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第4章 控制系统的频率特性

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系统的频率特性

系统的频率特性
➢最小相位系统和非最小相位系统； ➢闭环频率特性与频域性能指标； ➢系统辨识（实验法确定系统频率特性的过程）。
11:06:58
3
本章学习要求、重点、难点
➢学习要求 掌握频率响应和频率特性的概念和含义，会根据传 递函数求频率特性。 掌 握 频 响 特 性 的 图 形 描 述 方 法 ： Bode 图 、 Nyquist 图 及 其 绘 制 方 法 。 掌 握 典 型 环 节 的 Bode 图 和 Nyquist图的特点和绘制方法。 掌握最小相位系统和非最小相位系统的概念及本质。 掌握频域性能指标的含义及求法。
是这一变化导致了线性时不变系统不能准确、快速地响应输
入信号（时域响应上表现为输出信号波形与输入信号波形不
同或滞后），产生误差。为了减小误差，我们需要知道B和
随是如何变化的，变化的原因是什么，怎样才能快速准
确地响应。 为了表示B和随变化，我们写成B()和()。
11:06:58
10
5-1 频率特性
➢系统的频率特性可以从两方面来衡量：
稳态响应为Css(t)=Bsin(ωt+φ)，其中：
B A G( j)
G( j) arctan
Im Re
G( G(
j j
) )
G( j) G(s) G( j) e j() s j
称为正弦值B、输出与输入的相
位差一般要随着正弦输入信号的频率的变化而变化，正
了解用开环频率特性求闭环频率特性的方法；了解 开环增益的求法。
了解实验法确定系统频率特性的方法和过程（系统 辨识）。
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4
本章学习要求、重点、难点
➢本章重点
频率响应和频率特性的概念和含义，会根据传递函 数求频率特性； 典型环节的Bode图和Nyquist图及其特点； 最小相位系统和非最小相位系统的概念及本质； 频域性能指标的含义及求法。

自动控制原理与系统控制系统的频率特性

自动控制原理与系统控制系统的频率特性

如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。

第四章系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析

第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。

将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。

4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。

4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。

解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。

解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。

4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。

t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。

解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。

t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。

S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。

S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。

电力系统控制与调度自动化第四章

电力系统控制与调度自动化第四章

第四章 电力系统频率控制
第三节电力系统的频率调整
一、系统频率的一次调整 电力系统中所有发电机组都装有调速器。当系统负
荷变动导致频率变化时，调速器能够感知发电机转速(频 率)的变化，自动地调节进汽阀门(或导水叶)开度，改变 发电机的有功功率，力求与系统负荷重新平衡。这是一 种完全自动化的过程。
设图4-2中系统的负荷突然 增加，综合负荷的频率特性相 应抬高。这时的稳态工作点移 至B点。
球磨机、压缩机、机床等； 第三类负荷所吸收的有功与频率的高次方成比例，
包括各种风机、高压水泵等。 系统实际负荷是上述各类负荷的组合，常称为综合
负荷。
有功负荷是和频率相关的，即
PL F ( f )
有功负荷随频率而改变的特性叫做负荷的功率-频率特 性，是负荷的静态频率特性，也称作负荷的调节效应。负 荷的综合功率-频率特性是非线性曲线，
这种现象称为负荷的频率调节 效应。
第四章 电力系统频率控制
第二节 电力系统的频率特性
在频率变化范围为45～50Hz时，综合负荷的静态频率特性接近直线。
该直线斜率
KL
PL f
当用标幺值表示时(功率以系统总负荷为基准值)：
K L*
PL* f*
KL 称负荷的单位调节功率，表示综合负荷吸收的有功随频率下降而减
第四章 电力系统频率控制
三、系统频率的三次调整
第四章 电力系统频率控制
五、主调频厂和基荷厂在频率调整中的作用
在电力系统中，调频任务须在各发电厂中进行分工， 实行分级调整。一般将发电厂分为三种：即主调频厂、 辅助调频厂和非调频厂(也称基荷厂)。主调频厂负责全 系统的频率调整，一般由一个发电厂担任；辅助调频厂 是当系统频率超过了某一规定的偏移范围后，协助主调 频厂参加调频工作，通常由少数几个发电厂担任；而非 调频厂只按调度预先下达的负荷曲线(日发电计划)运行， 不主动参加调频。

控制工程基础课程第四章习题答案

控制工程基础课程第四章习题答案

2007机械工程控制基础第四章习题答案第4章频率特性分析4.1什么是系统的频率特性？答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。

系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。

4.4若系统输入为不同频率ω的正弦t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(ϕω+t B 。

求该系统的频率特性。

解：由系统频率特性的定义知：ϕωj e AB j G =)( 4.5已知系统的单位阶跃响应为)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t x t t o ，试求系统的幅频特性与相频特性。

解：由已知条件得：s s X i 1)(=，98.048.11)(+++-=s s s s X o得系统传函为：)9)(4(36)()()(++==s s s X s X s G i o 得系统频率特性：)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=，其中幅频特性为：22811636)()(ωωωω+⋅+==j G A相频特性为：9arctan4arctan)(ωωωϕ--=4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。

已知m=1kg ，k 为弹簧刚度，c 为阻尼系数。

若外力tN t f 2sin 2)(=，由实验得到系统稳态响应为)22sin(π-=t x oss 。

试确定k 和c 。

解：由系统结构知系统的动力学方程为： 当m=1时，得系统传函为：kcs s s G ++=21)(，得系统频率特性为： ωωωjc k j G +-=21)(。

图（题4.6）其中，幅频特性为2222)(1)(ωωωc k j G +-=，相频特性为2arctan)(ωωωϕ--=k c 由题意，当输入信号为t t f 2sin 2)(=时，2=ω，由其与稳态输出信号)22sin(π-=t x oss 对应关系知：2222)(121)(ωωωc k j G +-==，2arctan 2)(ωωπωϕ--=-=k c 解得4=k ，1=c 。

电气自动控制原理与系统(第三版)

电气自动控制原理与系统(第三版)

比例环节的波德图
（2）对数相频特性 由于υ（ω）=0，因此其对数相 频特性曲线是一条与横轴重合的水平线。
图4-3 比例环节 的Bode图
积分环节的波德图
1．传递函数
2．频率特性
1 G ( s) is
G( j )
1 j i
j
1
i

1
i
e
j
π 2
(4-10) (4-11) (4-12)
• 对比积分环节对数频率特性公式可知，它们之间仅 差一个负号，因此它们的Bode图对称于横轴。即对 数幅频特性L（ω ）为一条斜率为20dB/dec的直线。 当τ d=1时（理想微分环节），该直线通过横轴 ω =1处。 • 当τ d≠1时，该直线通过横轴ω =1/τ d处。由于对 数相频特性φ （ω ）=π /2，因此对数相频特性曲 线是一条通过纵轴φ （ω ）=π /2处、与横轴平行 的直线。
惯性环节的波德图
惯性环节相移计算表
ωτ 0.1 0.25 -14.1 0.4 0.5 1.0 -45 2.0 2.5 4.0 10.0 -84.3 相移/（°） -5.7 -21.8 -26.6 -63.4 -68.2 -75.9
第四章自动控制系统的频域分析法
主要内容
• • • • • • • 第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的博德图 第三节 控制系统开环博德图的绘制 第四节 对数频率稳定判据与稳定裕量 第五节 典型系统的开环博德图与频域指标 第六节 开环频率特性与阶跃响应之间的关系 本章小结
电气自动控制原理与系统 第3版
惯性环节的波德图
惯性环节对数幅频特性误差修正表
τω 误差/dB 0.1 -0.04 0.25 -0.32 0.4 -0.65 0.5 -1.0 1.0 -3.0 2.0 -1.0 2.5 -0.65 4.0 -0.32 10.0 -0.04

机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)

机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)

（4.1.10）
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
（4.1.11）
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性，它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
中原工学院
机电学院
4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。 所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K

所以
A
X o Xi

1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
中原工学院
机电学院
2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知，系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
中原工学院
机电学院
图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G

第四章 频率特性分析(第9讲)

第四章 频率特性分析(第9讲)
xo (t ) = XiK 1 + T 2ω 2 sin(ωt − arctan Tω )
xo (t ) =
XiK 1+ T ω
2 2
sin(ωt − arctan Tω )
从上式可知，系统的稳态响应的幅值与系统的参数即 比例系数K、时间常数T以及输入谐波的幅值 X i 、频率 ω有关； XiK 幅值 1 + T 2ω 2 相位差
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = u (ω ) + jv (ω )
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = u (ω ) + jv (ω )
式中， u (ω ) 是频率特性的实部，称为实频特性， v (ω ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性。 显然有：u (ω ) = A(ω ) cos ϕ (ω ),
也是一个复数，可以写成：
G ( jω ) = G ( jω ) e j∠G ( jω ) = A(ω )e jϕ (ω )
因此，传递函数与频率特性的关系为：
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
传递函数的复变量s用jω代替后，传递函数就 变为频率特性。它是传函的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数。 频率特性的量纲就是传递函数的量纲，也是输 出信号与输入信号的量纲之比。同前面介绍的 微分方程、传递函数、脉冲响应函数等一样， 也是线性控制系统的数学模型。
X iω bm s m + bm −1s m −1 + ⋅⋅⋅ + b1s + b0 X o ( s ) = X i ( s )G ( s ) = 2 ⋅ 2 s + ω an s n + an −1s n −1 + ⋅⋅⋅ + a1s + a0

第四章分析自动控制系统性能常用的方法

第四章分析自动控制系统性能常用的方法

第四章 分析自动控制系统性能常用的方法（10 学时）目的、教学要求：在经典控制理论中常用的分析方法有时域分析法(由时域响应及传递函 数出发去进行分析)、根轨迹分析法和频率特性分析法。

本章主要介绍其中的两种分析方法， 即：时域分析法和频域分析法。

因此在本章中主要掌握：² 时域分析法的基本概念及分析方法² 频域分析法的基本概念及分析方法重点、难点：本章的重点是： 频率特性的基本概念， 开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取， 控制系统的对数稳定性判据，系统频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。

本章的难点是：自动控制系统开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取、控制系 统的频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。

主要内容：² 频率特性的基本概念² 频率特性的图形表示法² 典型环节的 Bode 图² 自动控制系统的开环对数频率特性² 习题² 实验教学方式：该部分内容较难理解，应采用 PPT+《自动控制原理频域分析工具箱》教学软件 的多媒体教学方式；习题课采用课堂教学， 但至少应用一次课堂练习用来让学生学习绘制伯 德图。

教学设计：① 通过多媒体教学演示软件《自动控制原理频域分析工具箱》生动说明频率响应的概 念，引导学生对实验演示结果进行分析，从而引出占有率特性的基本概念。

② 通过一个案例（一阶 RC 电路）及多媒体教学演示软件来讲解：输出信号的幅值与相 位与频率之间的关系及频率特性与系统结构参数之间的关系（简要介绍，用 PPT+媒体教学 演示软件来讲）。

③ 采用课堂练习的方法，引导学生按步骤进行伯德图的绘制，学习绘制前要求学生准 备好二张以上的三级半对数坐标纸（从校园网上下载）。

教学内容：一、频率特性的基本概念1. 频率响应与频率特性频率响应的概念：线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应。

线性系统的 频域分析的出发点仍然是它的传递函数。

第四章 频域分析(第一节)

第四章 频域分析(第一节)

频率每变化一倍，称作一倍频程，记作oct， 坐标间距为0.301长度单位。频率每变化10倍，称 作10频程，记作dec，坐标间距为一个长度单位。 横坐标按频率ω的对数分度的优点在于：便于在较 宽的频率范围内研究系统的频率特性。 对数幅频图中的纵坐标采用均匀分度，坐标值 取 G ( jw ) 幅值的20倍对数，坐标值为
1
2
Aw
2
上式取拉氏变换并整理得
e
- t /T
Ts + 1 s + w
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
x0 (t ) =
AT w 1+ T w
2 2
e
- t /T
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
上式即为由正弦输入引起的响应。其中，右边 第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。 当时间 t→∞，瞬态分量趋近于零，则系统的稳态响应为
(4-1)
相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相 角之差: 频率特性G(j) : G(j)的幅值和相位均随输入 正弦信号角频率的变化而变化。 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得 到系统的频率特性。
例如图4-3所示，简单的RC电路。
RC电路的传递函数为
G (s) = 1 Ts + 1
由此可见，比例环 节的对数幅频图为幅 值等于20LgK(dB)的一 条水平直线。对数相 频图的相角为零，与 频率无关。
L( ) / dB
20 lg K
0 0.1 90 0 -90
( ) /()

控制工程基础第4章 控制系统的频率特性

控制工程基础第4章 控制系统的频率特性

( ) G ( j ) arctanT
As 0， 1) ( gain G ( j ) 1 L( ) 20lg G ( j ) 0
( ) 0
As 1 gain G ( j ) T L( ) 20lg G ( j ) 20 lg(T )
第四章 控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方 法 4.2 极坐标图 4.3 对数坐标图 4.4 由频率特性曲线求系统的频率特性 4.5 控制系统的闭环频响
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方法
频率响应： 系统对正弦函数输入的问题响应。当输入正弦信号时， 系统的稳态输出也是正弦信号，且其频率与输入信号的 频率相同，其幅值及相角随着输入信号频率的变化而变 化。 当输入为非正弦的周期信号时，可将输入信号利用傅立 叶级数展开成正弦函数叠加的形式，系统的响应也是其 相应正弦函数响应的叠加 输入为非周期信号时也可以将它看作是周期为无穷大的 周期信号
V ( )
相频特性
A( )
( )
U ( )
4.2 极坐标图
Im( )
G ( j n )
Re( )
G ( j 2 )
G ( j1 )
4.2.1 典型环节的乃氏图

k

0
积分环节 比例环节
0
G (s) k G ( j ) k A( ) G ( j ) k
系统开环传递函数为： 100（0.05s＋1） G（s）＝ s（0.1s＋1）（0.2s＋1） 试绘制其开环对数频率特性图
40 20 1 20lgk 5 10 20
1 -90 -180 -270
5
10

《控制工程基础》第四章习题解题过程和参考答案

《控制工程基础》第四章习题解题过程和参考答案

《控制工程基础》第四章习题解题过程和参考答案4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：10()1G s s =+。

当系统作用有下列输入信号时：()sin(30)r t t =+︒，试求系统的稳态输出。

解：系统的闭环传递函数为：10()()11()()1()111C s G s s s R s G s Φ===++这是一个一阶系统。

系统增益为：1011K =，时间常数为：111T =其幅频特性为：()A ω=其相频特性为：()arctan T ϕωω=- 当输入为()sin(30)r t t =+︒，即信号幅值为：1A =，信号频率为：1ω=，初始相角为：030ϕ=︒。

代入幅频特性和相频特性，有：1(1)A ====11(1)arctan arctan5.1911T ωϕω==-=-=-︒所以，系统的稳态输出为：[]()(1)sin 30(1)24.81)c t A A t t ϕ=⋅⋅+︒+=+︒4-2 已知系统的单位阶跃响应为：49()1 1.80.8(0)ttc t e e t --=-+≥。

试求系统的幅频特性和相频特性。

解：对输出表达式两边拉氏变换：1 1.80.8361()49(4)(9)(1)(1)49C s s s s s s s s s s =-+==++++++由于()()()C s s R s =Φ，且有1()R s s =（单位阶跃）。

所以系统的闭环传递函数为：1()(1)(1)49s s sΦ=++ 可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为：1211,49T T == 系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：12()()()A A A ωωω===1212()()()arctan arctan arctanarctan49T T ωωϕωϕωϕωωω=+=--=--4-3 已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图。

（1）1()10.01G s s =+ （2）1()(10.1)G s s s =+（3）)1008()1(1000)(2+++=s s s s s G （4）250(0.61)()(41)s G s s s +=+ 解：手工绘制奈氏图，只能做到概略绘制，很难做到精确。

第四章 系统的频率特性分析

第四章 系统的频率特性分析

61
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)
62
4.3 频率特性的特征量
如图4.31所示，在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr（Mr）、wb。
1．零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω 接近于零时，闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
解：根据回路电压定律有
系统的传递函数为：
系统的频率特性为 ：
系统的幅频特性为：
17
4.1 频率特性概述
系统的相频特性为：
根据系统频率特性的定义有 ，系统稳态输出为：
18
4.1 频率特性概述
例4.4 系统结构图如图所示。当系统的输入 时，测得 系统的输出 ，试确定该系统的参数nω,ξ。 解：系统的闭环传递函数为:
因为，如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法
用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下，只有通过实验 求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为 重要的作用。
12
4.1 频率特性概述
三、 根据定义来求，此方法麻烦。
13
4.1 频率特性概述
四、
14
4.1 频率特性概述
五、
27
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
所以，微分环节频率特性的nyquist图是：
28
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
29
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
30
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
31
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)

控制工程基础控制系统的频率特性

控制工程基础控制系统的频率特性
第49页/共61页
第50页/共61页
例:一单位反馈系统的开环传递函数为
Gs
ss
1
10.5s
1
G（jω）轨迹与M轨线和N轨线，如下图所
示。闭环频率特性曲线如图（b）所示。由
于G（jω）轨迹是与M=5dB的轨迹相切，
所以闭环频率特性的谐振M峰r 值为 =5dB
，而谐r 振 0频.8率rad / s
线。
如果M≠1，式（4.26）可化成
(4.27X)
M M2
2
2
1
Y
2
M2 M 2 1 2
该M式2 就是一个圆的方程M，其圆心为
[
M
2
, 1
j0]
，半径为M 2 1
。如下图。
第40页/共61页
第41页/共61页
在复平面上，等M轨迹是一族圆，对于给 定的M值，可计算出它的圆心坐标和半径。 下图表示的一族等M圆。由图上可以看出， 当M>1时，随着M的增大M圆的半径减小， 最 后 收 敛 于 点 （ - 1 , j0）。 当 M＜1 时 ， 随着M的减小M圆的半径亦减小，最后收 敛 于 点 （ 0 , j0）。M=1 时 ， 其 轨 迹 是 过 点（-1/2,j0）且平行于虚轴的直线。
第37页/共61页
由开环频率特性 估计闭环频率特性
设闭环频率特性的幅值为M（ω），相位角为 φ（ω）, 闭环频率响应可表示为
Xi Xo
j j
M
e
j
类似于地图上等高线的思路，我们可求出闭
环频率特性的等幅值轨迹和等相角轨迹，在
由乃奎斯特图确定闭环频率特性及系统校正
时，这将带来方便。
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。此外G（jω

2020年《自动控制原理》随堂作业

2020年《自动控制原理》随堂作业

自动控制原理第二章控制系统的教学模型D．非线性系统参考答案：A5.(单选题)参考答案：A6.(单选题)参考答案：D7.(单选题)参考答案：A8.(单选题)参考答案：B9.(单选题) 结构图的四要素不包括下列哪项（）。

A.函数方块B.分支点C.综合点D.支路参考答案：D10.(单选题)参考答案：C11.(单选题) 在信号流图中，只有（）不用节点表示。

A.输入B.输出C.比较点D.方块图单元参考答案：D12.(单选题) 梅逊公式主要用来（）。

A.判断稳定性B.计算输入误差C.求系统的传递函数D.求系统的根轨迹参考答案：C13.(判断题) 在初始条件为零条件下，系统输出量与输入量的拉式变换式之比，称为系统的传递函数。

参考答案：对14.(判断题) 在信号流图中，在支路上标明的是传递函数。

参考答案：对15.(判断题) 微分环节的传递函数只有零点而无极点，可以预示输入信号的变化趋势。

参考答案：对第三章自动控制系统的时域分析1.(单选题) 1．描述系统静态性能的指标有（）A．延迟时间td B．调节时间ts C．最大超调量 D．稳态误差ess参考答案：D2.(单选题) 2、如果系统动态性能指标只有调节时间存在，那么其TS=（）时，误差范围为2%。

A TB 2TC 3TD 4T参考答案：D3.(单选题) 3、关于控制系统系统的性能指标，以下不属于时域指标的是（）。

A.调节时间B.超调量C.静态误差D.中频宽度参考答案：D4.(单选题) 4．某二阶系统特征方程的根为，则其工作在（）。

A 无阻尼B 欠阻尼C 临界阻尼D 过阻尼参考答案：A5.(单选题) 5. 已知二阶系统的传递函数是，则该系统属于( )。

A．无阻尼系统B．欠阻尼系统C．临界阻尼系统D．过阻尼系统参考答案：B6.(单选题) 6．右图各曲线对应二阶系统不同阻尼情况下单位阶跃响应曲线，下面结论正确的是（）。

A.曲线1为临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应B.曲线2为临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应C.曲线3为过阻尼二阶系统的单位阶跃响应D.曲线2为过阻尼二阶系统的单位阶跃响应参考答案：B7.(单选题) 7．已知系统的开环传递函数为，则其型别为（）。

第4章控制系统的频率特性4.3对数坐标图

第4章控制系统的频率特性4.3对数坐标图

90 当有两个微分环节时，斜率
为40dB/dec，相位为180°。
当有n个微分环节时，斜率 为n×20dB/dec，相位为n×90°。
微分环节的Bode图
采用MATLAB绘制微分环节的Bode图：
G1=tf([1,0],[1]); G2=tf([1,0,0],[1]); G3=tf([1,0,0,0],[1]); G4=tf([1,0,0,0,0],[1]); w=logspace(-1,1,100); bode(G1,G2,G3,G4,w); grid;
arctg
2 T 1 T 2 2
,
1 T
180
arctg
2 T 1 T 2
2
,
1 T
对上述两个图的坐标进行对数变换，如下图所示，称为频率 特性的对数坐标图。因为此种图示方法由Bode提出，所以又被称 为Bode图。
A
1
1 T 2 2 2 2T2
arctg
2 T 1 T 2 2
（3）微分环节
传递函数 G( s ) S
L( )(dB)
频率特性 G( j ) j 20
0 0.1 1
对数幅频特性
20
20dB / dec
微分环节
(rad / s)
10
L( ) 20 lg A( )
20 lg
( )(deg)
对数相频特性 ( ) 90
90 0 0.1
微分环节
1
10
(rad / s)
2
2
4.3.1 典型环节的Bode图
① 比例环节 ② 积分环节 ③ 微分环节 ④ 一阶惯性环节 ⑤ 一阶微分环节 ⑥ 二阶振荡环节 ⑦ 二阶微分环节 ⑧ 延迟环节

第四章 频率分析法2

第四章 频率分析法2

2.积分环节
1 1 G ( j ) j j
L( ) 20 lg A( ) 20 lg 1
L(w)/dB
20
-20dB/dec

20 lg
0.1
1
w
φ (w)°
( ) arctg
V ( ) 90 U ( )
w
-90°
3．微分环节
G( j ) j
w
-90°
-180°
7.二阶微分
G( j ) T 2 ( j ) 2 2Tj 1
L(w)/dB
L( ) 20 lg A( ) 20 lg [1 (T ) ] ( 2T )
2 2 2
40dB/dec 0
1/T
φ (w)°
w
( ) arctg
V ( ) 2 T arctg U ( ) 1 (T ) 2
L(w)/dB 20 [-20] 10 2 0
0.4 1 20dB/dec 10 40 100
[0]
[-20]
1
w
L1(w)=20lg3=9.5dB 各环节的转折频率 j0.5w+1 w1=1/T=2 1/(j2.5w+1) w2=1/T=0.4 1/(j0.025w+1) w3=1/T=40
-20
45°
1/T w
6．振荡环节
1 1 G ( s) 2 2 T ( j ) 2T ( j ) 1 1 (T ) 2 j 2T 1 (T ) 2 j 2T [1 (T ) 2 ]2 (2T ) 2
L( ) 20 lg A( ) 20 lg
例：已知系统开环传函为
试绘制其开环伯德图 解： 比例
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3. 微分环节
频率特性
G( jω) = jω = ωe
j
π
2
jv
幅频特性 A(ω) = G( jω) = ω
∞ ↑ ω ω=0 u
相频特性
φ(ω) = ∠G( jω) = 90o
0
微分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚 轴上半轴相重合的直线，由原点指向无穷 远点。
4.一阶惯性环节 一阶惯性环节
1 频率特性 G( jω) = 1+ jTω
G ( j ω ) = G1 ( j ω ) ⋅ G 2 ( j ω ) L G n ( j ω )
开环系统幅频特性等于各典型环节幅频特性的乘积
∠G ( jω ) = ∠G1 ( jω ) + ∠G2 ( jω ) L + ∠Gn ( jω )
开环系统相频特性等于各典型环节相频特性代数相加
Nyquist图的一般作图方法 图的一般作图方法
频域分析法：是以输入信号的频率为变量，对系统的性 频域分析法 能在频率域内进行研究的一种方法。 频率特性的定义： 正弦输入时，频率特性就是系统稳态输出量与输入量之 正弦输入时， 复数比。 复数比。 幅相频率特性（Nyquist 图） 幅相频率特性 当频率ω 从0到无穷大变化 时，向量G(j ω )的端点在 复平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转 过的角度为正，顺时针转过的角度为负。
1. 正弦输入时，频率特性就是系统稳态输出量 正弦输入时， 与输入量之复数比； 与输入量之复数比； 2. 非正弦、非周期输入时，频率特性是系统输 非正弦、非周期输入时， 出量的付氏变换与输入量的付氏变换之比。 出量的付氏变换与输入量的付氏变换之比。
频率特性的求取
1. 已知系统微分方程，把输入信号以正弦函数代入，求 其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比，即得 频率特性。
振荡环节的 Nyquist曲线不 仅与频率ω 有关，而且与 阻尼比ξ也有关。 ξ 越小， 幅频越大。 当ξ 小到一定程度时，幅 频将会出现峰值：
Mr = A(ωr )
ωr为谐振频率
Mr为谐振峰值
ωr = ωn 1− 2ξ
Mr = A(ω) max =
2
(ξ ≤ 0.707)
1 2 ξ ≤ 2
二 开环系统幅相频率特性的绘制
一般开环系统均由典型环节G1(s)、G2(s)、…Gn(s)串联 组成，则其传递函数为
G ( s ) = G1 ( s)G2 ( s ) L Gn ( s )
其频率特性为
G ( jω ) = G1 ( jω )G2 ( jω ) L Gn ( jω )
G ( j ω ) e j∠ G ( jω ) = G1 ( j ω ) e j∠ G1 ( jω ) ⋅ G 2 ( j ω ) e j∠ G 2 ( jω ) L G n ( j ω ) e j∠ G n ( jω ) = G1 ( j ω ) L G n ( j ω ) e j ( ∠ G1 ( jω ) +L ∠ G n ( jω ))
系统稳态输出
t − eT
+
A 1+ω2T 2
sin(ωt − arctanωT )
lim x0 (t ) =
t →∞
A 1+ω2T 2
sin (ωt − arctan ωT )
定义：
A/ 1+ω2T 2 1 稳 态输 出幅 值 RC网络幅 A(ω) = = = 频特性 2 2 A 输入 值 幅 1+ω T
A(ω) = G( jω) = U 2 (ω) +V 2 (ω)
U(ω) = A(ω)cosϕ(ω)
V (ω) ϕ(ω) = arctan U(ω)
V (ω) = A(ω)sin ϕ(ω)
4.2 频率特性的几何表示
1. 幅相频率特性 幅相频率特性（Nyquist 图） 当频率ω 从0到无穷大变化 时，向量G(j ω )的端点在复 平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转过 的角度为正，顺时针转过的角度为负。 2. 对数频率特性 对数频率特性（Bode图） 由两张图组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频 特性。
对数幅频特性曲线的纵坐标是按L(ω)= 20lgA(ω)均 匀分度， L(ω)称为增益，单位是分贝（dB），
幅值A(ω)每增大十倍，增益L(ω)就增加20分贝。纵 坐标是线性刻度。
对数相频纵坐标为相角φ(ω)，单位是度，采用线性刻度。 优点：将低频段展宽后清晰画出， 同时可在一张图上画出频率特性的中、高频段，
4.3 频率响应的Bode图(对数坐标图 对数坐标图) 对数坐标图
幅相频率特性（Nyquist 图）的优点 优点： 优点 在一张图上把频率ω由0到无穷大区间内各个频率 的幅值和相位都表示出来。 缺点： 缺点 在幅相频率特性图上，很难看出系统是由哪些典型环节 组成的，并且绘图较麻烦。 对数频率特性能避免上述缺点，因而在工程上得到广泛 的应用。
2ξ 1−ξ 2
7. 二阶微分环节
ω jv
ω=0 0 1 u
8. 延迟环节
频率特性
G( jω) = e
A(ω) =1
− jωT
jv 1 0
幅频特性 相频特性
ω=0 ω u
φ(ω) = −ωT
延迟环节的幅相频率特性曲线是一个以坐标原点为 圆心，以1为半径的圆。 当频率取正值时，φ (ω ) 总是负值，意即曲线由(1，j0）点开 始，沿顺时针方向周而复始转动。
第4章 控制系统的频率特性
4.1 频率特性 4.2 频率响应的Nyquist 图 4.3 频率响应的Bode图 4.4 控制系统的闭环频率响应
时域分析法研究系统的各种动态与稳态性 时域分析法 能比较直观 准确 直观、准确 直观
缺点是： 1. 当某些系统工作机理不明了时，数学模型难以确定， 因而无法分析系统性能。 2. 当系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确 定应该如何调整系统来获得预期效果。
频域分析法：是以输入信号的频率为变量，对系统的性 频域分析法 能在频率域内进行研究的一种方法。 特点： 1. 不必求解系统微分方程，而采用作图法 作图法分析，有很强 作图法 的直观性，计算工作量小； 2. 由系统开环特性即可定性分析闭环响应的特点， 定量估算响应性能指标。 3. 对难以用数学模型描述的系统和元件，可用实验方法 求出系统的频率响应，从而对系统和元件进行准确而有 效的分析。 4 能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，并进一 步提出改善系统性能的方法。
RC网络的幅相曲线绘在s平面上
jv ω→∞ 0 -45° 0.707 ω=1/T ω ω=0 u
4.2 频率响应的Nyquist 图
典型环节的Nyquist图 一. 典型环节的 图
1. 放大环节
传递函数 频率特性 幅频特性 相频特性
G (s) = K
jv K 0 u
G( jω) = K
A(ω) = G( jω) = K
4.1 频率特性
4.1频率特性的基本概念 4.1频率特性的基本概念
xi (t) xi (t) t R C xo(t)
RC网络的传递函数为
X0 ( s) 1 G(s) = = (T = RC) Xi ( s) Ts +1
输入信号 输出信号
xi (t ) = Asin ωt
AωT x0 (t ) = 1+ω2T 2
1 分别写出开环系统中各个典型环节的幅频特性和相 频特性。 2 写出开环系统的A(ω)和φ(ω)表达式。 3 分别求出ω=0和ω为无穷时的G(j ω) ω=0 ω G(j ω)。 4 求Nyquist与实轴交点，交点可用Im[G(j ω)]=0求出。 5 求Nyquist与虚轴交点，交点可用Re[G(j ω)]=0求出。 6 必要时再画出中间几点。 7 勾画大致曲线，
2 2 2
1
2
相频特性
2ξωT 1 − arctan 1−ω2T 2 ω ≤ T φ(ω) = ∠G( jω) = −π − arctan 2ξωT ω > 1 2 2 T 1− ω T
jv ω→∞ 0 ωn ωn ωn ξ=1 ξ=0.5 ξ=0.3 ω ω=0 1 u
频率特性的矢量图
jv V (ω) A(ω) φ(ω) 0 U(ω) u G(jω)
频率特性是一个复数，有三种表示： 代数式 极坐标式
G( jω) =U(ω) + jV(ω)
G( jω) = G( jω) ∠G( jω) = A(ω)∠ϕ(ω)
指数式
G( jω) = G( jω) e j∠G( jω) = A(ω)e jϕ(ω)
RC电路的这一特性，对于任何稳定的线性网络都成立 RC 虽然在前面的分析中，设定输入信号是正弦信号 设定输入信号是正弦信号，然而频 设定输入信号是正弦信号 率特性是系统的固有特性，与输入信号无关， 即当输入为非正弦信号时，系统仍然具有自身的频率特性。
当输入为非正弦周期信号时，其输入可用傅立叶级数展 成正弦波的叠加，其稳态输出为相应的正弦波叠加。 当输入为非周期信号，可将该非周期信号看作周期T趋于 无穷大的周期信号。 频率特性的定义：
φ(ω) = ∠G( jω) = 0o
2. 积分环节
频率特性
1 1 G( jω) = = e jω ω
j (− ) 2
π
jv 0
o
幅频特性 A(ω) = G( jω) = 1 相频特性
ω
u ω→∞ ω=0
φ(ω) = ∠G( jω) = −90
积分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚 轴下半轴相重合的直线，由无穷远点指向 原点。
L(ω) (dB)
40 20 0 0.01 -20 -40 0.1 1 10 100 ω(rad/s)