幂的运算与整式的乘除

业精于勤而荒于嬉， 行成于思而毁于随。

1 （新课）第五讲：整式的乘除（一）---幂的乘法运算一、知识点讲解1．幂的有关概念将下列乘法算式改写成乘方的形式：（—3）×（—3）×（—3）=_______，它的底数是____,指数是___，读作______________；52×52×52×52=_______； 522222⨯⨯⨯⨯=___________ 2．同底数幂的乘法法则:m n m n a a a +⋅=（m 、n 都是正整数）．这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．3．幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘． 4．幂的乘方法则()nm mn a a =（m 、n 都是正整数），这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘． 5．积的乘方的意义积的乘方是指底数是乘积形式的乘方． 6．积的乘方的法则()nn n ab a b =（n 为正整数），这就是说积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．二、典型例题讲解例1 计算（1）32)2(- (2)()my x 33(3)()()()268432y x yx ⋅-+ （4）932])([a a a ⋅-（5）)()()(2为正整数n a ab b a nn n ⋅+ （6）2222)2()2(n mn mn ⋅--变式练习：业精于勤而荒于嬉， 行成于思而毁于随。

2 (x 3)2 ·x 5＝ (-x 3)2＋(-x 2)3＝ 221()3ab c -=________ 23()n a a ⋅=_________.()23x = 221()3ab c -=________ 322⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x =n y 24⎪⎭⎫ ⎝⎛= -(2x 2y 4)3＝________ []=-322)(ax 4231⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ = 1001001()(3)3⨯-=_________.例2、①已知32=x，求32+x 的值； ②已知105,106a b==，求2310a b+的值。

《整式的乘除与因式分解》四大知识点归纳 第一类、幂的运算法则:同底数幂的乘法 a m a n =a m+n幂的乘方 （a m )n =a m n积的乘方 (a b)n = a n b n同底数幂的除法 a m ÷ a n =a m+n (a ≠0,m 、n 为正整数，m ﹥n ） 零指数幂 a 0 = 1（a ≠0）负指数幂 a – p = p a1 (a ≠0 ,p 为正整数) 第二类、整式的乘、除法整式的乘法1.单项式乘以单项式法则 单项式和单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数一起作为积的一个因式。

2。

单项式乘以多项式法则 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即m(a+b+c)=ma+mb+mc3.多项式乘以多项式法则 多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即（a+b) （m+n) = am + an + bm +bn 整式的除法1。

单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式 ，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

2．多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 （am+bm ）÷m = a + b第三类、乘法公式平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。

即（a+b ）（a – b ） = a 2 – b 2完全平方公式 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。

即（a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a —b)2=a 2—2ab+b 2第四类、因式分解：1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2.方法①提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．②运用公式法：把乘法公式逆运用，可以把某些类型的多项式因式分解,这种方法叫公式法。

期末复习---幂的运算性质和整式的乘除一 知识要点：一）幂的运算性质1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．n m a a ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 2、幂的乘方，底数不变，指数相乘mn n m a a =)( （m 、n 为正整数）．3、积的乘方等于各因式分别乘方的积．再把所得的幂相乘。

（n 为正整数） 4、同底数幂的除法同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减公式：a m ÷a n =a n m -（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）5、（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1。

公式：a 0=1（2）任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

公式：a p -=pa 1 二）整式的乘法1.单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减】2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a (m+n+p)=a m+a n+a p .【注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号.本质是乘法分配律。

】3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想.(a +b)(m+n)=(a +b)m+(a +b)n=a m+bm+a n+bn .计算时是首先把(a +b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算.【温馨提示】 1.在单项式(多项式)乘以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．()n n n b a ab =2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．多项式与多项式相乘中，展开式的项数与两个多项式的项数的积相同，不要漏项．三）、整式的除法1.单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

幕的运算法则及整式的乘除、知识提要幕的运算法则：a m a n = a m+n (a m ) n = a mn (ab) n = a nb n a m F n = a m-n二、专项训练【板块一】幕的运算法则的应用1. 下面计算中，正确的是() A. (-2mn)3=-8m 3n 3B. (m+n)3(m+ n)2=m 5+n 5C.-(-a 6 7b 2)3=-a 9b 6D. ( - a 4b)2 - a 6b 2 3 62. -(-2ab 3)2= __________10n 10000 10n-2= _________ (n 为大于 2 的整数)若 3x 9x 27x =96,贝U x= _______3. 若 n 为整数，x 2n =2，则(3x 3n ) 2-4(x 2) 2n 的值是(C . 48D . 56 4. 数3555, 4444, 5333的大小关系是()A. 3555<4444<5333B. 4444<3555<5333 5 若 m=-2，贝U -m 2 (-m)4 (-m)3 的值是 _____ .6 若x , y 互为相反数且都不等于0, n 为正整数，贝U 下列各组中互为相反数的是()A.x n 和 y nB.x 2n 和 y 2nC.x 2n x 和 y 2" y7 2(4a 5) 2 (a 2) 2-(a 2)4 (a 3) 2 (2) 1234 1 \12312)A . 282C. 5333<4444<3555D. 5333<3555<4444D.x2n-1和- y2n-18. ________________________________________________ 已知 2012m =a , 2012n =b,则 20123m+2n = _________________________________________________已知 2m+5n=3,则 4m 32n = _____________________已知 a m+n =10, a n =2,则 a m = ; 【板块二】整式的乘除9. 若(a m+1b n+2)(評1 b)=a 5b 3，求 m+n 的值.10. [x(x 3y 2)2-2(x 2y)3+3] (-xy 2)3=討 4y2) (2xy2)2=(_c 3)2n ^c n-1= ____________ ；(2x n y 2n )3讯-xy)2n = ____________ (n 为正整数)；(54x 2y-108xy 2-36xy)十 18xy)= __________ .11. 已知有理数 a,b,c 满足 |a-b-3|+(b+1)2+|c-1|=0,则(3ab) (a 2c 6b 2c)的值 为 _________ .12. 已知计算(2-nx+3x 2+mx 3) (-4x 2)的结果中不含x 5项，那么m 应等 于13. 已知x 2+mx+8与x 2-3x+n 的积中不含x 3项与x 项,贝U m= ________ , n= ________ .【板块三】拓展拔高已知 x m =5, x n =9,则 x m+n = m-n X = ___________若 x m =4, x n =3,则 x 3n = ________ m+2n,x = ___________14.当a=-1 时，[（-丄）2a5]3a7等于（）2A.-B.丄C. 1D. 14 64 3 6415. (-x2y m) 2(kx n+1y) =-2x6y3,则(k m) n等于（)A. -2B.2C. 4 D -416.若(2x-1)6=a o+a i x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6则a o+a i+a2+a3 +a4+a5+a6= , a o+a2+a4+a6= ________ .。

二.代数式的运算（一）整式的运算：●整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.整式的乘除●幂的运算1.概念：负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数2.运算：注意：1）底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了.2）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1●整式乘法：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：●因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：十字相乘法： 探索：阅读理解。

（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=②（x+3）（x-1）=（2）归纳、猜想后填空：（x+a ）（x+b ）= +（＿＿＿＿＿）x+＿＿＿＿＿（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m ）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x 2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿第一部分：幂的运算例题：考点1．幂的运算法则例1． 计算（1）26()a a -⋅； （2） 32()()a b b a -⋅-； （3）12()n a +；（4）2232⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+ 变式 计算（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-； （3）41n n a a ++÷；考点2．幂的法则的逆运算例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值； （2）比较55544433334,5，的大小（3）计算：2013201253()(2)135⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值变式1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；2．已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷c b n 的值。

整式的乘除--幂的运算经典例题练习整式的乘除——幂的运算经典练题一、同底数幂的乘法1.若 $a^3=a$，则 $m=2$。

2.若 $a^m=2$，$a^n=3$，则 $a^{m+n}=6$。

3.$-t\times(-t)\times(-t)=-(t^3)$。

4.已知 $x^{m-n}\times x^{2n+1}=x^{11}$，$y^{m-1}\times y^4=y^7$，则 $m=8$，$n=3$。

5.已知 $n$ 是大于 $1$ 的自然数，则 $(-c)^{n+1}\times (-c)=(-c)^{2n+1}$。

二、幂的乘方1.$a^4b^2=2^2\times (-3)^2$，则 $a=2$，$b=-3$。

2.$(-x^k)^{-1}=(-x)^k$。

3.$-(xy^2z^3)^2=-x^2y^4z^6$。

4.若 $a^x=2$，则 $a^{3x}=8$。

三、积的乘方1.$2(-8ab^3)=-16ab^3$。

2.$-(4x^2y)^2=-16x^4y^2$。

3.$-(abc^2)^3=-a^3b^3c^6$。

4.$11(-0.25)\times 4^1=11$。

5.$-\times (-0.125)^{2019}=.25$。

四、同底数幂的除法1.$(-a)^4\div (-a)=a^3$。

2.$\dfrac{x^{n+2}}{x^2}=x^{n}$。

3.若 $5^k=3$，则 $k=2$。

4.计算错误的是 $(\dfrac{-c^4}{-c^2})=c^2$。

五、幂的混合运算1.$(\dfrac{-3a^3-3a^2}{a^2})-(\dfrac{a^2+2a}{a^2})= -4a-3$。

2.$-2(x^3)^4+x^4(x^4)^2+x^5\times x^7+x^6(x^3)^2=-2x^{12}+x^{12}+x^{12}+x^{12}=2x^{12}$。

3.$32m\times 9m\times 27=8748m^3$。

幂运算及整式乘除知识点总结一、幂运算1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

公式：n m n m a a +=•a (m 、n 都是正整数）2、同底数幂的乘方，底数不变，指数相乘。

公式：mn n a a =)(m (m 、n 都是正整数）3、积的乘方：积的每个因式都乘方，再把所得的幂相乘。

公式：nn n b a =)ab (（n 为正整数）4、同底数幂相除，底数不变，指数相减。

公式：n m n m a a -=÷a (a ≠0,m 、n 都是正整数,并且m >n ） 正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：等。

经典例题全解：（同底数幂的乘法）题型一：底数是和、差或其他形式的幂相乘比如例1：53232)()()()x (y x y x y x y +=+=+•++本题应用了整体的数学思想，把（x+y ）看作一个整体，从而利用法则进行计算。

题型二：同底数幂乘法法则的逆运用比如例2：已知m a =2，n a =3，求：n m +a当要求值的幂的指数是“和”的形式时，考虑逆运用法则--相当于拆分成同底数幂乘法。

632a a a n m =⨯=⋅=+n m题型三：同底数幂乘法法则的应用比如例3：（1）已知m 3=5，求23+m 的值；（2）若=++-=•-12,2422m m x x x m m 求？等式两边都可以转化为幂的形式时，如果两边的底数相同，那么它的底数也相同！题型四：几种幂的综合运算比如例4：计算：（1）x x x x x x •--+••2433243)2()(；（2）7233323)5()3()(2a a a a a •-+•；（3）a b a b a b a x x x x )()()(3232-•+-•--+ 注意区分同底数幂的乘法和幂的乘方两种不同运算，注意负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，同时注意运算顺序。

题型五：幂的运算性质的逆运用比如例5：若n n m 3m 2n m 33,33,93++==，求的值。

一、知识点归纳： （一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。

⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。

《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。

第十一节 幂的运算与整式的乘法【讲点1】同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方【例1】下列各式中，计算正确的是（ ）A.246m m m ⋅=B.426m m m +=C.248m m m ⋅=D.4442m m m ⋅=（2014江岸区期末）【题意分析】幂的运算包括三种：同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，它们都是整式的运算的基础，即 m n m n a a a +⋅=；()n n n ab a b =；()m n mn a a =；[()]()m n mn a b a b +=+.正用、反用、活用以上性质是学习的关键.解答过程：解题后的思考：___________________________________________________________________【例2】计算3(2)a ，其正确的结果是（ ）A.38aB.36aC.8aD.6a （2014武汉二中广雅中学期末）解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________.【例3】计算：23()a b =____________.（2014江汉区期末）【练1.1】①43a a a ⋅⋅=_________________;②35()()()x x x -⋅-⋅-=________;③221m m x x +⋅=______.【练1.2】若m 为正整数，在①22()m m a a =；②22()m m a a =；③22()m m a a -=；④22()m m a a -=；⑤2()()m m m a a a -⋅-=中，等式成立的个数是（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个【练1.3】234[()]ab -=___________.【练1.4】计算：011)2--=_________.【讲点2】逆运算【例4】已知25,a =23b =，求32a b ++的值.解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________.【题意分析】要灵活掌握幂的运算，并运用逆运算解题.【练2.1】计算：2001200453()(2)135⋅=_____________. 【练2.2】若23n a =，则32()n a =_________.【练2.3】若2×28(4)n n ⋅=256，试求n 的值.【讲点3】整式的乘法【例5】下面计算正确的是（ ）A.236326a a a ⋅=B.2223412x x x ⋅=C.3515248a a a ⋅=D.2353515a a a ⋅=解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________.【题意分析】运用多项式乘以多项式法则进行计算时应注意：（1）不重不漏；（2）符号问题；（3）合并同类项.【例6】计算2(3)(251)x x x -⋅--的结果是（ ）A.326153x x x ---B.326153ax x x -++C.32615x x -+D.326151x x -+-【例7】计算(1)(1)a a +-+1 （2014武昌区期末）解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________.【练3.1】计算：（1）231()(4)2xy x y ⋅-; （2）2212()2xy x y xy ⋅-;（3）23(2)(3)(315)t t t ---+.【练3.2】化简：（1）22(2)(3)ab ab -⋅-; （2）22223[()2()]3ab ab b a ab ---.【例8】计算310(5)ab ab ÷-的结果为（ ）A.－2B.－22bC.22abD.22b （2014武汉二中广雅中学期末）解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________.【题意分析】整式的乘除法互为逆运算，计算时要注意符号、项数等细节.【例9】计算：32(1263)3a a a a -+÷ （2014江汉区期末）解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________.【练4.1】（1）2(12)(3)m m ÷=____________;（2）352320(5)x y z x y ÷-=___________;（3）53(2)(2)ab ab ÷=_________; （4）32(64)(2)m m m -÷=______________;（5）3222(72)()33y y y y -+÷-=_________________.【讲点5】面积类问题【例10 】如图，设k =甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积0)a b >>（，则有（ ） A.k ＞2 B.1＜k ＜2 C.12＜k ＜1 D.0＜k ＜12 （2014武昌区期末） 【题意分析】运用整式乘除法解决实际问题，注意边长的表示.乙甲ba a ab ba解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________.【练5.1】 魏明家新购一套结构如图的住房，正准备装修.（1）试用代数式表示这套住房的总面积.（2）若x =2.5m ,y =3m ,则装修客厅和卧室至少需要准备多少面积的木地板？【练5.2】小张永买了一部电视机，电视机的长为xcm ,宽为ycm ,屏幕外边缘长的方向厚度为8cm ,宽的方向厚度为4cm ，如图，试求屏幕的面积.（用含x ,y 的式子表示）【考点与课堂练习】1.下列运算正确的是（ ）A.23a a a ⋅=B.235()a a = C.22()a a b b = D.33a a a ÷=（2014江汉区期末） 2.计算24(231)a a a -+-的结果是（ ）A.328124a a a -+-B.328121a a --+C.328124a a a --+D.328124a a a -+3.如果(1)a b ++(1)a b +-=63，且a +b ＜0,那么a +b 的值为__________.（2014江岸区期末）4.计算：（1）5210x x x -⋅⋅； （2）983(2)(2)(2)--⋅-；（3）625372a a a a a a ⋅+⋅-⋅； （4）236()()a a a -⋅-⋅；（5）32(1)(1)(1)a a a -⋅-⋅-； （6）()a b c --2()b c a +-3()c a b -+.5.计算：（1）233223()()()a a a ⋅-⋅-； （2）23325(y )(y )y y +-⋅；（3）233224()()a a a a -+--； （4）2324[()][()]a b a b +⋅+；（5）65a a a -⋅⋅+345()a 3323()a a a -⋅⋅.6.计算：（1）22223(2)(2)a b a b -⋅-； （2）2322(2)8()x y x -+23()()x y ⋅-⋅-；（3）32327(3)(4a)a a a -⋅+-⋅33(5)a -.7.计算：（1）232(2)()a ab ab ⨯-⨯-； （2）233321()(2xy )2xy z -⋅；（3）2231(2)()()3m n mn m n +--.8.计算：（1）3(21)a a -； （2）223(2)()x y xy -；（3）222243()(0.6)32a b a ab b -+-； （4）3212[2()]43ab a a b b --+；（5）323()(2)a ab -⋅-254314(75)2ab a b ab -⋅--.9.计算：（1）(2)(2)a b a b +-； （2）2()a b +；（3）()(2)a b a b +--(2)()a b a b +-； （4）25(21)x x x ++(23)(5)x x -+-.10.计算：（1）422222()()x x x x ÷÷-； （2）342228(4)x y x y ÷-；（3）66524(12)(3)m n p m n p ÷-324(2)m n p ÷-；（4）22222(6)253mn mn n n -+÷；（5）3334311(22)()82x y x y x y x y -+÷-.11.（1）如果三角形的底边为（3a +2b ）,高为（22964a ab b -+），则面积等于________________.（2）如图，在矩形ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依据图中标注的尺寸大小，则图中空白部分的面积等于____________.12.已知33m a =，32n b =，求233242()()m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值.13.若5()()()m n x y y x x y +⋅+=+，且55()()m n x y x y +--⋅-9()x y =-，求n n m n 的值.14.比较大小：（1）2516与902； （2）1002与753.15.若规定a b c dad bc =-，求14x x x x -+.16.请先阅读下列解题过程，再解答问题. 已知210x x +-=，求3223x x ++的值. 解：3223x x ++=3223x x x x x +-+++ =2(1)x x x +-+2(1)4x x +-+=0+0+4=4.如果说1+23x x x ++=0，求234x x x x +++567x x x +++8x +的值.17.已知5210a b ==，求11a b +的值.【课后反馈】1.计算：（1）234()x x ⋅-； （2）2225(4)a b c ab ÷-. （2014江岸区期末）2.计算：（1）233223()()()a a a ⋅-⋅-； （2）2213a b c ⋅2234(9)(2)a b a c ab --⋅-；（3）2212()2a ab b -+225()a a b ab --； （4）22221(36)(2)()3a b ab ab a b a +--；（5）349253m m m m ⋅-÷；（6）2324111()426a b a b a b ---21()2a b ÷-；（7）2[(23)(23)(3)]xy xy xy xy +-++÷.3.若2x +5y －3=0,求432x y ⋅的值.4.求如图所示的物体的体积（单位：cm ）.。

幂的运算整式乘除的题目（实用版）目录1.幂的运算基本概念2.整式乘除的定义和规则3.整式乘除的实际应用4.整式乘除的解题技巧5.总结与展望正文一、幂的运算基本概念幂的运算是代数学中的一种基本运算，主要涉及幂的乘方和幂的乘法。

在代数学中，幂的乘方可以表示为一个数的某个整数次幂，例如：a^2 表示 a 的 2 次幂。

幂的乘法则是指将一个数与另一个数的幂相乘，例如：a^2 * a^3 表示 a 的 2 次幂与 a 的 3 次幂相乘。

二、整式乘除的定义和规则整式乘除是代数学中的一种基本运算，它是指将两个或多个整式相乘或相除。

整式乘除的规则主要包括以下几点：1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2.幂与幂相乘，底数不变，指数相加。

3.整式乘法中，同类项相乘，系数相乘作为新系数，字母和字母的指数不变。

4.整式除法中，除数不能为 0，同时要保证除式中不含有未定义的项。

三、整式乘除的实际应用整式乘除在代数学中有广泛的应用，它不仅可以用于解决一些基本的数学问题，还可以用于解决一些实际问题。

例如，在物理学中，整式乘除常常用于计算力的合成、速度的合成等。

在化学中，整式乘除常常用于计算化学反应的平衡常数等。

四、整式乘除的解题技巧整式乘除的解题技巧主要包括以下几点：1.熟练掌握整式乘除的规则，特别是同类项相乘和除数不能为 0 的规则。

2.在进行整式乘除时，要先确定各项的类型，然后再进行运算。

3.在进行整式乘法时，可以先提取公因式，然后再进行运算。

4.在进行整式除法时，可以先尝试将除数分解因式，然后再进行运算。

五、总结与展望整式乘除是代数学中的一种基本运算，它对于理解代数学的基本概念和解决实际问题都具有重要的意义。

北师版七下数学第一章《整式的乘除》幂的运算与乘法公式学习中的技巧性问题探究学习幂的运算性质应注意的几个问题幂的运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．在学习中应注意以下问题．1．注意符号问题例1判断下列等式是否成立：①(-x)2＝-x2，②(-x3)＝-(-x)3，③(x-y)2＝(y-x)2，④(x-y)3＝(y-x)3，⑤x-a-b＝x-(a+b)，⑥x+a-b＝x-(b-a)．解：③⑤⑥成立．以上六个等式，是否成立？为什么？这些都应分析清楚．所有这些问题的解决，对今后的学习是否能够顺利进行，都有着重要的意义．2．注意幂的性质的混淆例如：(a5)2＝a7，a5·a2＝a10．产生这样错误的原因是对运算性质发生混淆．只一般地纠正错误是不能彻底解决问题的，有必要从乘方的意义以及性质是怎样归纳得出的，找出产生错误的根源．3．注意幂的运算性质的逆用四个运算性质反过来也是成立的．有创新精神的学生在解题时逆用性质，但大部分学生不会逆用性质或想不到，能正反灵活地运用幂的运算性质会给解题带来很大的帮助．例2已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．解：103m+2n＝(10m)3×(10n)2＝43×52＝1600．例3试比较355，444，533的大小．解：∵355＝(35)11＝24311，444＝(44)11＝25611，533＝(53)11＝12511，而125＜243＜256，∴533＜355＜444．4．注意幂的意义与幂的运算性质的混淆例如：比较234与243的大小．错解：∵234＝212，243＝212，∴234＝243．产生错误的原因是：对幂的意义与幂的乘方混淆不清，教师要弄清幂的意义．并与幂的性质进行比较．例4已知a＝234，b＝243，c＝324，d＝432，e＝423，则a、b、c、d、e的大小关系是()(A)a＝b＝d＝e＜c．(B)a＝b＝d＝e＞c．(C)e＜d＜c＜b＜a．(D)e＜c＜d＜b＜a．解：a＝234＝281，b＝243＝264，c＝324＝316，d＝432＝49＝218，e＝423＝48＝216．而216＜218＜316＜264＜281．∴e＜d＜c＜b＜a．故应选(C)．你会巧用幂的运算法则吗？幂的运算法则是进行整式乘除的基础，在应用中，如能注意以下技巧，常可获得妙解．一、化成同底数幂进行计算例1若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．解：∵2m＝x-1，∴y＝3+4m＝3+22m．＝3+(2m)2＝3+(x-1)2＝x2-2x+4．二、化成同指数幂进行计算例2比较3555、4444、5333的大小；解：∵3555＝35×111＝(35)111＝243111，4444＝44×111＝(44)111＝256111，5333＝53×111＝(53)111＝125111，又256＞243＞125，∴5333＜3555＜4444．例3如果a≠0，b≠0且，(a+b)x＝(a-b)y，(a+b)y＝(a-b)x成立，那么x+y的值是_____．(A)0．(B)1．(C)2．(D)不能确定．解：将已知两等式相乘有(a+b)x+y＝(a-b)x+y．又a≠0，b≠0，∴a+b≠a-b，要使(a+b)x+y＝(a-b)x+y成立，只有x+y＝0，所以选(A)．三、化成已知幂的形式进行计算∴53x+2y＝53x·52y＝(5x)3·(5y)2比较大小A＝1998+1997×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997B＝19981998试比较A与B的大小．分析：(1)把A化简成B．∵1998+1997×1998＝1998×(1+1997)＝19982，这样反用乘法分配律，使1998的指数逐次增加1，和后面再反用乘法分配律，最后就化简成B．(2)把B化成A∵19981998＝1998×19981997＝(1+1997)×19981997＝19981997+1997×19981997这是仅用同底数幂的性质，应用乘法分配律，把此过程继续下去就可由B 得到A．解：方法一A＝1998+1997×1998+1997×19982+…+19981996+1997×19981997＝1998(1+1997)+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝19982+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝19982(1+1997)+…+1997×19981996+1997×19981997＝19983+…+1997×19981996+1997×19981997＝……＝19981996+1997×19981996+1997×19981997＝19981996(1+1997)+1997×19981997＝19981997+1997×19981997＝19981997(1+1997)＝19981998∴A＝B方法二B＝19981998＝1998×19981997＝(1+1997)×19981997＝19981997+1997×19981997＝1998×19981996+1997×19981997＝(1+1997)×19981996+1997×19981997＝19981996+1997×19981996+1997×19981997＝……＝19982+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝1998×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝(1+1997)×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝1998+1997×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997∴A＝B求值已知：3a·5b·7c·19d+1＝1996，其中a，b，c，d都是自然数，计算：(a+b-c-d)1996之值．分析：∵3a·5b·7c·19d+1＝1996∴3a·5b·7c·19d＝1995．因为3、5、7、19是互质数，所以a、b、c、d的值是唯一确定的，只须把1995分解质因数．1995＝3×5×7×19∴a＝b＝c＝d＝1．此题可解解：∵3a·5b·7c·19d+1＝1996∴3a·5b·7c·19d＝1995∵1995＝3×5×7×19∴a＝b＝c＝d＝1∴(a+b-c-d)1996＝(1+1-1-1)1996＝01996＝0在“整式乘除”教学中培养学生逆向思维义务教育数学教学大纲明确指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心”在初中数学教学中主要是发展学生的逻辑思维能力，包括培养学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理，会准确地阐述自己的思想和观点；形成良好的思维品质．本文仅就在“整式乘除”一章的教学谈谈自己培养学生逆向思维的点滴做法，不妥之处请专家同行指正．在整式乘除运算中，有的运用幂的运算性质运算，有的运用乘法公式运算，大量习题都是直接套用公式计算，但有一部分如果直接运用公式不仅计算很繁，而且很难计算正确．如果把公式反过来使用，就会化繁为简、化难为易．一、在幂的运算性质教学中培养学生逆向思维1．同底数幂乘法与同底数幂除法互为逆运算．例1与a n b 2的积为3a 2n+1b 2n+1的单项式是______．例2如果M ÷3xy ＝－91x n +1＋181，则M ＝．例1是已知积和其中一个因式，求另一个因式；例2是已知除式和商式求被除式，这时可利用乘法与除法的互逆来解答．例3已知2a ＝3，2b ＝5，求2a +b ．本题如果想先求出a 、b 的值，再代入2a +b 中求值，是很难办到的，初一学生无法进行，但若将同底数幂乘法的性质反过来用，就得到2a +b ＝2a ·2b ，这样问题就迎刃而解了．2．积的乘方与幂的乘方性质的逆用．例4计算（－3）1995×（31）1997观察两个幂的底数，－3和31呈互为负倒数关系，积为－1，于是可联想到将积的乘方的性质逆用，但两个幂指数又不一样，怎么办呢？再将同底数幂乘法性质逆用一次，得到（－3）1995×（31）1995×（31）2，这样问题就解决了．该题在学习整式除法这一内容后，还可将负指数幂的性质逆用，也可得解．＝-31995·(3-1)1997＝-31995·3-1997＝-3-2平方差公式与完全平方公式一、公式透析平方差公式：22))((b a b a b a -=-+特点是相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。

第十四章 整式的乘法与因式分解第19讲 整式的乘除知识导航1．幂的运算：同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方；2．整式的乘法：单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式；3．整式的除法：单项式除以单项式，多项式除以单项式，多项式除以多项式【板块一】幂的运算运算法则：（1）同底数幂相乘：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．（2）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，用式子表示为：()n m mn a a =（m ，n 都是正整数）．（3）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用式子表示为：()n n n ab a b =（n 都是正整数）．（4）同底数幂相除：同底数的幂相除，底数不变，指数相减，用式子表示为：m n m n a a a -÷=（m ＞n ）（5）规定：01a =（a ≠0），零的零次幂无意义．（6）负整数幂的运算法则：1n na a -=（n 是正整数，a ≠0）．方法技巧：1．从已知出发，构造出结果所需要的式子；2．从结果出发，构造符合已知条件的式子．题型一 基本计算【例1】计算：（1）()()32x x -⋅-；（2）()()2332a a -⋅-；（3）()22248x yy ÷； （4）323221334a b ab ⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例2】计算：()()()2014201420150.12524-⨯-⨯-．题型二 逆向运用幂运算 【例3】（1）已知2228162x x ⋅⋅=，求x 的值；（2）已知4a y =，16b y =，求22a b y +的值．题型三 灵活进行公式变形【例4】已知：5210a b ==，求11a b+的值．题型四 比较大小【例5】已知552a =，334b =，225c =，试比较a ，b ，c 的大小．针对练习11．计算：（1）3224a a a a a ⋅⋅+⋅；（2）()57x x -⋅；（3）()()57x y x y +⋅--；（4）()()2332y y ⋅．2．计算：（1）6660.12524⨯⨯；（2）599329961255⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（3）()()2018201720172 1.513⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭；（4）4322023452%3%4%5%103456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．3．（1）若()3915n m a b ba b =，求m ，n 的值；（2）已知27a =，86b =，求()322a b +的值；（3）若a +3b -2=0，求327a b ⋅的值；（4）已知：21233324m m ++=，求m 的值；（5）已知124x y +=，1273x -=，求x －y 的值；（6）已知129372n n +-=，求n 的值．4．已知252000x =，802000y =，求11x y+的值．5．已知k ＞x ＞y ＞z ，且16522228k x y z +++=，k ，x ，y ，z 是整数，求k 的值．6．是否存在整数a ，b ，c 使9101628915a b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由．7．比较653，524，396，2615四个数的大小．8．你能比较两个数20122011和20112012的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较1n n +与(1)n +n 的大小(n 是自然数），然后，我们分析1n =，2n =，3n =，⋯中发现规律，经过归纳，猜想得出结论．（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格内填写“>”、“ =”、“<”号）①21 12；②32 23；③43 34；④54 45；⑤65 56…．（2）从第（1）题的结果经过归纳，可猜想出1n n +与(1)n n +的大小关系是 ．（3）根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小20122011，20112012．9．（1）已知()432a =，()342b =，()423c =，()234d =，()324e =，比较a ，b ，c ，d ，e 的大小关系；（2）已知：220002001200220012002200120022001200220012002a =+⨯+⨯++⨯+⨯，20022002b =，试比较a 与b 的大小．【板块二】整式的乘法方法技巧：（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里还有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a +b +c 为单项式．（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++．题型一 基本计算【例6】计算：（1）()()23234x y x y -⋅＝ ；（2）()()223234x y x y -⋅＝ ； （3）()254342x x y xy -⋅-＝ ；（4）()()22323253a b ab a b ⋅-+＝ ；（5）()()322a b x y +-＝ ；（6）()()332a b a b +-＝ ．题型二 混合运算 【例7】计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．题型三 展开后不含某项【例8】若()()2283x ax x x b ++-+的乘积中不含x 2项和x 3项，则a ＝ ，b ＝ ．题型四 比较对应项的系数求值【例9】已知()()2226x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【板块二】整式的乘法方法技巧（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里还有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为: m (a＋b＋c) ＝ma＋mb＋mc，其中m为单项式，a＋b＋c为多项式.（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：(m＋n)( a＋b) ＝ma＋mb＋na＋nb.题型一基本计算【例6】计算：（1）(－3x2y)·(4x3y2)＝__________;（2）(－3x2y) 2·(4x3y2)＝__________;（3）－3x2·(4x5y－2xy4)＝__________;（4）(2a2b3)·(－5ab2＋3a3b)＝__________;（5）(3a＋2b)·(2x－y)＝__________;（6）(3a＋b)·(3a－2b)＝__________;题型二混合运算【例7】计算：(3x2＋2)( 5x4＋2x2＋3)－(5x4＋x2＋3)( 3x2＋3)题型三展开后不含某项【例8】若(x2＋ax＋8)( x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝__________，b＝__________.题型四比较对应项的系数求值【例9】已知(x＋my)( x－ny)＝x2＋2xy－6y2，求(m＋n) mn的值题型五巧设特殊值【例10】设()5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a 1x＋a0（1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a0的值；（2）a0－a1＋a2－a3＋a4－a5的值；（3）a0＋a2＋a4的值；针对练习21．计算：（1）(x＋2y)(4a＋3b)＝__________；（2）(3x－y)( x＋2y)＝__________；（3）(x＋3)( x－4)＝__________；（4）(43a2b－83a3b2＋1)×(－0.25ab)＝__________；（5）3a b2 [(－ab) 2－2b2 (a2－23a3b)]＝__________；（6）(5x3＋2x－x2－3)(2－x＋4x2)＝__________；2．计算：（1）(x2－2x＋3)(x－1)( x＋1)；（2）[(12x－y)2＋(12x＋y)2] (12x2－2y2);（3）(－x3＋2x2－5)(2x2－3x＋1);（4）(x＋y)( x2－xy＋y2);（5）(x－y)( x2＋xy＋y2);（6）(－2x－y)(4x2－2xy＋y2).3．（1）多项式x2＋ax＋2和x2＋2x－b的积中没有x2和x3两项，求a，b的值；（2）若(1＋x)(2x2＋ax＋1)的结果中x2项的系数为－2，求a的值；（3）已知多项式3x2＋ax＋1与bx2＋x＋2的积中不含x2和x项，求系数a，b的值.4．（1）已知多项式x4＋x3＋x2＋2＝(x 2＋m x＋1)( x 2＋n x＋2)，求m与n的值；（2）若不论x取何值，多项式x3－2x3－4x－1与(x＋1)(x2＋m x＋n)都相等，求m和n的值；（3）已知(x＋a y)(2 x－b y)＝2x2－3xy－5y 2，则2a2b－ab2的值.5．已知ab2＝6，求ab (a 2b5－ab3－b)的值.6．已知x－y＝－1，xy＝2，求(x－1)( y＋1)的值.7．已知2 a 2＋3 a－6，求3a (2a＋1)－(2a＋1)( 2a－1)的值.8．已知x2－8x－3＝0，求(x－1)( x－3)( x－5)( x－7)的值.9．已知2 x＋3x (x＋1)( x＋2)( x＋3)的值.【板块三】整式的除法方法技巧（1）单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.（2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：（3）多项式除以多项式：大除法.题型一基本计算【例11】计算：（1）(23a4b2－19a2b8)÷(－12ab3)2（2）(35a3b7－65a3b4－1.8a2b3)÷0.6ab2题型二大除法【例12】计算：（1）(x3－1)÷(x－1);（2）(3 x4－5x3＋x2＋2)÷(x2＋3);。

模块一 幂的运算幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数. 含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘.例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示(33333)-⨯⨯⨯⨯ 52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯ 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=.⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号， 例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=.⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-.特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n n a a -=.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”.【例1】 如果把()2x y -看作一个整体，下列计算正确的是（ ）A ．()()()235222x y y x x y -⋅-=-B ．()()()224222x y y x x y -⋅-=--C ．()()()()23272222x y y x x y x y -⋅--=-D ．()()()235222x y y x x y -⋅-=--【例2】 已知：240x y +-=，求：1233x y -的值【巩固】已知2350x y +-=，求：927x y ⋅的值例题精讲【例3】 若3m a =，4n a =，求32m n a +的值为多少？【巩固】若5n a =，2n b =，则()32na b =【例4】 已知3x a =，5x b =，你能用含有a 、b 的代数式表示14x 吗？【例5】 若87a =，78b =，则5656=【例6】 计算：()()132()()n n y x x y x y y x +--+--【例7】 若2530x y +-=，求432x y ⋅的值【例8】 当4,41==b a 时，求代数式32233)21()(ab b a -+-的值【例9】 已知1平方公里的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧81.310⨯千克煤所产生的能量，那么我国960万平方公里土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤？【例10】 比较552、443、335、226四个数的大小.【例11】 比较下列各题中幂的大小．⑴比较大小：20.4a =-，24b -=-，214c -=（-），014d =（-）．⑵已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小关系．⑶比较552，443，335，226这4个数的大小关系．⑷1615与1333的大小关系是1615 1333(填“>”、“<”或“=”)．⑸已知2001200367M =+，2003200167N =+，比较M 、N 的大小关系．⑹已知999999P =，990119Q =，比较P 、Q 的大小关系．⑺已知200620073131A +=+，200720083131B +=+，试比较A 与B 的大小．⑻对于0a b c >>>，0m n >>(m ，n 是正整数)，比较n m c a ，m n a b ，n m b c 的大小关系．【例12】 计算或化简：（1）计算：011(2010)()32--+--= _________ ；（2）化简求值，其中a=，b=﹣2，则（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2= _________ ．【例13】 若（mx 3）•（2x k ）=﹣8x 18，则适合此等式的m= _________ ，k= _________【例14】 已知22()()26x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【巩固】 若()()22345x x ax bx c +-=-+，则a = ，b = ，c = ．【巩固】 已知多项式432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，求m 与n 的值．【例15】 计算(21)(32)(64)(42)x x x x +÷-⨯-÷+．【巩固】 计算：222222224(3)()(4)89xy x y x y y x y --÷+.【例16】 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ）A 、（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2B 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2C 、2a （a+b ）=2a 2+2abD 、（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2【例17】 如图，图中的阴影部分的面积是 ．【例18】 先化简，其中x=﹣1，y=1，则﹣2（3x 2﹣xy ）+（﹣6x 2+3xy ﹣1）的值【例19】 先化简，再求值：（1）若a=2，b=﹣2，（2a 2b+2b 2a ）﹣[2（a 2b ﹣1）+3ab 2+2]= ；（2）已知：A ﹣2B=7a 2﹣7ab ，且B=﹣4a 2+6ab+7，①A= ；②若|a+1|+（b ﹣2）2=0，则A= ．（3）已知多项式（2mx 2﹣x 2+3x+1）﹣（5x 2﹣4y 2+3x ）化简后不含x 2项．则多项式2m 3﹣[3m 3﹣（4m ﹣5）+m]= ．【例20】 已知2x+y=7，x 2+y 2=5，则（4x+2y ）2﹣3x 2﹣y 2+2（1﹣y 2）的值为 ．【例21】 若y=，则（9y ﹣3）+33（9y ﹣3）= ．【例22】 计算：⑴3(1)(1)x x -÷-; ⑵4322(352)(3)x x x x -++÷+.【习题1】如果（x+1）（x 2﹣5ax+a ）的乘积中不含x 2项，则a 为 _________ ．【习题2】已知（5﹣3x+mx 2﹣6x 3）（1﹣2x ）的计算结果中不含x 3的项，则m 的值为（） A 、3 B 、﹣3 C 、﹣ D 、0【习题3】若2211322323⋅=⋅-⋅++x x x x ，求x课后作业。

初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳！整式的乘除一、幂的运算1. 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：a m·a n=a m+n<>n>（m，n为正整数）2. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：(a m)n=a mn（m，n为正整数）3. 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：(ab)n=a n b n（n为正整数）4. 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即：a m÷a n=a m-n<>n>（m、n是正整数且m＞n,a≠0）二、整式的乘法运算1. 单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2. 单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3. 多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

三、整式的除法运算1. 单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2. 多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。

四、常用乘法公式：1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差即：(a+b)(a-b)=a2-b22. 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

即：(a±b)2=a2±2ab+b2因式分解一、因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。

幂的运算 一、基础运算（1）x 3·x ·x 2（2）(a m -1)3（3）[(x ＋y )4]5（4）(－12a 5b 2)3 （5）(－2x )6÷(－2x )3二、混合运算1、a 5÷（－a 2）a ＝ 2、(b a 2)()3ab 2＝ 3、(－a 3)2(－a 2)34、()m m x x x 232÷＝5、()1132)(--÷n m n m x x x x6、(－3a)3－(－a)(－3a)27、()()()23675244432x x x x x x x +++三。

、混合运算的整体思想1、(a ＋b)2(b ＋a)3＝ 2、(2m －n)3(n －2m)2＝ ; 3、(p －q)4÷(q－p)3(p －q)24、()a b - ()3a b -()5b a -5、()[]3m n -p()[]5)(p n m n m -- 6、()mma b b a 25)(--()ma b 7-÷ (m 为偶数,b a ≠)7、()()y x x y --2+3）（y x -+()x y y x --2)(2四、利用幂的运算求值（1）已知 3×9m×27m＝316，求m 的值（2）已知32÷8n-1=2n ，求n 的值（3）、若(-5a m+1b 2n-1)(2a n b m )=-10a 4b 4，求m-n 的值 (4)已知x6b-·x21b +=x 11,且y1a -·yb4-=y 5,求a+b 的值.五、逆用幂的运算性质幂的运算性质：a m·a n=a m ＋n，a m÷a n=a m －n（a≠0，m ，n 为正整数），（a m）n=a mn，（ab ）n=a nb n．我们对性质的正向运用一般比较熟练，但把它们反过来逆用却往往不习惯．其实，逆用幂的运算性质能使许多问题化难为易，化繁为简，巧妙得解。

幂的运算法则及整式的乘除一、知识提要幂的运算法则：a m ·a n = a m+n (a m ) n = a mn (ab ) n = a n b n a m ÷a n = a m-n二、专项训练【板块一】幂的运算法则的应用1. 下面计算中，正确的是( )A. (-2mn )3=-8m 3n 3B. (m +n )3(m +n )2=m 5+n 5C.-(-a 3b 2)3=-a 9b 6D. 262461)31(b a b a =-2. -(-2ab 3)2=___________.________)21(22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10n ·10000·10n -2=_________（n 为大于2的整数）若3x ·9x ·27x =96，则x =________12311234)21()2(⋅-=3. 若n 为整数，x 2n =2，则(3x 3n ) 2-4(x 2) 2n 的值是( )A ．28B ．8C ．48D ．564. 数3555，4444，5333的大小关系是( )A. 3555<4444<5333B. 4444<3555<5333C. 5333<4444<3555D. 5333<3555<44445. 若m =-2，则-m 2·(-m )4·(-m )3的值是______.6. 若x ，y 互为相反数且都不等于0，n 为正整数，则下列各组中互为相反数的是( )A.x n 和y nB.x 2n 和y 2nC.x 2n ·x 和y 2n ·yD.x 2n -1和－y 2n -17. 2(4a 5) 2·(a 2) 2-(a 2)4·(a 3) 28. 已知2012m =a ，2012n =b ,则20123m +2n ＝ ；已知x m =5，x n =9，则x m+n = ，x m-n = ；若x m =4，x n =3，则x 3n = ，x m+2n = ；已知2m +5n =3，则4m ·32n ＝ ；已知a m +n =10，a n =2,则a m = ；【板块二】整式的乘除9. 若(a m +1b n +2)·(a 2n -1·b )=a 5b 3，求m +n 的值．10. [x (x 3y 2)2-2(x 2y )3+3]·(-xy 2)3=_____________________；2222)2()412321(xy y xy x -⋅+--= ；(-c 3)2n ÷c n -1=____________；(2x n ·y 2n )3÷(-xy )2n =____________（n 为正整数）；(54x 2y -108xy 2-36xy )÷(18xy )=____________．11. 已知有理数a ,b ,c 满足|a -b -3|+(b +1)2+|c -1|=0，则)6(·)3(22c b c a ab --的值为 ．12. 已知计算(2-nx +3x 2+mx 3)·(-4x 2)的结果中不含x 5项，那么m 应等于 .13. 已知x 2+mx +8与x 2-3x +n 的积中不含x 3项与x 项,则m = ，n = .【板块三】拓展拔高14. 当a =-1时，[(-21) 2·a 5]3·a 7等于( ) A ．41- B ．641- C ．31- D ．64115. (-x 2y m ) 2⋅(kx n +1y ) = -2x 6y 3，则(k m ) n 等于( )A ．-2B ．2C ．4D ．-416. 若(2x -1)6=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= , a 0+a 2+ a 4+a 6= .。