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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：07033001 所属学校（请填写完整的全名）：吉林师范大学博达学院参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
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）日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略问题，通过提取题目中的信息，利用拱点的概念、B 样条函数逼近的统计定位方法、非线性规划问题及哈密尔顿函数为理论基础进行了完整的建模工作。
全国大学生数学建模竞
赛历年赛题
Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
全国大学生数学建模竞赛历年赛题
2009：AB
CD
2010：A储油罐的变位识别与罐容表标定
B2010年上海世博会影响力的定量评估
C输油管的布置
D对学生宿舍设计方案的评价
2011:A城市表层土壤重金属污染分析
B交巡警服务平台的设置与调度
C企业退休职工养老金制度的改革
D天然肠衣搭配问题
2012:A葡萄酒的评价
B太阳能小屋的设计
C脑卒中发病环境因素分析及干预
D机器人避障问题
2013:A车道被占用对城市道路通行能力的影响
B碎纸片的拼接复原
C古塔的变形
D公共自行车服务系统
2014:A嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略B创意平板折叠桌
C生猪养殖场的经营管理
D储药柜的设计
2015:A太阳影子定位
B“互联网+”时代的出租车资源配置
C月上柳梢头
D众筹筑屋规划方案设计。
附件2：嫦娥三号软着陆过程的六个阶段及其状态要求1. 嫦娥三号软着陆过程示意图附图4嫦娥三号软着陆过程示意图2.嫦娥三号软着陆过程分为6个阶段的要求（1）着陆准备轨道：着陆准备轨道的近月点是15KM，远月点是100KM。
近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置。
（2）主减速段：主减速段的区间是距离月面15km到3km。
该阶段的主要是减速，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。
（3）快速调整段：快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面3km到 2.4km处将水平速度减为0m/s，即使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段。
（4）粗避障段：粗避障段的范围是距离月面2.4km到100m区间，其主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。
嫦娥三号在距离月面2.4km处对正下方月面2300×2300m的范围进行拍照，获得数字高程如附图5所示（相关数据文件见附件3），并嫦娥三号在月面的垂直投影位于预定着陆区域的中心位置。
附图5：距月面2400m处的数字高程图该高程图的水平分辨率是1m/像素，其数值的单位是1m。
例如数字高程图中第1行第1列的数值是102，则表示着陆区域最左上角的高程是102米。
（5）精避障段：精细避障段的区间是距离月面100m到30m。
要求嫦娥三号悬停在距离月面100m 处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。
分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方30m处水平方向速度为0m/s。
附图6是在距离月面100m处悬停拍摄到的数字高程图（相关数据文件见附件4）。
附图6：距离月面100m处的数字高程图该数字高程的水平分辨率为0.1m/像素，高度数值的单位是0.1m。
（6）缓速下降阶段：缓速下降阶段的区间是距离月面30m到4m。
该阶段的主要任务控制着陆器在距离月面4m处的速度为0m/s（合速度），即实现在距离月面4m处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确有落月点。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
附件1：问题的背景与参考资料；附件2：嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求；附件3：距月面2400m处的数字高程图；附件4：距月面100m处的数字高程图。
附件1：问题A的背景与参考资料1．中新网12月12日电(记者姚培硕)根据计划，嫦娥三号将在北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。
嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。
目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了13次无人月球表面软着陆。
北京时间12月10日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一次轨道调整。
宁夏师范学院本科生毕业论文（设计）开题报告姓名杨金仓院、系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级2012级数学与应用数学2班学号201204110225 论文（设计）题目月球探测器软着陆轨道最优设计与控制策略题目来源2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛本课题研究的现状、意义、拟研究的主要问题、重点和难点、研究方法和步骤、预期效果：现状：在美、苏进行激烈的探月竞争的五、六十年代，我国由于国力所限，没有进行探月实践活动，但许多学者致力于探月轨道设计。
如今，我国的综合国力大大增强，以举世瞩目的成就被世界公认为航天大国。
但 94 年以前，我国在实际的月球探测方面仍是空白。
94 年 7 月我国计划在 97、98 年间的"921 工程”运载器试验时，搭载月球探测器，实现登月探测，代号为“50 工程”。
95 年又提出了的“嫦娥工程”。
中国首个月球探测计划“嫦娥工程”于 2004 年 3 月 1 日启动，分三个阶段实施该月球卫星将携带 CCD 立体相机、成像光谱仪、太阳宇宙射线监测器、低能粒子探测器等科学探测仪器。
其工作轨道为极月的圆轨道，轨道高度 200 千米，它的基本构型利用中国已有的成熟的东方红三号卫星为平台，各分系统充分继承了现有的技术和设备，进行适应性改造。
月球卫星将采用中国已有的成熟的运载火箭长征三号甲进行发射。
运载火箭把卫星送入地球静止转移轨道后与卫星分离，其后的轨道机动、中途修正、近月点制动等均由星上推进系统完成。
意义：本文所研究的制导控制方法正是为满足上述要求，应用现代控制理论，结合我国航天发展的实际情况而进行的。
本文以理论力学（万有引力、开普勒定律、万能守恒定律等）和卫星力学知识为理论基础，结合微分方程和微元法，借助MATLAB软件建立的最优轨道设计上进行仿真分析，实施月球探测将是继发射人造地球卫星和突破载人航天技术之后，中国航天活动的第三个里程碑。
月球是离地球最近的天体,自然成为空间探测的首选目标。
嫦娥三号软着陆避障阶段的最优控制策略浅析引言嫦娥三号软着陆降落过程中要保证准确性与安全性，此阶段的精确控制尤为重要，本文结合粗避障和精避障两个阶段进行分析研究，在粗避障阶段采用合理化假设并逐步验证的方法，精避障阶段采用中心螺旋法，最终得出嫦娥三号在这两个避障阶段的最优控制策略，并进行误差分析。
1、粗避障阶段的最优控制策略为了使嫦娥三号在软着陆阶段高度可靠安全，着陆器需具备较强的自主障碍识别与规避能力，在粗避障阶段主要目的：在较大范围内去除明显危及嫦娥三号着陆安全的大尺度障碍，为精避障阶段提供较好的安全点选择区域，很大程度上减小出现软着陆过程中近距离无法规避障碍物的风险，提高安全着陆概率，考虑到其速度较大且要求成像快、计算快的情况，本文需要综合推进剂消耗来选择最优位置。
粗避障段的范围是距离月面2.4km到100m区间，要求避开大的陨石坑在设计着陆点上方100m处悬停，由此初步确定落月地点，同时成像敏感器能够持续大范围观测着陆区，此阶段飞行轨迹要尽可能满足特定姿态和下降轨迹要求，进一步接近到达目标着陆点的设计轨迹。
考虑到7500N主发动机羽流（从火箭发动机喷管喷射出来的羽毛状的高速高温燃气流）带来的半锥角约为的椎体，会导致一部分不可见区域，而成像敏感区视场角（以光学仪器的镜头为顶点，以被测目标的物象可通过镜头的最大范围的两条边缘构成的夹角）为，为了避免主发动机羽流对成像敏感器的影响且保证在粗避障阶段成像敏感器能够观测到月球表面着陆区，同时考虑到降落路径的不同会导致软着陆过程中耗时的不同，对推进剂的消耗也是不相同的，本文对嫦娥三号采用下降轨迹接近与水平面夹角的直线下降方式，且推力对嫦娥三号的作用力与其运动径向的方向夹角近似为，并对其进行验证。
以嫦娥三号为坐标原点，其水平和径向方向所在直线为X轴和Y轴，其运行速度方向与X轴夹角为，所受推力方向与Y轴夹角为，结合着陆器成像敏感区的视场角范围，根据嫦娥三号在坐标系中的具体位置，联系其所受推力的大致方向分析验证得到此时主发动机产生的椎体羽流对成像敏感区的影響是较小的，验证了假设的合理性。
2021 高教社杯全国大学生数学建模比赛A 题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。
对本问题应该给出合理的建模假定, 譬如: 惯性坐标、二体问题等, 并加以分析说明。
问题1: 在已知的条件下, 确定嫦娥三号在环月轨道上近月点与远月点的相对位置和速度（1) 建立合理适用的坐标系。
（2) 对嫦娥三号进行受力分析, 建立其运动学和准备轨道的数学模型（譬如: 微分方程等模型) 。
（3) 通过求解数学模型得. 到数值结果。
问题2: 确定软着陆轨道与6 阶段的控制策略由问题对着陆轨道 6 个阶段的要求, 每个阶段都应给出起止状态（速度和位置) 和最优控制策略（推力大小和方向) , 以满足各阶段起止状态的需求。
（1) 建立各阶段的最优控制模型, 明确给出控制变量、状态变量、状态方程、约束条件和目标函数。
（2) 在粗避障和精细避障阶段挑选落点时, 需要综合考虑月面的平整度、光照条件、着陆控制误差等因素, 确定最理想的着陆地点。
（3) 各阶段的控制问题是一个无穷维的优化问题, 可以通过合理的简化（譬如离散化为有限维的优化问题) 求解得. 到合理的数值结果, 即最优的控制策略。
（4) 若未按题目要求按6 阶段设计最优控制策略, 而照抄某些文献的两阶段或三阶段的处理方法, 不能视为较好的论文。
问题3: 着陆轨道设计和控制策略的误差分析与敏感度分析对问题的稳定性有影响的误差包括:（1) 着陆准备轨道参数（近月点位置和速度) 的误差；（2) 分阶段分析发动机推力（大小和方向) 的控制误差；（3) 模型的简化假定、模型的近似与求解过程等综合分析误差；加入能针对以上几个因素对问题结果的影响及程度做相应的敏感度分析, 应给予肯定。
2021高教社杯全国大学生数学建模比赛B题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。
本题主要考查学生对直纹面的描述、建模和计算功底。
嫦娥三号巡视器-着陆器释放分离过程关键力学问题分析邹怀武;杨文淼;刘殿富;肖杰;胡震宇【摘要】针对嫦娥三号探测器两器释放分离过程几个关键力学问题,给出两器释放分离过程的主要风险点与影响参数,应用ADAMS建立两器释放分离全过程仿真模型,开展了全过程动力学仿真与相关试验.分析得到可适应安全释放分离要求的着陆器最大着陆姿态边界与关键性能参数,为两器释放分离提供了理论支撑与依据.%Several key mechanic problems during the release and separation of the Chang'E-3 probe are revealed.The main risk points and influentical parameters of the separation process are given.The simulation model of the whole process of the release and separation is established by using ADAMS.Then the dynamic simulation and related experiment are carried out.The main risk points and influentical parameters of the two devices are identified,and the maximal landing boundary condiftions of the lander is obtained,which provides basis and theoretical support for the release and separation of the two devices.【期刊名称】《宇航学报》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】8页(P9-16)【关键词】巡视器;着陆器;释放分离;嫦娥三号探测器;试验验证【作者】邹怀武;杨文淼;刘殿富;肖杰;胡震宇【作者单位】上海宇航系统工程研究所,上海,201108;上海宇航系统工程研究所,上海,201108;上海宇航系统工程研究所,上海,201108;上海宇航系统工程研究所,上海,201108;上海宇航系统工程研究所,上海,201108【正文语种】中文【中图分类】TG1560 引言嫦娥三号探测器是我国首个在地球以外天体表面实施软着陆的航天器，实现了探月工程二期“落”的任务目标。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 19005007 所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2014 年 9 月 14 日2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文主要研究在嫦娥三号高速飞行的情况下，准确降落在月球预定区域的软着陆轨道设计与控制策略问题：针对问题一，查资料可知嫦娥三号软着陆准备轨道是极月轨道，忽略月球自转公转的影响，则着陆准备轨道与软着陆轨道在一个平面上，近月点投影的经度为19.51W 。
然后根据问题二得出的结果求出水平位移X ，再列出微分方程方程并求其数值解，最终得到近月点投影的纬度，进而根据近月点投影的经纬度算出远月点投影的经纬度，至此便得到近月点与远月点的位置；对于二者的速度，应用开普勒定律和机械能守恒定律可求出。
最终得到近月点：59.07N , 19.51W , 距地高度15km ，31.69210m/s A V ≈⨯，方向为北极-虹湾-南极方向；远月点：59.07S , 160.49E ，距地高度100km ，31.61410/B V m s ≈⨯，方向为南极-北极-虹湾方向。
针对问题二，在安全着陆的前提下，确定着陆轨道和最优控制策略，即转化为燃料消耗最小，最终转化为飞行时间tf 最短，经计算最优时间为633s ，消耗燃料的最小值为645.9Kg 。
我们首先列出软着陆轨道动力学方程并做归一化处理，经过软着陆轨道的离散化，应用函数逼近方法拟合推力控制角β(t)，拟合结果为7342(t)7.4710 6.14100.026 1.72;x x x β--=-⨯+⨯-+。
从而将轨道优化问题转化为参数优化问题，最后利用MATLAB 随机寻优，进而得出轨道优化设计方案；。
针对问题三，我们着重对主减速阶段进行相应的误差分析和敏感性分析。
建立月球软着陆主减速阶段的初始状态误差模型，敏感性大小S 是由f P -里面的每一个元素除以iP -里面对应的元素得到的值的集合，六个值分别对应v 、r 、θ、w 、m 、β，f P -为主减速阶段末状态总误差向量，iP -为初始状态偏差向量。
得到结果为( 3.862015.92000.1540582.0000 1.000065.6890)S =--,由这六个值大小分析可知w 最敏感，即w 有误差时会导致结果误差最大；其次是β，r ，v ，m ，θ。
于是我们应该尽力避免w 初始值有误差的情况。
关键词：软着陆 动力学方程 微分方程 随机寻优 寻优变量1 问题重述嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析2 模型假设1、假设嫦娥3号主减速阶段完成时的速度为57m/s且垂直于地面，并且不存在水平速度；2、假设近月点投影到月面的地区与虹湾之间的月面弧线可以看作一条直线；3、假设日月引力摄动、月球旋转和实际月球为非标准球导致引力不均匀对嫦娥3号的运动无影响；4、假设推力F=3000N的大小保持恒定；5、假设收集到的数据准确无误。
3 符号说明::v r r θβ着陆器沿半径方向的速度;月心距;:极角;w:角速度;m:质量;:制动发动机的推力方向角4 问题分析2.1问题一：月球自转和公转周期皆为27天7小时43分11.559秒，而嫦娥三号软着陆过程只有几百秒，所以我们可以忽略由于自转和公转造成软着陆轨道平面与着陆准备轨道平面的偏差，即可认为软着陆轨道平面与着陆准备轨道平面是在同一个平面上的。
已知着陆准备轨道为极月轨道，则近月点经度就可确定，如果得到近月点投影与虹湾水平距离X ，就可算出两地夹角，那么近月点纬度便随之确定，而X 的值可由问题二得出的各物理量算得。
远月点与近月点关于月心对称，由此可算出远月点位置。
对于速度，使用开普勒定律和机械能守恒定律则很容易算出。
2.2问题二：确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略，对于着陆轨道我们可以得出月心距随时间变化的图像，对于最优控制策略，我们可以得到其他参数（径向速度，角速度等）随时间变化的图像。
优化的指标是在保证安全和可控条件下使得燃料消耗最少（也即着陆时间tf 最短），于是我们把问题简化为求解两点边值问题中的最优解。
因此我们采用随机寻优的思想对待优参数进行优化，得到了各参数的最优解，再进行拟合函数。
对于避障问题，我们可以对处理后的数据划分成网格，用网格体现所有数据的特征，在经过坡度pn 和平移指数A(i)判断平移方向和距离。
2.3问题三：对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析，易知在避障阶段及以后是无法进行误差和敏感性分析的，于是我们只需对主减速阶段分析。
参考资料可知误差源包括初始条件误差和导航与控制传感器误差等，为简化模型，我们只分析初始条件误差。
然后建立初始状态误差模型，通过将000000,,,,,v r w m θβ∆∆∆∆∆∆ 的值（其值均考虑为典型误差值）分别与00000,,,,v r w m θ和0β（即初始状态着陆器沿r 方向的速度、月心距、极角、角速度、质量和制动发电机推力方向角）相加，然后得到非标准末状态和标准末状态的差值f f f f f ,,,,,v r w m θβ∆∆∆∆∆∆，再让它们与000000,,,,,v r w m θβ∆∆∆∆∆∆对应相除得到S ，以S 中每个值的大小来描述其对应的变量初始状态对该变量的末状态的影响即敏感性分析与误差分析。
5 模型的建立与求解5.1问题一：求近月点与远月点的位置及嫦娥三号相应的速度大小和方向5.1.1、求近月点远月点位置：查资料可知嫦娥三号着陆准备轨道是极月轨道【3】，即通过月球南北极的轨道，其方向为北极-虹湾（着陆点）-南极，如图1所示：则我们可知近月点的经度和虹湾一样为19.51W ，近月点到虹湾的水平距离X 为（,,v x x r v a 分别是切向的速度、加速度和径向的速度，此处θ不是指极角）： 00tan (t)f f r x r r t x x t x a a dv a dt v a dtX v dt β⎧=⎪⎪⎪=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩⎰⎰ 00((cot ))f f t t r dv X dt dt dt β=⎰⎰ 解得54.51810X =⨯m 然后我们由余弦定理公式：222cosA 2b c a bc+-=，其中22222,b ,a A c R X θ====，（虹湾（着陆点）海拔虽然为-2641m ，但与月球半径相比数值很小，所以我们可以忽略它，认为R 取月球平均半径1.737013×106m ）可解得θ=14.95度，则得到近月点纬度Q=θ+44.12=59.07N ；远月点与近月点连线过月心，则其纬度大小与近月点纬度大小相等，但在南半球，所以其纬度为59.07S ，其经度与近日点经度相差180度，则可以算得为180-19.51=160.49E 。
5.1.2、求近月点A 距地15km 和远月点B 距地100km 的速度VA 和VB ：开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的天体运动，自然嫦娥三号在着陆准备轨道上的绕月运动也图1自转方向在此类，于是我们可以使用能量法[1]来计算V A 和V B ：如图2所示，由开普勒第一定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。
可知其中f 是月心即椭圆的焦距，月球质量M=7.3477×1022kg ，月球平均半径r=1.737013×106m ,A 到f 的距离L A =（1737.013+15）×103=1.752013×106（忽略虹湾与月平均半径的差2641m ），B 到f 的距离L B =1737.013+100=1.837013×106。
在A,B 两点分别取∆t →0,则嫦娥三号与月球的连线在这段时间内扫过的面积分别为： 11t ,t 22A A AB B B S V L S V L ∆=∆∆=∆ 根据开普勒第二定律：在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。
