平面坐标变换

二次曲线方程的化简一、平面坐标变换1.移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为或式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为或式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.2. 一般坐标变换公式为或3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数不变；（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；（3）常数项变为F(x0, y0).从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.2．在转轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.三、二次曲线的方程化简1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＝0.解：（1）因为I2＝＝6≠0，所以曲线为中心曲线，由解得中心为(2, 1)，作移轴变换代入曲线原方程，整理得5x'2＋4x'y'＋2y'2－12＝0.由ctg2α＝，即,得 tgα＝－2，tgα＝.不妨取tgα＝，则由图5-1可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述化简方程得6 x"2＋y"－12＝0.即.（如图5-2）.（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝.作转轴变换代入原方程，整理得＝ 0,配方得＝0.作移轴变换得到x"2＋y"＝0, 即x"2＝－y". （如图5-3）.（3）因为I2＝＝－36≠0，所以曲线是中心曲线，由,得中心 (1, 1)，作移轴变换代入原方程，整理得5x'2＋12x'y'－36＝0.由ctg2α＝, 即,解得tg α＝－，tg α＝.不妨取tg α＝，则由图5-４可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述方程整理得9 x"2－4y"2＝36,即.（如图5 – 5）.（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝，作转轴变换代入原方程，整理得＝0, 配方：. 作移轴变换就有x"2＝, （如图5- 6）.2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得，所以.因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3＝0；（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y＝0.解：（1）因为I1＝8＋5＝13，I2＝＝36≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2－13λ＋36＝0,解之得λ1＝4，λ2＝9，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－1:2，X2 : Y2＝2:1.由于F1(x, y)＝8x＋2y＋4，F2(x, y)＝2x＋5y－8，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x－2y＋5＝0, (x')2x＋y＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）代入原方程并整理得9 x'2＋4y'2－36＝0,即.同时 cosα＝，sinα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，由图6-7可得tgα＝，从而可确定α并作出图形，如图5-8.（２）因为I1＝1－2＝－1，I2＝＝－6 ≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2＋λ－6＝0.解之得λ1＝2，λ2＝－3，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－2: 1，X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝x－2y＋5，F2(x, y)＝－2x－2y＋2，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为2x－y＋4＝0, (x')x＋2y－3＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得－3 x'2＋2y'2－1＝0.即－.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，如图5—10.（3）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0,,故曲线为无心曲线，特征方程为λ2－5λ＝0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋3，F2(x, y)＝－2x＋y－4，，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋2＝0,将它取为O'x'轴，由解得曲线的顶点为，过它且垂直于2x－y＋2＝0的直线方程为x＋2y＋＝0,将它取为轴O 'y'，得坐标变换公式为，从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －x'＝0.即y' 2 ＝x'.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝, 如图5-12.（4）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0, ，故曲线为线心曲线，特征方程为λ2－5λ＝ 0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋2，F2(x, y)＝－2x＋y－1，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋1＝0,将它取为O'x'轴，过原点与它垂直的直线x＋2y＝0取为O'y'轴，得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －1＝0,即y' 2 ＝.同时 sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝,如图5-14.四、二次曲线的分类1.不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们所刻划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的.2.适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：(I) 中性心线：a11x2＋a22y2＋a33＝0，a11a22≠ 0；(II)无心曲线： a22y2＋2a13 x＝0，a22a13≠ 0；(III) 线心曲线： a22y2＋a33＝0，a22≠ 0.3.二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：(I) 中性心线：[1] ＝ 1 (椭圆)；[2] ＝－1 (虚椭圆)；[3] ＝ 1 (双曲线)；[4] ＝ 0 (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5] ＝ 0 (两相交直线)；(II) 无心曲线：[6] y2＝2px (抛物线)；(III) 线心曲线：[7] y2＝a2 (两平行直线)；[8] y2＝－a2 (两平行共轭虚直线)；[9] y2＝ 0 (两重合直线).例3. 试证中心二次曲线ax2＋2hxy＋ay2＝d的两条主直径为x2－y2＝0，曲线的两半轴的长分别是及.证明：因为曲线为中心曲线，所以I1＝a＋a＝2a，I2＝＝a2－h2 ≠ 0, a ≠±h,特征方程为λ2－2aλ＋(a2－h2)＝ 0,解之得λ1＝a＋h，λ2＝a－h，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝1: 1，X2 : Y2＝－1: 1,由于F1(x, y)＝ax＋hy，F2(x, y)＝hx＋ay，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x＋y＝0, (y') x－y＝0, (x')即曲线的两条主直径为x2－y2＝0. 将它们分别取作O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为从而求得正变换公式代入曲线原方程整理得（依题意d ≠0）,即.所以两半轴长分别为和.例4. 已知≠0，且a1 a2＋b1 b2＝0，试求二次曲线(a1x＋b1y＋c1)2＋(a2x＋b2y＋c2)2＝1的标准方程与所用的坐标变换公式.解：因为a1 a2＋b1 b2＝0，所以直线a1x＋b1y＋c1＝0 与a2x＋b2y＋c2＝0互相垂直，分别取为O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为[其中a i, b i (i=1,2)不全为0]式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得.由a1 a2＋b1 b2＝0 知λ≠ 0则a1＝λb2，b1＝－λa2，从而,注意到a2，b2不全为0，≠ 0, 代入得＝1,或令λ'=≠ 0，有＝1.作业题：1. 试证在任意转轴下，二次曲线新旧方程的一次项系数满足关系式.2. 利用坐标变换方法或主直径方法，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.(1) 2xy－4x－2y＋3＝0；(2) 5x2＋8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0；(3) x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0;(4) x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0;(5) x2－xy＋y2＋2x－4y＝0；(6) x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0；(7) x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0；(8) x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.。

平面向量的坐标变换和坐标旋转在二维平面上，平面向量的坐标变换和坐标旋转是数学中重要的概念和技巧。

通过变换和旋转，我们可以改变向量在平面上的位置和方向，从而得到新的向量。

本文将讨论平面向量的坐标变换和坐标旋转的原理和应用。

一、平面向量的坐标变换平面向量的坐标变换是指将一个向量的坐标表示从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。

这种变换常用于解决不同坐标系下的向量运算和几何问题。

假设有一个平面向量A，它在坐标系A下的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B下的坐标表示为(Bx, By)。

我们需要将向量A的坐标从坐标系A转换到坐标系B下。

设坐标系A的基向量为{i_i, i_i}，坐标系B的基向量为{i_i, i_i}。

坐标变换的关键在于找到从基向量{i_i, i_i}到基向量{i_i, i_i}的转换矩阵。

转换矩阵i的列向量就是基向量{i_i, i_i}在坐标系A下的坐标表示。

假设i_i在坐标系A下的坐标表示为(i_ii, i_ii)，i_i在坐标系A下的坐标表示为(i_ii, i_ii)。

则转换矩阵i可以表示为：i = [(i_ii, i_ii), (i_ii, i_ii)]那么向量A在坐标系B下的坐标表示可以通过以下运算得到：(Bx, By) = i * (Ax, Ay)这样，我们就完成了向量A的坐标变换。

二、平面向量的坐标旋转坐标旋转是指在平面上绕一个固定点进行旋转变换的过程。

对于平面向量的坐标旋转，我们常用旋转矩阵来描述旋转的规律。

以逆时针旋转为正方向，设旋转角度为θ。

对于一个向量A，它在坐标系A下的坐标表示为(Ax, Ay)。

我们需要将向量A绕原点逆时针旋转θ角度后的坐标表示为(Bx, By)。

旋转后的坐标可以通过以下公式计算得到：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ这样，我们就得到了向量A在旋转后的坐标表示。

三、坐标变换与坐标旋转的应用平面向量的坐标变换和坐标旋转在几何问题和计算机图形学中有广泛的应用。

平面直角坐标系中的变换彳----------- 必标系屮的对称平而l'i角坐标系屮的变换坐标系中的平移\------------ 怡标系屮的面枳和规律问题编写思路:本讲求而积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程•让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横.纵坐标关系。

二：(1)对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。

对于任意的平移，可以将貝理解先上下平移、后左右平移的组合。

(2)对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。

从而将图形的平移转化成为点的平移。

并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。

三、简单的数形结合：求三角形而积问题。

让学生充分掌握割补法求三角形而积，并理解为何要用割补法。

让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的讣算关系。

四.找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法.点P(-b)关于X轴的对称点是叫，-巧,即横坐标不变，纵坐标互为相反数.点P(a,b)关于y轴的对称点是P©,b),即纵坐标不变，横坐标互为相反数.点P(a.b)关于坐标原点的对称点是P'(—d),即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.【引例】在平而直角坐标系中，卩(-4 5)关于X 轴的对称点的坐标是 __________ 坐标是 ________ ,关于原点的对称点是 ___________【例1】(1)点P(3, -5)关于x 轴对称的点的坐标为()⑵点"-2, 1)关于y 轴对称的点的坐标为()⑶ 在平而直角坐标系中，点P(2, -3)关于原点对称点P 的坐标是 _____________ ⑷ 点P(2, 3)关于直线x = 3的对称点为 ________ ,关于直线y = 5的对称点为 ________ ⑸已知点P(“ + l,加-1)关于x 轴的对称点在第一彖限，求d 的取值范围.【例2】如图，在平而直角坐标系中，直线/是第一、三象限的角平分线.实验与探究：(1) 由图观察易知A(2, 0)关于直线/的对称点/V 的坐标为(0,2),请在图中分别标明3(5,3), C(-2,5)关于直线/的对称点X 、C'的位置，并写岀它们的坐标： B' __________ ，C ____________ ；归纳与发现：(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平而内任一点关于第一、三象限的角平分线/的对称点P 的坐标为 ______________ (不必证明)： ⑶点A(a , b)在直线/的下方，则d, 〃的大小关系为 ________________ :若在直线/的上方，则 __________ ・h + d\丁 >・(选讲),关于y 轴的对称点的A. (—3, —5)B. (5, 3)C. (一3, 5) D ・(3, 5)B. (2,1)C. (2, -1)D. (-2, 1)点P(a ,b)和点Q(c , d)的中点是M(1)点平移：①将点(x, y)向右(或向左)平移4个单位可得对应点(x + a t y)或(x-“, y).②将点(x, y)向上(或向下)平移〃个单位可得对应点(x，＞'+/?)或(x, y-h).⑵图形平移：①把一个图形％个点的横坐标都加上(或减去)一个正数d ,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移Q个单位.②如果把图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数d ,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位.注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【弓I例】点M(-3, -5)向上平移7个单位得到点M,的坐标为：再向左平移3个单位得到【例3】(1)平而直角坐标系中，将P(-2,l)向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到P __________ ,□平而直角坐标系中，线段虫妨'是由线段佔经过平移得到的，点A(-1,-4)的对应点为人(1, -1),那么此过程是先向________ 平移____ 个单位再向______ 平移 _____ 个单位得到的，则点B (1, 1)的对应点$坐标为______________ .⑶将点P(m-2,” + 1)沿求轴负方向平移3个单位，得到P^i-rn, 2),则点P坐标是_____________⑷ 平而直角坐标系中，线段A'B'是由线段初经过平移得到的，点A(-2, 1)的对应点为A f (3. 4),点B 的对应点为B'(4,0),则点B 的坐标为()A ・(9,3) B. (一 1，一3) C ・(3, — 3) D. (一3, —1)【例4】二如下左图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案 中左.右眼睛的坐标分别是(-4, 2), (-2, 2),右边图案中左眼的坐标是(3, 4),则右边 图案中右眼的坐标是 _____________________ .-如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作岀将“蘑菇”ABCDE 绕A点逆时针旋转奸 再向右平移2个单位的图形(其中C 、D 为所在小正方形边的中点).二如图，把图1中的04经过平移得到00(如图2),如果图1中04上一点P 的坐标为伽皿),那么平移后在图2中的对应点P 的坐标为 __________ ・大图形的总而积减去周用小三角形的面积.一般方法有割补法和等积变换法.找规律的题目一左要先找/7 = 1、2、3几个图形规律，再推广到“的情况.从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测.归纳出结论，这是创造性思维的特点.i/\ V1例题精讲A ・v图1 图2在平面直角坐标系或网格中求而积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用F二兀一 - —【引例】如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，英中点A坐k标为(2,-1),则△4BC 的而积为 _____________ 平方单位.二如上右图，AABC,将△ABC 向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可 以得到△ ・ ① 画出平移后的△人妨6 :② 写出△ AB.C,三个顶点的坐标：(在图中标岀)③ 已知点P 在x 轴上，以B“ P 为顶点的三角形面积为4,求P 点的坐标.【探究1】如图所示,4(1,4),B(4,3),(7(5,0),求图形如C 的面积.【例5】□直角坐标系中，已知人(-1,0)、5(3, 0)两点，点C 在y 轴上，△ABC 的而积是4,则点C 的坐标是 ___________ ■0如右图，已知直角坐标系中A(-1,4)、B(0,2),平移线段初,使点B 移到点C(3,0),此时点A 记作点D ，贝IJ 四边形ABCD 的 而积是 ___________ .【例6】□如下左图，在平而直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A(0,0), 8(9,0), C(7,5),D(2, 7)・求四边形ABCD 的而积.「41「J 1_1 T 丿r k —厂」I 厂 11- T 4—n T klrLIr典题精练L LIL」I- T -I- +• -1 ~J_L J•V A【探究2】如下图所示，A(-3,5), B(4,3),求图形OAB的而积.【教师备选】方法三、转化法：平行线，一边转到轴上【探究4】如图所示，求三角形AOB的而积.解析：过点A做0B的平行线，交y轴于点C,连接BC由一次函数知识可求出直线OB：y=-x t设直线AC：y=-x+b -2 - 2 求得y=l x+2 ,得C(0,2)由等积变换可知S厶AOB = S^Bg. ―― x 2x 4=4解析：过点A作BC的平行线交y轴于点D,连接DC利用一次函数求得BC：y=2x+2 ,设直线AD：y=2x+b 求得尸2x+7, D(0,7) 由等积变换可知S沁=S沁弓x 1 x 5=|【变式】已知，在平而直角坐标系中，A「B两点分别在才轴、y轴的正半轴上，且OB = OA = 3. ⑴直接写出点A、B的坐标：⑵若点C(-2, 2),求△BOC的面积；⑶点P是与〉，轴平行的直线上一点，且点P的横坐标为1.若的面积是6,求点P的坐标.【例7】□任平而直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点,图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有_______ 个.□如图，在平而直角坐标系中，第1次将MAB变换成△ OA.B.,第二次将变换成第3次将MAB 变换成△0比尽・已知A(l, 3), 4(2, 3), 4(4, 3), A(8, 3), B(2, 0), $(4, 0) , BJ8, 0),耳(16, 0)观察每次变化前后的三角形，找岀规律，按此变化规律再将△OA&3变换成△ O儿则点比的坐标是 _____ ，点厲的坐标是 _____ ,点人的坐标是_______ ，点乞的坐标是 ___________ ・【例8】一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第lmin内它从原点运动到(1, 0),而后接着按如图所示方式在与X轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在2013min后，求这个粒子所处的位置坐标・【变式】将正整数按如图所示的规律在平而直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(X, y)9且x, y均为整数.如数5对应的坐标为(-1,1)，则数_________________ 对应的坐标是(-2,3),数2012对应的坐标是__________________【拓展】数1950对应的坐标是______________ ・【教师备选】【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位，用实数加法表示为3 + （-2） = 1.若坐标平而上的点作如下平移：沿*轴方向平移的数屋为d （向右为正，向左为负，平移冋 个单位），沿y 轴方向平移的数量为方（向上为正，向下为负，平移问个单位），则把有序 数对{“，b}叫做这一平移的“平移量”;“平移量” {a, b}与“平移量” {c, d}的加法运算 法则为{“，b} + {c, d} = {a+c, b + d}. 解决问题：（1） 计算：{3, 1} + {1, 2}；（2） 动点P 从坐标原点O 出发，先按照"平移量”{3, 1}平移到A,再按照"平移量”{1, 2} 平移到若先把动点P 按照“平移量” {1, 2}平移到C,再按照“平移量” {3, 1}平 移，最后的位置还是点B 吗？在图1中画出四边形OABC.（3） 如图2, 一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2,3）,再从码头P 航行到码头0（5, 5）,最后回到出发点O,请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.37 36 35 34 3332 31 30 297 16 15 1413 12 11 18 19 61 2 2() 78 ,10 27 2122 23 2425 26图1【备选2】观察下列有规律的点的坐标：儿(1, 1), 4(2, -4), 4(3, 4),人(4, 一2),人(5, 7),肩6, -寸，4(7, 10), 4(8, —1)依此规律，人|的坐标为______________ ，州2的坐标为 ______________________________【备选3】一个动点P在平而直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到(b 1)＞然后按图中箭头所示方向运动，每次移动三角形的一边长•即(1, 1)-* (2, 0) - (3, 2) - (4, 0)-(5, 1)—........... ,按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点P的坐标是___________ ,经过第2011次运动后，动点P的坐标是 __________ .【备选4】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2,宽为1, B 两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、3、C为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C个数是( )A. 5B. 4B AD・2【备选5】在平而直角坐标系中，已知八(2・-2),任y轴上确左点P.使8"为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个题型一坐标系中的对称巩固练习【练习1】□在平面直角坐标系中，点A(2,5)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是( )A. (—5,—2)B. (一2, —5)C. (一2,5)D. (2, —5)□已知点P(x, y), n),如果x +加=0, y + 〃= 0 ,那么点P, Q ( )A・关于原点对称 B.关于x轴对称C・关于y轴对称D・关于过点(0,0), (1,1)的直线对称□已知：lx-ll+(.y + 2『=0,则(x, y)关于原点对称的点为_________________ .□已知点P(" + 3b,3)与点0(-5,“ + 2b)关于x轴对称，贝比= ______________ , b = _________ .题型二坐标系中的平移巩固练习【练习2】⑴线段CD是由线段初平移得到的，点A(-l, 5)的对应点是C(4, 2),则点B(4, -1)的对应点D的坐标为__________ ・⑵在平面直角坐标系中有一个已知点A ,现在x轴向下平移3个单位，y轴向左平移2个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A的坐标为(-1，2),在旧的坐标系下，点A的坐标为_______ ・【练习3】如图，在平而直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位.□线段DC是线段经过怎样的平移得到的？□若C点的坐标是(4, 1), A点的坐标是(-1，-2),你能写岀B、D两点的坐标吗？□求平行四边形ABCD的而积.题型三坐标系中的面积和规律问题巩固练习【练习4】□已知A(0,—2), B(5,0), C(4,3),求△ABC的而积.□已知：A(4,0), 3(1-斗0), 0(1, 3), ZVWC 的而积=6,1)A B求代数式2A-2-5X + X2+4X-3X2 -2 的值.【练习5】如图，长为1,宽为2的长方形ABCQ以右下角的顶点为中心顺时针旋转90°,此时A点的坐标为________ :依次旋转2009次，则顶点A的坐标为___________ ・。

平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式平面内的坐标旋转变换公式可以通过向量旋转的方式进行推导和表示。

在直角坐标系中，设有一个平面点P(x, y)，其绕原点O逆时针旋转θ角度后的新坐标为P'(x', y')。

为了推导出坐标旋转变换公式，我们可以利用向量的旋转表达式来推导。

首先，我们将点P(x, y)表示为位于原点O(0, 0)到点P(x, y)的向量r = OP。

同理，点P'(x', y')可表示为向量r' = OP'。

然后，我们利用向量的旋转表达式来表示矢量r'，即：r' = r • R,其中R为旋转矩阵。

在平面内的逆时针旋转θ角度的旋转矩阵为：R = |cosθ -sinθ||sinθ cosθ|将向量r表示为坐标形式，则有：r = (x, y)将旋转矩阵R和向量r代入旋转表达式中，就可以得到点P'的坐标表示：(x', y') = (x, y) • |cosθ -sinθ||sinθ cosθ|根据矩阵乘法的定义，可以得到：x' = x • cosθ - y • sinθy' = x • sinθ + y • cosθ综上所述，平面内的坐标旋转变换公式为：x' = x • cosθ - y • sinθy' = x • sinθ + y • cosθ这个公式表示了坐标旋转变换的关系，可以使用这个公式将原平面上的点P(x, y)绕原点逆时针旋转θ角度后，得到新的坐标P'(x', y')。

在具体应用中，可以使用这个公式来进行坐标旋转变换。

例如，在计算机图形学中，可以使用这个公式将图像绕指定点进行旋转；在机器人学中，可以使用这个公式计算机器人末端执行器的位置；在仿真实验中，可以使用这个公式模拟物体的运动等等。

总之，坐标旋转变换公式提供了一种计算平面内点的旋转后坐标的方法，通过对原点到点P的向量进行旋转矩阵的乘法运算，可以计算出点P'的新坐标。

平面解析几何中的坐标变换在平面解析几何中，坐标系统是我们研究和描述平面上的点和图形的重要工具。

坐标变换是指将一个点的坐标转换为另一个坐标系统中的坐标的过程。

在本文中，我们将探讨平面解析几何中的常见坐标变换，包括平移、旋转、缩放和镜像。

一、平移变换平移变换是指将平面上的点沿着指定的向量移动一定的距离，而保持点在平移之前的方向不变。

假设有一个点P(x, y)，我们要将它平移d单位，那么它的新坐标为P'(x+d, y+d)。

平移变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡1 0 d⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢0 1 d⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣0 0 1⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为平移之后的坐标，d为平移的距离。

二、旋转变换旋转变换是指将平面上的点绕着一个给定的旋转中心顺时针或逆时针旋转一定的角度。

假设有一个点P(x, y)，我们要将它绕旋转中心O旋转θ角度，那么它的新坐标为P'(x', y')。

旋转变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡cosθ -sinθ⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣sinθ cosθ⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为旋转之后的坐标，θ为旋转角度。

三、缩放变换缩放变换是指将平面上的点按照一定的比例扩大或缩小，而不改变点在所缩放前的方向。

假设有一个点P(x, y)，我们要将它按照给定的比例水平缩放sx，垂直缩放sy，那么它的新坐标为P'(x', y')。

缩放变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡sx 0⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣ 0 sy⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为缩放之后的坐标，sx为水平缩放系数，sy为垂直缩放系数。

四、镜像变换镜像变换是指将平面上的点按照给定的镜像轴进行对称翻转。

平面直角坐标系与坐标变换平面直角坐标系是数学中常用的坐标系统之一，它提供了描述平面上任意点位置的方法。

坐标变换则是在不同的坐标系之间进行转换，使得不同坐标系下的点能够相互对应。

一、平面直角坐标系的定义与性质平面直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴组成，通常分别称为x轴和y轴。

x轴与y轴的交点称为坐标原点，用O表示。

在同一个直角坐标系中，点的位置可以由其在x轴和y轴上的投影来确定。

在平面直角坐标系中，每个点都可以通过一对有序实数（x，y）来表示，其中x称为点的横坐标，y称为点的纵坐标。

横坐标决定了点在x轴方向上的位置，纵坐标决定了点在y轴方向上的位置。

通常将坐标表示为一个有序对的形式，如P(x，y)。

平面直角坐标系中，两点之间的距离可以用勾股定理来计算。

设P1(x1, y1)和P2(x2, y2)是直角坐标系中的两点，则P1P2的距离为：√[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。

二、坐标变换的基本概念不同的坐标系可以通过坐标变换来相互转换，常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放等。

坐标变换可以应用于多个领域，如计算机图形学、物理学、工程学等。

1. 平移变换平移变换改变了坐标系的原点位置，将原点沿着指定的方向移动一定距离。

平移变换可以表示为：x' = x + a，y' = y + b。

其中，(x, y)是原坐标系中的点，(x', y')是变换后的坐标系中的点，(a, b)是平移的距离。

2. 旋转变换旋转变换改变了坐标系中点的方向和位置，通常围绕原点进行旋转。

旋转变换可以表示为：x' = xcosθ - ysinθ，y' = xsinθ + ycosθ。

其中，(x, y)是原坐标系中的点，(x', y')是旋转后的坐标系中的点，θ是旋转角度。

3. 缩放变换缩放变换改变了坐标系中点的大小，可以进行等比缩放或非等比缩放。

缩放变换可以表示为：x' = ax，y' = by。

§6 平面直角坐标变换一 平移坐标变换定义：若二平面直角坐标系{O ；i ，j}和{O ′；i ′，j ′}满足i=i ′，j=j ′，则坐标系{O ′；i ′，j ′}可看成是由{O ；i ，j }经过平移得到的，称由坐标系{O ；i ，j}到坐标系{O ′；i ′，j ′}的变换为平移坐标变换。

平移变换公式设平面上一点M 在新系{O ′；i ′，j ′}与旧系{O ；i ，j}下的坐标分别为 （x ′，y ′），（x,y ），而O ′在旧系下的坐标为（a,b ），则 xi+yj= OP = O O +P O '=ai+bj+x ′i ′+y ′j ′=ai+bj+x ′i+y ′j=（a+x ′）i+（b+y ′）j∴⎩⎨⎧+'=+'=b y y a x x ——平移坐标变换公式 二 旋转坐标变换：定义：若二坐标系{O ；i ，j}和{O ′；i ′，j ′}满足O ≡O ′，另∠（i ，j ′）=θ 则坐标系{O ′；i ′，j ′}可看成是由坐标系{O ；i ，j}绕O 旋转θ角得到的，称由{O ；i ，j}到{O ′；i ′，j ′}的变换为旋转坐标变换。

旋转变换公式由于∠（i ，i ′）=0，∴∠（i ，j ′）=2π+θ ∴i ′=cos θi+sin θj ，j ′=cos （2π+θ）i+sin （2π+θ）j=-sin θi+cos θj ∴xi+yj=OP =P O '=x ′i ′+y ′j ′=x ′（cos θi+sin θj ）+y ′（-sin θi+cosθj ）=（x ′cos θ-y ′sin θ）i+（x ′sin θ+y ′cos θ）j即⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x用x,y 表示x ′，y ′，有⎩⎨⎧+-='+='θθθθcos sin sin cos y x y y x x 三 一般坐标变换：称由坐标系{O ；i ，j}得坐标系{O ′；i ′，j ′}的变换为一般坐标变换。

平面直角坐标系与坐标变换平面直角坐标系是一个由两条互相垂直的线所确定的平面坐标系，常用于表示平面上的点的位置。

在平面直角坐标系中，每个点的位置都可以由其横坐标(x)和纵坐标(y)来确定。

坐标变换是指将一个平面直角坐标系中的点的坐标转换为另一个平面直角坐标系中的点的坐标的过程。

一、平面直角坐标系平面直角坐标系由横轴和纵轴组成，它们互相垂直，并且在原点处交叉。

横轴被称为x轴，纵轴被称为y轴。

在平面直角坐标系中，点的位置可以由其横坐标和纵坐标的数值来确定。

横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。

坐标轴上的正半轴方向被规定为正方向，负半轴方向被规定为负方向。

平面直角坐标系的单位长度可以任意选择，通常选择单位长度为1。

二、坐标变换1. 平移变换平移变换是指将一个平面直角坐标系中的点的坐标移动到另一个平面直角坐标系中的点的坐标的过程。

平移变换可以沿着横轴或纵轴方向进行。

沿着横轴方向的平移变换将横坐标增加或减少某个数值，不影响纵坐标。

沿着纵轴方向的平移变换将纵坐标增加或减少某个数值，不影响横坐标。

平移变换可以用下列公式表示：新点的横坐标 = 原点的横坐标 + 平移量新点的纵坐标 = 原点的纵坐标 + 平移量2. 旋转变换旋转变换是指将一个平面直角坐标系中的点的坐标绕一个固定点旋转一定角度后，得到另一个平面直角坐标系中的点的坐标的过程。

旋转变换可以是顺时针方向或逆时针方向。

旋转变换可以用下列公式表示：新点的横坐标 = 原点的横坐标* cosθ - 原点的纵坐标* sinθ新点的纵坐标 = 原点的横坐标* sinθ + 原点的纵坐标* cosθ其中，θ表示旋转的角度，cosθ表示θ的余弦值，sinθ表示θ的正弦值。

3. 缩放变换缩放变换是指将一个平面直角坐标系中的点的坐标在横轴和纵轴方向上进行拉伸或压缩的过程。

缩放变换可以分别在横轴和纵轴上进行，也可以在两个方向上同时进行。

缩放变换可以用下列公式表示：新点的横坐标 = 原点的横坐标 * 缩放因子新点的纵坐标 = 原点的纵坐标 * 缩放因子其中，缩放因子表示缩放的比例。

平面直角坐标系中的几何变换在数学中，几何变换是一种将图形从一个位置或形状转移到另一个位置或形状的方法。

在平面直角坐标系中，有许多常见的几何变换，如平移、旋转、缩放和翻转等。

这些变换不仅在数学中有着重要的应用，也在计算机图形学、物理学和工程学等领域中扮演着重要的角色。

平移是最简单的几何变换之一。

它通过将图形的每个点沿着指定的向量移动一定的距离来改变图形的位置。

在平面直角坐标系中，平移可以通过将图形的每个点的坐标分别增加或减少相同的数值来实现。

例如，将一个三角形沿着向量(2, 3)平移，可以将每个点的x坐标增加2，y坐标增加3。

这样，原来的三角形将平移至新的位置。

旋转是另一种常见的几何变换。

它通过围绕一个点或围绕坐标轴旋转图形来改变图形的方向。

在平面直角坐标系中，旋转可以通过将图形的每个点绕着指定的旋转中心旋转一定的角度来实现。

旋转的角度可以是正数或负数，正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。

例如，将一个矩形绕着原点逆时针旋转90度，可以通过将每个点的坐标(x, y)变换为(-y, x)来实现。

缩放是改变图形大小的几何变换。

它通过乘以一个比例因子来增加或减少图形的尺寸。

在平面直角坐标系中，缩放可以通过将图形的每个点的坐标分别乘以相同的数值来实现。

如果缩放因子大于1，图形将变大；如果缩放因子小于1，图形将变小。

例如，将一个圆的半径缩小为原来的一半，可以将每个点的坐标乘以0.5。

翻转是将图形沿着某个轴对称的几何变换。

它通过改变图形的左右或上下位置来改变图形的方向。

在平面直角坐标系中，翻转可以通过将图形的每个点的坐标的一个分量取反来实现。

例如，将一个三角形关于x轴翻转，可以将每个点的y坐标取反。

除了以上几种常见的几何变换，还有一些其他的变换，如错切、投影和仿射变换等。

错切是通过将图形的每个点的坐标的一个分量增加或减少与另一个分量成比例的数值来改变图形的形状。

投影是将三维图形映射到二维平面上的几何变换。

仿射变换是一种将图形进行平移、旋转、缩放和错切等组合的变换。

平面坐标变换通常指的是将一个二维平面上的点从一种坐标系转换到另一种坐标系的过程。

这可以通过平移、旋转、缩放和倾斜等几何变换来实现。

相似变换是指保持图形形状不变的变换，但大小和方向可能发生变化。

相似变换包括旋转、缩放和倾斜等类型。

在平面坐标变换中，相似变换可以用于将点从一个坐标系转换到另一个坐标系，同时保持其相对位置和方向不变。

例如，在二维坐标系中，点P(x, y) 可以通过相似变换转换为点P'(x', y')。

如果点P 绕原点旋转θ 度，缩放因子为s，则点P' 的坐标可以通过以下公式计算：x' = s * (x * cosθ - y * sinθ)
y' = s * (x * sinθ + y * cosθ)
其中，cosθ 和sinθ 是角度θ 的余弦和正弦值，s 是缩放因子。

这个公式表示了一个绕原点旋转θ 度并缩放s 倍的相似变换。

需要注意的是，相似变换并不改变图形之间的相对关系，但会改变图形的大小和方向。

因此，在进行相似变换时，需要确保变换的参数（如旋转角度和缩放因子）与实际需求相匹配。

平面直角坐标系与坐标变换在我们的数学世界中，平面直角坐标系就像是一个神奇的地图，能够清晰地定位和描述点的位置。

而坐标变换则像是这个地图上的魔法，让我们可以从不同的角度去观察和理解这些点的位置关系。

先来说说平面直角坐标系。

想象一下，在一个平坦的平面上，我们画两条互相垂直的线，一条水平的线称为 x 轴，一条垂直的线称为 y 轴。

这两条线的交点被称为原点，通常标记为 O 。

通过这两条轴，我们可以给平面上的任何一个点赋予一个特定的坐标。

比如，有一个点 P ，它距离 x 轴 3 个单位长度，距离 y 轴 2 个单位长度，并且在 x 轴上方和 y 轴右侧，那么它的坐标就是（3, 2) 。

这里的 3 叫做横坐标，2 叫做纵坐标。

横坐标表示点在 x 轴上的位置，纵坐标表示点在 y 轴上的位置。

平面直角坐标系的出现，让我们能够用数学的语言来精确地描述平面上的位置和图形。

比如，一条直线可以用一个方程来表示，一个圆也可以用特定的方程来描述。

接下来，咱们再聊聊坐标变换。

坐标变换就是改变点的坐标表示方式，但点在平面上的实际位置并没有改变，只是我们观察它的角度或者参照系发生了变化。

最常见的坐标变换有平移、旋转和缩放。

平移变换就像是把整个坐标系在平面上移动。

假设我们把整个平面直角坐标系向右移动 2 个单位，向上移动 3 个单位。

那么原来坐标为（x, y) 的点，在新的坐标系中的坐标就变成了（x 2, y 3) 。

旋转变换则是让坐标轴绕着原点旋转一定的角度。

比如说，我们把坐标轴逆时针旋转 90 度。

原来坐标为（x, y) 的点，在新的坐标系中的坐标就变成了（y, x) 。

缩放变换呢，就是把坐标轴的单位长度进行放大或者缩小。

如果 x 轴和 y 轴的单位长度都扩大 2 倍，那么原来坐标为（x, y) 的点，在新的坐标系中的坐标就变成了（x/2, y/2) 。

坐标变换在很多领域都有着重要的应用。

在物理学中，当我们研究物体的运动时，可能需要在不同的参考系下观察和描述物体的位置和速度，这就需要用到坐标变换。

测绘技术中的坐标变换方法介绍测绘技术作为一门专业学科，它不单纯是以地理学、地图学为基础知识，还融合了各种测量和数学方法。

其中，坐标变换是测绘技术中的一个重要概念和方法。

在测绘工作中，坐标变换可以帮助我们实现不同坐标系之间的转换，为地理信息系统、地图制图等提供了极大的便利。

本文将介绍测绘技术中的常见坐标变换方法。

一、平面坐标与大地坐标的转换方法在测绘工作中，我们通常会遇到不同坐标系之间的转换。

最常见的就是平面坐标与大地坐标之间的转换。

平面坐标是利用平面坐标系来表示地理位置的坐标值，而大地坐标则是使用经纬度等来表示地理位置的坐标值。

为了实现平面坐标与大地坐标的转换，我们可以利用以下方法：1. 大地坐标系统的参数化转换方法大地坐标系是地球表面上各个点的经纬度坐标表示。

要将大地坐标转换为平面坐标，我们可以采用参数化转换方法。

该方法通过定义一系列参数，以实现大地坐标到平面坐标的转换。

具体的参数化转换方法有著名的高斯投影、横轴墨卡托等。

2. 七参数变换法七参数变换法是常用的坐标变换方法，它适用于平面坐标与大地坐标之间的转换。

它通过七个参数的定义，分别对应平移、旋转和尺度变换等，从而将平面坐标与大地坐标之间进行转化。

二、不同大地坐标系之间的转换方法除了平面坐标与大地坐标之间的转换外，不同大地坐标系之间的转换也是测绘技术中常见的任务之一。

这是因为不同地区采用的大地坐标系可能具有不同的参数，因此需要进行转换以实现一致性。

以下是常见的大地坐标系转换方法：1. 布尔莎参数法布尔莎参数法是一种常用的大地坐标系转换方法。

它通过定义一系列参数，如椭球参数和基准点坐标等，以实现不同大地坐标系之间的转换。

2. 七参数变换法七参数变换法同样适用于不同大地坐标系之间的转换。

通过定义不同的七参数值，我们可以将一个大地坐标系转换为另一个大地坐标系，以满足具体测绘需求。

三、测量数据的坐标变换方法在测绘工作中，我们还需要对测量数据进行坐标变换，以将测量结果与已知的地理坐标体系相匹配。

4.3 平面坐标系中几种常见变换4．3.1平面直角坐标系中的平移变换课标解读1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.1．平移在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移，若以向量a 表示移动的方向和长度，也称图形F 按向量a 平移．2．平移变换公式设P (x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点P ′(x ′，y ′)，则(x ，y )＋(h ，k )＝(x ′，y ′)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h ＝x ′，y ＋k ＝y ′.1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？【提示】 步骤：(1)设平移前曲线上一点P 的坐标为(x ，y )，平移后的曲线上对应点P ′的坐标为(x ′，y ′)；(2)写出变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k ，并转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k ；(3)利用上述公式将原方程中的x ，y 代换；(4)按习惯，将所得方程中的x ′，y ′分别替换为x ，y ，即得所求曲线的方程． 2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？【提示】 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.平移变换公式的应用点M (8，－10)按a 平移后的对应点M ′的坐标为(－7,4)，求a .【自主解答】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧－7＝8＋h ，4＝－10＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－15，k ＝14，即a ＝(－15,14)．把点A (－2,1)按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)． 【解】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2＋3＝1，y ′＝1＋2＝3，即对应点A ′的坐标(1,3)．平移变换公式在圆锥曲线中的应用求双曲线4x 2－9y 2－16x ＋54y －29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程．【思路探究】 把双曲线方程化为标准方程求解．【自主解答】 将方程按x ，y 分别配方成4(x －2)2－9(y －3)2＝－36， 即(y －3)24－(x －2)29＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y －3，方程可化为y ′24－x ′29＝1.双曲线y ′24－x ′29＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，－2)，焦点坐标为(0，13)和(0，－13)，对称轴方程为x ′＝0，y ′＝0，准线方程为y ′＝±41313，渐近线方程为y ′2±x ′3＝0. 根据公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2，y ＝y ′＋3可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3＋13)和(2,3－13)，对称轴方程为x ＝2，y ＝3，准线方程为y ＝3±41313，渐近线方程为y －32±x －23＝0，即2x ＋3y －13＝0和2x －3y ＋5＝0.几何量a ，b ，c ，e ，p 决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．已知抛物线y ＝x 2＋4x ＋7.(1)求抛物线顶点的坐标；(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．【解】 (1)设抛物线y ＝x 2＋4x ＋7的顶点O ′的坐标为(h ，k )，那么 h ＝－42＝－2，k＝4×7－424＝3，即这条抛物线的顶点O ′的坐标为(－2,3)． (2)将抛物线y ＝x 2＋4x ＋7平移，使点O ′(－2,3)与点O (0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量O ′O →平移得到的，设O ′O →的坐标为(m ，n )，那么⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0－(－2)＝2，n ＝0－3＝－3.所以抛物线按(2，－3)平移，平移后的方程为y ＝x 2.(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物线y 2＝8x 按向量(2,1)平移后的抛物线方程和准线方程．(2013·无锡质检)将函数y ＝2x 的图象l 按a ＝(0,3)平移到l ′，求l ′的函数解析式．【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．【解】 设P (x ，y )为l 的任意一点，它在l ′上的对应点P ′(x ′，y ′)由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋0，y ′＝y ＋3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝y ′－3.将它们代入y ＝2x 中得到y ′－3＝2x ′， 即函数的解析式为y ＝2x ＋3.1．将点P (7,0)按向量a 平移，得到对应点A ′(11,5)，则a ＝________. 【答案】 (4,5)2．直线l ：3x －2y ＋12＝0按向量a ＝(2，－3)平移后的方程是________． 【答案】 3x －2y ＝03．曲线x 2－y 2－2x －2y －1＝0的中心坐标是________． 【解析】 配方，得(x －1)2－(y ＋1)2＝1. 【答案】 (1，－1)4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________． 【解析】 开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x 2＝4y ，所以所求抛物线的方程是(x －3)2＝4(y －2)．【答案】 (x －3)2＝4(y －2)1．已知函数y ＝x 2图象F 按平移向量a ＝(－2,3)平移到F ′的位置，求图象F ′的函数表达式．【解】 在曲线F 上任取一点P (x ，y )，设F ′上的对应点为P ′(x ′，y ′)，则x ′＝x－2，y ′＝y ＋3，∴x ＝x ′＋2，y ＝y ′－3. 将上式代入方程y ＝x 2， 得：y ′－3＝(x ′＋2)2，∴y ′＝(x ′＋2)2＋3，即图象F ′的函数表达式为y ＝(x ＋2)2＋3.2．求椭圆4x 2＋9y 2＋24x －18y ＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．【解】 因椭圆方程可化为(x ＋3)29＋(y －1)24＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±5，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为53，准线方程为x ＝－3±955. 3．圆x 2＋y 2＝25按向量a 平移后的方程是x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，求过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线按向量a 平移后的方程．【解】 由题意可知a ＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线方程为3x ＋4y ＝25，所以平移后的切线方程为3(x －1)＋4(y ＋2)＝25，即3x ＋4y －20＝0.4．已知两个点P (1,2)、P ′(2,10)和向量a ＝(－3,12)．回答下列问题： (1)把点P 按向量a 平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a 平移得到对应点P ′，求这个点的坐标； (3)点P 按某一向量平移，得到的对应点是P ′，求这个向量的坐标．【解】 (1)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ＝1，y ＝2，解得x ′＝－2，y ′＝14，即所求的对应点的坐标为(－2,14)．(2)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ′＝2，y ′＝10，解得x ＝5，y ＝－2，即所求点的坐标为(5，－2)．(3)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k .由x ＝1，y ＝2，x ′＝2，y ′＝10，解得h ＝1，k ＝8，所以所求的向量的坐标为(1,8)．5．将二次函数y ＝x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y ＝2x －5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(h ，k )，所以y ＝x 2平移后的解析式为y －k ＝(x －h )2，即y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 与直线y ＝2x －5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 在(3,1)处切线的斜率为6－2h ，从而6－2h ＝2，h ＝2.又点(3,1)在y －k ＝(x －h )2上，解得k ＝0，所以向量a 的坐标为(2,0)．6．抛物线y ＝x 2－4x ＋7按向量a 平移后，得到抛物线的方程是y ＝x 2.求向量a 及平移前抛物线的焦点坐标．【解】 抛物线方程可化为y －3＝(x －2)2，平移后的抛物线方程为y ＝x 2，所以a ＝(－2，－3)，因为y ＝x 2的焦点坐标为(0，14)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，14＋3)，即(2，134)．7．已知双曲线的渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0与4x －3y ＋15＝0，一条准线的方程为y ＝－115，求此双曲线的方程．【解】 两渐近线的交点即双曲线中心，故由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋9＝0，4x －3y ＋15＝0，解得交点为(－3,1)，即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y ＝－115，说明焦点所在的对称轴平行于y 轴，所以可设双曲线方程为(y －1)2a 2－(x ＋3)2b 2＝1，它的渐近线方程可写成y －1a ±x ＋3b ＝0①，准线方程为y －1＝±a 2c ②，而已知渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0，即4(x ＋3)＋3(y －1)＝0，另一条渐近线方程为4x －3y ＋15＝0，即4(x ＋3)－3(y －1)＝0，合并即为y －14±x ＋33＝0.对照①，得a b ＝43③.而已知准线方程y ＝－115，即y －1＝－165.对照②，得a 2c ＝165④.由③④，解得a ＝4，b ＝3，c＝5.故所求双曲线方程为(y －1)216－(x ＋3)29＝1.教师备选8．已知抛物线y ＝x 2－4x －8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程； (2)将此抛物线按怎样的向量a 平移，能使平移后的方程是y ＝x 2?【解】 (1)将抛物线y ＝x 2－4x －8配方，得y ＝(x －2)2－12，故抛物线顶点的坐标为P (2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a ＝(1,10)，于是平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋1，y ′＝y ＋10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－1，y ＝y ′－10.因为点(x ，y )在抛物线y ＝x 2－4x －8上，所以y ′－10＝(x ′－1)2－4(x ′－1)－8， 即y ′＝x ′2－6x ′＋7.所以平移后的方程为y ＝x 2－6x ＋7.(2)法一 设平移向量a ＝(h ，k )，则平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k . 将其代入y ＝x 2－4x －8，得 y ′－k ＝(x ′－h )2－4(x ′－h )－8， 化简整理，得y ′＝x ′2－(2h ＋4)x ′＋h 2＋4h ＋k －8.令⎩⎪⎨⎪⎧2h ＋4＝0，h 2＋4h ＋k －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－2，k ＝12，此时y ′＝x ′2.所以当图象按向量a ＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y ＝x 2. 法二 将抛物线y ＝x 2－4x －8，即y ＋12＝(x －2)2平移到y ＝x 2. 只需要作变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y ＋12. 所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．4．3.2平面直角坐标系中的伸缩变换课标解读1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换．2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.1．横坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，y ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．2．纵坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，ky ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．3．伸缩变换一般地，设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换．1．如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】 x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆：x 24＋y 2＝1.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状． 2．如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f (x ，y )＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1k .第(1)种坐标系中的意思是x 轴与y 轴上的单位长度一样，f (x ，y )＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f (x ，y )＝0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的1k ，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的．伸缩变换对下列曲线进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)．(1)y ＝kx ＋b ；(2)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.【自主解答】 设P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′，即⎩⎨⎧x ＝1kx ′，y ＝1k y ′.(1)由1k y ′＝k (1k x ′)＋b ，y ′＝kx ′＋kb ，得直线y ＝kx ＋b 经过伸缩变换后的方程为y＝kx ＋kb ，仍然是一条直线．当b ＝0时，该直线和原直线重合；当b ≠0时，该直线和原直线平行．(2)由(1k x ′－a )2＋(1k y ′－b )2＝r 2，(x ′－ka )2＋(y ′－kb )2＝(kr )2，得圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2经过伸缩变换后的方程为(x －ka )2＋(y －kb )2＝(kr )2，它是一个圆心为(ka ，kb )，半径为|kr |的圆．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入直线方程2x ′－y ′＝4得：2λx －μy ＝4，即λx －μ2y ＝2，比较系数得： λ＝1，μ＝4，即直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.伸缩变换的应用曲线y ＝2sin 3x 变换成曲线y ＝3sin 2x ，求它的一个伸缩变换．【思路探究】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)代入y ′＝3sin 2x ′，所得式再与y ＝2sin 3x 比较即可求λ、μ.【自主解答】 将变换后的曲线y ＝3sin 2x 改成y ′＝3sin 2x ′.设伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)，代入y ′＝3sin 2x ′；得μy ＝3sin(2λx )即y ＝3μsin(2λx )，与y ＝2sin 3x 比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，即⎩⎨⎧ λ＝32，μ＝32，所以伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝32x ，y ′＝32y .确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．(1)圆x 2＋y 2＝a 2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为x 2a 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜a )?(2)分析圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系．【解】 (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1可以化为x 2＋a 2y 2b2＝a 2， 设⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′，y ＝a b y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，b a y ＝y ′.所以圆x 2＋y 2＝a 2经过向着x 轴方向上的伸缩变换，伸缩系数k ＝b a ，可以使方程变为x 2a2＋y 2b2＝1. (2)若圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋m ，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为y ＝－1kx .由a b y ′＝kx ′＋m ，得y ′＝bk a x ′＋b a m .所以直线y ＝kx ＋m 经过变换，方程可变为y ＝bk a x ＋b am . 由a b y ′＝－1k x ′，得y ′＝－b ka x ′，所以直线y ＝－1k x 经过变换，方程可变为y ＝－b kax .此时，两条直线的斜率乘积是定值－b 2a2.若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为x ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为y ＝0，伸缩变换后其方程分别变为x ＝n ，y ＝0.此时两直线依然垂直．若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为y ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为x ＝0，伸缩变换后其方程分别变为y ＝ban ，x ＝0.此时两直线依然垂直．(教材第41页习题4.3第8题)对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数k ＝2：(1)x 2－4y 2＝16；(2)x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.(2013·南京模拟)求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.1．直线x ＋4y －6＝0按伸缩系数12向着x 轴的伸缩变换后，直线的方程是________．【答案】 x ＋8y －6＝02．直线2x －3y ＝0按伸缩系数3向着y 轴的伸缩变换后，直线的方程是________． 【答案】 2x －9y ＝03．曲线x 2＋y 2＝4按伸缩系数2向着y 轴的伸缩变换后，曲线的方程是________． 【答案】 x 216＋y 24＝14．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为______．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′， 即y ′＝3cos 12x ′.【答案】 y ＝3cos x21．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的方程．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得到⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.①(1)将①代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x ′＋y ′＝0，所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ＋y ＝0.(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y后，方程x 2＋y 2＝1变成x 24＋y 29＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程．【解】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，代入x ′2＋y ′216＝1， 得x 2＋y 2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.3．设F ：(x －1)2＋(y －1)2＝1在⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′的伸缩变换下变为图形F ′，求F ′的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′.所以(x －1)2＋(y －1)2＝1变换为(13x ′－1)2＋(y ′－1)2＝1，即(x ′－3)29＋(y ′－1)2＝1，所以F ′的方程是(x －3)29＋(y －1)2＝1.4．双曲线x 216－y 29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x 2－y 2＝1吗？【解】 双曲线方程x 216－y 29＝1可以化为(x 4)2－(y3)2＝1.令⎩⎨⎧x4＝x ′，y3＝y ′，则x ′2－y ′2＝1.所以双曲线x 216－y 29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x 2－y 2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数13向着x 轴进行伸缩变换．5．已知G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数k 向着x 轴(或y 轴)的伸缩变换后，得到G ′和△A ′B ′C ′.试判断G ′是否为△A ′B ′C ′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．经过伸缩系数k 向着x 轴的伸缩变换后，得到△A ′B ′C ′的三个顶点及点G ′的坐标分别为A ′(x 1，ky 1)、B ′(x 2，ky 2)，C ′(x 3，ky 3)，G ′(x 1＋x 2＋x 33，k y 1＋y 2＋y 33)．由于△A ′B ′C ′的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋ky 2＋ky 33)，所以G ′仍然是△A ′B ′C ′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y 轴方向，G ′同样也是△A ′B ′C ′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)后，得到△A ′B ′C ′.求证：△A ′B ′C ′和△ABC 相似，且面积比为k 2.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 A ′(kx 1，ky 1)、B ′(kx 2，ky 2)． 所以A ′B ′＝(kx 1－kx 2)2＋(ky 1－ky 2)2＝|k |(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝|k |AB .同理可得A ′C ′＝|k |AC ，B ′C ′＝|k |BC ， 所以△A ′B ′C ′∽△ABC ，所以∠A ＝∠A ′， S △A ′B ′C ′＝12(|k |AB )·(|k |AC )sin A ′＝k 2[12(AB ·AC )sin A ]＝k 2S △ABC .7．设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2，称λ为点P 分有向线段P 1P 2所成比．设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P 分有向线段P 1P 2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P 1、P 2和P 分别变为P 1′、P 2′和P ′.求证：P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.【证明】 设P (x 0，y 0)，由P 1P →＝λPP 2→，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋λx 21＋λ，y 0＝y 1＋λy21＋λ.设给定伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧k 1x ＝x ′，k 2y ＝y ′，则有P 1′(k 1x 1，k 2y 1)、P 2′(k 1x 2，k 2y 2)、 P ′(k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 1＋λy 21＋λ)．P 1′P ′→＝(k 1x 1＋λx 21＋λ－k 1x 1，k 2y 1＋λy 21＋λ－k 2y 1)＝λ(k 1(x 2－x 1)1＋λ，k 2(y 2－y 1)1＋λ)，P ′P 2′→＝(k 1x 2－k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 2－k 2y 1＋λy 21＋λ)＝(k 1(x 2－x 1)1＋λ，k 2(y 2－y 1)1＋λ)，所以P 1′P ′→＝λP ′P 2′→.所以P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.教师备选8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：选修4－4阶段归纳提升坐标系错误!))极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标互化的公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx，当不能直接使用公式时，可通过适当变换，化成能使用的形式．把下列极坐标化为直角坐标：(1)M (5，56π)；(2)N (2，32π)；(3)P (2，54π)；(4)Q (2，－π6)．【解】 (1)由题意知x ＝5cos 56π＝5×(－32)＝－532，y ＝5sin 56π＝5×12＝52.所以M 点的直角坐标为(－532，52)．(2)x ＝2cos 32π＝2×0＝0，y ＝2sin 32π＝2×(－1)＝－2.所以N 点的直角坐标为(0，－2)． (3)x ＝2cos 54π＝2×(－22)＝－2，y ＝2sin 54π＝2×(－22)＝－ 2.所以P 点的直角坐标为(－2，－2)． (2)x ＝2cos(－π6)＝2×32＝3，y ＝2sin(－π6)＝2×(－12)＝－1.所以Q 点的直角坐标为Q (3，－1).极坐标的应用主要应用极坐标与直角坐标的互化公式解决问题，注意极坐标系中的ρ和θ的含义．(2012·陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.∴弦长为2×32＝ 3. 【答案】3伸缩变换变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)，其中P (x ，y )为变换前的点，P ′(x ′，y ′)为变换后的点．将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．【解】 设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y得⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，代入x ′2－y ′2＝1得(x 3)2－(y 2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M (8，－9π5)，N (8，11π5)，P (－8，4π5)，Q (－8，6π5)的四点中，与点A (8，π5)表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3) 3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 2 35．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 【解析】 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为(2π3，2π3，2π3)，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3， 由⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r 得⎩⎨⎧ r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎨⎧ r ＝22π3，φ＝π4. 所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)， 球坐标为(22π3，π4，2π3)． 【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π) 9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________．【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)， 因此|CP |＝2 3.【答案】 2 312．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 【答案】 2213．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________． 【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5xy ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝1，得： 2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1.【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0，故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|12＋(－2)2＝855. 【答案】855 二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4)；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.(2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1， 得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14. 该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆． 17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 的面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2pρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ). 所以S △AOB ＝12OA ·OB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ) ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2， 当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2. 18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B .设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)．弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos (π＋θ)| ＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.。

第4讲 平面直角坐标系中的变换已知点P （a ，b ），则点P 到x 轴的距离为 ； 点P 到y 轴的距离为 ． 若点P （a ，b ）在第一、三象限的角平分线上，则 ，即横、纵坐标 ； 若点P （a ，b ）在第二、四象限的角平分线上，则 ，即横、纵坐标 ．【例1】基础过关（1）点A （3，-1）在第______象限，点B （-1，-3）在第______象限，点C （3， 1）在第______象限，点A （-3，1）在第______象限．（2）若点P （a ，b ）在第二象限，则点（-b ，a ）在第______象限．（3）如果点P 在轴上，则____，此时P 的坐标为_____ ；当____时，点P 在横轴上，此时P 点坐标为 ______ ；（4）点P(x ，y)，若xy=0，则点P 在____________上．（5）已知点P （-x+1，2x-7）在第三象限的角平分线上，则x=______．（6）已知点P （2x ，x+3）在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点Q （-x+2，2x+3）的坐标为 ．（7）如果点A （2，m ），点B （n-6） 且AB//y 轴，则_______．（8）点P 在第四象限，且到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，则点P 的坐标为_______．（9）点P （-a 2-2，b 2+1）到x 轴的距离为______，到y 轴的距离为______．【例2】基础过关（1）如果a －b ＜0，且ab ＜0，那么点(a ，b)在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限,D 、第四象限.()5,2a a +-y a =a =(),1a a -板块一 平面直角坐标系的基础知识（2）如果＜0，那么点P （x ，y ）在（ ）A 、第二象限B 、第四象限C 、第四象限或第二象限D 、第一象限或第三象限（3）点(x ，1-x )不可能在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限（4）已知点P （2x-10,3-x ）在第三象限，则x 的取值范围是（ ）A 、53<<xB 、3≤x ≤5C 、5>x 或3<xD 、x ≥5或x ≤3 点P (m ，n)关于x 轴的对称点为 ，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；点P (m ，n)关于y 轴的对称点为 ，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；点P (m ，n)关于原点的对称点为 ，即横、纵坐标都互为相反数；点P (m ，n)关于点Q （a ，b ）的对称点是 ．【例3】基础过关（1）点P （3，-5）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．（-3，-5）B ．（5，3）C ．（-3，5）D ．（3，5）（2）点P （-2，1）关于y 轴对称的点的坐标为（ ）A ． （-2，-1）B ．（2，1）C ．（2，-1）D ．（-2，1）（3） 在平面直接坐标系中，P （-4，5）关于x 轴对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点是 ．（4）点P （2，3）关于直线x ＝3的对称点为 ，关于直线y ＝5的对称点为 ．（5）点（-2，3）关于点（1，2）对称的点是 ．（6）已知点P （a ＋1，2a-1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．xy 板块二 坐标系中的对称【例4】对称的应用如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．（1）观察与探究：由图观察已知A（2，0）关于直线l的对称点A’的坐标为（0，2），请在图中分别标明B（5，3），C（-2，5）关于直线l的对称点B’、C’的位置，并写出它们的坐标：B’，C’;（2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P’的坐标为（不必证明）；（3）运用与拓展：点A（a，b）在直线l的下方，则a，b的大小关系为；若在直线l的上方，则．板块三坐标系中的平移将点（x，y）向右平移a个单位长度，得到的对应点的坐标是：____________；将点（x，y）向左平移a个单位长度，得到的对应点的坐标是：____________；将点（x，y）向上平移b个单位长度，得到的对应点的坐标是：____________；将点（x，y）向下平移b个单位长度，得到的对应点的坐标是：．将一个图形各个点的横坐标加上（或减去）一个正数a，相应的新图形将向（或向）平移个单位长度；将一个图形各个点的纵坐标加上（或减去）一个正数a，相应的新图形将向（或向）平移个单位长度；平移只改变图形的，图形的和不发生改变．平行于x轴(或横轴)的直线上的点的相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的相同．【例5】基础过关（1）点M（-3，-5）向上平移7个单位得到点M1的坐标为；再向左平移3个单位得到点M2的坐标为．（2）在平面直角坐标系中，若将点p(x,y)向右平移a个长度单位得到点的坐标是，若向下平移b个长度单位，得到的点的坐标是．（3）平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB经过平移得到的，点A（-1，-4）的对应点为A1（1，-1），点B(1，1)的对应点B1为．（4）将点P（m-2，n+1）沿x轴负方向平移3个单位，得到P1（1-m，2），则点P坐标是．【例6】平移的应用（1）如图1，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛坐标分别是（-4，2）（-2，2），右边图案中左眼的坐标是（3，4），则右边图案中右眼的坐标是．（2）如图2是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE绕A点逆时针旋转90°再向右平移2个单位的图形（其中C、D为所在小正方形边的中点）．图1 图2 图3 图4 板块四坐标系中的面积与规律问题【例7】面积问题（1）如图3，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中点A的坐标为（2，-1），则△ABC的面积为平方单位．（2）如图4，已知直角坐标系中A（-1，4）、B（0，2），平移线段AB，使点B移到点C （3，0），此时点A记作点D，则四边形ABCD的面积是．（3）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各项点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7）．求四边形ABCD的面积．【例8】找规律问题（1）如图5，在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有个．（清华附中期中）（2）如图6，在平面直角坐标系中，第1次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将三角形OAB 变换成OA 2B 2，第三次将△OAB 变换成△OA 3B 3．已知A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3），B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）.观察每次变化前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，则点A 4的坐标是 ，则点B 4的坐标是 ，则点A n 的坐标是 ，则点B n 的坐标是 ．（北京十二中期中）（3）如图，一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到（1，0），而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在1989min 后，求这个粒子所处的位置坐标．【巩固练习】1．已知点A ()4,x y -，点()1,2B y x -关于x 轴对称，求x y 的值．2．如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向边连续翻转2006次，点P 依次落在点1232006,,P P P P 的位置，则2006P 的横坐标2006x =______，2006P 的纵坐标2006y =______.3．在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC 的顶点A 的坐标为（2，2）．（1）若底边BC 在x 轴上，设点B 、C 坐标分别为（m ，0）、（n ，0），你认为m 、n 应满足怎样的条件？答：____________． （2）若底边BC 两端点分别在x 轴、y 轴上，设点B 、C 的坐标分别为（m ，0）、（0，n ），你认为m 、n 应满足怎样的条件？答：____________．课后作业1．（1）在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（）A．（-5，-2）B．（-2，-5）C．（-2，5）D．（-2，-5）（2）已知点P（x，y），Q（m，n），如果x＋m＝0，y＋n＝0那么点P,Q（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于过点（0，0）（1，1）的直线对称（3）已知：｜x-1｜＋（y+2）²＝0，则（x，y）关于原点对称的点为．（4）已知点P（a+3b，3）与点Q（-5，a+2b）关于x轴对称，则a=b= 2．（1）将点P（-4，3）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，则得到点P’的坐标为．（2）点A向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点（-1，3），则点A的坐标为．（3）在平面直角坐标系中有一个已知点A，现在x轴向下平移3个单位，y轴向左平移2个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A的坐标系下点A的坐标为（-1，2），在旧的坐标系下点A的坐标为．（4）在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（）A．向右平移了3个单位B．向左平移了3个单位C．向上平移了3个单位D．向下平移了3个单位（5）已知AB∥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中画出△ABC向右平移3个单位，再向下平移2个单位的图形△A1B1C1．（3）写出点A1，B1，C1的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位．（1）线段DC是线段AB经过怎样的平移得到的？（2）若C点的坐标是（4，1），A点的坐标是（-1，-2），你能写出B、D两点的坐标吗？（3）求平行四边形ABCD的面积．5．如图，长为1，宽为2的长方形ABCD以右下角的顶点为中心顺时针旋转90°，此时A 点的坐标为；依次旋转2009次，则顶点A的坐标为．。

4.3 平面坐标系中几种常见变换4．3.1平面直角坐标系中的平移变换课标解读1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.1．平移在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移，若以向量a 表示移动的方向和长度，也称图形F 按向量a 平移．2．平移变换公式设P (x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点P ′(x ′，y ′)，则(x ，y )＋(h ，k )＝(x ′，y ′)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h ＝x ′，y ＋k ＝y ′.1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？【提示】 步骤：(1)设平移前曲线上一点P 的坐标为(x ，y )，平移后的曲线上对应点P ′的坐标为(x ′，y ′)；(2)写出变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k ，并转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k ；(3)利用上述公式将原方程中的x ，y 代换；(4)按习惯，将所得方程中的x ′，y ′分别替换为x ，y ，即得所求曲线的方程． 2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？【提示】 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.平移变换公式的应用点M (8，－10)按a 平移后的对应点M ′的坐标为(－7,4)，求a .【自主解答】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧－7＝8＋h ，4＝－10＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－15，k ＝14，即a ＝(－15,14)．把点A (－2,1)按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)． 【解】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2＋3＝1，y ′＝1＋2＝3，即对应点A ′的坐标(1,3)．平移变换公式在圆锥曲线中的应用求双曲线4x 2－9y 2－16x ＋54y －29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程．【思路探究】 把双曲线方程化为标准方程求解．【自主解答】 将方程按x ，y 分别配方成4(x －2)2－9(y －3)2＝－36， 即y －324－x －229＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y －3，方程可化为y ′24－x ′29＝1.双曲线y ′24－x ′29＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，－2)，焦点坐标为(0，13)和(0，－13)，对称轴方程为x ′＝0，y ′＝0，准线方程为y ′＝±41313，渐近线方程为y ′2±x ′3＝0.根据公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2，y ＝y ′＋3可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3＋13)和(2,3－13)，对称轴方程为x ＝2，y ＝3，准线方程为y ＝3±41313，渐近线方程为y －32±x －23＝0，即2x ＋3y －13＝0和2x －3y ＋5＝0.几何量a ，b ，c ，e ，p 决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．已知抛物线y ＝x 2＋4x ＋7. (1)求抛物线顶点的坐标；(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．【解】 (1)设抛物线y ＝x 2＋4x ＋7的顶点O ′的坐标为(h ，k )，那么 h ＝－42＝－2，k＝4×7－424＝3，即这条抛物线的顶点O ′的坐标为(－2,3)． (2)将抛物线y ＝x 2＋4x ＋7平移，使点O ′(－2,3)与点O (0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量O ′O →平移得到的，设O ′O →的坐标为(m ，n )，那么⎩⎪⎨⎪⎧m ＝022，n ＝0－3＝－3.所以抛物线按(2，－3)平移，平移后的方程为y ＝x 2.(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物线y 2＝8x 按向量(2,1)平移后的抛物线方程和准线方程．(2013·无锡质检)将函数y ＝2x 的图象l 按a ＝(0,3)平移到l ′，求l ′的函数解析式．【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．【解】 设P (x ，y )为l 的任意一点，它在l ′上的对应点P ′(x ′，y ′) 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋0，y ′＝y ＋3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝y ′－3.将它们代入y ＝2x 中得到y ′－3＝2x ′， 即函数的解析式为y ＝2x ＋3.1．将点P (7,0)按向量a 平移，得到对应点A ′(11,5)，则a ＝________. 【答案】 (4,5)2．直线l：3x－2y＋12＝0按向量a＝(2，－3)平移后的方程是________．【答案】3x－2y＝03．曲线x2－y2－2x－2y－1＝0的中心坐标是________．【解析】配方，得(x－1)2－(y＋1)2＝1.【答案】(1，－1)4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________．【解析】开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x2＝4y，所以所求抛物线的方程是(x－3)2＝4(y－2)．【答案】(x－3)2＝4(y－2)1．已知函数y＝x2图象F按平移向量a＝(－2,3)平移到F′的位置，求图象F′的函数表达式．【解】在曲线F上任取一点P(x，y)，设F′上的对应点为P′(x′，y′)，则x′＝x－2，y′＝y＋3，∴x＝x′＋2，y＝y′－3.将上式代入方程y＝x2，得：y′－3＝(x′＋2)2，∴y′＝(x′＋2)2＋3，即图象F′的函数表达式为y＝(x＋2)2＋3.2．求椭圆4x2＋9y2＋24x－18y＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．【解】因椭圆方程可化为x＋329＋y－124＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±5，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为53，准线方程为x＝－3±955.3．圆x2＋y2＝25按向量a平移后的方程是x2＋y2－2x＋4y－20＝0，求过点(3,4)的圆x2＋y2＝25的切线按向量a平移后的方程．【解】 由题意可知a ＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线方程为3x ＋4y ＝25，所以平移后的切线方程为3(x －1)＋4(y ＋2)＝25，即3x ＋4y －20＝0.4．已知两个点P (1,2)、P ′(2,10)和向量a ＝(－3,12)．回答下列问题： (1)把点P 按向量a 平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a 平移得到对应点P ′，求这个点的坐标； (3)点P 按某一向量平移，得到的对应点是P ′，求这个向量的坐标．【解】 (1)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ＝1，y ＝2，解得x ′＝－2，y ′＝14，即所求的对应点的坐标为(－2,14)．(2)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ′＝2，y ′＝10，解得x ＝5，y ＝－2，即所求点的坐标为(5，－2)．(3)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k .由x ＝1，y ＝2，x ′＝2，y ′＝10，解得h ＝1，k ＝8，所以所求的向量的坐标为(1,8)．5．将二次函数y ＝x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y ＝2x －5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(h ，k )，所以y ＝x 2平移后的解析式为y －k ＝(x －h )2，即y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 与直线y ＝2x －5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 在(3,1)处切线的斜率为6－2h ，从而6－2h ＝2，h ＝2.又点(3,1)在y －k ＝(x －h )2上，解得k ＝0，所以向量a 的坐标为(2,0)．6．抛物线y ＝x 2－4x ＋7按向量a 平移后，得到抛物线的方程是y ＝x 2.求向量a 及平移前抛物线的焦点坐标．【解】 抛物线方程可化为y －3＝(x －2)2，平移后的抛物线方程为y ＝x 2，所以a ＝(－2，－3)，因为y ＝x 2的焦点坐标为(0，14)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，14＋3)，即(2，134)．7．已知双曲线的渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0与4x －3y ＋15＝0，一条准线的方程为y ＝－115，求此双曲线的方程．【解】 两渐近线的交点即双曲线中心，故由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋9＝0，4x －3y ＋15＝0，解得交点为(－3,1)，即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y ＝－115，说明焦点所在的对称轴平行于y 轴，所以可设双曲线方程为y －12a 2－x ＋32b 2＝1，它的渐近线方程可写成y －1a ±x ＋3b＝0①，准线方程为y －1＝±a 2c②，而已知渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0，即4(x ＋3)＋3(y －1)＝0，另一条渐近线方程为4x －3y ＋15＝0，即4(x ＋3)－3(y －1)＝0，合并即为y －14±x ＋33＝0.对照①，得a b ＝43③.而已知准线方程y ＝－115，即y －1＝－165.对照②，得a 2c ＝165④.由③④，解得a ＝4，b ＝3，c ＝5.故所求双曲线方程为y －1216－x ＋329＝1.教师备选8．已知抛物线y ＝x 2－4x －8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程； (2)将此抛物线按怎样的向量a 平移，能使平移后的方程是y ＝x 2?【解】 (1)将抛物线y ＝x 2－4x －8配方，得y ＝(x －2)2－12，故抛物线顶点的坐标为P (2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a ＝(1,10)，于是平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋1，y ′＝y ＋10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－1，y ＝y ′－10.因为点(x ，y )在抛物线y ＝x 2－4x －8上，所以y ′－10＝(x ′－1)2－4(x ′－1)－8， 即y ′＝x ′2－6x ′＋7.所以平移后的方程为y ＝x 2－6x ＋7.(2)法一 设平移向量a ＝(h ，k )，则平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k .将其代入y ＝x 2－4x －8，得y ′－k ＝(x ′－h )2－4(x ′－h )－8，化简整理，得y ′＝x ′2－(2h ＋4)x ′＋h 2＋4h ＋k －8.令⎩⎪⎨⎪⎧2h ＋4＝0，h 2＋4h ＋k －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－2，k ＝12，此时y ′＝x ′2.所以当图象按向量a ＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y ＝x 2. 法二 将抛物线y ＝x 2－4x －8，即y ＋12＝(x －2)2平移到y ＝x 2. 只需要作变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y ＋12.所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．4．3.2平面直角坐标系中的伸缩变换课标解读1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换．2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.1．横坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，y ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．2．纵坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，ky ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．3．伸缩变换一般地，设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μy μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换．1．如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】 x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆：x 24＋y 2＝1.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状． 2．如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f (x ，y )＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1k.第(1)种坐标系中的意思是x 轴与y 轴上的单位长度一样，f (x ，y )＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f (x ，y )＝0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的．伸缩变换对下列曲线进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)．(1)y ＝kx ＋b ；(2)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.【自主解答】 设P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k x ′，y ＝1k y ′.(1)由1k y ′＝k (1kx ′)＋b ，y ′＝kx ′＋kb ，得直线y ＝kx ＋b 经过伸缩变换后的方程为y ＝kx ＋kb ，仍然是一条直线．当b ＝0时，该直线和原直线重合；当b ≠0时，该直线和原直线平行．(2)由(1k x ′－a )2＋(1ky ′－b )2＝r 2，(x ′－ka )2＋(y ′－kb )2＝(kr )2，得圆(x －a )2＋(y－b )2＝r 2经过伸缩变换后的方程为(x －ka )2＋(y －kb )2＝(kr )2，它是一个圆心为(ka ，kb )，半径为|kr |的圆．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入直线方程2x ′－y ′＝4 得：2λx －μy ＝4，即λx －μ2y ＝2，比较系数得：λ＝1，μ＝4，即直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.伸缩变换的应用曲线y ＝2sin 3x 变换成曲线y ＝3sin 2x ，求它的一个伸缩变换．【思路探究】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μy μ＞0代入y ′＝3sin 2x ′，所得式再与y ＝2sin3x 比较即可求λ、μ.【自主解答】 将变换后的曲线y ＝3sin 2x 改成y ′＝3sin 2x ′.设伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μyμ＞0代入y ′＝3sin 2x ′；得μy ＝3sin(2λx )即y ＝3μsin(2λx )，与y ＝2sin 3x 比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝32，μ＝32，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ，y ′＝32y .确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．(1)圆x 2＋y 2＝a 2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为x 2a 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜a )?(2)分析圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系．【解】 (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1可以化为x 2＋a 2y 2b 2＝a 2，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝aby ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，bay ＝y ′.所以圆x 2＋y 2＝a 2经过向着x 轴方向上的伸缩变换，伸缩系数k ＝b a ，可以使方程变为x 2a 2＋y 2b2＝1. (2)若圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋m ，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为y ＝－1kx .由a b y ′＝kx ′＋m ，得y ′＝bk a x ′＋b a m .所以直线y ＝kx ＋m 经过变换，方程可变为y ＝bk ax ＋b am . 由a by ′＝－1kx ′，得y ′＝－b kax ′，所以直线y ＝－1kx 经过变换，方程可变为y ＝－b kax .此时，两条直线的斜率乘积是定值－b 2a2.若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为x ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为y ＝0，伸缩变换后其方程分别变为x ＝n ，y ＝0.此时两直线依然垂直．若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为y ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为x ＝0，伸缩变换后其方程分别变为y ＝b an ，x ＝0.此时两直线依然垂直．(教材第41页习题4.3第8题)对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数k ＝2：(1)x 2－4y 2＝16；(2)x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.(2013·南京模拟)求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.1．直线x ＋4y －6＝0按伸缩系数12向着x 轴的伸缩变换后，直线的方程是________．【答案】 x ＋8y －6＝02．直线2x －3y ＝0按伸缩系数3向着y 轴的伸缩变换后，直线的方程是________． 【答案】 2x －9y ＝03．曲线x 2＋y 2＝4按伸缩系数2向着y 轴的伸缩变换后，曲线的方程是________．【答案】x 216＋y 24＝1 4．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为______．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′， 即y ′＝3cos 12x ′.【答案】 y ＝3cos x21．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的方程．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.①(1)将①代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x ′＋y ′＝0，所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ＋y ＝0.(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后，方程x2＋y 2＝1变成x 24＋y 29＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程．【解】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.3．设F ：(x －1)2＋(y －1)2＝1在⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′的伸缩变换下变为图形F ′，求F ′的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′.所以(x －1)2＋(y －1)2＝1变换为(13x ′－1)2＋(y ′－1)2＝1，即x ′－329＋(y ′－1)2＝1，所以F ′的方程是x －329＋(y －1)2＝1.4．双曲线x 216－y 29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x 2－y 2＝1吗？【解】 双曲线方程x 216－y 29＝1可以化为(x 4)2－(y3)2＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝x ′，y3＝y ′，则x ′2－y ′2＝1.所以双曲线x 216－y 29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x 2－y 2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数13向着x 轴进行伸缩变换．5．已知G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数k 向着x 轴(或y 轴)的伸缩变换后，得到G ′和△A ′B ′C ′.试判断G ′是否为△A ′B ′C ′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．经过伸缩系数k 向着x 轴的伸缩变换后，得到△A ′B ′C ′的三个顶点及点G ′的坐标分别为A ′(x 1，ky 1)、B ′(x 2，ky 2)，C ′(x 3，ky 3)，G ′(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋y 2＋y 33)．由于△A ′B ′C ′的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋ky 2＋ky 33)，所以G ′仍然是△A ′B ′C ′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y 轴方向，G ′同样也是△A ′B ′C ′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)后，得到△A ′B ′C ′.求证：△A ′B ′C ′和△ABC 相似，且面积比为k 2.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A ′(kx 1，ky 1)、B ′(kx 2，ky 2)．所以A ′B ′＝kx 1－kx 22ky 1－ky 22＝|k |x 1－x 22y 1－y 22＝|k |AB .同理可得A ′C ′＝|k |AC ，B ′C ′＝|k |BC ， 所以△A ′B ′C ′∽△ABC ，所以∠A ＝∠A ′，S △A ′B ′C ′＝12(|k |AB )·(|k |AC )sin A ′＝k 2[12(AB ·AC )sin A ]＝k 2S △ABC .7．设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2，称λ为点P 分有向线段P 1P 2所成比．设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P 分有向线段P 1P 2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P 1、P 2和P 分别变为P 1′、P 2′和P ′.求证：P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.【证明】 设P (x 0，y 0)，由P 1P →＝λPP 2→，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋λx 21＋λ，y 0＝y 1＋λy21＋λ.设给定伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧k 1x ＝x ′，k 2y ＝y ′，则有P 1′(k 1x 1，k 2y 1)、P 2′(k 1x 2，k 2y 2)、 P ′(k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 1＋λy 21＋λ)．P 1′P ′→＝(k 1x 1＋λx 21＋λ－k 1x 1，k 2y 1＋λy 21＋λ－k 2y 1)＝λ(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，P ′P 2′→＝(k 1x 2－k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 2－k 2y 1＋λy 21＋λ)＝(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，所以P 1′P ′→＝λP ′P 2′→.所以P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.教师备选8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：选修4－4阶段归纳提升坐标系错误!))极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标互化的公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，当不能直接使用公式时，可通过适当变换，化成能使用的形式．把下列极坐标化为直角坐标：(1)M (5，56π)；(2)N (2，32π)；(3)P (2，54π)；(4)Q (2，－π6)．【解】 (1)由题意知x ＝5cos 56π＝5×(－32)＝－532，y ＝5sin 56π＝5×12＝52.所以M 点的直角坐标为(－532，52)．(2)x ＝2cos 32π＝2×0＝0，y ＝2sin 32π＝2×(－1)＝－2.所以N 点的直角坐标为(0，－2)． (3)x ＝2cos 54π＝2×(－22)＝－2，y ＝2sin 54π＝2×(－22)＝－ 2. 所以P 点的直角坐标为(－2，－2)． (2)x ＝2cos(－π6)＝2×32＝3，y ＝2sin(－π6)＝2×(－12)＝－1.所以Q 点的直角坐标为Q (3，－1).极坐标的应用主要应用极坐标与直角坐标的互化公式解决问题，注意极坐标系中的ρ和θ的含义．(2012·陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32. ∴弦长为2×32＝ 3. 【答案】3伸缩变换变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μy μ＞0其中P (x ，y )为变换前的点，P ′(x ′，y ′)为变换后的点．将圆锥曲线C按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．【解】 设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，代入x ′2－y ′2＝1得(x3)2－(y2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M (8，－9π5)，N (8，11π5)，P (－8，4π5)，Q (－8，6π5)的四点中，与点A (8，π5)表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3) 3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 2 3 5．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为(2π3，2π3，2π3)，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3，由⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)，球坐标为(22π3，π4，2π3)．【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________． 【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3. 【答案】 2 312．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 【答案】22 13．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________．【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5x y ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝1，得： 2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1.【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有 x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0，故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|1222＝855. 【答案】855 二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4)；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.(2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝2y代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1， 得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14. 该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆． 17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 的面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2p ρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos π2＋θsin 2π2＋θ. 所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos π2＋θsin 2π2＋θ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2， 当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2. 18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B .设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)．弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos θ|＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.。

平面坐标变换矩阵引言平面坐标变换矩阵是计算机图形学中常用的一种数学工具。

它可以用于描述平面上的点在不同坐标系之间的转换关系，广泛应用于计算机图形学、计算机视觉等领域。

本文将从基本概念、矩阵表示、坐标变换和应用等方面介绍平面坐标变换矩阵的相关知识。

一、基本概念1. 平面坐标系：平面上的点可以用一对数值来表示，这对数值就是平面坐标系中的坐标。

常见的平面坐标系有笛卡尔坐标系、极坐标系等。

2. 坐标变换：当平面上的点从一个坐标系转换到另一个坐标系时，就发生了坐标变换。

坐标变换可以描述点的位置和方向的变化。

3. 变换矩阵：变换矩阵是用来表示坐标变换的数学工具。

它是一个二维矩阵，可以描述平移、旋转、缩放等各种变换操作。

二、矩阵表示平面坐标变换矩阵通常用一个2x2的矩阵表示，如下所示：```[ a b ][ c d ]```其中，a、b、c、d都是实数，代表了平移、旋转、缩放等变换操作的参数。

矩阵中的每一个元素都对应了平面上的一个坐标变换。

三、坐标变换平面上的点在坐标变换时，可以通过乘以变换矩阵来实现。

假设有一个二维点P(x, y)，它在新的坐标系下的坐标为P'(x', y')，则有如下关系：```[ x' ] [ a b ] [ x ][ ] = [ ] * [ ][ y' ] [ c d ] [ y ]```通过矩阵乘法可以得到P'的坐标。

四、应用平面坐标变换矩阵在计算机图形学和计算机视觉中有着广泛的应用。

下面将介绍几个常见的应用场景。

1. 平移变换平移变换是将点在平面上沿着指定的方向移动一定的距离。

在平面坐标变换矩阵中，平移变换可以通过修改矩阵的第三列来实现。

2. 旋转变换旋转变换是将平面上的点绕某个中心点旋转一定的角度。

在平面坐标变换矩阵中，旋转变换可以通过修改矩阵的第一列和第二列来实现。

3. 缩放变换缩放变换是将平面上的点按照指定的比例进行放大或缩小。