第一章 1.1 1.1.1 1.1.2 导数的概念(优秀经典导学案课时作业及答案详解)

3.1变化率与导数（教学设计）（2）3．1．2导数的概念教学目标：1、知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。

②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

为什么会产生这样的情况呢？二、师生互动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算(2)(2)h t ht+∆-=∆v的值？学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？让学生分组讨论，板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆问题四：运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示? 学生意识到将0t 代替2,可类比得到000()()lim t h t t h t t∆→+∆-∆（1）气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()()limv r v v r v v∆→+∆-∆（2）如果将这两个变化率问题中的函数用()f x 来表示，那么函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-例1：求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆解：222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 变式训练1： 一条水管中流过的水量y （单位：m 3）是时间x （单位：s ）的函数y= f(x)=3x.求函 数y= f(x)在x=2处的导数，并解释它的实际意义.例2：求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 变式训练2：利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数例3（课本P6例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。

1.1.2导数的概念【学习目标】1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，并体会导数的思想及其内涵．2.理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来．如导数就是瞬时变化率，导数反映了函数在x 附近变化的快慢等．【新知自学】 知识回顾：1.=∆x___________叫做函数)(x f y =从21x x 到的平均变化率．（类似的则有函数)(x f y =在点0x x =附近的平均变化率为=∆∆x y _______________________）． 2.平均变化率的几何意义是________________________________________________________ ___________________________________________.新知梳理：1.函数)(x f y =在点0x x =处的瞬时变化率是=∆∆→∆xy x 0lim _____________． 2.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =∆∆→∆xy x 0lim_____________________． 感悟： 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率xx f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(y 0，当x ∆趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率.即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化的越快.对点练习：1.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是（ ）A.)()(00x f x x f y -∆+=∆叫做函数的增量B.()()xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆00叫做函数在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率 C.()()xx f x x f ∆-∆+00叫做函数()x f y =在0x 处的导数 D.()()00x x 0lim x x x f x f --→ 叫做函数()x f y =在0x 处的导数2.若函数f(x)在x=x 0处存在导数，则()()h h lim000h x f x f -+→（ ） A.与0x h 都有关B.仅与0x 有关，与h 无关C.仅与h 有关，与0x 无关D.与0x 、h 都无关3.()()=∆-∆+→∆xf x f x 33lim 0`______________. 4.函数12)(2-=x x f 当1=x 时的导数)1(f '= ____________ .【合作探究】 典例精析：例1. 已知()2x x f =，求)1(f '.变式练习：已知()2+=x x f ，则)2(f '.例2.求函数24xy =在某点的导数.变式练习：求函数3x y =在某点的的导数.规律总结利用导数定义求导数的三步曲：（1）求函数的增量=∆y )()(00x f x x f -∆+；（2）求平均变化率xx f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(y 0； （3）取极限，得导数f '(x)=x y x ∆∆→∆0lim. 【课堂小结】【当堂达标】1.如果质点按规律23t s =运动，则在3秒时的瞬时速度为（ ）A.6B.18C.54D.812.如果某物体作运动方程为()212t s -=的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s 末的瞬时速度为 （ ）A.s m /8.4-B.s m /88.0-C.s m /88.0D.s m /8.43.设函数()x f 可导，则()()x f x f x ∆-∆+→∆311lim0= （ ） A.()1/f B.3()1/fC.31()1/f D.()3/f 4.求曲线()3x x f = 在（2，8）处的瞬时变化率.【课时作业】1.已知(),102+-=x x f 则()x f 在23=x 处的瞬时变化率是（ ） A.3 B.-3 C.2 D.-22.设函数(),23+=ax x f 若(),31/=-f 则a=（ ）A.-1B.21 C.1 D.31 （保留可以删除）** 3.若2)(0='x f ，则 ()()xx x f x f x ∆∆+-→∆2lim 000= .曾子班学生可以处理4.求下列函数的导函数:建议少处理，留着公式法求解*（1）21)(+=x x f ；（2）x x x f -=3)(.5.设(),23+=ax x f 若3)1(=-'f ，求a 的值.6.已知f(x) =x 2，g(x)=x 3，求满足)(2)(x g x f '=+'的x 的值.不难可以前置处理。

导数的概念教案及说明教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。

教学内容：第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 导数的定义及其几何意义1.3 导数的计算法则第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的四则运算2.3 高阶导数第三章：导数的应用3.1 函数的单调性3.2 函数的极值3.3 曲线的切线与法线第四章：导数与实际问题4.1 运动物体的瞬时速度与加速度4.2 函数的优化问题4.3 导数在经济学中的应用第五章：导数的进一步应用5.1 曲线的凹凸性与拐点5.2 函数的单调区间与最大值、最小值5.3 函数的渐近线教学步骤：1. 引入导数的概念：通过生活中的例子，如物体运动的瞬时速度，引出导数的定义。

2. 讲解导数的定义及其几何意义：解释导数的定义，并通过图形演示导数的几何意义。

3. 导数的计算法则：讲解基本导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。

4. 导数的应用：通过实例讲解函数的单调性、极值等概念，并引导学生运用导数解决实际问题。

5. 总结与拓展：总结本章内容，提出进一步的学习要求和思考题。

教学评价：1. 课堂讲解：评价教师的讲解是否清晰、生动，能否引导学生理解和掌握导数的概念和计算方法。

2. 课堂练习：评价学生是否能够正确计算导数，并应用导数解决实际问题。

3. 课后作业：评价学生是否能够独立完成作业，并对导数的应用有深入的理解。

教学资源：1. 教案、PPT等教学资料；2. 数学软件或计算器；3. 实际问题案例。

教学建议：1. 注重引导学生从实际问题中抽象出导数的概念，提高学生的学习兴趣和积极性；2. 通过图形演示导数的几何意义，帮助学生直观理解导数的概念；3. 鼓励学生进行课堂练习和课后作业，及时巩固所学知识；4. 结合实际问题，引导学生运用导数解决实际问题，提高学生的应用能力。

第六章：导数与函数的单调性6.1 单调增函数与单调减函数6.2 利用导数判断函数的单调性6.3 单调性在实际问题中的应用第七章：函数的极值与导数7.1 极值的概念7.2 利用导数求函数的极值7.3 极值在实际问题中的应用第八章：曲线的切线与法线8.1 切线方程的求法8.2 法线方程的求法8.3 切线与法线在实际问题中的应用第九章：导数与函数的图像9.1 凹凸性的定义与判断9.2 拐点的定义与判断9.3 利用导数分析函数的图像特点第十章：导数在经济、物理等领域的应用10.1 导数在经济学中的应用10.2 导数在物理学中的应用10.3 导数在其他领域的应用案例分析教学步骤：6.1-6.3：通过具体例子讲解单调增函数与单调减函数的概念，引导学生利用导数判断函数的单调性，并应用于实际问题。

第1页共3页1.1 导数1.1.2 导数的概念【提出问题】质点M 的运动方程为2()s t t =，求1t =时的瞬时速度。

解：因为22(1)(1)(1)1(2)s s t s t t t ∆=+∆-=+∆-=+∆∆ 所以2s t t∆=+∆∆ 当t ∆趋近于0时，s t ∆∆趋近于2 所以1t =时的瞬时速度为2那么，对于一般函数()f x 的瞬时变化率怎么定义呢？【抽象概括】设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应的改变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ， 那么常数l 称为函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率．事实上，运动的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )的瞬时变化率．“当Δx 趋近于0时，平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时， f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l ” 通常也记作000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆ 【获得新知】函数()f x 在x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0处的导数，通常记作f ′(x 0)，第2页共3页即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为导数．【概念领悟】1．对导数概念的理解(1)Δx →0是指Δx 可以从0的左右两侧趋向于0，可以任意小的间隔，但始终不会为0.(2)如果lim Δx →0Δy Δx存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导． (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x )－f (x 0)x －x 0，与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx意义相同． （4）这里研究的是两个变量,y x ∆∆比值变化的性质与状态，尽管,y x ∆∆在变化过程中都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数。

人民教育出版社高中数学选修2-2（A版）第一章（教案设计）导数的概念课型：新授课教学目的: ⑴通过对高台跳水案例的研究分析——从平均速度到瞬时速度，与学生共同体会抽象出：从函数的平均变化率到瞬时变化率。

体会导数概念的实际背景。

⑵领会瞬时变化率的实质，形成导数的概念，了解导数的内涵。

⑶通过导数概念的形成过程，学习归纳，类比的推理方式。

体验无限逼近，从特殊到一般，化归与转化的数学思想。

提高广泛联系，抽象概括能力。

培养学生正确认识量变到质变，运动与静止的统一（逼近的思想，运动的变化美），形成正确的数学观。

教学要求: ⑴通过查阅资料（数学史的发展），让学生了解导数产生的背景。

⑵通过跳水视频的观看，让学生求知的欲望和兴趣得到进一步释放。

让学生明白数学与生活的联系。

⑶借助运动员的运动状态的描述的要求的变化（平均速度→瞬时速度），能让学生体会到导数产生的过程以及内涵（平均变化率→瞬时变化率）。

⑷借助熟悉的生活例子，体会导数的实际意义。

⑸通过例题的研究与讲解，让学生能简单的掌握导数的求解方法以及对相应的数学符号的把握。

并能简单的应用导数的概念解释实际生活现象。

教学重点: 形成导数的概念，了解导数的内涵。

教学难点: 对导数概念的理解，对瞬时速度的求解（逼近思想的理解）。

教学手段:⑴借助“设问式”的处理，与学生一起探究出导数的概念。

⑵通过“特殊→一般”的认知模式，提升学生对导数概念的理解。

⑶借助“图表”，“框图”比较直观的体会和解决这节课的重点和难点。

⑷利用“电子黑板”，“一体机”，“投影仪”等工具更好的促进和服务于课堂教学。

课前任务: （●第1张PPT图片——课前任务）布置课本第61页实习作业《走进微积分》,阅读,学生上网查阅牛顿,莱布尼兹生平简介,以及他们创立微积分的起始问题是什么有何差异让学生将查阅的资料做成word文档并打印出来教学过程：引入◆同学们,课前任务落实的怎么样啊哪位同学能否把你的成果给我们展示一下找一个同学的成果,用投影仪投影出来;找一个同学阅读他们创立微积分的起始问题老师评价◆显然，微积分的创立，牛顿从运动学出发，莱布尼茨从几何学出发。

1．1.2 瞬时变化率——导数曲线上一点处的切线如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置． 问题2：割线PP n 斜率是什么？ 提示：割线PP n 的斜率是k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？ 提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率． 问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？ 提示：能．1．割线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线． 2．切线随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间． 问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－31＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．导 数1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．[对应学生用书P5]求曲线上某一点处的切线[例1] 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f 2＋Δx －f 2Δx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx 22＋Δx ＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx 2＋Δx ＋Δx Δx ＝－122＋Δx ＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－121＋Δx2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－121＋Δx 2－2＋52Δx＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝2Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝31＋Δx2－1＋Δx －3×12－1Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.瞬时速度[例2] 一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解． [精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔSΔt ＝4a ＋a Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎨⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2， 则ΔS Δt ＝S 1＋Δt －S 1Δt＝1＋Δt 2＋2－3Δt＝2＋Δt ，当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56， ∴ΔS Δt＝34＋Δt 2－184＋Δt ＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.导数及其应用[例3] 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析] (1)因为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx＝2＋Δx2－3－22－3Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f a ＋Δx －f aΔx＝a ＋Δx2－3－a 2－3Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝Δx 21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f 1＋Δx －f 1Δx ＝a 1＋Δx ＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f 6＋Δx －f 6Δx＝6＋Δx2－76＋Δx ＋15－62－7×6＋15Δx＝5Δx ＋Δx 2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同区别 联系f ′(x 0) f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值f ′(x )f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数[对应课时跟踪训练(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________． 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－ 3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________．解析：∵f 1＋Δx －f 1Δx＝121＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12Δx 2＋ΔxΔx＝12Δx ＋1. ∴当Δx 无限趋近于0时，f 1＋Δx －f 1Δx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)．又Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx＝21＋Δx 2＋1－2×12－1Δx＝4＋2Δx .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于常数4，∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4.由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、 解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt ＝S 4＋Δt －S 4Δt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g 4＋Δt 2＋24＋Δt －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g Δt 2＋4g ·Δt ＋2·Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2.∵当Δt →0时，ΔS Δt→4g ＋2， ∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程．解：∵31＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3×12－4×1＋2Δx ＝2Δx ＋3Δx 2Δx ＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝x 0＋Δx 3－2x 0＋Δx 2＋3－x 30－2x 20＋3Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0， 即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2. ∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．。

全国高中数学优质课课题：导数的概念一、教学内容解析《导数的概念》是《选修2-2》第一章第1.1节中第1.1.2小结的内容，是高中数学的一节概念课.数学学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以一切概念为基础的.因此，数学教师必须要重视概念的教学.纵观《导数及其应用》这章内容，导数以高起点，高观点和更一般的方法简化了中学数学中许多与函数相关的问题.导数的出现也为我们今后微积分的发展提供了方法和工具，从而使得它在其它学科领域也有了广泛的应用.但我们又不能将导数作为一种规则和步骤来学习，否则，学生很难体会导数的思想及其内涵，这样导数概念的学习就至关重要.一般地，导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义.因此，我们对导数概念的引入从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数.我们将导数概念的建立分为两个阶段，在明确瞬时速度含义的基础上，将瞬时速度一般化，即抽象为一般的函数，从而形成导数的概念.第一阶段：明确瞬时速度的含义及平均速度与瞬时速度的区别和联系.让学生在观察实验的同时，体会当||t ∆变小，趋于0时，ts∆∆趋于一个定值，这个定值就是瞬时速度.在经历平均速度到瞬时速度的过程中，第一次体会逼近的数学思想.第二阶段，将平均速度和瞬时速度抽象为一般的表达式，完全转化为数学问题，在揭示研究瞬时变化率必要性的同时，用类比的思想方法，经历从平均变化率到瞬时变化率的过渡，再次体会逼近的思想方法.最后，建立导数的概念.因此，根据以上对教学内容的分析，确立本节课的教学重点：在充分经历导数概念的建立过程中，体会逼近的数学思想，理解导数的思想及其内涵.二、教学目标1.在导数概念建立的过程中，引导学生通过观察、数值逼近、几何直观感受、解析式抽象、类比等方法体会数学概念的发生和形成.2.理解导数的概念，初步掌握导数的计算方法，并在具体数学问题中进一步理解导数的概念.3.通过对瞬时速度、瞬时变化率的探索，激发学生对本部分内容学习的兴趣.三、学生学情分析1.导数是对变化率的一种“度量”.实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从.2.可能存在的问题：（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当||t ∆趋于0时，th∆∆趋于一个定值；当||x ∆趋于0时，xy∆∆趋于一个定值.（3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点. 四、教学策略分析根据学生情况，为了完成本节课的教学目标，突破教学重难点，主要采取教师问题引导，学生自主探究、归纳的教学方法.具体的策略有:1.从具体到抽象的教学方法.学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出发，历经平均速度到瞬时速度的过渡，再把物体的运动变化量抽象为一般的函数，从而得到瞬时变化率的概念.2.从特殊到一般的教学方法.让学生在知道2=t 是的瞬时速度以后，直观地理解运动员在任意时刻t 的瞬时速度.同样，在学生探究出一个指定函数在某一点处的瞬时变化率之后，可以归纳出一般函数在任意一点的瞬时变化率.3.几何直观感受.通过几何画板的演示让学生形象的感知“逼近”.4.利用计算器进行分组合作，取不同的t ∆，x ∆，计算t h ∆∆以及xy ∆∆的值.问：观看的时候思考仪器在测量瞬时速度时的工作原理是什么？s=附近的平均速度变化：t3讲授：经过以上三个时刻的计算，大家都发现：当时间间隔很小，也就是当两个时间的端点无限靠讲授：由此可见，正如平均速度只能粗略反映物体在某个时间段的运动状态，而要想更为精确的刻画物体在某个时刻的运动状态，我们只能通过瞬用几何画板演示：。

《1.1.2导数的概念》教学案3教材分析导数的概念是高中新教材人教A 版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率 问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度--→根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点教学目标1、 知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、 过程与方法：① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法函数的平均变化率fx ∆∆ 函数的瞬时变化率0limx fx∆→∆∆（即导数）3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.重点、难点➢重点：导数概念的形成，导数内涵的理解➢难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点学法与教法➢学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。

（如问题2的处理）（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。

（如问题3的处理）（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

（如例题的处理）教学用具：电脑、多媒体、计算器➢教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。

②导——教师指导、循序渐进（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识（4）变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知二、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情景、引入新课幻灯片➢回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

教学设计1．1.2 导数的概念教材分析一般地，学习导数概念的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解．本节课，教材将学习导数的概念分为两个阶段：第一阶段是通过大量实例，利用逼近思想直观理解瞬时速度的含义；第二阶段则是将瞬时速度一般化，即通过对瞬时速度的理解来引出导数的概念．整个过程蕴涵了逼近的思想和用已知探求未知的思想方法．课时分配 1课时．教学目标 1．知识与技能目标利用学生对瞬时速度的理解，逐步达到对导数概念和基本方法的直观、准确的理解． 2．过程与方法目标用形象直观的“逼近”方法定义导数，学习和掌握用已知探究未知的思想方法． 3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，培养学生运动变化的观点和辩证统一的思想．在对实际问题的分析过程中，体会、感受数学的创造美．重点难点重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 难点：准确理解导数的概念．教学过程引入新课问题1：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝12gt 2，求1 s 到2 s 的平均速度．问题2：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝12gt 2，如何求t ＝3 s 这一时刻的速度呢？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：经过简单运算，学生能够回答出第一个问题．对于第二个问题，可能在理解“瞬时速度”上有难度，感觉无从下手．教师提问：这两个问题在解法上有什么区别和联系？能否从它们的联系上寻找第二个问题的解法？你对“t ＝3 s 这一时刻”怎么理解？学情预测：学生能够利用物理知识解决速度问题，但对某一时刻的速度，未必能从“平均速度”和“瞬时速度”的关系上说清楚．教师提示：我们可以取t ＝3 s 临近时间间隔内的平均速度去“逼近”t ＝3 s 时刻的“瞬时速度”，如在[3,3＋Δt]内或在[3－Δt,3]内，不过时间间隔Δt 要尽可能小．学情预测：经过提示和讨论后，学生应该能从尽可能缩小时间间隔的角度进行感性认识和猜测了．活动成果：师生共同得出如下结论：取一小段时间：[3,3＋Δt]，Δs ＝12g(3＋Δt)2－92g ，Δv ＝Δs Δt ＝g2(6＋Δt)．当Δt →0时，Δv →3g. 设计意图从学生学过并且熟悉的物理问题切入，以平均速度和瞬时速度作对比设计两个问题，使学生有一个思考的台阶，在教师的引导提示下，感性地认识瞬时速度的概念．探究新知在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度．那么，如何求运动员的瞬时速度呢？提出问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，试探求运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是多少？活动设计：以小组为单位，列好表格，准备好计算器，分别计算时间间隔Δt ＝－0.01，－0.001，－0.000 1，－0.000 01，－0.000 001，…在区间[2＋Δt,2]内的平均速度和Δt ＝0.01，0.001,0.000 1,0.000 01,0.000 001，…时，在区间[2,2＋Δt]内的平均速度．并观察当|Δt|逐渐变小时，平均速度v 的取值变化情况．活动成果：当Δt<0时，在[2＋Δt,2]这段时间内 v ＝h (2)－h (2＋Δt )2－(2＋Δt )＝4.9Δt 2＋13.1Δt－Δt ＝－4.9Δt －13.1.当Δt ＝－0.01时，v ＝－13.051；当Δt ＝－0.001时，v ＝－13.095 1； 当Δt ＝－0.000 1时，v ＝－13.099 51； 当Δt ＝－0.000 01时，v ＝－13.099 951； 当Δt ＝－0.000 001时，v ＝－13.099 995 1； ……当Δt>0时，在[2,2＋Δt]这段时间内v ＝h (2＋Δt )－h (2)(2＋Δt )－2＝－4.9Δt 2－13.1ΔtΔt ＝－4.9Δt －13.1.当Δt ＝0.01时，v ＝－13.149； 当Δt ＝0.001时，v ＝－13.104 9； 当Δt ＝0.000 1时，v ＝－13.100 49； 当Δt ＝0.000 01时，v ＝－13.100 049； 当Δt ＝0.000 001时，v ＝－13.100 004 9； ……可以看出，当|Δt|逐渐变小时，平均速度v 的取值逐渐趋近于一个稳定的值－13.1，从物理的角度看，时间间隔|Δt|无限变小时，平均速度v 就无限趋近于t ＝2 s 时的瞬时速度．所以说，运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是－13.1 m/s.为了表述方便，我们用lim t ∆→h (2＋Δt )－h (2)Δt＝－13.1来表示“当Δt →0时，v →－13.1”．提出问题：仍以高台跳水为例，运动员在某一时刻t 0的瞬时速度怎样表示？能用它来表示函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率吗？活动设计：学生独立思考，两名学生板演，其他学生在练习本上试着写出结果，然后教师点评．活动成果：根据上面对瞬时速度概念的探究，可知：运动员在某一时刻t 0的瞬时速度为0lim t ∆→h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt.类似地，函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率可以表示为lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔfΔx.我们称它为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔfΔx.理解新知例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)，计算第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．学情预测：根据上面所学知识，学生能够求出第2 h 时和第6 h 时原油温度的瞬时变化率，但是在说明它们的意义时可能有困难，或表述不准确．活动设计：学生先独立思考，一名学生板演，其他学生在练习本上试着写出过程和结果．教师适时点评．活动结果：在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δf Δx ＝f (2＋Δx )－f (x 0)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx ＝Δx －3，所以，f ′(2)＝0lim x ∆→ΔfΔx ＝0lim x ∆→ (Δx －3)＝－3.同理可得：f ′(6)＝5. 在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5.说明在2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．点评：(1)函数f(x)在x ＝x 0处的导数即为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率； (2)瞬时变化率是平均变化率的极限；(3)Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，x →x 0，所以f ′(x 0)＝0lim x x →f (x )－f (x 0)x －x 0；(4)由定义知，求f(x)在x 0处的导数的步骤为：求增量Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x) 算比值Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 求极限y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx .由导数的定义，我们知道，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率．实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值的增长率等等．设计本例的主要目的还是让学生在实际问题背景中体会导数的产生、导数的意义等．设计意图运用新知例2(1)求函数f(x)＝－x 2＋x 在x ＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． (2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．思路分析：求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f ′(x 0)．解：(1)因为Δf Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx＝3－Δx ，所以f ′(－1)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝0lim x ∆→ (3－Δx)＝3.(2)因为Δf ＝Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝6Δx ＋3(Δx)2，所以Δf Δx ＝6＋3Δx ，0lim x ∆→ ΔfΔx ＝6.点评：体会求函数f(x)在任一点处的导数的一般步骤，进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A 这一现象．例3函数f(x)满足f ′(1)＝1，则当x 无限趋近于0时， (1) 0lim x →f (1＋x )－f (1)2x＝__________，(2) lim x →f (1＋2x )－f (1)x＝____________.思路分析：因为f(x)在x ＝1处存在导数，所以当x 无限趋近于0时，2x 也无限趋近于0，故lim x →f (1＋x )－f (1)x ＝1， lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x ＝1. 解：(1) lim x →0f (1＋x )－f (1)2x ＝lim x →0 12f (1＋x )－f (1)x ＝12，(2) lim x →f (1＋2x )－f (1)x ＝2lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x ＝2.点评：理解导数的意义，关键在理解当Δx →0时，Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 的变化趋势．巩固练习1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3 C ．4 D ．4.1 2．设函数f(x)可导，则0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．不存在 C.13f ′(1) D ．以上都不对 3．设f(x)＝1x ，则lim x a→ f (x )－f (a )x －a 等于( )A ．－1a B.2a C ．－1a 2 D.1a 2答案：1.D 2.C 3.C 变练演编变式(1)设f(x)在x ＝x 0处可导，若f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________.变式(2)设f(x)在x ＝x 0处可导，若f (x 0－4Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________.变式(3)设f(x)在x ＝x 0处可导，当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx 所对应的常数与f ′(x 0)的关系．活动设计：学生独立完成，教师将所有发现的结果一一列举，再由学生相互之间交流、评价，最后教师给出正确答案．答案：变式(1)：14变式(2)：－14变式(3)：当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx ＝4f ′(x 0)设计意图对于函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim t ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim t ∆→ ΔfΔx，Δx 表示的意义是一个尽可能小的改变量，是一个广义的概念．通过变练(就是变式训练)演编(就是让学生试着自己编题)，让全班同学通过交流合作的形式，在辨析中加深对导数概念的理解．达标检测1．当自变量x 由x 0增加到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数…… ( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．下列各式中正确的是( ) A ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)2Δx B ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0－Δx )－f (Δx )ΔxC ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→f (x 0＋Δx )＋f (x 0)－Δx D ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx3．设f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 4．y ＝x 3－1，当x ＝2时，0lim t ∆→ΔyΔx＝______. 答案或提示或解答：1.A 2.D 3.A 4.12课堂小结本节课通过大量的实例，引出了瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念．其中探究从平均速度到瞬时速度的过程和方法，从特殊推向一般的思想和方法，以及利用所学知识解决实际问题的思想和方法都具有非常重要的作用．布置作业课本习题1.1A2、A3、B1.补充练习1．若f(x)＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．3 3 2．设函数f(x)＝mx 3＋2，若f ′(－1)＝3，则m ＝__________.3．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度．答案：1.C 2.1 3.开始的速度为2米/秒，第5秒末的速度为42米/秒．设计说明本节课从变化率入手，通过大量的实验和学生的广泛参与，用形象直观的逼近思想来理解瞬时速度和瞬时变化率，在此基础上再给出导数定义．这样做可以避免学生因未学习极限的概念而影响对导数的认识，可以使学生更直观形象地理解导数概念，同时还能使学生对逼近思想有一定的了解．教学过程中，从形成导数定义到理解导数内涵都使用了瞬时速度这个具体的物理模型，教学的关键放在了让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度上．整个过程采用的方法都是遵循循序渐进的原则，尊重学生的认知水平和认知规律．另外，本节还选配了一些其他方面的变化率问题，形式丰富的实例有利于学生辨别出它们具有的共同特征，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，从而加深对导数概念的理解．备课资料1．求电流强度问题1设电流通过导线的横截面的电量是Q(t)，它是时间t 的函数，求任一时刻t 0的电流强度．思路分析：我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即电流强度＝电量时间.在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求任一时刻t 0的电流强度．我们可通过以下方法得到：设在t 0到t 0＋Δt(Δt ≠0)这段时间内通过导线的电量是ΔQ ＝Q(t 0＋Δt)－Q(t 0)． 因此在这段时间内，平均电流强度为I ＝ΔQ Δt.易知，Δt 取值越小，I 就越接近时刻t 0的电流强度I.若当Δt →0时，I 的极限存在，则平均电流强度I 的极限就是时刻t 0的电流强度．因此，我们定义：I ＝0lim t ∆→I ＝0lim t ∆→ΔQΔt ＝0lim t ∆→ Q (t 0＋Δt )－Q (t 0)Δt. 2．导数的表达式问题为了与导数的表达式更吻合，有时我们把x 0＋Δx 记作x ，于是Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，有x →x 0，则f ′(x 0)＝0lim x x →f (x )－f (x 0)x －x 0.利用导数定义求导数的难点是有一些比值ΔyΔx的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，以便于计算．2证明若f ′(x 0)存在，则0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx＝2f ′(x 0)．思路分析：已知f ′(x 0)存在，也即是极限0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx存在且等于f ′(x 0)，只要紧扣导数的定义，并把等式的左端化成f(x)在点x 0处的导数的形式，该题的证明将容易得到．证明：0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋0lim x ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)．点评：在导数的结构(定义) 0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，函数的增量f(x 0＋Δx)－f(x 0)与自变量的增量Δx 是相应的，即自变量有增量Δx 时，相应的函数的增量是f(x 0＋Δx)－f(x 0)，而在上面的极限中，函数的增量f(x 0－Δx)－f(x 0)所对应的自变量的增量是－Δx(而非Δx)，这一点是至关重要的．因此应该有(易知Δx →0时，－Δx →0)：lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝-0lim x ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝f ′(x 0)．(设计者：张春生)。

《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。

引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。

1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。

强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。

强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。

1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题。

第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。

通过实例引导学生理解导数性质的应用。

2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。

利用导数的运算法则进行函数求导。

2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题。

第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。

利用导数判断函数的单调性。

3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。

利用导数求解函数的极值。

3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。

利用导数求解函数的拐点。

第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。

解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。

4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。

解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。

4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。

解释切线与法线的概念及几何意义。

第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。

强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。

§1。

1。

2 导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数。

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．
(一）、情景引入，激发兴趣
【教师引入】：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。

科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的,比如在天宫一号与神州八号的成功对接,最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。

（二）、探究新知，揭示概念
教学环节内容师生活
动
设计意
图。

1.1.2导数的概念【学法指导】积极听讲，认真练习●为必背知识【学习目标】1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．一．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为 。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度。

思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示 。

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

●2、导数的概念：一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 。

我们称它为函数()y f x =在0x x =处的 记作 。

即： 。

注意:导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;●3、求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”即（1）计算)()(00x f x x f y -∆+=∆； （2）计算xy ∆∆； （3）计算x y x ∆∆→∆0lim 。

三．典例分析例1求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况． 四，展示题目。

（浙江专版）2018年高中数学第一章导数及其应用1.1.1-1.1.2 变化率问题导数的概念学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018年高中数学第一章导数及其应用1.1.1-1.1.2 变化率问题导数的概念学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1．1。

1&1。

1。

2 变化率问题导数的概念预习课本P2～6，思考并完成下列问题（1）平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？(2)瞬时变化率的定义是怎样的?如何求瞬时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？错误!1．函数y＝f（x)从x1到x2的平均变化率（1)定义式：错误!＝错误!.（2）实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．（3）意义:刻画函数值在区间［x1,x2]上变化的快慢．（4)平均变化率的几何意义:设A（x1，f（x1)）,B(x2，f(x2)）是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f（x）的平均变化率错误!＝错误!＝错误!为割线AB的斜率，如图所示．［点睛］Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点,即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正,也可以为负．2．函数y＝f（x)在x＝x0处的瞬时变化率定义式错误!错误!＝错误!错误!实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率［点睛Δx趋于0的距离要多近有多近，即｜Δx－0｜可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0。