2018学年北京市西城区(普通校)高一上学期期末考试数学试题及答案

北京市西城区2018 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2013.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（ ）A. 3π B.23π C.43π D.53π 2.α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ）A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ） A. 3-B. 3C. 13-D.135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π(0)2，，那么()f x 的解 析式可以是（ ） A. sin xB. cos xC. sin 1x +D. cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）A. 6π B.4π C.3π D.2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C. π D. 2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πcos()4θ+的值等于（ ）A.10B. 10-C.10D. 10-10. 在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅的值为（ ） A ．3B ．2CD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=，则sin 2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______. 16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）C已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos 2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+-. （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值； （Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合{11}P x x =-<<，{}M a =. 若M P ⊆，则a 的取值范围是________. 2. lg2lg5+-=________. 3. 满足不等式122x>的x 的取值范围是_______. 4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0x f x >的x 的取值范围是________. 5. 已知集合{1,2,,}U n =，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可） （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）已知函数21()1f x x=-. （Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数；（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.7. （本小题满分10分）设函数(2)(4)2()(2)()2x x x f x x x a x -+≤⎧=⎨-->⎩. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）设函数()f x 在区间[4,6]-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式.8. （本小题满分10分）已知函数()log a g x x =，其中1a >.（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1x g a +>恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）设()m x 是定义在[,]s t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1221,,,,n n x x x x --，设12x x <<21n n x x --<<，令0,ns x t x ==，如果存在一个常数0M >，使得11()()nii i m xm x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[,]s t 上的具有性质P .试判断函数()()f x g x =在区间21[,]a a上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由.（注：1102111()()()()()()()()nii n n i m x m xm x m x m x m x m x m x --=-=-+-++-∑）。

32018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题2019.01、选择题：本大题共 8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知集合 A 二｛1,2｝，B 二｛x|0 ：：：x ：：：2｝，则 AP1B 二已知向量 a = (m,6)，b = (-1,3)，且 a ； b ，则 m =(A ) f(x) =2〉(B)f(x) =x 3(C ) f(x)=lg x(D ) f (x) =s in x(4) 命题P ： 一x 2, 2 x -1 0，则—p 是( )(A ) -x 2, x 2-仁0(B )-xE2, 2x -1 0(C )x 2, x 2-仁0(D ) x 空2, 2x -仁0(5) 3已知tan ：sin :- :::0，则 cs :- —.(4(A ) 3(B )3 (C ) 4(D45555(6) 若角a 的终边经过点(1, y 0)，则下列三角函数值恒为正的是()(A ) sin 二 (B )COS J(C ) tan:-(D ) sin( n J )(3)()(7)F 列函数中，既是奇函数又在 (0,；)上是增函数的是学校班级姓名 成绩(A ) {1}(B ) {1,2} (C ) {0,1,2} (D ) {x0*2}(1) (2) (A ) 18(B ) 2(C ) -18n为了得到函数 y =-sin(x - )的图象，只需把函数y =sin x 的图象上的所有点32 n(A )向左平移耳个单位长度(C )向右平移n 个单位长度3(B )向左平移n 个单位长度3 (D )向右平移个单位长度3(8)如图，在平面直角坐标系xOy中，角:-以Ox为始边，终边与单位圆O相交于点过点P的圆O的切线交x轴于点T，点T的横坐标关于角:-的函数记为f(>).则3下 列 关 于 函 数 f(〉) 的 说 法 正 确 的 是( )n(A) f C )的定义域是{=2k n ，5 K Z } (B)f G )的图象的对称中心是(k n ,0), k • Z2(C) f C )的单调递增区间是［2k n 2k n n ,k • Z (D)f(：)对定义域内的〉均满足f ( n-：) = f(：)二、填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分，把答案填 在题中横线上•(9)已知 f(x)= Inx ,贝U f(e 2)=.(10)已知 a = (1,2) , b = (3,4)，则 a ‘b = ________ ； a — 2b = ____ .(11 )已知集合 A 二{1,2,3,4,5} , B ={3,5},集合 S 满足 S i A , SUB 二 A .则一个满足条件的集合S 是(12)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x3 0时，f (x) = .. x + x ，则不等式f(x)- 2> 0的解集是(13)如图，扇形AOB 中，半径为1, AB 的长为2,则AB 所对的圆心角的大小为 ___________ 弧(I)若函数f (x)没有零点，则实数 a 的取值范围是 ______________(n)称实数a 为函数f (x)的包容数，如果函数f(x)满足对任意x^ (-：：,a)，都存在X 2 (a,：：)，使得 f (X 2) = f (儿).11 3在①—一：②一：③1 ；⑷:⑤一中，函数f (x)的包容数是.(填2 2 2度；若点P 是AB 上的一个动点, 最大值时，：：：OA,OP = _ OP - OB OP 取得(14 )已知函数l 2xA"—a,x : a, x _a.则当出所有正确答案的序号)三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•(15)(本小题共11分)n已知函数f(x)=2sin(2x ).3(I)求f (x)的最小正周期T ；(n)求f (x)的单调递增区间；n n(川)在给定的坐标系中作出函数f(x)(x€ [———+ T])的简图，并直接写出函数f(x)6 6n2 一在区间[—n上的取值范围•6 3(16)(本小题共10分)已知函数f (x) = x2bx c，存在不等于1的实数x0使得f (2 -怡)=f (x0).(I)求b的值；(n)判断函数f(x)在(1,=)上的单调性，并用单调性定义证明；(川)直接写出f(3c)与f(2c)的大小关系(17)(本小题共11分)(18)(本小题共12分)设函数f (x)定义域为I ，对于区间D 二I ，如果存在x 1, x 2 D ，捲=x 2，使得f(X 1) f(X 2)=2，则称区间D 为函数f (x)的？区间•(I)判断(」：，■：：)是否是函数y = 3x ■ 1的？区间;1(n)若［—,2］是函数y 二log a X (其中a • 0,a = 1 )的？区间，求a 的取值范围；2(川)设，为正实数，若［n2 n 是函数y =cos x 的？区间，求，的取值范围如图，在四边形OBCD 中,CD = 2BO , OA = ，也 D =90。

北京市西城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. sin(−π3)的值是( )A. 12B. −12C. √32D. −√32【答案】D【解析】解：sin(−π3)=−sin π3=−√32，故选：D ．由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结论． 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2. 函数f(x)=sin(x2+π3)的最小正周期为( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π【答案】C【解析】解：函数f(x)=sin(x 2+π3)的最小正周期为：T =2π12=4π．故选：C ．直接利用三角函数的周期求解即可．本题考查三角函数的简单性质的应用，周期的求法，考查计算能力．3. 如果向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(−2,1)，那么|a ⃗ +2b⃗ |=( ) A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】解：由向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(−2,1)， 所以a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，由向量的模的运算有：|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+33=5， 故选：B ．本由向量加法的坐标运算有：a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，由向量的模的运算有|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+33=5，得解．本题考查了向量加法的坐标运算及向量的模的运算，属简单题． 4.sin(π2−α)cos(−α)=( )A. tanαB. −tanαC. 1D. −1【答案】C 【解析】解：sin(π2−α)cos(−α)=cosαcosα=1．故选：C ．利用诱导公式化简即可计算得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5. 已知函数y =sinx 和y =cosx 在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是( )A. (0,π2)B. (π2,π) C. (π,3π2) D. (3π2,2π)【答案】B【解析】解：A ：y =sinx 在(0,π2)上是增函数； C ：y =cosx 在(π,3π2)上是增函数；D ：y =cosx 在(3π2,2π)上是增函数． 故选：B ．依次分析四个选项可得结果．本题考查了正、余弦函数的单调区间，熟练掌握函数图象是关键，属基础题．6. 如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗【答案】D【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．根据向量加法和减法的几何意义即可得出答案． 考查向量加法和减法的几何意义．7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−√22，那么向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角是( )A. π4B. π2C. 2π3D. 3π4【答案】D【解析】解：∵a ⃗ ,b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−√22； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=cos <a ⃗ ,b ⃗ >=−√22；又0≤<a ⃗ ,b ⃗ >≤π；∴<a ⃗ ,b ⃗ >=3π4．故选：D ．根据条件即可求出cos <a ⃗ ,b ⃗ >=−√22，根据向量夹角的范围即可求出向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角． 考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．8. 设α∈[0,2π)，则使sinα>12成立的α的取值范围是( )A. (π3,2π3)B. (π6,5π6)C. (π3,4π3)D. (7π6,11π6)【答案】B【解析】解：∵α∈[0,2π)，sinα>12， ∴π6<α<5π6．∴设α∈[0,2π)，则使sinα>12成立的α的取值范围是(π6,5π6).故选：B ．利用正弦函数的图象和性质直接求解．本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9. 已知函数f(x)=A 1sin(ω1x +φ1)，g(x)=A 2sin(ω2x +φ2)，其图象如图所示.为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π3个单位【答案】A【解析】解：函数f(x)=A 1sin(ω1x +φ1)，g(x)=A 2sin(ω2x +φ2)，其图象如图所示， 可见f(x)的周期为2π，g(x)的周期为π，且f(x)图象上的点(0,0)，在g(x)的图象上对应(π6,0)，为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，在向右平移π6个单位， 故选：A ．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．10. 在△ABC 中，A =π2，AB =2，AC =1.D 是BC 边上的动点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−4,1]B. [1,4]C. [−1,4]D. [−4,−1]【答案】A【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)， 设D(x,y)，则x2+y =1，x ∈[0,2]； ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =−2x +(1−12x)=−52x +1∈[−4,1]，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−4,1]． 故选：A ．建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围即可． 本题考查了平面向量数量积的计算问题，是基础题．二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）11. 若cosθ=−12，且θ为第三象限的角，则tanθ=______． 【答案】√3【解析】解：∵cosθ=−12，且θ为第三象限的角， ∴sinθ=−√1−sin 2θ=−√32， ∴tanθ=sinθcosθ=−√32−12=√3．故答案为：√3．由已知利用同角三角函数基本关系式先求sinθ，进而可求tanθ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12. 已知向量a ⃗ =(1,2).与向量a ⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是______． 【答案】(2,4)【解析】解：2a⃗ =(2,4)与a ⃗ 共线； 即与向量a⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是(2,4)． 故答案为：(2,4)．可求出2a ⃗ =(2,4)，而2a ⃗ 与a ⃗ 共线，即得出与向量a ⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是(2,4)．考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算．13. 如果tan(x +π3) =0 (x >0)，那么x 的最小值是______． 【答案】2π3【解析】解：tan(x +π3) =0 (x >0)， 可得x +π3=kπ， 即x =kπ−π3，k ∈N ∗， 可得x 的最小值为π−π3=2π3，故答案为：2π3，由正切韩寒说的图象和性质可得x +π3=kπ，k 为正整数，即可得到所求最小值． 本题考查三角方程的解法，注意运用正切函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．14. 如图，已知正方形ABCD.若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ，μ∈R ，则λμ=______．【答案】−1【解析】解：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−1，μ=1， ∴λμ=−1， 故答案为：−1．利用向量加减法容易把AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得λ，μ，得解． 此题考查了向量加减法，属容易题．15. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M 是坐标平面内的一点．①若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______； ②若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为______． 【答案】(6,3) (4,2)【解析】解：①设M(x,y)，则：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−x,1−y)； ∵四边形APBM 是平行四边形； ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴(−1,−2)=(5−x,1−y)； ∴{1−y =−25−x=−1； 解得{y =3x=6；∴点M 的坐标为(6,3)；②PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −1)； ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴(1,2)+(3,0)=2(x −2,y −1)； ∴(4,2)=(2(x −2),2(y −1))； ∴{2(y −1)=22(x−2)=4； 解得{y =2x=4；∴点M 的坐标为(4,2)． 故答案为：(6,3)，(4,2)．①可设M(x,y)，得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−x,1−y)，根据四边形APBM 为平行四边形即可得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出(−1,−2)=(5−x,1−y)，从而得到{1−y =−25−x=−1，解出x ，y 即可；②可求出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −1)，根据PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(4,2)=(2(x −2),2(y −1))，从而得出{2(y −1)=22(x−2)=4，解出x ，y 即可．考查相等向量的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算．16.设函数f(x)=sin(ωx+π3).若f(x)的图象关于直线x=π6对称，则ω的取值集合是______．【答案】{ω|ω=6k+1,k∈Z}【解析】解：由题意ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，得ω=6k+1，k∈Z，故答案为：{ω|ω=6k+1,k∈Z}．利用正弦函数图象的对称轴为x=kπ+π2，列出关于ω的方程，得解．此题考查了正弦函数的对称性，难度不大．17.若集合A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<2}，则A∪B=______．【答案】{x|−1<x<3}【解析】解：∵集合A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<2}，∴A∪B={x|−1<x<3}．故答案为：{x|−1<x<3}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.函数f(x)=1log2x的定义域是______．【答案】{x|0<x<1或x>1}【解析】解：由函数的解析式可得log2x≠0，即{x≠1x>0，解得函数的定义域为{x|0<x<1或x>1}，故答案为{x|0<x<1或x>1}．由函数的解析式可得log2x≠0，即{x≠1x>0，由此求得函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求法，对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．19.已知三个实数a=312，b=√2，c=log32.将a，b，c按从小到大排列为______．【答案】c<b<a【解析】解：312=√3>√2>1，log32<log33=1；∴c<b<a．故答案为：c<b<a．容易得出312>√2>1，log32<1，从而a，b，c从小到大排列为c<b<a．考查对数函数和y =√x 的单调性，以及增函数的定义．20. 里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 0=0.005是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅.在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为______级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍. 【答案】5 1000【解析】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是500，此时标准地震的振幅为0.005，则M =lgA −lgA 0=lg500−lg0.005=lg105=5． 设8级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 8=lgx +5，5=lgy +5，解得x =103，y =1， ∴x y=1000．故答案为：5；1000．根据题意中的假设，可得M =lgA −lgA 0=lg500−lg0.005=lg105=5；设8级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，8=lgx +5，5=lgy +5，由此知8级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的1000倍．本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用，是基础题．21. 已知函数f(x)={x −1, c <x ≤3.x 2+x, −2≤x≤c若c =0，则f(x)的值域是______；若f(x)的值域是[−14,2]，则实数c 的取值范围是______．______． 【答案】[−14,+∞) [12,1] [12,1]【解析】解：c =0时，f(x)=x 2+x =(x +12)2−14， f(x)在[−2,−12)递减，在(−12,0]递增， 可得f(−2)取得最大值，且为2，最小值为−14； 当0<x ≤3时，f(x)=1x 递减，可得f(3)=13， 则f(x)∈[13,+∞)，综上可得f(x)的值域为[−14,+∞)；∵函数y =x 2+x 在区间[−2,−12)上是减函数， 在区间(−12,1]上是增函数，∴当x ∈[−2,0)时，函数f(x)最小值为f(−12)=−14， 最大值是f(−2)=2；由题意可得c>0，∵当c<x≤3时，f(x)=1x 是减函数且值域为[13,1c)，当f(x)的值域是[−14,2]，可得12≤c≤1．故答案为：[−14,+∞)；[12,1]．若c=0，分别求得f(x)在[−2,0]的最值，以及在(0,3]的范围，求并集即可得到所求值域；讨论f(x)在[−2,1]的值域，以及在(c,3]的值域，注意c>0，运用单调性，即可得到所求c的范围．本题给出特殊分段函数，求函数的值域，并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共66.0分）22.已知α∈(0,π2)，且sinα=35．(Ⅰ)求sin(α−π4)的值；(Ⅱ)求cos2α2+tan(π4+α)的值．【答案】解(Ⅰ)：因为α∈(0,π2)，sinα=35，所以cosα=√1−sin2α=45．所以sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)=−√210．(Ⅱ)：因为sinα=35，cosα=45，所以tanα=sinαcosα=34．所以cos2α2+tan(π4+α)=1+cosα2+1+tanα1−tanα=7910．【解析】(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，(Ⅱ)根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出．本题考查同角的三角形函数的关系，以及两角差的正想说和二倍角公式，属于中档题23.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)在区间[π2,π]上的最大值和最小值；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)解：由函数f(x)=Asin(ωx +φ)的部分图象可知 A =3， 因为 f(x)的最小正周期为T =7π6−π6=π，所以 ω=2πT=2．令 2×π6+φ=π2，解得 φ=π6，适合|φ|<π． 所以 f(x)=3sin(2x +π6)．(Ⅱ)解：因为x ∈[π2,π]，所以2x +π6∈[7π6, 13π6]．所以，当2x +π6=13π6，即x =π时，f(x)取得最大值32，当2x +π6=3π2，即x =2π3时，f(x)取得最小值−3．(Ⅲ)解：结合f(x)的图象可得它的单调递增区间为[ kπ−π3, kπ+ π6 ](k ∈Z)． 【解析】(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式．(Ⅱ)利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)在区间[π2,π]上的最大值和最小值． (Ⅲ)由f(x)的图象，可得它的单调递增区间．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的增区间，属于中档题．24. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(−1,0)，B(0,√3)，C(cosθ,sinθ)，其中θ∈[ 0, π 2]． (Ⅰ)求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值；(Ⅱ)是否存在θ∈[ 0, π 2]，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1,sinθ)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ−√3)； ……………………(2分)所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1)⋅cosθ+sinθ⋅(sinθ−√3)……………………(3分)=cosθ−√3sinθ+1=2cos(θ+π3)+1； ……………………(4分)因为 θ∈[ 0, π2]，所以 θ+π3∈[π3, 5π6]； ……………………(5分)所以 当θ+π3=π3，即θ=0时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2； ……………………(6分) (Ⅱ)因为|AB|=2，|AC| =√(1+cosθ)2+sin 2θ=√2+2cosθ，|BC| =√cos 2θ+(sinθ−√3)2=√4−2√3sinθ； 又 θ∈[ 0, π2]，所以 sinθ∈[0,1]，cosθ∈[0,1]， 所以|AC|≤2，|BC|≤2；所以 若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角， 从而CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0；………………(8分) 由(Ⅰ)得2cos(θ+π3)+1<0，解得cos(θ+π3)<−12； ……………………(9分)所以 θ+π3∈(2π3, 5π6]，即θ∈(π3, π2]； ……………………(11分) 反之，当θ∈(π3, π2]时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ <0， 又 A ，B ，C 三点不共线，所以△ABC 为钝角三角形；综上，当且仅当θ∈(π3, π2]时，△ABC 为钝角三角形.……………………(12分)【解析】(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算，利用三角恒等变换求得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值2； (Ⅱ)由两点间的距离公式求得|AC|、|BC|，并判断△ABC 为钝角三角形时角C 是钝角， 利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ <0，结合题意求得θ的取值范围． 本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题．25. 已知函数f(x)=xx 2−1．(Ⅰ)证明：f(x)是奇函数；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(−1,1)上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 【答案】解：(Ⅰ)：函数f(x)的定义域为D ={x|x ≠±1}.……………………(1分) 对于任意x ∈D ，因为 f(−x)=−x(−x)2−1=−f(x)，……………………(3分) 所以 f(x)是奇函数. ……………………(4分)(Ⅱ)解：函数f(x)=xx 2−1在区间(−1,1)上是减函数.……………………(5分) 证明：在(−1,1)上任取x 1，x 2，且 x 1<x 2，……………………(6分)则 f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−1−x2x 22−1=(1+x 1x 2)(x 2−x 1)(x 12−1)(x 22−1). ……………………(8分)由−1<x 1<x 2<1，得 1+x 1x 2>0，x 2−x 1>0，x 12−1<0，x 22−1<0，所以 f(x 1)−f(x 2)>0，即 f(x 1)>f(x 2).所以 函数f(x)=xx 2−1在区间(−1,1)上是减函数.……………………(10分)【解析】(Ⅰ)先求定义域，再用奇函数的定义f(−x)=−f(x)证明f(x)为奇函数； (Ⅱ)按照①取值，②作差，③变形，④判号，⑤下结论，这5个步骤证明． 本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．26. 已知函数f(x)=ax 2+x 定义在区间[0,2]上，其中a ∈[−2,0]．(Ⅰ)若a =−1，求f(x)的最小值； (Ⅱ)求f(x)的最大值．【答案】解：(Ⅰ)根据题意，当a =−1时，f(x)=−x 2+x =−(x −12)2+14； 所以 f(x)在区间(0,12)上单调递增，在(12,2)上f(x)单调递减． 因为 f(0)=0，f(2)=−2， 所以 f(x)的最小值为−2． (Ⅱ)①当a =0时，f(x)=x ． 所以 f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以 f(x)的最大值为f(2)=2．当−2≤a <0时，函数f(x)=ax 2+x 图象的对称轴方程是x =−12a ． ②当0<−12a ≤2，即−2≤a ≤−14时，f(x)的最大值为f(−12a )=−14a ． ③当−14<a <0时，f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以 f(x)的最大值为f(2)=4a +2．综上，当−2≤a ≤−14时，f(x)的最大值为f(−12a )=−14a ； 当−14<a ≤0时，f(x)的最大值为4a +2．【解析】(Ⅰ)根据题意，将a =−1代入函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得 f(x)在区间(0,12)上单调递增，在(12,2)上f(x)单调递减，分析可得答案；(Ⅱ)根据题意，按a 的取值范围分情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案． 本题考查二次函数的性质以及函数的最值，注意结合函数的单调性进行讨论．27. 已知函数f(x)的定义域为D.若对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2，都有f(x 1)+f(x 2)<2f(x 1+x 22)，则称函数f(x)为“凸函数”．(Ⅰ)判断函数f 1(x)=2x 与f 2(x)=√x 是否为“凸函数”，并说明理由； (Ⅱ)若函数f(x)=a ⋅2x +b(a,b 为常数)是“凸函数”，求a 的取值范围； (Ⅲ)写出一个定义在(12,+∞)上的“凸函数”f(x)，满足0<f(x)<x.(只需写出结论)【答案】(本小题满分10分)(Ⅰ)解：对于函数f 1(x)=2x ，其定义域为R ．取x 1=0，x 2=1，有f(x 1)+f(x 2)=f(0)+f(1)=2，2f(x 1+x 22)=2f(12)=2，所以 f(x 1)+f(x 2)=2f(x 1+x 22)，所以 f 1(x)=2x 不是“凸函数”.…………(2分)对于函数f 2(x)=√x ，其定义域为[0,+∞)．对于任意x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，由[f(x1)+f(x2)]2−[2f(x1+x22)]2=(√x1+√x2)2−(2√x1+x22)2=−(√x1−√x2)2<0，所以[f(x1)+f(x2)]2<[2f(x1+x22)]2．因为f(x1)+f(x2)>0，2f(x1+x22)>0，所以f(x1)+f(x2)<2f(x1+x22)，所以f2(x)=√x是“凸函数”.……………(4分) (Ⅱ)解：函数f(x)=a⋅2x+b的定义域为R．对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)=(a⋅2x1+b)+(a⋅2x2+b)−2(a⋅2x1+x22+b)……………………(5分)=a(2x1+2x2−2×2x1+x22)=a(2x12−2x22)2.……………………(7分)依题意，有a(2x12−2x22)2<0．因为(2x12−2x22)2>0，所以a<0.……………………(8分)(Ⅲ)f(x)=√x−12 (x>12).(注：答案不唯一)……………………(10分)【解析】(Ⅰ)取x1=0，x2=1，有f(x1)+f(x2)=f(0)+f(1)=2，2f(x1+x22)=2f(12)=2，验证，然后利用单调性证明即可．(Ⅱ)函数f(x)=a⋅2x+b的定义域为R.对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)转化证明即可．(Ⅲ)f(x)=√x−12 (x>12)．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．。

北京市2018年高一上学期期末考试数学试卷【三角函数与平面向量】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知sinα<0，且tanα>O，则α的终边所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 函数f(x)=sin2x的最小正周期为( )A. B. π C. 2π D. 4π3. 如果向量a=(1，2)，b=(3，4)，那么2a-b=( )A. （-1,0)B. （-1,-2)C. (1,O)D. (1,-2)4. 计算sin（π-α）+ sin（π+α）=( )A. 0B. 1C. 2sinαD. -2sinα5. 如图，在矩形ABCD中，=( )A. B.C. D.6. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=，则向量a，b的夹角为( )A. B. C. D.7. 已知m是函数f(x)=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f(m)=( )A. -1B. 0C.D. 18. 要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度9. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=( )A. 3B.C. D. 110. 已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB =1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P 在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是( )A. [-1，0]B. [ ，0]C. [ ，]D. [，0]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上.11. =_____________.12. 已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，若a∥b，则实数x=____________．13. 角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（-1，2），则tanθ=___________．14. 函数f(x)=sinx+cosx的最大值为____________．15. 已知点A(0，4)，B(2，0)，如果，那么点C的坐标为_____________；设点P(3，t)，且∠APB是钝角，则t的取值范围是___________________．16. 已知函数f(x)=sinxtanx.给出下列结论：①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)在区间（，0）上是增函数；③函数f(x)的最小正周期是2π;④函数f(x)的图象关于直线x=π对称．其中正确结论的序号是_______________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知αa∈（，π），且cosα=.(I)求tanα的值；(Ⅱ)求的值．18. 已知函数．(I)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象；(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．19. 如图，已知AB⊥BC，AB=BC=a，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的动点，∥（且与同向），设∠BAE=θ(θ∈[0，π])．(I)当a= ，且θ=时，求的值；(Ⅱ)用a，θ表示出，并给出一组a，θ的值，使得最小．B卷【学期综合】四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20. 设全集U=R，集合A={x|x<0），B={x|x>1}，则AU(u B)=_____________.21. 函数___________________．23. sin2, , 三个数中最大的是____________.24. 某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为________________折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为___________________折（保留一位小数）．五、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25. 已知函数是偶函数．(I)求a的值；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.26. 设a为实数，函数，x∈R．(I)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小值．27. 若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f (x)为“T函数”．(I)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=lg(x+1)是否是“T函数”，并说明理由；(Ⅱ)设f (x)为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求证：f (x0) =x0；(Ⅲ)试写出一个“T函数”f(x)，满足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的个数最少．（只需写出结论）北京市2018年高一上学期期末考试数学试卷【三角函数与平面向量】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知sinα<0，且tanα>O，则α的终边所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】＜，的终边在第三、第四象限或在轴负半轴上，＞，的终边在第一或第三象限，由此可得的终边所在的象限是第三象限角．故选C．2. 函数f(x)=sin2x的最小正周期为( )A. B. π C. 2π D. 4π【答案】B【解析】函数的最小正周期 .故选B3. 如果向量a=(1，2)，b=(3，4)，那么2a-b=( )A. （-1,0)B. （-1,-2)C. (1,O)D. (1,-2)【答案】A【解析】（，）（，）（，）．故选A．4. 计算sin（π-α）+ sin（π+α）=( )A. 0B. 1C. 2sinαD. -2sinα【答案】A【解析】由诱导公式，（）（）故选A.5. 如图，在矩形ABCD中，=( )A. B.C. D.【答案】B故选B.6. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=，则向量a，b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由向量的夹角公式可得故选D7. 已知m是函数f(x)=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f(m)=( )A. -1B. 0C.D. 1【答案】B【解析】函数（），其对称中心的横坐标：，．当时，可得，则（），故选B．8. 要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】试题分析：，因此只需将函数y = sin2x的图象向左平移个单位考点：三角函数图像平移9. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=( )A. 3B.C. D. 1【答案】B【解析】由题意函数（）（＞），周期，由图像可知（，），（，）．连接，过，作轴的垂线，可得：，，，由题意，是直角三角形，，即，解得： .故选B10. 已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB =1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P 在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是( )A. [-1，0]B. [ ，0]C. [ ，]D. [，0]【答案】D【解析】如图，由，，可得，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则（，），（，），直线方程为，则直线AM方程为，联立，解得：（，），由图可知，当在线段上时，有最大值为0，当在线段上时，有最小值，设（，）（），（，）（，）．∴的范围是[，0]故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上.11. =_____________.【答案】【解析】即答案为.12. 已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，若a∥b，则实数x=____________．【答案】-1【解析】由（，），（，），且，得（），解得．即答案为：-1．13. 角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（-1，2），则tanθ=___________．【答案】-2【解析】∵角的始边与轴正半轴重合，终边上一点坐标为（，），∴x=-1，y=2，则，即答案为：-2．14. 函数f(x)=sinx+cosx的最大值为____________．【答案】【解析】，故的最大值为. 即答案为15. 已知点A(0，4)，B(2，0)，如果，那么点C的坐标为_____________；设点P(3，t)，且∠APB是钝角，则t的取值范围是___________________．【答案】(1). (3,-2)(2). (1,3)【解析】根据题意，设的坐标为（，），又由点（，），（，），则（，），（，），若，则有（，）（，），则有（），，解可得，，则的坐标为（，），又由（，），则（，），（，），若是钝角，则（）（）（）（）＜，且（）（）（）（），解可得＜＜，即的取值范围为（，）；即答案为(1). (3,-2) (2). (1,3)【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量平行的坐标表示方法，其中解题的关键是掌握向量坐标计算的公式．16. 已知函数f(x)=sinxtanx.给出下列结论：①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)在区间（，0）上是增函数；③函数f(x)的最小正周期是2π;④函数f(x)的图象关于直线x=π对称．其中正确结论的序号是_______________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】对于（），其定义域为，，关于原点对称，且（）（）（），∴函数（）是偶函数，故①正确；当时，（）（）（），当时，（）（）（），＜，而（）＞（），故②错误；（）（）（），∴函数（）的最小正周期是，故③正确；（）（）（），（）（）（），（）（），即函数（）的图象关于直线对称，故④正确．∴正确结论的序号是①③④．即答案为①③④．三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知αa∈（，π），且cosα=.(I)求tanα的值；(Ⅱ)求的值．【答案】(I). (II) -7.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，求得的值．（Ⅱ）由题意利用二倍角公式求得的值．试题解析：(I)因为，，所以所以.(II)由(I) ，，所以.所以.18. 已知函数．(I)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象；(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．【答案】(I)见解析；（II）见解析（III）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用列表、描点、连线法画出（）在一个周期上的图象；（Ⅱ）利用正弦函数的性质求出（）在上的最大、最小值；（Ⅲ）根据函数的图象写出（）的单调递增区间．试题解析：(I)f(x)在上的图象如图所示．（II）.因为，所以，当，即时，最大值等于1，即的最大值等于1；当，即时，最小值等于，即的最小值等于.所以在区间上的最大值为1，最小值为.（III）函数的单调递增区间为.19. 如图，已知AB⊥BC，AB=BC=a，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的动点，∥（且与同向），设∠BAE=θ(θ∈[0，π])．(I)当a= ，且θ=时，求的值；(Ⅱ)用a，θ表示出，并给出一组a，θ的值，使得最小．【答案】（I）. （II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）建立平面直角坐标系，根据向量的数量积公式计算即可，（Ⅱ）设，，（，），，，利用坐标计算得到关于的三角函数，利用三角函数的性质求出最值．试题解析：（I）如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系.则，.（II），因为，所以，以a为变量的二次函数的对称轴.因为，所以当时，的最小值为，又，所以的最小值为，此时.所以，当，时，的最小值为.B卷【学期综合】四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20. 设全集U=R，集合A={x|x<0），B={x|x>1}，则AU(u B)=_____________.【答案】【解析】＞，，则（），即答案为．21. 函数的定义域为___________________．【答案】【解析】由，得，即．∴函数的定义域为. 即答案为．【答案】(1). 4(2).【解析】由题，则若（），若＞，可得，解得（舍去）；若＜，可得，解得，综上可得．即答案为(1). 4(2).23. sin2, , 三个数中最大的是____________.【答案】【解析】（，），＜，＞，可得其中最大值为．即答案为.24. 某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为________________折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为___________________折（保留一位小数）．【答案】(1). 7.5(2). 6.7【解析】由，故，由，故打折，显然三件商品价格一致时折扣最大，设购买3件商品均为元，则，故商品实际折扣力度最大约为折，即答案为(1). 7.5 (2). 6.7五、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25. 已知函数是偶函数．(I)求a的值；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.【答案】（I）. （II）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性求出a的值即可；（Ⅱ）根据函数的单调性的定义证明即可．试题解析：（I）函数的定义域为.由得.所以.因为对于定义域中任意的x都成立，所以.（II）函数在区间上是减函数证明：在上任取，，且，则，由，的，，，于是，即.所以函数在区间上是减函数.26. 设a为实数，函数，x∈R．(I)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小值．【答案】（I）见解析;（II）当时，的最小值为；当时，的最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）根据时，在，上，取绝对值，根据二次函数的单调性即可求解在区间，上的最大值和最小值；（Ⅱ）利用零点分段去绝对值，根据对称轴分情况讨论即可求函数（）的最小值试题解析：（I）当，时，函数，因为的图象抛物线开口向上，对称轴为，所以，当时，值最小，最小值为；当时，值最大，最大值为3.（II）①当时，函数.若，则在上单调递减，在上的最小值为；若，则函数在上的最小值为；②当时，.若，则在上的最小值为；若，则在上单调递增，.所以，当时，，的最小值为.当时，，的最小值为.当时，的最小值为与中小者.所以，当时，的最小值为；当时，的最小值为.综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为【点睛】本题主要考查函数最值的求解，利用零点分段思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．27. 若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f (x)为“T函数”．(I)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=lg(x+1)是否是“T函数”，并说明理由；(Ⅱ)设f (x)为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求证：f (x0) =x0；(Ⅲ)试写出一个“T函数”f(x)，满足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的个数最少．（只需写出结论）【答案】（I）见解析;(II) 见解析;（III）（注：答案不唯一）【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用定义判断函数＝与（）（）是否是“T函数”即可；（Ⅱ）设，，），＞，，＞．（）（）（）（）（）（），所以，对于，，），＜，一定有（）（）．即可证明;（Ⅲ）根据（），且使集合（），中元素的个数最少，以及新定义即可确定．试题解析：（I）对于函数，当时，都有，，又，所以.所以是“T函数”.对于函数，当时，，，因为，所以.所以不是“T函数”.(II)设，，.则所以，对于，，一定有.因为是“T函数”，，所以.若，则，不符合题意.若，则，不符合题意.所以.（III）（注：答案不唯一）。

第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．若会合A{ x |0x 3} ，B{ x |1x 2} ，则A U B（ A）{ x | 1 x 3}（ B）{ x | 1 x 0}（ C）{ x |0 x 2}（ D）{ x | 2 x 3}2．以下函数中，在区间(0, ) 上单一递加的是（ A）y x 1（ B）y| x1|（ C）y sin x（ D）y1 x23．履行以下图的程序框图，输出的S 值为（A）2（B） 6（C） 30（ D） 2704．已知M为曲线 C ：x3 cos , （为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最y sin大值是（ A）1（B）2（C） 3（D）4x1≥ 0,5．实数x, y知足x y1≥ 0,则 2x y 的取值范围是x y≥1 0,（ A）[0,2]（B）(,0]（ C）[ 1,2]（ D）[0,)6．设a,b是非零向量，且a, b 不共线．则“ | a | | b | ”是“ | a 2b | | 2a b | ”的（ A）充足而不用要条件（ B）必需而不充足条件（ C）充足必需条件（ D）既不充足也不用要条件7．已知A，B是函数y2x的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线y 1 的距离相等，2则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是（A）(, 1)（B）(, 2)（C）(1,)（D）(2,) 8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H] ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作 [OH ] ）的乘积等于常数10 14．已知 pH 值的定义为pH lg[H ] ，健康人体血液的pH 值保持在～之间，那么健康人体血液中的[H ]能够为[OH ]（参照数据：lg2 0.30 ， lg30.48 ）（A）1（B）1（C）1（D）1 23610第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．在复平面内，复数2i对应的点的坐标为____．1 i10．数列 { a n } 是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若a21____；S5 ____．，则 a n211．在△ABC中，a 3 ，C，△ ABC的面积为33 ，则c____．3412．把4 件不一样的产品摆成一排．若此中的产品A与产品 B 都摆在产品 C 的左边，则不一样的摆法有 ____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，获得一个以原长方体的部分极点为极点的凸多面体，其三视图以下图．该几何体的表面积是 ____．x2x, 2 ≤x≤c,14．已知函数f ( x)1 ,若 c0 ，则f ( x)的值域是____；若f (x)的值域c x ≤ 3. x是 [1,2] ，则实数c的取值范围是____．4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)2sin2x cos(2 x π) ．3（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；π（Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值．216．（本小题满分13 分）已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时辰表．表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰1月1日7:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:17 1月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:36 2月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:56 3月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:16 3月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰2月 1日7:232月11日7:132月 21日6:592月 3日7:222月13日7:112月 23日6:572月 5日7:202月15日7:082月 25日6:552月 7日7:172月17日7:052月 27日6:522月 9日7:152月19日7:022月 28日6:49（Ⅰ）从表 1 的日期中随机选出一天，试预计这天的升旗时辰早于7:00 的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择互相独立．记X 为这两人中观看升旗的时辰早于7:00 的人数，求X 的散布列和数学希望E( X ) ．（Ⅲ）将表 1 和表 2 中的升旗时辰化为分数后作为样本数据（如7:31 化为731）．记表 2 中60全部升旗时辰对应数据的方差为s2，表1和表2中全部升旗时辰对应数据的方差为 s*2，判断 s2与 s*2的大小．（只要写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，三棱柱 ABC A1 B1C1中，AB平面 AA1 C1C ，AA1 AB AC2，A1AC 60 .过 AA1的平面交 B1C1于点E，交BC于点F .（Ⅰ）求证：A1 C平面 ABC1；（Ⅱ）求证：四边形AA1 EF 为平行四边形；（Ⅲ）若BF2，求二面角 B AC1F的大小. BC318．（本小题满分13 分）已知函数 f (x) e ax sin x1，此中a 0．（Ⅰ）当a1y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；时，求曲线（Ⅱ）证明： f (x) 在区间 [0, π] 上恰有 2 个零点．19．（本小题满分14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 过点 A(2, 0) ，且离心率为3．a22 1( a2 b（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 y kx 3 与椭圆 C 交于 M , N 两点．若直线x3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13 分）数列A n：a1, a2, L , a n(n ≥ 4)知足：a1 1 ， a n m ， a k 1a k0 或1( k1, 2, L , n1) ．对随意i , j ，都存在s,t，使得a i a j a s a t，此中 i , j ,s,t {1,2, L ,n} 且两两不相等．（Ⅰ）若 m 2，写出以下三个数列中全部切合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2 ；② 1,1,1,1,2,2,2,2 ；③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2（Ⅱ）记 S a1a2L a n．若m 3 ，证明： S≥ 20；（Ⅲ）若 m 2018，求n的最小值．北京市西城区 2017 — 2018 学年度第一学期期末高三数学（理科）参照答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.1． A2．D3． C4．D5． D6．C7． B8．C二、填空题：本大题共 6 小题，每题5 分，共 30 分.9． ( 1,1)10． 2n3， 3111． 13412． 813． 3614． [ 1,)；[1,1]42注：第 10， 14 题第一空2 分，第二空3 分 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.其余正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）因为 f ( x) 2sin 2x cos(2xπ 3 )1 cos2 xπ π [ 4分](cos2 x cossin 2 x sin )333 sin 2x31[ 5分]2cos2 x23sin(2 xπ 1 ，[7 分 ])3所以 f ( x) 的最小正周期T2π π． [8 分 ]2（Ⅱ）因为0 ≤ x ≤ π，2所以π π 2π[10分]≤ 2x≤3．33当 2 xπ π，即 x 5π时，[11分]3212f ( x) 获得最大值为3 1．[13 分 ]16．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天，这天的升旗时辰早于7:00 ”，[ 1分]在表 1 的 20 个日期中，有15 个日期的升旗时辰早于7:00 ，15 3．[3 分 ]所以 P(A)4 20（Ⅱ） X 可能的取值为 0,1,2 ．[ 4 分 ]记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这天的升旗时辰早于 7:00 ”，则 P(B)51， P(B) 1 P(B)2 ． [5 分 ]15 33P( X0) P(B) P(B) 4 ；P( X 1) C 12 ( 1 )(1 1 ) 4 ；9 33 9 P( X2) P(B) P(B)1 ．[ 8分 ]9所以 X 的散布列为：X 0 1 2P4 4 1999E(X) 041 4 21 2 ． [10 分]999 3注：学生获得X ~ B(2, 1) ，所以 E(X)2 1 2 ，相同给分．33 3（Ⅲ） s 2s *2 ．[13分 ]17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为 AB平面AA 1C 1C ，所以 A 1C AB ． [1 分 ] 因为三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中， AA 1 AC ，所以 四边形 AA 1C 1 C 为菱形，所以 A 1C AC 1 ．[ 3分 ] 所以 A 1C 平面 ABC 1 ．[4 分 ]（Ⅱ）因为A 1 A//B 1B ， A 1 A 平面 BB 1C 1C ，所以 A 1 A// 平面 BB 1C 1C ．[5 分 ] 因为 平面 AA 1 EF I 平面 BB 1C 1C EF ，所以 A 1 A//EF ．[6 分 ]因为 平面 ABC // 平面 A 1 B 1C 1 ，平面 AA 1 EF I 平面 ABC AF ，平面 AA 1 EF I 平面 A 1 B 1C 1A 1E ，所以 A 1E //AF ．[7 分 ] 所以 四边形 AA 1 EF 为平行四边形．[8 分 ]（Ⅲ）在平面 AA 1C 1C 内，过 A 作 Az AC ．因为 AB平面 AA 1C 1C ，如图成立空间直角坐标系 A - xyz ．[ 9分]由题意得， A(0,0,0) ， B (2,0,0) ， C(0,2,0) ， A 1 (0,1, 3) ， C 1 (0,3,3) ．因为 BF2，所以 BF2BC ( 4,4,0) ，BC 333 32 4所以 F( , ,0)．3 3由（Ⅰ）得平面ABC 1的法向量为 A1C (0,1, 3) ．设平面 AC F 的法向量为n ( x, y, z)，1则nAC10,3y3z0,即2x4y0. n AF0,33令 y 1 ，则x 2 ，z 3 ，所以 n ( 2,1,3) ．[11分 ]所以 | cos n , A1C|| n A1C | 2 ．[13分 ]| n || A1C |2由图知二面角 B AC1 F 的平面角是锐角，所以二面角 B AC1F的大小为 45 ．[14分 ]18．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）当 a1时， f (x)e x sin x 1 ，所以f(x)e x (sin x cosx) ．[ 2 分 ]因为f(0)1， f (0)1，[ 4 分 ]所以曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为y x 1 ．[ 5 分 ]（Ⅱ）f ( )e ax (asinxcos )．[ 6 分 ] x x由f( x)0，得 a sin x cosx 0 ．[7 分 ]因为a0，所以 f (π0 ．[ 8分 ] )2当 xππcos x0，得 tanx1 (0,) U (,π) 时，由 a sin x．22a所以存在独一的 x0( π, π) ，使得tanx01．[9 分 ]2a f ( x) 与 f ( x) 在区间(0,π)上的状况以下：x(0, x0 )x0( x0 , π) f( x)+0f (x)↗极大值↘所以因为且所以f (x) 在区间 (0, x 0 ) 上单一递加，在区间(x 0 , π) 上单一递减．[11分]π a πf ( x 0 )f (e21 0 ，[12分 ]) 1 e2f (0)f ( π) 1 0 ，f ( x) 在区间 [0, π]上恰有 2 个零点．[13 分 ]19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得 a2 ， e c3， 所以 c 3 ．[2 分 ]a2因为 a 2 b 2 c 2 ，[ 3 分 ] 所以 b1，[4 分 ]所以 椭圆 C 的方程为x 2 y 2 1 ．[5 分 ]4（Ⅱ）若四边形 PAMN 是平行四边形，则 PA //MN ，且 | PA| | MN |.[ 6 分]所以 直线 PA 的方程为 y k( x 2) ，所以 P(3,k) ， | PA |k 21．[ 7 分 ]设 M ( x 1 , y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ．y kx3,得 (4 k 2 1)x28 3kx 8 0 ，[ 8分 ]由4y 2 4, x 2由0 ，得 k 2 1 ．2且 x 1 x 28 3k， x 1 x 28 ． [ 9分 ]4k 2 14k 21所以 |MN|(k 2 1)[(x 1 x 2 )2 4x 1x 2] .(k 264k 2 32 ．[10分 ]1)21)2(4k因为 | PA| |MN |， 所以( k 21) 64k 232k 21 ．(4k 2 1)2整理得4 2 33 0 ， [12分 ]16k 56k解得 k3，或 k11[13分 ]2．2经查验均切合0 ，但 k3时不知足 PAMN 是平行四边形，舍去．2所以 k3 ，或 k11 ．[14分 ]2220．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）②③．[3 分 ]注：只获得 ② 或只获得 ③ 给 [ 1 分 ] ，有错解不给分．（Ⅱ）当 m 3 时，设数列 A n 中 1,2,3出现频数挨次为 q 1 , q 2 , q 3 ，由题意 q i ≥ 1 (i 1,2,3) ．① 假定 q 1 4 ，则有 a 1 a 2 a sa t （对随意 s t2），与已知矛盾，所以q 1 ≥ 4 ．同理可证： q 3 ≥4 ．[ 5分 ]② 假定 q2 1 ，则存在独一的k {1,2,L , n}，使得 a2 ．k那么，对s,t ，有 a 1a k 1 2a sa t （ k,s,t 两两不相等） ，与已知矛盾，所以q 2 ≥ 2 ．[ 7分 ]综上： q 1 ≥ 4,q 3 ≥ 4, q 2 ≥ 2 ，3[ 8分]所以 Siq i ≥20 ．i 1（Ⅲ）设 1,2,L ,2018 出现频数挨次为 q 1, q 2 ,..., q 2018 ．同（Ⅱ）的证明，可得 q 1 ≥ 4, q 2018 ≥ 4 ， q 2≥2,q 2017 ≥2 ，则 n ≥ 2026．取 q 1q20184,q 2q20172 ， q i 1,i 3,4,5, L ,2016 ，获得的数列为：B n :1,1,1,1,2,2,3,4, L L ,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018 ． [10 分 ]下边证明 B n 知足题目要求．对i , j {1,2,L,2026} ，不如令 a i ≤ a j ，①假如 a i a j 1 或 a i a j 2018，因为q1= 4, q2018= 4，所以切合条件；②假如 a i1,a j 2 或 a i2017, a j2018，因为 q1=4, q2018 = 4， q2=2,q2017=2 ，所以也成立；③假如 a i1,a j 2 ，则可选用 a s2,a t a j 1 ；相同的，假如a i2017,a j 2018 ，则可选用 a s a i1,a t2017，使得 a i a j a s a t，且 i, j , s,t 两两不相等；④假如1a i ≤a j2018 ，则可选用 a s a i1,a t a j 1 ，注意到这类状况每个数最多被选用了一次，所以也成立．综上，对随意 i , j ，总存在s,t，使得 a i a j a s a t，此中 i , j , s,t {1,2,L,n} 且两两不相等．所以B n知足题目要求，所以n 的最小值为2026．[13分 ]。

北京市西城区2017 —2018学年度第一学期期末试卷高一数学2018.1 试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷［三角函数与平面向量］满分：100分题号-一一-二二三本卷总分171819分数、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的•1.已知sin「：：：0，且tan、* > 0，则〉的终边所在的象限是(A)第一象限(B )第二象限2.函数f(x) =sin2x的的最小正周期为(C)第三象限(D )第四象限（A）P2（B）p（C）2p3.如果向量a = (1,2)，b = （3,4），那么2a -b =（A）（-1,0）（B）（-1,-2）（C）（1,0）4.计算sin(蔥一黨)• sin(二-）-（A）0（B）1（C）2sin a5.如图，在矩形ABCD中, （D）4p（D）（1,-2）（D）- 2sin a（A）ABAO OB AD -（B）AC7■: 6(A )向左平移 P 个单位长度3(B )向右平移 P 个单位长度3(C )向左平移匕个单位长度6(D )向右平移B 个单位长度61(B )卜畀]© [-4自二、填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.(C ) AD(D) BD6.已知向量a , b 满足| a |=2 , | b |=1 , a b = ，则向量a , b 的夹角为 (A) -Pp (B)- 4 (C) 2P7.已知m 是函数f (x)二cosx 图象的一个对称中心的横坐标，则 f (m)= (A) -1 (B) 0 (D) 1 8.要得到函数^sin(2x3)的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象9.函数f(x) 坐标原点，若 =Asinx(A 0)的图象如图所示, OP _ 0Q ，则 A = P,Q 分别为图象的最高点和最低点， O 为(A) 3(B)3p 2(D)10.已知在直角三角形 ABC 中，A 为直角，AB 点P 在丁 ABC 内部或边界上运动，则 -1，BCAM BP 的取值范围是(A) [-1,0]3(D )[-3,°]11. sin12. 已知向量a = (1,2), b = (x, —2)，若a II b，则实数x = _________ .13. 角日的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为(-1,2)，则tan G =__________ ；14. 函数f (x) =sin x - cosx的最大值为____________ .15. 已知点A(0, 4)，(2,0)，如果AB =2BC，那么点C的坐标为________________ ；设点P(3,t)，且.APB是钝角，则t的取值范围是_______________ ；16. 已知函数f(x)二sinxtanx.给出下列结论：①函数f (x)是偶函数；②函数f (x)在区间(-^,。

第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项．1．若会集A{ x |0x 3} ，B{ x |1x 2} ，则A U B（ A）{ x | 1 x 3}（ B）{ x | 1 x 0}（ C）{ x |0 x 2}（ D）{ x | 2 x 3}2．以下函数中，在区间(0, ) 上单调递加的是（ A）y x 1（ B）y| x1|（ C）y sin x（ D）y1 x23．执行以下列图的程序框图，输出的S 值为（A）2（B） 6（C） 30（ D） 2704．已知M为曲线 C ：x3 cos , （为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最y sin大值是（ A）1（B）2（C） 3（D）4x1≥ 0,5．实数x, y满足x y1≥ 0,则 2x y 的取值范围是x y≥1 0,（ A）[0,2]（B）(,0]（ C）[ 1,2]（ D）[0,)6．设a,b是非零向量，且a, b 不共线．则“ | a | | b | ”是“ | a 2b | | 2a b | ”的（ A）充分而不用要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不用要条件7．已知A，B是函数y2x的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线y 1 的距离相等，2则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是（A）(, 1)（B）(, 2)（C）(1,)（D）(2,) 8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H] ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作 [OH ] ）的乘积等于常数10 14．已知 pH 值的定义为pH lg[H ] ，健康人体血液的pH 值保持在～之间，那么健康人体血液中的[H ]可以为[OH ]（参照数据：lg2 0.30 ， lg30.48 ）（A）1（B）1（C）1（D）1 23610第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．在复平面内，复数2i对应的点的坐标为____．1 i10．数列 { a n } 是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若a21____；S5 ____．，则 a n211．在△ABC中，a 3 ，C，△ ABC的面积为33 ，则c____．3412．把4 件不同样的产品摆成一排．若其中的产品A与产品 B 都摆在产品 C 的左侧，则不同样的摆法有 ____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，获取一个以原长方体的部分极点为极点的凸多面体，其三视图以下列图．该几何体的表面积是 ____．x2x, 2 ≤x≤c,14．已知函数f ( x)1 ,若 c0 ，则f ( x)的值域是____；若f (x)的值域c x ≤ 3. x是 [1,2] ，则实数c的取值范围是____．4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)2sin2x cos(2 x π) ．3（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；π（Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值．216．（本小题满分13 分）已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时辰表．表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰1月1日7:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:17 1月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:36 2月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:56 3月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:16 3月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰2月 1日7:232月11日7:132月 21日6:592月 3日7:222月13日7:112月 23日6:572月 5日7:202月15日7:082月 25日6:552月 7日7:172月17日7:052月 27日6:522月 9日7:152月19日7:022月 28日6:49（Ⅰ）从表 1 的日期中随机选出一天，试估计这日的升旗时辰早于7:00 的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时辰早于7:00 的人数，求X 的分布列和数学希望E( X ) ．（Ⅲ）将表 1 和表 2 中的升旗时辰化为分数后作为样本数据（如7:31 化为731）．记表 2 中60所有升旗时辰对应数据的方差为s2，表1和表2中所有升旗时辰对应数据的方差为 s*2，判断 s2与 s*2的大小．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，三棱柱 ABC A1 B1C1中，AB平面 AA1 C1C ，AA1 AB AC2，A1AC 60 .过 AA1的平面交 B1C1于点E，交BC于点F .（Ⅰ）求证：A1 C平面 ABC1；（Ⅱ）求证：四边形AA1 EF 为平行四边形；（Ⅲ）若BF2，求二面角 B AC1F的大小. BC318．（本小题满分13 分）已知函数 f (x) e ax sin x1，其中a 0．（Ⅰ）当a1y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；时，求曲线（Ⅱ）证明： f (x) 在区间 [0, π] 上恰有 2 个零点．19．（本小题满分14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 过点 A(2, 0) ，且离心率为3．a22 1( a2 b（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 y kx 3 与椭圆 C 交于 M , N 两点．若直线x3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13 分）数列A n：a1, a2, L , a n(n ≥ 4)满足：a1 1 ， a n m ， a k 1a k0 或1( k1, 2, L , n1) ．对任意i , j ，都存在s,t，使得a i a j a s a t，其中 i , j ,s,t {1,2, L ,n} 且两两不相等．（Ⅰ）若 m 2，写出以下三个数列中所有吻合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2 ；② 1,1,1,1,2,2,2,2 ；③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2（Ⅱ）记 S a1a2L a n．若m 3 ，证明： S≥ 20；（Ⅲ）若 m 2018，求n的最小值．北京市西城区 2017 — 2018 学年度第一学期期末高三数学（理科）参照答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.1． A2．D3． C4．D5． D6．C7． B8．C二、填空题：本大题共 6 小题，每题5 分，共 30 分.9． ( 1,1)10． 2n3， 3111． 13412． 813． 3614． [ 1,)；[1,1]42注：第 10， 14 题第一空2 分，第二空3 分 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于 f ( x) 2sin 2x cos(2xπ 3 )1 cos2 xπ π [ 4分](cos2 x cossin 2 x sin )333 sin 2x31[ 5分]2cos2 x23sin(2 xπ 1 ，[7 分 ])3因此 f ( x) 的最小正周期T2π π． [8 分 ]2（Ⅱ）由于0 ≤ x ≤ π，2因此π π 2π[10分]≤ 2x≤3．33当 2 xπ π，即 x 5π时，[11分]3212f ( x) 获取最大值为3 1．[13 分 ]16．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天，这日的升旗时辰早于7:00 ”，[ 1分]在表 1 的 20 个日期中，有15 个日期的升旗时辰早于7:00 ，15 3．[3 分 ]因此 P(A)4 20（Ⅱ） X 可能的取值为 0,1,2 ．[ 4 分 ]记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这日的升旗时辰早于 7:00 ”，则 P(B)51， P(B) 1 P(B)2 ． [5 分 ]15 33P( X0) P(B) P(B) 4 ；P( X 1) C 12 ( 1 )(1 1 ) 4 ；9 33 9 P( X2) P(B) P(B)1 ．[ 8分 ]9因此 X 的分布列为：X 0 1 2P4 4 1999E(X) 041 4 21 2 ． [10 分]999 3注：学生获取X ~ B(2, 1) ，因此 E(X)2 1 2 ，同样给分．33 3（Ⅲ） s 2s *2 ．[13分 ]17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由于 AB平面AA 1C 1C ，因此 A 1C AB ． [1 分 ] 由于三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中， AA 1 AC ，因此 四边形 AA 1C 1 C 为菱形，因此 A 1C AC 1 ．[ 3分 ] 因此 A 1C 平面 ABC 1 ．[4 分 ]（Ⅱ）由于A 1 A//B 1B ， A 1 A 平面 BB 1C 1C ，因此 A 1 A// 平面 BB 1C 1C ．[5 分 ] 由于 平面 AA 1 EF I 平面 BB 1C 1C EF ，因此 A 1 A//EF ．[6 分 ]由于 平面 ABC // 平面 A 1 B 1C 1 ，平面 AA 1 EF I 平面 ABC AF ，平面 AA 1 EF I 平面 A 1 B 1C 1A 1E ，因此 A 1E //AF ．[7 分 ] 因此 四边形 AA 1 EF 为平行四边形．[8 分 ]（Ⅲ）在平面 AA 1C 1C 内，过 A 作 Az AC ．由于 AB平面 AA 1C 1C ，如图建立空间直角坐标系 A - xyz ．[ 9分]由题意得， A(0,0,0) ， B (2,0,0) ， C(0,2,0) ， A 1 (0,1, 3) ， C 1 (0,3,3) ．由于 BF2，因此 BF2BC ( 4,4,0) ，BC 333 32 4因此 F( , ,0)．3 3由（Ⅰ）得平面ABC 1的法向量为 A1C (0,1, 3) ．设平面 AC F 的法向量为n ( x, y, z)，1则nAC10,3y3z0,即2x4y0. n AF0,33令 y 1 ，则x 2 ，z 3 ，因此 n ( 2,1,3) ．[11分 ]因此 | cos n , A1C|| n A1C | 2 ．[13分 ]| n || A1C |2由图知二面角 B AC1 F 的平面角是锐角，因此二面角 B AC1F的大小为 45 ．[14分 ]18．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）当 a1时， f (x)e x sin x 1 ，因此f(x)e x (sin x cosx) ．[ 2 分 ]由于f(0)1， f (0)1，[ 4 分 ]因此曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为y x 1 ．[ 5 分 ]（Ⅱ）f ( )e ax (asinxcos )．[ 6 分 ] x x由f( x)0，得 a sin x cosx 0 ．[7 分 ]由于a0，因此 f (π0 ．[ 8分 ] )2当 xππcos x0，得 tanx1 (0,) U (,π) 时，由 a sin x．22a因此存在唯一的 x0( π, π) ，使得tanx01．[9 分 ]2a f ( x) 与 f ( x) 在区间(0,π)上的情况以下：x(0, x0 )x0( x0 , π) f( x)+0f (x)↗极大值↘因此由于且因此f (x) 在区间 (0, x 0 ) 上单调递加，在区间(x 0 , π) 上单调递减．[11分]π a πf ( x 0 )f (e21 0 ，[12分 ]) 1 e2f (0)f ( π) 1 0 ，f ( x) 在区间 [0, π]上恰有 2 个零点．[13 分 ]19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得 a2 ， e c3， 因此 c 3 ．[2 分 ]a2由于 a 2 b 2 c 2 ，[ 3 分 ] 因此 b1，[4 分 ]因此 椭圆 C 的方程为x 2 y 2 1 ．[5 分 ]4（Ⅱ）若四边形 PAMN 是平行四边形，则 PA //MN ，且 | PA| | MN |.[ 6 分]因此 直线 PA 的方程为 y k( x 2) ，因此 P(3,k) ， | PA |k 21．[ 7 分 ]设 M ( x 1 , y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ．y kx3,得 (4 k 2 1)x28 3kx 8 0 ，[ 8分 ]由4y 2 4, x 2由0 ，得 k 2 1 ．2且 x 1 x 28 3k， x 1 x 28 ． [ 9分 ]4k 2 14k 21因此 |MN|(k 2 1)[(x 1 x 2 )2 4x 1x 2] .(k 264k 2 32 ．[10分 ]1)21)2(4k由于 | PA| |MN |， 因此( k 21) 64k 232k 21 ．(4k 2 1)2整理得4 2 33 0 ， [12分 ]16k 56k解得 k3，或 k11[13分 ]2．2经检验均吻合0 ，但 k3时不满足 PAMN 是平行四边形，舍去．2因此 k3 ，或 k11 ．[14分 ]2220．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）②③．[3 分 ]注：只获取 ② 或只获取 ③ 给 [ 1 分 ] ，有错解不给分．（Ⅱ）当 m 3 时，设数列 A n 中 1,2,3出现频数依次为 q 1 , q 2 , q 3 ，由题意 q i ≥ 1 (i 1,2,3) ．① 假设 q 1 4 ，则有 a 1 a 2 a sa t （对任意 s t2），与已知矛盾，因此q 1 ≥ 4 ．同理可证： q 3 ≥4 ．[ 5分 ]② 假设 q2 1 ，则存在唯一的k {1,2,L , n}，使得 a2 ．k那么，对s,t ，有 a 1a k 1 2a sa t （ k,s,t 两两不相等） ，与已知矛盾，因此q 2 ≥ 2 ．[ 7分 ]综上： q 1 ≥ 4,q 3 ≥ 4, q 2 ≥ 2 ，3[ 8分]因此 Siq i ≥20 ．i 1（Ⅲ）设 1,2,L ,2018 出现频数依次为 q 1, q 2 ,..., q 2018 ．同（Ⅱ）的证明，可得 q 1 ≥ 4, q 2018 ≥ 4 ， q 2≥2,q 2017 ≥2 ，则 n ≥ 2026．取 q 1q20184,q 2q20172 ， q i 1,i 3,4,5, L ,2016 ，获取的数列为：B n :1,1,1,1,2,2,3,4, L L ,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018 ． [10 分 ]下面证明 B n 满足题目要求．对i , j {1,2,L,2026} ，不如令 a i ≤ a j ，2018年北京市西城区高三第一学期期末数学试题及答案①若是 a i a j 1 或 a i a j 2018，由于q1= 4, q2018= 4，因此吻合条件；②若是 a i1,a j 2 或 a i2017, a j2018，由于 q1=4, q2018 = 4， q2=2,q2017=2 ，因此也建立；③若是 a i1,a j 2 ，则可采用 a s2,a t a j 1 ；同样的，若是a i2017,a j 2018 ，则可采用 a s a i1,a t2017，使得 a i a j a s a t，且 i, j , s,t 两两不相等；④若是1a i ≤a j2018 ，则可采用 a s a i1,a t a j 1 ，注意到这种情况每个数最多被采用了一次，因此也建立．综上，对任意 i , j ，总存在s,t，使得 a i a j a s a t，其中 i , j , s,t {1,2,L,n} 且两两不相等．因此B n满足题目要求，因此n 的最小值为2026．[13分 ]。

北京市西城区2018 — 2018学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2018.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3.D4.D5.B6.A7.C8.C9.B 10.A . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 2-12.3, 9- 13. πcos(2)2y x =+(或sin 2y x =-)14. 150 15. 208225-16. ○2○3 注：第16题少选得2分，多选、错选不得分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由π1tan()43ϕ+=-，得tan 111tan 3ϕϕ+=--， ………………3分 解得tan 2ϕ=-. ………………5分所以22tan 4tan 21tan 3ϕϕϕ==-. ………………8分（Ⅱ）由tan 2ϕ=-，得cos 0ϕ≠.将分式sin cos 2cos sin ϕϕϕϕ+-的分子分母同时除以cos ϕ,得sin cos tan 112cos sin 2tan 4ϕϕϕϕϕϕ++==---. ………………12分18.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）π()cos cos()3f x x x =⋅-ππcos (cos cos sin sin )33x x x =⋅+………………2分21cos 22x x=+ ………………3分112cos 244x x =++………………4分1π1sin(2)264x =++， ………………6分 由πππ2π22π+262k x k -+≤≤，得ππππ+36k x k -≤≤，所以()f x 的单调递增区间为ππ[ππ+],()36k k k -∈Z ,. ………………8分（Ⅱ）因为πsin(2)[1,1]6x +∈-,所以函数1π1()sin(2)264f x x =++的值域为13[,]44-. ………………10分因为直线y a =与函数()f x 的图象无公共点， 所以13(,)(,)44a ∈-∞-+∞. ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，以点B 为原点，以AB ，BC 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则(0,0)B ，(2,0)A -，(0,)C a ，(1,)D a -，(1,)AD a =，(2,0)AB =，(0,)BC a =.………………2分由AP xAD =, 得(,)AP x ax =. 所以(2,)PB PA AB x ax =+=--，(2,)PC PB BC x a ax =+=--. ………4分 所以2222(2)y PB PC x a x a x =⋅=--+，即222()(1)(4)4f x a x a x =+-++. ………………6分 所以(1)1f =. ………………7分 （注：若根据数量积定义，直接得到(1)1f =，则得3分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知函数222()(1)(4)4f x a x a x =+-++为二次函数，其图象开口向上，且对称轴为2242(1)a x a +=+， ………………8分 因为对称轴222224(1)31312(1)2(1)22(1)2a a x a a a +++===+>+++，[0,1]x ∈， ……10分 所以当0x =时， ()f x 取得最大值(0)4f =. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. [1,0)-2. 2-或2e 3. (3,0)(3,)-+∞ 4. {0,1} 5. [10,20] 注：第2 题少解不得分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）由411()log 12a f a a -==+，得121a a -=+， ………………2分 解得3a =-. ………………4分 （Ⅱ）由函数41()log 1x f x x -=+有意义，得101x x ->+. ………………5分 所以函数()f x 的定义域为{|1x x >，或1}x <-. ………………6分因为1444111()log log ()log ()111x x x f x f x x x x ------===-=--+++， 所以()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）由函数()3xf x =，()||3g x x a =+-，得函数||3()[()]3x a h x f g x +-==. ………………1分 因为函数()h x 的图象关于直线2x =对称， 所以(0)(4)h h =，即||3|4|333a a -+-=，解得2a =-. ………………3分 （Ⅱ）方法一：由题意，得[()]|3|3xg f x a =+-.由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3x a +=， ………………5分 当3a ≥时，由30x>，得33x a +>，所以方程|3|3x a +=无解，即函数[()]y g f x =没有零点； ………………6分 当33a -<≤时，因为3x y a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且33a -<≤，所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，且对于任意的x ，都有33x a +≠-， 所以函数[()]y g f x =有且仅有一个零点； ………………8分 当3a -<时，因为3x y a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且3a -<，所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，有且仅有一个1x 使得133x a +=-， 所以函数[()]y g f x =有两个零点.综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 方法二：由题意，得[()]|3|3xg f x a =+-.由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3x a +=， ………………5分 即33x a +=，或33x a +=-， 整理，得33x a =-，或33x a =--. ○1考察方程33x a =-的解，由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，得当30a ->，即3a <时，方程33x a =-有且仅有一解；当03a -≤，即3a ≥时，方程33x a =-有无解； ………………7分○2考察方程33x a =--的解，由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，得当30a -->，即3a <-时，方程33x a =--有且仅有一解；当03a --≤，即3a ≥-时，方程33x a =--有无解. ………………9分综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 注：若根据函数图象便得出答案，请酌情给分，没有必要的文字说明减2分. 8.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）答案不唯一，如函数0y =，y x =等. ………………3分 （Ⅱ）因为函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(1,0)-，所以0a b c -+=. ○1因为y x =为函数)(x f 一个承托函数，且)(x f 为函数21122y x =+的一个承托函数，所以2()1122x f x x +≤≤对x ∈R 恒成立. 所以1(1)1f ≤≤，即 (1)1f a b c =++=. ○2 ………………5分由○1○2，得12b =，12a c +=. ………………6分 所以211()22f x ax x a =++-. 由()f x x ≥对x ∈R 恒成立，得201122ax x a -+-≥对x ∈R 恒成立. 当0a =时，得01122x -+≥对x ∈R 恒成立，显然不正确； ………………7分 当0a ≠时，由题意，得0,0,114()42a a a >⎧⎪⎨∆=--⎪⎩≤ 即20(41)a -≤， 所以14a =. ………………9分 代入2()1122f x x +≤，得21110424x x -+≥， 化简，得2(1)0x -≥对x ∈R 恒成立，符合题意.所以14a =，12b =，14c =. ………………10分。

2018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题2019.01学校 班级 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则A B =I ( )（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{02}x x <≤（2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且a b P ，则m = ( )（A ）18 （B ）2 （C ）18- （D ）2-（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x = （C ）()lg f x x = （D ）()sin f x x =（4）命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤->（C ）22,10x x ∃>-≤ （D ）22,10x x ∃≤-≤（5）已知3tan 4α=，sin 0α<，则cos α= （ ） （A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ）45- （6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）（A ）sin α （B ）cos α（C ）tan α（D ）sin(π)α+（7）为了得到函数πsin()3y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）（A ） 向左平移2π3个单位长度 （B ） 向左平移π3个单位长度 （C ） 向右平移π3个单位长度 （D ） 向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关于函数()f α的说法正确的是（ ）（A ）()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈Z（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z （D ）()f α对定义域的α均满足(π)()f f αα-= 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()ln f x x =，则2(e )f = .（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则⋅=a b ______；2-=a b ______.（11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足S A ¹Ì，S B A =U .则一个满足条件的集合S 是 .（12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ³时，()f x x =，则不等式()20f x ->的解集是 .（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，»AB 的长为2，则»AB 所对的圆心角的大小为 弧度；若点P 是»AB 上的一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r取得最大值时，,OA OP <>=u u u r u u u r . （14）已知函数122, ,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =.在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）BO三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分） 已知函数π()2sin(2)3f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值围.(16)（本小题共10分）已知函数2()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明； （Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)c f 的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，90D ∠=︒，且1BO AD ==u u u r u u u r. （Ⅰ）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.(18)（本小题共12分）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间.（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31xy =+的ℱ区间;（Ⅱ）若1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值围; （Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值围.附加题：（本题满分5分。