－39错误!已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°,∠BAA′＝∠DAA′＝60°,则AC′等于________．解析:只需将错误!＝错误!＋错误!＋错误!，运用向量运算|错误!|＝错误!即可．答案:错误!6。

高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1 •若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量 的终点构成的图形是（）A. —个圆 E. —个点 C.半圆 D.平行四边形答案：A2 .在长方体 ABCD -ABQD i 中，下列关于 AG 的表达中错误的一个是（ ）答案：E3.若a , b, c 为任意向量， A. (a 亠b ) c =a - (b c )B. (a 亠b )・c =a ・c b-cC.m(a 亠 b ) =m a 亠 m bD. (a ・b )・c=a ・( b-c ) 答案：D1A. 1B. -1C.丄D -22答案：BA.B. AB DD^ De lC. AD CC 1 DC 1D.1(AB i CD i ) - AC im R ，下列等式不一定成立的是（4.若三点A B , e 共线,P 为空间任意一点, 且 PA 叱iPB = 1 PC ,^y - 的值为5. 设 a =(x,4,3), b= (3,2, z)，且 a II b , A. -4 B. 9 C. -9答案：B6 . 已知非零向量 e b e 2不共线， 如果A B, C , D ( )A. 一定共圆则四点亠A DB.恰是空间四边形的四个顶点心C. 一定共面D. 肯定不共面答案：C则xz 等于（AB = e AC =2 e 2 8 e AD =3 e -3 e 2,答案：B则x, y , z 的值分别为( )9 .若向量a =(1, ,2)与b= (2, -1,2)的夹角的余弦值为答案：c答案：D12.给出下列命题：① 已知 a _b ，则 a-(b c ) c-(b a ) =b c ；② A, B, M , N 为空间四点，若BA,B M ,BN 不构成空间的一个基底， 那么A , B, M , N 共面; ③ 已知a_b ，则a , b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④ 若a, b 共线，则a, 正确的结论的个数为(A. 1B. 2 答案：C 二、填空题13.已知 a =(3,15), b = (1,2,3)，向量 c 与 z 轴垂直，且满足 c-a = 9, c-b - -4，则 c =7.如图1空间四边形 ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E , F , G 分别是AB, AD , CD 的中点，贝U a 2等于() B. 2AD-BD C. 2FG-CAD. 8 .右 a = e e 2 - e 3, b =e ^ - e 2 ■ e 3, c =e<i • e 2 — e 3,d =e 2 e 2 3 e ，且 d = x a y b z c ,1.1,2 5 厶D1 - 1「25 /1 - 1「2 5 ~1 - 2-A. 2B. -2C.-2或—55D. 2 或-5510 •已知ABCD 为平行四边形，且A(413),A. -,4,12答案：DB. (2,4,1) 11 .在正万体 ABCD - A| B 1C 1D 1 中,A. 60°B. 90°B(2,— 5,1), C(3,7, -5)，则顶点D 的坐标为(C. (24,1)D. (513, -3)O 为AC , BD 的交点，则 C品C. arccos ——3GO 与AD 所成角的(D. arccos ——6b 所在直线或者平行或者重合.)D. 4A. 2EF-CB答案：22, -21 , 0 5 514.已知A B, C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量 ■ OC 确5 3 定的点P 与A, B, C 共面，那么，二 ____________ . 答案：-1515.已知线段 AB_面〉，BC 二卅，CD _BC , DF _ 面〉于点 F , / DCF =30°，且 D , A 在平面:-的同侧，若 AB =BC 二CD =2，则AD 的长为 ____________________ . 答案：2 216.在长方体ABCD —ABQ i D i 中，BQ 和CQ 与底面所成的角分别为 60°和45°,则异面直 线BC 和CQ 所成角的余弦值为 _____________________ . 答案：—4 三、解答题17 .设 a t =2i - j +K 逊=i +3 j -2 k 爲=-2 i + j 弋 k a =3 i +2 j +5 k,试问是否存在实 数-,7，使a 4 a 「；［_a 2 •a 3成立？如果存在，求出 \ ;如果不存在，请写出证明.答案：解：假设a 4 = ■ a^ ''a 2亠、.①成立. •- a 1 =(2, -1,1), a 2 =(13, -2), a 3 =(-21,3), a^(3,2,5), ••• (2 •-2、，-，3二朕:，• -2」- 3、)=(3,2,5).◎人+4-2v=3, j\ = -2, •. -2,解得」=1,■ -2」-3.. =5,- -3.所以存在，=-2, " =1 , v = -3 使得 a 4 = -2a 1 a 2 -3a 3. 理由即为解答过程.18 .如图2,正三棱柱AB^ -A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为 所成的角.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0, 0, B(0 , a , 0, A (0,0, V2a) , C 「一亟 a, - , ,7a2 2 由于n = ( -1,0, 0)是面ABB 1A ］的法向量,1*122a ,求AC 1与侧面ABB 1A\故AC i与侧面ABB i A所成的角为30°.19 •如图3，直三棱柱ABC- ABC中，底面是等腰直角三角形, .ACB 二90°，侧棱AA i =2, D, E分别是CC i与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是求点A i到平面AED的距离. △ ABD的重心G ,解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=2a ,则A(2a,0,0, B(0,2a,0, D(0,0,1), A(2a,0,2) E(a, a,),-(0 , -2a,1).由GE_BD=GE・BD=0,得a=1,则A i(2,0,2) A(2,0,0) E(1,1,1).自A1作AH —面AED于M，并延长交xOy面于H，设H (x, y,0), —I则AH =(x —2, y, -2).又AD =(-2,0,1) , AE =(—1,1,1).丄AH _AD, —2(x—2)—2=0, x =1, ZR由1得H (1,1,0)."H _ AE -(x -2) y -2 =0 y =1,又AM =A1A90s A1AAM = AA^cos A1AAH =2 —=20.已知正方体ABCD -ABGD1的棱长为2, P, Q分别是BC, CD上的动点，且PQ = . 2 ,确定P, Q的位置，使QB1 _PD . 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP =t ,得CQ = 2 -(2 -t)2, DQ =2 - 2 -(2 -t)2.那么B(2,0, 2) D1(0,2,2, P(2 , , 0) Q(2 - 2-(2-t)2,2,0),从而QB =( 2 -(2 -t)2, -2 ,2) , PD1 =(22 -t,2),T —+由QB _ PD = QB^PD t =0 ,即-2 2 -(2 -t)2 -2(2 -t) 4 =0二t =1 .故P, Q分别为BC, CD的中点时，QB i _PD i .21.如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，.ABC=90°,SA_面ABCD ,1SA二AB二BC =1, AD ，求面SCD与面SBA所成二面角的正切2值.解：建立如图所示的空间直角坐标系，(1\则A(0,0,0, B(—1,0,0, C(—1,1,0) D .0, 2 0 , S(0,0,1).延长CD交x轴于点F ,易得F(1,0, 0),作AE _SF于点E ,连结DE ,则ZDEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.又由于SA二AF且SA_AF，得E -€5那么从而乩一1,°,」，ED…丄,1,V 2 2 丿V 2 2cos EA, EDEA-ED因此tan EAF , ED 二彳.故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为22.平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且.GCB =. GCD = BCD ,试问:CD的值为多少时，AQ _面GBD ?请予以证明.当CG解：欲使AQ _面GBD ,只须AC _GD ,且AC _GB .欲证AC丄GD ,只须证CA・CD =0 ,t —t T 即(CA AA)・(CD -CG) =0 ,也就是(CD CB CC)(CD _CCJ =0,|C^2 -|C CJ2+|CB|C D|COS^BCD由于• GCB =/BCD , 显然，当CD |CC1时，上式成立；cos _GCB = 0 .同理可得，当时，AC —GB .CD因此，当时, AC _面G BD ..选择题：(10小题共40分)定共面的是2.直三棱柱 ABC — A B i G 中，若 CA = a, CB = b, CC r = C,则 A )B =3.若向量m 垂直向量a 和b ，向量n = ■ a h ：b(',」：=只且■、，北0)则A. m 〃 nB. m _ nC. mi 不平行于n,m 也不垂直于nD.以上三种情况都可台匕 冃匕4.以下四个命题中，正确的是C. (a b)c5.对空间任意两个向量 a,b(b o),a//b 的充要条件是6.已知向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a 与b 的夹角为A B i = a, A i D i = b, A A = c ,则下列向量中与B 1M 相等的是1.已知A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点 M 与点A. OM = OA 亠 OB 亠 OCB . OM = 2OA _ OB _ OCC . OM =OA !OB !OC2 3D.OM =1OA 」0B -OC3 3 3A. a b —cB. a — b eC. 一 a b cD. - a b - cA.若00=丄0入+丄0目 则P 、 2 3 'A 、E 三点共线 B.设向量｛a,b,c ｝是空间一个基底,c + a ｝构成空间的另一个基底D. △ ABC 是直角三角形的充要条件是 AB AC =0A. a 二 bB. a - -bC. b - ■ aA.0 °B.45C.90o.D.180 °7.在平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与 BD 的A. -lalb lc B. la 」b 」c C. 2 2 2 28.已知 a =(• 1,0,2 Jb =(6,2」 -1,2),若a 〃b,则•与•啲值分别为9.已知a =3i 2j - k,b = i - j 2k,则5a 与3b 勺数量积等于10.在棱长为1的正方体ABC —A i B i CD 中，M 和N 分别为AB 和BB 的中点，那么直线CN所成角的余弦值是二.填空题：(4 小题共16分)11.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9) 12.已知 A(0, 2, 3), B(-2 , 1, 6), C( 1, -1 , 5),若|a |二.3,且a _ AB,a _ AC,则向量 a的坐标为13.已知a,b 是空间二向量，若心|=3,闪|=2扁4卜.7,则a 与b 的夹角为 14.已知点 G 是厶ABC 的重心，O 是空间任一点，若 OA • OB • OC 」OG,贝，的值三.解答题：(10+8+12+14=44 分)15. 如图：ABCD 为矩形，PAL 平面 ABCD PA=AD M N 分别是PC AB 中点,16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内， 它和两个面所成的角都是300,求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小B.5, 2D.-5 , -2-b c 2A.-15B.-5C.-3D.-1AM 与2 B.-5C.35 D 」10三点共线，则 m+n= (1)求证：MN L 平面PCD (2)求NM 与平面 ABCD 所成的角的大小•17. 正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2, P为SA的中点，如图(1) 求二面角B—SC- D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小18. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ ABC中，CA=CB=1 / BCA=90，棱AA=2, M N分别是A1B1, AA的中点；(1)求BN的长;⑵求cos ：：： BA1,CB1的值;⑶求证：AB _CM•(4)求CB与平面AABB所成的角的余弦值高中数学选修2-1测试题（10）—空间向量⑴参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1 ,1 , 1) 13.60 0 14.315.(1) 略⑵45 016.45 0 17.(1) 1 3⑵18.(1) 3 (2) ■ 30(3) 略(4) 3 1010 1018.如图，建立空间直角坐标系O—xyz. (1 )依题意得B ( 0, 1, 0)、N( 1, 0, 1) •••I BN |= .(1 一0)2(0 一1)2 (1 - 0)2「3.(2) 依题意得A1 (1, 0, 2)、B ( 0, 1 , 0)、C (0, 0, 0)、B…BA ={ —1, —1, 2}, CB1 ={0, 1, 2, }, BA| • CB1 =3,BA. CB 11CB 1 |= J5 ••• cos< BA 1 , CB 1 >=(3)证明：依题意，得 G (0, 0, 2)、M( 1,1,2), A 1B ={ - 1 , 1 , 2} , CM,2 2 1 2 2评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识 .考查空间两向量垂直的充要条件——-1 . 30. |BAJ|CB i |102‘20}. • A , B • C 1M =-1 12+ 2+0=0，AB 丄 C 1M ,• AB 丄CM.。