高一第一学期数学-集合与命题

word第一章集合与命题一．集合：1． 概念及符号的使用.：集合、元素，属于，自然数集，整数集，有理数集，实数集，有限集、无限集；空集，列举法、描述法、子集，包含（包含于），图示法，文氏图，真子集，真包含（真包含于），、交集，并集，全集，补集。

2． ∈⊆，的比较：元素与集合间关系用,∈∉；集合与集合间关系用⊆⊇，类； 3． 交集，并集，补集的比较4． 关于子集的等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C 5． 集合的运算性质： ① A B =B A ，A B =B A② ()AB C =()A B C ， ()A B C =()A B C ③ ()U C A B =U U C A C B , ()U U U C A B C A C B =④AA A =A A A =A ∅=∅A A ∅=6．有限集的元素个数有限集A 的元素的个数记为card( A)，规定 card(φ) =0. 基本公式：（1）设有限集合A, card(A)=n,则(ⅰ)A 的子集个数为n2；(ⅱ)A 的真子集个数为12-n；(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n.（2）设有限集合A 、B 、C ，card(B)=m, card(A)=n ，m<n,则(ⅰ) 若A C B ⊆⊆,则C 的个数为mn -2；word(ⅱ) 若A C B ⊂⊆,则C 的个数为12--m n ；⑶容斥原理：card(A ∪B)= card(A)+card(B)- card(A ∩B)．二．四种命题形式及关系1． 概念：2.命题，真（假）命题 逆命题，否命题，逆否命题 等价命题2.一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：３．常用词语的否定：三．充要条件1．若α⇒β，则称α是β的充分条件，也即β是α的必要条件； 若α⇔β，则称α是β的充要条件；原命题 若p 则q 否命题若p 则q逆命题 若q 则p逆否命题若q 则p互逆 为 ? ? 互 否 逆 ? 互 逆 为 互 否互 逆 否互 否在讨论p 是q 的什么条件时，就是指以下四种之一： ①若p ⇒q ,但q ≠> p ，则p 是q 的充分但不必要条件； ②若q ⇒p ，但p ≠> q ，则p 是q 的必要但不充分条件； ③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ≠> q ，且q ≠> p ，则p 是q 的既不充分也不必要条； ★要点：看清题目问的是:谁是谁的什么条件2．子集与推出关系 ： 设A,B 是非空集合，A={}|x x α具有性质,B={}|y y β具有性质,则A ⊆B 与α⇒β等价。

高一集合与命题知识点在高中数学学科中，集合与命题是非常重要的知识点。

通过深入学习与理解这些知识，可以帮助我们更好地解决数学问题，并提高数学的应用能力。

本文将从集合和命题两个方面展开，介绍高一阶段的相关知识点。

一、集合集合是数学中最基础的概念之一，它是由若干个元素组成的整体。

在集合中，我们最常用的操作有并、交、差、补和集合的关系等。

下面将一一介绍这些操作：1. 并集：设有集合A和集合B，A和B的并集表示为A∪B，它包含了A和B的所有元素。

2. 交集：集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含了同时属于A和B的所有元素。

3. 差集：集合A和集合B的差集表示为A-B，它包含了属于A 但不属于B的所有元素。

4. 补集：集合A的补集表示为A'，它包含了不属于A的所有元素。

5. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。

在集合的基础上，我们还可以通过集合的运算来构建更复杂的集合，例如幂集和笛卡尔积：1. 幂集：设集合A的元素个数为n，那么A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。

幂集的元素个数为2^n。

2. 笛卡尔积：设有集合A和集合B，A和B的所有有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记作A×B。

除了基本的集合操作外，我们还需要了解集合的性质和定理，例如：1. 并、交、差的运算规律：结合律、交换律、分配律等。

2. De Morgan定律：对于任意两个集合A和B，有(A∪B)'=A'∩B'和(A∩B)'=A'∪B'。

通过深入学习集合的相关知识，我们可以更好地理解和应用相关的数学概念和方法。

二、命题命题是指能够判断真假的陈述句。

在数学中，我们经常要处理各种各样的命题，因此了解命题的基本性质是非常重要的。

1. 命题的逻辑联结词：命题可以通过逻辑联结词进行组合，常见的逻辑联结词有与、或、非、蕴含和等值等。

2. 命题的真值表：我们可以通过真值表来判断命题的真假，真值表是由逻辑联结词和命题变元构成的表格。

每= .x x为 .是 .的条是集))是 .合A_____________.集合有个： .x的集xz14. 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 （（ ））A ．c b c a b a -+-£-B ．a a a a 1122+³+C ．a a a a -+<+-+213D ．21³-+-ba b a三、解答题：（8+10++10+12=40分）１5. 若集合{}{}2230,,0,A x x mx x R B x x x n x R =+-=Î=-+=Î， 且{}3,0,1A B =- ，求实数,m n 的值。

16.已知集合},03{},,032{22R x x ax x B R x x x x A Î>+-=Î<--=1）当a =2时，求B A Ç2）若A B A =Ç，求实数a 的取值范围 .17.求满足2x y k x y +£+对任意,x y R +Î恒成立的实数k 的最小值，并说明理由18.已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =£<<³ 具有性质P ；对任意的(),1i j i j n £££，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++ ；（Ⅲ）当5n =时若 a 2=2,求集合A.一 、1.{2} 2.1.{2} 2.【【2,32,3））3. 若实数b a ,满足,7³+b a 则2¹a 或 3¹b ” 4.既不充分也不必要 5.x>4或 x<-3 6.)31,21(-- 7.)1,1()1,(-È--¥ 8.2± 9.{3,4,5,6,7,8} 9.{3,4,5,6,7,8} 10.7 10.7 {},,3,2,1n S Í若S a Î，则必有S a n Î-+1，则这样的S 有*212),12(12),2(12N k k n k n n n Î-=-=-+二 、11.D 12.D 13.C 14.D 三 、 15.}1,3{23}0,1{000},1,0,3{0-=Þ=ÞÎ-Þ=Þ=ÞÎÞÏ-=ÈÎA m A B n B A B A16.（1）A=(-1,3),a=2时B=R, B A Ç=A=(-1,3) (2) B A A B A ÍÛ=Ç①B=R 1210121>Þ<-=D Þa a ②{}B A x x B a a ÍÞ¹=Þ=Þ=-Þ=D 612101210③61009321<<Þïîïíì³>a a a④ÆÞïîïíì³-<09121a a ⑤a=0B={x|x<3} 综上可知：a ≥017. （Ⅰ）由于34´与43均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236´´´´都属于数集{}1,2,3,6，∴该数集具有性质∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵（Ⅱ）∵{}12,,n A a a a = 具有性质P ，∴n n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a £<<< ，∴n n n a a a >，故n n a a A Ï. 从而1n na A a =Î，∴11a =.∵121n a a a =<<< ， ∴k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n Ï= .由由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a Î= .∴12111na a a a a a ---+++=+++ . 时，有55,a a ==可知4a Î，得34a a =Î3a <=，∴34a a ==∴5342a a a a a a a a ====5是首项为。

高中一年级第一学期第1章集合和命题一、集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算二、四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系三、充分条件与必要条件1.5 充分条件, 必要条件四、逻辑初步（* 拓展内容）1.6 命题的运算五、抽屉原则与平均数原则（* 拓展内容）1.7 抽屉原则与平均数原则第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用课题一最大容积问题2.5 不等式的证明（拓展内容）第3章函数的基本性质3.1 函数的概念3.2 函数关系的建立课题二邮件与邮费问题课题三上海出租车计价问题3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质函数的零点（拓展内容）第4章幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数4.1 幂函数的性质与图像二、指数函数4.2 指数函数的图像与性质三、对数4.3 对数概念及其运算换底公式（拓展内容）四、反函数4.4 反函数的概念五、对数函数4.5 对数函数的图像与性质六、指数方程和对数方程4.6 简单的指数方程4.7 简单的对数方程课题四声音传播问题高中一年级第二学期第5章三角比一、任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比课题一用单位圆中有向线段表示三角比二、三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱导公式5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.6 三角比的积化和差与和差化积（拓展内容）三、解斜三角形5.7 正弦定理、余弦定理和解斜三角形课题二测建筑物的高度第6章三角函数一、三角函数的性质与图像6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像6.2 正切函数的性质和图像课题三制作弯管6.3 函数的图像函数的性质（拓展内容）二、反三角函数与最简三角方程（拓展内容）6.4 反三角函数6.5 最简三角方程第7章数列7.1 数列7.2 等差数列与等比数列7.3 等差数列与等比数列的通项公式7.4 等差数列的前n项和7.5 等比数列的前n项和雪花曲线（* 拓展内容）课题五组合贷款购房中的数学问题第8章数学归纳法8.1 归纳——猜想——证明8.2 数归纳法的应用。

高一第一学期数学知识点整理一、集合与命题1、集合及其表示法概念：集合元素的性质： ⑴ 确定性 ⑵ 互异性 ⑶ 无序性表示法：⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法注意：集合中的元素是确定的，各不相同的，注意最后的检验（有限集的互异性）。

2、集合之间的关系：⑴ 子集 ⑵ 相等的集合 ⑶ 真子集含有个元素的集合：有个子集，个真子集，个非空子集，个非空真子集。

n A n 212-n 12-n 22-n 注意：集合与元素的属于关系与集合之间的包含关系，两者不能混淆。

3、集合的运算：⑴ 交集 ⑵ 并集 ⑶ 补集两个重要转化：① ；② 。

⇔=A B A B A ⊆⇔=A B A A B ⊆注意：⑴ 认清集合，区分数集与点集的不同运算意义。

⑵ 集合运算注意分类讨论和数形结合思想，注意节点处的等号问题，不要忽视的存在φ如，别忘了可能是；，别忘了、可能是。

B A ⊆A φφ=B A A B φ4、命题的形式及等价关系四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题注意：⑴ 确定一个命题是真命题，就必须证明；确定一个命题是假命题，只要举反例。

⑵ 互为逆否命题的两个命题为等价命题，原命题与逆否命题同真（假），逆命题与否命题同真（假）5、充分条件，必要条件，充要条件如：推不出A,则A 是B 的充分非必要条件,A B B ⇒6、子集与推出关系：设是非空集合，=，=，B A ,A {}α具有性质a a B {}β具有性质b b 则与等价⊆A B βα⇒　二、不等式1、不等式的基本性质（8条性质）2、一元二次不等式的解法⑴ 一元二次不等式的解集与字母系数的关系。

⑵ 利用二次函数图像，解决一元二次不等式特殊解集（）的问题。

R ,φ 注意：开口方向与判别式∆⑶ 准确分类讨论，解含有字母参数的一元二次不等式。

注意： 在不等式变形时，如遇两边同除以字母系数时，一定要对字母分三种情况进行讨论。

0,0,0<=>3、其他不等式的解法⑴ 分式不等式注意：⑴ 解分式不等式时，移项通分，一般不直接去分母，特殊情况分母符号确定可以去分母⑵ 分母不为零，尤其是出现不等号时，注意解集的开闭不同。

高一数学必修 1第一章集合一、集合有关概念1.集合的含义:必然范围的、肯定的、可区别的事物，看成一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。

2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的肯定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方式：列举法与描述法。

注意：常常利用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方式。

{x∈R| x-3>2} ,{x|x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn图:4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无穷集含有无穷个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的大体关系1.“包括”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部份，；（2）A与注意：BB是同一集合。

反之: 集合A不包括于集合B,或集合B不包括集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:若是A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③若是 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④若是A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即CSA=},|{AxSxx∉∈且韦恩图示A B图1A B图2性质A A=AA Φ=ΦA B=B AA B⊆AA B⊆BA A=AA Φ=AA B=B AA B⊇ＡA B⊇B(CuA) (CuB)= Cu(A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= Φ．SA例题1.下列四组对象，能组成集合的是( ）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。

高一数学《集合与命题》基本概念与逻辑教案一、引言数学是一门需要逻辑思维和抽象概念的学科，而数学中的集合论和命题逻辑是数学思维的基石。

本教案旨在介绍高中一年级数学课程中的《集合与命题》章节，帮助学生掌握基本概念和逻辑推理方法，为后续数学学习打下坚实的基础。

二、集合的基本概念集合是数学中最基本的概念之一，它是由元素组成的整体。

在集合中，元素是指集合中的个体，可以是数字、字母、图形等。

学生需要了解如下概念：1. 集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。

2. 元素的特点：每个元素在集合中是唯一的，元素的顺序不影响集合。

3. 子集和真子集：一个集合的元素都属于另一个集合，则前者是后者的子集；同时，子集中至少有一个元素不属于父集，则前者是后者的真子集。

4. 交集、并集和差集：交集是指两个或多个集合共有的元素构成的集合；并集是指两个或多个集合中所有元素构成的集合；差集是指从第一个集合中去掉和第二个集合共有元素后剩下的元素构成的集合。

三、命题和逻辑运算1. 命题的定义：命题是陈述性句子，可以被判断为真或假。

2. 命题联结词：非、与、或、蕴含、等价等联结词的使用和推理规则。

3. 命题的真值表：通过真值表可以列出所有可能的情况，判断复合命题的真假。

4. 命题的合取范式和析取范式：将复合命题转化为逻辑表达式，方便推理和判断。

四、集合和命题的应用1. 集合和命题在数学证明中的应用：通过集合和命题的运用，可以简化数学证明过程，提高证明的严谨性。

2. 集合和命题在概率统计中的应用：使用集合和命题的方法，可以更加清晰地描述和分析随机事件和概率问题。

3. 集合和命题在算法设计和编程中的应用：集合和命题的逻辑推理方法有助于优化算法设计和编程过程，提高程序的效率和可靠性。

五、教学策略与方法1. 理论与实践相结合：通过讲解基本概念和运算规则的同时，引导学生进行实际的例题探究和思考。

2. 合作学习：通过小组合作学习和讨论，促进学生之间的合作、交流和思维碰撞，激发学生的兴趣和潜能。

人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习学案【学习目标】1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．【新知探究·夯实知识基础】1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且p⇒/qp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p [常用结论]1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B[学练结合]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题． ()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．()[解析](1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α≠1B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π4C[“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：tan α≠1，p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[x＜⇒/－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]5．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2 C．3D．4B[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]【题型探究·突破重点难点】题型一四种命题的相互关系及真假判断[题组集训]1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0 D[“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若1x＞1，则x＞1”的逆否命题B[对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若1x＞1，则x＞1”是假命题，则其逆否命题为假命题，故选B.]3．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是() A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福D[命题的等价命题就是其逆否命题，故选D.]4．“若m＜n，则ms2＜ns2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．2[原命题：“若m＜n，则ms2＜ns2”，这是假命题，因为若s＝0时，由m＜n，得到ms2＝ns2＝0，不能推出ms2＜ns2.逆命题：“若ms2＜ns2，则m＜n”，这是真命题，因为由ms2＜ns2得到s2＞0，所以两边同除以s2，得m＜n，因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题和否命题的真假相同，所以真命题的个数是2.]1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分、必要条件的判断(多维探究)【例1】(1)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)B(2)A[(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则ba＝dc，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则ab＝cd，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由N M知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件，故选A.][规律方法]充分条件和必要条件的三种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p 推结论q ，由结论q 推条件p ；③确定条件p 和结论q 的关系.(2)等价转换法：对于含否定形式的命题，如﹁p 是﹁q 的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q 是p 的什么条件.(3)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”应是“q 推出p ，而p 不能推出q ”.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x ＞1或x ＜－3，条件q ：5x －6＞x 2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)由x 3＞8可得x ＞2，从而|x |＞2成立，由|x |＞2可得x ＞2或x ＜－2，从而x 3＞8不一定成立．因此“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分而不必要条件，故选A.(2)由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，即q ：2＜x ＜3.所以q ⇒p ，pq ，从而q 是p 的充分不必要条件． 即p 是q 的充分不必要条件，故选A.]题型三 充分、必要条件的应用(多维探究)【例2】 (1)设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A ．－1≤k ＜3B ．－1≤k ≤3C ．0＜k ＜3D ．k ＜－1或k ＞3(1)A (2)C [(1)由(4x －3)2≤1得12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1，由x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0得m ≤x ≤m ＋1，即q ：m ≤x ≤m ＋1.由p 是q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，从而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1{x |m ≤x ≤m ＋1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤12m ＋1≥1，解得0≤m ≤12，故选A.(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是|1－k |2＜2，即－1＜k ＜3. 故所求应是集合{k |－1＜k ＜3}的一个子集，故选C.][规律方法] 利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.数m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[－1,2](2)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.(1)A (2)3或4 [(1)由题意知(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选A.(2)当Δ＝16－4n ≥0，即n ≤4时，方程x 2－4x ＋n ＝0的两根为x ＝4±16－4n 2＝2±4－n .又n ∈N *，且n ≤4，则当n ＝3,4时，方程有整数根．]人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习检测一、选择题1．“a<0，b<0”的一个必要条件为()A．a＋b<0B．a－b>0C.ab>1 D．ab<－12．已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．命题p的逆命题是“若x<2ab，则x<a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”3．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的() A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．45．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是() A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a<bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a>bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a>b6．等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．对于实数x，y，若p：x＋y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC ⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．②④10．已知命题p：|x＋1|>2；命题q：x≤a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a 的取值范围是()A．(－∞，－3) B．(－∞，－3]C．(－∞，1) D．(－∞，1]11．“x<m－1或x>m＋1”是“x2－2x－3>0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．[0,2]B．(0,2)C．[0,2) D．(0,2]二、填空题12．命题“若x2－x≥0，则x>2”的否命题是___________________________．13.设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．14．有下列几个命题：①“若a>b，则1a>1b”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．15．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．16．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习检测解析一、选择题1．“a<0，b<0”的一个必要条件为()A．a＋b<0B．a－b>0C.ab>1 D．ab<－1【答案】A【解析】若a<0，b<0，则一定有a＋b<0.故选A.2．已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．命题p的逆命题是“若x<2ab，则x<a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”【答案】C【解析】命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”，故C正确，D错误．3．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的() A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函数f(x)为奇函数，例如f(x)＝x2.故选A.4．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．4【答案】C【解析】当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题的个数为2.5．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是() A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a<bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a>bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a>b【答案】C【解析】根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是：若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<b.故选C.6．等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设等比数列{a n}的公比为q.若a1<a3，∴a1<a1q2，∴q2>1，若q<－1，则a3＝a1q2>0，a6＝a1q5<0，∴a3<a6不成立；若a3<a6成立，则a1q2<a1q5，又a1>0，∴q3>1，∴q>1，∴a1<a3成立，综合可知，“a1<a3”是“a3<a6”的必要不充分条件．故选B.7．对于实数x，y，若p：x＋y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于命题“若x＝3且y＝1，则x＋y＝4”为真命题，可知该命题的逆否命题也为真命题，即p⇒q.由x≠3或y≠1，但x＝2，y＝2时有x＋y＝4，即q⇒/p．故p是q的充分不必要条件．故选A.8．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC ⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．②④【答案】D【解析】一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理知④为真命题．10．已知命题p ：|x ＋1|>2；命题q ：x ≤a ，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 【答案】A【解析】命题p ：|x ＋1|>2，即x <－3或x >1.∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，∴{x |x ≤a }{x |x <－3或x >1}，∴a <－3.故选A. 11．“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．[0,2)D ．(0,2] 【答案】A【解析】由x 2－2x －3>0得x >3或x <－1.若“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则⎩⎨⎧m ＋1≤3，m －1≥－1且等号不同时成立，即0≤m ≤2.故选A.二、填空题12．命题“若x 2－x ≥0，则x >2”的否命题是___________________________．【答案】若x 2－x <0，则x ≤2【解析】命题的否命题需要同时否定条件和结论，则命题“若x 2－x ≥0，则x >2”的否命题是“若x 2－x <0，则x ≤2”．13.设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．【答案】必要不充分【解析】因为甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒/ 甲；又因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；又因为丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁⇒/ 丙；故甲⇒丁，丁⇒/ 甲，即丁是甲的必要不充分条件．14．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b ”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【答案】②③【解析】①中原命题的否命题为“若a≤b，则1a≤1b”，为假命题；②中原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；③中原命题为真命题，故逆否命题为真命题．15．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．【答案】[3,8)【解析】因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．16．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．【答案】(－∞，0]【解析】α可看作集合A＝{x|x≥a}．∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又α是β的必要不充分条件，∴B⊆A，∴a≤0.。

高一数学集合与命题经典例题A．一定为真命题B．一定为假命题C．可能为真命题，也可能为假命题D．无法确定4．已知命题“若a+b=0，则a=-b”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真5．下列命题中，正确的是①“若两角互补，则它们的差为90°”的逆命题②“若两角互补，则它们的和为180°”的逆命题③“若a，b是有理数，则a+b也是有理数”的逆命题④“若a+b是有理数，则a，b都是有理数”的逆命题A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．已知命题“若两条直线相交，则它们的交点是唯一的”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真二、简答题（每小题4分，共16分）1．举例说明命题、命题的真值、命题的复合、命题的否定、命题的逆命题、命题的逆否命题的概念，并以“若x是偶数，则x+2也是偶数”为例说明它们之间的关系。

2．举例说明命题的充分性和必要性的概念，并以“若一条直线平行于平面内一直线，则它在该平面内平行于该直线的任一直线上”为例说明。

3．举例说明命题的等价命题的概念，并以“两角互补当且仅当它们的正弦值的和为1”为例说明。

三、计算题（每小题6分，共18分）1．设a，b是有理数，且a+b是无理数，证明：a，b中至少有一个是无理数。

2．已知x，y∈R+，证明：(x+y)(1/x+1/y)≥4.3．已知x，y∈R+，且x+y=2，求证：(1+x)(1+y)(1+xy)≥8.选项A、B、C、D中只有一个是真命题。

答案：C改写后：这四个命题中只有一个是真命题，分别为原命题、逆否命题、否命题、逆命题。

第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()A C B UA A U U U ==∅=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)例题讲解1.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 ( )答案 B解析 由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.2.设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U AB =ð( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x > 答案 B解析 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B =ð{|01}x x <≤3.（北京文）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<答案 A解析 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运 算的考查∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤， ∴{12}AB x x =-≤<，故选A.4.(山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4 答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 5.（全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )=( ) A.{5，7} B.{2，4} C. {2.4.8} D. {1，3，5，6，7} 答案 C6.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 答案 B解析 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 7．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-答案 C8．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝答案 D解析 {}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D 。

高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。

2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。

3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。

例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。

4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合。

6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。

在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。

二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。