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哈九中2021届高三上学期期末考试(数学理科）试卷 时间:120分钟 满分:150分第Ⅰ卷 （选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}210M x x x =+-<，{}10N x x =+<，则M N ⋂=（ ） A ．()1,1- B ．()2,1- C ．()2,1-- D ．()1,2 2. 若复数z 满足1zi i =+，则复数z 是（ ）A ．1i --B ．1i +C ．1i -+D ．1i -3. 点Р到直线3y =的距离比到点1(0,)F -的距离大2，则点Р的轨迹方程为（ ） A ．22y x = B ．24y x =- C ．24x y = D ．24x y =- 4.已知袋中装有2个红球和2个白球，随机抽取2个球，则2球都是红球的概率为（ ） A ．23 B ．16 C ．13 D ．8215. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是:设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和()*,,,a b c d N ∈，则b cda ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=…，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得x 的近似分数为（ ） A ．227 B ．7825C ．6320D ．10935 6. 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．807. 已知三个不同的平面,,αβγ，三条不重合的直线,,m n l ，有下列四个命题中正确的是（ ） A ．若,m l n l ⊥⊥，则//m n ； B ．若,y αγβ⊥⊥，则//αβ C ．若,//,m a m n n β⊥⊂，则αβ⊥ D ．若//,m a n αβ⋂=，则//m n .8.泰山有“五岳之首”“天下第一关”之称.登泰山的路线有四条:红门盘道徒步路线，桃花峪登山路线，天外村汽车登山路线，天烛峰登山路线.甲、乙、内三人在聊起自己登泰山的路线时，发现三人走的路线均不同，且均没走天外村汽车登山路线，三人向其他旅友进行如下陈述: 甲:我走红门盘道徒步路线，乙走桃花峪登山路线； 乙:甲走桃花峪登山路线，丙走红门盘道徒步路线: 丙:甲走天烛峰登山路线，乙走红门盘道徒步路线.事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半.根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山路线 B ．乙走红门盘道徒步路线 C ．丙走桃花峪登山路线 D ．甲走天烛峰登山路线9. 已知,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且3202cos cos πθθ⎛⎫++=⎪⎝⎭，则4sin πθ⎛+⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．4 B ．24-C ．4 D ．24+10. 已知12,F F 是双曲线22221(0,0x y a b a b -=>>）的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(1,1C ．(D ．(1+ 11. 等差数列{}n a 中，28a =，前6项和666S =，设()21n nb n a =+，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，则n T =（ ）A ．111n -+ B ．112n -+ C ．1121n -+ D ．1122n -+12. 设函数()f x a =，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则实数a 的取值范围为（ ）A ．34⎛⎝⎦B ．34⎛⎝⎦C ．⎛⎝⎦D ．⎛⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x R ∈，向量()()1,2,,1a x b ==-，且a b ⊥，则a b += ．14.若实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值是_ ．15.已知三棱柱111ABC A B C -，2,1AB AC ==，60BAC ∠=︒，则此球的表面积为 ．16.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()2()f x x x R =∈， ()()10g x x x=<，()2h x elnx =，则有下列命题: ()y g x =-①与()h x 有“隔离直线”()f x ②和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ()f x ③和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,0-； ()f x ④和()h x之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.其中真命题的序号为 ．（请填上所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()2f x sin x =+()1求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数的值域: ()2在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()3,2,42f A a b C ==+=，求,b c . 18. 惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国I 卷的题型结构，其中第22，23题为选做题，考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22，23题统计结果如下表参考公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()1在答卷中完成如下22⨯列联表，并判断能否至少有99.9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类（文理）”有关系；()2在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取2人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11,AB AC AC BB ⊥⊥，112,AB A B AC BB ====()1求证:1A B ⊥面ABC ；()2若点Р为11B C 的中点，求直线1B B 与平面PAB 所成角的正弦值.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，直线1:bl y x a =与椭圆相交于,A B 两点，2F 关于直线1l 的对称点为(0,)E b 斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于,C D 两点.()1求椭圆的标准方程；()2求四边形ACBD 面积的取值范围.21. 已知()246f x x x lnx =--()1求()f x 的单调区间；()2令()()(6)4g x f x x a lnx =--+，若()g x 有两个零点分别为()1212,x x x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证:12034x x x +>请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分（本小题满分10分) 22.已知()11f x x ax a =++-+.()1当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集:()2若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.23.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）﹒以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()20acos a ρθ=>，且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.()1求a ；()2设,A B 为曲线C 上的两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的最大值.期末考试数学（理）答案一、选择题1-5:CDDBC 6-10:CCDAB 11、12:DA二、填空题14.2 15.8π16. ②④三、解答题17.()310,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22b c ==18.由表中数据，计算()22105011010080040910140150900K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯35026.92313=≈ 26.92310.828>所以有99.9%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；()2由分层抽样的方法可知在被选取的6名学生中理科生有4名，文科生有2名.记4名理科生为,,,a b c d .2名文科生为E F 、，从这6名学生中随机抽取2名，全部可能的基本事件共15种分别是:,,,,ab ac ad aE aF bc bd bE bF cd cE cF dE dF EF 、、、、、、、、、、 被抽中的2名学生均为理科生的基本事件是:ab ac ad bc bd cd 、、、、、，有6种，故所求的概率为62155P == 所以被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率为25； 19.解析()1在三棱柱111ABC A B C -中，1,AB AC AC BB ⊥⊥，1AB BB B ⋂=，AC ∴⊥平面11ABB A ，又1A B ⊂平面11ABB A ，1AC A B ∴⊥.12BB =，1AA ∴=，12AB A B ==. 22211AB A E AA ∴+=，1A B AB ∴⊥，又AC AB A ⋂=，1A B ∴⊥平面ABC .()2解法一由()1知，直线11111,,AC A B BA ，两两互相垂直，如图，以1A 为坐标原点，分别以11111,,AC A B BA 所在直线为,,x y z 轴，简历空间直角坐标系1Axyz -则()()()()110,0,01,1,00,0,2,,,0,2,0A P B B -， ()()110,2,0,1,1,2AB A B PB ===---.设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =.则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y x y z =⎧⎨---=⎩取1z =，则()2,0,1n =-为平面PAB 的--个法向量.()10,2,2BB =，设直线1BB 与平面PAB 所成的角为θ，则111cos ,105n BB sin n BBn BB θ⋅====⨯⋅，∴直线1BB 与平面PAB 20. 解:()1由题意得2,2,c b ==28a ∴=∴椭圆方程为22184x y +=. ()2设直线2l 的方程为()()1122,,,,y x m C x y D x y =-+.由22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩得2234280x mx m -+-=， 所以1221243283x x m m xx ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩由()1知直线1:l y x =代入椭圆得A ⎛ ⎝，B得3AB =由直线2l 与线段AB 相交于点P ，得m⎛ ⎝∈.满足0∆>.12CD x=-===而21l k=-与11l k =，知21l l ⊥12ACBD S AB CD ∴=⋅=四边形.由m ⎛ ⎝∈. 得232,03m ⎛⎤-∈-⎥⎝⎦3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦21.()()'13)2(f x x x x=+-， 所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞.()()2,20ag x x aln x g x x xx'=-=-==得0x =当()(),00,x g x x g x ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝''∈⎭∈<>、 所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增 而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202=a g a e -<⇔>因为10x <<2x > 令()211x t t x =>， 由()()22121122 f x f x x alnx x alnx =→-=-. 即222211111121alntx alnx t x alntx x t -=-⇒=- 而()()21201213431318x x x t x t x a +>⇔+>⇔+>即()223181alntr a t +>-由0,1a t >>， 只需证:()2231880t lnt t +-+>， 令()()223188h t lnt t t =+-+，则()()118676h t t nt t t l '=+-++令()()1186ln 76n t t t t t=+-++，则()()261181101t n t lnt t t-'=++>>故()n t 在()1,+∞上递增，()()10n t n >=； 故()h t 在()1,+∞上递增，()()10,h t h >=12034x x x ∴+>22. 解()1当1a =时，不等式()3f x ≥化为13x x ++≥ 若1x <-，则13x x ---≥，即2x ≤-； 若10x -≤≤，则13x x +-≥，无解﹔ 若0x >，则13x x ++≥，即1x ≥.所以不等式()3f x ≥的解集为(][),21,-∞-⋃+∞()2当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+化为112x ax a x ++-+≥+即11ax a -+≥所以当1x ≥时，不等式11ax a -+≥恒成立. 由11ax a -+≥，得11ax a -+≤-或11ax a -+≥ 即()12a x -≤-或()10a x -≥当1x ≥时，不等式()12a x -≤-不恒成立； 当1x ≥时，若不等式()10a x -≥恒成立，则0a ≥. 所以a 的取值范围为[0)+∞，.23.解:()1直线l 的普通方程是30x -=，曲线C 的直角坐标方程是()22x a y -+=依题意直线l 与圆相切，则32a d a -==， 解得3a =-或1a =， 因为0a >，所以1a =. ()2如图，不妨设()12,,3,A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则122,23cos cos πρθρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭1222336OA OB cos cos cos ππρρθθθθθ⎛⎫+=+=++==+ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以26k πθπ+=，即2,6k k Z πθπ=-∈时，OA OB +最大值是。
哈尔滨市第九中学2021届高三上学期开学考试物理学科试卷（考试时间：90分钟 满分：110分）一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，第1~7题只有一项符合题目要求，第8~12题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）1.以36km/h 的速度沿平直公路行驶的汽车，遇障碍物刹车后获得大小为a=4m/s 2的加速度，刹车后第三个2s 内，汽车走过的位移为（ ）A.12.5mB.2mC.10mD.0m2.一个朝某一方向做匀变速直线运动的物体，在t=5s 内速度从v 0=12m/s 增加到v=18m/s ，则下列说法正确的是（ ）A.这个物体的加速度为3.6m/s 2B.这个物体在5s 内的平均速度为6m/sC.这个物体在接下来的5s 内的位移为75mD.这个物体在连续的两个5s 内的位移差为30m3.a 、b 两车在平直公路上行驶，其v-t 图象如图所示，在t=0时，两车间距为s 0，在t=t 1时间内，a 车的位移大小为s ，则（ ）A.0~t 1时间内a 、b 两车相向而行B.0~t 1时间内a 车平均速度大小是b 车平均速度大小的2倍C.若a 、b 在t 1时刻相遇，则023s s D.若a 、b 在12t 时刻相遇，则下次相遇时刻为2t 1 4.如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形滑块固定在斜面上，球心O 的正上方有一定滑轮A （视为质点），细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B 连接，另一端绕过滑轮A 在水平向右的拉力F 作用下使圆球B 保持静止.改变拉力F 的大小，使圆球B 从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B 的球心正好在O 点的正上方（不考虑该位置的情况）.圆球B 不会与定滑轮A 接触，则下列说法正确的是（ ）A.拉力F一直增大B.拉力F先增大后减小C.半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小D.半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变5.如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，A物体质量m=20kg，B物体质量M=30kg.处于水平位置的轻弹簧一端固定于墙壁，另一端与A物体相连，弹簧处于自然状态，其劲度系数为250N/m，A与B之间B与地面之间的动摩擦因数均为0.2μ=.现有一水平推力F作用于物体B上，使B缓慢地向墙壁移动，当B移动0.2m时，水平推力的大小为（g取10m/s2）（）A.100NB.140NC.150ND.200N6.如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行.A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水平面的夹角为45︒时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（）A.13B.14C.15D.167.如图所示，两根长度均为1m的细杆ab、cd，ab杆从高处自由下落，cd杆同时从地面以20m/s的初速度竖直上抛，两杆开始运动前ab杆的下端和cd杆的上端相距10m，在运动过程中两杆始终保持竖直.则以下说法正确的是（）A.经过0.4s，两杆刚好相遇B.经过0.5s，两杆恰好分离C.两杆相遇（但不相碰）到分离的时间是0.1sD.两杆相遇（但不相碰）时，cd杆已经开始下降μ=的水平面上，质量m=2kg的物块与水平轻弹簧相连，物块在与水平方向8.如图所示，在动摩擦因数0.2θ=︒角的拉力F作用下处于静止状态，此时水平面对物块的弹力恰好为零.g取10m/s2，以下说法正确成45的是（）A.此时轻弹簧的弹力大小为20NB.当撤去拉力F的瞬间，物块的加速度大小为8m/s2，方向向左C.若剪断弹簧，则剪断的瞬间物块的加速度大小为8m/s2，方向向右D.若剪断弹簧，则剪断的瞬间物块的加速度为09.将一个质量为1kg的小球竖直向上抛出，最终回到抛出点，运动过程中所受的阻力大小恒定，向与运动方向相反，该过程的v-t图象如图所示，g取10m/s2.下列说法正确的是（）A.小球所受重力和阻力大小之比为5:1B.小球上升过程与下落过程所用时间之比为2:C.小球落回到抛出点时的速度大小为/sD.小球下落过程中，受到向上的空气阻力，处于超重状态10.如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m ，水的阻力恒为f F ，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v ，此时人的拉力大小为F ，则此时（ ）A.人拉绳行走的速度为cos v θB.人拉绳行走的速度为cos v θC.船的加速度为fF F m- D.船的加速度为cos fF F m θ-11.如图所示，A 、B 、C 三个物体放在水平圆台上，它们的连线经过圆心，A 、B 、C 离转轴的距离分别为R 、R 、2R ，A 、B 、C 与台面间的动摩擦因数分别为从μ、μ、2μ，A 、B 、C 的质量分别为2m 、m 、m ，当圆台匀速转动时，A 、B 、C 都没有滑动，则（ ）A.A 物体的向心加速度最大B.A 、C 物体所受的静摩擦力大小相等，方向相反C.当圆台的转速缓慢增加时，C 物体比B 物体先滑动D.当圆台的转速缓慢增加时，A 物体与B 物体将同时开始滑动12.如图所示，白色水平传送带AB 长L=10m ，向右匀速运动的速度04/v m s =，一质量为1kg 的小墨块（可视为质点）以16/v m s =的初速度从传送带右端B 点冲上传送带，小墨块与传送带间的动摩擦因数0.4μ=，g 取10m/s 2.则（ ）A.小墨块先做匀减速后做匀加速运动B.小墨块相对地面向左运动的最大距离为4.5mC.小墨块在白色传送带上留下的墨迹长度为14.5mD.小墨块从B 点冲上传送带到再次回到B 点所用的时间是3.125s二、实验题（共2小题，共12分）13.（1）在“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，以下说法正确的是（ ）A.弹簧被拉伸时，不能超出它的弹性限度B.用直尺测得弹簧的长度即为弹簧的伸长量C.画出的图线必须通过所描的每个点，画成折线也行D.本实验可得出弹力和弹簧伸长量成二次函数关系（2）在进行该实验时，某同学把弹簧平放在桌面上使其自然伸长，用刻度尺测出弹簧的原长L 0，再把弹簧竖直悬挂起来，挂上钩码后测出弹簧伸长后的长度L ，把0L L -作为弹簧的伸长量x ，这样操作，由于弹簧自身重力的影响，最后画出的图线可能是图中（ ）A. B. C. D.14.为了验证质量一定时加速度与力的关系.一同学设计了如图所示的实验装置.其中M 为带滑轮的小车的质量，m 为砂和砂桶的质量。
2021年黑龙江省哈尔滨市第九中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=，则满足f（a）≥2的实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）B．（﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）参考答案：D考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据不等式的解法，利用分类讨论即可得到结论．解答：解：函数f（x）=则满足f（a）≥2，若a≤﹣1，则由f（a）≥2，得f（a）=2﹣2a≥2，解得a≤，可得a≤﹣1．若a＞1，则由f（a）≥2，得f（a）=2a+2≥2，解得a≥0，综上a∈（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞），故选：D．点评：本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，利用分类讨论是解决本题的关键，比较基础．2. 若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A． a＞b＞c B． c＞b＞a C． b＞c＞a D． b＞a＞c参考答案：D考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用幂函数与对数函数的性质即可判断．解答：解：∵y=x3是R上的增函数，∴0＜a＜b，又y=log3x为[0，+∞）上的增函数，∴c=log30.3＜log31=0，∴c＜a＜b．故选D．点评：本题考查不等式比较大小，重点考查学生掌握与应用幂函数与对数函数的单调性质，属于容易题．3. 设集合P={x|}，m=30.5，则下列关系中正确的是（）A．m?P B．m?P C．m∈P D．m?P参考答案：B【考点】1C：集合关系中的参数取值问题；12：元素与集合关系的判断．【分析】解出集合P中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与P的关系，从而得到答案．【解答】解：∵P={x|x2﹣x≤0}，∴，又m=30.5=故m?P，故选B．4. 哥德巴赫在1742年6月7日给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和．这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1+1” ．1966年，我国数学家陈景润证明了“1+2”，获得了该研究的世界最优成果．若从大于10且不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则这两数之和超过30的概率是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用列举法结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】大于10且不超过30的所有质数有：，共6个，从中任取2个，所有可能情况为，，，，共种.其中两数之和超过30的有：，，共11种.所以所求的概率为.故选：C【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.5. 设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4参考答案：C【考点】函数的图象与图象变化．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2x﹣a（x＞0），即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，∴﹣log22+a﹣log24+a=1，解得，a=2，故选：C．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题6. 已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是A．(1,+∞) B．(1,2) C．D．(2,+∞)参考答案：D如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.7. 已知数列满足：，为求使不等式的最大正整数，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（）A． B． C. D．参考答案：B8. ，，则=（）A．（0，2] B．（1，2] C．? D．（﹣4，0）参考答案：B9. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是( ).A． B．C． D．参考答案：D10. 如图所示的程序框图的算法思路是一种古老而有效的算法——辗转相除法，执行该程序框图，若输入的的值分别为42,30，则输出的A．0 B．2 C．3 D．6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三棱锥A-BCD中，,若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是__________．参考答案：由已知可得所以平面设三棱锥外接球的球心为O，正三角形ABD的中心为，则，连接O，OC，在直角梯形中，有，，OC=OB=R，可得：，故所求球的表面积为.故答案为：点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12. 已知在正方体中，点E是棱的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值是▲.参考答案：13. 数列的前项和为，，则数列前50项和为______________ 参考答案：49 14. 设随机变量，且，则实数的值为______.参考答案：9.815. 若α是锐角，且的值是 .参考答案：∵是锐角，,,所以，.16. 在二项式（ax2+）5的展开式中，若常数项为﹣10，则a=．参考答案：﹣2【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式（ax2+）5的展开式中，通项公式T r+1==a5﹣r，令10﹣=0，解得r=4．∴常数项=a=﹣10，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17. 已知点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)。
2021届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合()(){}210M x x x =+-<，{}10N x x =+<，则M N =（ ）A ．()1,1-B ．()2,1-C ．()2,1--D ．()1,2【答案】C【分析】解出集合M 、N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂. 【详解】()(){}()2102,1M x x x =+-<=-，{}()10,1N x x =+<=-∞-，因此，()2,1M N =--.故选：C.2．若复数z 满足1zi i =+，则复数z 是（ ） A ．1i -- B ．1i +C ．1i -+D ．1i -【答案】D【分析】由复数的除法运算计算即可. 【详解】由1zi i =+，可得11iz i i+==-. 故选：D.3．点P 到直线3y =的距离比到点F (0，-1)的距离大2，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．24y x = B ．24y x =-C ．24x y =D ．24x y =-【答案】D【分析】根据题意，点P 在3y =的下方，故点P 到直线1y =的距离和到点F (0，-1)的距离相等，可得点的轨迹为以F (0，-1)为焦点，以直线1y =为准线的抛物线，即可得解.【详解】根据题意，设点(,)P x y ，且点P 在3y =的下方， 故点P 到直线1y =的距离和到点F (0，-1)的距离相等，所以点的轨迹为以F (0，-1)为焦点，以直线1y =为准线的抛物线， 所以P 的轨迹方程为24x y =-，故选：D.4．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（ ）34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 A ．25 B ．23C ．12D ．07【答案】C【分析】根据随机数表依次进行选取即可．【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字， 大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12， 则抽取的第5个零件编号为12. 故选：C ．【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析． 5．某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是（ ）A ．6i >B ．7i >C ．6i ≥D ．5i ≥【答案】A【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行后输出的结果，从而得出所求.【详解】根据题意可知该循环体运行情况如下:第1次: S =0＋21=2，i =1＋1=2 第2次: S =2+22=6，i =3 第3次: S =6+23=14，i =4 第4次: S=14＋24=30，i =5 第5次: S =30＋25=62，i =6 第6次: S =62＋26=126，i =7因为输出结果是126，结束循环，判断框应该是i >6. 故选:A【点睛】本题主要考查了循环结构，条件分支结构，考查了运算能力，属于中档题． 6．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【详解】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ， 由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x ﹣y|≤2， 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=7．已知三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m ，n ，l ，有下列四个命题． ①若m l ⊥，n l ⊥，则//m n ．②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ． ③若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥．④若//m α，n αβ=，则//m n ．其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】在①中，根据题意，结合空间中的线线关系即可判断是否正确；在②中，根据题意，结合空间中的没没关系，即可判断是否正确；在③中，由面面垂直的判断定理得αβ⊥，即可判断是否正确；在④中，根据题意，结合空间中的线线关系即可判断是否正确．【详解】由三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m ，n ，l ，知： 在①中，若m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若m α⊥，//m n ，n β⊂，则由面面垂直的判断定理得αβ⊥，故③正确； 在④中，若//m α，n αβ=，则m 与n 异面或平行，故④错误．故选：A ．8．已知x 与y 之间的几组数据如表．如表数据中y 的平均值为2.5，若某同学对m 赋了二个值分别为1.5，2得到二条线性回归直线方程分别为11ˆyb x a =+，22ˆy b x a =+对应的相关系数分别为1r ，2r 下列结论中错误的是（ ）参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，其中()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-．相关系数()()niix x y y r --=∑．A ．21b =B ．相关系数中，21r r >C ．12b b >D ．12a a >【答案】D【分析】根据所给数据，分m 取1.5，2两个数值，进行分类讨论即可得解. 【详解】根据图表可得52x =由y 的平均值为2.5，若m 取1.5，则 3.5n =，代入公式可得1ˆ 1.1b =，1r =≈11ˆˆ0.25a y b x =-=-， 所m 取2，则3n =，此时代入公式可得2ˆ1b =，21r ==，22ˆˆ0a y b x =-=， 所以12ˆˆaa >错误， 故选：D. 9．已知,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且3cos2cos 02πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．4B ．24-C ．4D ．24【答案】A【分析】由已知条件结合二倍角公式和诱导公式可先求sin θ，进而可求cos θ，然后结合两角和的正弦公式可求.【详解】,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且3cos2cos 02πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， cos 2sin 0θθ∴+=即22sin sin 10θθ-++=，解得：sin 1θ=或1sin 2θ=-，cos θ∴=，则)sin cos 224sin θθπθ⎛⎫=+== ⎝⎭+⎪， 故选：A.【点睛】关键点点睛：通过三角恒等变换和诱导公式，构造成一元二次方程求解；注意角的范围.10．已知12,F F 是双曲线22221(0,0x y a b a b-=>>）的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()1,12+C ．()1,3D ．()12,12-+【答案】B【分析】由题意可用双曲线参数,,a b c 表示22||,||,||AB BF AF ，由2ABF 是锐角三角形，令2BF A θ∠=结合余弦定理即得2221cos 12()(0,1)1e e θ-=-∈+，进而可求离心率的取值范围.【详解】由题意知，若如图所示，则2(,)b A c a --，2(,)b B c a-，∴22||b AB a =，42222||||4b BF AF c a==+令2BF A θ∠=，则有2222222222||||||1cos 12()2||||1BF AF AB e BF AF e θ+--==-⋅+， 2ABF 是锐角三角形，有2221012()11e e -<-<+，得221012e e -<<+ ∴22(12)e <，而1e >可知：e 的范围(1,12)故选：B.【点睛】关键点点睛：利用双曲线参数表示三角形的三边，应用余弦定理结合锐角三角形中内角余弦值范围为(0,1)，双曲线离心率1e >求离心率范围. 11．等差数列{}n a 中，28a =，前6项和和666S =，设2(1)n nb n a =+，12n n T b b b =+++，则n T =A ．111n -+ B ．112n -+ C ．1121n -+ D ．1122n -+ 【答案】D【详解】由题意得1161566,8a d a d +=+= ,解得16,2,6(1)224n a d a n n ===+-⨯=+ ,因此2111(1)(24)(1)(2)12n b n n n n n n ===-++++++ ,因此1111111123341222n T n n n =-+-++-=-+++ ,选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +. 12．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为 A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞） 【答案】B【分析】利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2 的取值范围．【详解】由题得f′（x ）=4k k x +﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()24x k x k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（x ＞0，k ＞0）由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），即21144k k x x +-﹣1=24k k x +﹣224x ﹣1，化简得4（x 1+x 2）=（k+4k）x 1x 2， 而x 1x 2＜212()2x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+4k ）212()2x x +， 即x 1+x 2＞164k k +对k ∈[4，+∞）恒成立，令g （k ）=k+4k，则g′（k ）=1﹣24k =()()222k k k+-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5，∴164k k +≤165， ∴x 1+x 2＞165，故x 1+x 2的取值范围为（165，+∞）. 故答案为B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题 的关键，属于中档题.二、填空题13．设x ∈R ，向量()(),1,1,2a x b ==-，且a b ⊥，则a b +=_______________________．【分析】先根据a b ⊥求出x 的值，再求+a b 得解. 【详解】因为a b ⊥， 所以20,2x x -=∴=, 所以(2,1)a =， 所以+(3,1)a b =-，所以223)=1+(10a b =+-. 故答案为：10.14．若实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值是______________．【答案】2【分析】确定目标函数与截距关系，作出可行域，数形结合根据几何意义找到最优解，代回目标函数即可. 【详解】作出可行域如图，由2z x y =+，得122zy x =-+，表示一组斜率为12-的直线.且目标函数z 的几何意义为直线122z y x =-+的截距2z的2倍，当直线过点(0,1)A 时，截距最大，即目标函数取最大值，max 0212z =∴+⨯=.故答案为：2.【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱32AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于______． 【答案】8π【详解】试题分析：由已知条件得：01121sin 602AA ⨯⨯⨯⨯=∴12AA =，∵22202cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴BC =， 设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R =，∴=∴球的表面积等于248ππ=. 【解析】1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；3.球的表面积.16．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =，则有下列命题：①()y g x =-与()h x 有“隔离直线”；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,0-；④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-．其中真命题的序号为_______________________．（请填上所有正确命题的序号） 【答案】②④【分析】利用导数结合“隔离直线”的定义可判断①的正误；利用“隔离直线”的定义求出b 、k 所满足的不等式，求出k 、b 的取值范围，可判断②③的正误；求出函数()f x 和()h x 图象的公共点以及公切线方程，结合利用导数法证明出()f x e ≥-、()g x e ≤-，结合“隔离直线”的定义可判断④的正误.【详解】对于①，构造函数()()()21x f x g x x xϕ=+=+，其中0x <， 则()32212120x x x x xϕ-'=-=<，所以，函数()x ϕ在(),0-∞上单调递减， ()10ϕ-=，当1x <-时，()()10x ϕϕ>-=，此时()()f x g x >-；当10x -<<时，()()10x ϕϕ<-=，此时()()f x g x <-. 所以，()y g x =-与()h x 不存在“隔离直线”，①错误；对于②，设()f x 和()g x 之间的“隔离直线”为y kx b =+，当0x <时，21x x>，则2x kx b ≥+在(),0-∞上恒成立， 设()21f x x kx b =--，二次函数()1f x 图象的对称轴为直线2k x =. 当0k ≥时，则()100f b =-≥，可得0b ≤；当0k <时，2140k b ∆=+≤，则24k b ≤-. 不等式1kx b x +≥在(),0-∞上恒成立，即1b kx x ≥-在(),0-∞上恒成立， 若0k >，函数1y kx x=-在(),0-∞上单调递减，该函数在(),0-∞上无最小值，此时b 无解；若0k =，可得1b x ≥，当(),0x ∈-∞时，()1,0x∈-∞，则0b ≥； 若0k <，则1b kx x≥-，由基本不等式可得11kx kx x x ⎡⎤⎛⎫-=--+≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当x=b ≥-由上可知，当0k =时，0b =；当0k <时，24k b -≤≤-，0k =，0b =也满足24k b -≤≤-，由上可知24k -≤-，整理可得464k k -≥，即()3640k k +≤，40k ∴-≤<.由题意可知，(2minmax4k b ⎛⎫-≤≤- ⎪⎝⎭，所以40b -≤≤，故②正确；对于③，由②可知，40k -≤≤，故③错误；对于④，()2f x x =、()2ln h x e x =，则fe =，2h e e ==，则fh =，所以，函数()f x 、()g x 的图象的公共点为)e ，()2f x x '=，则f '=()2eg x x'=，则g '=()f g e ''=，所以，函数()f x 、()g x 的图象在公共点)e 处有公切线y e x -=，即y e =-.构造函数()()(22210x x e x e x ϕ=--=-+=≥，所以，()f x e ≥-.构造函数()()22ln 2ln x e x e e x e ϕ=--=-+，则())22x e x xxϕ'=-=.当0x <<()20x ϕ'>，此时函数()2x ϕ单调递增；当x >()20x ϕ'<，此时函数()2x ϕ单调递减.所以，()220x ϕϕ≤=，即()g x e ≤-.综上可知，()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-，④正确. 故答案为：②④.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.三、解答题17．已知函数()f x ()()23cos cos 2x x x πππ⎛⎫+⋅-++⎪⎝⎭． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()32f A =,2,4a b c =+=，求,b c .【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间是,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）b=c=2【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为1sin 262x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间；（2）由()32f A =,求得3A π=，利用余弦定理，结合2,4a b c =+=，列方程组可求得,b c 的值.【详解】(1)∵()f x =3sin(3π+x)·cos(π−x)+cos 2(2π+x)， ∴()3sin f x x =- (−cos x)+(−sin x)2=31cos 21sin 2sin 22262x x x π-⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，由 2kπ−2π2x-6π2kπ+2π，k ∈Z ， 可得函数()f x 的单调递增区间是,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ．(2)由()32f A =,得，sin(2A-6π)+12=32，sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵0<A<π，∴0<2A<2π，112,2,666623A A A ππππππ-<-<-== ∵a=2，b+c=4 ①， 根据余弦定理得，4=2b +2c −2bccos A=2b +2c −bc=(b+c)2−3bc=16−3bc ， ∴bc=4 ②，联立①②得，b=c=2．．【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18．惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国I卷的题型结构，其中第22，23题为选做题，考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22、23题统计结果如下表参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++（1）在答卷中完成如下22⨯列联表，并判断能否至少有99.9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类（文理）”有关系；（2）在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取2人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；（2）25．【分析】（1）本题首先可根据题中信息将22⨯列联表补充完整，然后求出2K，与表中数据进行对比即可得出结果；（2）本题首先可根据分层抽样得出理科生有4名以及文科生有2名，然后列出所有的可能情况以及抽中的2名学生均为理科生的所有的可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】（1）如图，可根据题中信息将22⨯列联表补充完整：则()2210501101008004091014035026.92310.82811509003K⨯⨯-⨯=⨯>⨯⨯=≈，故有99.9%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关.（2）根据分层抽样的性质易知，6名学生中理科生有4名，文科生有2名，记4名理科生为a、b、c、d，2名文科生为E、F，从这6人中随机抽取2人，所有的可能情况有15种，依次为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，被抽中的2名学生均为理科生的所有的可能情况有6种，依次为：ab、ac、ad、bc、bd、cd，故被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率62155 P==.【点睛】关键点点睛：本题考查通过独立性检验解决实际问题、分层抽样的应用以及古典概型概率的计算，可通过列出所有的可能情况以及满足限制条件的所有可能情况求出概率，考查计算能力，是中档题.19．如图1，菱形ABCD中，60A︒∠=，DE AB⊥于E，将AED沿DE翻A ED'，使A E BE'⊥，如图2．（1）求证：A E '⊥平面BCDE ； （2）求三棱锥C A BD '-的体积；（3）在线段A D '上是否存在一点F ，使//EF 平面A BC '？若存在，求DFFA '的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（283；（3）存在；1DF FA ='． 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；（2）转换顶点，等体积变换，由C A BD A BCD V V ''--=可得结果；（3）分别取A D '，A C '的中点F ，M ，连EF ，FM ，BM ．只需证明四边形EBMF 为平行四边形即可.【详解】（1）在菱形ABCD 中，因为DE AB ⊥，所以DE AE ⊥，所以A E DE '⊥， 因为A E BE '⊥，DE BE E ⋂=，DE ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ， 所以A E '⊥平面BCDE ．（2）C A BD A BCD V V ''--=．由（1）知A E '⊥平面BCDE ． 因为菱形ABCD 中，60A ︒∠=，4AB =， 所以ABD △，BCD △是边长为4的等边三角形． 所以13444322BCDS=⨯⨯⨯= 因为DE AB ⊥于E 为AB 中点，2AE EB ==． 所以三棱锥A BCD '-中，高2A E '=， 所以C A BD V '-A BCD V '-=13BCDS A E '=⋅14323=⋅83=． （3）在A D '上存在一点F ，使//EF 平面A BC '．分别取A D '，A C '的中点F ，M ，连EF ，FM ，BM ．因为FM 为A DC '的中位线，所以//FM DC ，且12FM DC =，在菱形ABCD 中，//EB DC ，且12EB DC =，所以//FM EB ，且FM EB =， 所以四边形EBMF 为平行四边形，所以//EF BM ，因为EF ⊂/平面A BC '，BM ⊂平面A BC '，所以//EF 平面A BC '， 因为F 为A D '中点，所以1DFFA ='． 【点睛】关键点点睛：第（3）问的关键点是：证明四边形EBMF 为平行四边形.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，直线1:bl y x c=与椭圆相交于A ，B 两点，2F 关于直线1l 的对称点为()0,E b 斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C ，D 两点．（1）求椭圆的标准方程．（2）求四边形ACBD 的面积取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【分析】（1）求出b 、c 的值，进一步求出a 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线2l 的方程为y x m =-+，设点()11,C x y 、()22,D x y ，将直线2l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出m 的取值范围，由斜率关系可得出12l l ⊥，根据四边形的面积公式求出四边形ACBD 面积关于m 的关系式，由此可求得结果. 【详解】（1）线段EF 的中点为,22c b ⎛⎫⎪⎝⎭，直线EF 的斜率为EF b k c =-，由已知条件可得241c b b c c =⎧⎪⎨-⋅=-⎪⎩，解得2b c ==，a ∴==，因此，椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）设直线2l 的方程为y x m =-+，设点()11,C x y 、()22,D x y ．由22184x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得2234280x mx m -+-=，()2221612289680m m m ∆=--=->，所以，2012m ≤<，由韦达定理可得1221243283x x m m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由（1）知直线1:l y x =代入椭圆得A ⎛ ⎝、B，得AB =， 由直线2l 与线段AB 相交于点P ，由y x y x m=⎧⎨=-+⎩，解得2mx y ==，所以323m -<<，解得m ⎛∈ ⎝，满足0∆>．12CD x =-==，而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，12ACBD S AB CD ∴=⋅=四边形由m ⎛∈ ⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解. 21．已知函数()ln f x x ax =-，(0,]x e ∈，其中e 为自然数的底数． （1）若1x =为()f x 的极值点，求()f x 的单调区间和最大值．（2）是否存在实数a ，使得()f x 的最大值是3-．若存在，求出a 的值．若不存在，说明理由． （3）设ln ()xg x x =，(0,]x e ∈，在（1）的条件下，求证：1()()02f xg x ++<． 【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递，在(]1e ，上单调递减；()f x 的最大值为(1)=1f -；（2）存在；2e a =．【分析】（1）f (x)lnx ax =-，(0x ∈，]e ，由()10f '=，求出1a =，即可得到函数的单调区间与最大值；（2）()g x 的单调增区间是1(0,)a，单调减区间是1(a ，)e ，利用()g x 在(0，]e 上的最大值为3-，求a 的值．（3）可得()()1max g x g e e==，又()f x 的最大值为()11f =-，可得对于区间(0，]e 上的任意x ，即可得证．【详解】解：（1）因为()ln f x x ax =-，(0,]x e ∈所以11()ax f x a x x'-=-=-． 由()01f '=，得1a =．故()ln f x x x =-，11()1x f x x x'-=-=-， 若()0f x '>，则01x <<， 若()0f x '<，则1e x <<．所以()f x 在()0,1上单调递，在(]1e ，上单调递减． 所以()f x 的最大值为(1)=1f -．（2）假设存在实数a ，使()ln ((0,e])f x x ax x =-∈有最大值3-，11()ax f x a x x'-=-=-， ①当0a ≤时，()f x 在(]0e ，上单调递增，max ()(e)1e 3f x f a ==-=-，4ea =（舍去）． ②当10e<a时，()f x 在(]0e ，上单调递增， max ()(e)1e 3f x f a ==-=-，4ea =（舍去）． ③当1e >a 时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， max 1()ln 1f x f a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭3=-，则2e a =，满足条件．综上所述，存在实数2e a =，使得当(]0e x ∈，时，()f x 有最大值3-． （3）因为()f x 的极大值为1-，即()f x 在(]0e ，上的最大值为1-， 所以()0f x <，max ()1f x =-． 由ln ()xg x x=，得21ln ()x g x x -'=，因为当(0,e)x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在区间(0,e)上单调递增．所以max 11()(e)e 2g x g ==<．因为()1f x ≤-，1()g x e≤，(0,]x e ∈， ∴对于区间(0，]e 上的任意x ，总有111()()1022f xg x e++<-++<，即1()()02f xg x ++<． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 22．已知()|1|| -1|f x x a x a =+++． （1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集;（2）若1≥x 时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1) (,2][1,)-∞-+∞．(2) [0)+∞，. 【分析】（1）将a =1代入f （x ）中，去绝对值后分别解不等式即可；（2）x ∈（0，1）时，不等式f （x ）＜x +2恒成立等价于当x ∈（0，1）时，|ax -1|＜1恒成立，然后分a ≤0和a ＞0讨论即可．【详解】解：（1）解法1：当1a =时，不等式()3f x ≥可化简为13x x ++≥. 当–1x <时，13x x ---≥，解得2x -≤，所以2x -≤； 当10x -≤<时，13x x +-≥，13≥，无解； 当0x ≥时，13x x ++≥，解得1≥x ，所以1≥x ﹒ 综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．解法2：当1a =时，21(1)()11(10)21(0)x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++=-≤<⎨⎪+≤⎩当1x <-时，213x --≥，解得2x -≤，所以2x -≤； 当10x -≤<时，13≥，无解；当0x ≥时，213x +≥，解得1≥x ，所以1≥x ． 综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．（2）解法1：当1≥x 时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥.令()(1)1g x a x =-+，则()g x 的图像为过定点()11，斜率为a 的一条直线，数形结合可知，当0a ≥时，11ax a -+≥在[1)+∞，上恒成立. 所以，所求a=解法2：当1≥x 时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥. 由不等式的性质得11ax a -+-≤或11ax a -+≥， 即(1)2a x --≤或(1)0a x -≥.当1≥x 时，a R ∀⊂，不等式2(1)2a x -≤-不恒成立； 为使不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥.综上，所求a=【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．23．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为()2cos 0a a ρθ=>，且曲线 C 与直线l 有且仅有一个公共点.（1）求a ；（2）设,A B 曲线 C 上的两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的最大值．【答案】（1）1；（2）【分析】（1）分别将直线l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用圆心到直线l 的距离等于半径求解a ； （2）设()1,A ρθ，2,3B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入曲线C 的极坐标方程，得到1ρ和2ρ， 计算12ρρ+的最大值．【详解】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是222()x a y a -+=，依题意直线l 与圆相切，则|3|2a d a -==，解得3a =-或 1a =， 因为0a >，所以 1a =； （2）如图，不妨设()1,A ρθ，2,3B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则12cos ρθ=，22cos 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以122cos 2cos 3OA OB πρρθθ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭3cos 3sin 23cos 6πθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以当π2π6k θ+=，即π2π6k θ=-，k Z ∈时，OA OB +最大值是23．【点睛】解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，可将方程化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的方法求解．在极坐标系中，设极点为O ，若已知两点的极坐标分别为()11,A ρθ，(),B ρθ22，则12+OA OB ρρ+=.。
哈尔滨市中学高三开学测试题数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合}03|{2<-=x x x A ，},1{a B =，且B A 有4个子集，则实数a 的取值范围是（ ） A.)3,0( B. )3,1()1,0( C.)1,0( D.),3()1,(+∞-∞2．复数ii i 1313+-+等于（ ） A.i -3 B.i 2- C.i 2 D.03. 函数)4sin 2cos 4cos 2(sin log 21ππx x y -=的单调递减区间是（ ）A.Z k k k ∈++),85,8(ππππ B.Z k k k ∈++),83,8(ππππC.Z k k k ∈+-),83,8(ππππ D.Z k k k ∈++),85,83(ππππ4．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A. 1B.－12C. 1或－12D. -1或－125. 已知关于x 的二项式nxa x )(3+展开式的二项式系数之和 为32，常数项为80，则a 的值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±6. 若两个正实数y x ,满足141=+yx ，且不等式m m yx 342-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）A.)4,1(-B.),4()1,(+∞--∞C. )1,4(-D.),3()0,(+∞-∞7. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（ ）A. 4B. 8C. 10D. 128．若A 为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 ( ) A ．1 B ．32 C ．34 D ． 749. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为3，一个内角为60︒ 的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A.8 D. 410. 已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足0)1(=+++OC OB OA λλ，若OAB ∆的面积与OAC ∆ 的面积比值为3，则λ的值为（ ）A.21B. 1C. 2D. 3 11. 过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ,O 为原点，若()+=21，则双曲线的离心率为（ ）A.251+B.231+ C.7224- D.7224+12．定义在()0+∞，上的单调函数()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ∀∈+∞-=，则方程2)()(='-x f x f 的解所在区间是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C.()2,1 D.()3,2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知等差数列}{n a 中，45831π=++a a a ,那么=+)cos(53a a . 14. 5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为 .15. 已知球O 的直径4=PQ ，C B A ,,是球O 球面上的三点, 30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ，ABC ∆ 是正三角形，则三棱锥ABC P -的体积为 .16. 给出下列四个结论：（1）如图Rt ABC ∆中，2,90,30.AC B C =∠=︒∠=︒D 是斜边AC 上的点，CB CD =. 以B 为起点任作一条射线BE 交AC 于E 点，则E 点落在线段CD（2）设某大学的女生体重()kg y 与身高()cm x 具有线性相关关系，根据一组样本数据()()n i y x ii ,,2,1,=，用最小二乘法建立的线性回归方程为71,8585.0ˆ-=x y，则若该大学某女生身高增加cm 1，则其体重约增加kg 85.0；ABCDE（3）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()x f x f -=+2,则函数()f x 的图像关于1=x 对称; （4）已知随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.79,N P σξ≤=则()21.02=-≤ξP .其中正确结论的序号为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为D C B ,,）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为 60，B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30方向，仰角为 30．D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求C B ,两救援中心间的距离； （2）D 救援中心与着陆点A 间的距离．18．(本小题满分12分)我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050-为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求a 的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；空气质量指数0.0320.020 0.018a 北 AP东BCD(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，CD AB //，在锐角PAD ∆中PD PA =，并且82==AD BD ，542==DC AB .（1）点M 是PC 上的一点，证明：平面⊥MBD 平面PAD ；（2）若PA 与平面PBD 成角︒60，当面⊥MBD 平面ABCD 时，求点M 到平面ABCD 的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆14:22=+y x E 的左，右顶点分别为B A ,，圆422=+y x 上有一动点P ,点P 在x 轴的上方，()0,1C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连接PB DC ,. (1)若︒=∠90ADC ,求△ADC 的面积S ;(2)设直线DC PB ,的斜率存在且分别为21,k k ,若21k k λ=,求λ的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. （1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由； ②证明：不等式()2111ln 1,2,12nk k n n k =-<-≤=⋅⋅⋅+∑考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点． （Ⅰ）求ADF ∠的度数； （Ⅱ）若AC AB =，求BC AC :．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=t y t x 322（t 为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点.（1）求||AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为 )43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知实数c b a ,,满足0,0,0>>>c b a ，且1=abc . （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：cb ac b a 111++≤++.数学试卷（理工类）答案一．选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.D9.D 10.A 11.A 12.C 二．填空题 13.2114.439 15.40 16.②③④三．解答题17. 解：（1）由题意知AB PA AC PA ⊥⊥,，则PAB PAC ∆∆,均为直角三角形………………1分在PAC Rt ∆中，︒=∠=60,1PCA PA ，解得33=AC …………………………2分 在PAB Rt ∆中，︒=∠=30,1PBA PA ，解得3=AB …………………………3分又︒=∠90CAB ，33022=+=BC AC BC 万米. …………………………5分 （2）103sin sin =∠=∠ACB ACD ，101cos -=∠ACD ，…………………………7分又︒=∠30CAD ，所以102133)30sin(sin -=∠+︒=∠ACD ADC .…………………………9分在ADC ∆中，由正弦定理，ACDADADC AC ∠=∠sin sin …………………………10分 1339sin sin +=∠∠⋅=ADC ACD AC AD 万米…………………………12分 18.(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分解得0.03a =. ……………2分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者13355E ξ=⨯=） 19.解法一（1）因为82==AD BD ，54=AB ，由勾股定理得 AD BD ⊥，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，平面⋂PAD 平面 ABCD =AD ，⊆BD 面ABCD ，所以⊥BD 平面PAD⊆BD 面MBD ，所以平面⊥MBD 平面PAD ………6分 （2）如图，因为⊥BD 平面PAD ，所以平面⊥PBD 平面PAD ， 所以︒=∠60APD ，做AD PF ⊥于F ，所以⊥PF 面ABCD ，32=PF ，设面⋂PFC 面MBD =MN ，面⊥MBD 平面ABCD 所 以面//PF 面MBD ，所以MN PF //，取DB 中点Q ，得CDFQ 为平行四边形，由平面ABCD边长得N 为FC 中点，所以321==PF MN ………12分解法二（1）同一（2）在平面PAD 过D 做AD 垂线为z 轴，由（1），以D 为原点，DB DA ,为y x ,轴建立空间直角坐标系,设平面PBD 法向量为),,(z y x u =，设),0,2(a P ，锐角PAD ∆所以2>a ，由0,0=⋅=⋅DB u DP u ，解得)2,0,(a u -=，),0,2(a PA -=，2344|,cos |2=+=><a a u PA ，解得32=a 或2332<=a （舍） 设PC PM λ=，解得)3232,4,42(λλλ--M因为面⊥MBD 平面ABCD ，BD AD ⊥，所以面MBD 法向量为)4,0,0(=DA ，所以0=⋅DM DA ，解得21=λ，所以M 到平面ABD 的距离为竖坐标3． ………12分20.（1）依题意，)0,2(-A .设),(11y x D ，则142121=+y x . 由︒=∠90ADC 得1-=⋅CD AD k k , 1121111-=-⋅+∴x yx y , ξ 01 2 36412548125 121251125xyzM()()124112*********-=-+-=-⋅+∴x x x x x y , 解得舍去）(2,3211-==x x 3221=∴y , 2332221=⨯⨯=S . …………5分 (2)设()22,y x D , 动点P 在圆422=+y x 上, ∴1-=⋅PA PB k k .又21k k λ=, ∴1212222-⋅=+-x y x y λ, 即()()222212y x x -+-=λ=()()41122222x x x --+- =()()()222244112x x x --+-=21422--⋅x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21142x . 又由题意可知()2,22-∈x ,且12≠x ,则问题可转化为求函数()()()1,2,22114≠-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x f 且的值域. 由导数可知函数()x f 在其定义域内为减函数,∴函数()x f 的值域为()()3,00,⋃∞- 从而λ的取值范围为()()3,00,⋃∞-……12分21.（1）由已知得：()21()11a f x xx '=-++，且函数()f x 在0x =处有极值 ∴()21(0)01010a f '=-=++，即1a = ∴()ln(1),1x f x x x =-++ ∴()()2211()111x f x x x x -'=-=+++ 当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；∴函数()f x 的最大值为(0)0f =（2）①由已知得：1()1g x b x'=-+ (i)若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x '=-≤+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在()0,+∞上恒成立；(ii)若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=->+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立； (iii)若01b <<，则1()01g x b x '=-=+时，11x b =-， 当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0g x '≥，∴()ln(1)g x x bx =+-在10,1b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数， 此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=， ∴不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立； 综上所述，b 的取值范围是[)1,x ∈+∞ …………8分 ②由以上得：ln(1)(0)1x x x x x<+<>+ 取1x n =得：111ln(1)1n n n <+<+ 令21ln 1n n k k x n k ==-+∑， 则112x =，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n -⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此1112n n x x x -<<⋅⋅⋅<=. 又()1211ln ln ln 1ln1ln 1n n k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111n n n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k k k k k k n k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑ ……12分22．（1）因为AC 为⊙O 的切线，所以EAC B ∠=∠…………1分因为DC 是ACB ∠的平分线，所以DCB ACD ∠=∠…………2分所以ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠，…………3分又因为BE 为⊙O 的直径，所以︒=∠90DAE …………4分.所以︒=∠-︒=∠45)180(21DAE ADF .…………5分 （2）因为EAC B ∠=∠，所以ACB ACB ∠=∠，所以ACE ∆∽BCA ∆， 所以AB AE BC AC =，………7分在ABC ∆中，又因为AC AB =，所以︒=∠∠=∠30ACB B ，………8分 ABE Rt ∆中，3330tan tan =︒===B AB AE BC AC ………10分 23.解:（1）直线l 的参数方程化为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（t 为参数） …… 2分代入曲线C 方程得01042=-+t t设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ， 所以142||||21=-=t t AB …… 5分（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分所以点P 在直线l ， 中点M 对应参数为2221-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……10分 24.(1) c c b b a a 21,21,21≥+≥+≥+，相乘得证——————5分（2）ac bc ab cb a ++=++111 bc ab bc ab 222=≥+，a c b a ac ab 222=≥+，c c ab ac bc 222=≥+ 相加得证——————10分。
2021届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三（上）开学考试物理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以36 km/h 的速度沿平直公路行驶的汽车，遇障碍物刹车后获得大小为a ＝4 m/s 2的加速度，刹车后第三个2 s 内，汽车走过的位移为A ．12.5 mB ．10 mC ．2 mD ．02．一个朝某一方向做匀变速直线运动的物体，在t =5s 内速度从v 0=12m/s 增加到v =18m/s ，则下列说法正确的是（ ）A ．这个物体的加速度为3.6m/s 2B ．这个物体在5s 内的平均速度6m/sC ．这个物体在接下来的5s 内的位移为75mD ．这个物体在连续的两个5s 内的位移差为30m3．a 、b 两车在平直公路上行驶，其v －t 图象如图所示，在t ＝0时，两车间距为s 0，在t ＝t 1时间内，a 车的位移大小为s ，则( )A ．0～t 1时间内a 、b 两车相向而行B ．0～t 1时间内a 车平均速度大小是b 车平均速度大小的2倍C ．若a 、b 在t 1时刻相遇，则s 0＝23s D ．若a 、b 在12t 时刻相遇，则下次相遇时刻为2t 1 4．如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形滑块固定在斜面上，球心O 的正上方有一定滑轮A （视为质点），细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B 连接，另一端绕过滑轮A 在水平向右的拉力F 作用下使圆球B 保持静止。
改变拉力F 的大小，使圆球B 从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B 的球心正好在O 点的正上方（不考虑该位置的情况）。
圆球B 不会与定滑轮A 接触，则下列说法正确的是（ ）A．拉力F一直增大B．拉力F先增大后减小C．半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小D．半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变5．如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，A物体质量20kgm=，B物体质量30kgM=。
