江苏省必修4向量的加法(盐城中学 侯爱娟)

课题：向量的加法江苏省盐城中学徐瑢一、教学目标向量是近代数学中重要的基本概念,是中学数学的核心内容,具有工具性的特点,而其工具作用主要通过向量的运算而得以体现的．向量的加法运算是向量运算的基础,它是以物理中矢量的合成为背景抽象出的一种全新的数学运算．依据《高中数学课程标准》的要求,结合学生的认知特点,确定这节课价值取向是强调本质、再现过程、发展思维、提升能力基于此,本节课的教学目标确立为:1理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律与结合律,并会简单应用；2经历将实际问题抽象为数学概念的过程,体会数学思维的严谨性和数学的简约美,同时掌握思想方法,发展各种能力；3发展学生的数学应用意识,体验数学文化,丰富学生的学习情感,提升数学素养．二、学情分析向量加法是向量运算的起始课，是学生第一次有意识地主动去定义一种全新的数学运算，是对运算认识的一次飞跃．然而学生的认知存在着不足，他们对数学运算的经验只局限于数或式等这些代数对象上，对运算的理解也仅局限于算法层面，没有经历过自觉地建构数学运算的过程，所以对于向量加法的意义建构与理解，对学生而言无疑是陌生的、有一定的难度．这就需要去分析学生已有的知识经验．其实，在物理中，学生对力、位移、速度等矢量的合成比较熟悉，这就有了得到向量加法定义及两个法则的抽象原型，同时，学生在学习《向量的概念和表示》时，已经历过从物理原型抽象出向量概念的过程，这为学生顺利抽象出向量加法的定义和法则奠定了基础；此外，学生在初中已经学习过数和式的运算律，这为学习向量加法的运算律提供了类比对象与方法．因此，教师在课堂教学过程中，应该充分发挥教学智慧，为学生提供熟悉的物理情境，给学生适时的启发、点拨，用问题去引导学生展开对物理模型的抽象，从而探究出向量加法的定义及其运算法则，再引导学生对已经学过的数与式的运算规律加以回顾，类比出向量加法的运算律，并加以验证、熟悉和应用．三、重点、难点重点：从实际问题中抽象出数学模型，引导学生归纳出向量加法的定义和运算法则，培养学生的观察发现、归纳类比、抽象概括能力；图1图3 图2 难点：对向量加法法则本质的理解 四、教法方法问题探究式 五、教学过程设计 1 问题情境师:我们知道,数能进行运算,有了运算,从而使得数变化无穷、魅力无比那么与数的运算类比,我们目前研究的向量——既有大小又有方向的量,它是否也能进行运算呢？因为向量有着丰富的物理背景,所以我们先来看几个物理现象:情境1速度的合成 今年7月,江淮流域发生了历史罕见的大洪灾．某城外有一条自西向东流淌的大河,河两岸高筑堤坝,某天,巡防队员在南岸巡逻时发现正对岸的堤坝有一处险情,他们立即跳上小船垂直向对岸驶去（如图1）,已知船的静水速度为8/km h ,河水以4/km h 的速度东流．请问如果船不改变方向,他们能否准确到达出事地点？为什么？生:由于受水流的影响,船的实际航向将会偏离,从而不能准确到达． 师:从物理角度怎么解释？生:船的实际速度应是船静水速度和水流速度的合成． 师:很好,这表明速度与速度之间是可以合成的．情境2力的合成 如图2,很熟悉吧,这是苏教版物理必修1第61页的一幅插图,它说明了什么？生:两个孩子用的力和一个成人用的力是等效的,力也是可以合成的． 情境3 位移的合成 如图3,你能读懂这幅画吗 现在仅从位移的角度看,这两种航行方式之间是何关系生:从上海到台北有两条途径,这两种航行方式是等效的,即两个位移也是可以合成一个位移的．师:在物理中,速度、力和位移都是矢量,去掉这些量的物理属性,从数学的角度来看,它们都是向量,两个矢量的合成也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——加法！这就是我们今天要研究的课题． 2 自主探究问题1 对于给定的两个向量,a b ,我们该如何定义它们的和？前面这些物理原型,给我们什么启发？师:请大家认真思考,可相互讨论交流留足够的时间供学生自主探究生:受速度和力的合成的启发,我们可以在平面内任取一点O,分别作,OA OCOA a OC b==,以,为邻边作平行四边形OABC,则以O为起点的对角线OB就是向量,a b的和如图4．师:这是通过构造平行四边形来操作的,可称之为平行四边形法则这种操作要注意什么？生:两个向量要平移至共起点,和向量为以O为起点的对角线OB．师:还有其他想法吗？生:受位移合成的启发,我们还可以在平面内任取一点O,作,==,则向量OB叫做向量OA a AB b,a b的和如图5．师:这个可称为三角形法则,在操作中要注意什么？生:首尾顺次连接．问题2 这两个法则之间有什么联系？生:在图4中,只要将向量OC平移至AB,平行四边形法则和三角形法则就可以相互转化,平行四边形法则中蕴含了三角形法则（图形中有两个完图4图5全一致的三角形）,三角形法则也可以生成平行四边形法则师:也就是说,这两者是等价的,在本质上是一致的．问题3 如果我们选择其一作为向量和的定义,你愿意选择哪一种呢？为什么？生:我愿意选择三角形法,因为它显得更简约、更容易操作．师:好,下面我们就按照这位同学说的把三角形法则作为两个向量的和的定义,请试着把它的操作过程用文字语言叙述出来．3 意义建构定义:已知向量a、b,在平面内任取一点O,作,OA a AB b==,则向量OB叫做向量,a b的和记作:a b+=+=．+,即a b OA AB OB师:由此可知,两个向量的和仍然是一个向量,它的方向可能与原来的两个向量方向都不相同,它的模也不一定是原来两个向量模的简单叠加我们把求两个向量和的运算叫做向量的加法显然,这里是通过几何作图的方式加以定义的．在具体求和时,应该根据情况灵活地选择两个法则．练习:已知a 、b ,作出a b +．（黑板上给出三个问题:①两个是不共线的向量；②两个同向共线的向量；③两个反向共线的向量）追问1:问题③是反向共线,反向共线中有一种非常特殊的情形——两个相反向量的和什么？该如何求和？生:两个相反向量,其和是0,即()0a a +-=,这种情况实质上就是向量的终点又回到起点． 师:请注意,0和0有着本质的区别；0和任意向量都共线,其和满足:0a a +=． 追问2:后面的两个小题及其拓展说明了什么？生:共线向量相加时,虽然不能构成三角形,但仍可以用三角形法则来实施操作． 追问3:共线向量相加时,能否用平行四边形法则？生:不能,因为此时不能构成平行四边形,无法确定其对角线,所以无法操作师:这进一步说明用三角形法则来定义向量的加法,不仅简约,而且全面、严谨、科学．从数学的角度看,前面提及的物理问题中矢量的合成实质上都是向量的加法．问题 4 以前学习数、字母、式的加法时,它们都满足交换律和结合律,即a b b a +=+,()()a b c a b c ++=++．那么向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？如果满足,具体形式是什么呢？生:应该满足,即交换律:a b b a +=+；结合律:()()a b c a b c ++=++ 追问:该如何来验证呢？ 生:作图．师:好,下面我们分组来试一试（学生热情高涨,思维活跃,学生代表积极交流、展示） 师:研究结果表明:向量的加法也满足交换律和结合律,这与数的加法是一致的．经过大家的协作探究,我们对向量的加法有了一些认识．向量加法的引入,丰富了加法运算的内涵,实现了加法运算的一次质的飞跃． 4 数学应用例1 如图6,O 为正六边形123456A A A A A A 的中心,作出下列向量:1132OA OA OA +=；（平行四边形法则）图62236145A A A A A A +=；（共线向量的和） 31346341634A A A A A A A A A A ++==；4122334455616A A A A A A A A A A A A ++++=；（多个向量的和） 解析:略师:更一般地,如图7,这是2021年第30届伦敦奥运会的会徽,现在,它的外围有若干向量首尾顺次相接,那么所有这些向量的和是什么？这说明什么？请用文字语言来描述．生:1n A A ,即12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=．师:其实这是连续运用三角形法则的结果．因此,这可以看作为向量加法三角形法则的推广,我们不妨称其为多个向量相加的多边形法则；进一步,如果再加上一个向量1n A A ,和向量是什么？生:0,即12233410n A A A A A A A A ++++=． 师:请用文字语言来描述．生:如果平面内有n 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线,则这n 个向量的和为0． 师:这里“终点又回到起点”,结果是0,但过程中却可以是精彩纷呈的这启示我们,生命的意义在于过程,而不是结局．例2 回到情境11如果船不改变方向,船的实际航向是什么？用与水流速度所成角的正切值表示2如果要使船能够垂直到达对岸,该如何确定其航向？解析:略师:这里的第2小题,其实质是知道了两个向量的和向量以及其中的一个向量,求另一个向量,这实际上涉及到到了两个向量加法的逆运算,是我们下一节课将要重点研究的问题5 课堂小结师:船成功到达彼岸的时刻,也是我们这节课结束的时候了本节课我们从物理原型抽象出数学模型,在此基础上去研究数学模型,最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们,数学源于生活,又服务于生活．图7图8马克思说过:一门科学只有在成功地运用数学时,才算达到真正完善的地步．向量的加法为研究物理的相关问题提供了理论基础, 随着对向量研究的逐步深入,向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用．6 课后作业（1）作业：P66 习题2．2的1，2，3（2）拓展探究：请同学们课后完成下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？（,a b 是任意两个向量，则a b +与a b +之间有什么关系？）可以根据自己感兴趣的话题进行拓展探究．。

2．2．1 向量的加法一、课题：向量的加法二、教学目标：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义； 2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和 向量；3．理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

三、教学重、难点：1．如何作两向量的和向量； 2．向量加法定义的理解。

四、教学过程： （一）复习：1．向量的概念、表示法。

2．平行向量、相等向量的概念。

3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）（A ）OB 、CD 、FE 、CB （B ）AB 、CD 、FA 、DE（C ）FE 、AB 、CB 、OF （D ）AF 、AB 、OC、OD（二）新课讲解：1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：AB BC AC +=．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．说明：①共线向量的加法： a b a b +②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a ，b，求作向量a b + .作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a = ，AB b = ，则OB a b =+.（1） （2）2．向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：AB BC AC +=．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b为邻边作ABCD，则则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

b a O BA baaACD A B C3．向量的运算律：交换律：a b b a +=+．结合律：()()a b c a b c ++=++．说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++ ；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．4．例题分析：例1 如图，一艘船从A点出发以/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

第2课时§2.2 向量的加法【教学目标】一、知识与技能（1）理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；（2）掌握两个向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算二、过程与方法从物体位移变化规律的探知中总结出向量加法规律三、情感、态度与价值观感受数学和生活的联系，增强学习数学的兴趣【教学重点难点】：：1．如何作两向量的和向量；2．向量加法定义的理解。

【教学过程】一、复习：1．向量的概念、表示法。

2．平行向量、相等向量的概念。

3．已知O点是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（）（A）OB、CD、FE、CB（B）AB、CD、FA、DE（C）FE、AB、CB、OF（D）AF、AB、OC、OD二、创设情景利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为OA，从景点A到景点B的位移为AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB ，向量OA ，AB ，OB 三者之间有何关系？OBA三、讲解新课： 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：AB BC AC +=作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =，AB b =，则OB a b =+ .（1） （2）2．向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：AB BC AC +=．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

b a O BA ba b a A BC D3．向量的运算律：交换律：a b b a +=+．结合律：()()a b c a b c ++=++．说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行： 例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．四、例题分析：例1、 如图，一艘船从A点出发以/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

第2课时 向量的加法【学习目标】1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量3.理解向量的加法交换律和结合律，并运用它们进行向量计算。

【知识要点】一、向量加法的定义向量的加法二、三角形法则向量加法的三角形法则三、平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则四、运算律（交换律、结合律）：交换律结合律【课堂探究】例1、已知向量a b r r 、 ，作出：（1）a r +b r （2）a r +b r +b r例2、如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，分别作出下列向量： （1）OA OC +u u r u u u r （2）BC FE +u u u r u u r （3）OA FE +uu r uurF BA例3、在长江南岸某渡口处，江水以12.5km / h 的速度向东流，渡船的速率是25km / h 。

若渡船要垂直地渡过长江，则其航向应如何确定？例4、已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a = ，BC b = ，AC c = ， 试作出向量a b c ++ ，并求出其模的大小。

【针对训练】1.如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n 个向量的和是多少？2.已知|AB uu u r |=8，|BC uu u r |=5，则|AC uuu r |的取值范围是3.在长江南岸某渡口处，江水以12.5km / h 的速度向东流，渡船的速率是25km / h 。

若渡船要垂直地渡过长江，则其航向应如何确定？4.已知正方形ABCD 边长为2，则||AB AD AC ++u u u r u u u r u u u r =【巩固提升】一、填空题1、=++CA BC AB =++)( ；2、在菱形ABCD 中下列等式成立的是①AB BC CA +=u u u r u u u r u u r ②AB AC BC +=uu u r uu u r uu u r ③AC BA AD +=uu u r uu r uuu r ④AC AD DC +=uu u r uuu r uuu r 其中正确的是3、若两个非零向量a r 、b r 满足|a r +b r │ = |a r |+ |b r |，则 a r 、b r 的关系为______4、设向量a r 表示“向东走6米”，b r 表示“向北走6米”，则|a r +b r │= ，a r +b r 方向为5、已知a r 、b r 的模分别为4、5，则|a r +b r │的最大值为 最小值为6、在四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r 且||||AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 为7、已知||3,||3,90O OA OB AOB ==∠=u u r u u u r ，则||_________OA OB +=u u r u u u r二、解答题8、如图所示，已知多边形ABCDE ，AB uu u r = a r 、BC uu u r = b r 、 CD uu u r = c r 、DE uuu r = d u r 。

《向量的加法》教学设计江苏睢宁高级中学南校孙永一．教材分析：本节内容位于高中数学教材必修4第二章《平面向量》的第二节第一课。

向量的加法是我们在学习完向量的基本概念后首先要掌握的一种运算，本节内容的学习既能够加深对向量概念的深层次理解，也能为以后学习向量减法，实乘向量及平面向量基本定理等知识奠定基础，因此，本节内容起着承上启下的重要作用。

由于之前物理里面也学习过力、速度等矢量的分解，因此学生对向量的加法具有一定的基础，在向量的加法学习过程，学生能够与物理中学习过的内容联系起来，对于新课学习很有帮助。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一个本节课最重要的内容，讲授时应一次到位。

不仅要讲述清楚、表述规范，还有通过问题的解决加以强调，并要求学生亲自实践以加深理解。

向量加法的运算律也是本节课的重点内容。

其结论不应简单的给出，而应该让学生按照加法法则作图检验。

二．教学目标：（一）知识和能力：1．通过本节课的学习，学生掌握向量加法的概念，能熟练运用向量加法的平行四边形法则和三角形法则作出两个或多个向量的和。

掌握向量加法的交换律和结合律，并能在解决具体问题中熟练的运用这些知识。

（二）情感、态度与价值观：学生经历类比物理中求合力的平行四边形法则及30届青少年科技创新大赛机器人的行走位移到向量加法问题的提出的过程，能感受到数学问题来自于客观现实，感受到学好数学有利于解决实际问题。

学生经历用三角形法则与平行四边形法则进行向量求和的作图过程，不仅深刻理解了物理中的力、速度的合成分解的作图方法，体现出数学的实用性，还感受到了数学和物理的合作，从而感悟出一种合作精神，迁移到同学们的学习和生活中，便能体会出团结协作尤为重要。

三．学情分析与教法设计：（一）学情分析1．知识方面本节课学习之前，学生学习了向量的概念，对向量的方向性有了一定的认识。

更重要的是学生在物理中的学习过一些矢量的正交分解（如力的正交分解）概念，这为学习向量的加法作了最好的铺垫。

2．2.1 向量的加法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算．(2)通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．(3)初步体会数形结合在向量解题中的应用．2．过程与方法教材利用学生熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法．最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神．●重点难点重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则．难点：向量加法的交换律与结合律的推导．(教师用书独具)●教学建议1．关于向量加法的教学教学时，建议教师从教材实例出发，结合物理学中的位移概念给出向量加法的背景进行教学，在此基础上给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，让学生理解向量的加法的同时领悟数形结合的思想．2．关于向量加法的运算律的教学教学时，建议教师类比数的运算律结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则给出向量加法的运算律，由于向量加法的运算律是研究向量线性运算的前提和基础，为增强学生对该知识点的印象，建议教学过程中最好让学生自己完成对该问题的证明．●教学流程创设问题情境，引出问题，两个向量相加结果等于它们的模相加吗？⇒引导学生利用物理知识，通过类比、比较分析的方法，发现并理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则.⇒通过类比数的运算律，结合向量加法的三角形和平行四边形法则，探究向量加法的运算律.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用三角形法则、平行四边形法则及向量加法的运算律进行向量的化简与运算的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用向量知识证明平面几何问题的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用向量加法解决实际应用问题的方法.⇒归纳整理，进行课常小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.课标解读1.了解向量加法在物理学中的背景知识．2.掌握向量加法的运算(三角形法则和平行四边形法则)，理解向量加法的几何意义．(重点、难点)3.会推导向量加法的交换律与结合律.向量加法的定义【问题导思】(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．上面实例中，体现了向量的什么运算？【提示】体现了向量的加法运算．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．向量加法的运算法则【问题导思】上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？ 【提示】 三角形法则和平行四边形法则．(1)三角形法则：如图2－2－1，已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则向量OB →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →.图2－2－1(2)平行四边形法则：图2－2－2向量加法的运算律【问题导思】向量的加法既然是一种运算，它是否也和实数加法的运算律有相似的运算律？ 【提示】 有．(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a.(2)结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c).向量加法的化简与运算图2－2－3化简或运算： (1)(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →.(2)如图2－2－3所示，梯形ABCD 中，|DA →|＝8，|BC →|＝10，试求|BC →＋DA →|. 【思路探究】 (1)根据向量字母的排列顺序，运用运算律适当组合后运算． (2)利用三角形法则，先求和向量，再求模． 【自主解答】 (1)原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →. (2)如图所示，作CE →＝DA →，则BC →＋DA →＝BC →＋CE →＝BE →， 结合图形可知|BC →＋DA →|＝|BE →| ＝|BC →|－|CE →|＝|BC →|－|DA →|＝10－8＝2.求向量的和要考虑用向量加法的运算律和运算法则．求和的关键是利用向量加法的三角形法则，在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．此类题要利用运算律将“首尾相接”的两个向量分在一组，多个向量求和也要注意首尾相连．(1)下列各式中结果为0的个数是________．①AB →＋BC →＋CA →；②OA →＋OC →＋BO →＋CO →；③AB →＋CA →＋BD →＋DC →. (2)已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量： ①OA →＋OE →； ②AO →＋AB →； ③AE →＋AB →.【解】 (1)①原式＝AC →＋CA →＝0；②原式＝(BO →＋OA →)＋(CO →＋OC →)＝BA →＋0＝BA →； ③原式＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0. 故①③符合． 【答案】 2(2)①由图知，OAFE 为平行四边形． ∴OA →＋OE →＝OF →；②由图知，OABC 为平行四边形， ∴AO →＋AB →＝AC →；③由图知，AEDB 为平行四边形， ∴AE →＋AB →＝AD →.向量加法在平面几何中的应用图2－2－4如图2－2－4，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．【思路探究】 要证明四边形ABCD 是平行四边形，只需证明AD →＝BC →，且A ，B ，C ，D 不在一条直线上即可．【自主解答】 由向量的加法法则，知： AD →＝AO →＋OD →，BC →＝BO →＋OC →. ∵DO →＝OB →，∴OD →＝BO →. 又AO →＝OC →，∴AD →＝BC →.∵A ，B ，C ，D 不在一条直线上，∴AD 綊BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原成几何问题．图2－2－5如图2－2－5所示，四边形ABCD 是平行四边形，且BE ＝DF ，求证四边形AECF 是平行四边形．【证明】 ∵BE ＝DF ， 且BE →，FD →方向相同，∴BE →＝FD →.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴AB →＋BE →＝DC →＋FD →， ∴AE →＝FC →，即AE 与CF 平行且相等， ∴四边形 向量加法的实际应用一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速度间的夹角表示)．【思路探究】 因为速度既有大小又有方向是向量，所以速度的和即为向量，使向量与实际问题建立联系，从而顺利解决问题．【自主解答】 如图，设AD →表示船垂直于对岸行驶的速度，AB →表示水流的速度，以AD →，AB →为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝2，|BC →|＝23，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝22＋232＝4，因为tan ∠CAB ＝232＝3，所以∠CAB ＝60°.故船实际航行速度的方向与水流速度成60°角，大小为4 km/h.1．借助物理知识和生活常识，把实际问题抽象为向量的加法运算．依据三角形法则或平行四边形法则正确作出向量图，再利用三角形的有关知识，求解相应问题． 2．所求向量的方向一般要借助相对某一指定方向形成的角体现．图2－2－6如图2－2－6，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．【解】 如图，设CE →，CF →分别表示A ，B 处所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|cos 30°＝10×32＝53，|CF →|＝|CG →|c os 60°＝10×12＝5.∴A 处所受的力的大小为5 3 N ，B 处所受的力的大小为5 N.忽视零向量与数0的区别致误化简AB →＋BC →＋CA →.【错解】 AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0.【错因分析】 错解的原因是混淆了数0和零向量这两个不同的概念，结果应为零向量． 【防范措施】 向量相加或相减，其结果仍然是向量，注意0与0的不同． 【正解】 AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．1．在四边形ABCD 中，CB →＋AD →＋BA →等于________． 【解析】 CB →＋AD →＋BA →＝CA →＋AD →＝CD →.【答案】 CD →2．在矩形ABCD 中，若|AB →|＝4，|BC →|＝3，则|AB →＋AD →|＝________.【解析】 如图，根据平行四边形法则得AB →＋AD →＝AC →，而矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝3，则|AC →|＝5，故|AB →＋AD →|＝5.【答案】 5 3．下列说法：(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同； (2)在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；(3)AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；(4)若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中正确说法的个数为________．【解析】 (1)当a ＋b ＝0时，命题不成立，(1)错；(2)正确；(3)当A ，B ，C 三点共线时，也可以有AB →＋BC →＋CA →＝0，(3)错；(4)当a ，b 共线时，若a ，b 同向，则|a ＋b|＝|a|＋|b|；若a ，b 反向，则|a ＋b|＝||a|－|b||；当a ，b 不共线时|a ＋b|＜|a|＋|b|，(4)错． 【答案】 14．一条渔船距对岸4 km ，以2 km/h 垂直于对岸的速度向对岸划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，求河水的流速．【解】 如图所示，设AB →表示船垂直于对岸的速度，BC →表示水流的速度．则由AB →＋BC →＝AC →知AC →就是渔船实际航行的速度，航行时间为4÷2＝2(h)．在Rt △ABC 中，|AB →|＝2，|AC →|＝8÷2＝4.∴|BC →|＝2 3. 故河水的流速是2 3 km/h.一、填空题1．化简：AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________.【解析】 AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝0. 【答案】 0图2－2－72．如图2－2－7，在平行四边形ABCD 中， (1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________. 【解析】 (1)AB →＋AD →＝AC →. (2)AC →＋CD →＋DO →＝AO →. (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. 【答案】 (1)AC → (2)AO → (3)AD →3．已知a 表示“向北走5 km”，b 表示“向西走5 km”，则a ＋b 的方向是________，|a ＋b|＝________.【解析】 如图可知a ＋b 的方向是北偏西45°，|a ＋b|＝5 2. 【答案】 北偏西45° 5 2图2－2－8 4．如图2－2－8，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________． ①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋BC →|＝|CA →|；③|AB →＋CA →|＝|BC →|；④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.【解析】 ①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，∴▱ABDC 为矩形，∴AD ＝BC ，∴|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋BC →|＝|AC →|＝|CA →|.③正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.④正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.【答案】 ①②③④图2－2－95．(2013·天津高一检测)如图2－2－9，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝________.【解析】 OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →.【答案】 OC →图2－2－106．(2013·肇庆高一检测)如图2－2－10，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是________．①FD →＋DA →＝FA →；②FD →＋DE →＋EF →＝0；③DE →＋DA →＝EC →；④DA →＋DE →＝FD →.【解析】 根据三角形法则可知①②正确．∵D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，∴四边形ADEF 和四边形DECF 都是平行四边形，∴DA →＋DE →＝DF →，EC →＝DF →，∴DE →＋DA →＝EC →，故③正确，④不正确．【答案】 ④7．若P 为△ABC 的外心，且PA →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝________.【解析】 如图，∵PA →＋PB →＝PC →，∴四边形APBC 组成平行四边形，又P 为△ABC 的外心，∴|PA →|＝|PB →|＝|PC →|，因此∠ACB ＝120°.【答案】 120°8．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．【解析】 如图，渡船速度OB →，水流速度OA →，船实际垂直过江的速度OD →，依题意，|OA →|＝12.5，|OB →|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD →|＝|OA →|，又OD ⊥BD ，∴在直角三角形OBD 中，∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.【答案】 北偏西30°二、解答题图2－2－119．如图2－2－11所示，已知向量a ，b ，c ，试用三角形法则作a ＋b ＋c.【解】 如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b.作BC →＝c ，则OC →＝(a ＋b)＋c ＝a ＋b ＋c ，即OC →为a ＋b ＋c.图2－2－1210．如图2－2－12，已知P ，Q 为△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC.求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.【解】 法一 (AB →＋AC →)－(AP →＋AQ →)＝(AB →－AP →)＋(AC →－AQ →)＝PB →＋QC →.因为BP ＝QC ，且PB →与QC →方向相反，故PB →＋QC →＝0，即(AB →＋AC →)－(AP →＋AQ →)＝0，因此AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.法二 如图所示，取BC 中点D ，连结AD.在△ABC 中，因为D 为BC 中点，所以AB →＋AC →＝2AD →.又BP ＝QC ，所以在△APQ 中，PD ＝QD ，所以AP →＋AQ →＝2AD →.故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.11．轮船从A 港沿北偏东60°方向行驶了40 km 到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40 km 到达C 处，求此时轮船到A 港的相对位置．【解】 如图，设AB →，BC →分别是轮船两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，则|DC →|＝|DB →|＋|BC →|＝60 km.在Rt △ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝403(km)，所以∠CAD ＝60°.即此时轮船位于A 港北偏东30°，且距离A 港40 3 km 处．(教师用书独具)如图所示，在正六边形OABCDE 中，若OA →＝a ，OE →＝b ，试用向量a ，b ，将OB →，OC →，OD →表示出来．【思路探究】 用向量a ，b 表示OB →，OC →，OD →，要利用正六边形的性质，用平行向量、相等向量的知识和向量加法的运算法则求解，结合图形，适当地选取法则是解决此类问题的关键．【自主解答】 设正六边形的中心为P ，则四边形ABPO ，AOEP 均为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，知OP →＝OA →＋OE →＝a ＋b.∵AB →＝OP →，∴AB →＝a ＋b.在△AOB 中，根据向量的三角形法则，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋(a ＋b)＝2a ＋b ，∴OC →＝OB →＋BC →＝2a ＋b ＋b ＝2a ＋2b ，OD →＝OE →＋ED →＝OE →＋AB →＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b.用三角形法则求两个向量和的步骤是：第一步：将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重合； 第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和．若正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c.试作出向量a ＋b ＋c ，并求出其模的大小．【解】 根据平行四边形法则可知，a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →.根据三角形法则，延长AC ，在AC 的延长线上作CE →＝AC →，则a ＋b ＋c ＝AC →＋AC →＝AC →＋CE →＝AE →(如图所示 )．∴|a ＋b ＋c|＝|AE →|＝212＋12＝2 2.。

§2.2.1向量的加法
班级： 姓名：
学习目标
1． 理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法那么作两个向量的和，并由此为根底推导
出平行四边形法那么，向量加法的交换律和结合律；
2．掌握向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么，会用向量加法的交换律和结合律进行向量运算；
3．经历将实际问题抽象为数学概念的过程，体会数学思维的严谨性和数学的简约美，同时掌握思想方法，丰富学生的学习情感，提升数学素养
学习过程
一、新课导学：
〔预习教材
/h 假设要使渡船垂直
地渡
过长江,其航向应如何确定
自我评价
A
1 2
※你完本钱节导学案的情况为〔〕
A 很好
B 较好
C 一般
D 较差
※〔时间：10分钟总分值：60分〕计分：
1、化简以下各式：
2、一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，那么飞行的路程为；两次位移的和的方向为，大小为千米。

3、在△ABC中，D为边BC的中点，求证：
4、如图，一艘船从A点出发以2错误!m/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向用与流速间的夹角表示。

互动课堂疏导引导1.向量求和的三角形法则已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和向量，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.这种求两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则（如图所示）.疑难疏引①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.②向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.③当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.2.向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.（2）向量加法的交换律：a+b=b+a.简证如下：①若a、b不共线，作AB=a，BC=b，则A、B、C三点不共线，AC=a+b.作AD=b，连结D、C（如下图），由于AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形.∴DC AB，∴|DC|=||=|a|，又DC与同向，∴AB=DC，此时有b+a=AD+DC=AC，即有a+b=b+a.②当a与b共线且同向时，a+b及b+a都与a同向，且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=|b|+|a|.a+b与b+a 同向，故有a+b=b+a.③当a与b共线且反向时，不妨设|a|＞|b|，且|a+b|=|a|-|b|,b+c与a同向，且|a+b|=|a|-|b|，b+a 与a同向，且|b+a|=|a|-|b|.故a+b与b+a同向，因此a+b=b+a.综合①②③知a+b=b+a. （3）向量加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）验证如下：如下图，（a+b）+c=OB+BC=OC，a+（b+c）=OA+AC=OC∴（a +b ）+c =a +（b +c ）.疑难疏引 向量加法的运算律同实数加法的运算律一致，却满足交换律与结合律，由于向量的加法具有这两个运算律，因此，对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.3.向量求和的平行四边形法则 已知两个不共线的向量a ，b ，作AB =a ，AD =b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC =a +b .这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.疑难疏引 当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，当两向量为共线向量时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适合了.因此在选用两个法则进行向量求和时应熟练、灵活.4.向量求和的多边形法则已知n 个向量，依次将这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量，此法则叫做向量求和的多边形法则.规律总结 ①向量求和的多边形法则实际上是三角形法则的推广；三角形法则是多边形法则的特例.三角形法则适用于两个向量的求和，而多边形法则适用于多个向量的求和，两个法则的共同点是将加数向量首尾顺次连接，和向量的起点是第一个向量的起点，终点是最后一个向量的终点.②首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，其各向量的和为0.③不论采用何种法则求向量的和，其最后的结果是相等向量.5.向量加法的实际应用向量的加法在日常生产、生活中应用广泛，主要体现在求两个或多个向量的和向量，可选用灵活的法则解决.案例 一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.【探究】 本题是用向量解决物理问题，可先用向量表示速度，再用向量的加法合成速度即可.【解】如右图，OA 表示水流速度，OB 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC 表示船实际航行的速度，∠AOC=30°，|OB|=5 km/h.∵四边形OACB 为矩形,∴||=||c ot30°=35，︒=30sin ||||OB =10.∴水流速度大小为35km/h ，船实际速度为10 km/h ，与水流速度的夹角为30°.规律总结 用向量解决实际问题的步骤为①用向量表示实际量；②进行向量运算；③回扣实际问题，作出回答.活学巧用【例1】已知a ∥b ，试用向量加法的三角形法则作出向量a +b .（1） （2）解析：a ∥b 时，也可用向量加法的三角形法则求出其和向量.（1）作AB =a ，BC =b .则a +b =AB +BC =AC ，如下左图所示.（2）作11B A =a ，11C B =b .则a +b =11B A +11C B =11C A 如上右图所示.【例2】已知非零向量a 、b ，试说明|a +b |与|a |+|b |的大小.解析：解答本题可用向量加法的三角形法则作出图形辅助解决，并且要注意分类讨论.（1）当a 、b 不共线时，根据向量求和的三角形法则显然有|a +b |＜|a |+|b |.（2）当a 、b 方向相同时，有|a +b |=|a |+|b |.（3）当a 、b 方向相反时，有|a +b |＜|a |+|b |. 综以上有|a +b |≤|a |+|b |.【例3】在矩形ABCD 中，等于（ ） A.BC + B.+ C.+CD D.DC + 解析：画出图形，帮助分析.若对向量求和的本质理解深刻了，也可直接按照向量加法的交换律运算.显然，D 选项中，+=+=.而其他的选项运算的结果不是. 答案：D【例4】化简下列各式.（1）CD +BC +AB ；（2）++；（3）++++.分析:根据向量加法的运算律，对于多个向量求加法时，可以按照需要将向量组合，使之构成首尾相接，进行运算，第（1）个可以使用结合律转化为求++的和；第（2）个则可以直接运算；第（3）个各向量首尾相接，恰好构成一个向量链，因此，可直接计算. 解：（1）CD+BC+AB=AB+BC+CD=AD.（2）AB+BC+CA=0.（3）AB+BC+CD+DE+EF=AF.【例5】如图，在ABCD中，已知有以下4个等式，其中正确式子有__________个（）①AB+AD=AC；②AC+DO+CD=AD；③AB+AD+CD=CB；④AC+BA+DA=0.A.1B.2C.3D.4解析：本题要结合图形及向量加法的运算律对选项中的等式一一验证.①AB+AD=AB+BC=AC，故①正确；②AC+DO+CD=AC+CD+DO=AO≠AD.故②不正确；③AB+AD+CD=AC+CD=AD≠CB，故③不正确；④AC+BA+DA=BA+AC+DA=BC+DA=AD+DA=0.故④正确.答案：B【例6】在正六边形中，若OA=a，OE=b，试用向量a、b将OB、OC、OF表示出来.分析:如右图所示，在正六边形中，有很多菱形、三角形，这就为使用向量求和的三角形法则或平行四边形法则创造了条件.解：设正六边形的中心为P，则OB=OP+OA=（OA+OE）+OA=a+b+a.OC=OP+PC=OP+OP=a+b+a+b.由对称性知：OF=+=b+b+a.【例7】如图甲所示，已知向量a、b、c，试求作向量a+b+c.解析：如图乙所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA=a，然后再作AB=c，再后作BC=b，由向量求和的多边形法则可得OC=OA+AB+BC=a+c+b=a+b+c，OC即为所求向量.【例8】已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证: EF+EF=AB+DC.证明：如右图，在平面内取点O，连结、、、、、，则=+OF=+++，=+，=+=+++++.∵E、F是AD、BC的中点，∴=，=.∴+=+++++++=+AO+OB+FC++AO+OB+=（AO+OB）+（DA+AO+OB+BC）=AB+DC.【例9】轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置.分析:解决本题画图非常关键，要求轮船与A港的相对位置，即求位置向量的大小与方向，解决此问题应首先画图，再设向量，通过向量的运算最后得出答案.解：如右图所示，设、分别是轮船两次位移，则表示两次位移的合位移. 即=+BC ，在Rt △ABD 中，|DB|=20 km ，||=203 km ，在Rt △ACD 中，|340||||22=+DC AD km ，∠CAD=60°，即此时轮船位于A 港东偏北60°，且距离A 港340km 处.。

第二教时 向量的加法目的：1、理解向量加法的意义2、理解向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则 作几个向量的和向量。

3、理解向量加法的运算律：交换律和结合律4、数形结合的数学思想方法。

学习重点：向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则学习难点：向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则及作图方法 学习过程：一、 情景导入：（3分钟）2003年春节探亲时，由于某某和祖国大陆之间没有直达航班，某老先生只好从台北经过某某，再抵达某某，这两次位移之和是什么？ 二、学导结合 向量是否能进行运算？1． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+2． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 4． 船速为AB ，水速为BC ， 则两速度和：AC BC AB =+ 向量的加法 1． 定义：2．三角形法则（作图演示）：作图关键 ：平移向量使得两向量首尾相连 3．已知向量a 、b ，求作向量a +b 及b +aA BCA BCA B Cb作法：4．加法的交换律和平行四边形法则 上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则2︒向量加法的交换律：a +b =b +a问题1：两种求和法则有什么关系？向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，但两个向量共线时，三角形法则更有优势。

加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

问题2：如何求平面内n （n ＞3）个向量的和向量？112231n n OA A A A A A A -++++n OA =问题3：若点O 与点An 重合，你将得出什么结论？例1：如图，一艘船从A 点出发以km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h 。

总 课 题 平面向量 分 课 题向量的加法教学目标 理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，掌握加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的运算。

重点难点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

向量加法的交换律和结合律。

引入新课问题1、利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA ，从景点A 到景点B 的位移为AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是（如图）这里，向量，AB ，三者之间有什么关系？1、向量加法的定义____________________________________________2、向量加法的三角形法则________________________________________ 具体步骤：（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。

（2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。

简记为“首尾相连，首是首，尾是尾”3、向量加法的平行四边形法则_______________________________________4、对于零向量和任一向量a有a a a=+=+00，对于相反向量有()()0 =+-=-+a a a a 5、向量加法的运算律交换律____________________________ 结合律______________________________OBA6、如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n 个向量的和是什么？例题剖析例1、作出下列向量的和：例2、如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）+ （2）+ （3）FE +例3、在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡船的速度为h km /25。

渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？a bbbaa(1)(2)(3)OEFCD巩固练习1、化简 =++++FA BC CD DF AB ________________________________。