江苏省必修4向量的加法(盐城中学 侯爱娟)

向量的加法

授课教师：江苏省盐城中学侯爱娟

教材：普通高中课程标准实验教科书（必修4）（苏教版）

一．教学目标

知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；

掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．

能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、创新的个性品质．

二．重点难点

重点：向量加法运算的意义和法则．

难点：向量加法法则的理解．

三．教学方法

采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．

四．教学过程

Ⅰ．创设情境直观感知

A O

梁

F

斜拉索

塔柱

斜拉桥示意图

O

F12

F

以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：

问题１：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？

问题2：这是大桥南端的A 型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为1F 、2F ，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力F 可称为力1F 与2F 的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？

力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）

Ⅱ．抽象概括 形成定义 （一）建立数学模型

若记,OA a AB b ==则向量OB 叫做向量a 与b 的和，记为a b +=OA AB OB += ．

问题3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？——AB BO AO += ，即向量AO 为向量AB 与BO 的和

（二）抽象数学概念

问题4：由此，你们能概括出一般的两个向量a 与b 和的定义吗？

学生活动：在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b 使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量a 的起点与向量b 的终点．

（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；

（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合； （3）和向量又是什么？——连接向量a 的起点与向量b 的终点，并指向b 的终点，得到的向量OB 即为向量a 与b 的和；

（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义 ．

和的定义：已知向量,a b ，在平面内任取一点O ，作,OA a AB b ==，则向量OB 叫做向量,a b 的和．记作：a b +．即a b OA AB OB +=+=．

向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．

向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．

问题5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连． 问题6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则． 问题7：平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．

两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况灵活地选择．

（三）尝试运用法则

试一试：如图，已知a 、b ，作出a b +

向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性． Ⅲ．类比猜想 探究性质

问题8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？

向量的加法

0a a +=

()0a +-=

b b a +=+

()c a b c +=++

交换律的验证让学生通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成．

研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．

Ⅳ．数学运用 深化认识

a

b

b

a a

b

a

b

例1．如图，O 为正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的中心，作出下列向量： （1）13OA OA + （2）365OA A A + （3）2365A A A A +

（4）134634A A A A A A ++ （5）1223344556A A A A A A A A A A ++++

推广1：12233411n n n A A A A A A A A A A -++++= 推广2：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++

++=

并以北京08奥运圣火的传递提供了现实原型．

最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题：

例2．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h 的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25km/h ，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？

5

A 4

A 6

A 1A 2

A 3

A O

北

东

V 水

B

V 实

V 船

A D

图1

C

V 水

V 船

D

V 实

A

图2

V 船