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第4章频率特性分析_2详解

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控制工程基础第4章控制系统的频率特性

控制工程基础第4章控制系统的频率特性

插值计算可大致确定闭环截止频率为 b
=1.3rad／s。
非单位反馈系统的闭环频率特性
对于非单位反馈系统，其闭环频率特性可
写为
X X
o i
j j
1
G j G j H
j
H
1
j
1
G j H j G j H j
在求取闭环频率特性时，在尼柯尔斯图上画
出 G j H j 的轨迹，由轨迹与M轨线和N轨
频域法是一种工程上广为采用的分析 和综合系统间接方法。另外，除了电路 与频率特性有着密切关系外，在机械工 程中机械振动与频率特性也有着密切的 关系。机械受到一定频率作用力时产生 强迫振动，由于内反馈还会引起自激振 动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归 结为机械系统在频率域中表现的特性。 频域法能简便而清晰地建立这些概念。
如果M=1，由式（4.26）可求得X=-1/2，即为
通过点（-1/2，0）且平行虚轴的直线。
如果M≠1，式（4.26）可化成
X
M M2
2
2
1
Y
2
M2 M 2 1 2
(4.27)
该式就是一个圆的方程，其圆心为
M2
，半径为 M 。如下图。
[
M
2
, 1
j0]
M 2 1
在复平面上，等M轨迹是一族圆，对于给定 的M值，可计算出它的圆心坐标和半径。下 图表示的一族等M圆。由图上可以看出，当 M>1时，随着M的增大M圆的半径减小，最后 收敛于点（-1,j0）。当M＜1时，随着M的 减小M圆的半径亦减小，最后收敛于点 （ 0 , j0）。M=1 时 ， 其 轨 迹 是 过 点 （ 1/2,j0）且平行于虚轴的直线。

频率特性分析

频率特性分析
的关系式求出，也可以利用关系式
G(j) n180 （其中n为整数）求出； (4)求乃氏图与虚轴的交点，可利用 Re[G(j)] 0
的关系式求出，也可利用关系式
G(j) n90 （其中n为奇数）求出；
(5) 必要时画出乃氏图中间几点； (6) 勾画出大致曲线。
例 G(j) ej
频率特性分析 (第四章)
时域瞬态响应法：分析控制系统的直接 方法。
xi(t)
g(t)
xo(t)
优点：直观。 缺点：分析高阶系统非常繁琐。
4.1 频率特性概述
频率响应是时间响应的特例，是控制系统 对正弦输入信号的稳态响应。
频率特性是系统对不同频率正弦输入信号 的响应特性。
频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频 率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍 然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工 程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。
频域法的优点： 当系统无法用计算分析建立传递函数时，可用 实验的方法求取频率特性，进而导出传递函数。 频域法的物理意义比较直观，尤其在研究控制 系统中各种各样的振动问题时，频域法能给出明 确的概念和结果。 利用奈氏判据,根据系统的开环频率特性就可以 研究闭环系统的稳定性.
由于频域法靠各个频率分量来描述信号，只适 用于线性定常系统。
相频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在相位上产生的滞 后（ < 0）或超前（ > 0）特性。
上述定义的幅频特性 A() G(j) 和相频特性 () G(j) 统称为系统 的频率特性，它描述了系统对正弦输入 的稳态响应。
当输入为非正弦的周期信号时，其输 入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠 加，其输出为相应的正弦波输出的叠加， 如下图所示。

第四章系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析

第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。

将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。

4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。

4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。

解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。

解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。

4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。

t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。

解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。

t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。

S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。

S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。

第4章第12节频率响应与频率特性及频率特性的图示法

第4章第12节频率响应与频率特性及频率特性的图示法

4.1频率响应与频率特性
▪ 频率特性是复变量s＝jω的复变函数，因此 有
▪ 一般地，系统对正弦输入信号的稳态响应 为
4.2频率特性的图示法——奈氏图 和伯德图
4.2.1奈魁斯特图
▪ 奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在 数学上，频率特性可以用直角坐标式表 示，；也可以用幅相式（指数式）表示， 即
因是系统有储能元件、有惯性，对频率 高的输入信号，系统来不及响应。 （3）系统的频率特性是系统的固有特性，取 决于系统结构和参数。
4.1频率响应与频率特性
4.1.6求取频率特性的解析方法 ▪ 当已知系统的传递函数时，可按下式求取，
即
G(j)G(s) sj
▪ 当从系统原理图开始求取系统的频率特性 时，应该先求出系统的传递函数。
4.1频率响应与频率特性
可以看出： 随着输入信号频率的变化，输出、输入信号 的幅值比和相位差将会相应地随频率而发生 变化。 因此，可以利用这一特性，保持输入信号的 幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究 系统响应信号的幅值和相位随频率的变化规 律，即可达到研究系统性能的目的。
4.1频率响应与频率特性来自4.1频率响应与频率特性
4.1.3频率响应
▪ 稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称 为频率响应。
▪ 另外一种表达： 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系 统输出响应的稳态分量是与输入同频率的 正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。
线性系统的频率响应
求上图中输出信号与输入信号的 1、相位差A(ω) 2、幅值比ψ(ω)
两个问题：
1、正弦输入信号可不可以代表所 有信号？
2、什么是系统的频率特性？其图 形表示是什么样子？
4.1频率响应与频率特性

机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)

机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)

（4.1.10）
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
（4.1.11）
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性，它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
中原工学院
机电学院
4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。 所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K

所以
A
X o Xi

1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
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2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知，系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
中原工学院
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G

第4章(2)频率特性的图示分析

第4章(2)频率特性的图示分析

40db 20db 0db -20db --40db
G(s)=10s
0.1 0.2
12
[+20]
ω
10 20
100
G(s)= s
G(s)=0.1s
jik 06
14
Im [G(j)]
(4)惯性环节
o
传递函数： G(s) 1
∞ 5
Ts 1
频率特性： G(
j)
1
Tj 1
1
1 T 22
T j 1 T 22
0
dB
20lgK 0.1 1 10
对数相频特性：与0o线重合
0 0.1 1 10
(s -1) (s -1)
(2)积分环节
Im [G(j)]
传递函数： G(s)=1/s
频率特性： G( j) 1 0 j 1
j
幅频： |G(j)=1/
∞， =0时 0，→∞时
= ∞
Re
相频：∠G(j)=-90° 滞后90°
Im 传递函数： G(s)=K
[G(j)]
频率特性： G(j)=K
幅频：|G(j)|=K 20lg | G( j) | 20lg K o
K>1，则放大； K<1，则抑制 相频：∠G(j)=0° 系统响应无滞后
K Re
实频： U()=K 实频和虚频便于确定图形位置
虚频： V()=0
Nyquist图形：实轴上一定点，坐标为(K , j0) 对数幅频特性： 过点(1，20lgK)的水平线
1 Re 0
幅频 G( j) 1 1 T 2 2
相频 G( j) arctanT
实频
U
(
)
1

机电控制工程基础 第 4 章 线性系统的频域分析法

机电控制工程基础 第 4 章 线性系统的频域分析法
比较式( 4－5 )和式( 4－6 )可知, A ( ω )和 φ ( ω )分别是 G ( j ω )的幅值 G ( j ω ) 和相角∠ G ( j ω )。这一结论非常重 要,反映了 A ( ω )和 φ ( ω )与控制系统数学模型的本质关系, 在线性定常系统中具有普遍性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 2 频率特性的图示法
工程中常用的频率特性的图示法有以下三种。 1. 频率特性曲线 频率特性 曲 线 包 括 幅 频 特 性 曲 线 和 相 频 特 性 曲 线。幅 频 特 性 是 频 率 特 性 幅 值︱ G (j ω )︱ 随 ω 的变 化规律;相频特性描述的是频率特性相角 ∠ G ( j ω )随 ω 的 变化规律,如图 4－4 ( a )所示。
时域分析法具有直观、准确的优点,但实际系统往往都 是高阶的,求解高阶系统的微分方程以及按时域指标进行设 计并非易事。频域分析法能比较方便地由频率特性来确定系 统性能。当系统的传递函数难以确定时,可以通过实验法确 定频率特性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 1 频 率 特 性
4. 1. 1 频率特性的基本概念与定义 1. 频率特性的基本概念 首先以图 4－1 所示的 RC 滤波网络为例,建立频率特性
(3 )有关传递函数的概念和运算法则对频率特性同样适 用。
(4 )频率特性虽然是用系统稳态响应定义的,但可以用来 分析系统全过程的响应特性,这一点可以通过傅里叶变换加 以证明。
第 4 章 线性系统的频域分析法
图 4－3 频率特性、传递函数与微分方程之间的关系
第 4 章 线性系统的频域分析法
(5 )频率特性具有明显的物理意义。 传递函数表示的是系统或环节传递任意信号的性能,而 频率特性则表示系统或环节传递正弦信号的能力,并且有 3 个要素,即同频率、变幅值、相位移。因此,对于稳定的系 统,可以通过实验的方法求出其输出量的各个物理参数。即 在系统的输入端施加不同频率的正弦信号,然后测量系统的 输出稳态响应,再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性 曲线。对于不稳定系统,输出响应稳态分量中含有由系统传 递函数的不稳定极点产生的呈发散或振荡的分量,所以不稳 定系统的频率特性不能通过实验方法确定。

第四章系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。

4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。

（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。

输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。

控制工程基础第4章 控制系统的频率特性

控制工程基础第4章 控制系统的频率特性

( ) G ( j ) arctanT
As 0， 1) ( gain G ( j ) 1 L( ) 20lg G ( j ) 0
( ) 0
As 1 gain G ( j ) T L( ) 20lg G ( j ) 20 lg(T )
第四章 控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方 法 4.2 极坐标图 4.3 对数坐标图 4.4 由频率特性曲线求系统的频率特性 4.5 控制系统的闭环频响
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方法
频率响应： 系统对正弦函数输入的问题响应。当输入正弦信号时， 系统的稳态输出也是正弦信号，且其频率与输入信号的 频率相同，其幅值及相角随着输入信号频率的变化而变 化。 当输入为非正弦的周期信号时，可将输入信号利用傅立 叶级数展开成正弦函数叠加的形式，系统的响应也是其 相应正弦函数响应的叠加 输入为非周期信号时也可以将它看作是周期为无穷大的 周期信号
V ( )
相频特性
A( )
( )
U ( )
4.2 极坐标图
Im( )
G ( j n )
Re( )
G ( j 2 )
G ( j1 )
4.2.1 典型环节的乃氏图

k

0
积分环节 比例环节
0
G (s) k G ( j ) k A( ) G ( j ) k
系统开环传递函数为： 100（0.05s＋1） G（s）＝ s（0.1s＋1）（0.2s＋1） 试绘制其开环对数频率特性图
40 20 1 20lgk 5 10 20
1 -90 -180 -270
5
10

频率特性分析

频率特性分析

第四章 频率特性分析讲授内容4.1频率特性概述一、频率响应与频率特性线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。

一个稳定的线性定常系统，在谐波函数作用下，其输出的稳态分量（频率响应）也是一个谐波函数，而且其角频率与输入信号的角频率相同，但振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅与相位，而随着角频率的改变而改变。

即，若系统的输入为t X t x i i ωsin )(=，则系统的稳态输出为)](sin[)()(0ωϕωω+=t X t x o 。

因此，往往将线性系统在谐波输入作用下的稳态输出称为系统的频率响应。

根据频率响应的概念，可以定义系统的幅频特性和相频特性。

幅频特性：输出信号与输入信号的幅值比称为系统的幅频特性，记为)(ωA 。

它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值的衰减或增大特性。

显然io X X A )()(ωω=。

相频特性：输出信号与输入信号的相位差（或称相移）称为系统的相频特性，记为)(ωϕ。

它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其相位产生的超前[0)(>ωϕ]或滞后[0)(<ωϕ]的特性。

通常将幅频特性)(ωA 和相频特性)(ωϕ统称为频率特性。

根据频率特性和频率响应的概念，还可以求出系统的谐波输入t X t x i i ωsin )(=作用下的稳态响应为)](sin[)()(ωϕωω+=t A X t x i o 。

二、频率特性的求法1．利用频率特性的定义来求取设系统或元件的传递函数)(s G 输入为谐波输入t X t x i i ωsin )(=则系统的输出为])([)(221ωω+=−s X s G L t x i o 系统的稳态输出为)](sin[)()(lim t t X t x x o o t oss ϕωω+==∞→根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性。

2．在传递函数中令)(s G ωj s =来求取系统频率特性为ωωj s s G j G ==)()(。

第四章 系统的频率特性分析

第四章 系统的频率特性分析

61
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)
62
4.3 频率特性的特征量
如图4.31所示，在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr（Mr）、wb。
1．零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω 接近于零时，闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
解：根据回路电压定律有
系统的传递函数为：
系统的频率特性为 ：
系统的幅频特性为：
17
4.1 频率特性概述
系统的相频特性为：
根据系统频率特性的定义有 ，系统稳态输出为：
18
4.1 频率特性概述
例4.4 系统结构图如图所示。当系统的输入 时，测得 系统的输出 ，试确定该系统的参数nω,ξ。 解：系统的闭环传递函数为:
因为，如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法
用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下，只有通过实验 求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为 重要的作用。
12
4.1 频率特性概述
三、 根据定义来求，此方法麻烦。
13
4.1 频率特性概述
四、
14
4.1 频率特性概述
五、
27
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
所以，微分环节频率特性的nyquist图是：
28
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
29
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
30
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
31
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)

第4章频率特性分析

第4章频率特性分析
Frequency (rad/sec): 0.197
System: sys Real: 4.17 Imag: -5.42
Frequency (rad/sec): 0.11
System: sys Real: 8.5
n
C(s) (s)R(s)
Ci
B
D
i1 s si s j s j
B
(s)R(s)(s
j
s j
(
j)R0
1 2j
1 2
(
j)
j[( j ) ]
R0e
2
D
1 2
( j)
j[( j) ]
R0e
2
拉氏反变换，可求得系统的输出为
n
c(t) Ciesit Be j t De j t i 1
d mr(t) dt m
bm1
d m1r(t) dt m1
b1
dr(t) dt
b0 r (t
)
线性定常系统 c(t) 图
与其对应的传递函数为
(s)
C(s) R(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
r(t) R0 sin t
R(s) R0 s2 2
4.2.2 频率特性的对数坐标图 常见的对数坐标图见P150表4.2.2。
光盘，第4章的Section1~5。
例 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线 如图所示，确定该系统的传递函数。
G(s)
K (1 1 s) 2 10
K (1 0.1s) 2
s(1 1 s) 2 s(1 5s) 2
0.2
例
绘制系统的开环Nyquist图。

第4章 频域分析法

第4章 频域分析法

第4章 频域分析法
r1(t)＝Asin ω1t O t r2(t)＝Asin ω2t O t
c 1(t)＝M 1Asin( ω1t ＋ϕ1)
ϕ1 O
t c 2(t)＝M 2Asin( ω2t －ϕ2)
渐三线线
ϕ2
输输输输
输输输输
图4 - 1 线性系统的频率特性响应示意图
第4章 频域分析法
由图4-1可见，若r1(t)=A sinω1t,其输出为 c1(t)=A1 sin(ω1t+φ1)=M1A sin(ω1t+φ1)，即振幅增加了M1 倍， 相位超前了φ1角。 若改变频率ω， 使 r2(t)=A sinω2t， 则系统的输出变为 c2(t)=A2 sin(ω2t-φ2)=M2Ａ sin(ω2t-φ2)， 这时输出量的振 幅减少了(增加M2倍， 但M2<1), 相位滞后φ2角。 因此， 若以频率ω为自变量， 系统输出量振幅增长的倍数M 和相位的变化量φ为两个因变量， 这便是系统的频率 特性。
2 2
相频特性
− Tω /(T 2ω 2 + 1) ϕ (ω ) = arctan = arctan( −Tω ) 2 2 1 /(T ω + 1)
(4 - 14)
第4章 频域分析法
2) 图形表示方式 (1) 极坐标图（PolAr Plot）。 极坐标图又称奈奎 斯特图。 当ω从0→∞变化时， 根据频率特性的极坐标 表示式 G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=M(ω)∠φ(ω) 可以计算出每一个ω值下所对应的幅值M(ω)和相 角φ(ω)。 将它们画在极坐标平面上， 就得到了频率特 性的极坐标图。
第4章 频域分析法
Im U (ω2)
ω→ ∞
0 V (ω2)

第4章 频域特性分析

第4章 频域特性分析

二、 频率特性及其求法
1.定义： 频率特性就是指线性系统或环节在正弦函数作用 下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。又 称正弦传递函数。频率特性是个复数，可分别用 幅值和相角来表示。 频率特性一般可通过以下三种方法得到: (1) 根据已知系统的微分方程或传递函数，把 输入以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态 分量和输入正弦函数的复数之比即得。 (2) 根据传递函数来求取。 (3) 通过实验测得。
右边第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量。 例系数A(ω)以及输入输出间的相位角φ(ω)， 两个 量都是频率 ω的函数，并与系统参数 k、c有关。 随时间 t ∞ ， 瞬态分量衰减为零，所以稳态位移 输出为 1k
x t 1 T
2 2
F sin t arctgT
AF sin T X sin T
XiK T K X i w t 有 x o (t ) sin( wt arctgTw) e T 2 2 T w 1 1 T 2 w2
稳态响应 瞬态响应
K X o ( w) A ( w ) Xi 频率特性： 1 T 2 w2 w arctgTw
幅频特性 相频特性
(2). 根据传递函数来求取。 G ( s )

s jw
G ( jw)
以jw代替s由传递函数得到的频率特性，对 线性定常系统普遍适用。
K 例：已知系统传函 G( s) 。求其频率特性。 Ts 1
K K (1 jTw) 解：由 G ( jw) G ( s ) s jw 1 jTw 1 T 2 w 2 K 虚部 G ( jw) , G jw arctg arctgTw 实部 1 T 2 w2

第四章 频率特性分析(2011第9讲)

第四章 频率特性分析(2011第9讲)

第9讲
③频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统 间接方法。另外，除了电路与频率特性有着密切关系外， 在机械工程中机械振动与频率特性也有着密切的关系。 机械受到一定频率作用力时产生强迫振动，由于内反馈 还会引起自激振动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归结为机械系统在 频率域中表现的特性。
G(− jω) = G( jω) e− j∠G( jω)
由此得到系统的稳态响应为： xos = tlim xo (t) = →∞
e j[ωt +∠G( jω)] − e− j[ωt+∠G( jω)] = G( jω) Xi = G( jω) Xi sin[ ωt + ∠G( jω)] 2j
第9讲
由频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特 性分别为：
石家庄铁道大学机械工程学院
第9讲
第四章 频率特性分析 前面我们学习了系统的数学模型：时间域中的微分 方程/差分方程；复数域中的传递函数；今天我们开始 学习系统的另一种数学模型，即频率域中的频率特性。 与传递函数一样，频率特性仅适用于线性定常系统。 频率特性分析方法是控制理论中研究和分析系统特 性的主要方法。它将传递函数从复数域引到频率域， 使系统数学模型的物理概念明确化。那么引入频率特 性分析方法有什么意义呢？
第9讲
3、频率特性的求法 、 本节介绍频率特性的三种求法。 ①根据系统的频率特性来求取 已知系统的传函，据输入谐波信号求得系统的稳态 响应，然后按定义得到其频率特性。 ②将传递函数中的s用jω代替来求取 将传递函数中的 代替来求取 对系统传递函数而言,系统的频率特性就是其复变量 s = σ + jω在 σ = 0时的特例，这样，将系统的传递函数 G(s)中的s用jω代替，就得到系统的频率特性 。

第四章 频率特性分析(2011第10讲)

第四章 频率特性分析(2011第10讲)

第10讲
1 例3已知系统传函G(s) K((TT ss 1)) (T T ) ,试绘制其Nyquist图。 s
1 1 2 2
解：G( j )
A( )
K (1 jT1 ) j (1 jT2 )
2
K 1 T1 2
1 T2 2 2
( ) 900 arctan T1 arctan T2
1

1

。
ω从0→∝时，G ( j ) 幅值从∝→ 0，相位保持不变。
如图4.2.3所示,积分环节的Nyquist图为虚轴的下半轴， 从无穷远指向原点(具有恒定的相位滞后)。
Im
o

Re
图4.2.3 积分环节Nyquist图
石家庄铁道学院机械工程分院
第10讲
③微分环节
传函： (s) s ，频率特性： ( j ) j 。 G G 显然积分环节的实频特性恒为0，虚频特性为 。
( ) arctan T 。可对ω取特值如下：
ω
G( j )
0 K
1T
K 2
∝ 0
900
石家庄铁道学院机械工程分院
( )
00
450
第10讲
ω
G( j )
0 K
1T
K 2
∝ 0
900
Im
( )
0
0
450
ω从0→∝时，惯性环节 的Nyquist图为正实轴下的一 个半圆，圆心为 (2 K ，j 0) 。 半径为 2 K，如图4.2.5所示。
G( j ) ( )
Im


450
0 K
1T 2
∝ 0
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100
（3）微分环节的Bode图
频率特性为：G( j) j G( j) ，G( j) 90
对数幅频特性：
L() 20 lg G( j) 20 lg
对数相频特性： 90 一条直线
L(ω) dB 微分环节
40dB
20dB
0dB -20dB
0.1 0.2
90º
0º
－90º
例：G( j) j L() 20lg，G( j) 90
T1T2
T1 T2
4.2.2 频率特性的对数坐标图（Bode图）
Bode图的意义： 具有Nyquist图的各种功能 比Nyquist图更容易绘制
——需要将坐标系进行一些变换
Bode图的特点：
幅频特性与相频特性分别画在两张图上
对数幅频特性图：原来的幅频特性取对数，画在对数 坐标系中。
对数相频特性图：还是原来的相频特性，但画在对数 坐标系中。
L() 20 lg G( j) 20 lg 1 20 lg
对数相频特性：
一条斜率为－20dB/dec的直线
-90 一条直线
L(ω) dB 积分环节
40dB
20dB
0dB -20dB
0.1 0.2
90º
0º
－90º
例：G( j) 1 j
L() 20 lg，G( j) 90
12
ω
10 20
横轴：同前 纵轴：以度或弧度线性分度
( )弧度（或度）
180º
90º
0.1
-1
1 2 3 4 6 8 10 20 30 40 60 100
0
1
2
lg
3
半对数坐标纸
半对数坐标纸
用Bode图表示频率特性的优点
可将串联环节的乘除，化为幅值的加减，简化计算 与作图过程。
可分别作出各个环节的Bode图，然后用叠加的方法 得出系统的Bode图，并由此看出各个环节对系统总 特性的影响。
【例】：已知系统的传递函数G(s)
K
，试绘制其 Nyquist图。
s2 (1 T1s)(1 T2s)
【解】：G(
j)
(
j)2 (1
K jT1 )(1
jT2)
幅频：G( j) 2
K 1 T12 2
，相频：G( j) 90 1 T22 2
arctgT1 arctgT2
当 0时，G( j) ，G( j) 180
对数相频特性：
G( j) 0
L(ω) dB 比例环节
40dB
例：G( j) 20
20dB 0dB -20dB
20lg 20 26dB
0.1 0.2
12
ω
10 20
100
90º
0º
－90º
（2）积分环节的Bode图
频率特性为：G( j) 1 j
G( j) 1 ，G( j) 90
对数幅频特性：
后来，其它技术领域也采用dB为单位，并将其原来的意义推广：
若两数值p1和p2满足20 lg( p2 / p1) 1，实质是10 lg( p22 / p12 ) 1 则称:p2比p1差1dB
推广到控制领域：任何一个数N都可以用分贝值n表示 定义为:n(dB) 20lg N(dB)
对数相频特性图所用的坐标系 （半）对数坐标系
第四章 频率特性分析
4.2.1.2 Nyquist图的绘制方法
一般步骤：
（1）由G( j) u()，v()，G( j) ，G( j)。
（2）求出若干特征点，如起点、终点，与实轴交点， 与虚轴交点等，标注在坐标图上。
（3）补充必要的几点，根据 G( j) ，G( j)和u()， v()变化的趋势以及G( j)所处的象限，作出
G( j)
20 lg G( j)
对数幅频特性
记作：L() 20lg G( j)
Bode图所用的坐标系
对数幅频特性图
横轴：以的对数分度，也即：对lg来说是均匀分度 纵轴：线性分度，以分贝（dB）为单位
对数相频特性图
横轴：的对数分度，也即：相对lg来说是均匀分度 纵轴：以弧度或度线性分度
Nyquist图的大致图形。
【例】：已知系统的传递函数G(s) K ，试绘制其 Nyquist图。 s(Ts 1)
【解】：系统的频率特性为：G( j)
K
j( jT 1)
u
(
)
1
KT
T 2
2
，v(
)
(1
K
T 2
2
)
幅频：G( j)
K
，相频：G( j) 90 arctgT
1 T 22
当 0时，u() KT，v() ，G( j) ，G( j) 90 当 时，u() 0，v() 0，G( j) 0，G( j) 180
0
1
2
lg
3
分贝的概念源于电信技术，表示信号功率的衰减程度。
若两个信号功率分别为N1和N
，则当
2
lg(
N
2
/
N1
)
1
称：N2比N1差1B(贝)，即：N2是N1的10倍
因为B的单位太大，故实际中常用dB（分贝），1B 10dB
即：若：N2和N1满足10 lg(N2 / N1) 1，则称N2比N1差1dB
由于横坐标采用对数分度，所以能把较宽范围的图 形紧凑地表示出来。
在分析和研究系统时，低频特性很重要。横轴采用 对数分度对于突出频率特性的低频段很方便，横坐 标的起点可根据实际所需的最低频率来决定。
典型环节的Bode图
（1）比例环节的Bode图
频率特性：G（j） K
对数幅频特性：
L() 20 lg G( j) 20 lg K
12
ω
10 20
100
（4）惯性环节的Bode图
频率特性：G( j)
1
= 令T
1 T
T
1 jT
T j
G（j） T T
T j
T2 2
G（j） arctgT arctg T
L() 20 lg G（j） 20 lg
对数幅频特性图所用的坐标系 （半）对数坐标系
横轴：以的对数分度，也即：对lg来说是均匀分度 纵轴：线性分度，以分贝（dB）为单位
L()dB
对数分度的特点：
80
当变量增大或减小10倍（十倍频程）时，坐标间距离
60 变化一个单位长度。
40
20
0.1
-1
十倍频程（dec） 十倍频程（dec） 1 2 3 4 6 8 10 20 30 40 60 100
当 时，G( j) 0，G( j) 360
G(
j)
2 (1
K jT1 )(1
jT2)
K (1 T1T22 ) 2 (1 T12 2 )(1 T22 2 )
j
(1
K (T1 T12 2
T2 ) )(1 T22
2
)
0时，u() ，v()
令u() 0得 1 ，以之代入v()得：v()＝ K (T1T2 )3/2 :曲线与正虚轴的交点。