勾股定理专题复习(经典一对一学案)

《勾股定理》复习学案★知识汇总1．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为：方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为：方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ， 化简过程为：2.面积问题：⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系 是 小练习：1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。

2.如图2，①若S 1=2π S 3=258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=32π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。

3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。

4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。

5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为 。

八年级数学课堂学习活动设计 设计人： 时间：勾股定理复习学案（2）一、学习目标：1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，2.熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题． 二、学习重点：重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用难点：在应用勾股定理以及逆定理解决问题时，直角三角形的确定三、学习过程 一、知识回顾：1.已知△ABC 是直角三角形，两直角边长分别为5,12，则斜边长为 .2、已知三边长分别为8，15，17则△ABC 为 三角形.3、勾股数 满足22b a =2c 的三个正整数，称为勾股数 请任意写出几组勾股数： ； ； . 二、合作探究：例1、已知：在△ABC 中，AB ＝15 cm ，AC ＝13 cm ，高AD ＝12 cm ，求S △ABC ．例2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？例3、某风景区有2个景点A 、B(B 位于A 的正东方),为了方便游客，风景区管理处决定在相距2千米的A 、B 两景点之间修一条笔直的公路(即图中的线段AB),经测量，在点A 的北偏东60°方向、点B 的北偏西45°方向的C 处有一个半径为0.7千米的小水潭，问小水潭会不会影响公路的修筑，为什么？参考数据：三、矫正补偿1．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a=8，b=15，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=5 ，b=3，c=2D ．a ：b ：c=2：3：42.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（ ） A ．CD,EF,GH B ．AB,EF,GH C ．AB,CD,GH D ．AB,CD,EF3. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（ ） A ．一定不会 B ．可能会 C ．一定会 D ．以上答案都不对4.已知：如图，AD 是△ABC 的高，AB=10，AD=8，BC=12 . 求证： △ABC 是等腰三角形.四、 拓展提高5.已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3， 且AB ⊥BC.求四边形 ABCD 的面积.小测试：1、正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ） A 、2 B 、2 C 、22 D 、42．如果直角三角形两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）A 、60∶13B 、5∶12C 、12∶13D 、60∶1693、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1， 则AC =（ ）A 、6B 、6C 、5D 、43题图 4题图 5题 4．如图中字母A 所代表的正方形的面积为（ ） A ． 4 B ． 8 C ． 16 D ． 645．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1，求AC 2的值．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A•的正南方向260千米B 处有一台风中心，沿BC 的方向以15千米/时的速度向D 移动，已知AD•是城市A 距台风中心的距离最短，且AD=100千米，求台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？。

勾股定理 复习学案一、知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

数学式子：∠C=900⇒222a b c +=2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形.数学式子：222a b c +=⇒∠C=900满足a 2＋b 2＝c 2三个数a 、b 、c 叫做勾股数。

二、举例：例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度⑵一个直角三角形一条直角边为6，斜边为10，求另一条直角边例2：在△ABC 中，AB=13，AC=15，BC=14，。

求BC 边上的高AD 。

例3：在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，试求BC 的长．(两解)例4：如图，在△ABC 中，AC=AB ，D 是BC 上的一点，AD ⊥AB ，AD=9cm ，BD=15cm ，求AC 的长．A a D CB A DC BA例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?例6：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，则CD 的长是多少?例7：如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。

例8：有一根70cm 的木棒，要放在50cm ，40cm ，30cm 的木箱中，试问能放进去吗？例9：甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？E D C B A B ACD例10：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。

勾股定理复习一．知识纵横:勾股定理是初等几何中的一个基本定理。

所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）（右图）于公元前550年首先发现的。

但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。

（左图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。

其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。

这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。

" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。

其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。

所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。

书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。

”。

《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

专题复习一 勾股定理第一课时本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。

如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。

2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。

常见勾股数如下：3121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题归类：专题一、勾股定理与面积1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。

3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。

l321S 4S 3S 2S 15、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。

6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。

7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。

8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。

（添加辅助线构造直角三角形）9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。

最新勾股定理复习学案一、重点：1、明确勾股定理及其逆定理的内容2、能利用勾股定理解决实际问题二、知识小管家：通过本章的学习你都学到了三、练习：考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在数轴上作出表示10的点．4．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．考点二、利用列方程求线段的长5．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？6．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、判别一个三角形是否是直角三角形7、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有-----------8、若三角形的三别是a 2+b 2,2ab,a 2-b 2(a>b>0),则这个三角形是---------------.9、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？A D EB C四、灵活变通10、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．11、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm ，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm12、．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.613、如图：带阴影部分的半圆的面积是-----------（π取3） 14、若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形是______________________．五、能力提升15、已知：如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高．求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．16、如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC CE 41=．你能说明∠AFE 是直角吗？复习第一步：：勾股定理的有关计算例1： （2006年甘肃省定西市中考题）下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ．析解：图中阴影是一个正方形，面积正好是直角三角形一条直角边的平方，因此由勾股定理得正方形边长平方为：172-152=64，故正方形面积为6勾股定理解实际问题例2．（2004年吉林省中考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm ）． 其中矩形ABCD 是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm ．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②． 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h ．析解：彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF的对角线DE 的长度，连接DE ，在Rt △DEF 中，根据勾股定理，得DE=150901202222=+=+EF DF A Bh=220-150=70(cm)所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h 为70cm与展开图有关的计算例3、（2005年青岛市中考试题）如图，在棱长为1的正方体ABCD —A’B’C’D’的表面上，求从顶点A 到顶点C’的最短距离．析解：正方体是由平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可以把它展开成平面图形，如图是正方体展开成平面图形的一部分，在矩形ACC’A’中，线段AC’是点A 到点C’的最短距离．而在正方体中，线段AC’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点A 到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度．在矩形ACC’A’中，因为AC=2，CC’=1所以由勾股定理得AC’= ．∴从顶点A 到顶点C’的最短距离为复习第二步：1．易错点：本节同学们的易错点是：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．例4：在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c ．错解：因为a=6，b=10，根据勾股定理得c=3421062222=+=+b a剖析：上面解法，由于审题不仔细，忽视了∠B=90°，这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边，错把c 当成了斜边．正解：因为a=6，b=10，根据勾股定理得，c=86102222=-=-a b 温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用c2=a2+b2例5：已知一个Rt △ABC 的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是错解：因为Rt △ABC 的两边长分别为3和4，根据勾股定理得: 第三边长的平方是32+42=25剖析：此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论．正解：当4为直角边时，根据勾股定理第三边长的平方是25；当4为斜边时，第三边长的平方为：42-32=7，因此第三边长的平方为：25或7．温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论．例6：已知a ，b ，c 为⊿ABC 三边，a=6，b=8，b<c ，且c 为整数，则c= ．错解：由勾股定理得c=108622=+ 剖析：此题并没有告诉你⊿ABC 为直角三角形，因此不能乱用勾股定理． 正解：由b<c ，结合三角形三边关系得8<c<6+8，即8<c<14，又因c 为整数，故c 边长为9、10、11、12、13． 温馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形． 2．思想方法：本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想； 例7：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 析解：因两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，所以由勾股定理求得AB=10 cm ，设CD=x ，由题意知则DE=x ，AE=AC=6，BE=10-6=4，BD=8-x ．在Rt △BDE 由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，解得x=3，故CD 的长能求出且为3． 运用中的质疑点：（1）使用勾股定理的前提是直角三角形；（2）在求解问题的过程中，常列方程或方程组来求解；（3）已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论．复习第三步：选择题1．已知△ABC 中，∠A= ∠B= ∠C ，则它的三条边之比为（ ）．A ．1：1：B ．1： ：2C ．1： ：D ．1：4：12．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．A ．B ．3C ．D ．3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．A ．6，7，8B ．5，6，7C ．4，5，6D ．3，4，54．下列各命题的逆命题成立的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是45°，那么这两个角相等5．若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）．A ． cm2B ．2 cm2C ．3 cm2D ．4cm26．在Rt △ABC 中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c 的长为（ ）．7．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cmD ．1360cm8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm9、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．10．一座桥横跨一江，桥长12m ，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m ，则小船实际行驶＿＿＿m ．11．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿＿．12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，中线BE ＝13，另一条中线AD2＝331，则AB ＝＿＿＿．13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．14．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，已知旗杆原长16m ，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．15．如图4所示，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ．现将梯子的底端A 向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O 的距离为3m ，同时梯子的顶端B 下降到B′，那么BB′也等于1m 吗?16．在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n2－1，b ＝2n ，c ＝n2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．15、参考在Rt △ABO 中，梯子AB2＝AO2+BO2＝22+72＝53．在Rt △A′B′O 中，梯子A′B′2＝53＝A′O2+B′O2＝32+B′O2，＞2×3＝6．所以BB′＝OB －OB′＜1．16、参考．因为a2＝n4－2n2+1，b2＝4n ，c2＝n4+2n2+1，a2+b2＝c2，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角． 复习小结通过教学，我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。

第3题 第4题 《勾股定理》复习学案【知识点归纳】1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的 等于斜边c 的 ，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系 ，那么这个三角形是 三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个 ，称为勾股数。

★注意：1.勾股定理仅适用于 三角形；2.常见的勾股数（请举出几组）：3.若a ，b ，c 为勾股数，则ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数。

【基础训练】1.一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2..以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)32，42，52 (D)8，9，103.如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为以∠B 为直角的直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．4.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图2中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c 2＝ ＋ 。

化简后即为 c 2＝ 。

5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米。

【本章小专题】☞专题一：勾股定理及应用1.计算下列直角三角形的边长（注意运用规律）：（1） （2） （3）2.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？3.波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？☞专题二：面积问题1.如图：以Rt △的三边长为边在外面作三个正方形M 、N 、P（1）若S M =5，S N =6，则S M +S N +S P = ；（2）若S P =10，则S M +S N +S P = 。

勾股定理辅助线一、本章概述本章共分为勾股定理与几何计算、勾股定理与几何证明和勾股弦图三部分，都是勾股定理的重难点内容二、知识回顾1.勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边c的平方和。

（即：）2.勾股定理的逆定理（2）如果三角形的三边长：。

满足关系，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股定理的证明：（3）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进行割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

（4）常见方法如下：方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积。

方法三：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.1. 勾股定理与几何计算一、本节概述本节主要讲解勾股定理常见的三个辅助线模型，将斜三角形问题，转化为直角三角形问题。

当遇到三角形内的几何计算，特别是长度计算时，可以考虑用勾股定理解决。

在没有直角三角形时，我们就构造直角三角形，方法就是作高。

要尽量作与题中条件有关系的高，总有一条适合你的，比如特殊角所对的高。

二、典例精析知识点：勾股定理与几何计算【例1】如图，已知AC=2,思路分析：标记条件，题目中给出三角形的两个角和一条边，符合“AAS”，故三角形形状固定，可通过作高转化为勾股定理来解决，作高的时候，要充分利用特殊角。

作AB角形问题。

解：，先从右边已知一边和一角的直角三角形入手，这是个（）的特殊直角三角形。

得到CD后，再看左边已知一边和一角的直角三角形，这是个（）的特殊直角三角形。

方法总结这是利用勾股定理时常见的辅助线做法之一：三角形给出的条件满足“AAS”，作高的时候要充分利用特殊角，使分割后得到的直角三角形可求解即可，此例题是垂线在三角形内，并获得特殊直角三角形的例子。

【例2】思路分析：标记条件，给出的三角形符合“SAS”，故形状固定，可通过作高解决，作高时要充分利用特殊三角形，因为给出的特殊角是钝角，故可利用它的补角。

c ba HG F EDCBAbacbac cabcab ac c baED A第十八章 勾股定理一、课程学习目标1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。

2、会运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。

3、了解勾股数的概念，能识记一些常见的勾股数。

4、能在数轴上找到一些表示无理数的点的位置，如2、13等。

5、了解逆命题、逆定理的概念。

能写出一个命题的逆命题，会判定是否成立。

6、领会和掌握“数形结合”“方程”“转化”“分类讨论”等数学思想方法。

二、本章知识结构图三、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证。

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b=+=++所以222a b c +=方法三：2112S 222ADE ABES S ab c∆∆=+=⋅+梯形，1()()2S a b a b =+⋅+梯形，化简得证。

四、知识要点———经典例题———跟踪练习18.1勾股定理 （一）知识要点1、勾股定理： 。

2、至少会用三种方法来证明勾股定理。

（二）经典例题例1：直角三角形的两条直角边长分别为5，12，则斜边上的高为 。

例2：已知Rt △ABC 的周长为24，∠C=90°，且AB ：AC =5：3，则BC 的长等于（ ）。

例3：在△ABC 中，090=∠C ，AB=10，（1）若030=∠A ，求BC 、AC 的长（精确地0.01） （2）若045=∠A ，求BC 、AC 的长（精确地0.01）例4：有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖立放比门高1尺,斜放则恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺,求门的高度.例5：如图,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为a ，较长的直角边为b ，那么()2b a + 的值为（ ）A ．13 B.19 C.25 D.169例6：一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 。

课题：勾股定理复习学案1．知识点梳理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用,a b 和c 分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________2c =．（2）勾股定理各种表达式：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边也分别为,,a b c ，则2a =_________，2b =_________，2c =_________．（3）勾股定理的逆定理：在△ABC 中，若,,a b c 三边满足___________，则△ABC 为___________．（4）勾股数：满足___________的三个___________，称为勾股数．（5）几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．（6）直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角 ．直角三角形作为一个特殊的三角形．如果又有一个锐角是30︒，那么30︒的角所对的直角边是斜边的 ．（7）举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形？可以从角、边两个方面判断．①从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．例如：在△ABC 中，7515B C ∠=︒∠=︒，，根据三角形的内角和定理，可得A ∠= ，根据定义可判断△ABC 是直角三角形．在△ABC 中，1123A B C ∠=∠=∠，由三角形的内角和定理可知，A 30∠=︒，2B A ∠=∠= °，3C A ∠=∠= °，△ABC 是直角三角形．②从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．例如：△ABC 的三条边分别为72524a b c ===，，，而2222262572524a c b +=+===，根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是 三角形，但这里要注意的是b 所对的角90B ∠=︒．在△ABC 三条边的比为::5:12:a b c = ，△ABC 是直角三角形．8．通过回顾与思考中的问题的交流，由学生自己建立本章的知识结构图．三边的关系--勾股定理→历史、应用直角三角形直角三角形的判别→应用二、典型例题 1．利用勾股定理求边长．例1 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．跟踪训练1:一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么它斜边上的高线长为A. 5B. 2.5C. 2.4D. 22．利用勾股定理求图形面积．（1）如图，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，Af 长为12cm ．求正方形CDEF 的面积．3．利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状或求角度． 例3 在△ABC 中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为a b c ，，，且2()()a b a b c +-=，则（A ）A ∠为直角（B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角（D ）不是直角三角形跟踪训练3:已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状． ①41409a b c ===，，； ②222220a m n b m n c mn m n =-=+=>>，，（）．4．勾股定理及逆定理的综合应用．例4 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile 的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34 n mile ，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？跟踪训练4:如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON =30°.公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时， A 处受噪音影响的时间为 ．{例5 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）dm．A．20 B．25 C．30 D．35三、巩固练习1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）．A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，32．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）．A．75 B．100 C．120 D．1253．如图，在△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（）．A．2 B．4 C．8 D．164．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）．A. 25B. 14C. 7D. 7或255．如图，在四边形ABCD中，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．7．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）四、拓展提升1．已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若1410a b c m c c m +==，，求Rt △ABC 的面积．2．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2 m ，坡角30906A B BC ∠=︒∠=︒=，，m ．当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝ m 时，有222DC AE BC =+．3．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD ＝80cm ，高AB ＝60cm ，水深AE ＝40cm .在水面上紧贴内壁G 处有一块面包屑，G 在水面线EF 上，且EG ＝60cm ，一只蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G 处吃面包屑．(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．4．如图，铁路上A ，B 两点相距25 km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA ＝15 km ，CB ＝10 km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？第一章勾股定理单元测试题一、选择题．（共10道小题，每题3分，共30分）1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）．A．1cm，3cm，3 cm； B．2 cm，3 cm，4 cm；C．4 cm，6 cm，8 cm； D．5 cm，12 cm，13 cm．2．若直角三角形两边长分别是3和4，则第三边的长的平方为（）．A．5 B．7 C．25 D．25或73．三角形的三边长分别为5，12，13，边长为12的边上的高为（）.A．5 B．12 C．13 D．60 134．已知一个直角三角形的斜边长比直角边长多2，另一条直角边长为8，则斜边长为（）．A．12 B．6 C．17 D．155．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AE=4，DF=2，图中有（）个直角三角形．A．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．下列条件中，不能．．判断一个三角形是直角三角形的是A. 三个角的比为1:2:3B. 三条边满足关系a2 ＝b2 - c2C. 三条边的比为1:2:3D. 三个角满足关系∠B＋∠C＝∠A7．如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）．A. 14B. 16C. 20D. 288．如图，在△ABC中，AC=10，DC=6，AD=8，BC=21，则AB 的长为（）.A. 15B. 16C. 14D. 179．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）．A．3cm2B．4cm2 C．6cm2 D．12cm210．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3 m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1mB．大于1m C．等于1mCBDFD ．小于或等于1 m二、填空题．（共10道小题，每题3分，共30分）11．如图，数轴上点A 表示的数是__________．12．强大的台风使得一根旗杆在离地面3m 处折断倒下，旗杆顶不落在离旗杆底部4m 处，则旗杆折断之前的高度是 ．14．如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B = 90，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段DN 的长为 ．17．如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米．18．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ,8cm ,30 cm ,在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从P 处爬到C 处去吃，有多种走法，则最短路程是 ．20．如图，在一个长方形草坪ABCD 上，放着一根长方体的木块，已知AD =6米，AB =5米，该木块的较长边与AD 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A 处爬过木块到达C 处需要走的最短路程是_________米．三．解答下列各题．21．如图是一个滑梯的示意图，若将滑道AC 水平放置，则刚好与AB 一样长，已知滑梯的高CE =BD =3m ，CD =1m ，求滑道AC 的长．（6分）22．如图，已知四边形ABCD 中，AB =15，BC =20，AD =7，CD =24，∠B =90○，求四边形ABCD 的面积. （6分）23．如图，25米长的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯足到墙底端的距离为7米,如果梯子的顶端沿墙下滑4米,那么梯足将向外移多少米?（6分）24．如图正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识．（6分）（1）判断△ABC 是什么形状？并说明理由．（2）求△ABC 的面积．25．构造定义（8分）学习了勾股定理及其逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，反之结论也成立。

勾股定理全章复习主备人: 审核人：初二数学组 课型:新授学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形.学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。

学习难点：利用定理解决实际问题。

学习过程一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，ο90=∠C ，则 。

公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度：=b ，=c .(1)在Rt ABC ∆中，若ο90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ∆中，若oB 90=∠，9=a ，41=b ，则=c . (3)在Rt ABC ∆中，若ο90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c .二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。

例2：在数轴上画出表示5的点.在数轴上作出表示10的点．三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。

例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。

1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）A ．12，15，17B ．9，16，25C ．5a ，12a ，13a （a>0）D ．2，3，42、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ； （2）11=a ，60=b ，61=c ；915b24c（3）38=a ，2=b ，310=a ； （4）433=a ，2=b ，414=c ； 四、知识要点4：利用列方程求线段的长例4：如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．五、知识要点5：构造直角三角形解决实际问题例5：如图，小明想知道学校旗杆AB 的高，他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l 米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度吗?一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm ，杯深16cm.今有一根长为22cm 的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm ，则这玻璃杯的形状是 体.ADEBCA BC六、课后巩固练习（一）填空选择1、写出一组全是偶数的勾股数是 .2、直角三角形一直角边为12 cm ，斜边长为13 cm ，则它的面积为 .3、斜边长为l7 cm ，一条直角边长为l5 cm 的直角三角形的面积是（ ） A ．60 cm 2 B ．30 cm 2 C ．90 cm 2 D ．120 cm 24、已知直角三角形的三边长分别为6、8、x ,则以x 为边的正方形的面积为 .5、若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ，16cm ，20cm ，则这块三角形铁皮余料的面积为cm 2．7、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm ． （二）解答题1、在数轴上作出表示13的点．2、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求：①AD 的长；②ΔABC 的面积．3、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9． （1）求DC 的长；（2）求AB 的长；（3）求证：△ABC 是直角三角形．C ABD 图4AB4、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，顶角∠BAC=120°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。

《勾股定理》复习学案第1讲勾股定理（1）一、勾股定理1．勾股定理的具体内容用字母表示为：。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；3. 若∠A=30°，三边之间的关系：；4. 若∠A=45°，三边之间的关系：；5. 若D是斜边AB的中点，则有＝＝；二、回顾勾股定理的证明：你能用这个图形证明勾股定理吗？二、课堂练习1.在Rt△ABC中，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2, 求b。

⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

2.已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

3.已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高；⑵求S△ABC。

三、课堂检测：1．填空题⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

4，AC=4，AD是BC边上的高，求BC 2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=3的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

第2讲 勾股定理（2）一、求出下列直角三角形中未知的边．归纳：（1）在求解直角三角形的未知边时需要知道哪些条件？应该注意哪些问题？（2）直角三角形中哪条边最长？它所对的是什么角？二、探究11.在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC 的长2．在矩形中，如何确定直角三角形模型？3.一个门框的尺寸如图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？6 10 A C B 2 45° A 15C B 2 30°三．探究2如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①球梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．四、课堂检测：1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

课题名称：勾股定理（1）学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。

学习目标：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

自助探究 1．1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会， 这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它 的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.么？(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和. 3、等腰直角三角形有上述性质， 其它直角三角形也有这个性质吗？4、猜想：命题1自助提升 1、定理证明（1）赵爽利用弦图证明。

．．．．．显然4个 的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积.即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简后得到 .（2）其他证明方法：教材72页 思考讨论完成2、在Rt △ABC 中，∠C=90,AB=17,BC=8,求AC 的长3、Rt △ABC 和以AB 为边的正方形ABEF ，∠ACB =90°， AC =12，BC =5，则正方形的面积是______．4、(1) 已知Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8，求AB .(2) 已知Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =5，BC =6，求AC . (3) 已知Rt △ABC 中，∠B =90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ， ∠C 的对边，c ∶a =3∶4，b =15，求a ，c 及斜边高线h .BC AB5、如图1-1-4，所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ， 则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和是多少？自助检测1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( )2．斜边长为25 B ．三角形的周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 3．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）A ．4B ．8 C．10 D ．124．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．1380 D ．13605、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，求CF CE 小结与反思这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？ 教学反思§ 勾股定理（2）一、学习目标通过经历和体验，运用勾股定理解决一些实际问题的过程，进一步掌握勾股定理。

专题复习一 勾股定理1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，那么Rt ▲ABC 的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，那么这个三角形的面积为：3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，假设a 和c 的面积分别为5和11，那么b 的面积为4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如下图)。

斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 那么S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。

6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,那么这个三角形的面积为 。

7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？7、如以下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。

8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。

〔添加辅助线构造直角三角形〕9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。

10、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，AB=•3，BC=7，求：重合局部△EBD的面积11、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 假设分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜测S1、S2、S3之间的关系?.专题二、勾股定理与折叠1、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE 的长。

勾股定理【知识体系】1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么，那么 。

即直角三角。

即直角三角形两直角边的形两直角边的 等于等于等于 。

2、勾股逆定理：如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足满足 ，那么这个三角形是，那么这个三角形是，那么这个三角形是 三角形。

三角形。

（且∠ =90 =90°）°）°） 注意：（1）勾股定理与其逆定理的区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而此结论是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定直角三角形中哪一个角为直角，这种利用计算的方法来证明的方法，体现了数形结合的思想。

明的方法，体现了数形结合的思想。

（2）事实上，当三角形三边为a 、b 、c ，且c 为最大边时，为最大边时，①若a 2+b 2=c 2，则∠，则∠C C 为直角；为直角； ②若c 2>a 2+b 2，则∠，则∠C C 为钝角；为钝角；③若c 2<a 2+b 2，则∠，则∠C C 为锐角。

为锐角。

（3）满足条件a 2+b 2=c 2的三个整数，称为勾股数。

的三个整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：常见的勾股数组有：33、4、5； 5 5、、1212、、1313；； 8 8、、1515、、1717；； 7 7、、2424、、2525；； 20 20、、2121、、2929；； 9 9、、4040、、4141；…；…；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。

股数组的整数倍仍然是勾股数组。

3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。

注意：（1）勾股数是一组数据，必须满足两个条件：①满足222c b a =+；②三个数都为正整数。

；②三个数都为正整数。

（2）1111～～20十个数的平方值：十个数的平方值： 【题型体系】题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。

例1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm 和4cm 4cm，求：第三边的长。