测量学与地图 第九讲 地图数学基础

3.地图数学基础
3.1地理坐标系
地理坐标系<Geographic Coordinate Systems），指地表实体经度面、纬度面与地心夹角，可理解为经纬度坐标。

在Geographic Coordinate Systems目录中，我们可以看到已定义的许多坐标系信息，典型的如Geographic Coordinate Systems\Asia目录下的Beijing 1954.prj，里面所定义的坐标参数描述了地理坐标系的名称、大地基准面、椭球体、起始坐标参考点、单位等。

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3.2投影坐标系
投影坐标系<Projected Coordinate Systems），可称为大地坐标系，指将地表弧面投影到平面坐标系的坐标值，可理解为公里网坐标。

在Projected Coordinate Systems目录中，我们可以看到已定义的许多坐标系信息，典型的如Projected Coordinate Systems\Gauss Kruger\Beijing1954目录下的Beijing 1954 GK Zonep1EanqFDPw
18N，里面所定义的坐标参数描述了投影坐标系的名称、地理坐标系、大地基准面、椭球体、起始坐标参考点、单位等。

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3.3 两大坐标系区别
关于地理坐标系和投影坐标系的区别，投影坐标系＝地理坐标系＋投影过程。

注意：详见压缩包“10-9.RAR、10-10.rar”中的视频RTCrpUDGiT
申明：
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地图数学基础地图数学基础是地图上确定地理要素分布位置和几何精度的数学基础。

包括：①坐标网。

即控制制图资料转绘精度和方便用图的坐标网格。

古代以计里画方网格作为制图网，近代主要用地理坐标网和直角坐标网。

地理坐标网是按照一定投影方法，将地球椭球面上的经纬线描绘在平面上的网格。

因地图投影不同，坐标网常表现为不同系统和形状，构成有一定变形规律的经纬网格。

一般在<1：20万比例尺地形图上都绘有经纬网，>1：10万比例尺图上，图廓间绘有分度带，用以确定点位的地理坐标；②比例尺。

表示地图图形缩小程度。

通常绘注在地图上的为主比例尺，只有某些线或点符合比例尺。

一般大比例尺地图，内容较详，几何精度高，可用于图上量测，小比例尺地图，内容概括，不宜于图上量测；③大地控制网。

将地球上的自然表面转移到椭球面上，并使地图上的地理要素对于坐标网具有正确的位置。

包括平面控制网和高程控制网，前者作为平面位置的基本控制，由三角测量或导线测量方法建立，大地点的大地坐标通过投影换算成平面直角坐标，可直接控制地形测图；后者用水准测量方法建立，作为地形图上高程的基本控制。

比例尺愈大，要求表示控制点的种类和数量愈多；中小比例尺地图上由于坐标网为经纬度，一般不再表示控制点。

地图投影大比例尺：高斯-克吕格投影；中小比例尺：Lambert投影。

①我国基本比例尺地形图(1:100万、1:50万、1:25万、1:10万、1:5万、1:2.5万、1:1万、1:5000),除1:100万外均采用高斯—克吕格投影为地理基础；②我国1：100万地形图采用了Lambert投影（正轴等角割圆锥投影），其分幅原则与国际地理学会规定的全球统一使用的国际百万分之一地图投影保持一致。

为控制投影变形，高斯-克吕格投影采用6°带、3°带分带投影的方法。

我国：① 6°带： 1:2.5万-1:50万地形图② 3°带：≥1:1万比例尺地形图高斯投影坐标网经纬网①在1:5000～1:25万比例尺地形图上，经纬线只以内图廓线形式呈现，并在图幅四个角点处注明度数。

第三章地图的数学基础第一节地图投影的概念地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。

地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独立的学科。

我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确的辨认使用各种常用的投影。

一、地球的形状和大小地球的形状近似于一个球体，但并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似于梨形的椭球体。

这个不规则的地球体满足不了测绘工作的需要，于是人们选择了一个最接近地球形状的旋转椭圆体表示地球，称为地球椭球体。

地球椭球体的大小，由于推算所用资料、年代和方法不同，许多科学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同，我国1953年以前采用海福特椭球体，从1953年起采用克拉索夫斯基椭球体，它的长半径a=6378245m，短半径b=6356863m ，偏率d=a-b/a=1：298.3 这是原苏联科学家克拉索夫斯基1940年测定的。

由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比例尺地图时，因为缩小的程度很大，如制作1：1000万地图，地球椭球体缩小1000万倍，这时长短半径之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地图时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体，地球半径为6371km。

制作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。

二、地图表面和地球球面的矛盾地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。

无论是将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。

三、地图投影的概念球面上任一点的位置是用地理坐标（φ、λ）表示的，而平面上点的位置是用直角坐标（纵坐标是x,横坐标是y）表示的，所以要将地球球面上的点转移到平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与平面坐标之间的关系。

第 9 章 地形图的基本知识本章导读【本章提要】本章介绍了大比例尺地形图的基本知识，内容包括：地形图的比例尺、地形 图的分幅和编号以及地形图上地物和地貌的表示方法。

【学习目标】要求掌握比例尺精度，等高线的有关概念及其特性。

9.1 地形图的基本知识9.1.1 地形图的概念地球表面千姿百态，错综复杂，有高山、峡谷、平原，有河流、房屋等，这些统称为地形。

地形分为地物和地貌两大类。

地物是指地球表面上的各种固定性物体，可分为自然地物和人工地物，如房屋、道路、江河、森林等。

地貌是指地球表面高低起伏的自然形态，如高山、平原、盆地、陡坎等。

按一定的比例尺将地球表面上的各种地物、地貌以及相关地理要素沿铅垂线方向投影到水平面上,并运用《地形图图式》统一规定的符号和注记表示地物的平面位置和地貌起伏状况的图，称为地形图。

地形图主要描述地球面上地物、地貌位置、形状、大小以及基本属性信息，表示了一定区域的自然、社会、经济与文化等重要信息，是国家政治、军事、经济建设的重要信息资源文件。

如果仅反映地物的平面位置，不反映地貌变化的图，称为平面图。

在进行渠道、道路等带状工程建设时，需要了解工程沿线的地面起伏状况，为此目的而测绘的表示地面上某一方向起伏的图，称为断面图。

9.1.2 地形图的比例尺无论是平面图、地形图或断面图都不能按照实地真实的大小进行绘制，必须依一定的比例加以缩小。

图上任一线段的长度与地面上相应线段水平距离之比，称为图的比例尺。

常见的比例尺表示形式有两种：数字比例尺和图示比例尺。

1. 数字比例尺以分子为 1 的分数形式表示的比例尺称为数字比例尺。

设图上一条线段长为 d ，相应的实地水平距离为 D ，则该地图的比例尺为：d= 1 DM（1-1）式中，M 称为比例尺分母。

比例尺的大小视分数值的大小而定。

M 越大，比例尺越小；M越小，比例尺越大。

数字比例尺也可写成 1：500、1：1 000、1：2 000 等形式。

地形图按比例尺的大小分为三类：1：500、1：1 000、1：2 000、1：5 000 为大比例尺地形图；1：10 000、1：25 000、1：50 000、1：100 000 为中比例尺地形图；1：250 000、1：500 000、1：1 000 000 为小比例尺地形图。

第一章测量与地图学基础知识第一节：地球的形状和大小一、地球自然表面地球真正的形状并不是一个完美的标准的圆球体，而是一个两极略扁的，赤道半径略长，北级略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。

由于只有地球具有这种独特的形状，称之为地球体二、地球体的物理表面1.水准面：为了寻求一种规则的曲面来取代地球的自然表面，人们设想当海水在“完全”静止状态下，把它延伸到大陆内部，形成包围整个地球的连续闭合表面，它处处与铅垂线(重力方向)正交，这个静止的水面叫做水准面（处处与重力方向线垂直的连续曲面）2、大地水准面：设想处于完全静止的平均海水面向陆地和岛屿延伸所形成的闭合曲面==是描述地球形状的一个重要物理参考面，也是海拔高程的起算面。

大地水准面是测量工作的基准面。

==地球上的质点所受的万有引力与离心力的合力称为重力(gravity)，重力的方向称为铅垂线(plumb line)方3、大地体：大地水准面所包围的代表地球形状和大小的形体该几何体必须满足两个条件：①形状接近地球自然形体；②可以用简单的数学公式表示。

三、地球体的数学表面：1、椭球体－以大地体短轴（地轴）为旋转轴所成的椭球体，通常称地球椭球体，或旋转椭球体，简称椭球体或椭球。

在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体。

它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面即是个可以用数学模型定义和表达的曲面椭球体三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f第二节地面点位置的表示方法确定地面点在地球椭球体上的位置。

包括两个方面：一是点在地球椭球体面上的平面位置，即经度和纬度；二是确定点到大地水准面的高度，即高程。

坐标(一) 地理坐标系―子午圈与纬圈在椭球面上是两组正交的曲线，它们在椭球面上构成的坐标系称为地理坐标系1、天文坐标：表示地面点在大地水准面上的位置。

2、大地地理坐标：表示地面点在参考椭球面上的位置。

（LB）（二）平面直角坐标由于地理坐标是球面坐标，在工程建设规划、设计、施工中，测量和计算十分不便。

地图的数学基础Tom Xu中国地质大学（北京）土地学院March, 2006序1.地球体1.1 地球的自然表面1.2 地球的物理表面1.3 地球的数学表面2. 坐标系与高程系2.1 坐标系2.2 高程系2.3 卫星定位技术3. 地图比例尺3.1 地图上标注的地图比例尺的形式3.2 地图的比例尺系统4. 地图投影4.1 地图投影的实质4.2 地图投影的变形4.3 地图投影的分类4.4 地图投影的选择4.5 地图投影的变换5. 地图定位5.1 地形图的定位5.2 小比例尺地图的定位序地图的数学基础,是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等数学要素。

为了解地图上这些数学要素是怎么建立起来的，首先必须搞清楚地球是一个怎样的形体。

然后，便引出另一个问题：地球是圆的还是平的？空间采取什么样的方法，才能将球面的景物精确地描绘到平面图纸上？这是地图学要解决的第一个矛盾，从而引出经纬网、坐标网和大地控制点的概念。

而讨论这些内容的目的，是要解决球面上点位的坐标，与图面上相对应点位的坐标，如何建立起严格的一一对应的函数关系。

这就是地图投影要回答的问题。

地图是地面景物的缩小表示。

将地球表面的景物描绘到地图面上，遇到的第二矛盾是大与小的矛盾，要解决这个矛盾，必须将地面景物依照一定的比率进行缩小表示。

这就是比例尺所要解决的问题。

1. 地球体1.1 地球的自然表面人类很早就很关注自己世代繁衍生息的场所，但由于古代的科学技术不发达，人类对自己生活空间的认识曾相当局限。

如早在我国春秋时期（公元前770~476年），就曾有“天圆地方说”，后来称之为“盖天说”。

后汉时期的张衡（公元79~139年）创立了“浑天说”，提出了大地是球体的概念。

古希腊学者托勒密在公元2世纪创立了“地心说”，也认为大地是个球形体，大地是宇宙的中心，其他星球均围绕大地运行。

但是，对大地是球体的早期认识，应该归功于古希腊学者毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580~前500年）和亚里斯多得（Aristotle，公元前384~322年），他们在两千多年前就确信地球是圆的。